100 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TRONG CẢ NƯỚC

O2 Education xin giới thiệu với thầy cô và các em học sinh tuyển tập 100 đề thi HSG Toán 9 của các tỉnh trong cả nước.

Xem thêm 100 đề thi HSG Toán 9 và thi vào 10 chuyên Toán

1. Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013

Câu 1: (5,0 điểm)

Cho $A=\sqrt{2012}-\sqrt{2011};\text{ B=}\sqrt{2013}-\sqrt{2012}$. So sánh $ A$ và $ B$?
Tính giá trị biểu thức: $C=\sqrt[3]{15\sqrt{3}+26}-\sqrt[3]{15\sqrt{3}-26}$.
Cho $2{{x}^{3}}=3{{y}^{3}}=4{{z}^{3}}$. Chứng minh rằng: $$\frac{\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=1$$

Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: $$\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}=\frac{5}{4}$$

Câu 3: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{matrix} 8{{\left( 2x+y \right)}^{2}}-10\left( 4{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)-3{{\left( 2x-y \right)}^{2}}=0 \\ 2x+y-\frac{2}{2x-y}=2 \\
\end{matrix} \right.$$

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác $ ABC$. Gọi $ Q$ là điểm trên cạnh $ BC$ ($ Q$ khác $ B; C$). Trên $ AQ$ lấy điểm $ P$ ($ P$ khác $ A; Q$). Hai đường thẳng qua $ P$ song song với $ AC, AB$ lần lượt cắt $ AB; AC$ tại $ M, N.$

Chứng minh rằng: $\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1$
Xác định vị trí điểm $ Q$ để $\frac{AM\cdot AN\cdot PQ}{AB\cdot AC\cdot AQ}=\frac{1}{27}$

Câu 5: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm $ O$, đường kính $ AB$. Điểm $ C$ thuộc bán kính $ OA$. Đường vuông góc với $ AB$ tại $ C$ cắt nửa đường tròn $ (O)$ tại $ D$. Đường tròn tâm $ I$ tiếp xúc với nửa đường tròn $ (O)$ và tiếp xúc với các đoạn thẳng $ CA, CD$. Gọi $ E$ là tiếp điểm của $ AC$ với đường tròn $ (I) $. Chứng minh: $BD = BE$.

Câu 6: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = 1 – xy$, trong đó $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $${{x}^{2013}}+{{y}^{2013}}=2{{x}^{1006}}{{y}^{1006}}$$

2. Đề thi học sinh giỏi Toán 9 SGD Bình Định năm học 2016 – 2017

Bài 1: 1) Cho biểu thức $$P=\frac{2m+\sqrt{16m}+6}{m+2\sqrt{m}-3}+\frac{\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}-1}+\frac{3}{\sqrt{m}+3}-2$$ a) Rút gọn $P$.
b) Tìm giá trị tự nhiên của $m$ để $P$ là số tự nhiên.

2) Cho biểu thức $P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a + b + c$ chia hết cho 4 thì $P$ chia hết cho 4.

Bài 2: a) Chứng minh rằng: Với mọi số thực $x, y$ dương, ta luôn có $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$$

b) Cho phương trình $2{{x}^{2}}+3mx-\sqrt{2}=0$ (m là tham số) có hai nghiệm${{x}_{1}};{{x}_{2}}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1+x_{1}^{2}}{{{x}_{1}}}-\frac{1+x_{2}^{2}}{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}.$$

Bài 3: Cho $x, y, z$ là ba số dương. Chứng minh rằng $$\frac{1}{{{x}^{2}}+yz}+\frac{1}{{{y}^{2}}+zx}+\frac{1}{{{z}^{2}}+xy}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right)$$

Bài 4: 1) Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Giả sử $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn đó.

a) Chứng minh $MB + MC = MA$.

b) Gọi $H, I, K$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $ $M xuống $ AB, BC, CA$. Gọi $ S, S’$ lần lượt là diện tích của tam giác $ ABC$, $ MBC$. Chứng minh rằng: Khi $ M$ di động ta luôn có đẳng thức $MH+MI+MK=\frac{2\sqrt{3}(S+2{S}’)}{3R}$.

2) Cho tam giác $ ABC$ có ba góc nhọn. $ AD, BE, CF$ là các đường cao. Lấy $ M$ trên đoạn $ FD$, lấy $ N$ trên tia $ DE$ sao cho$\widehat{MAN}=\widehat{BAC}.$ Chứng minh $ MA$ là tia phân giác của góc $\widehat{NMF}$.

3. Đề thi HSG Toán lớp 9 Bắc Ninh 2012 – 2013

Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: $P=\frac{{{a}^{2}}-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}$

Rút gọn biểu thức $P$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.

Câu 2. (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ $ (Oxy)$, cho parabol $ (P)$ có phương trình $y = x^2$ và đường thẳng $ d$ có phương trình $ y = kx+1$ ($ k$ là tham số). Tìm $ k$ để đường thẳng $ d$ cắt parabol $ (P)$ tại hai điểm phân biệt $ M, N$ sao cho $MN=2\sqrt{10}$.
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align} \left( x+y \right)\left( x+z \right)=12 \\ \left( y+x \right)\left( y+z \right)=15 \\ \left( z+x \right)\left( z+y \right)=20 \\ \end{align} \right.$ (Với $ x, y, z$ là các số thực dương).

Câu 3. (3,0 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{4}}-2{{y}^{4}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}-7{{y}^{2}}-5=0$.
Cho ba số $ a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$; ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$; ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=1$

Chứng minh rằng: ${{a}^{2013}}+{{b}^{2013}}+{{c}^{2013}}=1$.

Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn $ (O; R)$, đường thẳng $ d$ không đi qua $ O$ cắt đường tròn tại hai điểm $ A$, $ B$. Từ một điểm $ M$ tùy ý trên đường thẳng $ d$ và nằm ngoài đường tròn $ (O)$, vẽ hai tiếp tuyến $ MN, MP$ của đường tròn $ (O)$ ($ N$, $P$ là hai tiếp điểm).

Dựng điểm $ M$ trên đường thẳng $ d$ sao cho tứ giác $ MNOP$ là hình vuông.
Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm $M, N, P$ luôn thuộc đường thẳng cố định khi $ M$ di động trên đường thẳng $ d$.

Câu 5. (3,0 điểm)

Tìm hai số nguyên dương $ a$ và $ b$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\left[ a,b \right]+7\left( a,b \right)$ (với $ [a,b]$ là BCNN của $ a$ và $ b$, $ (a,b)$ là ƯCLN của $ a$ và $ b$).
Cho tam giác $ ABC$ thay đổi có $ AB = 6$, $ AC = 2BC$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $ ABC$.

4. Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 SGD Hải Dương năm 2012 – 2013

Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: ${A=}\left( \sqrt{{x}-\sqrt{{50}}}-\sqrt{{x+}\sqrt{{50}}} \right)\sqrt{{x+}\sqrt{{{{x}}^{{2}}}-{50}}}$ với ${x}\ge \sqrt{50}$

b) Cho ${x+}\sqrt{{3}}{=2}$. Tính giá trị của biểu thức: $$ B = x^5 – 3x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 20x + 2018 $$

Câu 2: Giải phương trình $$\frac{{4x}}{{{{x}}^{{2}}}-{5x+6}}{+}\frac{{3x}}{{{{x}}^{{2}}}-{7x+6}}{=6}$$

b) Giải phương trình sau: $$\left\{ \begin{align}
\sqrt{{x}}{+}\sqrt{{y}}{+4}\sqrt{{xy}}{=16} \\
{x+y=10} \\
\end{align} \right.$$

Câu 3:

a) Với $ a, b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu ${4}{{{a}}^{{2}}}{+3ab}-{11}{{{b}}^{{2}}}$ chia hết cho 5 thì ${{a}^{4}}-{{b}^{4}}$ chia hết cho 5.

b) Cho phương trình $\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{+bx+1}\,=0\,$ với $ a, b$ là các số hữu tỉ. Tìm $ a, b$ biết ${x=}\frac{\sqrt{{5}}-\sqrt{{3}}}{\sqrt{{5}}{+}\sqrt{{3}}}$ là nghiệm của phương trình.

Câu 4: Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm $P$ và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh $P$ là trung điểm ME.

Câu 5:

Cho ${{{A}}_{{n}}}{=}\frac{{1}}{{(2n+1)}\sqrt{{2n}-{1}}}$ với n$\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

Chứng minh rằng: ${{{A}}_{{1}}}{+}{{{A}}_{{2}}}{+}{{{A}}_{{3}}}{+}…{+}{{{A}}_{{n}}}={1}\,$.

5. Đề HSG Toán 9 SGD Kon Tum năm 2016 – 2017

Bài 1:

a. Cho $ x \ge 0$ và $ x \ne 9$. Rút gọn biểu thức $$P=\frac{2\sqrt{x}+3\sqrt{2}}{\sqrt{2x}+2\sqrt{x}-3\sqrt{2}-6}+\frac{\sqrt{2x}-6}{\sqrt{2x}+2\sqrt{x}+3\sqrt{2}+6}$$

b. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $y = x + 2m – 2$ cắt đường thẳng $y = 2x + m – 13$ tại một điểm trên trục hoành. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $ O$ đến đường thẳng $y = 2x + m – 13$ ứng với $ m$ vừa tìm được (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet)

Bài 2:

a) Cho $ x \ge 2; y \ge 0$ thỏa mãn${{y}^{2}}\sqrt{x-2}+\sqrt{x-2}=2y$. Chứng minh rằng ${{x}^{3}}\le 27$

b) Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm và CA = 5cm. Gọi H, D, $P$ lần lượt là chân đường cao, phân giác, trung tuyến kẻ từ B xuống cạnh AC. Tính diện tích của các tam giác CBD, BDP, HBD

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa điểm A) của đường tròn đó. Gọi H, K, I lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D xuống các đường thẳng BC, AB, CA

Chứng minh rằng K, H, I thẳng hàng
Chứng minh rằng $\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}$

Bài 4:

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{3}}y+3{{x}^{2}}=5y \\ 1+6xy=7{{y}^{3}} \\ \end{matrix} \right.$

b) Tìm các cặp số nguyên $ (x; y)$ thỏa mãn $$x{{y}^{2}}+2xy-243y+x=0$$

6. Đề HSG Toán 9 SGD Đồng Tháp 2016 – 2017

Bài 1:

a) Tính giá trị của $A=\frac{4\sqrt{3-2\sqrt{2}}+10}{(1+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})+1}$

b) Cho $B={{n}^{4}}+{{n}^{3}}-{{n}^{2}}-n$. Chứng minh rằng $ B$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $ n$.

Bài 2: Cho biểu thức $$P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-1}+\frac{5-2x}{x-1}$$

a) Tìm điều kiện của $x$ để $P$ xác định và rút gọn $P$.

b) Tìm $x$ để $P= 7$.

Bài 3:

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng $(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9$.
Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của $$P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$$

Bài 4:

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{x}+y}+\frac{5}{\sqrt{x}-y}=6 \\ \frac{3}{\sqrt{x}+y}-\frac{4}{\sqrt{x}-y}=-3 \\\end{matrix} \right.$

b) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì mới được nửa quảng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quảng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn dự định 1 giờ. Tính quãng đường AB

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C và B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC

a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD

b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB

Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho EC là phân giác của góc BEF. Trên tia AB lấy K sao cho BK = DF

a) Chứng minh rằng CK = CF

b) Chứng minh rằng EF = EK và EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

c) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.

7. Đề học sinh giỏi Toán 9 Nghệ An 2016 – 2017

Câu 1: (4,0 điểm)

a. Tìm các hệ số $b, c$ của đa thức $P(x)={{x}^{2}}+bx+c$ biết $P(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ khi $x=2$.

b. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-xy-{{y}^{3}}=0 \\2\sqrt{y}-2({{x}^{2}}+1)-3\sqrt{x}(y+1)-y=0 \\\end{array} \right.$

Câu 2: (4,0 điểm)

Giải phương trình $x+2=3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\sqrt{1+x}$
Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{2a}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{b}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}+\frac{c}{\sqrt{1+{{c}^{2}}}}.$$

Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}={{135}^{^\circ }}$, BC=5 cm và đường cao AH=1 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung DC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE; P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng BC, AB và I là giao điểm của EK với AC.

a) Chứng minh rằng 3 điểm P, I, Q thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK.

Câu 5: (4,0 điểm).

Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau $m,n,p,q$ thoả mãn $$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}=1$$
Trên một hàng có ghi 2 số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo nguyên tắc. Nếu có 2 số $ x, y$ phân biệt trên bảng thì ghi thêm số$z=xy+x+y$. Chứng minh rằng các số được ghi trên bảng (trừ số 1 ra) có dạng $ 3k+2$ (với $ k$ là số tự nhiên).

8. Đề thi HSG Toán 9 SGD Thái Bình năm học 2016 – 2017

Câu 1.(3,0 điểm) Cho $2x=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}+1}$. Tính $$P=\sqrt{\frac{{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-12x-11}{2{{x}^{2}}-6x+2}}$$

Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số:$y=({{m}^{2}}+2)x-{{m}^{3}}-3m+1$ và $ y=x-2m+1$ có đồ thị lần lượt là ${{d}_{1}},{{d}_{2}}.$Gọi$A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)~$ là giao điểm của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}.$

a) Tìm tọa độ điểm $ A$.

b) Tìm $ m$ nguyên để biểu thức $T=\frac{x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+3}{y_{0}^{2}-3{{y}_{0}}+3}$ nhận giá trị nguyên.

Câu 3.(4,0 điểm)

1) Giải phương trình: $2{{x}^{2}}-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

2) Giải hệ phương trình sau $$:\left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y-xy-x-1=0 \\ {{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y+6{{x}^{2}}-x-1=0 \\ \end{matrix} \right.$$

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác $ MNP$ cân tại $P$ . Gọi $ H$ là trung điểm của $ MN, K $là hình chiếu vuông góc của $ H$ trên $ PM$. Dựng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $ NK$ và cắt $ HK$ tại $ I$. Chứng minh rằng $ I$ là trung điểm của $ HK$.

Câu 5.(4,0 điểm) Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tai $ A$. Trên tia đối tia $ AC$ lấy điểm $ M$ sao cho 0<AM<AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BCM$, $ K$ là hình chiếu vuông góc của $ M$ trên $ BC, MK$ cắt $ AB$ tại $ H$. Gọi $ E,F$ lần lượt là trung điểm của $ CH$ và $ BM$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $ AFKE$ là hình vuông.

b) Chứng minh rằng $ AK,EF,OH$ đồng quy.

Câu 6.(2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương $ (x;y)$ của phương trình $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{100.110}^{2n}}$$ với $ n$ là số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương.

Câu 7.(2,0 điểm) Cho các số thực dương $ a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{ab({{a}^{3}}+{{b}^{3}})}+\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{bc({{b}^{3}}+{{c}^{3}})}+\frac{{{c}^{4}}+{{a}^{4}}}{ac({{a}^{3}}+{{b}^{3}})}$$

100 đề thi HSG Toán 9 các tỉnh trong cả nước