O₂ Education

Author: sieusale.day

  • Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ

    Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ

    Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ Phương pháp đặt ẩn phụ giải PT, bất phương trình chứa căn

    Để giải phương trình chứa căn (phương trình vô tỉ) thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những cách hiệu quả để đưa một phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn phức tạp về các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn cơ bản.

    Các phương pháp giải PT, BPT chứa căn khác là:

    1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ

    Phương pháp đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến) giải phương trình, bất phương trình vô tỉ gồm có 4 dạng:

    • Đưa về phương trình một ẩn.
    • Đưa về phương trình đẳng cấp (phương trình thuần nhất).
    • Đưa về phương trình tích (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn).
    • Đưa về hệ phương trình.

    2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+9}+\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}=7$$ Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}$, điều kiện $t \ge 0$ ta thu được phương trình \[\begin{array}{*{20}{l}}
    {}&{\sqrt {{t^2} + 7} + t = 7}\\
    \Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
    7 – t \ge 0\\
    {t^2} + 7 = {(7 – t)^2}
    \end{array} \right.}\\
    \Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
    t \le 7\\
    {t^2} + 7 = 49 – 14t + {t^2}
    \end{array} \right.}\\
    \Leftrightarrow &{t = 3}
    \end{array}\] Với $ t=3, $ ta có phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 2x + 2} = 3\]Bình phương hai vế phương trình này, tìm được nghiệm $ x=\frac{{1 \pm\sqrt {22} }}{3}.$

    Ví dụ 2. Giải bất phương trình $$\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$$ Hướng dẫn. Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với \[ {{x}^{2}}+5x+4<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28} \] Lúc này đã thấy xuất hiện một biểu thức phức tạp và xuất hiện nhiều lần. Do đó, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$ điều kiện $ t\ge0 $ thì thu được bất phương trình \[ {{t}^{2}}-5t+24<0 \] Giải bất phương trình này được $-3<t<8$. Kết hợp điều kiện được $0<t<8$, do đó có $$\sqrt {{x^2} + 5x + 28} < 8 $$ Giải bất phương trình này tìm được $ – 9 < x < 4. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}+\sqrt{(x+2)(5-x)}=4$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-2\le x\le 5$. Đặt $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}$ điều kiện $ t\ge0. $ Suy ra \[ {{t}^{2}}=7+2\sqrt{x+2}\sqrt{5-x}=7+2\sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)} \] Do đó $ \sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)}=\dfrac{{{t}^{2}}-7}{2} $ và ta thu được phương trình \[ t + \frac{{{t^2} – 7}}{2} = 4 \] Giải phương trình bậc hai này tìm được $ t=3 $. Suy ra, ta có phương trình \[{\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 – x} = 3}\] Hai vế của phương trình này đều không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình tương đương \[\begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{7 + 2\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 9}\\
    \Leftrightarrow &{\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 1}
    \end{array}\]Tiếp tục bình phương hai vế phương trình cuối cùng này ta tìm được đáp số $x={\frac{{3 \pm3\sqrt 5 }}{2}}$

    Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=2$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 1$. Nhận xét: $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$ nên đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ thì phương trình đã cho trở thành $$t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t=1$$ Với $t=1$, chúng ta có phương trình $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$. Bình phương hai vế phương trình này ta tìm được đáp số cuối cùng $x=1$.

    Ví dụ 5. Giải phương trình: $$2{{x}^{2}}-6x-1=\sqrt{4x+5}$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\ge -\frac{4}{5}$. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{4x+5}$ điều kiện $ t\ge 0 $ thì $x=\frac{{{t}^{2}}-5}{4}$. Thay vào ta có phương trình: \begin{align*}
    & 2.\frac{{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+25}{16}-\frac{6}{4}({{t}^{2}}-5)-1=t\\
    \Leftrightarrow\;& {{t}^{4}}-22{{t}^{2}}-8t+27=0\\
    \Leftrightarrow\;& ({{t}^{2}}+2t-7)({{t}^{2}}-2t-11)=0
    \end{align*} Ta tìm được bốn nghiệm là: ${{t}_{1,2}}=-1\pm 2\sqrt{2}$, ${{t}_{3,4}}=1\pm 2\sqrt{3}$. Kết hợp điều kiện được ${{t}_{1}}=-1+2\sqrt{2},{{t}_{3}}=1+2\sqrt{3}$. Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là $x=1-\sqrt{2}$ và $x=2+\sqrt{3}$.

    Ví dụ 6. Giải phương trình $$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $1\le x\le 6$. Đặt $y=\sqrt{x-1}$ điều kiện $y\ge 0$ thì phương trình trở thành: $${{y}^{2}}+\sqrt{y+5}=5\Leftrightarrow {{y}^{4}}-10{{y}^{2}}-y+20=0$$ Với $y\le \sqrt{5}$ thì phương trình tương đương với $$({{y}^{2}}+y-4)({{y}^{2}}-y-5)=0\Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{21}}{2},y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$ Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=\frac{11-\sqrt{17}}{2}$.

    Ví dụ 7. [THTT 3-2005] Giải phương trình $$x=\left( 2004+\sqrt{x} \right){{\left( 1-\sqrt{1-\sqrt{x}} \right)}^{2}}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $0\le x\le 1$. Đặt $y=\sqrt{1-\sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành $$2{{\left( 1-y \right)}^{2}}\left( {{y}^{2}}+y-1002 \right)=0\Leftrightarrow y=1$$ Từ đó tìm được nghiệm $ x=0. $

    Ví dụ 8. Giải phương trình sau: $${{x}^{2}}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-1\le x<0$. Chia cả hai vế cho $ x $ ta được phương trình $$x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}$$ Đặt $t=x-\frac{1}{x}$. Đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5} }{2}.$

    Ví dụ 9. Giải phương trình $${{x}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}=2x+1$$ Hướng dẫn. Nhận xét $x=0$ không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho $ x $ ta được: $$\left( x-\frac{1}{x} \right)+\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=2$$ Đặt $t=\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}$ thu được phương trình $${{t}^{3}}+t-2=0$$ Giải phương trình này, tìm được $t=1$. Từ đó tìm được đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.

    Ví dụ 10. Giải bất phương trình \[ \frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1 \] Hướng dẫn. Biến đổi bất phương trình đã cho thành \begin{align*}
    &\frac{1}{1-x^2}-1>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-2 \\
    \Leftrightarrow\;& \frac{x^2}{1-x^2}>3\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-2
    \end{align*} Đặt $ t= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \[{{t^2} > 3t – 2}\]

    Ví dụ 11. Tìm $ m $ để phương trình sau có nghiệm: $$ x(x-1)+4(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}=m $$ Hướng dẫn. Đặt $t=(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}$ thì $t\in \mathbb{R}$. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ${{t}^{2}}+4t-m=0$ có nghiệm. Điều kiện cần và đủ là \[ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow m\ge -4 \] Vậy với $ m\ge -4 $ thì phương trình đã cho có nghiệm.

    Ví dụ 12. Tìm $ m $ để bất phương trình $$ m\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1 \right)+x(2-x)\le 0 $$ có nghiệm $x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]$.

    Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}$ thì $x\in [0;1+\sqrt{3}] $ nên $ t\in[1;2]. $ Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với $$ m\le \frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}\,\,\,\,(*)$$ Xét hàm số $f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}$ trên $ [1,2] $ có $$f'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t+2}{{{(t+1)}^{2}}}>0$$ nên hàm số $ f(t) $ đồng biến trên đoạn $ [1,2]$

    Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm $x\in \left[ 0;\,\,1+\sqrt{3} \right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $(*)$ có nghiệm $t\in [1,2]$ khi và chỉ khi $$m\le\underset{t\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max f(t)}}=f(2)=\frac{2}{3}$$ Vậy các giá trị cần tìm là $m\le\frac{2}{3}.$

    3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất

    Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc hai hai ẩn \( x,y \) là phương trình có dạng $$ ax^2+bxy+cy^2=0 $$ Cách giải. Chúng ta có hai cách để xử lý phương trình thuần nhất bậc hai này:

    • Nếu $y=0$ thì $x=0$. Nếu $y\ne0$ ta chia cả hai vế cho $y^{2}$ và đặt $t=\frac{x}{y}$ được phương trình bậc hai $$at^{2}+bt+c=0$$
    • Nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm $M,N$ thì ta phân tích ngay phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
      \,\,\,\,\,\,\,a{x^2} + bxy + c{y^2} = 0\\
      \Leftrightarrow a(x – My)(x – Ny)
      \end{array}\] mà không cần phải đặt $t=\frac{x}{y}$.

    Ví dụ 1. [Vào 10 Trần Phú – Hải Phòng] Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x^3+1\ge0 \Leftrightarrow x\ge -1. $ Ta có $ x^3=1=(x+1)(x^2-x+1) $ mà $ (x+1)+(x^2-x+1)=x^2+2 $ tức là giữa căn thức và biểu thức còn lại có sự liên quan nhất định. Ta khai thác như thế nào?

    Viết lại phương trình đã cho thành \begin{align*}
    & 5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((x+1)+(x^2-x+1))\\
    \Leftrightarrow \;&5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((\sqrt{x+1})^2+(\sqrt{x^2-x+1})^2)
    \end{align*} Đặt $ a=\sqrt{x+1} $ và $ b=\sqrt{x^2-x+1} $ thì ta được phương trình $$ 5ab=2a^2+2b^2 $$ Phân tích đa thức thành nhân tử được $$2(a-2b)(a-\frac{1}{2}b)=0$$ Từ đó tìm được $a=2b $ hoặc $a=\frac{1}{2}b. $ Đáp số $ x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8} $$ Hướng dẫn. Đáp số $ x=3\pm\sqrt{13}. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình: $$2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}$$ Hướng dẫn. Đặt $u=\sqrt{x+1},v=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ thì phương trình trở thành: $$2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)=5uv\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    u=2v \\
    u=\frac{1}{2}v
    \end{array} \right.$$
    Tìm được đáp số $x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}$.

    Ví dụ 4. Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2\sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4} $$ Hướng dẫn. Khi giải phương trình này, việc đầu tiên là tôi thử bình phương! Được một phương trình bậc 6, thử nhóm các kiểu, loay hoay một lúc mà không được. Tôi quay lại phương trình ban đầu, quan sát biểu thức $ x^6+5x^4+8x^2+4 $ tôi thấy có mũ 6, mũ 4 và mũ 2, toàn là lũy thừa chẵn. Tôi thử tách và thành công \begin{align*}
    x^6+5x^4+8x^2+4&=(x^6+x^4)+4(x^4+2x^2+1)\\
    &=(x^2+1)(x^4+4x^2+4)
    \end{align*} Quan sát biểu thức dưới căn ở vế trái, dễ dàng nhóm thành $ (x^2+1)(x^3+1) $. Do đó, phương trình ban đầu trở thành \[ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2) \] đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ u=x+1,v=x^2-x+1. $

    Ví dụ 5. Giải bất phương trình  $$2{x^3} \le (1 + 2x – 3{x^2})\sqrt {2x + 1}$$ Hướng dẫn. Đặt $y=\sqrt{2x+1}$ điều kiện $ y\ge 0 $ thì $ {{y}^{2}}=2x+1 $ và do đó, bất phương trình đã cho trở thành: $$
    2{{x}^{3}}\le \left( {{y}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)y\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}\le 0\,\,\,(*)
    $$ Ta xét hai trường hợp:

    • $ y=0 $ tìm được nghiệm $ x=-\frac{1}{2}. $
    • $ y>0 $, chia cả hai vế bất phương trình $ (*) $ cho $ y^3 $ được \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {}&{2{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^3} + 3{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} – 1 \le 0}\\
      \Leftrightarrow &{\left( {2\frac{x}{y} – 1} \right){{\left( {\frac{x}{y} + 1} \right)}^2} \le 0}\\
      \Leftrightarrow &{\frac{x}{y} \le \frac{1}{2}}\\
      \Leftrightarrow &{y \ge 2x}
      \end{array}\]Do đó, ta được
      $\sqrt {2x + 1} \ge 2x \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l}
      \left\{ \begin{array}{l}
      x \le 0\\
      2x + 1 \ge 0
      \end{array} \right.\\
      \left\{ \begin{array}{l}
      x > 0\\
      2x + 1 \ge 4{x^2}
      \end{array} \right.
      \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
      – \frac{1}{2} \le x \le 0\\
      0 < x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}
      \end{array} \right.$

    Kết hợp hai trường hợp, được tập nghiệm là $S=\left[ -\frac{1}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$.

    4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích

    Đôi khi, phương pháp này còn được gọi là Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn. Chúng tôi sẽ có một bài viết chi tiết hơn về phương pháp này. Mời Quý thầy cô và các em học sinh đón xem.

    Ví dụ 1. [HSG 9 Thừa Thiên Huế 2003] Giải phương trình $$ x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1} $$ Hướng dẫn. Đặt $ t=\sqrt{x^2+1} $ thì phương trình trở thành $ t^2-(x+3)t+3x=0 $ là phương trình bậc hai đối với ẩn $ t. $

    Ta có $ \Delta=(x-3)^2\ge 0 \; \forall x$ do đó \[ \left[\begin{array}{l}
    t=x\\ t=3
    \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
    \sqrt{x^2+1}=x\\ \sqrt{x^2+x}=3
    \end{array}\right. \Leftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\pm 2\sqrt{2}. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1.$$ Hướng dẫn. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn $ t=\sqrt{x^2+2x-1} $ đưa về phương trình bậc hai theo $ t. $

    Đáp số $ x=-1\pm \sqrt{6}. $

    Cách khác: Các em có thể phân tích trực tiếp phương trình đã cho thành $ (x-1)^2-2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}-2=0 $

    Ví dụ 3. [HSG Vĩnh Long 2012] Giải phương trình: $$4\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1+5x+4{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$$ Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ điều kiện $t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ thì phương trình $ (\ref{ap1}) $ trở thành: \begin{align*}
    &4t=-{{t}^{4}}+7{{t}^{2}}-5\\
    \Leftrightarrow \;&{{t}^{4}}-6{{t}^{2}}+9-\left( {{t}^{2}}-4t+4 \right)=0 \\
    \Leftrightarrow \;&{{\left( {{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}-{{\left( t-2 \right)}^{2}}=0\\
    \Leftrightarrow \;&\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t-5 \right)=0
    \end{align*} Tìm được $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$. Từ đó tìm được hai nghiệm là $ x=\frac{-1-\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$ và $x=\frac{-1+\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$.

    5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\le \frac{6}{5}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
    u=\sqrt[3]{3x-2} \\
    v=\sqrt{6-5x}
    \end{array} \right. $ thì chúng ta có $ \left\{ \begin{array}{l}
    {{u}^{3}}=3x-2 \\
    {{v}^{2}}=6-5x
    \end{array} \right.$

    Do đó, ta có hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
    2u+3v=8 \\
    5{{u}^{3}}+3{{v}^{2}}=8 \end{array} \right.$$ Giải hệ này ta được $\left\{ \begin{array}{l} u=-2 \\
    v=4 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    3x-2=-2 \\
    6-5x=16 \end{array} \right.\Rightarrow x=-2$.

    Thử lại, thấy $x=-2$ là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=-2$.

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$2\text{x}+1+x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}+3}=0 $$ Hướng dẫn. Đặt $\begin{cases}
    u=\sqrt{{{x}^{2}}+2} \\
    v=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}
    \end{cases}
    $ điều kiện $ u,v>0 $ thì $$
    \begin{cases}
    {{u}^{2}}={{x}^{2}}+2 \\
    {{v}^{2}}={{x}^{2}}+2x+3 \\
    \end{cases}
    \Rightarrow \begin{cases}
    {{v}^{2}}-{{u}^{2}}=2x+1 \\
    {{x}^{2}}=\frac{{{v}^{2}}-{{u}^{2}}-1}{2} \\
    \end{cases}$$ Thay vào phương trình đã cho được $$(v-u)\left( (v-u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
    v-u=0\\
    (v+u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2}=0\\
    \end{array} \right.$$ Vì $ u,v>0 $ nên suy ra $ u=v. $

    Vậy phương trình đã cho  tương đương với $$  v=u\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} $$

  • Hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng

    Hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng

    Cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng

    Hàm số liên tục là một trong những mảng kiến thức quan trọng của Giải tích, trong bài này chúng tôi xin giới thiệu tóm tắt lý thuyết về hàm số liên tục và các dạng toán liên quan.

    Xem thêm:

    1. Tóm tắt lý thuyết hàm số liên tục

    1.1. Hàm số liên tục tại một điểm

    Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng \((a;b)\) và \(x_0\) thuộc \( (a;b) \). Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \( x_0 \) khi và chỉ khi $$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$$

    Hàm số không liên tục tại \( x_0 \) còn có thể gọi là hàm số gián đoạn tại \( x_0 \).

    Giả sử các hàm số \( y = f(x), y = g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 \). Khi đó:

    • Các hàm số \( y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) \) liên tục tại \( x_0 \).
    • Hàm số $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại \( x_0 \) nếu \( g(x_0) \ne 0 \).

    1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng

    • Hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên khoảng \( (a;b) \) khi và chỉ khi nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
    • Nếu hàm số liên tục trên khoảng \( (a;b) \) thì trên khoảng đó, đồ thị hàm số là một đường nét liền liên tục (không bị đứt).
    Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng hàm số gián đoạn tại một điểm
    Tại điểm $x_0$ đồ thị hàm số bị đứt (rời) nên có thể nói hàm số gián đoạn tại $x_0$

    1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn

    Hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a;b] \) khi và chỉ khi nó liên tục trên khoảng \( (a;b) \) và
    \[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\,\,\,\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\]

    1.4. Các hàm số liên tục thường gặp

    • Hàm số đa thức liên tục trên \( \mathbb{R} \).
    • Hàm số phân thức, căn thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

    1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục

    • Nếu hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \) và \( f(a). f(b)< 0 \) thì tồn tại ít nhất một số \( c \) thuộc khoảng \( (a; b) \) sao cho \( f(c) = 0 \).
    • Nói cách khác, nếu hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \) và \( f(a). f(b)< 0 \) thì phương trình \( f(x) = 0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( (a; b) \).
    • Nếu hàm số liên tục \( y = f(x) \) trên đoạn \( [a; b] \). Đặt \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)\), và \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)\). Khi đó với mọi số \( T \) thuộc khoảng \( (m; M) \) luôn tồn tại ít nhất một số \( c \) thuộc khoảng \( (a; b) \) sao cho \( f(c) = T \).

    2. Các ví dụ và dạng toán về hàm số liên tục

    Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm cụ thể

    Để xét tính liên tục của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) ta thực hiện các bước:

    • Kiểm tra xem hàm số có xác định trên một khoảng chứa \( x_0 \) hay không và tính giá trị \( f(x_0) \).
    • Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}  f(x)\) (trong nhiều trường hợp ta cần tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } {\mkern 1mu} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x)\))
    • So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}  f(x)\) với \( f(x_0) \) và kết luận.

    Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại \( x = 1 \).

    Hướng dẫn.

    • Hàm số xác định trên \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) chứa \( x=1 \) và \( f(1) = – 3 \)
    • Ta đi tính giới hạn hàm số tại \( x=1 \) $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}} = – 3 $$
    • Thấy ngay \( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = – 3 \), nên suy ra hàm số đã cho liên tục tại \( {x_0} = 1 \).

    Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} &\text{nếu }\,x \ne 1\\ 2x+5 &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại \( x = 1 \).

    Hướng dẫn.

    • Rõ ràng hàm số xác định tại \( x=1 \) và \( f(1) = 7 \)
    • Ta đi tính giới hạn hàm số tại \( x=1 \) $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}} = – 3 $$
    • Do \( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1) \) nên hàm số đã cho gián đoạn tại \( x_0 = 1 \).

    Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu }\,\,x \le 1 \end{array} \right.$$ tại điểm \( x = 1 \).

    Hướng dẫn. Khác với ví dụ trước, ở đây chúng ta cần đi tính giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$.

    • Hàm số xác định tại \( x=1 \) và \( f(1)=1 \)
    • Giới hạn trái tại \( x=1 \) \[ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)= \lim\limits_{x\to 1^-}1=1\]
    • Giới hạn phải tại \( x=1 \) \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}}\\
      {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}}}\\
      {}&{ = – 3}
      \end{array}\]

    Ta thấy \( \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\ne \lim\limits_{x\to 1^-}f(x) \) nên suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại \(x=1\).

    Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {2x + \frac{1}{4}}&{{\rm{khi }}\,\,x < 0}\\
    2&{{\rm{khi }}\,\,x = 0}\\
    {\dfrac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{x}}&{{\rm{khi }}\,\,x > 0}
    \end{array}} \right.\] tại điểm \( x = 0 \).

    Hướng dẫn. Chúng ta đi tính và so sánh giá trị, giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số tại điểm \( x = 0\).

    • Hàm số xác định tại \( x = 0 \) và \( f(0)=2 \).
    • Giới hạn trái tại \( x = 0 \) là \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {2x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{4}\]
    • Giới hạn phải tại \( x = 0 \) là \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{x}}\\
      {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{{{\left( {\sqrt {x + 4} } \right)}^2} – 4}}}\\
      {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}}}\\
      {}&{ = \frac{1}{4}}
      \end{array}\]

    Chúng ta thấy, \( \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x) \) nhưng lại khác \(f(0)\) nên suy ra hàm số không liên tục tại điểm \( x = 0 \).

    Dạng 2. Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

    Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}&{{\text{khi }}x \ne 0}\\
    5&{{\text{khi }}x = 0}
    \end{array}} \right.\] trên \(R\).

    Hướng dẫn. Rõ ràng khi \(x\ne0\) thì hàm số đã cho là hàm phân thức và hoàn toàn xác định nên nó liên tục trên từng khoảng \( (-\infty;0) \) và \( (0;+\infty) \).

    Chú ý không được nói hàm số đã cho liên tục trên \(( – \infty ;0) \cup (0; + \infty )\).

    Do đó, chúng ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại \(x=0\). Chúng ta có:

    • Giá trị của hàm số tại \(x=0\) là \( f(0)=5 \).
    • Giới hạn của hàm số tại \(x=0\) là \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}\\
      {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 5} \right) = 5}
      \end{array}\]

    Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x=0\). Tóm lại, hàm số đã cho liên tục trên toàn bộ tập \(R\).

    Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {2x – 1}&{{\text{khi }}x < 0}\\
    {\sqrt x }&{{\text{khi }}x \ge 0}
    \end{array}} \right.\] trên tập xác định.

    Hướng dẫn. Chúng ta có ngay tập xác định của hàm số là \(R\).

    Tập xác định của hàm số là tập mà tại mọi điểm \(x\) của tập đó, hàm số có thể tính được giá trị \(f(x)\) tương ứng.

    • Khi \( x<0 \) thì \( f(x)=2x-1 \) là hàm số liên tục.
    • Khi \( x>0 \) thì \( f(x)=\sqrt{x} \) cũng là hàm số liên tục.

    Do đó, chúng ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại điểm \( x=0 \) nữa là có thể kết luận. Tại \( x=0 \) thì \[\begin{array}{l}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\\
    f(0) = 0\\
    \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {2x – 1} \right) = – 1
    \end{array}\] Rõ ràng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại \( x=0 \).

    Tóm lại, hàm số đã cho không liên tục trên tập xác định.

    Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm

    Ví dụ 1. Tìm \( m \) để hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3mx – 1& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ liên tục tại điểm \( x = 1 \).

    Hướng dẫn.

    • Rõ ràng hàm số xác định tại \( x=1 \) và \( f(1) = – 3m.1 – 1 \).
    • Ta đi tính giới hạn hàm số tại \( x=1 \) $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}} = – 3 $$
    • Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( {x_0} = 1 \) khi và chỉ khi $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow – 3m – 1 = – 3 \Leftrightarrow m = – \frac{2}{3} $$

    Vậy giá trị m cần tìm của \( m \) là \( -3 \).

    Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định.

    Ví dụ. Tìm \( m \) để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó:
    $$ f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ – 3mx – 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \).

    • Nếu \( x \ne 1 \), thì hàm số đã cho là \( f(x) = \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}} \). Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là \( \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên mỗi khoảng \( \left( { – \infty ;1} \right) \) và \( \left( {1; + \infty } \right) \)
    • Nếu \( x = 1 \) thì chúng ta có \( f(1) = – 3m – 1 \) và \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {}&{}\\
      {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}}\\
      {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{x – 1}}}\\
      {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x – 2) = 3}
      \end{array}\] Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( {x_0} = 1 \) khi và chỉ khi \[\begin{array}{l}
      \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\\
      \Leftrightarrow – 3m – 1 = 3\\
      \Leftrightarrow m = – \frac{4}{3}.
      \end{array}\]

    Tóm lại, giá trị cần tìm là \( m = – \frac{4}{3} \).

    Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm

    Ví dụ 1. Chứng minh phương trình \( 3{x^3} + 2x – 2 = 0 \) có nghiệm trong khoảng \( \left( {0;1} \right) \).

    Hướng dẫn.

    • Xét hàm số \( f(x) = 3{x^3} + 2x – 2 \), đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập \( R \). Do đó, \( f(x) \) cũng liên tục trên đoạn \( \left[ {0;1} \right] \).
    • Ta có: $$ f(0)\cdot f(1) = ( – 2)\cdot (3) = – 6 < 0. $$

    Suy ra tồn tại ít nhất một số \( c \) trong khoảng \( (0;1) \) sao cho \( f(c) = 0 \), nghĩa là phương trình \( f(x)=0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( \left( {0;1} \right) \).

    Ví dụ 2. Chứng minh phương trình \( 2{x^3} – 6{x^2} + 5 = 0 \) có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \).

    Hướng dẫn.

    • Hàm số \( f(x) = 2{x^3} – 6{x^2} + 5 \) liên tục trên \( R \) nên suy ra \( f(x) \) liên tục trên các đoạn \( [-1;0] , [0;2]\) và \( [2;3] \).
    • Ta có: \( f( – 1) = – 3 , f(0) = 5, f(2) = – 3 , f(3) = 5 \). Suy ra \[\begin{array}{l}
      f( – 1)\cdot f(0) < 0\\
      f(0)\cdot f(2) < 0\\
      f(2)\cdot f(3) < 0
      \end{array}\] Do đó, phương trình đã cho có nghiệm trong mỗi khoảng \( \left( { – 1;0} \right) \), \( \left( {0;2} \right) \) và \( \left( {2;3} \right) \).

    Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \).

    Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình \( a{x^2} + bx + c = 0 \) luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).

    Hướng dẫn. Hàm số \( f(x) = a{x^2} + bx + c \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) nên cũng liên tục trên đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \).

    Ta có $$ f(0) = c, f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0 $ nên $$ f(0) =-18f(\frac{1}{3}) $$ Như vậy, chúng ta thấy

    • Nếu \( f(0) = f(\frac{1}{3}) = 0 \) thì phương trình có nghiệm chính là \( 0 \) và \( \frac{1}{3} \) thuộc đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \).
    • Nếu \( f(0) =-18 f(\frac{1}{3}) \ne 0 \) thì \( f(0)\cdot f(\frac{1}{3}) =-\left(f(0)\right)^2 < 0 \). Lúc này, phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \).

    Tóm lại, phương trình đã cho luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).

    3. Bài tập hàm số liên tục

    Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

    a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & \frac{x+3}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
    & -1& \text{ khi }\,\,x=1 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=-1$
    b) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
    & \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\,\,\,& \text{ khi }\,x\ne 1\,\,\,\,\,\, \\
    & \frac{1}{4}& \text{ khi }\,\,x=1 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=1$
    c) $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\dfrac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}}&{{\rm{khi }}{\mkern 1mu} x \ne 2{\mkern 1mu} }\\
    1&{{\text{khi }} x = 2}
    \end{array}} \right. $
    tại $x=2$
    d) $f(x)\,=\,\left\{ \begin{align}
    & \frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}\,\,& \text{ khi }\,\,x>5 \\
    & {{(x-5)}^{2}}+3\,\,\,\,\,& \text{ khi }\,x\le \,\,5 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=5$
    e) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
    & 1-\cos x& \text{ khi }\,x\le 0 \\
    & \sqrt{x+1}& \text{ khi }\,\,x>0 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=0$
    f) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & \frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
    & -2x& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=1$

    Bài 2. Tìm $m, n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

    a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
    & 2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=1$
    b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
    & 3x+m& \text{ khi }\,\,x=1 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=1$
    c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & m& \text{ khi }\,\,x=0 \\
    & \frac{{{x}^{2}}-x-6}{x(x-3)}& \text{ khi }\,\,x\ne 0,x\ne 3 \\
    & n& \text{ khi }\,\,x=3 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=0$ và $x=3$
    d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
    & m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
    \end{align} \right.$
    tại $x=2$

    Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

    a) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
    & \frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}& \text{ khi }\,\,x\ne -1 \\
    & \frac{4}{3}& \text{ khi }\,\,x=-1 \\
    \end{align} \right.$
    b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}-3x+4& \text{ khi }\,\,x<2 \\
    & 5& \text{ khi }\,\,x=2 \\
    & 2x+1& \text{ khi }\,\,x>2 \\
    \end{align} \right.$
    c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & \frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}& \text{ khi }\,\,x\ne -2 \\
    & -4& \text{ khi }\,\,x=-2 \\
    \end{align} \right.$
    d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & \frac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}& \text{ khi }\,\,x\ne \sqrt{2} \\
    & 2\sqrt{2}& \text{ khi }\,\,x=\sqrt{2} \\
    \end{align} \right.$

    Bài 4. Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

    a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    & \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
    & m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
    \end{align} \right.$
    b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    &{{x}^{2}}+x& \text{ khi }\,\,x<1 \\
    &2& \text{ khi }\,\,x=1 \\
    &mx+1& \text{ khi }\,\,x>1 \\
    \end{align} \right.$
    c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    &\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}&\text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
    &3x+m & \text{ khi }\,\,x=1 \\
    \end{align} \right.$
    d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
    &{{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
    &2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
    \end{align} \right.$

    Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

    a) ${{x}^{3}}-3x+1=0$
    b) ${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+1=0$
    c) $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$

    Bài 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

    a) ${{x}^{5}}-3x+3=0$
    b) ${{x}^{5}}+x-1=0$
    c) ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$

    Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có 5 nghiệm trên khoảng \( (-2; 2) \).

    Bài 8. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

    a) $m{{(x-1)}^{3}}(x-2)+2x-3=0$
    b) ${{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-2mx-2=0$
    c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$
    d) $(1-{{m}^{2}}){{(x+1)}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3=0$
    e) $\cos x+m\cos 2x=0$
    f) $m(2\cos x-\sqrt{2})=2\sin 5x+1$

    Bài 9. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:

    a) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $2a + 3b + 6c = 0$
    b) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với \( a + 2b + 5c = 0 \)
    c) ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$

    Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm \( x \) thuộc $\left[ 0;\frac{1}{3} \right]$ với \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).

  • Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.

    Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

    Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.

    Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $\sqrt{A}\pm\sqrt{B}$ là $\sqrt{A}\mp\sqrt{B}$, tức là biến đổi:
    $$ \sqrt{A}\pm \sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}$ là $(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2$ $$ \sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}=\frac{A\pm B}{(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2} $$

    • Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
    • Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.

    Xem thêm:

    2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3\sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như sau\begin{align*}
    & x^3+8-3\sqrt{x+3}+3=0 \\
    \Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x+3}+1}=0\\
    \Leftrightarrow &(x+2)\left(x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}\right)=0\\
    \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}
    x+2=0\\x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}=0 \qquad (*)
    \end{array}\right.
    \end{align*} Ta có \[\begin{array}{l}
    {x^2} + 2x + 4 \ge 3\\
    – \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge – 3\\
    \Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge 0.
    \end{array}\] Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức nên phương trình (*) vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

    Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể  tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{x+1}~+1=4{{x}^{2}}+\sqrt{3x} $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ x\ge0 $ thì phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    &4{{x}^{2}}-1+\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}=0\\
    \Leftrightarrow & (2x+1)(2x-1)+\frac{2x-1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}=0\\
    \Leftrightarrow & (2x-1)\left( 2x+1+\frac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}} \right)=0\\
    \Leftrightarrow & 2x-1=0\\
    \Leftrightarrow & x=\frac{1}{2}
    \end{align*} So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=\frac{1}{2}. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+x=\sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge \sqrt[3]{2}$. Đoán được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
    &\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = \sqrt {{x^3} – 2} – 5 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {x – 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \\
    \Leftrightarrow\;& x = 3
    \end{align*} Ta có \[\begin{array}{*{20}{c}}{1 + \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} \right)}^2} + 3}}}\\
    {}&{ < 2 < \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}}}
    \end{array}\] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=3. $

    Ví dụ 4. Giải phương trình $$ \sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4} $$ Hướng dẫn. Nhận xét $\left( 3{{x}^{2}}-5x+1 \right)-\left( 3{{x}^{2}}-3x-3 \right)=-2(x-2)$ và $\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=3(x-2)$ nên ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
    &\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}=\sqrt{{{x}^{2}}-2}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}\\
    \Leftrightarrow\;& \frac{-2(x-2)}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\\
    \Leftrightarrow\;& (x-2)\left[ \frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}} \right]=0
    \end{align*} Ta có $ \dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}>0 $ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+15}=3x-2 +\sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau \begin{align}
    &\sqrt{x^2+15}-4=3x-3+\sqrt{x^2+8}-3 \notag\\
    \Leftrightarrow &\frac{x^2+15-16}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2+8-9}{\sqrt{x^2+8}+3}\notag\\
    \Leftrightarrow &\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \,\,\,(*)
    \end{align} Xét hai trường hợp:

    • $ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
    • $ x\ne 1 $ thì phương trình $$ (*)\Leftrightarrow\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3$$ Vì $ \sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8} $ nên từ phương trình đã cho, chúng ta suy ra
      \begin{align*} &3x-2=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}\\
      \Leftrightarrow \;& 3x-2>0 \Leftrightarrow x>\frac{2}{3}
      \end{align*} Suy ra $ x+1>0 $ và như vậy $ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3>\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}} $ hay phương trình $(*)$ vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

    Ví dụ 6. Giải phương trình\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ -\frac{1}{3}\le x\le 6. $ Đoán được nghiệm $ x=5 $ nên ta tách phương trình đã cho thành:
    \[ (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0 \] Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:
    \begin{align*}
    &\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\\
    \Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right)=0
    \end{align*} Vì $ -\frac{1}{3}\le x\le 6 $ nên $$ \dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0,$$ do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

    Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.

    Ví dụ 7. Giải phương trình \[ (x+3)\sqrt{x+4}+(x+9)\sqrt{x+11}=x^2+9x+10 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge -4 $. Dễ dàng đoán được nghiệm $ x=5 $, nên ta tách thành: \[ (x+3)\left(\sqrt{x+4}-3\right)+(x+9)\left(\sqrt{x+11}-4\right)=x^2+2x-35 \] Sau đó, nhân liên hợp được: \begin{align*}
    &(x+3)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+4}+3}+(x+9)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\\
    \Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7\right)=0
    \end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7=0\,\,(*)
    $$ Vì điều kiện là $ x\ge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ \frac{1}{\sqrt{x+4}+3} $ và $ \frac{1}{\sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ \frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau:
    \begin{align*}
    VT(*)&= \frac{x+4}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{x+4}{2}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{x+9}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
    &=(x+4)\left(\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{1}{2}\right)+(x+9)\left(\frac{1}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
    &<0
    \end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

    Ví dụ 8. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}=2x-1 $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách PT đã cho thành \[ \left(\sqrt{x^2+8}-3\right)-\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)-2(x-1)=0 \] Sử dụng phương pháp nhân liên hợp được \[ (x-1)\left((x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2\right)=0 \] Nhận xét rằng $ \sqrt{x^2+8}+3>\sqrt{x^2+3}+2 $ nên $$ \frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}<0 $$ Mặt khác, từ phương trình đã cho có $ 2x-1=\sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}>0 \Leftrightarrow x>\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+1>\frac{3}{2} . $ Do đó, $$ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)<0 $$ và dẫn tới \[ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2<0 \] Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

    Ví dụ 9. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+5}+\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.

    Ví dụ 10. Giải phương trình $$\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$$ Hướng dẫn. Điều kiện xác định của phương trình là $x\ge 1$. Với diều kiện đó, ta có: $(x+2)-(x-1)=3>0$ nên $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}>0$ với $x\ge 1$. Nhân hai vế của phương trình với $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}$ ta được \begin{align*}
    &\bigg( (x+2)-(x-1) \bigg)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}\ge 1 \\
    {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}} \\
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    {{x}^{2}}+x-3\ge 0\\
    {{x}^{2}}+x-1-2\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2\sqrt{x+2}.\sqrt{x-1} \\
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
    {{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
    {{x}^{2}}-x-2=0 \\
    \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
    x=-1\vee x=2 \\
    \end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1\vee x=2.
    \end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $

    Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ \left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}-3} \right)\ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    & 4\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} \right)\ge 4\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1} \right)\\
    \Leftrightarrow & 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\\
    \Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge 2x+2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\\
    \Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4\ge 0\\
    \Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l}x\le -2 \\ x\ge 2 \\ \end{array} \right.
    \end{align*} Kết hợp với điều kiện $x\ge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+\infty)$.

    Nhận xét. Bất phương trình này hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!

    Ví dụ 12. Giải bất phương trình $$2x+5>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ 1\le x\le 2. $ Chúng ta có $$ 2x+5=3x+4-(x-1)=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right) $$ nên bất phương trình đã cho tương đương với tương đương với \begin{align*}
    & \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right)>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\\
    \Leftrightarrow & \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2-x} \text{\quad (vì $ \sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}>0 $)}
    \end{align*} Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $

    Ví dụ 13. Giải phương trình $$\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$\left( 2{{x}^{2}}+x+9 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)=2\left( x+4 \right)$$ Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ x\ne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được $$\frac{2x+8}{\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4\Rightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$$ Thu được hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt {2{x^2} + x + 9} – \sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2\\
    \sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4
    \end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = \frac{8}{7}
    \end{array} \right. \] Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = \frac{8}{7}. $

    3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

    Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.

    Bài 1. Giải phương trình $ \sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6 $

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 2. Giải phương trình $ \sqrt{4x^2 +5x+1}-2\sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $

    Đáp số. $ x=\frac{1}{3}. $

    Bài 3. Giải phương trình $ \sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2} $

    Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4}\right)+\left(\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2}\right)=0, $ rồi nhân liên hợp…
    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 4. Giải phương trình $ \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $

    Hướng dẫn. Tách thành $ \left(\sqrt{x-2}-1\right) +\left(\sqrt{4-x}-1\right)-\left(2x^2-5x-3\right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại…
    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 5. Giải phương trình $2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 5-x \right)}=x+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 10-x \right)}$

    Đáp số. $ x=1,x=\frac{15+5\sqrt{5} }{2} $

    Bài 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

    Đáp số. $ x=2 $

    Bài 7. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+\sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$

    Bài 8. [Đề thi Olympic 30/4 năm 2007] Giải phương trình $2{{x}^{2}}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$

    Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$

    Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=\left( x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

    Bài 11. Giải phương trình $1+\sqrt{x}=4x^{2}+\sqrt{3x-1}$

    Đáp số. $x=\frac{1}{2}$

    Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{x}=1-\sqrt[3]{3x^2+x-1}+\sqrt[3]{2x+1} $

    Đáp số. $ x=1 $

    Bài 13. Giải phương trình $ 2\sqrt {{x^2} + 5} = 2\sqrt {x – 1} + {x^2} $

    Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2\sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2\sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow 2\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ \frac{2(x+2)}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+x+2\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {x – 1} + 1}} + \left( {x + 2} \right)\left( {1 – \frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} \right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.

    Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5} $

    Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{{{x}^{2}}+12}-\sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành \begin{align*}
    & \sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+\sqrt{{{x}^{2}}+5}-3\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3\left( x-2 \right)+\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \\
    & \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 \right)=0\Leftrightarrow x=2
    \end{align*} Chứng minh được $\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3<0,\forall x>\frac{5}{3}$.
    Đáp số. $ x=2 $

    Bài 15. Giải bất phương trình $\frac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$

    Đáp số. $ \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$

  • Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

    Giải phương trình chứa căn thức, bất PT chứa căn (PT, BPT vô tỷ) ngoài cách nâng lên lũy thừa thì chúng ta còn có thể phân tích thành tích các nhân tử, mỗi nhân tử là một PT, BPT đơn giản hơn.

    Xem thêm:

    Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

    • $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
    • $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$

    Sau đây, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ.

    1. Ví dụ giải phương trình, bất phương trình chứa căn bằng phân tích thành tích

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    & \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
    \Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
    1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
    \sqrt {x + 3} – 2x = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = 1
    \end{array} \right.
    \end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

    Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến PT đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = – 1
    \end{array} \right.$$ Đáp số $ x=0,x=-1. $

    Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:

    • $ x = 1 $ là nghiệm.
    • $ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
    • $x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

    Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    &x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
    \Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
    \end{align*} Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

    Ví dụ 5. Giải phương trình $${{x}^{2}}-2x-3=\sqrt{x+3}$$ Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,{x^2} – x + \frac{1}{4} = x + 3 + \sqrt {x + 3} + \frac{1}{4}\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 3} + \frac{1}{2}} \right)^2}
    \end{array}\] Đến đây tách thành hai phương trình đơn giản hơn. Đáp số. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \vee x = 1 – \sqrt {13}$.

    Ví dụ 6. Giải phương trình $$x-2\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\left( x-1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}-x}=0$$ Hướng dẫn. Bình phương, biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,2x\sqrt {{x^2} – x} – 4\sqrt {{x^2} – x} + {x^3} – 4{x^2} + 6x – 4 = 0\\
    \Leftrightarrow (x – 2)(2\sqrt {{x^2} – x} + {x^2} – 2x + 2) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $x=2$.

    Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số $ m, $ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \[{{x}^{2}}+2x-8=\sqrt{m\left( x-2 \right)}\] Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 2$, do $ m > 0. $ PT tương đương với \[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right) = \sqrt {m\left( {x – 2} \right)} .\]Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT \[{x^3} + 6{x^2} – 32 = 0\,\,\,\,\,\,\,(*)\] có một nghiệm khác 2.

    Thật vậy, đặt $ f\left( x \right)={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-32,x\ge 2 $ thì ta có \[f(2) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = + \infty ,f’\left( x \right) = 3{x^2} + 12x > 0,\forall x \ge 2\] Suy ra $ f(x) $ là hàm liên tục trên $ \left[ 2;+\infty \right) $ và đồng biến trên khoảng đó. Do đó, với mọi $m>0$ phương trình (*) luôn có nghiệm $ x_0 $ mà $2 < x_0 <+\infty $.

    2. Bài tập phân tích thành tích giải phương trình, bất phương trình

    Giải các phương trình, bất phương trình sau:

    Bài 1. Giải phương trình $ (x+3)\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12 $
    Đáp số. $ x=-3 $

    Bài 2. Giải phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$
    Đáp số. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right]\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left[ 3;+\infty \right)$

    Bài 3. Giải bất phương trình $\left( x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\le {{x}^{2}}-9$
    Hướng dẫn. Xét ba trường hợp $ x=3, x>3 và x<3. $ Đáp số. $x<-\frac{5}{6}\vee x\ge 3$

    Bài 4. Giải BPT $ \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{x-11}\ge \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{2x-9} $
    Đáp số. $ -3;\left[-2,4\right] $

    Bài 5. Giải bất phương trình chứa căn $\frac{\sqrt{51-2x-{{x}^{2}}}}{1-x}<1$
    Hướng dẫn. Xét hai trường hợp của $ x-1. $ Đáp số. $1-\sqrt{52}\le x<-5\vee x>1$

    Bài 6. Giải BPT $\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+\sqrt{1+x} \right)}^{2}}}>x-4$
    Đáp số. $-1\le x<8$

    Bài 7. Giải PT $ \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^2+3x+2} $
    Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt[3]{x+1}-1\right) +\left(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x^2+3x+2}\right)=0$ rồi phân tích thành tích.
    Đáp số. $ x=0,x=-1 $

    Bài 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$
    Hướng dẫn. Nhận xét $ x=0 $ không là nghiệm, chia hai vế cho $ x $ được: $$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}+\sqrt[3]{x}=1+\sqrt[3]{x+1}$$ $$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)=0$$ Đáp số. $x=1$

    Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
    Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ và biến đổi \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\
    \Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\
    \Leftrightarrow x = 1.
    \end{array}\]

    Bài 10. Giải phương trình $ x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(x-1-2\sqrt{x-1}\right) +\left(2\sqrt{7-x}-\sqrt{(7-x)(x-1)}\right)=0$…
    Đáp số. $ x=5,x=4 $

    Bài 11. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6 $
    Hướng dẫn. $ \sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+7}-3\right)-2\left(\sqrt{x+7}-3\right)=0 $
    Đáp số. $ x=1,x=2 $

    Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+3x}+2 \sqrt{ x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5} $
    Hướng dẫn. \[\begin{array}{l}
    x\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – \sqrt {\frac{{(x + 2)(x + 3)}}{x}} + 2\sqrt {x + 2} – 2x = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt {x – 2} } \right)\left( {\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – 2} \right) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $ x=1,x=2 $

    Bài 13. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left( \sqrt{x+3}-2x \right)\left( \sqrt{x+1}-1 \right)=0 $
    Đáp số. $x=0,x=1$

    Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $
    Đáp số. $x= 1;x=2-\sqrt{2} $

    Bài 15. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
    Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ được $ \left( 1-\sqrt{\frac{4x}{x+3}} \right)^2=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 16. Giải phương trình $ 2 x^2-6x+10-5(x-2)\sqrt{x+1}=0 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    2{(x – 2)^2} + 2(x + 1) – 5(x – 2)\sqrt {x + 1} = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {2(x – 2) – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {(x – 2) – 2\sqrt {x + 1} } \right) = 0
    \end{array}\] Đáp số. $ x=3,x=8 $

    Bài 17. Giải phương trình $ 4x^2+\sqrt{ 2x+3}=8x+1 $
    Hướng dẫn. $ 4x^2-6x+\frac{9}{4}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^2-2\sqrt{2x+3}+\frac{1}{4}$
    Đáp số. $x= \frac{5-\sqrt{21}}{4},x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} $

    Bài 18. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+x+2}=\frac{x^2+5x+2}{2x+2} $
    Hướng dẫn. Nhân chéo, nhóm thành $$ \left(\sqrt{x^2+x+2}\right)^2-2x\sqrt{x^2+x+2}-2\sqrt{x^2+x+2}+4x=0 $$
    Đáp số. $ x=1,x=-2 $

    Bài 19. Giải phương trình $ 2\sqrt{2x+3}-\frac{3}{x}=x+2 $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \frac{1}{x}\left(x-\sqrt{2x+3}\right)^2=0 $
    Đáp số. $x=3$

    Bài 20. $ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[6]{x^5-2x^4+x^3} $
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left(1-\sqrt[3]{x-1}\right)(1-\sqrt{x})=0 $
    Đáp số. $x=1,x=2$

    Bài 21. Giải phương trình $ 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x^2+6x}=2\sqrt{2x}+\sqrt{x^2+4x+3} $
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(\sqrt{ x+1}-\sqrt{ 2x}\right)\left(2-\sqrt{x+3}\right)=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 22. Giải phương trình $ 4x\sqrt{x+7}+3x\sqrt{7x-3}=6x^2+2\sqrt{ 7x^2 +46x-21} $
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$ \left(2x-\sqrt{7x-3}\right)\left(2\sqrt{x+7}-3x\right)=0 $$Đáp số. $x=1,x=2,x=\frac{3}{4}$

    Bài 23. Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }}
    \end{array}\] Đáp số. $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$

    Bài 24. Giải phương trình $2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành ${{\left( 1+\sqrt{3+x} \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}$
    Đáp số. $x=1,x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$

    Bài 25. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
    Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)^3=0 $
    Đáp số. $x=1$

    Bài 26. Giải phương trình $\sqrt[4]{x+1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[4]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$
    Đáp số. $x=0, x=1$

    Bài 27. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$Đáp số. $x=0, x=1$

    Bài 28. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
    Hướng dẫn. Sử dụng biến đổi $ a^3-b^3=0 \Leftrightarrow a=b$
    Đáp số. $x=1$

    Bài 29. Giải phương trình $4{{x}^{2}}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$\left( 4{{x}^{2}}-4x\sqrt{x+3}+x+3 \right)\left( 1-2\sqrt{2x-1}+2x-1 \right)=0$$Đáp số. $x=1$

    Bài 30. Giải phương trình $\frac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$
    Đáp số. $ x=1 $

    Bài 31. Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3x+3}+\sqrt{2x}=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2x}$
    Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$ Đáp số. $x=0$

  • ĐỀ THI TOÁN 12 HỌC KÌ II 2020 XUÂN TRƯỜNG B

    ĐỀ THI TOÁN 12 HỌC KÌ II 2020 XUÂN TRƯỜNG B

    ĐỀ THI TOÁN 12 HỌC KÌ II 2020 XUÂN TRƯỜNG B

    Ngày 12/6/2020, trường THPT Xuân Trường B đã tổ chức thi Khảo sát học kì 2 năm học 2019-2020 các môn Toán, Văn, Anh và tổ hợp KHTN, KHXH. Chúng tôi xin giới thiệu đề thi Toán 12 học kì II gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm theo cấu trúc ma trận đề minh họa tốt nghiệp 2020. File word đề thi và đáp án, xin mời thầy cô và các em học sinh tải ở cuối bài viết.

    Xem thêm:

    1. Đề thi toán 12 học kì II Mã đề 132

    Câu 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right).$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    A. $\varphi ={{60}^{0}}.$
    B. $\varphi ={{30}^{0}}.$
    C. $\sin \varphi =\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
    D. $\sin \varphi =\frac{\sqrt{5}}{5}.$

    Câu 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

    Đề thi toán 12 học kì ii Xuân Trường B Nam Định

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    A. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=1.$
    B. Hàm số $y=f(x)$ không đạt cực trị tại $x=-1.$
    C. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=-2.$
    D. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=-1.$

    Câu 3: Thu gọn số phức $z=\left( 2+3i \right)\left( 2-3i \right)$ ta được

    A. $z=13.$
    B. $z=-9i.$
    C. $z=4-9i.$
    D. $z=4.$

    Câu 4: Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.

    đề thi toán 12 học kì ii CÂU 4

    Số nghiệm dương của phương trình $f\left( x \right)=1$ là

    A. $2.$
    B. $3.$
    C. $1.$
    D. $0.$

    Câu 5: Môđun của số phức $z=4-2i$ bằng

    A. $\sqrt{12}.$
    B. $20.$
    C. $2.$
    D. $2\sqrt{5}.$

    Câu 6: Trong không gian $Oxyz,$ phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;\,2;\,-3)$ là

    A. $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=2+2t \\& z=3-3t \\ \end{align} \right..$
    B. $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=2+2t \\& z=-3+3t \\ \end{align} \right..$
    C. $x+2y-3z+4=0.$
    D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{3}.$

    Câu 7: Bất phương trình ${{\log }_{3}}3x>2$ có tập nghiệm là

    A. $\left( -\infty ;3 \right).$
    B. $\left( -\infty ;0 \right).$
    C. $\left( 3;+\infty \right).$
    D. $\left( 0;+\infty \right).$

    Câu 8: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2{{z}^{2}}+\sqrt{3}z+3=0.$ Khi đó, giá trị của $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ bằng

    A. $9.$
    B. $4.$
    C. $\frac{-9}{4}.$
    D. $\frac{9}{4}.$

    Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\cos x.$

    A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\cos 2x+\text{C}.$
    B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\sin x+\text{C}.$
    C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=-\sin x+\text{C}.$
    D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}x+\text{C}.$

    Câu 10: Cho số thực $a>0,\,\,a\ne 1$ và các số thực dương $x,\,\,y$ bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    A. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y.$
    B. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x.{{\log }_{a}}y.$
    C. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y.$
    D. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}=\frac{{{\log }_{a}}x}{{{\log }_{a}}y}.$

    Câu 11: Phương trình ${{4}^{3x-2}}=16$ có nghiệm là

    A. $x=\frac{3}{4}.$
    B. $x=\frac{4}{3}.$
    C. $x=2.$
    D. $x=4.$

    Câu 12: Xét $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{10}}\text{d}x},$ nếu đặt $u=2x-1$ thì $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{10}}\text{d}x}$ bằng

    A. $\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
    B. $2\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
    C. $\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
    D. $\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}x}.$

    Câu 13: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm ${f}’\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2-x \right).$ Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ là

    A. $6.$
    B. $2.$
    C. $1.$
    D. $3.$

    Câu 14: Đường thẳng có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

    A. $y=\frac{1+x}{1-x}.$
    B. $y=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{2-x}.$
    C. $y=\frac{x-2}{x+2}.$
    D. $y=\frac{1+{{x}^{2}}}{1+x}.$

    Câu 15: Đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số sau đây luôn nằm dưới trục hoành?

    A. $y=-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-1.$
    B. $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+3.$
    C. $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2.$
    D. $y=-{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1.$

    Câu 16: Cho số phức $z=6+7i$ có số phức liên hợp là $\overline{z}.$ Trên mặt phẳng toạ độ, điểm biểu diễn của số phức $\overline{z}$ là điểm nào dưới đây?

    A. $P\left( -6;7 \right).$
    B. $Q\left( -6;-7 \right).$
    C. $M\left( 6;7 \right).$
    D. $N\left( 6;-7 \right).$

    Câu 17: Tìm tập xác định của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( x-2 \right).$

    A. $\left( 2;\,\,+\infty \right).$
    B. $\left[ 2;\,\,+\infty \right).$
    C. $\left( 0;+\infty \right).$
    D. $\left( -\infty ;\,\,2 \right).$

    Câu 18: Trong không gian $Oxyz,$ mặt cầu tâm $I\left( 2;-1;2 \right)$ và đi qua điểm$A\left( 2;0;1 \right)$có phương trình là

    A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2.$
    B. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2.$
    C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\sqrt{2}.$
    D. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1.$

    Câu 19: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x+y-z-3=0$ và các điểm $M\left( 1;\,\,0;\,\,-1 \right)$,$N\left( 3;\,\,1;\,\,-1 \right)$, $P\left( 1;\,\,1;\,-1 \right),\,\,Q\left( 3;\,\,1;\,\,1 \right).$ Trong các điểm $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,$ số điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ là

    A. $3.$
    B. $4.$
    C. $1.$
    D. $2.$

    Câu 20: Trong mặt phẳng, cho $6$ điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập 6 điểm đã cho?

    A. $120.$
    B. $20.$
    C. $15.$
    D. $60.$

    Câu 21: Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i,{{z}_{2}}=2-3i.$ Phần ảo của số phức $3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ bằng

    A. $11.$
    B. $12.$
    C. $10.$
    D. $0.$

    Câu 22: Cho cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$ có ${{a}_{3}}=8$ và ${{a}_{6}}=64.$ Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó.

    A. ${{a}_{10}}=2048.$
    B. ${{a}_{10}}=1024.$
    C. ${{a}_{10}}=-1024.$
    D. ${{a}_{10}}=512.$

    Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+2}{x+1}$trên $\left[ \frac{-1}{2};2 \right]$ bằng

    A. $2.$
    B. $\frac{10}{3}.$
    C. $3.$
    D. $\frac{8}{3}.$

    Câu 24: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

    đề toán 12 hk2 2020 Xuân Trường B .jpg

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    A. $(3;+\infty ).$
    B. $(-1;2).$
    C. $(1;3).$
    D. $(-\infty ;1).$

    Câu 25: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

    A. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}.$
    B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}.$
    C. $\frac{3{{a}^{3}}}{8}.$
    D. $\frac{3{{a}^{3}}}{6}.$

    Câu 26: Một khối nón có góc ở đỉnh bằng ${{60}^{0}}$ và diện tích đáy bằng $9\pi .$ Thể tích của khối nón bằng

    A. $9\pi \sqrt{3}.$
    B. $6\pi \sqrt{3}.$
    C. $12\pi \sqrt{3}.$
    D. $8\pi \sqrt{3}.$

    Câu 27: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $y=F\left( x \right).$ Với $a,\,b\in \mathbb{R},$ khẳng định nào sau đây là đúng?

    A. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)+F\left( a \right).$
    B. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)F\left( a \right).$
    C. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( a \right)-F\left( b \right).$
    D. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)-F\left( a \right).$

    Câu 28: Cho khối cầu $\left( S \right)$ có thể tích bằng $\frac{500}{3}\pi .$ Tính diện tích của mặt cầu $\left( S \right).$

    A. $25\pi .$
    B. $50\pi .$
    C. $75\pi .$
    D. $100\pi .$

    Câu 29: Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.

    đề toán 12 hk2 2020.jpg
    Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

    A. $y=\frac{2x+1}{x+1}.$
    B. $y=\frac{1-2x}{x+1}.$
    C. $y=\frac{2x+1}{x-1}.$
    D. $y=\frac{2x-1}{x+1}.$

    Câu 30: Thể tích $V$ của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là

    A. $V=\frac{1}{3}Bh.$
    B. $V=Bh.$
    C. $V=\frac{1}{2}Bh.$
    D. $V=\frac{4}{3}Bh.$

    Câu 31: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sin x,\,\,x=0,\,\,x=\frac{\pi }{4}$ và trục hoành.

    A. $S=\sqrt{2}-1.$
    B. $S=\frac{\sqrt{2}}{2}-1.$
    C. $S=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.$
    D. $S=1+\frac{\sqrt{2}}{2}.$

    Câu 32: Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 1;\,\,-2;\,\,5 \right),\,B\left( -3;\,\,4;\,-1 \right).$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ là

    A. $2x-3y+3z-1=0.$
    B. $2x-3y-3z-1=0.$
    C. $-2x+3y+3z-1=0.$
    D. $2x-3y+3z+1=0.$

    Câu 33: Trong không gian $Oxyz,$ cho 3 điểm $A\left( 1;\,\,2;\,\,-1 \right),\,\,B\left( -1;\,\,2;\,\,-1 \right),\,\,C\left( 2;\,\,0;\,\,-1 \right).$ Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

    A. $D\left( 0;\,\,0;\,\,-1 \right).$
    B. $D\left( 4;\,\,0;\,\,-1 \right).$
    C. $D\left( -4;\,\,0;\,\,1 \right).$
    D. $D\left( -4;\,0;\,\,-1 \right).$

    Câu 34: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và thiết diện qua trục của nó là một hình vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.

    A. $5\pi {{R}^{2}}.$
    B. $2\pi {{R}^{2}}.$
    C. $6\pi {{R}^{2}}.$
    D. $3\pi {{R}^{2}}.$

    Câu 35: Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( 2;\,\,0;\,\,1 \right)$ lên đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{align}
    & x=1+t \\
    & y=2t \\
    & z=2+t \\
    \end{align} \right.$ là điểm

    A. $P\left( 0;\,\,-2;\,\,1 \right).$
    B. $Q\left( 1;\,\,0;\,\,2 \right).$
    C. $E\left( -1;\,\,0;\,\,-2 \right).$
    D. $F\left( 0;\,\,-2;\,\,-1 \right).$

    Câu 36: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cùng một cường độ âm và cùng một tần số. Khi một ca sĩ hát thì mức cường độ âm là $67dB.$ Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là $80dB.$Biết mức cường độ âm $L$ được tính theo công thức $L=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}},$ trong đó $I$ là cường độ âm và ${{I}_{0}}$ là cường độ âm chuẩn. Số ca sĩ trong ban hợp ca đó gần nhất với kết quả nào sau đây?

    A. 20 người.
    B. 19 người.
    C. 16 người.
    D. 18 người.

    Câu 37: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+ax^2+b$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.

    đề toán 12 hk2 2020 câu 37

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    A. $a<0,\text{ }b<0.$
    B. $a>0,\text{ }b<0.$
    C. $a>0,\text{ }b>0.$
    D. $a<0,\text{ }b>0.$

    Câu 38: Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h=20\,cm,$ bán kính đáy $r=25\,cm.$ Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm $O$ của đáy bằng $12\,cm.$ Khi đó diện tích thiết diện của khối nón được cắt bởi $\left( P \right)$ bằng

    A. $475\,c{{m}^{2}}.$
    B. $550\,c{{m}^{2}}.$
    C. $450\,c{{m}^{2}}.$
    D. $500\,c{{m}^{2}}.$

    Câu 39: Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $B=\left\{ 0;1;2;…;9 \right\}.$ Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập $A.$ Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.

    A. $\frac{11}{27}.$
    B. $\frac{1}{9}.$
    C. $\frac{8}{27}.$
    D. $\frac{16}{27}.$

    Câu 40: Bất phương trình ${{4}^{x}}<{{2}^{x+1}}+3$ có tập nghiệm là

    A. $\left( -1;3 \right).$
    B. $\left( 0;{{\log }_{2}}3 \right).$
    C. $\left( {{\log }_{2}}3;5 \right).$
    D. $\left( -\infty ;{{\log }_{2}}3 \right).$

    Câu 41: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,\text{ }AD=2a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}.$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ theo $a.$

    A. $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
    B. $d=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$
    C. $d=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
    D. $d=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

    Câu 42: Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x+7$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là

    A. $\left( 1;+\infty \right).$
    B. $\left( -\infty ;1 \right).$
    C. $\left( -\infty ;1 \right].$
    D. $\left[ 2;+\infty \right).$

    Câu 43: Cho $a$ là số thực dương khác $1.$ Đặt ${{\log }_{3}}a=\alpha ,$tính giá trị biểu thức $P={{\log }_{\frac{1}{3}}}a-{{\log }_{\sqrt{3}}}{{a}^{2}}+{{\log }_{a}}9$ theo $\alpha .$

    A. $P=\frac{1-10{{\alpha }^{2}}}{\alpha }.$
    B. $P=-3\alpha .$
    C. $P=\frac{2-5{{\alpha }^{2}}}{\alpha }.$
    D. $P=\frac{2\left( 1-{{\alpha }^{2}} \right)}{\alpha }.$

    Câu 44: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng thời thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\frac{1}{2},\,$ $f\left( x \right)>0,\,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}’\left( x \right)=-{{e}^{x}}.{{f}^{2}}\left( x \right),\,\forall x\in \mathbb{R}.$ Biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=a+\ln \frac{b}{e+c}$ với $a,\,b,\,c$ là các số tự nhiên. Tính $T=a+b+c.$

    A. $T=4.$
    B. $T=3.$
    C. $T=2.$
    D. $T=5.$

    Câu 45: Cho khối trụ $\left( T \right),$ cắt khối trụ $\left( T \right)$ bởi một mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với trục của khối trụ và cách trục một khoảng bằng $\sqrt{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng $16.$Tính thể tích của khối trụ $\left( T \right).$

    A. $8\pi .$
    B. $32\pi .$
    C. $16\pi .$
    D. $24\pi .$

    Câu 46: Xét hai số thực $a,\,b$ thay đổi thoả mãn $1<a<b.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=8{{\left( {{\log }_{\frac{b}{a}}}\frac{b}{\sqrt{a}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{\log }_{a}}b-1 \right)}^{2}}+3.$

    A. $30.$
    B. $21.$
    C. $27.$
    D. $12.$

    Câu 47: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( f(\sin x) \right)=m$
    có nghiệm thực thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là

    A. $\left[ -1;3 \right).$
    B. $\left( -1;1 \right).$
    C. $\left( -1;3 \right].$
    D. $\left[ -1;1 \right).$

    Câu 48: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức có tất cả các hệ số đều là những số nguyên không âm nhỏ hơn $7$ và thoả mãn $f\left( 7 \right)=901.$ Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ bằng

    A. $18.$
    B. $13.$
    C. $\frac{127}{27}.$
    D. $\frac{478}{27}.$

    Câu 49: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và có thể tích bằng $V.$ Gọi$M,\,N,\,P,\,Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,\,SBC,\,SCD,\,SDA.$ Thể tích khối chóp $O.MNPQ$ bằng

    A. $\frac{4V}{27}.$
    B. $\frac{2V}{27}.$
    C. $\frac{V}{9}.$
    D. $\frac{2V}{9}.$

    Câu 50: Cho hàm số $f(x)=\left( {{e}^{x}}-\frac{1}{{{e}^{x}}} \right){{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}.$ Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ thỏa mãn bất phương trình $f\left( {{m}^{2}}-2 \right)+f\left( 2-6m \right)\le 0?$

    A. $7.$
    B. $6.$
    C. $0.$
    D. $5.$

    ———– HẾT ———-

    2. Tải đề thi file word môn Toán HK2

    Mời thầy cô và các em tải Đề thi Toán học kì II file word tại đây:

  • Toán 10 – Bài tập công thức lượng giác

    Toán 10 – Bài tập công thức lượng giác

    Phân dạng Bài tập công thức lượng giác

    1. Lý thuyết công thức lượng giác

    1.1. Khái niệm các giá trị lượng giác

    Sử dụng đường tròn lượng giác, chúng ta có các khái niệm và kết quả sau:

    Công thức lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, đường tròn lượng giác

    1.2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

    Bạn cần nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt $ 0,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2},\pi $ như trong bảng sau:

    bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

    1.3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

    Giá trị lượng giác của các cung có liên quan cos đối – sin bù – phụ chéo – khác $ \pi $ tan; hơn nhau ở tuổi 90…; hơn kém chẵn $ \pi $ thì sin-cos…

    STT Hai cung Gọi là hai cung Công thức Cách nhớ
    1 $\left( -a \right)$ và $a$ Đối nhau $\cos (-a)=\cos a$

    $\sin (-a)=-\sin a$

    $\tan (-a)=-\tan a$

    $\cot (-a)=-\cot a$

    		 Cos đối
    2 $\left( \pi -a \right)$ và$a$ Bù nhau $\sin (\pi -a)=\sin a$

    $\cos(\pi -a)=-\cos a$

    $\tan (\pi -a)=-\tan a$

    $\cot (\pi -a)=-\cot a$

    		 Sin bù
    3 $\left( \frac{\pi }{2}-a \right)$ và $a$

     

    		 Phụ nhau $\sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cos a$

    $\cos\left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\sin a$

    $\tan \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cot a$

    $\cot \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\tan a$

    		 Phụ chéo
    4 $\left( \pi +a \right)$ và $a$ Sai khác $\pi $ $\tan (\pi +a)=\tan a$

    $\cot (\pi +a)=\cot a$

    $\sin (\pi +a)=-\sin a$

    $\cos(\pi +a)=-\cos a$

    		 Khác $\pi $ tan, cot
    5 $\left( \frac{\pi }{2}+a \right)$ và $a$ Hơn $\frac{\pi }{2}$ $\sin \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=\cos a$

    $\cos\left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\sin a$

    $\tan \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\cot a$

    $\cot \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\tan a$

    		 2 cung hơn nhau $\frac{\pi }{2}$ thì sin ( cung lớn) = cos ( cung nhỏ)

    Mời thầy cô và các em xem thêm ở bài Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

    1.4. Các công thức lượng giác cơ bản

    • $ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},\tan x\cot x=1 $
    • $ \sin^2x+\cos^2x=1, 1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, 1+\cot^2x=\dfrac{1}{\sin^2x} $

    1.5. Công thức cộng

    1.6. Công thức nhân và hạ bậc

    1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

    2. Các dạng toán và ví dụ điển hình

    Ví dụ 1. Biểu diễn các cung có số đo: $ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{13\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3},60^\circ+k120^\circ $ trên đường tròn lượng giác.

    Ví dụ 2. Tính $ \tan 300^\circ,\sin(-780^\circ) $

    Hướng dẫn.
    $ \tan 300^\circ=-\sqrt{3},\sin(-780^\circ)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. $

    Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức

    $ A=5\tan540^\circ+2\cos1170^\circ+4\sin990^\circ-3\cos540^\circ. $
    $ B= 3\sin\dfrac{25\pi}{6}-3\tan\dfrac{13\pi}{4}+2\cos\dfrac{14\pi}{3}$
    $ C=\dfrac{\sin(-234^\circ)-\cos216^\circ}{\sin144^\circ-\cos216^\circ}\cdot\tan36^\circ $
    $ D=\sin(x+\pi)-\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cot(2\pi-x)+\tan(\dfrac{3\pi}{2}-x) $

    Hướng dẫn.
    $ A=-1, \quad B=-\dfrac{1}{2}, \quad C=1,\quad D=-2\sin x $

    Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức

    • $ \sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x $
    • $ \sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x $
    • $ \dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} $
    • $ \dfrac{1+\cot x}{1-\cot x}=\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} $

    Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

    $ A=(\tan x+\cot x)^2-(\tan x-\cot x)^2 $
    $ B=(1-\sin^2x)\cot^2x+1-\cot^2x $
    $ C=\tan x+\dfrac{\cos x}{1+\sin x} $
    $ D=\dfrac{\cos x\tan x}{\sin^2x}-\cot x\cos x $

    Hướng dẫn. $ A=4$, $B=\sin^2x$, $C=\dfrac{1}{\cos x}$, $D=\sin x $

    Ví dụ 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào $ x $

    $ A=\dfrac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x} $
    $ B=\dfrac{(1-\tan^2x)^2}{4\tan^2x} $
    $ C=2(\sin^6x+\cos^6x)-3(\sin^4x+\cos^4x) $

    Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$

    Ví dụ 7. Cho $ \cos\alpha=-\dfrac{3}{5} $ và $ 180^\circ<\alpha<270^\circ. $ Tính $ \sin\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha? $

    Hướng dẫn. $ \sin\alpha=-\dfrac{4}{5},\tan\alpha=\dfrac{4}{3},\cot\alpha=\dfrac{3}{4}. $

    Ví dụ 8. Cho $ \tan\alpha=\dfrac{3}{4} $ và $ \pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}. $ Tính Tính $ \sin\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha? $

    Hướng dẫn. $ \sin\alpha=-\dfrac{3}{5},\cos\alpha=-\dfrac{4}{5},\cot\alpha=\dfrac{4}{3}. $

    3. Phân loại bài tập công thức lượng giác

    Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một cung (góc)

    Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc, biết:

    a) $\sin \alpha = \frac{2}{3},{\rm{ }}\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $
    b) $\cos \alpha = \frac{4}{5},{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $
    c) $\cos \alpha = – \frac{5}{7},{\rm{ }} – \pi < \alpha < – \frac{\pi }{2}$
    d) $\tan \alpha = \frac{4}{3},{\rm{ }}\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$
    e) $\cot \alpha = – \sqrt 3 ,{\rm{ }} – \frac{{3\pi }}{2} < \alpha < – \pi $
    f) $\tan \alpha = \frac{7}{3},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2}$

    Bài 2. Cho $\tan \alpha = 3$, tính giá trị các biểu thức

    a) $A = \frac{{2\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 3\cos \alpha }}$
    b) $B = \frac{{3\sin \alpha – 5\cos \alpha }}{{5{{\sin }^3}\alpha – 4{{\cos }^3}\alpha }}$.

    Bài 3. Cho $\cot \alpha = \frac{3}{5}$, tính giá trị các biểu thức

    a) $A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }}$
    b) $B = \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}$
    c) $C = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 12\sin \alpha \cos \alpha + 10{{\cos }^2}\alpha }}{{3{{\sin }^2}\alpha + \sin \alpha \cos \alpha – 2{{\cos }^2}\alpha }}$.

    Bài 4. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

    a) $A = \frac{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha – 2{{\cos }^2}\alpha }}$ biết $\cot \alpha = 3$.
    b) $A = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha – 1}}{{ – 2{{\sin }^2}\alpha + 3{{\cos }^2}\alpha }}$ biết $\tan \alpha = \frac{1}{4}$.
    c) $C = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha – \tan \alpha }}$ biết $\sin \alpha = \frac{3}{5},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2}$.
    d) $D = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\tan \alpha }}$ biết $\sin \alpha = – \frac{4}{5},{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $.
    e) $E = \frac{{4\cot \alpha + 3}}{{1 – 5\sin \alpha }}$ biết $\cos \alpha = – \frac{1}{3},{\rm{ }}\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$.
    f) $F = \frac{{\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{\cos \alpha – 2\sin \alpha }}$ biết $\tan \alpha = 3$.

    Bài 5. Cho $\tan \alpha + \cot \alpha = m$. Hãy tính giá trị các biểu thức lượng giác sau $m$:

    a) ${\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha $
    b) $\left| {\tan \alpha – \cot \alpha } \right|$
    c) ${\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha $

    Bài 6. Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = m$. Hãy tính:

    a) $\sin \alpha \cos \alpha $
    b) $\left| {\sin \alpha – \cos \alpha } \right|$
    c) ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha $
    d) ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha $ e) ${\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha $

    Dùng công thức cộng
    Bài 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

    a) $\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$, biết $\sin x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $0 < x < \frac{\pi }{2}.$
    b) $\tan \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$, biết $\cos x = – \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < x < \pi .$
    c) $\cos \left( {a + b} \right),{\rm{ }}\sin \left( {a – b} \right),$ biết $\sin a = \frac{4}{5},{\rm{ }}{0^0} < a < {90^0}$ và $\sin b = \frac{2}{3},{90^0} < a < {180^0}$.

    Bài 9.

    a) Cho $\sin a = – \frac{{12}}{{13}}$, với $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$. Tính $\tan \left( {\frac{\pi }{3} – a} \right)$.
    b) Cho $\sin a = \frac{5}{{13}},{\rm{ }}\cos b = \frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2} < a < \pi ,{\rm{ }}\frac{\pi }{2} < b < \pi $. Tính $\sin \left( {a – b} \right),{\rm{ }}\cos \left( {a + b} \right)$.
    c) Cho $\tan a = \frac{1}{2},{\rm{ sin}}b = \frac{3}{5}$ với $0 < b < \frac{\pi }{2}$. Tính $\cot \left( {a – b} \right),{\rm{ tan}}\left( {a + b} \right)$.

    Bài 10. Cho $\tan \alpha = – \frac{{15}}{8}$ với $\frac{{3\pi }}{2} < b < 2\pi $.

    a) Tính $\sin \alpha ,{\rm{ }}\cos \alpha ,{\rm{ }}\cot \alpha $.
    b) Tính $\sin \left( {\alpha – 7\pi } \right),{\rm{ }}\cos \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{3}} \right),{\rm{ }}\cot \left( {\frac{{3\pi }}{4} – \alpha } \right)$.

    Bài 11. Cho $\sin \alpha = \frac{8}{{17}},{\rm{ sin}}\beta = \frac{{15}}{{17}},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2},{\rm{ 0}} < \beta < \frac{\pi }{2}.$ Chứng minh $\alpha + \beta = \frac{\pi }{2}$.

    Dùng công thức nhân

    Bài 12. Tính $\sin 2a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\tan 2a$, biết

    a) $\sin a = – 0,6$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.
    b) $\sin a = \frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi $.
    c) $\cos a = – \frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi $.
    d) $\tan a = \frac{4}{3}$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.
    e) $\tan a = 2$.
    f) $\cos a = \frac{1}{4}$ và $\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi $.
    g) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi $.

    Bài 13. Cho $\cos a = – \frac{5}{{13}}$ với $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.  Tính giá trị $$\sin 2a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\cot \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right),\sin \left( {{{30}^0} + a} \right)$$

    Bài 14. Cho $\sin 2a = \frac{4}{5}{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{4} < a < \frac{\pi }{2}} \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\cos 4a,{\rm{ tan}}\left( {\frac{\pi }{4} – 2a} \right).$

    Bài 15. Cho $\sin 2a = – \frac{5}{9}{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos a.$

    Bài 16. Cho $\cos 2a = \frac{3}{5}{\rm{ }}\left( {\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi } \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos a,{\rm{ }}\tan a$.

    Dạng 2. Rút gọn biểu thức lượng giác:

    Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau (không dùng máy tính):

    a) $A = \sin {170^0}.\cos {80^0} + \cos {10^0}.\sin {80^0}.$
    b) $B = \frac{{\cos \left( { – {{288}^0}} \right)\cot {{72}^0}}}{{\tan \left( { – {{162}^0}} \right)\sin {{108}^0}}} – \tan {18^0}$.
    c) $C = \frac{{\sin \left( { – {{243}^0}} \right) + \sin {{126}^0}}}{{\sin {{144}^0} – \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}$.
    d) $D = \frac{{\left( {\cot {{44}^0} + \tan {{226}^0}} \right).\cos {{406}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} – \cot {72^0}.\cot {18^0}$.

    Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau ( không dùng máy tính ):

    a) $A = {\sin ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right) + {\tan ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right).{\tan ^2}\left( {{{270}^0} + x} \right) + \sin \left( {{{90}^0} + x} \right).\cos \left( {x – {{360}^0}} \right)$.
    b) $B = \frac{{\cos \left( {x – {{90}^0}} \right)}}{{\sin \left( {{{180}^0} – x} \right)}} + \frac{{\tan \left( {x – {{180}^0}} \right)\cos \left( {x + {{180}^0}} \right)\sin \left( {{{270}^0} + x} \right)}}{{\tan \left( {{{270}^0} + x} \right)}}$.
    c) $C = \frac{{\sin {{20}^0}.\sin {{30}^0}.\sin {{40}^0}.\sin {{50}^0}.\sin {{60}^0}.\sin {{70}^0}}}{{\cos {{10}^0}.\cos {{50}^0}}}.$
    d) $D = \tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}…..\tan {88^0}.\tan {89^0}.$
    e) $E = \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} + …. + \cos \frac{{6\pi }}{7}$.

    Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

    a) $A = \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x – \pi } \right)$.
    b) $B = \cos \left( {\pi – x} \right) + \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$.
    c) $C = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$.
    d) $D = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) – \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) + \cos \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right) – \sin \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right).$
    e) $E = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cos \left( {\pi – x} \right) + \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) + \cos \left( {2\pi – x} \right).$
    f) $F = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} – x} \right) – \cos \left( {\frac{{13\pi }}{2} – x} \right) – 3\sin \left( {x – 5\pi } \right) – 2\sin x – \cos x.$

    Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

    a) $A = \sin \left( {\pi – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cot \left( {\pi + x} \right).\cot \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$.
    b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + \cos \left( {2\pi – x} \right) + \cos \left( {3\pi + x} \right)$.
    c) $C = \cot \left( {x – 4\pi } \right)\cos \left( {x – \frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {x + 6\pi } \right) – 2\sin \left( {x – \pi } \right)$.
    d) $C = \sin \left( {x + 5\pi } \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cot \left( {4\pi – x} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$.
    e) $E = \cot \left( {x + 5\pi } \right).\cos \left( {x – \frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {x + 4\pi } \right) – 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right).$
    f) $F = \cos \left( {x + 5\pi } \right) – 2\sin \left( {\frac{{11\pi }}{2} – x} \right) – \sin \left( {\frac{{11\pi }}{2} + x} \right).$

    Công thức lượng giác cơ bản
    Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

    a) $A = \left( {1 – {{\sin }^2}a} \right){\cot ^2}a + 1 – {\cot ^2}a.$ b) $B = {\cos ^4}a + {\sin ^2}a.{\cos ^2}a + {\sin ^2}a.$
    c) $C = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x}}{{{{\sin }^2}x – {{\tan }^2}x}}$ d) $D = \frac{{{{\left( {\sin a + \cos a} \right)}^2} – 1}}{{\cot a – \sin a.\cos a}}$.
    e) $E = \left( {1 + \cot a} \right).{\sin ^3}a + \left( {1 + \tan a} \right).{\cos ^3}a$ f) $F = \frac{{{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x – 1}}{{{{\cot }^2}a}}$.

    Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:

    a) $A = 1 – {\cos ^2}a + {\cot ^2}a.{\sin ^2}a$.
    b) $B = \frac{{2{{\cos }^2}a – 1}}{{\sin a + \cos a}}$.
    c) $C = \cot a – \frac{{\cos a}}{{\sin a + 1}}$
    d) $D = \frac{{\sin a + 1}}{{\cos a}}.\left[ {1 – {{\left( {\frac{{1 – \sin a}}{{\cos a}}} \right)}^2}} \right].$
    e) $E = \sqrt {\left( {1 + \cot a} \right).{{\sin }^2}a + \left( {1 + \tan a} \right).{{\cos }^2}a} $.

    Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

    a) $A = 3.{\cos ^2}x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\sin ^2}x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)$
    b) $B = \frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$.
    c) $C = \frac{{\cot {}^2x – {{\cos }^2}x}}{{\cot {}^2x}} + \frac{{\sin x.\cos x}}{{\cot x}}$
    d) $D = \frac{2}{{\tan x – 1}} + \frac{{\cot x + 1}}{{\cot x – 1}}$.
    e) $E = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) – 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$ .
    f) $F = {\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} – {\left( {\tan x – \cot x} \right)^2}$.
    g) $G = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} $ .
    h) $H = 2{\cos ^4}x – {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x$.

    Công thức cộng, nhân, biến đổi

    Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

    a) $A = \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\sin \left( { – b} \right)$
    b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right) + \frac{1}{2}{\sin ^2}a$
    c) $C = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{2} – b} \right) – \sin \left( {a – b} \right)$
    d) $D = \cos a.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – a} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right)$.
    e) $E = \cos \left( {x + {{17}^0}} \right).\cos \left( {{{13}^0} – x} \right) – \sin \left( {{{17}^0} + x} \right).\sin \left( {{{13}^0} – x} \right)$.
    f) $F = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) – \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right)$.

    Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau:

    a) $A = \frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}$
    b) $B = \frac{{\cot x – \tan x}}{{\cos 2x}}$.
    c) $C = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}$
    d) $D = \frac{{\sin a.\cos 5a – \sin 5a.\cos 3a}}{{\cos 2a}}$.
    e) $H = \sin x\left( {1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x} \right)$.

    Bài 10. Rút gọn các biểu thức:

    a) $A = \frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}}$
    b) $B = \frac{{4{{\sin }^2}a}}{{1 – {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}$
    c) $C = \frac{{1 + \cos a – \sin a}}{{1 – \cos a – \sin a}}$
    d) $D = \frac{{1 + \sin a – 2{{\sin }^2}\left( {{{45}^0} – \frac{a}{2}} \right)}}{{4\cos \frac{a}{2}}}$.
    e) $E = \frac{{\tan 2a}}{{\tan 4a – \tan 2a}}$
    f) $F = \frac{{3 – 4\cos 2a + \cos 4a}}{{3 + 4\cos 2a + \cos 4a}}$
    g) $G = \sqrt {1 + \sin a} – \sqrt {1 – \sin a} ,{\rm{ }}0 < a < \frac{\pi }{2}$ h) $H = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}$

    Bài 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

    a) $A = \sin 8x + 2{\cos ^2}\left( {{{45}^0} + 4x} \right)$
    b) $B = \cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)$
    c) $C = \cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$
    d) $D = \sin 2x – 2\sin \left( {x – {{15}^0}} \right).\cos \left( {x + {{15}^0}} \right)$.
    e) $E = {\cos ^2}x + \sin \left( {x + {{30}^0}} \right).\sin \left( {x – {{30}^0}} \right)$

    Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

    a) $A = \sin 6x.\cot 3x – \cos 6x$
    b) $B = \left( {\cot \frac{x}{3} – \tan \frac{x}{3}} \right).\tan \frac{{2x}}{3}$
    c) $C = \frac{{{{\cos }^3}x – \cos 3x}}{{\cos x}} + \frac{{{{\sin }^3}x + \sin 3x}}{{\sin x}}$
    d) $D = {\sin ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right)$
    e) $E = {\cos ^2}\left( {a – x} \right) + {\cos ^2}x – 2\cos a.\cos x.\cos \left( {a – x} \right)$
    f) $F = {\left[ {\tan \left( {{{90}^0} – x} \right) – \cot \left( {{{90}^0} + x} \right)} \right]^2} – {\left[ {\cot \left( {{{180}^0} + x} \right) + \cot \left( {{{270}^0} + x} \right)} \right]^2}$.

    Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác

    Bài 1. Chứng minh rằng với mọi góc $\alpha $ ta có:

    a) $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha $
    b) $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \sin \alpha $
    c) $\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \cot \alpha $
    d) $\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \tan \alpha $.

    Bài 2. Chứng minh các đẳng thức:

    a) ${\tan ^2}\alpha – {\sin ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha .{\sin ^2}\alpha $
    b) $\tan \alpha + \frac{{\cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha }} = \frac{1}{{\cos \alpha }}$
    c) $\frac{{{{\sin }^3}\alpha + {{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} = 1 – \sin \alpha .\cos \alpha $
    d) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha – 1}}{{\tan \alpha + 1}}$
    e) ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha – {\sin ^6}\alpha – {\cos ^6}\alpha = {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $
    f) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha – {{\cos }^6}\alpha } \right) + 1 = 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$
    g) ${\sin ^3}\alpha \left( {1 + \cot \alpha } \right) + {\cos ^3}\alpha \left( {1 + \tan \alpha } \right) = \sin \alpha + \cos \alpha $

    Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

    a) $\frac{{1 + {{\cos }^2}\alpha }}{{1 – {{\sin }^2}\alpha }} – \tan \alpha .\cot \alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ b)$\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha – 1}}{{1 – \cos \alpha }} = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha + 1}}$
    c) $\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha – \sin \alpha }} = \frac{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}{{1 – {{\cot }^2}\alpha }}$
    d) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }} – \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha – 1}} = \sin \alpha + \cos \alpha $.

    Sử dụng công thức cộng, nhân
    Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau

    a) $\cos x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \frac{1}{4}\cos 3x$
    b) $\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{1 + \cos 2x + \cos x}} = \tan x$
    c) $\sin 5x – 2\sin x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \sin x$
    d) $\frac{{1 + \cos x – \sin x}}{{1 – \cos x – \sin x}} = – \cot \frac{x}{2}$
    e) $\frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}.\frac{{\cos x}}{{1 + \cos x}} = \tan \frac{x}{2}$
    f) $\frac{{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}}{{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}} = {\tan ^4}x$

    Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:

    a) $\sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a – b} \right) = {\sin ^2}a – {\sin ^2}b$
    b) $\frac{{4\tan x\left( {1 – {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}^2}}} = \sin 4x$
    c) $\frac{{2\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)}} = \tan a + \tan b$
    d) $\frac{{1 + {{\tan }^4}x}}{{{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x}} = {\tan ^2}x$
    e) $\sin 2x – \sin 4x + \sin 6x = 4\sin x.\cos 2x.\cos 3x$
    f) $\tan 3x – \tan 2x – \tan x = \tan x.\tan 2x.\tan 3x$
    g) $\frac{{\cos x.\sin \left( {x – 3} \right) – \sin x.\cos \left( {x – 3} \right)}}{{\cos \left( {3 – \frac{\pi }{6}} \right) – \frac{1}{2}\sin 3}} = – \frac{{2\tan 3}}{{\sqrt 3 }}$

    Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

    Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

    a) $\sin \left( {A + B} \right) = \sin C$
    b) $\cos \left( {A + B} \right) = – \cos C$
    c) $\sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{C}{2}$
    d) $\cos \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{C}{2}$
    e) $\tan \frac{{A + B – C}}{2} = \cot C$.

    Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

    a) $\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B$
    b) $\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}.\cos \frac{B}{2}$
    c) $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A.\sin B.\sin C$
    d) $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$.

    Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

    a) $\cos B.\cos C – \sin B.\sin C + \cos A = 0$.
    b) $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}$.
    c) $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = – 1 – 4\cos A.\cos B.\cos C$.
    d) $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2} = 1$

  • Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm

    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm

    1. Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO

    Đối với hình thức thi trắc nghiệm thì việc thành thạo cách sử dụng máy tính CASIO, VINACAL… sẽ giúp chúng ta tiết kiệm được kha khá thời gian. Đặc biệt là các dạng toán mà có thể sử dụng máy tính để thử tính đúng/sai của từng phương án. Tài liệu này tôi viết đã khá lâu, hi vọng vẫn giúp ích được cho thầy cô phần nào.

    MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT
    hướng dẫn sử dụng máy tính casio giải toán trắc nghiệm
    Cách sử dụng máy tính caiso
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 1
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 2
    MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 3
    cách sử dụng máy tính casio
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 4
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 5
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 6
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 7
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 8
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 9
    Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm 10

    2. Tải tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO

    Mời thầy cô và các em tải tài liệu hướng dẫn tại đây o2 huong dan su dung may tinh casio giai toan trac nghiem

    3. Sách hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO

    3.1. Sách hướng dẫn sử dụng fx 580vnx

    Mời thầy cô và các em học sinh tải tại đây SÁCH HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CASIO 580 VNX

    Về những điểm mới, tính năng ưu việt, nổi trội của máy CASIO fx 580VNX, mời thầy cô và các em xem trong video sau:

    https://www.youtube.com/watch?v=TYqS8uSQP30

    3.2. Sách hướng dẫn sử dụng fx 570 VN Plus

    MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT

    Mời thầy cô và các em học sinh tải tại đây Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO fx-570VN Plus

  • Toán lớp 4 – Tìm số theo điều kiện cho trước

    Toán lớp 4 – Tìm số theo điều kiện cho trước

    Toán lớp 4 – Tìm số theo điều kiện cho trước

    Xem thêm các dạng toán tìm số ở lớp 4:

    1. Các dạng toán tìm số tự nhiên theo các điều kiện cho trước về chữ số

    a. Dạng 1: Vận dụng cấu tạo sốtự nhiên

    Phương pháp giải: Trình tự giải loại toán này như sau:

    • Diễn tả số cần tìm qua các ký hiệu kèm theo các điều kiện ràng buộc của các ký hiệu đó.
    • Diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán.
    • Biến đổi các đẳng thức đã lập được về các đẳng thức đơn giản hơn.
    • Dùng phương pháp lựa chọn, ta chọn các khả năng có thể thoả mãn đẳng thức đã lập.
    • Thử lại để xác định số cần tìm.
    Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 14 lần chữ số hàng chục của nó.

    Hướng dẫn. Gọi số cần tìm là $ab$ ( điều kiện $1 \le a< 10 ; 0 \le b < 10$).

    • Theo đề bài ta có: $ab = a \times 14$, hay $$a \times 10 + b = a \times 14$$ Suy ra $a \times 10 + b = a \times 4 + a \times 10$. Điều này dẫn tới $b = a \times 4$
    • Mặt khác, do điều kiện $0 \le  b < 10$ nên $a$ chỉ có thể lấy các giá trị $1 ; 2$.
      • Với $a=1$ thì $b= 4$, số cần tìm là $14$.
      • Với $a=2$ thì $b= 8$, số cần tìm là $28$.
    • Thử lại: $14 = 1 \times 14$ ( đúng), $28 = 2 x 14$ ( đúng).
    Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên khác $0$, biết rằng số đó gấp 21 lần chữ số hàng đơn vị của nó.

    Hướng dẫn. Gọi số cần tìm là $ab$, với $a$ là chữ số hàng chục và $b$ là chữ số hàng đơn vị ( điều kiện $ a \ne 0 ; 0 \le b < 10$).

    • Theo đề bài ta có: $ab = b \times 21$. Hay: $a \times 10 + b = b \times 21$. Suy ra $$a \times 10 + b = b \times 20 + b$$ Điều này đồng nghĩa với $a \times 10 = b \times 20 $, tức là $a = b x 2$.
    • Nếu $b=0$ thì số đó là $21 \times 0 =0$ không thỏa mãn yêu cầu là số tự nhiên khác $0$. Do đó $b$ phải khác $0$. Tức là, $b$ có thể nhận các giá trị $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$.
    • Lập bảng giá trị tương ứng của $a$ và $b$ ta được
    viết số theo điều kiện cho trước toán 4
    • Suy ra, số cần tìm là $21,42,63,84,105,126,147,168,189$.
    Thử lại, ta thấy các số vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài.

    b. Dạng 2: Dùng phương pháp lựa chọn

    Phương pháp giải: Trình tự giải như sau:

    • Dựa vào một số điều kiện nào đó của bài toán, ta thống kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra với một đối tượng nào đó (hoặc giới hạn các trường hợp cần kiểm tra).
    • Dựa vào các điều kiện còn lại của bài toán, ta kiểm tra các trường hợp được thống kê (cần kiểm tra). Chọn ra các trường hợp phù hợp với đề bài.
    Ví dụ 1. Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng 9 và tích các chữ số của số đó bằng 18.

    Hướng dẫn. Gọi số cần tìm là $ab$ với $a \ne 0$. Theo đề bài ta có: $a + b = 9$ và $a \times b = 18$.

    • Các số mà tổng các chữ số bằng 9 là: $$18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90$$
    • Trong các số đó ta chỉ thấy có $36$ và $63$ là phù hợp điều kiện: Tích các chữ số bằng $18$ ( $3 \times 6 = 18$).

    Vậy các số cần tìm là $36; 63$.

    Nhận xét: Ta cũng có thể lập bảng để kiểm tra và tìm ra số thỏa mãn yêu cầu.

    Ví dụ 2.  Tìm số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó trừ đi 5 thì được số có 2 chữ số giống nhau.

    Hướng dẫn.
    • Gọi $aa$ là số có hai chữ số mà 2 chữ số giống nhau, thì $aa$ có thể nhận các giá trị: $$11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99$$
    • Theo đề bài ta có: Số cần tìm trừ đi 5 thì được số có dạng $aa$.
    • Suy ra, Số cần tìm bằng Số có dạng $aa$ cộng thêm 5.
    • Lập bảng giá trị tương ứng để kiểm tra tiếp yêu cầu “có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị” ta được bảng sau:

    tìm số theo điều kiện cho trước Bài toán viết số theo điều kiện cho trước toán 4

    Kết luận: Số cần tìm là: $60; 71; 82; 93$

    b. Dạng 3: Đưa về bài toán điền chữ số

    Ví dụ. Tìm một số có 5 chữ số biết rằng số đó tăng lên 9 lần nếu viết 5 chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại.

    Hướng dẫn. Gọi số cần tìm là $abcde$ (điều kiện $a \ne 0$). Theo đề bài ta có:

    • Ta thấy $a$ phải nhỏ hơn 2 để khi nhân $abcde $với $9$ thì vẫn được số có 5 chữ số. Mà, $a$ lại phải khác $0$ nên $a =1$. Suy ra số cần tìm có dạng $1bcde$.
    • Mặt khác $1bcde \times 9 =edcb1$ nên $e=9$, vì chỉ có $9\times 9$ mới cho kết quả là số tận cùng bằng $1$. Suy ra số cần tìm có dạng $1bcd9$.
    • Nếu $b$ lớn hơn hoặc bằng $2$ thì khi nhân với 9 sẽ được kết quả lớn hơn 10, dẫn tới kết quả $1bcd9 \times 9$ sẽ là số có 6 chữ số. Nên bắt buộc $b<2$.
      • Nếu $b = 1$, thì số cần tìm có dạng $11cd9$. Ta thấy $d = 7$ để cho $7 \times 9 +$ ( nhớ) có tận cùng là 1. Lúc đó dù $c = 0$  thì $11079 \times 9$ khác $97011$, còn $c \ge  1$ thì $11cd9 x 9$ là số có sáu chữ số. Vậy $b$ không thể là $1$.
      • Nếu $b = 0$ thì số cần tìm có dạng $10cd9$. Lúc đó $10cd9 \times 9 = 9cd01$. Ta thấy $d $ phải bằng $8$ để cho $8 \times 9 + 8$ (nhớ) có tận cùng bằng $0$. Vậy $10c89 \times 9 = 98c01$. Hay chính là $$( 10089 + c00) \times 9 = 98001 + c00 $$ Suy ra, $10089 \times 9 + c00 \times 9 = 98001 + c00$. Biến đổi được $$c00 \times 8 = 7200 $$ nên suy ra  $c00 = 7200 : 8 $ hay $c = 9$.

    Vậy số cần tìm là 10989.

    2.  Lưu ý khi viết số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước:

    Để viết được số nhỏ nhất thì số đó cần có các điều kiện:

    • Số lượng chữ số ít nhất có thể có.
    • Có chữ số nhỏ nhất ở hàng cao nhất.
    • Có chữ số ở các hàng còn lại lớn dần

    Để viết được số lớn nhất thì số đó cần có các điều kiện:

    • Số lượng chữ số nhiều nhất có thể có.
    • Có chữ số lớn nhất ở hàng cao nhất.
    • Có chữ số ở các hàng còn lại giảm dần

    3. Bài tập Viết số theo điều kiện cho trước

    Bài 1. Viết số tự nhiên thỏa mãn điều kiện sau:

    a) Lẻ, nhỏ nhất và có 3 chữ số khác nhau
    b) Lớn nhất có 4 chữ số khác nhau
    c) Lẻ, nhỏ nhất có 7 chữ số khác nhau
    d) Chẵn, nhỏ nhất và có 10 chữ số khác nhau

    Bài 2. Viết số tự nhiên theo điều kiện sau:

    a) Số lớn nhất có 8 chữ số khác nhau
    b) Số lẻ lớn nhất có 6 chữ số khác nhau
    c) Số chẵn bé nhất có 5 chữ số khác nhau
    d) Số bé nhất có 7 chữ số khác nhau bắt đầu bởi chữ số 8

    Bài 3.

    a) Viết số lớn nhất sao cho kể từ trái sang phải, mỗi chữ số của nó đều lớn hơn chữ số đứng liền sau là 2
    đơn vị
    b) Viết số lớn nhất sao cho kể từ trái sang phải, số đó có 2 chữ số 1 và từ chữ số thứ ba trở đi thì mỗi chữ
    số đều bằng tổng 2 chữ số đứng liền trước nó

    Bài 4.

    a) Viết số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất có các chữ số khác nhau mà tổng các chữ số của số đó bằng 12.
    b) Viết số nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 30.
    Bài 5. a) Hãy viết số tự nhiên nhỏ nhất có tích các chữ số bằng 120
    b) Hãy viết số tự nhiên lớn nhất có các chữ số khác nhau và có tích các chữ số bằng 120.

    Bài 6.

    a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 35
    b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 52
    c) Viết số tự nhiên lớn nhất có các chữ số khác 0 và tổng các chữ số bằng 7
    d) Viết số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất có các chữ số khác nhau mà tổng các chữ số của số đó bằng 34.

    Bài 7.

    a) Viết số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất có các chữ số khác nhau mà tích các chữ số của số đó bằng 40.
    b) Viết số tự nhiên chẵn lớn nhất, bé nhất có các chữ số khác nhau mà tích các chữ số của số đó bằng 60.
    c) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có các chữ số khác nhau mà tích các chữ số của số đó bằng 720.

    Bài 8. Viết số tự nhiên N gồm 6 số chẵn liên tiếp kể từ 12. Xóa bớt 6 chữ số của N để còn lại:

    a) Số lớn nhất.
    b) Số bé nhất.

    Bài 9. Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15 theo thứ tự từ bé đến lớn để được 1 số có nhiều chữ số 1234…1415 . Xóa đi 8 chữ số của số đó và giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để được:

    a) Số lớn nhất
    b) Số nhỏ nhất

    Bài 10. Viết liên tiếp các số có 2 chữ số từ 20 đến 11 theo thứ tự từ lớn đến bé để được 1 số có nhiều chữ
    số 201918…1211. Xóa đi 12 chữ số của số đó và giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để được:

    a) Số lớn nhất
    b) Số nhỏ nhấ    t
    c) Số chẵn lớn nhất
    d) Số lẻ nhỏ nhất

    Bài 11. Một số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 2000 đến 2015 được viết theo thứ tự liền nhau:
    200020012002….20092015.

    a) Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số?
    b) Xóa đi 20 chữ số của số đó (giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại) để được số Nhỏ nhất và số Lớn nhất.
    Viết các số đó     .

    Bài 12. Tìm số tự nhiên, biết rằng số đó gấp 71 lần chữ số hàng đơn vị của nó.

    Bài 13. Tìm số tự nhiên, biết rằng số đó gấp 51 lần chữ số hàng chục của nó.

    Bài 14. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 9 lần tổng các chữ số của số đó.

    Bài 15. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng của số đó với các chữ số của nó là 103.

    Bài 16. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó bằng 8 lần chữ số hàng chục cộng với 7 lần chữ số hàng đơn vị.

    Bài 17. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 12 lần hiệu giữa các chữ số của số đó.

    Bài 18. Tìm số có hai chữ số, biết rằng tổng của số đó với số có hai chữ số như thế nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 187.

    Bài 19. Tìm số có hai chữ số, biết tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất của hai chữ số, còn chữ số hàng đơn vị thì lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị.

    Bài 20. Tìm một số có bốn chữ số, biết rằng tích của hai chữ số ngoài cùng là 40, tích của hai chữ số ở giữa là 28, chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng trăm.

    Bài 21. Tìm số lẻ có ba chữ số, biết rằng nếu đem số đó cộng với 621 thì được số có ba chữ số giống nhau.

    Bài 22. Tìm số có hai chữ số, biết rằng tích các chữ số của số đó là 36, còn tổng các chữ số của số đó là 23.

    Bài 23. Tìm số có năm chữ số, biết rằng số gồm 5 chữ số trên viết theo thứ tự ngược lại bằng 4 lần số phải tìm.

     

  • CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4

    CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4

    1. Lý thuyết các bài toán về trung bình cộng

    a. Tìm trung bình cộng của các số

    Muốn tìm trung bình cộng của hai hay nhiều số, ta tính tổng của các số đó rồi lấy kết quả chia cho số các số hạng.

    các bài toán về trung bình cộng lớp 4, CÁCH TÍNH TBC
    • Trung bình cộng = TỔNG CÁC SỐ chia SỐ CÁC SỐ HẠNG
    • Nếu bài toán cho trung bình cộng và số các số hạng, thì Tổng các số = Trung bình cộng nhân Số số hạng.
    • Nếu bài toán cho tổng các số hạng và trung bình cộng thì Số các số hạng = Tổng các số chia Trung bình cộng

    Mời ba mẹ đặt mua sách tham khảo lớp 4 để học cùng bé tốt nhất → https://shope.ee/fpBDHjhT6

    CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4 11

    Ví dụ 1. Tìm trung bình cộng của hai số $1$ và $17$.

    Hướng dẫn.

    • Ta có tổng của hai số là $1+17=18$.
    • Số các số hạng là: $2$.
    • Trung bình cộng của hai số đã cho là: $18:2=9$.

    Ví dụ 2. Tìm trung bình cộng của các số sau: $6, 9, 13, 28$.

    Hướng dẫn.

    • Tổng của các số là: $6 + 9 + 13 + 28 = 56$;
    • Số các số hạng là: $4$;
    • Trung bình cộng của bốn số đã cho là: $56 : 4 = 14$.

    Ví dụ 3. Biết trung bình cộng của ba số là $10$. Tìm tổng của ba số đó.

    Hướng dẫn.

    • Trung bình cộng của ba số là: $10$;
    • Số các số hạng là: $3$;
    • Tổng của ba số đã cho là: $10 \times 3 = 30$.

    Mời Quý Thầy Cô và các em học sinh xem thêm các dạng toán quan trọng và BD HSG của chương trình Toán lớp 4 và chương trình tiếng Anh lớp 4:

    Ví dụ 4. Tổng các số bằng $240$ và trung bình cộng của các số là $60$. Tìm số lượng các số?

    Hướng dẫn.

    • Tổng của các số là: $240$;
    • Trung bình cộng của các số đã cho là: $60$;
    • Số các số hạng là: $240:60=4$.

    b. Phương pháp giải toán trung bình cộng

    • Bước 1: Xác định số lượng các số hạng có trong bài toán;
    • Bước 2: Tính tổng các số hạng vừa tìm được;
    • Bước 3: Trung bình cộng = “Tổng các số hạng” chia “số các số hạng có trong bài toán”;
    • Bước 4: Kết luận.

    Ví dụ. Trường TH Lương Thế Vinh có $3$ lớp tham gia trồng cây. Lớp 4A trồng được $17$ cây, lớp 4B trồng được $13$ cây, lớp 4C trồng được $15$ cây. Hỏi trung bình mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

    Hướng dẫn.

    • Có lớp 4A, 4B, 4C tham gia trồng cây nên số các số hạng là $3$;
    • Tổng các số hạng bằng tổng số cây mà 3 lớp đã trồng: $17 + 13 + 15 = 45$ (cây);
    • Trung bình mỗi lớp trồng được số cây là: $45 : 3 = 15$ (cây).

    c. Tìm trung bình cộng của các số cách đều

    Để làm được các bài tập dạng này, các em học sinh cần xem thêm về dãy số cách đều trong bài Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể  tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Ví dụ. Tính trung bình cộng của các số trong dãy số: $3,6,9,…, 105$.

    Hướng dẫn. Ta đi tính tổng các số hạng dãy số trên rồi chia cho số số hạng.

    • Số số hạng là: $(105 – 3) : 3 + 1 = 35$.
    • Tổng các số hạng là: $( 3 +105 ) \times 35 : 2 = 1890$.
    • Suy ra, trung bình cộng của các số là: $$1890 : 35 = 54.$$

    Đáp số: $54$.

    d. Bài toán nhiều hơn trung bình cộng, ít hơn trung bình cộng

    Đối với dạng toán này, chúng ta thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải.

    Ví dụ 1. An có $24$ cái kẹo. Bình có $28$ cái kẹo. Cường có số cái kẹo bằng trung bình cộng của ba bạn. Hỏi Cường có bao nhiêu cái kẹo?

    Hướng dẫn. Theo đề bài, chúng ta có sơ đồ sau:

    các dạng toán về tbc

    Nhìn vào sơ đồ ta thấy:

    • Hai lần trung bình cộng số kẹo của ba bạn là: $24 + 28 = 52$ (cái)
    • Trung bình cộng số kẹo ba bạn hay số kẹo của Cường là: $52 : 2 = 26$ (cái).

    Đáp số: $26$ cái.

    Ví dụ 2. Lan có $30$ viên kẹo, Bình có $12$ viên kẹo. Hoa có số viên kẹo lơn hơn trung bình cộng của cả ba bạn là $4$ viên. Hỏi Hoa có bao nhiêu viên kẹo.

    Hướng dẫn. Ta có sơ đồ:

    dạng toán nhiều hơn tbc

    Nhìn vào sơ đồ ta thấy:

    • Hai lần trung bình cộng số kẹo của ba bạn là: $30 + 12 + 4 = 46$ (cái).
    • Trung bình cộng số kẹo ba bạn là: $46 : 2 = 23$ ( cái)
    • Số kẹo của Hoa là: $23 + 4 = 27$ (cái).

    Đáp số: $27$ cái.

    Ví dụ 3. Bình có $8$ quyển vở, Nguyên có $4$ quyển vở. Mai có số vở ít hơn trung bình cộng của cả ba bạn là $2$ quyển. Hỏi số vở của Mai là bao nhiêu?

    Hướng dẫn. Ta có sơ đồ:

    dạng toán ít hơn tbc

    Dựa vào sơ đồ, chúng ta có:

    • Hai lần trung bình cộng số vở của ba bạn là: $8 + 4 – 2 = 10$ (quyển)
    • Trung bình cộng số vở của ba bạn là: $10 : 2= 5$ (quyển)
    • Số vở của Mai là: $5 – 2 = 3$ (quyển).

    Đáp số: $3$ quyển.

    e. Giải toán trung bình cộng bằng phương pháp “giả thiết tạm”

    Phương pháp giả thiết tạm là cách thường dùng khi giải toán trung bình cộng lớp 4. Ngoài việc áp dụng các quy tắc cơ bản khi tìm số trung bình cộng ta cần đặt các giả thiết tạm thời để bài toán trở nên đơn giản hơn.

    Ví dụ. Lớp 4A có 48 học sinh, lớp 4B có số học sinh nhiều hơn trung bình số học sinh của hai lớp 4A và 4B là 2 học sinh. Hỏi lớp 4B có bao nhiêu học sinh.

    Hướng dẫn.

    Cách 1: Phương pháp giả thiết tạm

    • Nếu chuyển $2$ học sinh từ lớp 4B sang lớp 4A thì lúc này số học sinh trung bình của hai lớp vẫn không thay đổi và số học sinh mỗi lớp bằng nhau (Vì lớp 4B có số học sinh nhiều hơn trung bình số học sinh của hai lớp 4A và 4B là $2$ học sinh);
    • Khi đó, số học sinh của mỗi lớp lớp là: $48 + 2 = 50$ (học sinh). Đây cũng chính là trung bình số học sinh của hai lớp.
    • Suy ra, số học sinh lớp 4B là: $50 + 2 = 52$ (học sinh);

    Đáp số: Lớp 4B có $52$ (học sinh).

    Xem thêm Phương pháp giả thiết tạm giải toán tiểu học

    Cách 2: Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng.

    Chúng ta có sơ đồ đoạn thẳng sau:

    CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4 12

    Nhìn vào sơ đồ ta thấy:

    • Trung bình cộng của số học sinh hai lớp 4A và 4B là $48+2=50$ học sinh.
    • Suy ra, số học sinh lớp 4B là: $50 + 2 = 52$ (học sinh);

    Đáp số: Lớp 4B có $52$ (học sinh).

    Quý thầy cô và các em học sinh xem thêm Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng giải toán tiểu học

    2. Các ví dụ dạng toán về trung bình cộng lớp 4

    Bài 1. Xe thứ nhất trở được $45$ tấn hàng, xe thứ hai trở được $53$ tấn hàng, xe thứ ba trở được số hàng nhiều hơn trung bình cộng số tấn hàng của hai xe là $5$ tấn. Hỏi xe thứ ba trở được bao nhiêu tấn hàng.

    Hướng dẫn. Muốn biết xe thứ ba trở được bao nhiêu tấn hàng, ta cần tìm trung bình cộng số tấn hàng hai xe đầu trở được.

    • Trung bình cộng số tấn hàng hai xe đầu trở được là: $(45 + 53) : 2 = 49$ (tấn);
    • Xe thứ ba trở được số tấn hàng là: $49 + 5 = 54$ (tấn);

    Đáp số: $54$ (tấn).

    Bài 2. Có hai thùng dầu, trung bình mỗi thùng chứa 38 lít dầu. Thùng thứ nhất chứa 40 lít dầu. Tính số lít dầu của thùng thứ hai.

    Hướng dẫn.

    Bài này không yêu cầu chúng ta đi tìm trung bình cộng mà yêu cầu đi tìm số lít dầu ở thùng thứ hai. Vậy bước đầu tiên chúng ta cần tính tổng số lít dầu của cả hai thùng.

    • Tổng số lít dầu ở cả hai thùng là: $38 \times 2 = 76$ (lít);
    • Số lít dầu của thùng thứ hai là: $76-40 = 36$ (lít).

    Đáp số: $36$ (lít).

    Bài 3. Tìm trung bình cộng của các số sau

    a) $1, 3, 5, 7, 9$;

    b) $0, 2, 4, 6, 8, 10$.

    Hướng dẫn.

    a) Trung bình cộng của 5 số là: $$(1 + 3 + 5 + 7 + 9) : 5 = 5.$$

    b) Trung bình cộng của 6 số là: $$(0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10) :  6 = 5.$$

    Nhận xét: Từ ví dụ trên ta thấy trung bình cộng của dãy cách đều bằng:

    • Số ở chính giữa nếu dãy có số số hạng là lẻ.
    • Trung bình cộng 2 số ở giữa nếu dãy có số số hạng là chẵn.
    • Trung bình cộng = (số đầu + số cuối) : 2

    Bài 4. Tìm 5 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 2011.

    Hướng dẫn. Dựa vào nhận xét ở bài trước, ta dễ dàng xác định được bài toán gồm trung bình cộng của 5 số lẻ liên tiếp. Do đó trung bình cộng của 5 số này là số chính giữa.

    • Số thứ 3 (số chính giữa trong 5 số) là: 2011
    • Số thứ 2 là: $2011 – 2 = 2009$
    • Số thứ nhất là: $2009 – 2 = 2007$
    • Số thứ 4 là: $2011 + 2 = 2013$
    • Số thứ 5 là: $2013 + 2 = 2015$

    Bài 5. Biết tuổi trung bình của 30 học sinh trong một lớp là 9 tuổi. Nếu tính cả cô giáo chủ nhiệm thì tuổi trung bình của cô và 30 học sinh sẽ là 10 tuổi. Hỏi cô giáo chủ nhiệm bao nhiêu tuổi?

    Hướng dẫn.

    • Tổng số tuổi của 30 học sinh là: $9 \times 30 = 270$ (tuổi).
    • Số người có trong lớp kể cả cô giáo chủ nhiệm: $30 + 1 = 31$ (người)
    • Tổng số tuổi của 31 người (kể cả cô giáo) là: $10 \times 31 = 310$ (tuổi)
    • Số tuổi của cô giáo chủ nhiệm là: $310 – 270 = 40$ (tuổi)

    Đáp số: $40$ (tuổi)

    3. Bài tập về trung bình cộng lớp 4

    Bài 1. Tìm trung bình cộng của các số sau:

    a) 10; 17 ; 24; 37
    b) 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25
    c) 2; 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; 34; 38
    d) 1; 2; 3; 4; 5;…; 2014; 2015
    e) 5; 10; 15; 20;….; 2000; 2005

    Bài 2. Trung bình cộng của 3 số bằng 25. Biết số thứ nhất là 12; số thứ hai là 40. Tìm số thứ 3.

    Bài 3. Trung bình cộng của 3 số là 35. Tìm số thứ ba, biết số thứ nhất gấp đôi số thứ hai, số thứ hai gấp đôi số thứ ba.

    Bài 4. Tìm 5 số chẵn liên tiếp, biết trung bình cộng của chúng bằng 126.

    Bài 5. Tuổi trung bình cộng của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh lớp 4A là 12 tuổi . Nếu không kể cô giáo chủ nhiệm thì tuổi trung bình cộng của 30 học sinh là 11. Hỏi cô giáo chủ nhiệm bao nhiêu tuổi?

    Bài 6. An có 18 viên bi, Bình có 16 viên bi, Hùng có số viên bi bằng trung bình cộng số bi của An và Bình cộng thêm 6 viên bi, Dũng có số bi bằng trung bình cộng của cả 4 bạn. Hỏi Dũng có bao nhiêu viên bi?

    Bài 7. Lân có 20 viên bi. Long có số bi bằng một nửa số bi của Lân. Quý có số bi nhiều hơn trung bình cộng của 3 bạn là 6 viên bi. Hỏi Quý có bao nhiêu viên bi?

    Bài 8. Trọng lượng của năm gói hàng trong một thùng hàng lần lượt là 700g, 800g, 800g, 850g và 900g. Hỏi phải bỏ thêm một gói hàng nặng bao nhiêu gam vào thùng đó để trọng lượng trung bình của cả sáu gói sẽ tăng thêm 40g?

    Bài 9. Lớp 5A và 5B trồng được một số cây. Biết trung bình cộng số cây 2 lớp đã trồng được là 235. Nếu lớp 5A trồng thêm 80 cây và lớp 5B trồng thêm 40 cây thì số cây 2 lớp bằng nhau. Tính số cây mỗi lớp đã trồng.

    Bài 10. Trung bình cộng của 3 số bằng 24. Trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ hai bằng 21, của số thứ hai và số thứ ba bằng 26. Tìm 3 số đó.

    Bài 11. Trung bình cộng của 4 số bằng 25. TBC của 3 số đầu bằng 22, TBC của 3 số cuối bằng 20. Tìm TBC của số thứ hai và số thứ ba?

    Bài 12. Tìm 3 số tự nhiên A, B, C biết trung bình cộng của A và B là 20, trung bình cộng của B và C là 25 và trung bình cộng của A và C là 15.

    Bài 13. Trung bình cộng của 2 số bằng 57. Nếu gấp số thứ hai lên 3 lần thì trung bình cộng của chúng bằng 105. Tìm 2 số đó.

    Bài 14. Khối lớp 4 của một trường Tiểu học có ba lớp. Biết rằng lớp 4A có 28 học sinh, lớp 4B có 26 học sinh. Trung bình số học sinh hai lớp 4A và 4C nhiều hơn trung bình số học sinh của ba lớp là 2 học sinh. Tính số học sinh lớp 4C?