âm thanh lớp học, loa trợ giảng

SKKN Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh qua dạy học về diện tích đa giác

SKKN Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh qua dạy học về diện tích đa giác

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:
Môn toán ở trung học cơ sở có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát
triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình
thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và
thái độ cần thiết để học sinh tiếp tục lên trung học phổ thông, trung học chuyên
nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đều đòi hỏi những
hiểu biết nhất định về toán học. Bên cạnh đó, Toán học còn có mối quan hệ gắn bó
chặt chẽ và tác động qua lại với các môn khoa học khác. Nhiều kiến thức, kĩ năng
đạt được qua môn toán là cơ sở cho việc học tập tốt một số môn học khác như: Vật
lý, hoá học, sinh học, địa lí, công nghệ …
Trong học toán cũng như trong việc học các môn khác việc tiếp thu kiến thức
một cách linh hoạt và xuyên suốt sẽ giúp cho học sinh linh hoạt hơn trong việc vận
dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống để có hiệu quả trong việc học
tập và lao động.
Vì vậy việc giảng dạy môn Toán ở các trường THCS nói chung và môn
Toán lớp 8 nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng. Đặc biệt dạy toán hướng tới
đối tượng học sinh Khá, Giỏi, đòi hỏi giáo viên phải hình thành cho học sinh
những kiến thức cơ bản, gợi mở cho học sinh tìm tòi các phương pháp giải bài toán
để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong chương trình Toán lớp 8 cụ thể là phân môn Hinh học, học sinh được
học về diện tích đa giác. Đây là phần kiến thức có tính ứng dụng thực tế cao, có
nhiều dạng bài tập đòi hỏi học sinh phải vận dụng đa dạng nhiều kiến thức hình
học của bậc trung học cơ sở. Những bài tập về diện tích đa giác góp phần phát
triển tư duy logic, khả năng sáng tạo, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học của
học sinh. Có nhiều dạng toán hình học hay và khó. Các bài tập về diện tích đa giác
rất hay xuất hiện trong các đề thi giữa kỳ, cuối kỳ, các đề thi học sinh giỏi các cấp,
đề thi vào các trường chuyên, lớp chọn và thường là những bài tập phân loại học
sinh, ở mức độ vận dụng cao. Phát triển khả năng tư duy, vận dụng linh hoạt các
kiên thức đã được học của học sinh thông qua việc dạy về diện tích đa giác là một
nội dung kiến thức quan trọng. Thông qua đó giáo viên truyền tải cho học sinh
2
niềm đam mê môn học, say mê với các bài toán khi cần phải tìm ra lời giải, khơi
gợi, kích thích, phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Đồng thời qua đó
giáo viên phát hiện, tuyển chọn, bồi dưỡng những học sinh năng lực, tố chất vào
đội tuyển HSG.
Trong khi đó, nội dung và thời lượng về phần kiến thức này trong sách giáo
khoa và sách bài tập còn rất ít, lượng bài tập chưa có sự đa dạng, những bài tập ở
mức độ vận dụng cao, đòi hỏi học sinh tư duy ở mức độ cao chưa nhiều. Mặt khác
trong các sách tham khảo có trình bày thì chỉ có bài tập và lời giải vắn tắt do đó
học sinh rất lúng túng khi giải các bài tập về thể loại này. Thường là học sinh chưa
nắm rõ cách giải, không biết trình bày như thế nào, trình bày thiếu căn cứ, lập luận
không chặt chẽ. Mặt khác số học sinh có điều kiện để mua sách tham khảo không
nhiều hoặc nếu có các tài liệu tham khảo các em cũng không biết cách phân tích để
tóm lại cho mình những kỹ năng cần thiết để giải quyết tốt dạng toán này và đặc
biệt hơn là học sinh luôn bị động trước các kiến thức cần tiếp nhận.
Chính vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho
học sinh, giúp học sinh học phần nào tháo gỡ được những khó khăn, vướng mắc
trong quá trình học về diện tích đa giác. Đồng thời giúp các em biết tư duy, phân
tích, tổng hợp các kiến thức liên quan một cách có hệ thống từ đó hình thành kỹ
năng giải dạng toán này, góp phần để các em tự tin hơn, đạt kết quả cao hơn trong
các kỳ thi tuyển đặc biệt là đối với các kỳ thi chọn học sinh giỏi nên tôi chọn đề
tài:
“ Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo của học sinh qua dạy học về
diện tích đa giác ’’.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP:
1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
Những kiến thức cơ bản liên quan đến diện tích đa giác trong Hình học 8
được trình bày trong Chương 2, thời lượng số tiết không nhiều ( 8 tiết). Chủ yếu là
công thức tính diện tích các đa giác, một sốt tính chất cơ bản của diện tích đa giác.
Lượng kiến thức và bài tập ở mức độ vận dụng cao hướng đối tượng học sinh Khá,
3
Giỏi không nhiều. Kiến thức về diện tích đa giác còn được cung cấp rải rác trong
các chương tiếp theo nhưng không có tính hệ thống. Giáo viên cũng không có
nhiều thời gian để giảng dạy.
Những bài tập về diện tích đa giác xuất hiện trong các đề thi đặc biệt là đề thi học
sinh giỏi thường là bài tập khó, đòi hỏi mức độ vận dụng cao. Tạo ra tâm lý của
một bộ phận giáo viên và hầu hết học sinh: mặc định bài tập về diện tích đa giác là
khó nên giáo viên ngại dạy, học sinh ngại học. Do đó, giáo viên thường chỉ dạy về
diện tích đa giác ở mức độ bám sách giáo khoa, sách bài tập. Học sinh có tâm lý
khi gặp bài tập về diện tích đa giác là bỏ qua. Những yếu tố trên làm giáo viên và
học sinh đã bỏ qua một mảng kiến thức mà ở đó có thể phát triển năng lực tư duy,
khả năng sáng tạo, kỹ năng vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào giải quyết vấn
đề cho học sinh… Học sinh thường lúng túng khi gặp những bài toán về diện tích
đa giác.
Qua điều tra học sinh bằng nhiều biện pháp và bài kiểm tra có nội dung liên
quan đến diện tích đa giác của học sinh lớp 8C Trường THCS Hải Hậu trước khi
áp dụng sáng kiến có kết quả như sau:

Lớp
số
GiỏiKháTBYếu- kém
SL%SL%Sl%SL%
8C3126,5825,81961,326.4

Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm toán về dạng toán vẫn
còn rất mơ hồ, học một cách máy móc thụ động. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải
vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải
bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Sự vận dụng lí thuyết vào
việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt.
Trước thực trạng trên, là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán 8 ở lớp
mà đối tượng học sinh được chọn lựa tôi thấy:
Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa ra phương án giải
một bài toán đúng và hoàn chỉnh thì đa số học sinh thường lúng túng trước những
vấn đề mới, đặc biệt các em là những học sinh chưa thực sự có tố chất và chăm chỉ
4
học tập, chỉ một số ít học sinh có nhận thức và tư duy tốt là có thể tự mình tìm ra
hướng đi đúng đắn. Vì vậy việc đưa ra và khái quát cho các em một phương pháp
chung cho một dạng toán nào đó là thật sự cần thiết, cần phân tích để học sinh có
thể lựa chọn cho mình hướng đi chính xác trong những hướng đi là vấn đề vô cùng
quan trọng và trong công việc này người thầy đóng vai trò chủ đạo còn học sinh
chủ động tìm tòi kiến thức.
2.Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến
Đối với học sinh việc vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã được
học vào giải bài toán về diện tích đa giác là không đơn giản. Nhưng nếu làm được
điều đó sẽ góp phần phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo là rất lớn. Muốn
vậy đòi hỏi các em phải có lòng say mê và một sự nhiệt tình với việc tìm tòi các
kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi các em phải dành ra một quỹ thời gian đủ
nhiều để nghiên cứu và tìm hiểu, trong khi quỹ thời gian của các em tương đối hạn
hẹp, cộng với điều kiện kinh tế của các em đa số còn khó khăn không thể mua cho
mình những cuốn sách để có thể tự đọc và tự nghiên cứu . Do đó để học sinh học
tập có hiệu quả cao với chủ đề này thì giáo viên cần phải tổng hợp kiến thức có
liên quan từ đó phân ra làm các dạng toán“ từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản
đến phức tạp” để luyện tập cho học sinh. Trong giảng dạy giáo viên cần chỉ ra
phương pháp giải đối với từng dạng, chỉ ra những điểm nhấn thể hiện đặc điểm
riêng của từng dạng, chỉ ra những chỗ mà học sinh hay mắc sai lầm đồng thời phải
giúp cho các em học sinh biết liên kết kiến thức giữa mảng này với mảng khác
theo một hệ thống.
Trong sáng kiến, này tôi đã phân ra các dạng bài, chỉ ra phương pháp giải đối
với từng dạng và thông qua các các bài tập trong từng dạng. Giúp giáo viên rèn kỹ
năng trình bày bài làm của học sinh, giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy, phân
tích, khả năng sáng tạo tìm cách giải và biết cách làm bài toán tương tự, biết cách
vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết tốt các tình huống trong mỗi
bài toán cụ thể. Qua đây cũng hình thành tư duy lôgíc, sáng tạo cho các em trong
việc giải toán. Các dạng bài mà tôi đã phân cụ thể là:
5
Dạng 1: Tính diện tích đa giác
Loại 1. Tính trực tiếp: Sử dụng công thức tính diện tích đa giác
Loại 2. Tính gián tiếp: Sử dụng phương pháp cộng diện tích.
Loại 3. Tính gián tiếp: Sử dụng tỉ số diện tích của hai tam giác có chung cạnh hoặc
chung đường cao.
Loại 4. Tính gián tiếp: Sử dụng tỉ số diện tích của hai tam giác dồng dạng.
Loại 5. Tính gián tiếp: Sử dụng phương pháp đại số.
Dạng 2: Chứng minh hệ thức hình học sử dụng diện tích đa giác.
Loại 1. Chứng minh hệ thức hình học sử dụng diện tích đa giác.
Loại 2. Chứng minh đẳng thức diện tích.
Loại 3. Tính tỉ số diện tích đa giác
Dạng 3: Cực trị hình học sử dụng diện tích đa giác.
Loại 1. Chứng minh bất đẳng thức hình học sử dụng diện tích đa giác
Loại 2. Bất đẳng thức diện tích
Loại 3. Tìm vị trí của điểm để diện tích đa giác đạt giá trị cực trị
Để học sinh nắm vững các dạng toán trên giáo viên cần hệ thống lại cho học
sinh các kiến thức sau:
* Các kiến thức liên quan đến diện tích đa giác lớp 8 bao gồm:
 Công thức tính diện tích cách đa giác đặc biệt:
1. Công thức tính diện tích hình chữ nhật:
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó:
S = a.b
2. Công thức tính diện tích hình vuông:
Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó:
S = a2
a
b
a
6
3. Công thức tính diện tích tam giác:
a) Diện tích tam giác:
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với
chiều cao ứng với cạnh đó: S = 1
2
a.h
Mở rộng: Công thức Herong tính diện tích tam giác
khi biết dộ dài 3 cạnh:
S = p(p a)(p b)(p c)    ( trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)
b) Diện tích tam giác vuông:
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc
vuông: S = 1
2
a.b
4. Công thức tính diện tích hình thang:
Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai
đáy với chiều cao: S = 1
2
( a b ).h 
5. Công thức tính diện tích hình bình hành:
Diện tích hình bình hành bằng tích của một
cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó:
S = a.h
6. Công thức tính diện tích của tứ giác có hai
đường chéo vuông góc:
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc
với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó:
S = 1 1 2
2
d .d
a
h
a
b
a
b
h
a
h
d2
d1
7
7. Công thức tính diện tích của hình thoi
Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường
chéo:
S =
1 2
1 2
d .d
 Các tính chất của diện tích đa giác:
1. Mỗi đa giác có một diện tích xác định. diện tích đa giác là một số dương.
2. Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
3. Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong
chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
4. Hình vuông có cạnh có độ dài bằng 1 (đơn vị đo chiều dài) thì có diện tích
bằng 1 (đơn vị đo diện tích). Hình vuông này gọi là hình vuông đơn vị.
5. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng
 Các tính chất suy ra được từ công thức tính diện tích tam giác:
1. Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện
tích bằng nhau.
2. Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung cạnh (hoặc có 1 cặp cạnh bằng
nhau) bằng tỉ số hai đường cao tương ứng.
3. Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đường cao (hoặc có đường cao
bằng nhau) bằng tỉ số hai cạnh tương ứng.
Sau đây tôi xin trình bày cụ thể những dạng toán đã đưa ra và phương pháp
giải những bài toán đó.
d2
d1
8
I. DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH.
 Loại 1: Tính trực tiếp: Sử dụng công thức tính diện tích của đa giác.
Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất hình học, tính được các yếu tố chưa biết
rồi áp dụng công thức tính diện tích để tính diện tích của các đa giác.
Bài 1. Cho ΔABC cân tại A có AB = AC = a, BC = b. Tính diện tích của ΔABC?
Phân tích: Theo giả thiết, ΔABC đã biết độ dài 3 cạnh
nên để tính được diện tích ΔABC có 2 cách:
Cách 1. Sử dụng công thức cơ bản S= a.h 1
2
trong cách
này cần tính được chiều cao của tam giác.
Cách 2. Sử dụng công thức Herong.
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng công thức cơ bản S= a.h 1
2
– Vẽ đường cao AH.
– Chứng minh: AH là đường trung tuyến BH = HC = 1 b BC
2 2

– Áp dụng định lý Pitago vào ΔAHB (vuông tại H)
2 2 2
2 2 2 2 b 4a b
AH AB BH a
4 4

     
4a b 2 2 4a b 2 2
AH
4 2
 
 
– Áp dụng công thức tính diện tích S= a.h 1
2
ta tính được:
2 2 2 2
ABC
1 1 4a b b. 4a b
S = BC.AH .b.
2 2 2 4
 
 
Cách 2: Sử dụng công thức Herong: S = p(p a)(p b)(p c)    trong đó p là nửa
chu vi, a,b,c là ba cạnh của tam giác.
– Áp dụng công thức Herong vào ΔABC ta có:
a a b a a b a a b a a b
S = ( a)( a)( b)
2 2 2 2
       
  
B H C
A
9
2a b b b 2a b b (2a b)(2a b) 2 b 4a b 2 2
S = . . . .
2 2 2 2 4 4 4
    
 
Mở rộng: Bài 1.1 Cho ΔABC đều có cạnh là a. Tính diện tích ΔABC ?
– Vì Δ đều là Δ cân đặc biệt nên áp dụng 2 cách tính diện tích Δ cân ở trên ta tính
diện tích ΔABC đều như sau:
Cách 1: Sử dụng công thức cơ bản S= a.h 1
2
– Độ dài đường cao
2 2 2
4a a 3a a 3
AH
4 4 2

  
– Khi đó:
2
ABC
1 1 a 3 a 3
S = BC.AH .a.
2 2 2 4
 
Cách 2: Sử dụng công thức Herong.
a 4a a 2 2 a 3a a 3 2 2
S
4 4 4

  
Bài 2. Một mảnh đất hình tam giác (hình ảnh)
Thửa đất có các cạnh là: 18,1m; 19,3m; 4,3m. Tính diện tích thửa đất.
BC = 4,3m
AC = 19,3m
AB = 18,1m
A B
C
10
Phân tích: Đây là bài toán thực tế tính diện tích ΔABC. Trên thực địa có thể đo
đạc được chiều cao của tam giác. Tuy nhiên khi đo chiều cao thì phải xác định tính
vuông góc cũng khá phức tạp. Khi đã biết độ dài 3 cạnh để tính được diện tích
ΔABC cách đơn giản là áp dụng công thức Herong để tính:
Hướng dẫn:
– Sử dụng công thức Herong :
S = p(p a)(p b)(p c) 20,85(20,85 18,1)(20,85 19,        3)(20,85 4,3)
S = 20,85(2,75)(1,55)(16,55) 38,35 (m )  2
Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD ( A D  900 ). Biết AB = 2, AD = 3 và
0
B 150 . Tính diện tích hình thang ABCD ?
Phân tích : Có 2 cách để tính : Cách
1. Áp dụng công thức tính diện tích
hình thang. Để tính theo cách này cần

biết độ dài 2 đáy và chiều cao. Theo
đề bài thì cần tính độ dài của DC.

Cách 2. Chia hình thang thành 2 hình : hình chữ nhật và tam giác vuông. Để tính
diện tích hình thang cần tính diện tích của 2 hình trên.
Hướng dẫn:
– Vẽ BH  DC ( H DC)
– Chứng minh được ABHD là hình chữ nhật BH =AD = 3 , DH = AB =2.
– Có B 1500  C 300 . ΔBHC vuông tại H có C 300 BC = 2 BH = 2 3
– ΔBHC vuông tại H có BC = 2 3 , BH = 3 DH = 3 DC = 5
– Hình thang vuông ABCD có 2 đáy AB = 2, DC = 5, đường cao AD = 3

ABCD
1
S (AB DC).AD
2
  =
1 7 3
(2 5). 3
2 2
  (đvdt).
1500
H
A D
B
C
11
Bài 4. Một mảnh đất hình thang ( hình ảnh), 2 cạnh đáy có kích thước lần lượt
là: 15m và 20m, hai cạnh bên có kích thước là 12m và 10m. Tính diện tích mảnh
đất?
Phân tích: Do hình thang ABCD chưa biết chiều cao nên để tính diện tích mảnh
đất ta chia hình thang thành 01 tam giác và 01 hình bình hành.
Hướng dẫn:
– Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt DC tại E, vẽ đường cao AI.
– Ta chứng minh được ABCE là hình bình hành  AE = BC = 10 m,
CE = AB = 15 m. Từ đó DE = 5 m.
– Áp dụng công thức Herong tính diện tích ΔADE biết độ dài 3 cạnh :
2
S 13,5.(13,5 10)(13,5 12)(13,5 5) 24,54 m ADE     
– Có AI là đường cao chung của tam giác ADE và hình bình hành ABCE nên:
ABCE
ADE
S AI.AB 2.15
6
S 5    12AI.DE  S 6.S 6.24,54 147,27 m ABCE ADE    2
– Do đó: S 24,54 m 147,27 m 171,8 m ABCD    2 2 2
I E
A B
D C
12
Bài 5. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm M trên cạnh AD, điểm N
trên cạnh CD sao cho DM = CN. Biết ΔBMN là tam giác đều, tính diện tích
hình thoi ABCD?
Phân tích: Để tính diện tích của
hình thoi phải tính được độ dài 2
đường chéo. Từ giả thiết ΔBMN là
tam giác đều dự đoán các ΔABD và
ΔBCD là các tam giác đều, từ đó
tính được độ dài hai đường chéo.
Để chứng minh điều đó đi chứng
minh C 600 bằng cách chứng minh ΔCFN đều ( CN = CF = FN)
Hướng dẫn:
– Qua M, N vẽ các đường thẳng song song với BD cắt AB, BC lần lượt tại E, F.
– Chứng minh: CF = CN ( sử dụng FN // BD) và BE = DM ( sử dụng ME // BD)
 CF = CN = BE = DM
– Chứng minh: DMFC là hình bình hành ( DM // CF, DM = CF) và BENC là hình
bình hành ( BE // CN, BE = CN) MF = DC và EN = BC
MF = EN ( vì BC = DC)
– Chứng minh : EFNM là hình thang cân ( EM // NF, MF = EN)
EF = MN EF = BN ( vì MN = BN do ΔBMN đều)
– Chứng minh: BFNE là hình thang cân ( BF // EN, BN = EF)
BE = NF NF = CN = CF (vì CF = CN = BE = DM)  ΔCFN đều
 C 600  ΔABD và ΔBCD là các tam giác đều có cạnh bằng a.
– Tính được độ dài AC = 2.
2
a 3
= a 3 ( cách tính đường cao của Δ đều ở Bài 1)
– Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi:
2
ABCD
1 1 a 3
S AC.BD .a.a 3
2 2 2
  
F
E
N
C
D
A
B
M
13
N
O
B C
A D
M
 Loại 2. Tính gián tiếp: Sử dụng phương pháp cộng diện tích
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất cộng diện tích, đưa diện tích đa giác cần tính
về diện tích của các đa giác khác tính được bằng công thức tính.
Bài 6. Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 10 cm, hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại O. Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM =
BN. Tính diện tích tứ giác BMON?
Phân tích: Nhận thấy ΔAMO = ΔBON, do đó
S = S BMON AOB. Từ đó để tính diện tích tứ giác
BMON ta tính diện tích ΔAOB.
Hướng dẫn:
– Chứng minh: ΔAOM = ΔBON ( c.g.c)  S = S AOM BON

S S = S S AOM BOM BON BOM    S = S AOB BMON
– Có ABCD là hình vuông  S = AB 10 100 cm ABCD 2 2 2  
– Chứng minh được: S = S AOB ABCD 1
4
 2
S = 25 cm AOB
Bài 7. Cho ngũ giác ABCDE. Vẽ AH  CD, BM //AC, EN //AD ( M, N thuộc
đường thẳng CD). Cho biết AH = h, MN = a, tính diện tích ngũ giác ABCDE?
Phân tích: Ngũ giác ABCDE được chia
thành 3 tam giác: ΔABC, ΔACD, ΔAED. Giả
thiết chỉ cho biết AH và MN nên ta chứng
minh
S = S ABCDE AMN
Để chứng minh S = S ABCDE AMN ta chứng
minh:
S = S ABC AMC và S = S AED ADN
I
K
M N
C H D
B
A
E
14
H K
E
F
D
A
B C
Hướng dẫn:
– Vẽ đường cao BI của ΔABC và đường cao MK của ΔAMC
– Vì BM // AC  Khoảng cách từ B và từ M đến AC bằng nhau  BI = MK
Có :
ABC
1
S = BI.AC
2
, AMC
1
S = MK.AC
2
từ đó 
S = S ABC AMC
– Tương tự ta chứng minh được: S = S AED ADN
– Có:
S = S S S ABCDE ABC ACD ADE    S = S S S ABCDE AMC ACD AND  

ABCDE AMN
1
S = S a.h
2

Bài 8. Cho ΔABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Các đường phân giác
AD, BE, CF. Tính diện tích tam giác DEF?
Phân tích: Nhận định không thể
tính trực tiếp được diện tích ΔDEF.
Nhận thấy ΔABC vuông tại A nên
tính được diện tích ΔABC, vì AD,
BE, CF là các đường phân giác nên
tính được các đoạn AE, AF, BD,
DC từ đó tính được diện tích ΔAEF,
ΔFBD, ΔEDC. Từ đó tính được diện tích ΔAEF.
Hướng dẫn:
– Vẽ các đường cao FH của ΔFBD, và đường cao EK của ΔEDC.
– Chứng minh ΔABC vuông tại A dựa vào định lý đảo Pitago.
Từ đó tính được: S AB.AC 6 ABC 1
2
  (cm2)
– Có BD là phân giác của ΔABC  DB AB
DC AC
 
DB AB
DB DC AB AC

 

DB AB
BC AB AC



DB 3
5 3 4



15
BD
7
 
20
DC
7
 (cm)
15
Tương tự tính được: AF 4
3
 (cm) và AE 3
2
 (cm)
– Tính được: S AE.AF . . 1 AEF 1 1 4 3
2 2 3 2
   (cm2)
– Vì CF và BE là các phân giác  FH = AF 4
3
 ( cm) và EK = AE 3
2
 ( cm)
Tính được: SFBD 10
7
 (cm2) và SEDC 15
7
(cm2)
Từ đó tính được: S S S S S DEF ABC AEF FBD EDC 10
7
     (cm2)
 Loại 3: Tính gián tiếp: Sử dụng tỉ số diện tích của hai tam giác có chung
một cạnh hoặc chung đường cao.
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung
cạnh bằng tỉ số hai đường cao tương ứng; Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung
đường cao bằng tỉ số hai cạnh tương ứng. Lập hệ thức liên hệ giữa diện tích của đa
giác cần tính diện tích ( hoặc liên quan) và đa giác đã biết diện tích (hoặc có thể
tính được diện tích). Từ đó tính được diện tích của đa giác cần tính.
Bài 9. Cho ΔABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8 cm, phân giác AI. Tính diện
tích tam giác ABI?
Phân tích: Nhận thấy: ΔABI và ΔABC có

chung đường cao từ đỉnh A nên

ABI
ABC
S BI
=
S BC
ΔABC tính được diện tích và tỉ số BI
BC
tính
được bằng cách sử dụng tính chất đường
phân giác. Do đó ta tính được diện tích ΔABI.
Hướng dẫn:
– Tính được S = AB.AC = .6.8 = ABC 1 1 24
2 2
(cm2) (1)
I
A
B C
16

– Có: ΔABI và ΔABC có chung đường cao từ đỉnh A nên

ABI
ABC
S BI
=
S BC
. (2)
– Có AI là phân giác của ΔABC  IB AB
IC AC
 
IB AB
IB IC AB AC

 

IB AB 6 6 3
BC AB AC 6 8 14 7
   
 
(3)
– Từ (1), (2), (3) ta có: . .24 ABC 3 72
7 7
ABI  
BI
S = S
BC
(cm2)
Bài 10. Cho ΔABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Gọi O là trung điểm
của đường cao AH. Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt tại D và E.
Tính diện tích tứ giác ADOE ?
Phân tích: Trong bài tập này diện tích
ΔABC tính được. Để tính được diện tích tứ
giác ADOE cần thiết lập hệ thức liên hệ giữa
SADOE và SABC.

Chứng minh được:

ADOE ADO
ABC AHC
S S
=
S S

do đó để tính SADOE ta tính.

ADO
AHC
S S
Hướng dẫn:
– Gọi N là trung điểm của DC.
– Chứng minh: HN là đường trung bình của ΔBDC HN // BD OD // HN.
Kết hợp với O là trung điểm của AHD là trung điểm của AN
AD = DN mà DN = NC  AD = DN = NC AD = 1
3
AC.
– Xét ΔAOD và ΔAOC có chung đường cao từ đỉnh O  ADO
AOC
S AD 1
= =
S AC 3
(1)
– Xét ΔAOC và ΔAHC có chung đường cao từ đỉnh C  AOC
AHC
S AO 1
= =
S AH 2
(2)
E
N
D
O
B H C
A
17
– Từ (1) và (2)  ADO AOC
AOC AHC
S S 1 1
. = .
S S 3 2
 ADO
AHC
S 1
=
S 6
(3)
– Chứng minh: S = 2S ABC AHC và S = 2S ADOE ADO ( ΔAEO = ΔADO) (4)

Từ (3) và (4)

 ADOE
ABC
S 1
=
S 6
– Tính được: S = 12cm ABC 2 . Từ đó  S = 2cm ADOE 2
Bài 11. Cho ΔABC có diện tích là S. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các
điểm M, N, P sao cho AM = 2BM, BN = 2CN, CP = 2AP. Tính diện tích tam giác
MNP theo S?

Phân tích: Theo đề bài biết AM = 2BM, BN =
2CN, CP = 2AP và diện tích ΔABC là S nên tính
được diện tích ΔAMP, ΔBMN, ΔCNP. Từ đó
tính được diện tích ΔMNP

Hướng dẫn:

– Nối A với N
– Ta có ΔABN và ΔABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh A

 ABN
ABC
S BN
=
S BC
mà BN = 2CN nên BN 2 =
BC 3

2 3
ABN
ABC
S
=
S
Ta có ΔNBM và ΔABN có chung đường cao từ đỉnh N  NBM
ABN
S BM
=
S BA
Mà AM = 2BM nên BM 1 =
BA 3
 NBM
ABN
S 1
=
S 3

Từ đó

 ABN NBM
ABC ABN
S S 2 1 2
. = . =
S S 3 3 9
 NBM
ABC
S 2
=
S 9

NBM
2
S = S
9
– Tương tự ta chứng minh được: S = S MAP 2
9
, NCP
2
S = S
9
– Có
S = S S S S MNP ABC AMP BMN CNP   
Do đó: 1
3
MNP    
2 2 2
S = S S S S S
9 9 9
A
B C
M
N
P
18
 Loại 4. Sử dụng tính chất: tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng
bình phương tỉ số đồng dạng.
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Lập hệ thức liên hệ giữa diện tích của đa giác
cần tính (hoặc liên quan) và diện tích của các đa giác đã biết diện tích (hoặc có thể
tính được diện tích). Từ đó tính được diện tích đa giác.
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng a cm2 và AB = AC. Gọi M
là trung điểm của BC. Gọi K là giao điểm của của hai đường chéo AC và DM.
Tính diện tích tứ giác AKMB theo a?
( Trích đề thi chọn HSG huyện Hải Hậu năm học 2009 – 2010)
Phân tích: Nhận thấy S = S S AKMB ABC CKM  do đó để tính diện tích tứ giác
AKMB ta tính diện tích ΔABC và ΔKCM theo a.
Hướng dẫn:
– Chứng minh ΔABC = ΔCDA để  S = S S ABC ACD ABCD 1 a
2 2
  (cm2)
– Chứng minh ΔCKM ∽ ΔCAB 
2 2
CKM
CAB
S CK 1 1
=
S CA 2 4
   
     
   

CKM CAB
1 1 a a
S = S .
4 4 2 8
  (cm2)
– Có
AKMB ABC CKM
a a 3a
S = S S
2 8 4
    (cm2)
K
E
M
C
A
D
B
19
Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = a, BC = b. Kẻ AH  BD ( H thuộc
BD). Tính diện tích tam giác AHB?
Phân tích: Nhận thấy ΔAHB ∽ ΔDHB và
diện tích ΔDAB tính được nên để tính diện
tích ΔAHB ta đi tính tỉ số đồng dạng của
ΔAHB và ΔDHB.
Hướng dẫn:
– Tính diện tích tam giác ABD: S = AB.AD ABD 1 a.b
2 2

– Chứng minh: ΔAHB ∽ ΔDHB ( g-g)


2 2
AHB
2
DAB
S AB AB
=
S DB BD
 
  
  (1)
– Tính BD2: áp dụng định lý Pitao vào ΔDAB ta có:
BD = AB AD a b 2 2 2 2 2    (2)
– Từ (1) và (2) 
2
AHB
2 2
DAB
S a
=
S a b 

2 2 3
AHB DAB 2 2 2 2 2 2
a a ab a b
S = .S .
a b a b 2(a b ) 2
 
  
(đvdt)
Bài 14. Cho hình thang ABCD ( AD // BC), hai đường chéo cắt nhau ở O. Tính
diện tích tam giác AOB biết diện tích tam giác AOD là 169 cm2 và diện tích tam
giác BOC là 196 cm2.

Phân tích: Nhận thấy ΔAOB và ΔAOD có
chungđườngcaotừđỉnhAnên
và diện tích ΔAOD đã biết.

AOB
AOD
S BO
=
S OD
Do đó, cần tính được tỉ số BO
OD
H
C
A D
B
O
A D
B C
20
Hướng dẫn:
– Chứng minh: ΔOBC ∽ ΔDOA 
2
BOC
DOA
S OB
=
S OD
 
 
  
2
OB 196
OD 169
 
  
 

OB 14
OD 13

– Có ΔAOB và ΔAOD có chung chiều cao xuất phát từ đỉnh A  AOB
AOD
S OB
=
S OD

AOB AOD
OB 14
S = .S .169 182
OD 13
 

(cm2)

Bài 15. Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = 3a, BC = 4a. Các đường phân giác

AD và BE cắt nhau tại I, trung tuyến BM, trọng tâm G. Tính= ?

EIGM
ABC
S S
Phân tích: Dự đoán IG // AC nên ΔBIG ∽ ΔBEM và G là trọng tâm nên tính

được

EIGM
BEM
S S

. Sau đó tính

BEM
ABC
S S

từ đó tính được

EIGM
ABC
S S
Hướng dẫn:
– Vì BM là trung tuyến, M là trọng tâm  BG 2
GM
 (1)
– ΔABE có AI là phân giác  BI AB
IE AE
 (2)
ΔABC có AE là phân giác  AE AB
EC BC
 
AE AB
AE EC AB BC

 
G
I M
D
E
A
B C
21

AB AB BC AB BC 2a 4a
2
AE AE EC AC 3a
  
   

(3)
Từ (2) và (3)  BI 2
IE
 Kết hợp với (1)  BG BI
GM EI

– Từ BG BI
GM EI
 chứng minh được: ΔBIG ∽ ΔBEM 
2
BIG
BEM
S BG
S BM
 
  
 

2
BIG
BEM
S 2 4
S 3 9
 
   
   S S BEM BIG S 9 BEM   9 4   SS 9 EIGM BEM  5

(I)

– Có ΔAEB và ΔABC có chung đường cao từ đỉnh B nên AEB
ABC
S AE
S AC

Ta có: AE AB
AE EC AB BC

 

AE 2a 1
AC 2a 4a 3
 

 AEB
ABC
S 1
S 3

(4)
– Có ΔABM và ΔABC có chung đường cao từ đỉnh B nên(5)

ABM
ABC
S AM 1
S AC 2
  Từ (4) và (5)  ABM AEB
ABC ABC
S S 1 1
S S 2 3
    BEM
ABC
S 1
S 6

(II)

– Từ (I) và (II)  EIGM BEM
BEM ABC
S S 5 1
. .
S S 9 6
  EIGM
ABC
S 5
S 54

Mở rộng: Cũng với dữ kiện của bài tập trên cho biết thêm a = 2cm. Tính diện tích
tứ giác EIGM?
Hướng dẫn:
– Khi a = 2cm thì AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm khi đó nửa chu vi p = 9 cm.
– Sử dụng công thức Herong ta tính được diện tích ΔABC:
S p.(p a)(p b)(p c) 9.(9 4)(9 6)(9 8) 3 5 ABC          (cm2)
– Áp dụng kết quả bài tập trên ta có: S .S .3 5 EIBMC ABC 5 5 5 5
54 54 18
   (cm2)
22
Loại 5: Tính diện tích đa giác bằng phương pháp đại số
Phương pháp giải: Dùng phương pháp đặt ẩn là diện tích đa giác cần tính ( hoặc là
yếu tố để tính diện tích). Sử dụng các tính chất của diện tích lập các hệ thức liên hệ
giữa các ẩn và dữ kiện đã biết. Tìm ẩn bằng các phương pháp đại số, từ đó tính
được diện tích đa giác cần tính.
Bài 16. Cho ΔABC có diện tích là S ( đvdt). Trên cạnh AB lấy điểm M. trên
cạnh AC lấy điểm N sao cho: AM = 3MB, AN = 4NC. Gọi O là giao điểm của
BN và CM. Tính diện tích ΔAOB và ΔAOC theo S?

Phân tích: Nhận thấy không thể biễu diễn
diện tích riêng ΔAOB hoặc ΔAOC theo diện
tích của ΔABC mà chỉ có thể biểu diễn hệ
thức liên hệ giữa diện tích của cả hai tam
giác theo diện tích ΔABC. Nên trong bài tập
này ta dùng cách đặc biệt để tính diện tích

của 2 tam giác ΔAOB và ΔAOC.
Hướng dẫn:
– Đặt S x AOB  và S y AOC 

– Có

AN 4
AC 5


AON AOC
4 4
S .S .y
5 5
  ( vì ΔAON và ΔAOC có chung đường cao từ đỉnh O)

ABN ABC
4 4
S .S .S
5 5
  ( vì ΔABN và ΔABC có chung đường cao từ đỉnh B)

S S S ABN AOB AON    x y S 4 4
5 5
  (1)
– Tương tự có AM 3
AB 4


AOM AOB
3 3
S .S .x
4 4
  ( vì ΔAOM và ΔAOB có chung đường cao từ đỉnh O)

ACM ABC
3 3
S .S .S
4 4
  ( vì ΔACM và ΔABC có chung đường cao từ đỉnh C)
O
M
B
A
C
N
23

S S S ACM AOC AOM    3 3 x y S
4 4
  (2)
– Từ (1)  5 x y S
4
  
5
y S x
4
  thay vào (2) ta được: 3 5 3 x S x S
4 4 4
  

1 1
S x
4 2
 
1
x S
2
 từ đó tìm được y S 3
8

Vậy S S AOB 1
2
 và
AOC
3
S S
8

.

Bài 17. Cho ΔABC, có BC = a, chiều cao AH = h. Giả sử có hình vuông MNPQ
nội tiếp tam giác với M AB N AC   ; và P Q BC ;  . Tính diện tích hình vuông
MNPQ theo a và h?
Phân tích: Để tính diện tích hình vuông ta đi tính
độ dài cạnh của hình vuông.
Hướng dẫn:
– Gọi I là giao điểm của AH và MN
– Gọi độ dài cạnh hình vuông MNPQ là x
– Chứng minh được HI = x
 AI = AH – HI = h – x;  S AI.MN .x.(h x) AMN 1 1
2 2
  
– Tứ giác BMNC là hình thang có: S HI.(MN BC) .x.(x a) BMNC 1 1
2 2
   
– Có
S S S AMN BMNC ABC    1 1 1 .x.(h x) x.(x a) a.h
2 2 2
   
 x.(h x) x.(x a) a.h      x.h x x ax a.h     2 2

a.h
x
a h

. Từ đó tính được

2
MNPQ
a.h
S
a h
 
  
  
I
A H
N P
M Q
B C
24
II. DẠNG 2. CHỨNG MINH HỆ THỨC HÌNH HỌC SỬ DỤNG DIỆN TÍCH
Loại 1. Chứng minh hệ thức hình học sử dụng diện tích đa giác.
Bài 1. Chứng minh rằng trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền
bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. ( Định lý Pitago)
Cụ thể: Cho ΔABC vuông tại A, Chứng minh BC2 = AB2 + AC2
Nếu đặt BC = a, AB = c, AC = b thì chứng minh: a2 = b2 + c2.
Phân tích: Có nhiều cách để chứng minh định lý

trên, trong đó có thể sử dụng diện tích đa giác để
chứng minh.
Vẽ 4 tam giác bằng tam giác ABC và ghép hình

như hình sau:
Hướng dẫn:
– Theo cách ghép hình trên ta có tứ giác ADFH là

hình vuông có cạnh là b + c
– Chứng minh được tứ giác BCEG là hình vuông có
cạnh là a

 S (b c) ADFH   2
 S a BCEG  2
– Tam giác ABC vuông tại A có S b.c ABC 1
2

– Ta có
S 4.S S ADFH ABC BCEG    (b c) 4. b.c a 2 2 1
2
  
 b 2bc c 2bc a 2 2 2      b c a 2 2 2   ( đpcm)
Bài 2. Cho tam giác ABC, D và E lần lượt thuộc các cạnh AB và AC . Chứng
minh rằng nếu DE // BC thì
AC
AE
AB
AD
 ( Định lý Talet)

Phân tích: Nhận thấy

nên để chứng minh

CA
CAB
AD S
AB S

D BAE
BAC
AE S
AC S
 AC
AE
AB
AD

ta đưa về chứng minh S S BAE CA  D. Để chứng minh S S BAE CA  D đi chứng minh
S S BDE C  DE
c
a
b
A
B
C
c
b c
b
a
b c
c b F
E
H G
C D
A B
25
Hướng dẫn:
– Vẽ BH  DE ( H DE) và CK  DE ( K  DE)
– Vì DE // BC nên chứng minh được BH = CK từ
đó chứng minh được: S S BDE C  DE 
S S S S BDE ADE C ADE    DE  S S BAE CA  D
– Có ΔCDA và ΔABC có chung đường cao từ đỉnh C nên: CA
CAB
S AD
S AB

D
Có ΔBEA và ΔABC có chung đường cao từ đỉnh B nên: BAE
BAC
S AE
S AC

– Mà
S S BAE CA  D  CA BAE
CAB BAC
S S
S S

D

AC
AE
AB
AD
 ( đpcm)
Bài 3. Cho ABC, AD là đường phân giác (D BC).
Chứng minh: DB AB
DC AC
 ( Định lý Tính chất đường phân giác của tam giác)

Phân tích: Nhận thấy

A B
A C
DB S
DC S

D D
ΔADB và ΔADC có đường cao xuất phát từ

đỉnh D bằng nhau do đó:từ đó

A B
A C
S AB
S AC

D D
chứng minh được DB AB
DC AC

Hướng dẫn:
– Kẻ các đường cao DH và DK của ΔADB và ΔADC
– Vì AD là phân giác của BAC nên chứng minh được DH = DK
– Có ΔADB và ΔADC có chung đường cao hạ từ đỉnh A nên: A B
A C
S DB
S DC

D D
(1)
H E K
A
B C
D
K
H
D
A
B C
26
– Lại có A B
A C
1
.DH.DB
S 2
S 1
.DK.DC
2

D D
mà DH = DK nên A B
A C
S AB
S AC

D D
(2)
– Từ (1) và (2)  DB AB
DC AC
 (đpcm)
Bài 4. Cho ABC, gọi D, E, F là các điểm thuộc các cạnh BC, AC, AB sao cho
AD, BE và CF đồng quy tại O. Chứng minh: DB EC F . . 1
DC E FB

A
A
.( Định lý Ceva )
Phân tích: Để chứng minh định lý Ceva
có nhiều cách trong đó có cách sử dụng
diện tích đa giác. Sử dụng tính chất tỉ số
của hai tam giác có chung đường cao và
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Biểu
diễn các tỉ số bằng tỉ số diện tích của các
tam giác có liên quan, từ đó chứng minh
được DB EC F . . 1
DC E FB

A
A
Hướng dẫn:
– Có ΔOFA và ΔOFB có chung đường cao xuất phát từ đỉnh O nên: OFA
OFB
S F
S FB

A
Có ΔCFA và ΔCFB có chung đường cao xuất phát từ đỉnh C nên: CFA
CFB
S F
S FB

A
Từ đó  CFA OFA CFA OFA OFA
CFB OFB CFB OFB OFB
F S S S S S
FB S S S S S

   

A
– Chứng minh tương tự ta chứng minh được:
ODB
ODC
S
DC S

DB

– Từ đó ta có:

OEC
OE
S
E S

A
EC
A
O B OEC OFA
O C OE OFB
DB EC F S S S
. . . . 1
DC E FB S S S
 
D
D A
A
A
( đpcm)
F
O
B D C
A
E
27
Bài 5. Cho ΔABC, một đường thẳng cắt các cạnh AB, AC và cạnh BC (kéo dài)
lần lượt tại M, N, P. Chứng minh: MA PB . . 1
MB PC NA

NC
( Định lý Menelaus)
Phân tích: Cũng có nhiều cách để
chứng minh được định lý Menelaus,
trong đó có cách sử dụng diện tích
đa giác. Cách chứng minh sử dụng tỉ
số diện tích của hai tam giác có
chung đường cao kết hợp sử dụng
tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Hướng dẫn:
– Nối B với N, A với P.
– Có: ΔNMA và ΔNMB có chung đường cao xuất phát từ đỉnh N nên:
NMA
NMB
S
S MB

MA
ΔPMA và ΔPMB có chung đường cao xuất phát từ đỉnh P nên: PMA
PMB
S
S MB

MA
 PMA NMA PMA NMA NPA
PMB NMB PMB NMB NPB
S S S S S
MB S S S S S

   

MA
– Có : ΔNPB và ΔNPC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh N nên: NPB
NPC
S PB
S PC

– Có: ΔPNC và ΔPNA có chung đường cao xuất phát từ đỉnh P nên: PNC
PNA
S NC
S NA

– Từ đó ta có:

NPA NPB PNC
NPB NPC PNA
MA PB S S S
. . . . 1
MB PC NA S S S
 
NC
(đpcm).
Bài 6. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD) có 2 đường chéo AC và BD cắt
nhau tại O. Gọi diện tích của các tam giác OAB, OCD, ACD, ABC lần lượt là S1,

S2, S3, S4. Chứng minh:

1 2
4 3
S S
1
S S
 
P
A
B C
M
N
28

Phân tích: Để chứng minh đượcta sử

1 2
4 3
S S
1
S S
  dụng tỉ số diện tích của hai tam giác có chung
chiều cao đua hai phân số khôn cùng mẫu thành
hai phân số có cùng mẫu rồi cộng hai phân số có
cùng mẫu.
Hướng dẫn:
– Có: ΔOAB và ΔABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh B nên:
OAB
ABC
S
S AC

OA
hay 1
4
S
S AC

OA
– Có: ΔOCD và ΔACD có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên:
OC
ACD
S
S AC

D OC
hay 2
3
S
S AC

OC

– Từ đó suy ra:

1 2
4 3
S S OA OC AC
1
S S AC AC AC AC

     
OA OC
( đpcm)
Bài 7. Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng
minh rằng:
a) HD HE HF 1
AD BE CF
   b) AF AE AH
FB EC HD
 
Phân tích: Để chứng minh tổng của
ba phân số bằng 1 thường phải biến
đổi ba phân số thành ba phân số có
cùng mẫu để cộng các phân số.
Trong bài tập này ta sử sụng tỉ số
diện tích để đưa các phân số thành
các phân số có cùng mẫu chính là
diện tích của ΔABC.
Hướng dẫn:
H
D
F
E
A
B C
O
A B
D C
29
a) Chứng minh: HD HE HF 1
AD BE CF
  
– Có: ΔHBC và ΔABC có chung cạnh BC, hai đường cao tương ứng với BC là HD
và AD nên: HBC
ABC
S H
S A

D D
– Chứng minh tương tự ta được: HAC
ABC
S HE
S BE
 và HAB
ABC
S HF
S CF

– Từ đó ta có: HBC HAC HAB
ABC ABC ABC
H HE HF S S S
A BE CF S S S
    
D D
HBC HAC HAB ABC
ABC ABC
S S S S
1
S S
 
  

(đpcm)

b) Chứng minh : AF AE AH
FB EC HD
 
– Có : ΔHFA và ΔHFB chung đường cao hạ từ đỉnh H nên: HFA
HFB
S F
S FB

A
ΔCFA và ΔCFB chung đường cao hạ từ đỉnh C nên: CFA
CFB
S F
S FB

A
 CF CF HFA CHA HFA
CFB HFB CFB HFB CHB
F S S S S S
FB S S S S S

   

A A A
– Chứng minh tương tự ta có: BHA
BHC
S
EC S

EA
 HF HE
HFB HEC
F E S S
FB EC S S
A A    A A

– Suy ra:

CHA CHA BHA BHA
CHB CHB CHB
F E S S S S
FB EC S S S

   
A A
(1)
– Có: ΔBHA và ΔBHD chung đường cao hạ từ đỉnh B nên: BHA
BH
S
S H

D
HA
D
ΔCHA và ΔCHD chung đường cao hạ từ đỉnh C nên: CHA
CH
S
S H

D
HA
D
 BHA CHA BHA CHA BHA CHA
BH CH BH CH BHC
S S S S S S
H S S S S S
 
   

D D D D
HA
D
(2)
– Từ (1) và (2)  F E HA
FB EC H
 
A A
D
( đpcm)
30
Bài 8. Cho ΔABC nhọn, gọi D, E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AB sao
cho AD, BE, CF đồng quy tại O. Chứng minh: OA OB OC 2
AD BE CF
   .
Phân tích: Tương tự bài tập 6. Trong bài tập này ta
sử sụng tỉ số diện tích của 2 tam giác có chung chiều
cao và sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhai để
đưa các phân số thành các phân số có cùng mẫu
chính là diện tích của ΔABC.
Hướng dẫn:

– Có: ΔBOA và ΔBAD chung đường cao hạ từ đỉnh B nên:

BOA
BA
S S

D
OA
AD

– Có: ΔCOA và ΔCAD chung đường cao hạ từ đỉnh C nên:

COA
CA
S S

D
OA
AD
 BOA COA BOA COA BOA COA
B C B C BAC
S S S S S S
S S S S S
 
   

DA DA DA DA
OA
AD
(2)

– Chứng minh tương tự ta có:

BOA BOC
BAC
S S
BE S


OB

COA COB
BAC
S S
CF S


OC
– Từ đó suy ra:
AOB AOC BOA BOC COA COB
BAC BAC BAC
OA OC S S S S S S
AD BE CF S S S
  
    
OB

AOB AOC BOC ABC
BAC ABC
OA OC 2(S S S ) 2
2
AD BE CF S S
 
    
OB S
(đpcm)
Mở rộng: Từ kết quả trên ta chứng minh được: OD OE OF 1
AD BE CF
   .
Hướng dẫn:
– Ta có: OD OA AD OA 1
AD AD AD

  
,
OE OB BE OB
1
BE BE BE

   và
OF OF CF OC
1
CF CF CF

  
– Từ đó ta có: OD OE OF OA OB OC 1 1 1 ( ) 3 2 1
AD BE CF AD BE CF
           (đpcm)
F
O
B D C
A
E
31
Loại 2: Chứng minh đẳng thức diện tích.
Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của diện tích đa giác như: cộng diện
tích, tỉ số diện tích của hai tam giác có chung cạnh hoặc chung đường cao, tỉ số
diện tích của hai tam giác đồng dạng, công thức tính diện tích… Chứng minh hai đa
giác hoặc tổng các đa giác có diện tích bằng nhau từ đó chứng minh được đẳng
thức diện tích.
Bài 9. Cho hình thang ABCD ( AB//CD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau
tại O. Chứng minh: S S AO BOC D 
Phân tích: Nhận thấy ΔACD và ΔBCD có chung
cạnh và chiều cao bằng nhau nên diện tích bằng
nhau. Sử dụng phương pháp cộng diện tích ta chứng
minh được S S AO BOC D 
Hướng dẫn:
– Kẻ AH  DC ( H DC), BK  DC ( K DC)
– Chứng minh được AH = BK
– Có:
AC
1
S AH.C
2
D  D , S BK.C BC 1
2
D  S S AC BC D D 

S S S S AO OC BO OC D D D D     S S AO BO D D  (đpcm)
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì trên cạnh CD, AM cắt
BD tại O. Chứng minh rằng:
S S S ABO DMO BMC   .
Phân tích: Nhận thấy tứ giác ADMB là
hình thang có hai đường chéo cắt nhau tại
O. Theo kết quả Bài 9 chứng minh được
S S AO BOM D  . Vì ABCD là hình bình
hành nên cũng chứng minh được
O
C
A
D
B
M
H K
O
A B
D C
32
S S AB BCD D  từ đó dùng phương pháp cộng diện tích ta chứng minh được:
S S S ABO DMO BMC  
Hướng dẫn
– Có ABCD là hình bình hành nên chứng minh được: ΔADB = ΔCBD

S S AB BCD D  (1)
– Có DM // AB nên tứ giác DMBA là hình thang có hai đường chéo cắt nhau tại
O. Theo kết quả Bài 10, ta chứng minh được: S S AO BOM D  (2)
– Từ (1) và (2)  S S S S AB AO BCD BOM D D     S S S AOB DOM BMC   (đpcm)
Bài 11. Cho ΔABC trên cạnh AB và AC lấy lần lượt các điểm M và N sa

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *