O₂ Education

Tag: toán 9

  • Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

    Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

    Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

    Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn là một kiến thức hình học quan trọng của lớp 9, thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

    Mời các em tham khảo thêm một số dạng toán thường xuất hiện trong kì thi vào 10:

    1. Lý thuyết góc ở tâm, số đo cung

    Góc ở tâm là gì?

    Trong đường tròn, góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

    Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn 1
    $\widehat{AOB}$: góc ở tâm của $\left( O \right)$

    Số đo cung trong đường tròn

    Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó $\left( \widehat{AOB}=sđ\overset\frown{AB} \right)$.

    1. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ $ và số đo của cung nhỏ.
    2. Số đo của nửa đường tròn bằng $180^\circ $.

    Chú ý: Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^\circ $, cung lớn có số đo lớn hơn $180^\circ $.

    Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

    1. Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
    2. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

    Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$ thì $$sđ\overset\frown{AB}=sđ\overset\frown{AC}+sđ\overset\frown{CB}$$

    Ví dụ. Cho đường tròn $\left( O\,;R \right)$, trên$\left( O \right)$ lấy các điểm $A,\,B,\,C$sao cho $AB=R$, $BC=R\sqrt{2}$, tia $BO$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BC$.

    1. Tính số đo $\widehat{BOC}$.
    2. Tính số đo các cung $\overset\frown{AB}\,,\,\overset\frown{AC},\,\overset\frown{BC}$.
    3. Cho điểm $D$ là điểm nằm trên cung lớn $AC$sao cho $sđ\overset\frown{CD}=120^\circ $. Tính số đo cung $AD$.

    Lời giải

    Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn 2

    a) Xét \(\Delta OBC\) cân tại $O$ ($OB=OC=R$),  ta có #$CB^{2}={{\left( R\sqrt{2} \right)}^{2}}=2{{R}^{2}};\,\,O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}={{R}^{2}}+{{R}^{2}}=2{{R}^{2}}$$ Suy ra $O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta OBC$ vuông cân tại $O$.

    Như vậy $\widehat{COB}=90^\circ $.

    b) Ta có $\widehat{COB}=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{CB}=90^\circ $
    Tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{AOB}=60^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AB}=60^\circ $
    $\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=150^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{AC}=150^\circ $.

    c) $\widehat{DOA}=360^\circ -\left( \widehat{AOC}+\widehat{COD} \right)=360^\circ -\left( 150^\circ +120^\circ \right)=90^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{DA}=90^\circ $.

    2. Bài tập Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn

    Bài 1. Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat{A}=70^\circ \). Vẽ đường tròn \(\left( A;AB \right)\), \(D\) là điểm trên \(\left( A \right)\) sao cho sđ\(\overset\frown{CD}=30^\circ \). Tính số đo \(\widehat{BAD}\).

    Lời giải

    bài tập góc ở tâm

    TH1: Điểm $D$ nằm trong cung lớn $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{1}}$
    \(\widehat{BA{{D}_{1}}}=\widehat{BAC}+\widehat{CA{{D}_{1}}}=70^\circ +30^\circ =100^\circ \)
    TH2: Điểm $D$ nằm trong cung nhỏ $CB$ khi đó $D\equiv {{D}_{2}}$
    \(\widehat{BA{{D}_{2}}}=\widehat{BAC}-\widehat{{{D}_{2}}AC}=70^\circ -30^\circ =40^\circ \)

    Bài 2. Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(OA=2R\). Vẽ \(AB,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\). Tính sđ\(\overset\frown{BC}\), độ dài cạnh \(BC\) theo \(R\).

    Lời giải

    Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn 3

    Xét tam giác $AOB$ vuông tại $B$ có $AO=2BO$ nên $\widehat{OAB}=30^\circ,\,\,\widehat{AOB}=60^\circ $
    $\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{BOA}=60^\circ \Rightarrow \widehat{BOC}=120^\circ $ $\Rightarrow $sđ $\overset\frown{BC}=120^\circ $.

    Bài 3. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(AB\) là dây cung \(\left( AB\ne 2R \right)\). Trên cung nhỏ \(AB\) lấy các điểm \(E,\,F\)sao cho \(\overset\frown{AE}=\overset\frown{EF}=\overset\frown{FB}\). Bán kính \(OE,\,OF\) cắt \(AB\) lần lượt tại \(C\) và \(D\). Chứng minh rằng \(AC=BD>CD\).

    Lời giải

    Hình 9: Góc ở tâm, số đo cung trong đường tròn 4

    Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OBD}$.
    Khi đó: $\widehat{OAC}=\widehat{OBD};OA=OB;\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$
    \(\Rightarrow \Delta OCA=\Delta ODB\,\)(g-c-g).
    $\Rightarrow AC=BD$.
    Xét $\Delta OBC$ có phân giác $OD$ $\Rightarrow \frac{OC}{OB}=\frac{DC}{DB}$.
    Mà $OC<OB\Rightarrow CD<BD$.

    Bài 4. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\), \(AB\) là dây cung \(\left( AB\ne 2R \right)\). Trên dây \(AB\) lấy hai điểm \(C\) và \(D\) sao cho \(AC=CD=DB\). Vẽ bán kính \(OE\) qua \(C\), bán kính \(OF\) qua \(D\). Chứng minh rằng:
    a) \(\overset\frown{AE}=\overset\frown{BF}\).
    b) \(\overset\frown{AE}<\overset\frown{EF}\).

    Lời giải

    a) Ta có: $OA=OB\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}$.
    Khi đó: $AC=BD;\widehat{A}=\widehat{B};OA=OB\Rightarrow \Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOD}$.

    b) Từ câu a ta có $\Delta OAC=\Delta OBD\Rightarrow OC=OD$$\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại $O$.
    khi đó $\widehat{CDO}<90^\circ \Rightarrow \widehat{CDF}>90^\circ $ ($\widehat{CDF}+\widehat{CDO}=180^\circ $)
    $\Rightarrow CF>CD$ hay $CF>AC$ ($AC=CD$).
    Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OCF$ có $OA=OF$; $OC$ chung và $CF>AC$ $\Rightarrow \widehat{COF}>\widehat{COA}$.

    Bài 5. Cho \(\Delta ABC\) đều. Về phía ngoài \(\Delta ABC\) vẽ nửa đường tròn\(\left( O \right)\) đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\)lấy các điểm \(M,\,N\) sao cho \(\overset\frown{BM}=\overset\frown{MN}=\overset\frown{NC}\), \(AM\) và \(AN\) cắt \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Chứng minh: \(BE=BF=FC\).
    Lời giải
    $OB=OM;\widehat{BOM}=60^\circ $ $\Rightarrow \Delta OBM$ đều.
    $AB=AC;\widehat{ABM}=\widehat{ACN}=120^\circ ;BM=CN$$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$(c-g-c)
    $\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAN}$.
    $\widehat{BAE}=\widehat{CAF};AB=AC;\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=60^\circ \Rightarrow \Delta ABE=\Delta ACF$ (g-c-g)
    $\Rightarrow BE=CF$ (1).

    $\Delta OBM$ đều nên $AC=2BO=2BM\Rightarrow \frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$.
    Xét $\Delta EBM;\Delta ECA$ có $\widehat{BEM}=\widehat{CEA};\widehat{MBE}=\widehat{ACE}=60^\circ $
    $\Rightarrow \Delta EBM\backsim \Delta ECA$$\Rightarrow \frac{EB}{EC}=\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}$; $BE=CF$
    $\Rightarrow BE=EF$ (2).
    Từ (1) và (2) suy ra: $BE=EF=FC$.

  • Bài toán về năng suất

    Bài toán về năng suất

    Cách giải Bài toán về năng suất

    Năng suất là gì? Năng suất chính là khối lượng công việc làm trong một thời gian nhất định.

    Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất, ta cần phải nhớ:

    1. Bài toán về năng suất có 3 đại lượng: khối lượng công việc, năng suất và thời gian.
    2. Mối quan hệ giữa 3 đại lượng:
      • Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian
      • Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian
      • Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất
    3. Bài toán về công việc làm chung, làm riêng, hay vòi nước chảy chung, chảy riêng thì ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.
      • Suy ra năng suất là 1/ Thời gian.
      • Lập phương trình theo: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.

    Ví dụ Bài toán về năng suất

    Bài toán 1. (Dạng toán công việc chung, công  việc riêng)

    Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy  đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày  thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.

    Lời Giải:

    Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x, (ha), (  x> 0).

    Thời gian đội dự định cày là: $\frac{x}{40}$ (giờ).

    Diện tích mà đội thực cày là: (x + 4),  (ha).

    Thời gian mà đội thực cày là: $\frac{x+4}{52}$ (giờ).

    Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong trước thời hạn 2 ngày do đó ta có phương trình: $\frac{x}{40}$ – $\frac{x+4}{52}$= 2.

    Giải phương trình trên ta được x= 360.

    Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha.

    Bài toán 2. (Dạng toán công việc chung, công  việc riêng)

    Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm được 25% khối lượng công việc. Hỏi mỗi người thợ làm  một mình  công việc đó trong bao lâu.

    Lời Giải:

    Gọi thời gian để Người thứ nhất làm  một mình xong công việc là x, (giờ), x > 16.

    Gọi thời gian để Người thứ hai làm  một mình xong công việc là y, (giờ), y > 16.

    Trong 1 giờ Người thứ nhất và người thứ hai làm được khối lượng công việc tương ứng là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ .

    Vì hai người làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có phương trình (1) : $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{16}$

    Sau 3 giờ Người thứ nhất làm được 3. $\frac{1}{x}$ (KLCV).

    Sau 6 giờ Người thứ hai làm được 6. $\frac{1}{y}$ (KLCV).

    Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm được 25% khối lượng công việc do đó ta có phương trình:  $\frac{3}{x}$ + $\frac{6}{y}$ = $\frac{1}{4}$.

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} \\ & \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}. \\ \end{align} \right.$$

    Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}& x=24 \\& y=48 \\\end{align} \right.$

    Vậy thời gian để người thứ nhất làm  một mình xong công việc là: 24 (giờ).

    Thời gian để người thứ hai làm  một mình xong công việc là: 48 (giờ).

    Bài toán 3. (Dạng toán công việc chung, công  việc riêng)

    Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau  bao lâu sẽ hoàn thành công việc.

    Lời Giải:

    Gọi thời gian tổ hai làm một nmình hoàn thành công việc là x, (giờ), x> 12.

    Trong 1 giờ tổ hai làm được khối lượng công việc: $\frac{1}{x}$ (KLCV).

    Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung được khối lượng công việc là:  $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$ (KLCV).

    Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 – $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ (KLCV).

    Vì tổ hai hoàn thàmh khối lượng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}$: x = 10.

    Giải PTBN ta được x= 15.    Vậy thời gian tổ hai làm  một mình hoàn thành khối lượng công việc là: 15 giờ.

    Bài toán 4. (Dạng toán công việc chung, công  việc riêng)

    Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của đội,  biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.

    Lời Giải:

    Gọi số công nhân của đội là x, (người), x> 0, (nguyên dương).

    Số ngày hoàn thành công việc với x người là: $\frac{420}{x}$ (ngày).

    Số công nhân sau khi tăng 5 người là: x + 5.

    Số ngày hoàn thành công việc với x + 5  người là: $\frac{420}{x+5}$ (ngày).

    Vì nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày do đó ta có phương trình:

    $\frac{420}{x} -\frac{420}{x+5}  = 7.$

    Giải phương trình bậc hai trên ta được hai nghiệm x1  = 15; x2 = – 20 (loại).

    Vậy số công nhân của đội là 15 người.

    Bài toán 5. (Dạng toán công việc chung, công  việc riêng)

    Hai đội xây dựng  cùng làm chung một công việc và dự đinh  xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội  1  được điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do  cải tiến kỹ thuật,  năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đẵ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao  nhiêu ngày sẽ  làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thường).

    Lời Giải:

    Gọi thời gian để  đội I làm  một mình xong công việc là x, (ngày), x > 12.

    Gọi thời gian để đội II làm  một mình xong công việc là y, (ngày), y > 12.

    Trong 1 ngày đội  I và đội  II làm được khối lượng công việc tương ứng là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ .

    Vì hai đội dự định làm chung trong 12 ngày  thì xong KLCV do đó ta có phương trình (1)  $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{12}$

    Phần công việc hai đội làm chung trong  8 ngày là $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$ (KLCV).

    Phần việc còn lại đội II phải làm là: $1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (KLCV).

    Vì năng suất tăng gấp đôi nên đội II  đẵ làm xong $\frac{1}{3}$  phần việc còn lại trong 3,5 ngày do ta có phương trình:$$\frac{1}{2}. \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$$

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ & \frac{7}{y}=\frac{1}{3}. \\ \end{align} \right.$$Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}& x=28 \\& y=21 \\\end{align} \right.$

    Vậy thời gian để  đội I làm  một mình xong công việc là: 28 (ngày).

    Thời gian để  đội II làm  một mình xong công việc là: 21 (ngày).

    Bài toán 6. (Dạng toán công việc chung, công  việc riêng)

    Hải và Sơn  cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu Hải làm trong 5 giờ và  Sơn làm  trong 6 giờ thì cả hai làm được $\frac{3}{4}$  khối lượng công việc. Hỏi mỗi người làm  công  việc đó  trong mấy giờ thì  xong.

    Lời Giải:

    Gọi thời gian Hải làm một mình xong công việc là x (giờ), x > $\frac{22}{3}$.

    Gọi thời gian Sơn làm một mình xong công việc là y (giờ), y > $\frac{22}{3}$.

    Năng suất  của Hải và Sơn tính theo giờ là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$.

    Vì Hải và Sơn  cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong do đó ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{3}{4}$.

    Sau 5 giờ Hải làm được KLCV là: 5. $\frac{1}{x}$; sau 6 giờ Sơn làm được KLCV là: 6. $\frac{1}{y}$.

    Vì Hải làm trong 5 giờ và  Sơn làm  trong 6 giờ thì cả hai làm được $\frac{3}{4}$ KLCV do đó ta có phương trình:$$\frac{5}{x} +\frac{6}{y} = \frac{3}{22}$$

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align}& \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{22} \\ & \frac{5}{x}+\frac{6}{y}=\frac{3}{4}. \\ \end{align} \right.$$ Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align} & x=\frac{44}{3} \\ & y=\frac{44}{3} \\ \end{align} \right.$

    Vậy Hải làm công việc đó một mình trong:   44/3  giờ , Sơn làm công việc đó một mình trong:  44/3   giờ.

    Bài toán 7. (Dạng toán vòi nước chảy chung, chảy riêng)

    Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau 4$\frac{4}{5}$ giờ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được bằng 1$\frac{1}{2}$ lượng nước chảy được  của vòi II. Hỏi  mỗi vòi chảy riêng thì trong bao  lâu đầy bể.

    Lời Giải:

    Gọi thời gian để vòi I chảy  một mình đầy bể là x, (giờ), x > $\frac{24}{5}$.

    Gọi thời gian để vòi II chảy  một mình đầy bể là y, (giờ), y > $\frac{24}{5}$.

    Trong 1 giờ vòi I và vòi II  chảy được lượng nước tương ứng là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ (bể).

    Vì hai vòi cùng chảy sau $\frac{24}{5}$ thì đầy bể do đó ta có phương trình (1) :   $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{24}$

    Vì trong 1 giờ lượng nước chảy được của vòi I bằng $\frac{2}{3}$ lượng nước chảy được của vòi II do đó ta có phương trình (2): $\frac{1}{x}$ = $\frac{3}{2}$. $\frac{1}{y}$    ;Theo bài ra ta có hệ phương trình:$$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24} \\ & \frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}. \\ \end{align} \right.$$ Giải  hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align} & x=8 \\ & y=12 \\ \end{align} \right.$

    Vậy vòi I chảy  một mình đầy bể trong 8 giờ, Vòi II chảy một mình đầy bể trong 12 giờ.

    Bài toán 8. (Dạng toán vòi nước chảy chung, chảy riêng)

    Một Máy bơm  muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một  thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm  được 10m3. Sau khi bơm được $\frac{1}{3}$ dung tích bể chứa, người công nhân  vận hành cho máy bơm công xuất lớn hơn mỗi giờ bơm được 15 m3. Do đó bể được bơm đầy trước 48 phút so  với  thời  gian quy định. Tính dung tích của bể chứa.

    Lời Giải:

    Gọi dung tích của bể chứa là x, (m3), x > 0.

    Ta có thời gian dự định để bơ   m  đầy bể là: $\frac{x}{10}$  (giờ).

    Thời gian để bơm  $\frac{1}{3}$ bể  với công suất 10 m3/s là: $\frac{x}{30}$ (giờ).

    Thời gian để bơm  $\frac{2}{3}$ bể  còn lại với công suất 15 m3/s là: $\frac{2x}{45}$.

    Do công suất tăng khi bơm  $\frac{2}{3}$ bể  còn lại nên thời gian thời gian bơm đầy trước 48 phút so với quy định do đó ta có phương trình: $\frac{x}{10}$ – ($\frac{x}{30}$ + $\frac{2x}{45}$) = $\frac{4}{5}$    ; Giải PTBN ta được x = 36.      Vậy dung tích bể chứa là 36 m3.

    Bài toán 9. (Dạng toán vòi nước chảy chung, chảy riêng)

    Hai vòi  nước cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ  hai chảy trong 12 phút thì đầy  $\frac{2}{15}$  bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới đầy bể.

    Lời Giải:

    Gọi thời gian để Vòi thứ nhất chảy  một mình đầy bể là x, (phút), x > 80.

    Gọi thời gian để Vòi thứ hai chảy  một mình đầy bể là y, (phút), y > 80.

    Công suất tính theo phút của  Vòi thứ nhất là: $\frac{1}{x}$ (Bể), vòi thứ hai là $\frac{1}{y}$  (Bể).

    Vì hai vòi cùng chảy sau 1 giờ 20 phút = 80 Phút, thì đầy bể do đó ta có phương trình (1) : $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{80}$

    Sau 10 phút Vòi 1 chảy được: 10. $\frac{1}{x}$ (Bể).   ;Sau 12 phút Vòi  2 chảy  được: 12. $\frac{1}{y}$ (Bể)

    Vì nếu mở Vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và Vòi thứ  hai chảy trong 12 phút thì đầy  $\frac{2}{15}$  bể do đó ta có phương trình: $\frac{10}{x}$ + $\frac{12}{y}$ = $\frac{2}{15}$. Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80} \\ & \frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15} \\ \end{align} \right.$$ Giải hệ phương trình ta được: x= 120 phút, y = 240 phút.

    Vậy thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 120 phút, vòi 2 là 240 phút.

  • Giải bài toán chuyển động lớp 9

    Giải bài toán chuyển động lớp 9

    Khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thường gặp các bài toán về chuyển động như chuyển động cùng chiều, chuyển động ngược chiều nhau, chuyển động xuôi dòng, chuyển động ngược dòng… Dưới đây là phương pháp giải bài toán chuyển động lớp 9.

    Cách giải bài toán chuyển động lớp 9

    • Toán chuyển động có 3 đại lượng: Quãng đường, Vận tốc, Thời gian.
    • Mối liên hệ của 3 đại lượng trên:
      • Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
      • Vận tốc = Quãng đường : Thời gian
      • Thời gian = Quãng đường : Vận tốc
    • Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau
      • Quãng đường tính bằng km, vận tốc km/h thì thời gian tính bằng giờ (h)
      • Quãng đường tính bằng m, vận tốc m/s thì thời gian tính bằng giây (s)

    Ví dụ toán chuyển động lớp 9

    Bài toán 1. (Dạng toán chuyển động)

    Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ  B về A  với vận tốc bằng $\frac{2}{3}$  vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB  mất bao lâu.

    Lời Giải

    • Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là $x$ (h), điều kiện $x>0$;
    • Ta có vận tốc Ô tô đi từ A đến B là : $\frac{AB}{x}$ (km/h);
    • Vận tốc  Ô tô đi từ B về A là: $\frac{2}{3}$ $\frac{AB}{x}$ (km/h);
    • Sau 5 giờ Ô tô đi từ A đến B đi được quãng đường là: $5. \frac{AB}{x}$ (km);
    • Sau 5 giờ Ô tô đi từ B đến A đi được quãng đường là: $5. \frac{2}{3}$. $\frac{AB}{x}$ (km);
    • Vì sau 5 giờ chúng gặp nhau do đó ta có phương trình: $5. \frac{AB}{x} + 5. \frac{2}{3}. \frac{AB}{x} = AB$;
    • Giải phương trình ta được: x = $\frac{25}{3}$.
    • Vậy thời gian Ô tô đi từ A đến B là $\frac{25}{3}$, thời gian Ô tô đi từ B đến A là $\frac{25}{2}$.

    Bài toán 2. (Dạng toán chuyển động)

    Một Ô tô du  lịch đi từ A đến C. Cùng lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn AC có một Ô tô vận tải cùng đi đến C.  Sau 5 giờ hai Ô tô gặp nhau tại C. Hỏi Ô tô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu ,  biết rằng  vận tốc  của Ô tô tải bằng $\frac{3}{5}$ vận tốc của Ô tô du lịch.

    Lời Giải

    • Gọi thời gian ô tô du lịch đi từ A đến B là $x$ (h). (điều kiện $0 < x< 5$).
    • Ta có thời gian ô tô du lịch đi từ B đến C là $(5 – x)$ (h).
    • Vận tốc xe ô tô du lịch là: $\frac{BC}{5-x}$ (km/h).
    • Ta có vận tốc xe tải là: $\frac{BC}{5}$ (km/ h).
    • Vì vận tốc  của Ô tô tải bằng $\frac{3}{5}$ vận tốc của Ô tô du lịch, nên ta có phương trình: $$\frac{BC}{5} =\frac{3}{5}.\frac{BC}{5-x}$$ Giải phương trình ta được: $x = 2$.
    • Vậy Ô tô du lịch đi từ A đến B mất 2 giờ.

    Bài toán 3 (Dạng toán chuyển động)

    Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km để đi từ thành phố A đến thành phố B  Ca nô đi hết 3  giờ 20  phút Ô tô  đi hết 2 giờ. Vận tốc Ca nô kém vận tốc Ô tô 17 km /h. Tính vận tốc  của Ca nô.

    Lời Giải

    • Gọi vận tốc của Ca nô  là $x$ (km/h). (điều kiện $x> 0$).
    • Ta có vận tốc của Ô tô là  $x + 17$  (km/h).
    • Ta có chiều dài quãng đường sông AB là: $\frac{10}{3}$x (km); chiều dài quãng đường bộ AB là: $2(x + 17)$ (km).
    • Vì đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km do đó ta có phương trình $$2(x + 17) – \frac{10}{3}x =10$$ Giải phương trình này ta được $x = 18$.
    • Vậy vận tốc của Ca nô là: 18 km/h.

    Bài toán 4 (Dạng toán chuyển động)

    Một người  đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút một người đi  xe  máy cũng đi từ A và đến B  sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc  của  mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp  2,5  lần  vân tốc xe đạp.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của người đi xe đạp  là x (km/h).(x> 0).

    Ta có vận tốc của người đi xe máy là 2,5 x  (km/h).

    Thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B là $\frac{50}{x}$ (h); Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là $\frac{50}{2,5x}$ (h).

    Vì người đi xe máy đi sau  1 giờ 30 phút và đến B sớm hơn 1 giờ so với người đi xe đạp do đó ta có phương trình:$$\frac{50}{x} – \frac{50}{2,5x} = 2,5$$ Giải phương trình bậc nhất này ta được $x = 12$.

    Vậy vận tốc của người đi xe đạp là 12 km/h, vận tốc của người đi xe máy là 30 km/h.

    Bài toán 5 (Dạng toán chuyển động)

    Một người đi xe máy từ A đến B với  vân tốc trung bình 30 km / h. Khi  đến B  người đó nghỉ 20 phút  rồi quay trở về A  với vận tốc trung bình 25 km /h. Tính quãng đường AB,  biết thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút.

    Lời Giải

    Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km).(x> 0).

    Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là $\frac{x}{30}$ (h); Thời gian người đi xe máy đi từ B đến A là $\frac{x}{25}$ (h)

    Vì người đi xe máy nghỉ tại B  20 phút và tổng thời gian cả đi và về là là 5 giờ 50 phút do đó ta có phương trình:$$\frac{x}{30} + \frac{x}{25}+ \frac{1}{3} = 5\frac{5}{6}$$ Giải phương trình này ta được $x = 75$.

    Vậy độ dài quãng đường AB là 75 km/h.

    Bài toán 6 (Dạng toán chuyển động)

    Một  Ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung  bình  40 km/ h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi  còn 60 km nữa thì được nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng đường  còn lại,  do đó Ô tô đến B sớm  hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.

    Lời Giải

    Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km).(x> 0). (Ta chỉ xét quãng đường BC khi vận tốc thay đổi)

    Ta có thời gian dự định đi hết quãng đường BC là $\frac{\frac{x}{2}+60}{40}$ (h)

    Thời gian Ô tô thực đi trên quãng đường BC sau khi tăng vận tốc thêm 10 km/h là: $\frac{\frac{x}{2}+60}{50}$

    Vì sau khi người lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng đường  còn lại,  do đó Ô tô đến B sớm  hơn 1 giờ so với dự định do đó ta có phương trình: $$\frac{\frac{x}{2}+60}{40}-\frac{\frac{x}{2}+60}{50}= 1$$ Giải PTBN ta được: $x = 280$.

    Vậy quãng đường AB dài 280 km.

    Bài toán 7 (Dạng toán chuyển động)

    Một  Ô tô dự định đi từ A đến B trong thời gian nhất định nếu xe chạy  với vận tốc 35 km/h thì đến  chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm  hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.

    Lời Giải

    Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km).(x> 0).

    Thời gian xe chạy với vận tốc 35 km/h là $\frac{x}{35}$ (h); Thời gian xe chạy với vận tốc 50 km/h là $\frac{x}{50}$ (h).

    Theo bài ra ta có phương trình: $$\frac{x}{35} – 2 = \frac{x}{50} + 1$$ Giải phương trình này ta được $x = 350$ km.

    Vậy thời gian dự định là $\frac{350}{35}$ – 2 = 8 (giờ), Quãng đường AB là 350 km.

    Bài toán 8 (Dạng toán chuyển động)

    Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đương kính 2m , xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm .  Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của  mỗi  vật.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của Vật I là $x$ (m/s). (điều kiện $x> 0$).

    Gọi vận tốc của Vật II là $y$ (m/s). (điều kiện $y> 0, x>y$).

    Sau 20 s hai vật chuyển động được quãng đường là $20x, 20y$ (m).

    Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình: $$20x – 20y = 20\pi $$

    Sau 4 s hai vật chuyển động được quãng đường là $4x, 4y$ (m).

    Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình: $$4x + 4y = 20$\pi $$

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array} 20x-20y=20\pi  \\ 4x+4y=20\pi  \\ \end{array} \right.$$ Giải hệ PT ta được: $\left\{ \begin{array} x=3\pi  \\ y=2\pi  \\ \end{array} \right.$

    Vậy vận tốc của hai vật là: 3$\pi $ (m/s) và 2$\pi $ (m/s).

    Bài toán 9 (Dạng toán chuyển động)

    Một chiếc Thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 5 giờ 20 phút một Ca nô  chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi  vận tốc của thuyền, biết rằng Ca nô chạy nhanh hơn Thuyền 12 km/h.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của của Thuyền là x (km/h).(x> 0).

    Ta có vận tốc của Ca nô là x + 12 (km/h).

    Thời gian Thuyền đi hết quãng đường 20 km là: $\frac{20}{x}$ (h).

    Thời gian Ca nô đi hết quãng đường 20 km là: $\frac{20}{x+12}$ (h).

    Vì sau 5 giờ 20 phút một Ca nô  chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km, do đó ta có phương trình: $$\frac{20}{x} – \frac{20}{x+12} = \frac{16}{3}$$ Giải phương trình bậc hai x2 + 12x – 45 =0 ta được x = 3 (TM).

    Vậy vận tốc của Ca nô là 15 km/h.

    Bài toán 10 (Dạng toán chuyển động)

    Quãng đường AB dài 270 km. Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ  hai 12 km/h,  nên đến trước Ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x (km/h).(x> 12).

    Ta có vận tốc của Ô tô thứ hai là x – 12 (km/h).

    Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là: $\frac{270}{x}$ (h).

    Thời gian Ô tô thứ  hai đi hết quãng đường AB là: $\frac{270}{x-12}$ (h).

    Vì  hai Ô tô cùng xuất phát và Ô tô thứ nhất đến B trước Ô tô thứ hai là 40 P nên ta có PT:$\frac{270}{x-12}$- $\frac{270}{x}$= $\frac{2}{3}$

    Giải PTBH ta được x= 6+12$\sqrt[{}]{34}$

    Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất 6+12$\sqrt[{}]{34}$km/h, Ô tô thứ hai là 12$\sqrt[{}]{34}$- 6  km/h.

    Bài toán 11 (Dạng toán chuyển động)

    Một Tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và  về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của Tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng  vận tốc của  dòng  nước là 4 km/h.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của Tàu thuỷ khi nước yên lặng là x (km/h).(x> 4).

    Vận tốc Tàu thuỷ khi đi xuôi dòng: x + 4 (km/h).

    Vận tốc Tàu thuỷ khi đi ngược dòng: x – 4 (km/h).

    Thời gian Tàu thuỷ đi xuôi dòng là: $\frac{80}{x+4}$ (h), Thời gian Tàu thuỷ đi ngược dòng là: $\frac{80}{x-4}$ (h).

    Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 8 giờ 20 phút do đo ta có phương trình:

    $\frac{80}{x+4}$ + $\frac{80}{x-4}$=$\frac{25}{3}$.

    Giải PTBH:  được: x = 20 (TM).

    Vậy vận tốc Tàu thuỷ khi nước yên lặng là: 20 km/h.

    Bài toán 12 (Dạng toán chuyển động)

    Hai Ca  nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến sông A đến bến sông B Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, Ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi Ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc  như  cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai Ca nô đến B cùng một lúc.

    Lời Giải

    Gọi chiều dài quãng sông A B là x (km).(x> 0).

    Ta có thời gian Canô I  chạy từ A đến B là: $\frac{x}{20}$ (h), Ta có thời gian Canô II  chạy từ A đến B là: $\frac{x}{24}$ (h).

    Trên đường đi Ca nô II dừng lại 40 phút và cùng đến B do đó ta có phương trình: $\frac{x}{20}$ – $\frac{x}{24}$=  $\frac{2}{3}$

    Giải PTBN ta được x = 80 km.           Vậy quãng đường AB là 80km.

    Bài toán 13 (Dạng toán chuyển động)

    Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm  A đến địa điểm B dài 240 km. Mỗi giờ Ô tô thứ nhất chạy chanh hơn Ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc  của mỗi Ô tô.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x (km/h).(x> 0).

    Ta có vận tốc của Ô tô thứ nhất là x + 12 km/h.

    Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là: $\frac{240}{x}$ (h).

    Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là: $\frac{240}{x+12}$ (h).

    Vì Ô tô thứ nhất đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút do đó ta có PT: $\frac{240}{x}$ – $\frac{240}{x+12}$ = $\frac{5}{3}$

    Giải PTBH ta được x= 36.               Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất 48 km/h, Ô tô thứ hai là 36 km/h.

    Bài toán 14 (Dạng toán chuyển động)

    Một Ca nô  xuôi dòng 42 km rồi ngước dòng trở lại 20 km  hết tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2 km/h. Tính vận tốc của Ca nô lúc dòng nước yên lặng.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của Ca nô khi nước yên lặng là x (km/h).(x> 2).

    Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: x + 2 (km/h).

    Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: x – 2 (km/h).

    Thời gian Ca nô đi xuôi dòng là: $\frac{42}{x+2}$ (h).

    Thời gian Ca nô đi ngược dòng là: $\frac{20}{x-2}$ (h).

    Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 5 giờ do đó ta có phương trình:  $\frac{42}{x+2}$ + $\frac{20}{x-2}$= 5.

    Giải PTBH: 5x2 – 62x + 24 = 0   ta được: x = 12 (TM).       Vậy vận tốc Ca nô khi nước yên lặng là: 12 km/h.

    Bài toán 15 (Dạng toán chuyển động)

    Hai người đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30 km, vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên đến B sớm  muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của người đi chậm là x (km/h).(x> 0).

    Ta có vận tốc của người đi nhanh là x + 3 (km/h).

    Thời gian người đi nhanh từ A đến B là $\frac{30}{x+3}$ (h).

    Thời gian người đi chậm từ A đến B là $\frac{30}{x}$ (h).

    Vì hai người đến  B sớm, muộn hơn nhau 30 phút do đó ta có phương trình: $\frac{30}{x}$ – $\frac{30}{x+3}$ = $\frac{1}{2}$

    Giải PTBH:  x2 + 3x – 180 = 0  ta được x = 12 (TM)

    Vậy vận tốc của người đi nhanh là 15km/h, vận tốc của người đi chậm là:12 km/h.

    Bài toán 16 (Dạng toán chuyển động)

    Một người đi  từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km. sau đó 1 giờ người thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai người gặp  nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của người đi từ A  là x (km/h).(x> 0).

    Thời gian người đi từ A, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: $\frac{42}{x}$ (h).

    Vận tốc của người đi từ B  là x + 4 (km/h).

    Thời gian người đi từ B, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: $\frac{36}{x+4}$ (h).

    Vì hai người gặp nhau tại C, người thứ hai đi sau người thứ nhất 1 giờ do đó ta có phương trình:$$\frac{42}{x} – \frac{36}{x+4}=1$$ Giải PTBH: x2 – 2x – 168 = 0    ta được x= 14 (TM).

    Vậy thời gian người đi từ A từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 3 giờ.

    thời gian người đi từ B từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 2 giờ.

    Bài toán 17 (Dạng toán chuyển động)

    Quãng đường AB  dài 120 km. Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B,Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến  B trước Ô tô thứ hai 24 phút. Tính vận tốc  mỗi xe.

    Lời Giải

    Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x (km/h).(x> 0).

    Ta có vận tốc của Ô tô thứ hai là x – 10 (km/h).

    `Thời  gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là:$\frac{120}{x}$ (h).

    Thời  gian Ô tô thứ hai hết quãng đường AB là:$\frac{120}{x-10}$ (h).

    Vì Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến  B trước Ô tô thứ hai 24 phút do đó ta có phương trình: $$\frac{120}{x-10}- \frac{120}{x} =\frac{2}{5}$$ Giải PT BH: x2 – 10x – 300 = 0   ta được x= 60 (TM).        Vậy vận tốc  của Ô tô thứ nhất là : 60 km/h, vận tốc  của Ô tô thứ hai là : 50 km/h.

    Bài toán 18 (Dạng toán chuyển động)

    Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu người đó tăng vận  tốc thêm  10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu người đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đường  AB.

    Lời Giải :

    Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của người đó là x  (km/h).(x> 0).

    Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của người đó là y  (h).(y> 0).

    Ta  có độ dài của quãng đường AB là x.y.

    Vì nếu người đó tăng vận  tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (1):

    (x + 10).(y-1) =xy.

    Vì nếu người đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ do đó ta có PT (2)

    (x – 10).(y+2) =xy.

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}& (x+10)(y-1)=xy \\ & (x-10)(y+2)=xy \\ \end{array} \right.$$ Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{array} & x=30 \\ & y=4 \\ \end{array} \right.$

    Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, Quãng đường AB là 120 km.

    Bài toán 19 (Dạng toán chuyển động)

    Một Ca nô xuôi dòng 1 km và ngược dòng 1km hết tất cả 3,5 phút. Nếu Ca nô xuôi 20 km  và ngược 15 km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của Ca nô.

    Lời Giải :

    Gọi  vận tốc riêng của Ca nô là x (km/p), (x> 0).

    Gọi  vận tốc riêng của dòng nước  là y ; (km/p), (y> 0) ; (x> y).

    Ta có vận tốc của Ca nô khi đi xuôi dòng là  x+ y (km/phút), ngược dòng là x – y (km/phút).

    Thời gian Ca nô xuôi dòng 1 km là $\frac{1}{x+y}$ (P). Thời gian Ca nô ngược dòng 1 km là $\frac{1}{x-y}$ (P).

    Vì tổng thời gian xuôi dòng 1 km và ngược dòng 1km hết tất cả 3,5 phút do đó ta có phương trình (1) là

    $\frac{1}{x+y}$ + $\frac{1}{x-y}$ =3,5

    Vì tổngthời gian Ca nô xuôi dòng 20 km  và ngược 15 km thì hết 1 giờ do đó ta có phương trình (2)$$\frac{20}{x+y} + \frac{15}{x-y} =60$$Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}& \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=3.5 \\ & \frac{20}{x+y}+\frac{15}{x-y}=60. \\

    \end{array} \right.$$ Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{array} & x=7/12 \\ & y=1/12 \\ \end{array} \right.$ Vậy vận tốc của dòng nước là:1/12 , Vận tốc riêng của Ca nô là:7/12

    Bài toán 20 (Dạng toán chuyển động)

    Bạn Hà dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đẵ định. Sau khi 1 giờ, Hà nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn Hà phải tăng  vận tốc thêm  6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu  của Hà.

    Lời Giải :

    Gọi vận tốc lúc đầu của Hà là x, (km/h), (x> 0);

    Thời gian Hà dự định đi từ A đến B là $\frac{120}{x}$ (giờ);

    Sau 1 giờ Hà đi được quãng đường là x km, quãng đường còn lại Hà phải đi là (120 – x);

    Thời gian Hà đi trên quãng đường còn lại (120 – x) là $\frac{120-x}{x+6}$ (giờ);

    Vì trên đường đi Hà nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn Hà phải tăng  vận tốc thêm  6 km/h nên ta có phương trình: $\frac{120}{x}$ = 1 + $\frac{1}{6}$ + $\frac{120-x}{x+6}$ , giải PT BH: x2 + 42x – 4320 = 0   ta được: x1 = 48, x2 = – 90 (loại).

    Vậy vận tốc lúc đầu của Hà là 48 km/h.

  • Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập phương trình

    Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập phương trình

    Dưới đây, O2 Education xin hướng dẫn cách giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9. Bao gồm các dạng bài về chuyển động, hình học, năng suất, tính tuổi, thêm bớt số. Mời các em tham khảo thêm Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

    1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

    Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập phương trình

    • Xác định đại lượng cần tìm, đại lượng đã cho và mối quan hệ giữa các đại lượng;
    • Chọn ẩn phù hợp, tìm điều kiện cho ẩn số đó;
    • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết (chú ý cần đưa về sử dụng thống nhất cùng một đơn vị);
    • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

    Bước 2: Giải phương trình vừa lập

    Bước 3: Kiểm tra và kết luận

    • Kiểm tra nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn
    • Trả lời câu hỏi của đề bài

    Khó khăn bạn thường gặp phải khi giải bài toán bằng cách lập phương trình là bước 1. Bạn không biết biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết khác.

    2. Các dạng toán giải bằng cách lập phương trình

    Các bài toán giải bằng cách lập phương trình có thể chia thành các dạng sau:

    • Dạng toán chuyển động. Mời các em xem trong bài Giải bài toán chuyển động lớp 9
    • Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học.
    • Dạng toán năng suất (công việc làm chung, làm riêng; chảy chung, chảy riêng của vòi nước). Mời các em xem chi tiết trong bài Bài toán về năng suất
    • Dạng toán tìm số.
    • Dạng toán sử dụng các các kiến thức về %.
    • Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hóa học.

    3. Bài tập giải bằng cách lập phương trình

    Bài toán 21 (Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

    Tìm  hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17.

    Lời Giải :

    Gọi cạnh góc  vuông thứ nhất của tam giác là x (cm), (0< x < 17).

    Ta có cạnh góc vuông còn lại là: (17 – x), (cm).

    Vì cạnh huyền  của tam giác vuông là 13  do đó ta có phương trình:  x2 + (17 – x)2  = 132

    Giải PTBH: x2 – 17x + 60 = 0    ta được: x1 = 12, x2 = 5.

    Vậy độ dài các cạnh góc  vuông lần lượt là 12 cm, 5, cm.

    Bài toán 22 (Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

    Một khu vườn Hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm  một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2 m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước (các cạnh) của khu vườn đó

    Lời Giải :

    Gọi một cạnh của khu vườn là x, (m), x< 140.

    Ta có cạnh  còn lại của khu vườn là: (140 – x).

    Do lối xung quanh vườn rộng 2 m nên các kích thước các cạnh còn lại để trồng trọt là: (x – 4), (140 – x – 4) (m).

    Vì diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2 do đó ta có phương trình: (x – 4). (140 – x – 4) = 4256.

    Giải PTBH: x2 – 140x + 4800 = 0    ta được x2  = 80, x2 = 60.    Vậy các cạnh của khu vườn HCN là 80 m, 60 m.

    Bài toán 23 (Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

    Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.

    Lời Giải :

    Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là x và y, (m), (0< x< y < 125).

    Vì chu vi thửa ruộng hình chữ nhật là 250 m do đó ta có phương trình: x + y = 125.

    Vì chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi do đó ta có phương trình:

    1. x + $\frac{y}{3}$ = 125. Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}

    & x+y=125 \\

    & 2x+\frac{y}{3}=125 \\

    \end{align} \right.$  , giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{align}

    & x=50 \\

    & y=75 \\

    \end{align} \right.$

    Vậy dịên tích của thửa ruộng HCN là; 50. 75 = 3750 m2.

    Bài toán 24 (Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

    Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm  thì diện tích tăng 17 cm2. Nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm2. Tìm  các cạnh của tam giác vuông đó.

    Lời Giải :

    Gọi các cạnh của tam giác vuông lần lượt là x, y; (cm), x, y > 3.

    Vì khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm  thì diện tích tăng 17 cm2 do đó ta có phương trình:

    $\frac{1}{2}$ (x+ 2) (y + 2) =  $\frac{1}{2}$ xy + 17.

    Vì nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm2 do đó ta có phương trình: $\frac{1}{2}$ (x – 3) (y – 1) =  $\frac{1}{2}$ xy – 11.

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}

    & x+y=15 \\

    & x-3y=25 \\

    \end{align} \right.$ , giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}

    & x=10 \\

    & y=5 \\

    \end{align} \right.$

    Vậy ta có các cạnh của tam giác là: 5, 10, 5$\sqrt[{}]{5}$ (cm).

     

    Bài toán 34 (Dạng toán tìm số)

    Tìm hai số biết tổng bằng 19 và tổng các bình phương của chúng bằng 185.

    Lời Giải:

    Gọi số thứ nhất là x, (0< x<19).

    Ta có số thứ hai là (  19 – x).

    Vì tổng các bình phương của chúng bằng 185  do đó ta có phương trình: x2 + (19 – x)2 = 185.

    Giải PTBH: x2 – 19x + 88 = 0    được:  x1= 11, x2  = 9.

    Vậy hai số phải tìm là 11 và 9.

    Bài toán 35 (Dạng toán tìm số)

    Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị  nhỏ hơn chữ số hàng  chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.

    Lời Giải:

    Gọi chữ số phải tìm là $\overline{ab}$; 0 $\le $a,b $\le $9, a  # 0.

    Vì chữ số hàng đơn vị  nhỏ hơn chữ số hàng  chục là 2 do đó ta có phương trình: a – b = 2.

    Vì tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34, do đó ta có phương trình:

    a.b – (a + b) = 34.

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}

    & a-b=2 \\

    & a.b-(a+b)=34 \\

    \end{align} \right.$             ;Giải hệ phương trình ta được : $\left\{ \begin{align}

    & a=8 \\

    & b=6 \\

    \end{align} \right.$

    Vậy số phải tìm là 86.

    Bài toán 36 (Dạng toán tìm số)

    Trong dịp kỷ niệm 57 năm ngày thành lập nước CHXHCN Việt Nam 180 học sinh được điều về thăm quan diễu hành, người ta tính. Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2  chiếc. Biết rằng mỗi ngế ngồi 1 học sinh và mỗi xe lớn nhiều hơn  xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động.

    Lời Giải:

    Gọi số Xe lớn là x (chiếc), x nguyên dương.

    Ta có số Xe nhỏ là: x + 2.

    Ta có số hoc sinh Xe lớn chở được là: $\frac{180}{x}$ (HS).

    Ta có số hoc sinh Xe nhỏ chở được là: $\frac{180}{x+2}$ (tấn).

    Vì mỗi Xe lớn chở được số học sinh nhiều hơn số Xe nhỏ là 15 học sịnh do đó ta có phương trình:

    $\frac{180}{x}$ – $\frac{180}{x+2}$ = 15  ;    Giải phương trình ta được x = 4;      Vậy số Xe lớn là 4 .

    Bài toán 37 (Dạng toán tìm số)

    Một đội xe phải chở 168 tấn thóc. Nếu tăng thêm 6 xe và chở thêm 12 tấn thóc thì mỗi xe xhở nhẹ hơn lúc đầu là 1 tấn. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu xe.

    Lời Giải:

    Gọi số Xe lúc đầu lúc đầu của đội là x (chiếc),  x nguyên dương.

    Số thóc lúc đầu mỗi xe phải chở là : $\frac{168}{x}$ (tấn).

    Số Xe sau khi tăng thêm 6 xe là: (x + 6), (Chiếc).

    Sau khi tăng số xe thêm 6 , số thóc thêm 12 tấn thì số thóc mỗi xe cần phải chở là:$\frac{168+12}{x+6}$ (tấn).

    Vì số thóc mỗi xe chở nhẹ hơn 1 tấn sau khi tăng số xe và thêm 12 tấn do đó ta có phương trình:

    $\frac{168}{x}$ – $\frac{168+12}{x+6}$ = 1;     Giải  PTBH: x2 + 2x – 24 = 0    ta được: x = 24;   Vậy số xe lúc đầu của đội là 24 xe.

    Bài toán 38 (Dạng toán tìm số)

    Một phòng họp có 360 Ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số Ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm  1 và số Ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 Ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy Ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế.

    Lời Giải:

    Gọi số dãy của ghế của phòng học là x (dãy), x nguyên dương.

    Ta có số người của từng dãy là: $\frac{360}{x}$ người.

    Số dãy ghế sau khi tăng thêm  1 dãy là: (x + 1).

    Số người sau khi tăng thêm  1  người trên dãy  là: $\frac{360}{x}$ + 1.

    Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm  1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 Ghế do đó ta có phương trình: (x + 1) ($\frac{360}{x}$ + 1) = 400;        Giải PTBH ta được : x1 = 15, x2 = 24.

    Vậy  nếu số dãy là 15 thì số ghế trên dãy là 24…. 

    Bài toán 39 (Dạng toán tìm số)

    Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm  25  vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ tự ngược lạivới số đẵ cho.

    Lời Giải:

    Gọi chữ số phải tìm là   $\overline{xy}$;  x, y nguyên dương,  0 $\le $x,y $\le $9, x# 0.

    Vì tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần do đó ta có phương trình: 6 (x + y) = $\overline{xy}$.

    Vì nếu thêm  25  vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ tự ngược lạivới số đẵ cho do đó ta có phương trình: $\overline{xy}$ + 25 =  $\overline{yx}$.

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}

    & 6(x+y)=\overline{xy} \\

    & \overline{xy}+25=\overline{yx} \\

    \end{align} \right.$  ;  Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{align}

    & x=5 \\

    & y=4 \\

    \end{align} \right.$

    Vậy số phải tìm là 54.

    Bài toán 40 (Dạng toán sử dụng kiến thức %)

    Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800  chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ  vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

    Lời Giải:

    Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu  của Tổ I là x (x nguyên dương), x< 720.

    Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu  của Tổ II là y (y nguyên dương), y< 720.

    Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy do đó ta có phương  trình (1)

    x + y = 800

    Vì trong tháng thứ hai Tổ I  vượt mức 15%, Tổ II sản xuất vượt mức 12%, cả hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy do đó ta có phương trình (2) là: x + $\frac{15x}{100}$ + y + $\frac{20x}{100}$ = 945 $$Û $\frac{115}{100}$ x + $\frac{112}{100}$ y = 945

    Theo bài ra ta có hệ phương trình:    $\left\{ \begin{align}

    & x+y=800 \\

    & \frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=945 \\

    \end{align} \right.$; Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}

    & x=300 \\

    & y=500 \\

    \end{align} \right.$

    Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.

    Bài toán 41 (Dạng toán sử dụng kiến thức %)

    Năm ngoái dân số của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm  nay tăng 1,2 % còn tỉnh B tăng 1,1 %, tổng dân số của hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính dân số của mỗi tỉnh năm ngoái và năm  nay.

    Lời Giải:

    Gọi  dân số năm ngoái của tỉnh A là x (x nguyên dương), x<  4 triệu.

    Gọi  dân số năm ngoái của tỉnh B là y (y nguyên dương), y<  4 triệu

    Vì dân số  năm ngoái của hai tỉnh năm ngoái là 4 triệu do đó ta có phương  trình (1)

    x + y = 4

    Vì dân số năm nay của tỉnh A năm nay tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1 % do đó ta có phương trình (2) là:

    $\frac{1,2x}{100}$ + $\frac{1,1y}{100}$ = 0, 045

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}

    & x+y=4 \\

    & \frac{1,2x}{100}+\frac{1,1y}{100}=0,045 \\

    \end{align} \right.$    ;Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}

    & x=1012000 \\

    & y=3033000 \\

    \end{align} \right.$

    Vậy dân số của tỉnh A năm nay là 1 012 000 người, tỉnh B là 3 033 000 người.

    Bài toán 42 (Dạng toán sử dụng kiến thức %)

    Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 720  chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ  vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 819 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

    Lời Giải:

    Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu  của tổ I là x (x nguyên dương), x< 720.

    Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu  của tổ II là y (y nguyên dương), y< 720.

    Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy do đó ta có phương  trình (1)

    x + y = 720

    Vì trong tháng thứ hai tổ I  vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%, cả hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy do đó ta có phương trình (2) là: x + $\frac{15x}{100}$ + y + $\frac{12x}{100}$ = 819 $$Û $\frac{115}{100}$ x + $\frac{112}{100}$ y = 819

    Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}

    & x+y=720 \\

    & \frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=819 \\

    \end{align} \right.$

    Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}

    & x=420 \\

    & y=300 \\

    \end{align} \right.$

    Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 420 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 300 chi tiết máy. 

    3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình

    Bài toán 43  Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/ h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/ h thì thời gian giảm 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ô tô.

    Bài toán 44  Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vưượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm đưược 404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

    Bài toán 45  Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù ngưười đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của ngưười đó. Biết mỗi giờ ngưười đó làm không quá 20 sản phẩm.

    Bài toán 46  Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h. Do đó nó đến B trưước xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đưường AB dài 100km

    Bài toán 47  Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ ngưười công nhân đó đã làm thêm đưược 2 sản phẩm. Vì vậy, chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vưượt mức 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ ngưười đó phải làm bao nhiêu sản phẩm.

    Bài toán 48  Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II đưược điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.

    Bài toán 49  Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.

    Bài toán 50  Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 45 phút nên người đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà người đó dự định đi, biết quãng đường AB dài 90 km.

    Bài toán 51  Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ (nghĩa là nếu công việc đó chỉ có một người làm thì phải mất 420 ngày). Hãy tính số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để đội hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.  (trích Đề thi Tốt nghiệp THCS 1999 – 2000, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 52  Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian.

    Bài toán 53  Người ta muốn làm một chiếc thùng tôn hình trụ không có lắp có bán kính đáy là 25 cm, chiều cao của thùng là 60 cm. Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép nối). Thùng tôn đó khi chứa đầy nước thì thể tích nước chứa trong thùng là bao nhiêu.

    Bài toán 54  Một tam giác có chiều cao bằng  cạnh đáy. Nếu tăng chiều cao thêm 3 dm, giảm cạnh đáy đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 1999-2000, ngày 09- 07- 1999, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 55  Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu.

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 1999-2000, ngày 10- 07- 1999, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 56  Ba ô tô chở 100 tấn hàng tổng cộng hết 40 chuyến. Số chuyến thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến, xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Tính xem mỗi ô tô chở bao nhiêu chuyến.                                                 (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2000-2001, ngày 02- 08- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 57  Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 132 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi lấy nước đó đổ vào hai bình kia thì:

    Hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được một nửa bình.

    Hoặc bình thứ hai đầy nước, còn bình thứ ba chỉ được một phần ba bình.

    (Coi như trong quá trình đổ nước từ bình này sang bình kia lượng nước hao phí bằng không).

    Hãy xác định thể tích của mỗi bình.

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2000-2001, ngày 03- 08- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) .

    Bài toán 58  Một người đi xe máy từ A tới B. Cùng một lúc một người khác cũng đi xe máy từ B tới A với vận tốc bằng  vận tốc của người thứ nhất. Sau 2 giờ hai người gặp nhau. Hỏi mỗi người đi cả quãng đường AB hết bao lâu?

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2001-2002, ngày 22- 07- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 59 Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2.                                    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2002-2003, ngày 03- 08- 2002, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 60 Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị.

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2003-2004, ngày 14- 07- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 61 Một ca nô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở về bến A. Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nô xuôi dòng từ B trở về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết vận tốc dòng nước là 5 km/h, vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng bằng nhau.                        (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2003-2004, ngày 15- 07- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 62 Người ta dự kiến trồng 300 cây trong một thời gian đã định. Do điều kiện thuận lợi nên mỗi ngày trồng được nhiều hơn 5 cây so với dự kiến, vì vậy đã trồng xong 300 cây ấy trước 3 ngày. Hỏi dự kiến ban đầu mỗi ngày trồng bao nhiêu cây? (Giả sử số cây dự kiến trồng mỗi ngày là bằng nhau).

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2004-2005, ngày 29- 06- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 63 Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 5 m, diện tích bằng 300 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2004-2005, ngày 30- 06- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 64 Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm2. Nếu giảm chiều dài đi 2 cm, chiều rộng đi 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2005-2006, ngày 06- 07- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 65  Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m, chiều rộng thêm 5 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195 m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất.

    Bài toán 66 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 90 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,2 giờ (xe thứ nhất khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B). Tìm vận tốc của mỗi xe. Biết rằng thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đường AB là 1 giờ.

    (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2005-2006, ngày 07- 07- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc)

    Bài toán 67 Một xe lửa đi từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ ga Trị Bình ra ga Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe lửa, biết quãng đường sắt Hà Nội- Trị Bình dài 900km

    (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bà Rịa- Vũng Tàu, năm 2004 – 2005)

    Bài toán 68 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    (trích đề thi tốt nghiệp THCS  thành phố Hà Nội, năm 2002- 2003)

    Bài toán 69 Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là  giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

    (trích đề thi tốt nghiệp THCS  tỉnh Bắc Giang, năm 2002- 2003)

    Bài toán 70 Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô                                                   (trích ĐTTS THPT tỉnh Bắc Giang, năm 2003- 2004)

    Bài toán 71 Có 3 đội xây dựng cùng làm chung một công việc. Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, 2 đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II; năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II; và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên.        (trích ĐTTS THPT năng khiếu ĐHQG TP. Hồ Chí Minh, năm 2003- 2004)

    Bài toán 72 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng  chiều rộng và có diện tích bằng 1792 m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.                                                               (trích tốt nghiệp THCS TP. Hồ Chí Minh, năm 2003- 2004)

    Bài toán 73 Cùng một thời điểm, một chiếc ôtô XA xuất phát từ thành phố A về hướng thành phố B và một chiếc khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20 km. Cả hai chiéc xe sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Hãy tính vận tốc của từng chiếc ôtô.

    (trích ĐTTS THPT năng khiếu ĐHQG TP. Hồ Chí Minh, năm 2004- 2005)

    Bài toán 74 Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

    (trích đề thi tốt nghiệp THCS TP. Hà Nội, năm 2003- 2004)

    Bài toán 75 Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trong sông là 3 km/h

    Bài toán 76 Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

    Bài toán 77  Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2, nếu tăng chiều dài thêm 6 m và giảm chiều rộng đi 4 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn.

    (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Thái Bình)

    Bài toán 78 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy. Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khoá vòi I, còn vòi II tiếp tục chảy. Do tăng công suất vòi II lên gấp đôi, nên vòi II đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì phải bao lâu mới đầy bể?

    Bài toán 79 Một tam giác có chiều cao bằng  cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm2.

    Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

    Bài toán 80 Mội thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

    Bài toán 81 Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là hai chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động.

    Bài toán 82 Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/ giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/ giờ thì đến muộn 1 giờ.

    Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.

    Bài toán 83 Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/ h.

    Bài toán 84 Một ca nô đi xuôi dòng 48 km rồi đi ngược dòng 22 km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lớn hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 5 km/h. Tính vận tốc ca nô lúc đi ngược dòng.                                                    (trích ĐTTS THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 2005 – 2006, tỉnh Vĩnh Long)

    Bài toán 85  Một xe ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chậm nhất 5 giờ.

    Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.                   

    Bài toán 86  Hai đội bóng bàn của hai trường phổ thông thi đấu với nhau. Mỗi cầu thủ của đội này phải thi đấu với mỗi cầu thủ của đội kia một trận. Biết rầng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của hai đội và số cầu thủ của ít nhất một trong hai đội là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu cầu thủ?

    Bài toán 87  Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 100 m2. Nếu giảm cả chiều dài lẫn chiều rộng đi 2 m thì diện tích giảm đi 68 m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó.

    Bài toán 88  Ba xe ô tô chở 118 tấn hàng tổng cộng hết 50 chuyến. Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến.

    Bài toán 89  Ba ca nô cùng rời bến sông A một lúc để đến B. Ca nô thứ 2 mỗi giờ đi kém ca nô thứ nhất 3 km nhưng hơn ca nô thứ ba 3km nên đến B sau ca nô thứ nhất 2 giờ, nhưng trước ca nô thứ ba là 3 giờ. Tính chiều dài quãng sông AB.

    Bài toán 90  Một bè lứa trôi tự do (trôi theo vận tốc dòng nước) và một ca nô đồng thời rời bến A để suôi dòng sông. Ca nô suôi dòng được 96 km thì quay ngay lại A. Cả đi lẫn về hết 14 giờ. Trên đường quay về A khi còn cách A là 24 km thì ca nô gặp chiếc bè lứa nói trên. Tính vận tốc của ca nô và vận tốc của dòng nước.

    Bài toán 91  Ba vòi nước A, B, C được bắc cùng vào một bể chứa. Các vòi chảy được một lượng nước bằng thể tích của bể theo thời gian chảy được ghi trong các trường hợp sau:

    a)Vòi A : 2giờ và vòi B : 1giờ 30 phút;

    b)Vòi A : 1giờ và vòi C : 4 giờ;

    c)Vòi B : 3 giờ và vòi C : 2 giờ.

    Tính thời gian để riêng từng vòi chảy được một lượng bằng thể tích của bể.

    Bài toán 92  Có 2 hộp đựng bi, nếu lấy từ hộp thứ nhất một số bi bằng số bi có trong hộp thứ hai rồi bỏ vào hộp thứ hai, rồi lại lấy từ hộp thứ hai một số bi bằng số bi còn lại trong hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ nhất, cuối cùng lấy từ hộp thứ nhất một số bi bằng số bi còn lại trong hộp thứ hai và bỏ vào hộp thứ hai. Khi đó số bi trong mỗi hộp đều là 16 viên. Hỏi lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu viên bi?

    Bài toán 93  Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được thể tích của nó. Hãy xác định thể tích của mỗi bình.

    Bài toán 94  Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được  cánh đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất cày 12 giờ, máy thứ hai cày trong 20 giờ thì cả hai máy cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì sẽ cày song cánh đồng trong bao lâu?

    Bài toán 95  Hai người cùng làm một công việc như theo cách sau:

    Người thứ nhất làm trong thời gian mà người thứ hai làm một mình xong công vịêc đó.

    Tiếp đó người thứ hai làm trong  thời gian mà người thứ nhất một mình làm xong công việc đó.

    Như vậy cả hai người làm được  công việc.

    Tìm thời gian mà mỗi người làm một mình xong công việc đó, biết rằng nếu cả hai người cùng làm thì 3 giờ 36 phút xong công việc đó.

    Bài toán 96  Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được 405.

    Nếu lấy số được viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nó thì được 468. Hãy tìm số có hai chữ số đó.

    Bài toán 97  Một đoàn học sinh tổ chức đi thăm quan bằng ô tô. Người ta nhận thấy rằng nếu mỗi xe chỉ trở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh đi thăm quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở được không quá 32 học sinh.

    Bài toán 98  Một hình chữ nhật có diện tích 1200 m2. Tính các kích thước của vườn đó, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 5 m và giảm chiều rộng đi 10 m thì diện tích của vườn giảm đi 300m2.

    Bài toán 99  Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2. Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó, biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4 m và giảm chiều cao tương ứng đi 1 m thì diện tích của nó không đổi.

    Bài toán 100  Hai công nhân nếu làm chung thì hoàn tyhành một công việc trong 4 ngày. Người thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt nửa công việc còn lại thì toàn bộ công việc sẽ được hoàn thành trong 9 ngày. Hỏi nễu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu ngày.

    Bài toán 101  Một phòng họp có 100 người được sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu có thêm 44 người thì phải kê thêm hai dãy ghế và mỗi dãy ghế phải xếp thêm hai người nữa. Hỏi lúc đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

    Bài toán 102  Lúc 6h30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 75km với vận tốc định trước. Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 5km/h. Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút. Tính vận tốc dự dịnh của người đi xe máy.

    Bài toán 103  Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B, ca nô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8km. Tính vận tốc của ca nô.

    Bài toán 104  Người ta trộn 4 kg chất lỏng loại I với 3 kg chất lỏng loại II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

    Bài toán 105  Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong hợp kim đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim.

    Bài toán 106  Số đường chéo của một đa giác lồi là 230. Tính số cạnh của đa giác này.

    Bài toán 107  Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm hai giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h thì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.

    Bài toán 108  Tính các kích thước của một hình chữ nhật biết rằng nếu tăng chiều dài 3m, giảm chiều rộng 2 m thì diện tích không đổi; nếu giảm chiều dài3 m, tăng chiều rộng 3 m thì diện tích không đổi.

    Bài toán 109  Một công nhân phải làm một số dụng cụ trong một thời gian. Nếu mỗi ngày tăng 3 dụng cụ thì hoàn thành sớm 2 ngày, nếu mỗi ngày làm giảm 3 dụng cụ thì thời gian phải kéo dài 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao.

    Bài toán 110  Để sửa chữa một quãng đường, cần huy động một số người làm trong một số ngày. Nếu bổ sung thêm 3 người thì thời gian hoàn thành rút được 2 ngày. Nếu rút bớt 3 người thì thời gian hoàn thành phải kéo dài thêm 3 ngày. Tính số người dự định huy động và số ngày dự định hoàn thành công việc.

    Bài toán 111  Trong một trang sách, nếu tăng thêm 3 dòng, mỗi dòng bớt 2 chữ thì số chữ của trang không đổi; nếu bớt đi 3 dòng, mỗi dòng tăng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng không đổi. Tính số chữ trong trang sách.

    Bài toán 112  Một câu lạc bộ có một số ghế quy định.

    Nếu thêm 3 hàng ghế thì mỗi hàng bớt được 2 ghế.

    Nếu bớt đi ba hàng thì mỗi hàng phải thêm 3 ghế.

    Tính số ghế của câu lạc bộ.

    Bài toán 113  Một phòng họp có một số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng?

    Bài toán 114  Có ba thùng đựng nước.

    • Lần thứ nhất, người ta đổ ở thùng I sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó đang có.
    • Lần thứ hai,  người ta đổ ở thùng II sang hai thùng kia một số nước gấp đôi số nước ở mỗi thùng đó đang có.
    • Lần thứ  ba, người ta đổ ở thùng III sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó đang có.
    • Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nước. Tính số nước ở mỗi thùng có lúc đầu.

    Bài toán 115  Một hình vườn hình chữ nhật có chu vi 450 m. Nếu giảm chiều dài đi  chiều dài cũ, tăng chiều rộng lên  chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của vườn.

    Bài toán 116  Một vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m, diện tích 3500 m2. Tính độ dài hàng rào xung quanh vườn biết rằng người ta chừa ra 1 m để làm cổng ra vào.

    Bài toán 117  Một tuyến đường sắt có một số ga, mỗi ga có một loại vé đến từng ga còn lại. Biết rằng có tất cả 210 loại vé. Hỏi tuyến đường ấy có bao nhiêu ga?

    Bài toán 118  Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84%.

    Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%.

    Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?

    Bài toán 119  Dân số của một thành phố hiện nay là 408 040 người, hàng năm dân số tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây, dân số thành phố là bao nhiêu?

    Bài toán 120  Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây hai năm là 75000 dụng cụ một năm, hiện nay là 90750 dụng cụ một năm. Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm?

    Bài toán 121  Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

    Bài toán 122  Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi. Biết thời gian ca nô xuôi 5 km bằng thời gian ngược 4km .

    Tính vận tốc dòng nước.

    Bài toán 123  Một ca nô đi xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km.

    Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược 1giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 6 km/h.

    Tính vận tốc của ca nô lúc ngược dòng.

    Bài toán 124  Một người đi xe đạp từ A đến B đường dài 78 km. Sau đó một giờ, người thứ hai đi từ B đến A. Hai người gặp nhau tại C cách B là 36 km. Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau biết rằng vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h.

    Bài toán 125  Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng thêm 2 dụng cụ nên hoàn thành công việc trước thời hạn 2 giờ. Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên không những hoàn thành công việc trước thời hạn 3 giờ mà còn làm thêm 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi người được giao.

    Bài toán 126  Vào thế kỷ thứ III trước Công Nguyên, vua xứ Xiracut giao cho Acsimét kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5 Niutơn (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm 0,3 Niutơn. Biết rằng khi cân trong nước, vàng giảm  trọng lượng, bạc giảm  trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, bao nhiêu gam bạc?

    Vật có khối lượng 100 gam thì có trọng lượng 1 Niutơn).

    Bài toán 127  Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.

    Bài toán 128  Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì 10 ngày xong công việc. Nhưng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất đi cày nơi khác, máy thứ hai làm tiếp 9 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi máy làm việc một mình thì trong bao lâu cày xong cả cánh đồng?

     Bài toán 129 Tìm số có ba chữ số sao cho chia nó cho 11, ta được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.

    Bài toán 130  Tìm số có bốn chữ số biết rằng chữ số hàng nghìn và hàng trăm giống nhau, chữ số hàng chục và hàng đơn vị giống nhau, số phải tìm có thể viết được thành một tích của ba thừa số, mỗi thừa số gồm hai chữ số giống nhau.

    Bài toán 131  Tìm số chính phương có bốn chữ số biết rằng nếu mỗi chữ số giảm đi 1 ta được một số mới cũng là số chính phương.

    Bài toán 132  Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số của một số chính phương có bốn chữ số (mỗi chữ số của số chính phương này đều nhỏ hơn 7) ta được một số chính phương mới. Tìm hai số chính phương đó.

    Bài toán 133  Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2.

    Bài toán 134  Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng1.

    Bài toán 135 Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi mỗi người hiện nay.

    Bài toán 136  Một xí nghiệp dự định điều một số xe để chuyển 120 tạ hàng. Nếu mỗi xe chở thêm 1 tạ so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc. Tính số xe dự định điều động.

    Bài toán 137  Có hai đội công nhân, mỗi đội phải sửa 10 km đường. Thời gian đội I làm nhiều hơn đội II là 1 ngày. Trong một ngày, mỗi đội làm được bao nhiêu kilômét biết rằng cả hai đội làm được 4,5 km trong một ngày.

    Bài toán 138  Một sân hình chữ nhật có diện tích 720 m2. Nếu tăng chiều dài 6 m, giảm chiều rộng 4 m thì diện tích không đổi. Tính các kích thước của sân.

    Bài toán 139  Một tấm sắt có chu vi 96 cm. Người ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 4 cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 768 cm3. Tính kích thước của tấm sắt.

    Bài toán 140  Hai đội thuỷ lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?

    Bài toán 141  Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bàng 59, hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó.

    Bài toán 142  Tìm hai số biết rằng bốn lần số thứ hai cộng với năm lần số thứ nhất bằng 18040, và ba lần số số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002.

  • Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    1. Phương trình bậc hai là gì?

    Phương trình bậc hai (ẩn $x$) là phương trình có dạng $$ax^2+bx=0$$ trong đó $a\ne 0$.

    Cách giải phương trình bậc 2. Chúng ta tính đại lượng sau (đặt là $\Delta$) $$\Delta=b^2-4ac$$ Khi đó, tùy vào giá trị dương, âm, bằng không của $\Delta$ mà chúng ta có kết luận về nghiệm của phương trình bậc 2.

    • $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
    • $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
    • $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$

    Xem thêm:

    Ví dụ 1. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$ nên tính được $$ \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=40 $$ Vì $ 40>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-4)+\sqrt{40}}{2}$ và $ \frac{-(-4)-\sqrt{40}}{2}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$.

    Ví dụ 2. Giải phương trình $x^2-3x+6=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=3,c=6$ nên tính được $$ \Delta=3^2-4\cdot 1\cdot 6=-15 $$ Vì $ -15<0$ nên phương trình vô nghiệm.

    Ví dụ 3. Giải phương trình $x^2-2x+1=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-2,c=1$ nên tính được $$ \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1=0 $$ nên phương trình có một nghiệm là $x=\frac{-(-2)}{2}=1$.

    Lưu ý, nếu hệ số $b$ chẵn, tức là có dạng $b=2b’$ thì có thể tính $\Delta’=b’^2-ac$ thay cho $\Delta$. Lúc đó, công thức nghiệm là $\frac{-b’\pm\sqrt{\Delta’}}{a}$.

    Ví dụ 4. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$. Nhận thấy $b=2\cdot(-2)$ nên tính $$ \Delta’=(-2)^2-\cdot 1\cdot (-6)=10 $$ Vì $ 10>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-2)+\sqrt{10}}{1}$ và $ \frac{-(-2)-\sqrt{10}}{1}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$, chính là hai nghiệm ở ví dụ 1.

    2. Phương trình bậc hai có nghiệm khi nào?

    Như vậy, phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $$\Delta \geqslant 0$$

    Lúc đó, chúng ta có định lý Viète như sau $$ \begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{cases} $$

    Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & m \leqslant \frac{29}{4} \end{align}

    3. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi nào?

    Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta >0.$$

    Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) > 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m > 0\\ \Leftrightarrow & m <\frac{29}{4} \end{align}

    4. Phương trình bậc hai vô nghiệm khi nào?

    Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta <0.$$

    Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) < 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m < 0\\ \Leftrightarrow & m >\frac{29}{4} \end{align}

    5. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương khi nào?

    Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) dương khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
    x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$

    6. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm âm khi nào?

    Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) âm khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
    x_1+x_2=\frac{-b}{a}<0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$

    7. Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu?

    Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) trái dấu khi và chỉ khi $$  x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}<0 $$ hoặc đơn giản hơn là $$ac<0.$$

    8. Phương trình bậc hai có hai nghiệm lớn hơn một số, nhỏ hơn một số cho trước (định lý đảo)

    Phương trình bậc hai $f(x)=ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) $ x_1,x_2$ (giả sử $ x_1<x_2$) và thỏa mãn yêu cầu

    • $ x_1<\alpha <x_2$: điều kiện cần và đủ là $ a\cdot f(\alpha) <0$
    • $ x_1< x_2<\alpha $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} <\alpha
      \end{cases}$
    • $ \alpha <x_1< x_2 $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} >\alpha \end{cases}$
  • Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9

    Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 là một dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kì, bài kiểm tra, đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải được dạng toán lập hệ phương trình ở lớp 9, học sinh cần nắm được 2 cách giải hệ phương trình bậc nhất là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế. Ngoài ra, kỹ năng quan trọng là cách đặt ẩn và biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn để có được một hệ phương trình.

    1. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Cách giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

    • Bước 1: Lập hệ phương trình.
      • Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số $x$ và $y$ (thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt $x$ là chiều dải mảnh vườn, $y$ là chiều rộng mảnh vườn…). Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…).
      • Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
      • Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
    • Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
    • Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

    2. Các dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thường gặp:

    Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy)

    Đối với dạng toán này, cần chú ý đến điều kiện của ẩn:

    • Nếu gọi $x$ là vận tốc của chuyển động thì điều kiện là $x>0$.
    • Đặt thời gian chuyển động là $y$ thì điều kiện là $y \ge 0$.
    • Một số công thức:
      • Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, s=v.t;
      • Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng;
      • Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước;
      • Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước.
    • Nếu hai xe đi ngược chiều nhau cùng xuất phát khi gặp nhau lần đầu:
      • Thời gian hai xe đi được là như nhau,
      • Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
    • Cách đổi đơn vị thời gian, vận tốc:
      • 1 h (1 giờ) = 60 phút.
      • 1 (m/s) = 3,6 (km/h), vì 1 m = 1/1000 km và 1 s = 1/3600 giờ.
      • 1 (km/h) = 5/18 (m/s).

    Ví dụ 1. Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô-tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ô-tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

    Hướng dẫn. Gọi vận tốc của ô-tô và xe máy lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị km/h, điều kiện $x > 0, y > 0$). Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ô-tô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (bằng 0,5 giờ) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

    • Quãng đường AC dài $2y$ (km), quãng đường BC dài $0,5x$ (km).
    • Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là $\frac{2y}{x}$ (km/h).
    • Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là $0,5\frac{x}{y}$ (km/h).
    • Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {\frac{{0,5x}}{y} = \frac{{2y}}{x}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {{x^2} = 4{y^2}} \end{array}} \right. \end{array}\] Vì \( x,y>0 \) nên từ phương trình \( {{x^2} = 4{y^2}} \) suy ra $x = 2y$. Thay vào phương trình còn lại của hệ, ta được $$3y = 90 \Leftrightarrow y = 30$$ Suy ra, $x = 60$ (thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$).
    • Vậy, vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

    Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng (Bài toán vòi nước)

    Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy đầy một bẻ không có nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 h.

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x (điều kiện x > 0 , x tính bằng giờ)
    • Gọi thời gian vòi sau chảy chảy một mình đầy bể là  y (điều kiện y > 4 , y tính bằng giờ)
    • Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể.
    • Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

    • Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = 15/4 h, nên trong 1 giờ thì cả hai vòi chảy được

    $1 : \frac{15}{4} = \frac{4}{15} $ bể.

    • Suy ra, ta có phương trình

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}$

    • Mặt khác, nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là $y – x = 4$ nên ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}\\ y – x = 4 \end{cases}$$
    • Giải hệ phương trình này tìm được $x=6,y=10$.
    • Vậy, vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h; vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h.

    Ví dụ 2.  Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ). Điều kiện x, y>5.
    • Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

    • Mà theo đề bài, cả hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{5}$ bể. Do đó ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$$
    • Mặt khác, nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nên ta
      có phương trình $$3.\frac{1}{x}+4.\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$$
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3} \end{cases}.$$
    • Giải hệ phương trình này tìm được $x=7,5$ và $y=15$ (thỏa mãn điều kiện).
    • Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ.

    Ví dụ 3. Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc?

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian lớp 9A, 9B hoàn thành xong công việc là $x$ (giờ) và $y$ (giờ), điều kiện $x>5,y>0$.
    • Trong 1 giờ, lớp 9A làm được: $\frac{1}{x}$ (công việc), lớp 9B làm được $\frac{1}{y}$ (công việc). Nên trong 1 giờ, cả 2 lớp làm được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ công việc.

    • Mà theo đề bài, cả hai lớp cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc nên ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$$
    • Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Tức là $x-y=5$.
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\ x-y=5 \end{cases}$$
    • Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế, tìm được $y=-3$ (loại) hoặc $y=10$ (thỏa mãn). Từ đó tìm được $x=15$.

    Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.

    Chú ý cách tính tỉ lệ phần trăm.

    Ví dụ 1.  Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm
    được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Hướng dẫn. 

    • Gọi $x,y$ là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch, điều kiện x, y nguyên dương và x < 600; y < 600.
    • Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $$x+y=600.$$
    • Số sản phẩm tăng thêm của tổ I là: $ \frac{18}{100} x$ sản phẩm. Số sản phẩm tăng của tổ II là: $ \frac{18}{100} y$ sản phẩm.
    • Do số sản phẩm của hai tổ vượt mức 120 (sản phẩm) nên ta có phương trình $$\frac{18}{100}x + \frac{21}{100}y = 120. $$
    • Từ đó ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} x+y=600 \\ \frac{18}{100} x+\frac{21}{100} y=120 \end{array}\right.$$
    • Giải hệ này tìm được $x=200, y=400$ (thỏa mãn điều kiện).

    Ví dụ 3. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

    Hướng dẫn. 

    Ví dụ 4. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?

    Hướng dẫn. 

    Dạng 4: Toán có nội dung hình học.

    • Khi đặt ẩn là độ dài các đoạn thẳng, độ dài các cạnh thì điều kiện của ẩn là không âm.
    • Diện tích hình chữ nhật $S = x.y$, với $ x$ là chiều rộng; $y$ là chiều dài.
    • Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}a.h_a$ với $a$ là độ dài một cạnh tam giác và $h_a$ là chiều cao ứng với cạnh đó.
    • Định lý Pitago trong tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là $c$, độ dài hai cạnh góc vuông là $a,b$ thì $$a^2+b^2=c^2.$$

    Ví dụ 1.  Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

    Hướng dẫn.

    • Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị m, điều kiện $x > 0, y > 0$).
    • Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là: $$2(x + y) = 34$$
    • Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài $(y + 3)$ m, chiều rộng $(x +2)$ m nên có diện tích là $(x + 2)(y + 3)$.
    • Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình: $$(x+2)(y+3)= xy + 45 $$ Từ đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}34\\ \left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = {\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}45 \end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này tìm được $x=5$ và $y=12$.
    • Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài $12$ m và chiều rộng $5$ m.

    Ví dụ 2. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

    Hướng dẫn. 

    Ví dụ 3. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh góc vuông.

    Hướng dẫn. 

    Dạng 5: Toán về tìm số.

      • Số có hai, chữ số được ký hiệu là $\overline{ab} $, điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b \le 9; a,b \in \mathbb{N}$.
      • Giá trị của số: $\overline{ab} = 10a+b$.
      • Số có ba, chữ số được ký hiệu là $\overline{abc}$ thì $\overline{abc} = 100a +10b + c$,  điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b,c \le 9; a,b,c \in \mathbb{N}$.
      • Tổng hai số $x; y$ là: $x+ y$.
      • Tổng bình phương hai số $x, y$ là: $x^2+y^2$.
      • Bình phương của tổng hai số $x, y$ là: $(x+y)^2$.
      • Tổng nghịch đảo hai số $x, y$ là: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

    Ví dụ 1.  Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được sốmới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

    Hướng dẫn.

    • Gọi chữ số số cần tìm là $\overline{xy}$, điều kiện $x ,y\in \mathbb{N}, 0 < x \le  9, 0 \le y \le 9$.
    • Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình: $$x+y=14.$$
    • Đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình: $\overline{yx}-\overline{xy}=18$ hay  chính là $$10y+x-(10x+y)=18$$
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} x+y=14 \\ 10y+x-(10x+y)=18 \end{cases}$$
    • Giải hệ này, tìm được $x=6,y=8$ (thỏa mãn điều kiện) nên số cần tìm là $68$.

    Ví dụ 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị .

    Hướng dẫn.

    • Gọi chữ số hàng chục là $a$, chữ số hàng đơn vị là $b$, điều kiện $a,b\in \mathbb{N}; 1\le a\le 9; 0\le b\le 9$.
    • Số cần tìm là $\overline{ab}$ có giá trị $\overline{ab}=10a+b$.
    • Ta có chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình: $$ b-a=5$$
    • Lại có, khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là $\overline{a1b}$ có giá trị $\overline{a1b}=100a+10+b$.
    • Do số mới lớn hơn số ban đầu là 280 đơn vị nên ta có phương trình: $$100a+10+b-(10a+b)=280$$
    • Ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} -a+b=5 \\ (100 a+10+b)-(10 a+b)=280\end{array}\right.$$
    • Giải hệ này, tìm được $a=3,b=8$ đều thỏa mãn điều kiện nên số cần tìm là $38$.

    Ví dụ 3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.

    Hướng dẫn.

    Ví dụ 4.  Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.

    Hướng dẫn.

    3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Bài 1. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng $\frac{1}{4}$. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng $\frac{5}{24}$. Tìm phân số đó.

    Bài 2. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng $\frac{3}{2}$. Tìm phân số đó.

    Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng $31$ và có hiệu bằng $9$.

    Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp bảy lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $4$ và dư là $3$.

    Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20 phút, thời gian về BA là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h. Tính AC, CB.

    Bài 6: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

    Bài 7: Lúc 7 h, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8h30’ một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

    Bài 8: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

    Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

    Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 11: Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 4 giờ,xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu ô tô tằng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h thì sẽ đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.

    Bài 13: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

    Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Bài 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?

    Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

    Bài 17: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 lit dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại?

    Bài 18: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {3x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right) = \left( {2x – 1} \right)\left( {3y + 4} \right)\\ {x^2} – {y^2} = 2x – 5 \end{array} \right.$$

    Bài 19: Giải phương trình: $\left| {x + 1} \right| + 2\left| {x – 1} \right| = x + 2 + \left| x \right| + 2\left| {x – 2} \right|$.

    Bài 20: Với giá trị nào của $k$, hệ phương trình sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left( {1 + k} \right)y = 0\\ \left( {1 – k} \right)x + ky = 1 + k \end{array} \right.$$

  • 100 đề thi HSG Toán 9 các tỉnh trong cả nước

    100 đề thi HSG Toán 9 các tỉnh trong cả nước

    100 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TRONG CẢ NƯỚC

    O2 Education xin giới thiệu với thầy cô và các em học sinh tuyển tập 100 đề thi HSG Toán 9 của các tỉnh trong cả nước.

    Xem thêm 100 đề thi HSG Toán 9 và thi vào 10 chuyên Toán

    1. Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013

    Câu 1: (5,0 điểm)

    1. Cho $A=\sqrt{2012}-\sqrt{2011};\text{ B=}\sqrt{2013}-\sqrt{2012}$. So sánh $ A$ và $ B$?
    2. Tính giá trị biểu thức: $C=\sqrt[3]{15\sqrt{3}+26}-\sqrt[3]{15\sqrt{3}-26}$.
    3. Cho $2{{x}^{3}}=3{{y}^{3}}=4{{z}^{3}}$. Chứng minh rằng: $$\frac{\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=1$$

    Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: $$\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}=\frac{5}{4}$$

    Câu 3: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{matrix} 8{{\left( 2x+y \right)}^{2}}-10\left( 4{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)-3{{\left( 2x-y \right)}^{2}}=0  \\  2x+y-\frac{2}{2x-y}=2  \\
    \end{matrix} \right.$$

    Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác $ ABC$. Gọi $ Q$ là điểm trên cạnh $ BC$ ($ Q$ khác $ B; C$). Trên $ AQ$ lấy điểm $ P$ ($ P$ khác $ A; Q$). Hai đường thẳng qua $ P$ song song với $ AC, AB$ lần lượt cắt $ AB; AC$ tại $ M, N.$

    1. Chứng minh rằng: $\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1$
    2. Xác định vị trí điểm $ Q$ để $\frac{AM\cdot AN\cdot PQ}{AB\cdot AC\cdot AQ}=\frac{1}{27}$

    Câu 5: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm $ O$, đường kính $ AB$. Điểm $ C$ thuộc bán kính $ OA$. Đường vuông góc với $ AB$ tại $ C$ cắt nửa đường tròn $ (O)$ tại $ D$. Đường tròn tâm $ I$ tiếp xúc với nửa đường tròn $ (O)$ và tiếp xúc với các đoạn thẳng $ CA, CD$. Gọi $ E$ là tiếp điểm của $ AC$ với đường tròn $ (I) $. Chứng minh: $BD = BE$.

    Câu 6: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = 1 – xy$, trong đó $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $${{x}^{2013}}+{{y}^{2013}}=2{{x}^{1006}}{{y}^{1006}}$$

    2. Đề thi học sinh giỏi Toán 9 SGD Bình Định năm học 2016 – 2017

    Bài 1:  1) Cho biểu thức  $$P=\frac{2m+\sqrt{16m}+6}{m+2\sqrt{m}-3}+\frac{\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}-1}+\frac{3}{\sqrt{m}+3}-2$$ a) Rút gọn $P$.
    b) Tìm giá trị tự nhiên của $m$ để $P$ là số tự nhiên.

    2) Cho biểu thức $P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a + b + c$ chia hết cho 4 thì $P$ chia hết cho 4.

    Bài 2: a) Chứng minh rằng: Với mọi số thực $x, y$ dương, ta luôn có $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$$

    b) Cho phương trình $2{{x}^{2}}+3mx-\sqrt{2}=0$ (m là tham số) có hai nghiệm${{x}_{1}};{{x}_{2}}$.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1+x_{1}^{2}}{{{x}_{1}}}-\frac{1+x_{2}^{2}}{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}.$$

    Bài 3: Cho $x, y, z$ là ba số dương. Chứng minh rằng $$\frac{1}{{{x}^{2}}+yz}+\frac{1}{{{y}^{2}}+zx}+\frac{1}{{{z}^{2}}+xy}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right)$$

    Bài 4: 1) Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Giả sử $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn đó.

    a) Chứng minh $MB + MC = MA$.

    b) Gọi $H, I, K$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $ $M xuống $ AB, BC, CA$. Gọi $ S, S’$ lần lượt là diện tích của tam giác $ ABC$, $ MBC$. Chứng minh rằng: Khi $ M$ di động ta luôn có đẳng thức $MH+MI+MK=\frac{2\sqrt{3}(S+2{S}’)}{3R}$.

    2) Cho tam giác $ ABC$ có ba góc nhọn. $ AD, BE, CF$ là các đường cao. Lấy $ M$ trên đoạn $ FD$, lấy $ N$ trên tia $ DE$ sao cho$\widehat{MAN}=\widehat{BAC}.$ Chứng minh $ MA$ là tia phân giác của góc $\widehat{NMF}$.

    3. Đề thi HSG Toán lớp 9 Bắc Ninh 2012 – 2013

    Câu 1. (4,0 điểm)  Cho biểu thức: $P=\frac{{{a}^{2}}-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}$

    1. Rút gọn biểu thức $P$.
    2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.

    Câu 2. (4,0 điểm)                                                                         

    1. Trong mặt phẳng tọa độ $ (Oxy)$, cho parabol $ (P)$ có phương trình $y = x^2$ và đường thẳng $ d$ có phương trình $ y = kx+1$ ($ k$ là tham số). Tìm $ k$ để đường thẳng $ d$ cắt parabol $ (P)$ tại hai điểm phân biệt $ M, N$ sao cho $MN=2\sqrt{10}$.
    2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}  \left( x+y \right)\left( x+z \right)=12 \\ \left( y+x \right)\left( y+z \right)=15 \\ \left( z+x \right)\left( z+y \right)=20 \\ \end{align} \right.$   (Với $ x, y, z$ là các số thực dương).

    Câu 3. (3,0 điểm)

    1. Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{4}}-2{{y}^{4}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}-7{{y}^{2}}-5=0$.
    2. Cho ba số $ a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$; ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$; ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=1$

    Chứng minh rằng: ${{a}^{2013}}+{{b}^{2013}}+{{c}^{2013}}=1$.

    Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn $ (O; R)$, đường thẳng $ d$ không đi qua $ O$ cắt đường tròn tại hai điểm $ A$, $ B$. Từ một điểm $ M$ tùy ý trên đường thẳng $ d$ và nằm ngoài đường tròn $ (O)$, vẽ hai tiếp tuyến $ MN, MP$ của đường tròn $ (O)$ ($ N$, $P$ là hai tiếp điểm).

    1. Dựng điểm $ M$ trên đường thẳng $ d$ sao cho tứ giác $ MNOP$ là hình vuông.
    2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm $M, N, P$ luôn thuộc đường thẳng cố định khi $ M$ di động trên đường thẳng $ d$.

    Câu 5. (3,0 điểm)

    1. Tìm hai số nguyên dương $ a$ và $ b$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\left[ a,b \right]+7\left( a,b \right)$ (với $ [a,b]$ là BCNN của $ a$ và $ b$, $ (a,b)$ là ƯCLN của $ a$ và $ b$).
    2. Cho tam giác $ ABC$ thay đổi có $ AB = 6$, $ AC = 2BC$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $ ABC$.

    4. Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 SGD Hải Dương năm 2012 – 2013

    Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: ${A=}\left( \sqrt{{x}-\sqrt{{50}}}-\sqrt{{x+}\sqrt{{50}}} \right)\sqrt{{x+}\sqrt{{{{x}}^{{2}}}-{50}}}$ với ${x}\ge \sqrt{50}$

    b) Cho ${x+}\sqrt{{3}}{=2}$. Tính giá trị của biểu thức: $$ B = x^5 – 3x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 20x + 2018 $$

    Câu 2: Giải phương trình $$\frac{{4x}}{{{{x}}^{{2}}}-{5x+6}}{+}\frac{{3x}}{{{{x}}^{{2}}}-{7x+6}}{=6}$$

    b) Giải phương trình sau: $$\left\{ \begin{align}
    \sqrt{{x}}{+}\sqrt{{y}}{+4}\sqrt{{xy}}{=16} \\
    {x+y=10} \\
    \end{align} \right.$$

    Câu 3:

    a) Với $ a, b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu ${4}{{{a}}^{{2}}}{+3ab}-{11}{{{b}}^{{2}}}$ chia hết cho 5 thì ${{a}^{4}}-{{b}^{4}}$ chia hết cho 5.

    b) Cho phương trình $\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{+bx+1}\,=0\,$ với $ a, b$ là các số hữu tỉ. Tìm $ a, b$ biết ${x=}\frac{\sqrt{{5}}-\sqrt{{3}}}{\sqrt{{5}}{+}\sqrt{{3}}}$ là nghiệm của phương trình.

    Câu 4:   Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm $P$ và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

    a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.

    b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.

    c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh $P$ là trung điểm ME.

    Câu 5:

    Cho ${{{A}}_{{n}}}{=}\frac{{1}}{{(2n+1)}\sqrt{{2n}-{1}}}$ với n$\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

    Chứng minh rằng: ${{{A}}_{{1}}}{+}{{{A}}_{{2}}}{+}{{{A}}_{{3}}}{+}…{+}{{{A}}_{{n}}}={1}\,$.

    5. Đề HSG Toán 9 SGD Kon Tum năm 2016 – 2017

    Bài 1:

    a. Cho $ x \ge 0$ và $ x \ne 9$. Rút gọn biểu thức $$P=\frac{2\sqrt{x}+3\sqrt{2}}{\sqrt{2x}+2\sqrt{x}-3\sqrt{2}-6}+\frac{\sqrt{2x}-6}{\sqrt{2x}+2\sqrt{x}+3\sqrt{2}+6}$$

    b. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $y = x + 2m – 2$ cắt đường thẳng $y = 2x + m – 13$ tại một điểm trên trục hoành. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $ O$ đến đường thẳng $y = 2x + m – 13$ ứng với $ m$ vừa tìm được (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet)

    Bài 2:

    a) Cho $ x \ge 2; y \ge 0$ thỏa mãn${{y}^{2}}\sqrt{x-2}+\sqrt{x-2}=2y$. Chứng minh rằng ${{x}^{3}}\le 27$

    b) Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm và CA = 5cm. Gọi H, D, $P$ lần lượt là chân đường cao, phân giác, trung tuyến kẻ từ B xuống cạnh AC. Tính diện tích của các tam giác CBD, BDP,  HBD

    Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa điểm A) của đường tròn đó. Gọi H, K, I lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D xuống các đường thẳng BC, AB, CA

    1. Chứng minh rằng K, H, I thẳng hàng
    2. Chứng minh rằng $\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}$

    Bài 4:

    a) Giải hệ phương trình       $\left\{ \begin{matrix}   2{{x}^{3}}y+3{{x}^{2}}=5y   \\   1+6xy=7{{y}^{3}}   \\ \end{matrix} \right.$

    b) Tìm các cặp số nguyên $ (x; y)$ thỏa mãn $$x{{y}^{2}}+2xy-243y+x=0$$

    6. Đề HSG Toán 9 SGD Đồng Tháp 2016 – 2017

    Bài 1:

    a) Tính giá trị của $A=\frac{4\sqrt{3-2\sqrt{2}}+10}{(1+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})+1}$

    b) Cho $B={{n}^{4}}+{{n}^{3}}-{{n}^{2}}-n$. Chứng minh rằng $ B$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $ n$.

    Bài 2: Cho biểu thức $$P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-1}+\frac{5-2x}{x-1}$$

    a) Tìm điều kiện của $x$ để $P$ xác định và rút gọn $P$.

    b) Tìm $x$ để $P= 7$.

    Bài 3:

    1. Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng  $(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9$.
    2. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của $$P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$$

    Bài 4:

    a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}   \frac{3}{\sqrt{x}+y}+\frac{5}{\sqrt{x}-y}=6   \\   \frac{3}{\sqrt{x}+y}-\frac{4}{\sqrt{x}-y}=-3   \\\end{matrix} \right.$

    b) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì mới được nửa quảng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quảng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn dự định 1 giờ. Tính quãng đường AB

    Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C và B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC

    a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD

    b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB

    Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho EC là phân giác của góc BEF. Trên tia AB lấy K sao cho BK = DF

    a) Chứng minh rằng CK = CF

    b) Chứng minh rằng EF = EK và EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

    c) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.

    7. Đề học sinh giỏi Toán 9 Nghệ An 2016 – 2017

    Câu 1: (4,0 điểm)

    a. Tìm các hệ số $b, c$ của đa thức $P(x)={{x}^{2}}+bx+c$ biết $P(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ khi $x=2$.

    b. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-xy-{{y}^{3}}=0   \\2\sqrt{y}-2({{x}^{2}}+1)-3\sqrt{x}(y+1)-y=0   \\\end{array} \right.$

    Câu 2: (4,0 điểm)

    1. Giải phương trình $x+2=3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\sqrt{1+x}$
    2. Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{2a}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{b}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}+\frac{c}{\sqrt{1+{{c}^{2}}}}.$$

    Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}={{135}^{^\circ }}$, BC=5 cm và đường cao AH=1 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

    Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung DC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE; P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng BC, AB và I là giao điểm của EK với AC.

    a) Chứng minh rằng 3 điểm P, I, Q thẳng hàng.

    b) Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK.

    Câu 5: (4,0 điểm).

    1. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau $m,n,p,q$ thoả mãn $$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}=1$$
    2. Trên một hàng có ghi 2 số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo nguyên tắc. Nếu có 2 số $ x, y$ phân biệt trên bảng thì ghi thêm số$z=xy+x+y$. Chứng minh rằng các số được ghi trên bảng (trừ số 1 ra) có dạng $ 3k+2$ (với $ k$ là số tự nhiên).

    8. Đề thi HSG Toán 9 SGD Thái Bình năm học 2016 – 2017

    Câu 1.(3,0 điểm) Cho  $2x=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}+1}$. Tính   $$P=\sqrt{\frac{{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-12x-11}{2{{x}^{2}}-6x+2}}$$

    Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số:$y=({{m}^{2}}+2)x-{{m}^{3}}-3m+1$ và $ y=x-2m+1$ có đồ thị lần lượt là ${{d}_{1}},{{d}_{2}}.$Gọi$A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)~$ là giao điểm của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}.$

    a) Tìm tọa độ điểm $ A$.

    b) Tìm $ m$ nguyên để biểu thức $T=\frac{x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+3}{y_{0}^{2}-3{{y}_{0}}+3}$ nhận giá trị nguyên.

    Câu 3.(4,0 điểm)

    1) Giải phương trình: $2{{x}^{2}}-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

    2) Giải hệ phương trình sau $$:\left\{ \begin{matrix}   2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y-xy-x-1=0  \\   {{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y+6{{x}^{2}}-x-1=0  \\ \end{matrix} \right.$$

    Câu 4. (2,0 điểm)  Cho tam giác $ MNP$ cân tại $P$ . Gọi $ H$ là trung điểm của $ MN, K $là hình chiếu vuông góc của $ H$ trên $ PM$. Dựng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $ NK$ và cắt $ HK$ tại $ I$. Chứng minh rằng $ I$ là trung điểm của $ HK$.

    Câu 5.(4,0 điểm) Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tai $ A$. Trên tia đối tia $ AC$ lấy điểm $ M$ sao cho 0<AM<AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BCM$, $ K$ là hình chiếu vuông góc của $ M$ trên $ BC, MK$ cắt $ AB$ tại $ H$. Gọi $ E,F$ lần lượt là trung điểm của $ CH$ và $ BM$.

    a) Chứng minh rằng tứ giác $ AFKE$ là hình vuông.

    b) Chứng minh rằng $ AK,EF,OH$ đồng quy.

    Câu 6.(2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương $ (x;y)$ của phương trình $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{100.110}^{2n}}$$ với $ n$ là số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương.

    Câu 7.(2,0 điểm) Cho các số thực dương $ a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$P=\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{ab({{a}^{3}}+{{b}^{3}})}+\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{bc({{b}^{3}}+{{c}^{3}})}+\frac{{{c}^{4}}+{{a}^{4}}}{ac({{a}^{3}}+{{b}^{3}})}$$

    9.

     

  • Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Xem thêm Các dạng toán về căn bậc hai

    1. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

    Bài 1: Với giá trị nào của $m$ và $n$ thì hàm số $$y = \left( {{m^2} – 5m + 6} \right){x^2} + \left( {{m^2} + mn – 6{n^2}} \right)x + 3$$ là hàm số bậc nhất?

    Bài 2: Cho hai hàm số $f(x) = ax + \sqrt 3 $ và $g(x) = \left( {{a^2} + 1} \right)x – 1$. Chứng minh rằng:

    a) Các hàm số $f(x) + g(x)$ và $g(x) – f(x)$ là hàm số  đồng biến.
    b) Hàm số $f(x) – g(x)$ là nghịch biến.

    Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ vẽ tam giác ABC, biết $A(0;4),$ $B(3;0),$ $C (-2;0)$.

    a) Tính diện tích tam giác \(ABC\).
    b) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\).

    Bài 4: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm sốbậc nhất sau: $$\left( {{d_1}} \right):y = x + 2;\left( {{d_2}} \right): – \frac{1}{2}x + 1$$

    a) Gọi $A$ là giao của hai đường thẳng. Tìm tọa độ điểm $A$.
    b) Giả sử $\left( {{d_3}} \right)$ là đường thẳng đi qua điểm $K\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ và song song với trục hoành. Đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ lần lượt tại $B$ và $C$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$, tính diện tích tam giác $ABC$.

    Bài 5: Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng $y = \frac{2}{{m – 1}}x + \frac{1}{{m – 1}}$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

    Bài 6: Tìm tọa độ các giao điểm của các đường thẳng sau với trục $Ox$:
    $$\left( d \right):y = x – 2, \left( {d’} \right):y = – x + 2$$ Tìm các giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( {d’} \right)$ với trục $Oy$.  Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Nhận xét. Chứng minh điều nhận xét.

    Bài 7: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ đồ thị các hàm số:
    $$\begin{align}
    & \left( {{d}_{1}} \right):y=x+2 \\
    & \left( {{d}_{2}} \right):y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2} \\
    & \left( {{d}_{3}} \right):y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4} \\
    \end{align}$$ Căn cứ vào đồ thị cho biết tọa độ giao điểm $A$ của $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$; giao điểm $B$ của $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ và giao điểm $C$ của $\left( {{d}_{2}} \right)$ và $\left( {{d}_{3}} \right)$.

    Bài 8: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số $$\left( d \right):y = 2x, \left( {d’} \right):y = \left( {\sqrt 3 – 1} \right)x$$
    Gọi $A$ là điểm trên đường thẳng $\left( d \right)$ có hoành độ bằng $\frac{2}{3}$, $B$ là điểm trên đường thẳng $\left( d’ \right)$ có hoành độ bằng 3. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

    Bài 9: Cho hàm số $y=\sqrt{2}x$.

    a) Vẽ đồ thị hàm số.
    b) Ba điểm $A, B, C$ thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là $-1; 1; 2$. Xác định tung độ của các điểm đó.
    c) Tính khoảng cách từ các điểm A, B, C đến gốc tọa độ.

    Bài 10: Chứng minh rằng khi tham số $a$ thay đổi, các đường thẳng lần lượt có phương trình sau luôn luôn đi qua một điểm cố định:

    a) $ax-2y=6$
    b) $a\left( x-1 \right)+3y=1$

    2. GÓC TẠO BỞI ĐƯỜNG THẲNG VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

    Bài 1: a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ các hàm số sau: $$\begin{array}{l}
    \left( {{d_1}} \right):y = x + 1\\
    \left( {{d_2}} \right):y = 2x + 1\\
    \left( {{d_3}} \right):y = – x + 1
    \end{array}$$ Có nhận xét gì về 3 đồ thị hàm số bậc nhất đó? Gọi ${\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}$ lần lược là góc tạo bởi $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)$ với tia $Ox$. Tính ${\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}$.

    Bài 2: Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

    a) Đi qua điểm $A\left( \frac{1}{2};\frac{7}{4} \right)$ và song song với đường thẳng $y=\frac{3}{2}x$.
    b) Cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $3$ và đi qua $B\left( 2;1 \right)$.

    Bài 3: Vẽ lên cùng hệ trục tọa độ các hàm số: $y=\sqrt{3}x$ và $y=x+1$.

    a) Tìm số đo góc lập bởi mỗi đồ thị hàm số với $Ox$.
    b) Giả sử $A$ là giao điểm của hai đồ thị, $B$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x$ với $Ox$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

    Bài 4: Tìm hệ số góc của đường thẳng $\left( d \right):y=ax+2$ trong các trường hợp:

    a) Đường thẳng đó đi qua điểm $A\left( 1;\frac{6-\sqrt{3}}{3} \right)$.
    b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\sqrt{2}$.

    Bài 5: Xác định hệ số góc $k$ của đường thẳng $y=kx+3-k$ trong mỗi trường hợp sau đây:

    a) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}x$.
    b) Cắt trục tung có tung độ bằng $2$.
    c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$.

    Bài 6: Cho hàm số có phương trình $\left( d \right):y=\left( m-1 \right)x+m$

    a) Xác định giá trị của $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua gốc tọa độ.
    b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1-\sqrt{2}$.
    c) Xác định giá trị của $m$ để $\left( d \right)$ song song với đướng thẳng $y=-5x+1$.
    c) Với giá trị nào của $m$ thì góc $\alpha $ tạo bởi đường thẳng $\left( d \right)$ với $Ox$ là góc tù? là góc vuông?

    Bài 7: Cho hàm số $y=ax$ có đồ thị đi qua điểm $A\left( 3;\sqrt{3} \right)$. Xác định hệ số $a$ và tính góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất đó với $Ox$.

    Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm $A\left( -2\sqrt{3};0 \right)$, $B\left( -2;0 \right)$, $C\left( 0;2 \right)$.

    1. Tìm phương trình các hàm số có đồ thị là các đường thẳng $AB, BC$.
    2. Tìm số đo các góc của tam giác \(ABC\).

    Bài 9: Tìm giá trị của $a$ để 3 đường thẳng:$$\begin{align} & \left( {{d}_{1}} \right):y=2x-5 \\ & \left( {{d}_{2}} \right):y=x+2 \\ & \left( {{d}_{3}} \right):y=ax-12 \\ \end{align}$$ đồng quy tại một điểm.

    Bài 10: Cho hàm số $y=\left( 2m-3 \right)x-1$.

    a) Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y=-5x+3$.
    b) Tìm giá trị của $m$ để hàm số đã cho và các đường thẳng $y=-x+1$ và $y=2x-5$ đồng quy.

    3. HÀM SỐ QUY VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT

    Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số:

    a) $y = \left| x \right|$
    b) $y = \left| {2x – 3} \right|$

    Bài 2: Vẽ đồ thị của hai hàm số $y= \left| x \right| – 2$ và $y = 2 – \left| x \right|$ trên cùng hệ trục tọa độ.

    Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {1 + x} \right| + 2\left| {1 – x} \right|$.

    Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số: $$y = \left\{ \begin{array}{ll}- 2x – 2& (x \le – 1)\\0& (x=-1)\\x – 2&(x \ge 1)\end{array} \right.$$

    Bài 5: Vẽ đồ thị các hàm số:

    1. $y = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 3} \right|$
    2. $y = \left| {x – \left| x \right|} \right|$
    3. $y = \sqrt {{x^2} – 6x + 9} $
    4. $y = 2x + 1 + \sqrt {{x^2} – 4x + 4} $
    5. $y = \sqrt {4{x^2} – 4x + 1} – x$

    4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    Bài 1: Với mỗi phương trình cho dưới đây, hãy viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tập nghiệm đó:

    a) $2x – y = 3$
    b) $4x – 0y = 6$
    c) $0x – 2y = 3$

    Bài 2: Cho phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ sau: $$mx + y = m – 2$$
    Chứng tỏ rằng với mọi $m \in R$ phương trình trên có một nghiệm là một nghiệm của phương trình $3x + 2y = – 1$.

    Bài 3: Cho phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ $$\left( {2m – 1} \right)x + my + 3 = 0$$

    a) Tùy theo giá trị của m hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
    b) Tìm nghiệm của phương trình không phụ thuộc giá trị của $m$.

    Bài 4: Giải phương trình vô định $5x + 3y = 50$. Từ đó tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên.

    Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:

    a) $16x + 40y = 27$
    b) $5x – 13y = 2$
    c) $32x + 48y = 112$

    5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

    a) $\left\{ \begin{array}{l} x – y = 1\\ 3x + 2y = 8 \end{array} \right.$
    b) $\left\{ \begin{array}{l} 2x – 7y = 8\\ 12x + 11y = 3 \end{array} \right.$
    c) $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\ 3x – 2y = 4 \end{array} \right.$
    d) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{4} + \frac{{7y}}{3} = 41\\\frac{{5x}}{2} – \frac{{3y}}{5} = 11\end{array} \right.$
    e) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 5} \right)\left( {y – 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {y – 1} \right)\\\left( {x – 4} \right)\left( {y + 7} \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.$
    f) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x – 3}} + \frac{5}{{y + 1}} = 2\\\frac{5}{{x – 3}} + \frac{1}{{y + 1}} = \frac{{29}}{{20}}
    \end{array} \right.$
    g) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{3} + \frac{2}{3} = 3\\\frac{{4x – y}}{6} + \frac{x}{4} = 1\end{array} \right.$
    h) $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 1} \right) + 2y = – x\\5\left( {x + y} \right) = – 3x + y – 5\end{array} \right.$
    k) $\left\{ \begin{array}{l}- x + 2y = – 4\left( {x – 1} \right)\\5x + 3y = – \left( {x + y} \right) + 8\end{array} \right.$
    l) $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2x + 3y} \right) = 3\left( {2x – 3y} \right) + 10\\4x – 3y = 4\left( {6y – 2x} \right) + 3
    \end{array} \right.$
    m) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)x + y = \sqrt 2 \\x + \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)y = \sqrt 6
    \end{array} \right.$
    n) $\left\{ \begin{array}{l}2x – 3y = 1\\2x + 5y = 9\end{array} \right.$
    o) $\left\{ \begin{array}{l}3x – 7y = 10\\5x + 3y = 2\end{array} \right.$
    p) $\left\{ \begin{array}{l}12x – 5y = 63\\8x + 15y = 13\end{array} \right.$
    q) $\left\{ \begin{array}{l}12x + 7y = 71\\18x + 13y = 89\end{array} \right.$

    Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

    a) $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 13\\5x – 3y = – 31\end{array} \right.$
    b) $\left\{ \begin{array}{l}7x + 5y = 19\\3x + 5y = 31\end{array} \right.$
    c) $\left\{ \begin{array}{l}7x – 5y = 3\\3x + 10y = 62\end{array} \right.$
    d) $\left\{ \begin{array}{l}x + 5y = – 5\\3x + 2y = 11\end{array} \right.$
    e) $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 8\\4x – 3y = – 12\end{array} \right.$
    f) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + 3y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\2x + 12y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.$
    g) $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – y} \right| + 2\left| {x + y – 1} \right| = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.$
    h) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{y + 1}} + \frac{1}{{x + 2}} = 1\\\frac{4}{{y + 1}} – \frac{2}{{x + 2}} = 2\end{array} \right.$
    i) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x – 3}} + \frac{5}{{y + 1}} = 2\\\frac{5}{{x – 3}} + \frac{1}{{y + 1}} = \frac{{29}}{{20}}\end{array} \right.$
    k) $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} + 6\sqrt y = 12\\3\sqrt {x + 1} 2\sqrt y = 1\end{array} \right.$
    l) $\left\{ \begin{array}{l}xy + yz = – 39\\yz + zx = 16\\zx + xy = 25
    \end{array} \right.$
    m) $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 14\\x + y – z – t = – 4\\x – y + z – t = – 4\\x – y – – z + t = 0
    \end{array} \right.$

    6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

    Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

    • Bước 1: Lập hệ phương trình.
      • Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số $x$ và $y$ (thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt $x$ là chiều dải mảnh vườn, $y$ là chiều rộng mảnh vườn…). Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…).
      • Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
      • Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
    • Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
    • Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

    Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

    Hướng dẫn.  Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị m, điều kiện $x > 0, y > 0$).

    Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là: $$2(x + y) = 34$$ Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài $(y + 3)$ m, chiều rộng $(x +2)$ m nên có diện tích là $(x + 2)(y + 3)$. Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình: $$(x+2)(y+3)= xy + 45 $$ Từ đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}
    2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}34\\
    \left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = {\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}45
    \end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này tìm được $x=5$ và $y=12$.

    Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài $12$ m và chiều rộng $5$ m.

    Bài 2: Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một chiếc ôtô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ôtô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

    Hướng dẫn. Gọi vận tốc của ôtô và xe máy lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị km/h, điều kiện $x > 0, y > 0$). Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ôtô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (bằng 0,5h) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

    • Quãng đường AC dài 2y (km), quãng đường BC dài 0,5x (km).
    • Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là 2y/x (km/h).
    • Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là 0,5x/y (km/h).

    Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {0,5x + 2y = 90}\\
    {\frac{{0,5x}}{y} = \frac{{2y}}{x}}
    \end{array}} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {0,5x + 2y = 90}\\
    {{x^2} = 4{y^2}}
    \end{array}} \right.
    \end{array}\] Vì \( x,y>0 \) nên từ phương trình \( {{x^2} = 4{y^2}} \) suy ra $x = 2y$. Thay vào phương trình còn lại của hệ, ta được
    $$3y = 90 \Leftrightarrow y = 30$$ Suy ra, $x = 60$ (thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$).
    Vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

    Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng $31$ và có hiệu bằng $9$.

    Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp bảy lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $4$ và dư là $3$.

    Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20 phút, thời gian về BA là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h. Tính AC, CB.

    Bài 6: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

    Bài 7: Lúc 7 h, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8h30’ một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

    Bài 8: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

    Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

    Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 11: Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 4 giờ,xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu ô tô tằng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h thì sẽ đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.

    Bài 13: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

    Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Bài 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?

    Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

    Bài 17: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 lit dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại?

    Bài 18: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {3x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right) = \left( {2x – 1} \right)\left( {3y + 4} \right)\\ {x^2} – {y^2} = 2x – 5 \end{array} \right.$$

    Bài 19: Giải phương trình: $\left| {x + 1} \right| + 2\left| {x – 1} \right| = x + 2 + \left| x \right| + 2\left| {x – 2} \right|$.

    Bài 20: Với giá trị nào của $k$, hệ phương trình sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left( {1 + k} \right)y = 0\\ \left( {1 – k} \right)x + ky = 1 + k \end{array} \right.$$

  • Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

    Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

    Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

    Bài viết này tổng hợp các dạng toán về căn bậc hai trong chương trình Toán 9. Gồm các dạng toán sau:

    • Khái niệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$,
    • Các phép tính về căn thức bậc hai,
    • Các phép biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai,
    • Phương trình chứa căn thức bậc hai.

    Lời giải chi tiết các bài tập sẽ được cập nhật sau, mời thầy cô và các em học sinh đón đọc.

    Xem thêm Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

    Đối với các em học sinh lớp 10, xin mời xem bài Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

    1: CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

    Bài 1: Viết các biểu thức sau thành nhân tử:

    a) $36{{x}^{2}}-5$
    b) $25-3{{x}^{2}}$
    c) $x-4$ với $x>0$
    d) $11+9x$ với $x<0$
    e) $31+7x$ với $x<0$

    Bài 2: So sánh các số sau:

    a) $1+\sqrt{2}$ và $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
    b) $5+\sqrt{3}$ và $\sqrt{34-10\sqrt{3}}$
    c) $\frac{1}{\sqrt{15}}$ và $\frac{1}{4}$
    d) $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ và $\frac{1}{\sqrt{37}}$

    Bài 3: Rút gọn biểu thức $$\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$

    Bài 4: Chứng minh đẳng thức $$\left( \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}} \right)-\left( \sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}} \right)=0$$

    Bài 5: Giải phương trình:

    a) $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}=6$
    b) $\sqrt{4+4x+{{x}^{2}}}=x-2$

    Bài 6:

    a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $y = \sqrt { – {x^2} + 2x + 2} $.
    b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = 5 + \sqrt {2{x^2} – 8x + 9} $
    c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 10} $

    2: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI

    Bài 1: Giải các phương trình:

    a) $\dfrac{{\left( {5 – x} \right)\sqrt {5 – x} + \left( {x – 3} \right)\sqrt {x – 3} }}{{\sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 3} }} = 2$
    b) $\sqrt {x – 5} – \dfrac{{x – 14}}{{3 + \sqrt {x – 5} }} = 3$

    Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của $$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$$ Từ đó giải phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}={{x}^{2}}-6x+11$$

    Bài 3: Tính:

    a) $\dfrac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}$
    b) $\left( 7\sqrt{3}-3\sqrt{7} \right):\sqrt{21}$
    c) $\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ với $x>0;y>0;x\ne y$
    d) $\left( x-2y \right)\sqrt{\dfrac{xy}{{{\left( x-2y \right)}^{2}}}}$ với $xy\ge 0$

    Bài 4: Rút gọn các biểu thức:

    A=$\sqrt{2}\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)$
    B=$\sqrt{2-\sqrt{3}}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)$

    Bài 5: So sánh các sốsau đây:

    a) $2+\sqrt{3}$ và $\sqrt{5+4\sqrt{3}}$
    b) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{15}}$
    c) $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$ với $0$

    Bài 6: Rút gọn biểu thức:
    $$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

    Bài 7: Rút gọn biểu thức:
    $$\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$$

    Bài 8: Giải phương trình: $\sqrt {x – \frac{1}{x}} + \sqrt {1 – \frac{1}{x}} = 0$

    Bài 9: Cho biểu thức $$A=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$$

    a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $A$ có nghĩa.
    b) Tìm GTLN và GTNN của $A$.

    Bài 10: Tính: $$X=\frac{{{\left( \sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}} \right)}^{2}}}{\sqrt{29+8\sqrt{13}}}$$

    Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M=\sqrt {{x^2} – 4x + 4} + x – 3$$

    3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

    Bài 1: Tính:

    a) $\sqrt{125}-4\sqrt{45}+3\sqrt{20}-\sqrt{80}$
    b) $2\sqrt{\frac{27}{4}}-\sqrt{\frac{48}{9}}-\frac{2}{5}\sqrt{\frac{75}{16}}$
    c) $\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}$ với $x>0;y>0$

    Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

    a) $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$
    b) $\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}}$
    c) $\sqrt{{{a}^{3}}b}+\sqrt{a{{b}^{3}}}+\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}}$

    Bài 3: Giải các phương trình:

    a) $\sqrt{4x-8}+5\sqrt{x-2}-\sqrt{9x-18}=20$
    b) $5\sqrt{x-1}-\sqrt{36x-36}+\sqrt{9x-9}=\sqrt{8x+12}$

    Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:

    a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
    b) $\dfrac{2}{2\sqrt{2}-1}$
    c) $\dfrac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$
    d) $\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

    Bài 5: Cho biểu thức: $$\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{a}^{3}}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}+\sqrt{ax} \right)\left( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} \right)$$ Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức.

    Bài 6: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

    a) $\left( 2-a \right)\sqrt{\frac{2a}{a-2}}$ với $a>2$
    b) $\left( x-5 \right)\sqrt{\frac{x}{25-{{x}^{2}}}}$ với $0<x<5$
    c) $\left( a-b \right)\sqrt{\frac{3a}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}$ với $0<a<b$

    Bài 7: Tính:

    a) $\left( 3-\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3+\sqrt{5}} \right)+\left( 3+\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)$
    b) $\left( 2\sqrt{8}+3\sqrt{5}-7\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{72}-5\sqrt{20}-2\sqrt{2} \right)$

    Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:

    $A=\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ với $x=6+4\sqrt{2};y=5-2\sqrt{6}$
    $B=\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ với $a,b\ge 0;a\ne b$

    Bài 9: Giải các phương trình:

    a) $\sqrt {4x + 12} + \sqrt {x + 3} – \frac{1}{4}\sqrt {16x + 48} = 6$
    b)$\sqrt {20x} – 3\sqrt {5x} = 10 – \sqrt {45x} $
    c) $\sqrt {{x^2} – 3x – 2} = x – 2$
    d) $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}=3$
    e) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$

    Bài 10: Cho biểu thức: $$A=\left( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1+x} \right)\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}-\frac{1}{x} \right)$$

    a) Tìm điều kiện để biểu thức $A$ xác định.
    b) Rút gọn biểu thức $A$.
    c) Tính giá trị của $A$ khi $x=\frac{1}{2}$, $x=-\frac{1}{2}$.

    Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của $$A=\sqrt{x-2011}+\sqrt{2012-x}$$

    Bài 12: Đơn giản biểu thức $$M=\frac{\sqrt{a}+1}{a\sqrt{a}+a+\sqrt{a}}:\frac{1}{{{a}^{2}}-\sqrt{a}}$$ với $a>0\ne 1$.

    4: BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC BA.

    Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

    a) $\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}$
    b) $\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{-54}-\sqrt[3]{128}$

    Bài 2: Giải các phương trình:

    a) $\left( 2\sqrt[3]{x}+5 \right)\left( 2\sqrt[3]{x}-5 \right)=-21$
    b) $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x-2} \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4$

    Bài 3: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

    a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4}}$
    b) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{5}}$
    c) $\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{5}}$

    Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    a) $\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{21}$; $3-\sqrt[3]{3}$; $\sqrt[3]{{{a}^{2}}x}+\sqrt[3]{{{b}^{2}}x}$
    b) $\sqrt[3]{6{{a}^{2}}b}-\sqrt[3]{9a{{b}^{2}}}$; $a-b-\sqrt[3]{a-b}$
    c) $\sqrt[3]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}-\sqrt[3]{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$

    Bài 5: So sánh các số sau:

    a) $2\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{25}$
    b) $2\sqrt[3]{3}$ và $3\sqrt[3]{2}$
    c) $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ và $2\sqrt{5}$

    Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:

    a) A=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}}$
    b) B=$\sqrt[3]{72-32\sqrt{5}}.\sqrt{7+3\sqrt{5}}$

    Bài 7: Chứng minh các đẳng thức:

    a) $\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25} \right)\left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5} \right)=7$
    b) $\left( \sqrt[3]{{{m}^{2}}}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{{{n}^{2}}} \right)\left( \sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n} \right)=m-n$

    Bài 8: Rút gọn các biểu thức:

    a) $\dfrac{a}{2}\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\dfrac{b}{3{{a}^{2}}}\sqrt{\dfrac{15a}{{{b}^{2}}}}-\dfrac{4a}{5b}\sqrt[3]{\dfrac{b}{2{{a}^{2}}}} \right):\dfrac{2{{a}^{3}}}{15{{b}^{2}}}\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{2b}}$
    b) $\left[ \left( \dfrac{1}{a}-\sqrt[6]{\dfrac{1}{a}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right)+\left( \dfrac{a}{{{a}^{2}}}\sqrt[6]{{{a}^{5}}}-\dfrac{3}{a}\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right) \right]a\sqrt[3]{a}$
    c) $\sqrt{{{a}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{2}}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}$

    Bài 9: Trục căn thức ở mẫu:

    a) $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}+1}$
    b) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}}$
    c) $\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{4}}$
    d) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$

    Bài 7: Cho $a, b, c$ là các số thực dương, từng đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

    a) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$
    b) $\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 9abc$

    Bài 8: Rút gọn biểu thức $$\frac{a+b}{a-b}\sqrt[3]{\frac{a{{\left( a-b \right)}^{6}}}{{{\left( a+b \right)}^{3}}}}$$

    5: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

    Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn, còn được gọi là phương trình chứa căn thức.

    Giải các phương trình sau:

    a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{7-x}=2$
    b) $3{x^2} + 21x + 18 + 2\sqrt {{x^2} + 7x + 7} = 2$
    c) $\dfrac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{x} = 2$
    d) $\sqrt{81{{\left( 2-x \right)}^{2}}}-3=0$
    e) $\dfrac{1}{11}\left( 17-3\sqrt{x-1} \right)=\dfrac{1}{15}\left( 23-4\sqrt{x-1} \right)$
    f) $\sqrt {2 – y} = \sqrt {4 + y} $
    g) $\sqrt {{z^2} – 1} = 1 – z$
    h) $\sqrt {4 – 2z – {z^2}} = z – 2$
    i) $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$
    k) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}=4-2x$
    l) $\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=1$
    m) $2\sqrt[3]{2x-1}={{x}^{3}}+1$
    n) $\sqrt[3]{\dfrac{{{x}^{3}}-3x-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2}}=2-\sqrt{3}$
    o) $\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}=1$
    p) $\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}=2$
    q) $\sqrt{{{x}^{2}}-3x+5}=\sqrt{x+5}$
    r) $2\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=3$
    s) $\dfrac{\sqrt{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}}{\sqrt{x-1}}=x-2$