Category: TOÁN HỌC

CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC THÔNG DỤNG

CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC THÔNG DỤNG

Kí hiệu Toán học thông dụng bảng chữ cái Hy Lạp

α β δ ε θ λ μ π φ ψ Ω

Kí hiệu Toán học chỉ số trên

x⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ⁱ

Kí hiệu Toán học chỉ số dưới

₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₕ ᵢ ⱼ ₖ ₗ ₘ ₙ ₒ ₚ ᵣ ₛ ₜ ᵤ ᵥ ₓ ₔ

Kí hiệu Toán học căn thức

√ ∛ ∜

Kí hiệu Toán học tên các tập hợp số

ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

Kí hiệu các hằng số Toán học

π ⅈ ⅉ ℯ ⅇ ℇ ∞ ⧜ ⧝ ⧞

Kí hiệu tập hợp rỗng

∅ ⦰ ⦱ ⦲ ⦳ ⦴

∈ ∋ ∉ ∌ ⋶ ⋽ ⋲ ⋺ ⋳ ⋻

∊ ∍ ⋷ ⋾ ⋴ ⋼ ⋵ ⋸ ⋹ ⫙ ⟒

Kí hiệu toán học tập hợp con

⊂ ⊃ ⊄ ⊅ ⊆ ⊇ ⊈ ⊉ ⊊ ⊋ ⫅ ⫆ ⫋ ⫌

⫇ ⫈ ⫉ ⫊

⫃ ⫄ ⟃ ⟄ ⫏ ⫐ ⫑ ⫒ ⫗ ⫘ ⋐ ⋑ ⟈ ⟉

⫓ ⫔ ⫕ ⫖

Kí hiệu phép hợp, giao của hai tập hợp

∪ ⩁ ⩂ ⩅ ⩌ ⩏ ⩐ ∩ ⩀ ⩃ ⩄ ⩍ ⩎

∖ ⩆ ⩇ ⩈ ⩉ ⩊ ⩋ ⪽ ⪾ ⪿ ⫀ ⫁ ⫂ ⋒ ⋓

⋂ ⋃ ⊌ ⊍ ⊎ ⨃ ⨄ ⨅ ⨆ ⨝ ⟕ ⟖ ⟗

Kí hiệu toán tử so sánh

≺ ≻ ≼ ≽ ≾ ≿ ⊀ ⊁ ⋞ ⋟ ⋠ ⋡ ⋨

⋩ ⪯ ⪰ ⪱ ⪲ ⪳ ⪴ ⪵ ⪶ ⪷ ⪸ ⪹ ⪺

⪻ ⪼ ⊰ ⊱ < > ≮ ≯

≤ ≥ ≰ ≱ ⪇ ⪈ ≦ ≧ ≨ ≩

⋜ ⋝ ⪙ ⪚ ≶ ≷ ≸ ≹

⋚ ⋛ ⪋ ⪌ ⪑ ⪒ ⪓ ⪔

⪅ ⪆ ⪉ ⪊ ≲ ≳ ⋦ ⋧ ≴ ≵

⪝ ⪞ ⪟ ⪠ ⪍ ⪎ ⪏ ⪐

⩽ ⩾ ⫹ ⫺ ⪕ ⪖ ⪛ ⪜

⪣ ⪤ ⪥ ⪦ ⪧ ⪨ ⪩ ⪪ ⪫

⪬ ⪭ ⪡ ⪢ ⫷ ⫸ ⩹ ⩺

⩻ ⩼ ≪ ≫ ⋘ ⋙ ≬

⋖ ⋗ ⩿ ⪀ ⪗ ⪘ ⪁ ⪂ ⪃ ⪄

Kí hiệu Toán học bằng nhau, khác nhau

≠ = ⩵ ⩶ ≝ ≞ ≟ ≎ ≏ ⪮

≐ ⩦ ≑ ≒ ≓ ⩷ ≔ ≕ ⩴

≖ ≗ ≘ ≙ ≚ ≛ ⩮ ≜ ⩬ ⩭ ⩱ ⩲

Kí hiệu Toán học trùng nhau

≡ ≢ ⩧ ≍ ≭ ≣ ⩸

≁ ≂ ≃ ≄ ⋍

Kí hiệu Toán học xấp xỉ

≅ ≆ ≇ ≈ ≉ ≊

≋ ≌ ⩯ ⩰ ∻ ∹

Kí hiệu khác

⊏ ⊐ ⊑ ⊒ ⊓ ⊔ ⋢ ⋣ ⋤ ⋥ ⫴ ⫵

⊲ ⊳ ⊴ ⊵ ⋪ ⋫ ⋬ ⋭

Kí hiệu logic

¬ ⫬ ⫭ ⊨ ⊭ ∀ ∁ ∃ ∄ ∴ ∵ ⊦ ⊬ ⊧ ⊩ ⊮ ⊫ ⊯ ⊪

∧ ∨ ⊻ ⊼ ⊽ ⋎ ⋏ ⟑ ⟇ ⩑ ⩒ ⩓ ⩔ ⩕ ⩖ ⩗ ⩘ ⩙ ⩚ ⩛

⩜ ⩝ ⩞ ⩟ ⩠ ⩢ ⩣ ⨇ ⨈ ⋀ ⋁

Kí hiệu hình học

∣ ∤ ⫮ ⌅ ⌆ ℓ ⫛

Kí hiệu tỉ số

∝ ∶ ∷ ∺

Kí hiệu song song

∥ ∦ ⫲ ⫳ ⋕

Kí hiệu vuông góc

⟂ ⫡

Kí hiệu góc vuông

⦜ ∟ ⊾ ⦝ ⊿

Kí hiệu góc

∠ ⦞ ⦟ ⦢ ⦣ ⦤ ⦥ ⦦ ⦧

∡ ⦛ ⦨ ⦩ ⦪ ⦫ ⦬ ⦭ ⦮ ⦯

⦓ ⦔ ⦕ ⦖ ∢ ⦠ ⦡ ⟀

Kí hiệu các phép toán

Kí hiệu phép cộng

+ ➕ ⨢ ⨣ ⨤ ∔ ⨥ ⨦ ⨧ ⨨

⨭ ⨮ ⧺ ⧻ ± ∓

Kí hiệu phép trừ

− ∸ ⨪ ⨩ ⨫ ⨬

Kí hiệu phép nhân

× ✕ ✖ ⨰ ⨱ ⨲ ⨳ ⦻ ⨴ ⨵ ⨶ ⨷

Kí hiệu phép chia

÷ ∕ ⋇ ⟌ ⟠

Kí hiệu phép toán trong hình tròn, hình vuông

⊕ ⊖ ⊝ ⊗ ⊙ ⊚ ⊛ ⊜ ⊘ ⨸ ⦼

⦵ ⦶ ⦷ ⦸ ⦹ ⦺ ⦽ ⧀ ⧁ ⧂ ⧃

⊞ ⊟ ⊠ ⊡ ⨹ ⨺ ⨻ ⨞ ⧊ ⧋ ⧌ ⧍

⋆ ∗ ∘ ∙ ⋅

Kí hiệu dấu ngoặc

⌈ ⌉ ⌊ ⌋ ⫍ ⫎

Kí hiệu tích phân

∫ ∬ ∭ ⨌ ∮ ∯ ∰ ∱ ∲ ∳

⨍ ⨎ ⨏ ⨐ ⨑ ⨒ ⨓ ⨔ ⨕ ⨖ ⨗ ⨘ ⨙ ⨚

⨛ ⨜ ⨋

Kí hiệu đạo hàm

∂ ′ ″ ‴ ∆

Kí hiệu đại số

⨯ ∇ ⊹ ∼ ∽ ⩪ ⸟ ⩫ ⩳

Kí hiệu sine wave

∿

Kí hiệu khác

⋄ ⫶ ⫼ ⫾ ≀ ⨿ ⨼ ⨽ ⧢ ⋉ ⋊ ⋋ ⋌

∑ ⨊ ⨁ ⨀ ⨂ ∏ ∐ ⨉ ⊣ ⊢ ⊥ ⊤

⟘ ⟙ ⟛ ⟞ ⟝ ⫨ ⫧ ⫩ ⫫ ⫪

⫞ ⫠ ⫟ ⟟ ⊫ ⊯ ⟚ ⫣ ⫤ ⫥ ⊪ ⫢

⧴ ⋮ ⋯ ⋰ ⋱ ⋿ ⦁ ⦂ ⨾ ⨟ ⨠ ⨡ ⩤ ⩥ ⦇ ⦈ ⦉ ⦊

/ ⧶ ⧸ ⫽ ⫻ ⧵ ⧹ ⧷

⊶ ⊷ ⊸ ⟜ ⧟ ⧡ ⧣ ⧤ ⧥ ⧦ ⧧

∎ ⧾ ⧎ ⧏ ⧐ ⩡ ⩨ ⩩ ⫝̸ ⫝ ⫦ ⫯ ⫰ ⫱
∾ ⊺ ⋔ ⫚ ⟊ ⟔ ⟓ ⟡ ⟢ ⟣ ⟤ ⟥

13/11/2021

CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC

Cách gõ các kí hiệu toán học dưới đây, bạn có thể bôi đen, copy và dán vào văn bản của bạn. Hoặc, giữ phím ALT và bấm mã Unicode của kí tự đó (mã xem ở các bảng dưới đây). Ví dụ, muốn gõ kí tự

Các kí hiệu toán học về phép toán và tập hợp

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
U+220x	∀	∁	∂	∃	∄	∅	∆	∇	∈	∉	∊	∋	∌	∍	∎	∏
U+221x	∐	∑	−	∓	∔	∕	∖	∗	∘	∙	√	∛	∜	∝	∞	∟
U+222x	∠	∡	∢	∣	∤	∥	∦	∧	∨	∩	∪	∫	∬	∭	∮	∯
U+223x	∰	∱	∲	∳	∴	∵	∶	∷	∸	∹	∺	∻	∼	∽	∾	∿
U+224x	≀	≁	≂	≃	≄	≅	≆	≇	≈	≉	≊	≋	≌	≍	≎	≏
U+225x	≐	≑	≒	≓	≔	≕	≖	≗	≘	≙	≚	≛	≜	≝	≞	≟
U+226x	≠	≡	≢	≣	≤	≥	≦	≧	≨	≩	≪	≫	≬	≭	≮	≯
U+227x	≰	≱	≲	≳	≴	≵	≶	≷	≸	≹	≺	≻	≼	≽	≾	≿
U+228x	⊀	⊁	⊂	⊃	⊄	⊅	⊆	⊇	⊈	⊉	⊊	⊋	⊌	⊍	⊎	⊏
U+229x	⊐	⊑	⊒	⊓	⊔	⊕	⊖	⊗	⊘	⊙	⊚	⊛	⊜	⊝	⊞	⊟
U+22Ax	⊠	⊡	⊢	⊣	⊤	⊥	⊦	⊧	⊨	⊩	⊪	⊫	⊬	⊭	⊮	⊯
U+22Bx	⊰	⊱	⊲	⊳	⊴	⊵	⊶	⊷	⊸	⊹	⊺	⊻	⊼	⊽	⊾	⊿
U+22Cx	⋀	⋁	⋂	⋃	⋄	⋅	⋆	⋇	⋈	⋉	⋊	⋋	⋌	⋍	⋎	⋏
U+22Dx	⋐	⋑	⋒	⋓	⋔	⋕	⋖	⋗	⋘	⋙	⋚	⋛	⋜	⋝	⋞	⋟
U+22Ex	⋠	⋡	⋢	⋣	⋤	⋥	⋦	⋧	⋨	⋩	⋪	⋫	⋬	⋭	⋮	⋯
U+22Fx	⋰	⋱	⋲	⋳	⋴	⋵	⋶	⋷	⋸	⋹	⋺	⋻	⋼	⋽	⋾	⋿

Các kí hiệu toán tử bổ sung khác

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
U+2A0x	⨀	⨁	⨂	⨃	⨄	⨅	⨆	⨇	⨈	⨉	⨊	⨋	⨌	⨍	⨎	⨏
U+2A1x	⨐	⨑	⨒	⨓	⨔	⨕	⨖	⨗	⨘	⨙	⨚	⨛	⨜	⨝	⨞	⨟
U+2A2x	⨠	⨡	⨢	⨣	⨤	⨥	⨦	⨧	⨨	⨩	⨪	⨫	⨬	⨭	⨮	⨯
U+2A3x	⨰	⨱	⨲	⨳	⨴	⨵	⨶	⨷	⨸	⨹	⨺	⨻	⨼	⨽	⨾	⨿
U+2A4x	⩀	⩁	⩂	⩃	⩄	⩅	⩆	⩇	⩈	⩉	⩊	⩋	⩌	⩍	⩎	⩏
U+2A5x	⩐	⩑	⩒	⩓	⩔	⩕	⩖	⩗	⩘	⩙	⩚	⩛	⩜	⩝	⩞	⩟
U+2A6x	⩠	⩡	⩢	⩣	⩤	⩥	⩦	⩧	⩨	⩩	⩪	⩫	⩬	⩭	⩮	⩯
U+2A7x	⩰	⩱	⩲	⩳	⩴	⩵	⩶	⩷	⩸	⩹	⩺	⩻	⩼	⩽	⩾	⩿
U+2A8x	⪀	⪁	⪂	⪃	⪄	⪅	⪆	⪇	⪈	⪉	⪊	⪋	⪌	⪍	⪎	⪏
U+2A9x	⪐	⪑	⪒	⪓	⪔	⪕	⪖	⪗	⪘	⪙	⪚	⪛	⪜	⪝	⪞	⪟
U+2AAx	⪠	⪡	⪢	⪣	⪤	⪥	⪦	⪧	⪨	⪩	⪪	⪫	⪬	⪭	⪮	⪯
U+2ABx	⪰	⪱	⪲	⪳	⪴	⪵	⪶	⪷	⪸	⪹	⪺	⪻	⪼	⪽	⪾	⪿
U+2ACx	⫀	⫁	⫂	⫃	⫄	⫅	⫆	⫇	⫈	⫉	⫊	⫋	⫌	⫍	⫎	⫏
U+2ADx	⫐	⫑	⫒	⫓	⫔	⫕	⫖	⫗	⫘	⫙	⫚	⫛	⫝̸	⫝	⫞	⫟
U+2AEx	⫠	⫡	⫢	⫣	⫤	⫥	⫦	⫧	⫨	⫩	⫪	⫫	⫬	⫭	⫮	⫯
U+2AFx	⫰	⫱	⫲	⫳	⫴	⫵	⫶	⫷	⫸	⫹	⫺	⫻	⫼	⫽	⫾	⫿

U+210x	℀	℁	ℂ	℃	℄	℅	℆	ℇ	℈	℉	ℊ	ℋ	ℌ	ℍ	ℎ	ℏ
U+211x	ℐ	ℑ	ℒ	ℓ	℔	ℕ	№	℗	℘	ℙ	ℚ	ℛ	ℜ	ℝ	℞	℟
U+212x	℠	℡	™	℣	ℤ	℥	Ω	℧	ℨ	℩	K	Å	ℬ	ℭ	℮	ℯ
U+213x	ℰ	ℱ	Ⅎ	ℳ	ℴ	ℵ	ℶ	ℷ	ℸ	ℹ	℺	℻	ℼ	ℽ	ℾ	ℿ
U+214x	⅀	⅁	⅂	⅃	⅄	ⅅ	ⅆ	ⅇ	ⅈ	ⅉ	⅊	⅋	⅌	⅍	ⅎ	⅏

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
U+27Cx	⟀	⟁	⟂	⟃	⟄	⟅	⟆	⟇	⟈	⟉	⟊	⟋	⟌	⟍	⟎	⟏
U+27Dx	⟐	⟑	⟒	⟓	⟔	⟕	⟖	⟗	⟘	⟙	⟚	⟛	⟜	⟝	⟞	⟟
U+27Ex	⟠	⟡	⟢	⟣	⟤	⟥	⟦	⟧	⟨	⟩	⟪	⟫	⟬	⟭	⟮	⟯

Các kí hiệu toán học mũi tên

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
U+219x	←	↑	→	↓	↔	↕	↖	↗	↘	↙	↚	↛	↜	↝	↞	↟
U+21Ax	↠	↡	↢	↣	↤	↥	↦	↧	↨	↩	↪	↫	↬	↭	↮	↯
U+21Bx	↰	↱	↲	↳	↴	↵	↶	↷	↸	↹	↺	↻	↼	↽	↾	↿
U+21Cx	⇀	⇁	⇂	⇃	⇄	⇅	⇆	⇇	⇈	⇉	⇊	⇋	⇌	⇍	⇎	⇏
U+21Dx	⇐	⇑	⇒	⇓	⇔	⇕	⇖	⇗	⇘	⇙	⇚	⇛	⇜	⇝	⇞	⇟
U+21Ex	⇠	⇡	⇢	⇣	⇤	⇥	⇦	⇧	⇨	⇩	⇪	⇫	⇬	⇭	⇮	⇯
U+21Fx	⇰	⇱	⇲	⇳	⇴	⇵	⇶	⇷	⇸	⇹	⇺	⇻	⇼	⇽	⇾	⇿

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
U+27Fx	⟰	⟱	⟲	⟳	⟴	⟵	⟶	⟷	⟸	⟹	⟺	⟻	⟼	⟽	⟾	⟿

Bảng mã đầy đủ của các kí hiệu công thức Toán học

Mã Unicode	TÊN	KÍ HIỆU
U+002B	PLUS SIGN	+
U+003C	LESS-THAN SIGN	<
U+003D	EQUALS SIGN	=
U+003E	GREATER-THAN SIGN	>
U+007C	VERTICAL LINE	\|
U+007E	TILDE	~
U+00AC	NOT SIGN	¬
U+00B1	PLUS-MINUS SIGN	±
U+00D7	MULTIPLICATION SIGN	×
U+00F7	DIVISION SIGN	÷
U+03F6	GREEK REVERSED LUNATE EPSILON SYMBOL	϶
U+0606	ARABIC-INDIC CUBE ROOT	؆
U+0607	ARABIC-INDIC FOURTH ROOT	؇
U+0608	ARABIC RAY	؈
U+2044	FRACTION SLASH	⁄
U+2052	COMMERCIAL MINUS SIGN	⁒
U+207A	SUPERSCRIPT PLUS SIGN	⁺
U+207B	SUPERSCRIPT MINUS	⁻
U+207C	SUPERSCRIPT EQUALS SIGN	⁼
U+208A	SUBSCRIPT PLUS SIGN	₊
U+208B	SUBSCRIPT MINUS	₋
U+208C	SUBSCRIPT EQUALS SIGN	₌
U+2118	SCRIPT CAPITAL P	℘
U+2140	DOUBLE-STRUCK N-ARY SUMMATION	⅀
U+2141	TURNED SANS-SERIF CAPITAL G	⅁
U+2142	TURNED SANS-SERIF CAPITAL L	⅂
U+2143	REVERSED SANS-SERIF CAPITAL L	⅃
U+2144	TURNED SANS-SERIF CAPITAL Y	⅄
U+214B	TURNED AMPERSAND	⅋
U+2190	LEFTWARDS ARROW	←
U+2191	UPWARDS ARROW	↑
U+2192	RIGHTWARDS ARROW	→
U+2193	DOWNWARDS ARROW	↓
U+2194	LEFT RIGHT ARROW	↔
U+219A	LEFTWARDS ARROW WITH STROKE	↚
U+219B	RIGHTWARDS ARROW WITH STROKE	↛
U+21A0	RIGHTWARDS TWO HEADED ARROW	↠
U+21A3	RIGHTWARDS ARROW WITH TAIL	↣
U+21A6	RIGHTWARDS ARROW FROM BAR	↦
U+21AE	LEFT RIGHT ARROW WITH STROKE	↮
U+21CE	LEFT RIGHT DOUBLE ARROW WITH STROKE	⇎
U+21CF	RIGHTWARDS DOUBLE ARROW WITH STROKE	⇏
U+21D2	RIGHTWARDS DOUBLE ARROW	⇒
U+21D4	LEFT RIGHT DOUBLE ARROW	⇔
U+21F4	RIGHT ARROW WITH SMALL CIRCLE	⇴
U+21F5	DOWNWARDS ARROW LEFTWARDS OF UPWARDS ARROW	⇵
U+21F6	THREE RIGHTWARDS ARROWS	⇶
U+21F7	LEFTWARDS ARROW WITH VERTICAL STROKE	⇷
U+21F8	RIGHTWARDS ARROW WITH VERTICAL STROKE	⇸
U+21F9	LEFT RIGHT ARROW WITH VERTICAL STROKE	⇹
U+21FA	LEFTWARDS ARROW WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⇺
U+21FB	RIGHTWARDS ARROW WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⇻
U+21FC	LEFT RIGHT ARROW WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⇼
U+21FD	LEFTWARDS OPEN-HEADED ARROW	⇽
U+21FE	RIGHTWARDS OPEN-HEADED ARROW	⇾
U+21FF	LEFT RIGHT OPEN-HEADED ARROW	⇿
U+2200	FOR ALL	∀
U+2201	COMPLEMENT	∁
U+2202	PARTIAL DIFFERENTIAL	∂
U+2203	THERE EXISTS	∃
U+2204	THERE DOES NOT EXIST	∄
U+2205	EMPTY SET	∅
U+2206	INCREMENT	∆
U+2207	NABLA	∇
U+2208	ELEMENT OF	∈
U+2209	NOT AN ELEMENT OF	∉
U+220A	SMALL ELEMENT OF	∊
U+220B	CONTAINS AS MEMBER	∋
U+220C	DOES NOT CONTAIN AS MEMBER	∌
U+220D	SMALL CONTAINS AS MEMBER	∍
U+220E	END OF PROOF	∎
U+220F	N-ARY PRODUCT	∏
U+2210	N-ARY COPRODUCT	∐
U+2211	N-ARY SUMMATION	∑
U+2212	MINUS SIGN	−
U+2213	MINUS-OR-PLUS SIGN	∓
U+2214	DOT PLUS	∔
U+2215	DIVISION SLASH	∕
U+2216	SET MINUS	∖
U+2217	ASTERISK OPERATOR	∗
U+2218	RING OPERATOR	∘
U+2219	BULLET OPERATOR	∙
U+221A	SQUARE ROOT	√
U+221B	CUBE ROOT	∛
U+221C	FOURTH ROOT	∜
U+221D	PROPORTIONAL TO	∝
U+221E	INFINITY	∞
U+221F	RIGHT ANGLE	∟
U+2220	ANGLE	∠
U+2221	MEASURED ANGLE	∡
U+2222	SPHERICAL ANGLE	∢
U+2223	DIVIDES	∣
U+2224	DOES NOT DIVIDE	∤
U+2225	PARALLEL TO	∥
U+2226	NOT PARALLEL TO	∦
U+2227	LOGICAL AND	∧
U+2228	LOGICAL OR	∨
U+2229	INTERSECTION	∩
U+222A	UNION	∪
U+222B	INTEGRAL	∫
U+222C	DOUBLE INTEGRAL	∬
U+222D	TRIPLE INTEGRAL	∭
U+222E	CONTOUR INTEGRAL	∮
U+222F	SURFACE INTEGRAL	∯
U+2230	VOLUME INTEGRAL	∰
U+2231	CLOCKWISE INTEGRAL	∱
U+2232	CLOCKWISE CONTOUR INTEGRAL	∲
U+2233	ANTICLOCKWISE CONTOUR INTEGRAL	∳
U+2234	THEREFORE	∴
U+2235	BECAUSE	∵
U+2236	RATIO	∶
U+2237	PROPORTION	∷
U+2238	DOT MINUS	∸
U+2239	EXCESS	∹
U+223A	GEOMETRIC PROPORTION	∺
U+223B	HOMOTHETIC	∻
U+223C	TILDE OPERATOR	∼
U+223D	REVERSED TILDE	∽
U+223E	INVERTED LAZY S	∾
U+223F	SINE WAVE	∿
U+2240	WREATH PRODUCT	≀
U+2241	NOT TILDE	≁
U+2242	MINUS TILDE	≂
U+2243	ASYMPTOTICALLY EQUAL TO	≃
U+2244	NOT ASYMPTOTICALLY EQUAL TO	≄
U+2245	APPROXIMATELY EQUAL TO	≅
U+2246	APPROXIMATELY BUT NOT ACTUALLY EQUAL TO	≆
U+2247	NEITHER APPROXIMATELY NOR ACTUALLY EQUAL TO	≇
U+2248	ALMOST EQUAL TO	≈
U+2249	NOT ALMOST EQUAL TO	≉
U+224A	ALMOST EQUAL OR EQUAL TO	≊
U+224B	TRIPLE TILDE	≋
U+224C	ALL EQUAL TO	≌
U+224D	EQUIVALENT TO	≍
U+224E	GEOMETRICALLY EQUIVALENT TO	≎
U+224F	DIFFERENCE BETWEEN	≏
U+2250	APPROACHES THE LIMIT	≐
U+2251	GEOMETRICALLY EQUAL TO	≑
U+2252	APPROXIMATELY EQUAL TO OR THE IMAGE OF	≒
U+2253	IMAGE OF OR APPROXIMATELY EQUAL TO	≓
U+2254	COLON EQUALS	≔
U+2255	EQUALS COLON	≕
U+2256	RING IN EQUAL TO	≖
U+2257	RING EQUAL TO	≗
U+2258	CORRESPONDS TO	≘
U+2259	ESTIMATES	≙
U+225A	EQUIANGULAR TO	≚
U+225B	STAR EQUALS	≛
U+225C	DELTA EQUAL TO	≜
U+225D	EQUAL TO BY DEFINITION	≝
U+225E	MEASURED BY	≞
U+225F	QUESTIONED EQUAL TO	≟
U+2260	NOT EQUAL TO	≠
U+2261	IDENTICAL TO	≡
U+2262	NOT IDENTICAL TO	≢
U+2263	STRICTLY EQUIVALENT TO	≣
U+2264	LESS-THAN OR EQUAL TO	≤
U+2265	GREATER-THAN OR EQUAL TO	≥
U+2266	LESS-THAN OVER EQUAL TO	≦
U+2267	GREATER-THAN OVER EQUAL TO	≧
U+2268	LESS-THAN BUT NOT EQUAL TO	≨
U+2269	GREATER-THAN BUT NOT EQUAL TO	≩
U+226A	MUCH LESS-THAN	≪
U+226B	MUCH GREATER-THAN	≫
U+226C	BETWEEN	≬
U+226D	NOT EQUIVALENT TO	≭
U+226E	NOT LESS-THAN	≮
U+226F	NOT GREATER-THAN	≯
U+2270	NEITHER LESS-THAN NOR EQUAL TO	≰
U+2271	NEITHER GREATER-THAN NOR EQUAL TO	≱
U+2272	LESS-THAN OR EQUIVALENT TO	≲
U+2273	GREATER-THAN OR EQUIVALENT TO	≳
U+2274	NEITHER LESS-THAN NOR EQUIVALENT TO	≴
U+2275	NEITHER GREATER-THAN NOR EQUIVALENT TO	≵
U+2276	LESS-THAN OR GREATER-THAN	≶
U+2277	GREATER-THAN OR LESS-THAN	≷
U+2278	NEITHER LESS-THAN NOR GREATER-THAN	≸
U+2279	NEITHER GREATER-THAN NOR LESS-THAN	≹
U+227A	PRECEDES	≺
U+227B	SUCCEEDS	≻
U+227C	PRECEDES OR EQUAL TO	≼
U+227D	SUCCEEDS OR EQUAL TO	≽
U+227E	PRECEDES OR EQUIVALENT TO	≾
U+227F	SUCCEEDS OR EQUIVALENT TO	≿
U+2280	DOES NOT PRECEDE	⊀
U+2281	DOES NOT SUCCEED	⊁
U+2282	SUBSET OF	⊂
U+2283	SUPERSET OF	⊃
U+2284	NOT A SUBSET OF	⊄
U+2285	NOT A SUPERSET OF	⊅
U+2286	SUBSET OF OR EQUAL TO	⊆
U+2287	SUPERSET OF OR EQUAL TO	⊇
U+2288	NEITHER A SUBSET OF NOR EQUAL TO	⊈
U+2289	NEITHER A SUPERSET OF NOR EQUAL TO	⊉
U+228A	SUBSET OF WITH NOT EQUAL TO	⊊
U+228B	SUPERSET OF WITH NOT EQUAL TO	⊋
U+228C	MULTISET	⊌
U+228D	MULTISET MULTIPLICATION	⊍
U+228E	MULTISET UNION	⊎
U+228F	SQUARE IMAGE OF	⊏
U+2290	SQUARE ORIGINAL OF	⊐
U+2291	SQUARE IMAGE OF OR EQUAL TO	⊑
U+2292	SQUARE ORIGINAL OF OR EQUAL TO	⊒
U+2293	SQUARE CAP	⊓
U+2294	SQUARE CUP	⊔
U+2295	CIRCLED PLUS	⊕
U+2296	CIRCLED MINUS	⊖
U+2297	CIRCLED TIMES	⊗
U+2298	CIRCLED DIVISION SLASH	⊘
U+2299	CIRCLED DOT OPERATOR	⊙
U+229A	CIRCLED RING OPERATOR	⊚
U+229B	CIRCLED ASTERISK OPERATOR	⊛
U+229C	CIRCLED EQUALS	⊜
U+229D	CIRCLED DASH	⊝
U+229E	SQUARED PLUS	⊞
U+229F	SQUARED MINUS	⊟
U+22A0	SQUARED TIMES	⊠
U+22A1	SQUARED DOT OPERATOR	⊡
U+22A2	RIGHT TACK	⊢
U+22A3	LEFT TACK	⊣
U+22A4	DOWN TACK	⊤
U+22A5	UP TACK	⊥
U+22A6	ASSERTION	⊦
U+22A7	MODELS	⊧
U+22A8	TRUE	⊨
U+22A9	FORCES	⊩
U+22AA	TRIPLE VERTICAL BAR RIGHT TURNSTILE	⊪
U+22AB	DOUBLE VERTICAL BAR DOUBLE RIGHT TURNSTILE	⊫
U+22AC	DOES NOT PROVE	⊬
U+22AD	NOT TRUE	⊭
U+22AE	DOES NOT FORCE	⊮
U+22AF	NEGATED DOUBLE VERTICAL BAR DOUBLE RIGHT TURNSTILE	⊯
U+22B0	PRECEDES UNDER RELATION	⊰
U+22B1	SUCCEEDS UNDER RELATION	⊱
U+22B2	NORMAL SUBGROUP OF	⊲
U+22B3	CONTAINS AS NORMAL SUBGROUP	⊳
U+22B4	NORMAL SUBGROUP OF OR EQUAL TO	⊴
U+22B5	CONTAINS AS NORMAL SUBGROUP OR EQUAL TO	⊵
U+22B6	ORIGINAL OF	⊶
U+22B7	IMAGE OF	⊷
U+22B8	MULTIMAP	⊸
U+22B9	HERMITIAN CONJUGATE MATRIX	⊹
U+22BA	INTERCALATE	⊺
U+22BB	XOR	⊻
U+22BC	NAND	⊼
U+22BD	NOR	⊽
U+22BE	RIGHT ANGLE WITH ARC	⊾
U+22BF	RIGHT TRIANGLE	⊿
U+22C0	N-ARY LOGICAL AND	⋀
U+22C1	N-ARY LOGICAL OR	⋁
U+22C2	N-ARY INTERSECTION	⋂
U+22C3	N-ARY UNION	⋃
U+22C4	DIAMOND OPERATOR	⋄
U+22C5	DOT OPERATOR	⋅
U+22C6	STAR OPERATOR	⋆
U+22C7	DIVISION TIMES	⋇
U+22C8	BOWTIE	⋈
U+22C9	LEFT NORMAL FACTOR SEMIDIRECT PRODUCT	⋉
U+22CA	RIGHT NORMAL FACTOR SEMIDIRECT PRODUCT	⋊
U+22CB	LEFT SEMIDIRECT PRODUCT	⋋
U+22CC	RIGHT SEMIDIRECT PRODUCT	⋌
U+22CD	REVERSED TILDE EQUALS	⋍
U+22CE	CURLY LOGICAL OR	⋎
U+22CF	CURLY LOGICAL AND	⋏
U+22D0	DOUBLE SUBSET	⋐
U+22D1	DOUBLE SUPERSET	⋑
U+22D2	DOUBLE INTERSECTION	⋒
U+22D3	DOUBLE UNION	⋓
U+22D4	PITCHFORK	⋔
U+22D5	EQUAL AND PARALLEL TO	⋕
U+22D6	LESS-THAN WITH DOT	⋖
U+22D7	GREATER-THAN WITH DOT	⋗
U+22D8	VERY MUCH LESS-THAN	⋘
U+22D9	VERY MUCH GREATER-THAN	⋙
U+22DA	LESS-THAN EQUAL TO OR GREATER-THAN	⋚
U+22DB	GREATER-THAN EQUAL TO OR LESS-THAN	⋛
U+22DC	EQUAL TO OR LESS-THAN	⋜
U+22DD	EQUAL TO OR GREATER-THAN	⋝
U+22DE	EQUAL TO OR PRECEDES	⋞
U+22DF	EQUAL TO OR SUCCEEDS	⋟
U+22E0	DOES NOT PRECEDE OR EQUAL	⋠
U+22E1	DOES NOT SUCCEED OR EQUAL	⋡
U+22E2	NOT SQUARE IMAGE OF OR EQUAL TO	⋢
U+22E3	NOT SQUARE ORIGINAL OF OR EQUAL TO	⋣
U+22E4	SQUARE IMAGE OF OR NOT EQUAL TO	⋤
U+22E5	SQUARE ORIGINAL OF OR NOT EQUAL TO	⋥
U+22E6	LESS-THAN BUT NOT EQUIVALENT TO	⋦
U+22E7	GREATER-THAN BUT NOT EQUIVALENT TO	⋧
U+22E8	PRECEDES BUT NOT EQUIVALENT TO	⋨
U+22E9	SUCCEEDS BUT NOT EQUIVALENT TO	⋩
U+22EA	NOT NORMAL SUBGROUP OF	⋪
U+22EB	DOES NOT CONTAIN AS NORMAL SUBGROUP	⋫
U+22EC	NOT NORMAL SUBGROUP OF OR EQUAL TO	⋬
U+22ED	DOES NOT CONTAIN AS NORMAL SUBGROUP OR EQUAL	⋭
U+22EE	VERTICAL ELLIPSIS	⋮
U+22EF	MIDLINE HORIZONTAL ELLIPSIS	⋯
U+22F0	UP RIGHT DIAGONAL ELLIPSIS	⋰
U+22F1	DOWN RIGHT DIAGONAL ELLIPSIS	⋱
U+22F2	ELEMENT OF WITH LONG HORIZONTAL STROKE	⋲
U+22F3	ELEMENT OF WITH VERTICAL BAR AT END OF HORIZONTAL STROKE	⋳
U+22F4	SMALL ELEMENT OF WITH VERTICAL BAR AT END OF HORIZONTAL STROKE	⋴
U+22F5	ELEMENT OF WITH DOT ABOVE	⋵
U+22F6	ELEMENT OF WITH OVERBAR	⋶
U+22F7	SMALL ELEMENT OF WITH OVERBAR	⋷
U+22F8	ELEMENT OF WITH UNDERBAR	⋸
U+22F9	ELEMENT OF WITH TWO HORIZONTAL STROKES	⋹
U+22FA	CONTAINS WITH LONG HORIZONTAL STROKE	⋺
U+22FB	CONTAINS WITH VERTICAL BAR AT END OF HORIZONTAL STROKE	⋻
U+22FC	SMALL CONTAINS WITH VERTICAL BAR AT END OF HORIZONTAL STROKE	⋼
U+22FD	CONTAINS WITH OVERBAR	⋽
U+22FE	SMALL CONTAINS WITH OVERBAR	⋾
U+22FF	Z NOTATION BAG MEMBERSHIP	⋿
U+2320	TOP HALF INTEGRAL	⌠
U+2321	BOTTOM HALF INTEGRAL	⌡
U+237C	RIGHT ANGLE WITH DOWNWARDS ZIGZAG ARROW	⍼
U+239B	LEFT PARENTHESIS UPPER HOOK	⎛
U+239C	LEFT PARENTHESIS EXTENSION	⎜
U+239D	LEFT PARENTHESIS LOWER HOOK	⎝
U+239E	RIGHT PARENTHESIS UPPER HOOK	⎞
U+239F	RIGHT PARENTHESIS EXTENSION	⎟
U+23A0	RIGHT PARENTHESIS LOWER HOOK	⎠
U+23A1	LEFT SQUARE BRACKET UPPER CORNER	⎡
U+23A2	LEFT SQUARE BRACKET EXTENSION	⎢
U+23A3	LEFT SQUARE BRACKET LOWER CORNER	⎣
U+23A4	RIGHT SQUARE BRACKET UPPER CORNER	⎤
U+23A5	RIGHT SQUARE BRACKET EXTENSION	⎥
U+23A6	RIGHT SQUARE BRACKET LOWER CORNER	⎦
U+23A7	LEFT CURLY BRACKET UPPER HOOK	⎧
U+23A8	LEFT CURLY BRACKET MIDDLE PIECE	⎨
U+23A9	LEFT CURLY BRACKET LOWER HOOK	⎩
U+23AA	CURLY BRACKET EXTENSION	⎪
U+23AB	RIGHT CURLY BRACKET UPPER HOOK	⎫
U+23AC	RIGHT CURLY BRACKET MIDDLE PIECE	⎬
U+23AD	RIGHT CURLY BRACKET LOWER HOOK	⎭
U+23AE	INTEGRAL EXTENSION	⎮
U+23AF	HORIZONTAL LINE EXTENSION	⎯
U+23B0	UPPER LEFT OR LOWER RIGHT CURLY BRACKET SECTION	⎰
U+23B1	UPPER RIGHT OR LOWER LEFT CURLY BRACKET SECTION	⎱
U+23B2	SUMMATION TOP	⎲
U+23B3	SUMMATION BOTTOM	⎳
U+23DC	TOP PARENTHESIS	⏜
U+23DD	BOTTOM PARENTHESIS	⏝
U+23DE	TOP CURLY BRACKET	⏞
U+23DF	BOTTOM CURLY BRACKET	⏟
U+23E0	TOP TORTOISE SHELL BRACKET	⏠
U+23E1	BOTTOM TORTOISE SHELL BRACKET	⏡
U+25B7	WHITE RIGHT-POINTING TRIANGLE	▷
U+25C1	WHITE LEFT-POINTING TRIANGLE	◁
U+25F8	UPPER LEFT TRIANGLE	◸
U+25F9	UPPER RIGHT TRIANGLE	◹
U+25FA	LOWER LEFT TRIANGLE	◺
U+25FB	WHITE MEDIUM SQUARE	◻
U+25FC	BLACK MEDIUM SQUARE	◼
U+25FD	WHITE MEDIUM SMALL SQUARE	◽
U+25FE	BLACK MEDIUM SMALL SQUARE	◾
U+25FF	LOWER RIGHT TRIANGLE	◿
U+266F	MUSIC SHARP SIGN	♯
U+27C0	THREE DIMENSIONAL ANGLE	⟀
U+27C1	WHITE TRIANGLE CONTAINING SMALL WHITE TRIANGLE	⟁
U+27C2	PERPENDICULAR	⟂
U+27C3	OPEN SUBSET	⟃
U+27C4	OPEN SUPERSET	⟄
U+27C7	OR WITH DOT INSIDE	⟇
U+27C8	REVERSE SOLIDUS PRECEDING SUBSET	⟈
U+27C9	SUPERSET PRECEDING SOLIDUS	⟉
U+27CA	VERTICAL BAR WITH HORIZONTAL STROKE	⟊
U+27CB	MATHEMATICAL RISING DIAGONAL	⟋
U+27CC	LONG DIVISION	⟌
U+27CD	MATHEMATICAL FALLING DIAGONAL	⟍
U+27CE	SQUARED LOGICAL AND	⟎
U+27CF	SQUARED LOGICAL OR	⟏
U+27D0	WHITE DIAMOND WITH CENTRED DOT	⟐
U+27D1	AND WITH DOT	⟑
U+27D2	ELEMENT OF OPENING UPWARDS	⟒
U+27D3	LOWER RIGHT CORNER WITH DOT	⟓
U+27D4	UPPER LEFT CORNER WITH DOT	⟔
U+27D5	LEFT OUTER JOIN	⟕
U+27D6	RIGHT OUTER JOIN	⟖
U+27D7	FULL OUTER JOIN	⟗
U+27D8	LARGE UP TACK	⟘
U+27D9	LARGE DOWN TACK	⟙
U+27DA	LEFT AND RIGHT DOUBLE TURNSTILE	⟚
U+27DB	LEFT AND RIGHT TACK	⟛
U+27DC	LEFT MULTIMAP	⟜
U+27DD	LONG RIGHT TACK	⟝
U+27DE	LONG LEFT TACK	⟞
U+27DF	UP TACK WITH CIRCLE ABOVE	⟟
U+27E0	LOZENGE DIVIDED BY HORIZONTAL RULE	⟠
U+27E1	WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND	⟡
U+27E2	WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND WITH LEFTWARDS TICK	⟢
U+27E3	WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND WITH RIGHTWARDS TICK	⟣
U+27E4	WHITE SQUARE WITH LEFTWARDS TICK	⟤
U+27E5	WHITE SQUARE WITH RIGHTWARDS TICK	⟥
U+27F0	UPWARDS QUADRUPLE ARROW	⟰
U+27F1	DOWNWARDS QUADRUPLE ARROW	⟱
U+27F2	ANTICLOCKWISE GAPPED CIRCLE ARROW	⟲
U+27F3	CLOCKWISE GAPPED CIRCLE ARROW	⟳
U+27F4	RIGHT ARROW WITH CIRCLED PLUS	⟴
U+27F5	LONG LEFTWARDS ARROW	⟵
U+27F6	LONG RIGHTWARDS ARROW	⟶
U+27F7	LONG LEFT RIGHT ARROW	⟷
U+27F8	LONG LEFTWARDS DOUBLE ARROW	⟸
U+27F9	LONG RIGHTWARDS DOUBLE ARROW	⟹
U+27FA	LONG LEFT RIGHT DOUBLE ARROW	⟺
U+27FB	LONG LEFTWARDS ARROW FROM BAR	⟻
U+27FC	LONG RIGHTWARDS ARROW FROM BAR	⟼
U+27FD	LONG LEFTWARDS DOUBLE ARROW FROM BAR	⟽
U+27FE	LONG RIGHTWARDS DOUBLE ARROW FROM BAR	⟾
U+27FF	LONG RIGHTWARDS SQUIGGLE ARROW	⟿
U+2900	RIGHTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH VERTICAL STROKE	⤀
U+2901	RIGHTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⤁
U+2902	LEFTWARDS DOUBLE ARROW WITH VERTICAL STROKE	⤂
U+2903	RIGHTWARDS DOUBLE ARROW WITH VERTICAL STROKE	⤃
U+2904	LEFT RIGHT DOUBLE ARROW WITH VERTICAL STROKE	⤄
U+2905	RIGHTWARDS TWO-HEADED ARROW FROM BAR	⤅
U+2906	LEFTWARDS DOUBLE ARROW FROM BAR	⤆
U+2907	RIGHTWARDS DOUBLE ARROW FROM BAR	⤇
U+2908	DOWNWARDS ARROW WITH HORIZONTAL STROKE	⤈
U+2909	UPWARDS ARROW WITH HORIZONTAL STROKE	⤉
U+290A	UPWARDS TRIPLE ARROW	⤊
U+290B	DOWNWARDS TRIPLE ARROW	⤋
U+290C	LEFTWARDS DOUBLE DASH ARROW	⤌
U+290D	RIGHTWARDS DOUBLE DASH ARROW	⤍
U+290E	LEFTWARDS TRIPLE DASH ARROW	⤎
U+290F	RIGHTWARDS TRIPLE DASH ARROW	⤏
U+2910	RIGHTWARDS TWO-HEADED TRIPLE DASH ARROW	⤐
U+2911	RIGHTWARDS ARROW WITH DOTTED STEM	⤑
U+2912	UPWARDS ARROW TO BAR	⤒
U+2913	DOWNWARDS ARROW TO BAR	⤓
U+2914	RIGHTWARDS ARROW WITH TAIL WITH VERTICAL STROKE	⤔
U+2915	RIGHTWARDS ARROW WITH TAIL WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⤕
U+2916	RIGHTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH TAIL	⤖
U+2917	RIGHTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH TAIL WITH VERTICAL STROKE	⤗
U+2918	RIGHTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH TAIL WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⤘
U+2919	LEFTWARDS ARROW-TAIL	⤙
U+291A	RIGHTWARDS ARROW-TAIL	⤚
U+291B	LEFTWARDS DOUBLE ARROW-TAIL	⤛
U+291C	RIGHTWARDS DOUBLE ARROW-TAIL	⤜
U+291D	LEFTWARDS ARROW TO BLACK DIAMOND	⤝
U+291E	RIGHTWARDS ARROW TO BLACK DIAMOND	⤞
U+291F	LEFTWARDS ARROW FROM BAR TO BLACK DIAMOND	⤟
U+2920	RIGHTWARDS ARROW FROM BAR TO BLACK DIAMOND	⤠
U+2921	NORTH WEST AND SOUTH EAST ARROW	⤡
U+2922	NORTH EAST AND SOUTH WEST ARROW	⤢
U+2923	NORTH WEST ARROW WITH HOOK	⤣
U+2924	NORTH EAST ARROW WITH HOOK	⤤
U+2925	SOUTH EAST ARROW WITH HOOK	⤥
U+2926	SOUTH WEST ARROW WITH HOOK	⤦
U+2927	NORTH WEST ARROW AND NORTH EAST ARROW	⤧
U+2928	NORTH EAST ARROW AND SOUTH EAST ARROW	⤨
U+2929	SOUTH EAST ARROW AND SOUTH WEST ARROW	⤩
U+292A	SOUTH WEST ARROW AND NORTH WEST ARROW	⤪
U+292B	RISING DIAGONAL CROSSING FALLING DIAGONAL	⤫
U+292C	FALLING DIAGONAL CROSSING RISING DIAGONAL	⤬
U+292D	SOUTH EAST ARROW CROSSING NORTH EAST ARROW	⤭
U+292E	NORTH EAST ARROW CROSSING SOUTH EAST ARROW	⤮
U+292F	FALLING DIAGONAL CROSSING NORTH EAST ARROW	⤯
U+2930	RISING DIAGONAL CROSSING SOUTH EAST ARROW	⤰
U+2931	NORTH EAST ARROW CROSSING NORTH WEST ARROW	⤱
U+2932	NORTH WEST ARROW CROSSING NORTH EAST ARROW	⤲
U+2933	WAVE ARROW POINTING DIRECTLY RIGHT	⤳
U+2934	ARROW POINTING RIGHTWARDS THEN CURVING UPWARDS	⤴
U+2935	ARROW POINTING RIGHTWARDS THEN CURVING DOWNWARDS	⤵
U+2936	ARROW POINTING DOWNWARDS THEN CURVING LEFTWARDS	⤶
U+2937	ARROW POINTING DOWNWARDS THEN CURVING RIGHTWARDS	⤷
U+2938	RIGHT-SIDE ARC CLOCKWISE ARROW	⤸
U+2939	LEFT-SIDE ARC ANTICLOCKWISE ARROW	⤹
U+293A	TOP ARC ANTICLOCKWISE ARROW	⤺
U+293B	BOTTOM ARC ANTICLOCKWISE ARROW	⤻
U+293C	TOP ARC CLOCKWISE ARROW WITH MINUS	⤼
U+293D	TOP ARC ANTICLOCKWISE ARROW WITH PLUS	⤽
U+293E	LOWER RIGHT SEMICIRCULAR CLOCKWISE ARROW	⤾
U+293F	LOWER LEFT SEMICIRCULAR ANTICLOCKWISE ARROW	⤿
U+2940	ANTICLOCKWISE CLOSED CIRCLE ARROW	⥀
U+2941	CLOCKWISE CLOSED CIRCLE ARROW	⥁
U+2942	RIGHTWARDS ARROW ABOVE SHORT LEFTWARDS ARROW	⥂
U+2943	LEFTWARDS ARROW ABOVE SHORT RIGHTWARDS ARROW	⥃
U+2944	SHORT RIGHTWARDS ARROW ABOVE LEFTWARDS ARROW	⥄
U+2945	RIGHTWARDS ARROW WITH PLUS BELOW	⥅
U+2946	LEFTWARDS ARROW WITH PLUS BELOW	⥆
U+2947	RIGHTWARDS ARROW THROUGH X	⥇
U+2948	LEFT RIGHT ARROW THROUGH SMALL CIRCLE	⥈
U+2949	UPWARDS TWO-HEADED ARROW FROM SMALL CIRCLE	⥉
U+294A	LEFT BARB UP RIGHT BARB DOWN HARPOON	⥊
U+294B	LEFT BARB DOWN RIGHT BARB UP HARPOON	⥋
U+294C	UP BARB RIGHT DOWN BARB LEFT HARPOON	⥌
U+294D	UP BARB LEFT DOWN BARB RIGHT HARPOON	⥍
U+294E	LEFT BARB UP RIGHT BARB UP HARPOON	⥎
U+294F	UP BARB RIGHT DOWN BARB RIGHT HARPOON	⥏
U+2950	LEFT BARB DOWN RIGHT BARB DOWN HARPOON	⥐
U+2951	UP BARB LEFT DOWN BARB LEFT HARPOON	⥑
U+2952	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB UP TO BAR	⥒
U+2953	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB UP TO BAR	⥓
U+2954	UPWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT TO BAR	⥔
U+2955	DOWNWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT TO BAR	⥕
U+2956	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN TO BAR	⥖
U+2957	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN TO BAR	⥗
U+2958	UPWARDS HARPOON WITH BARB LEFT TO BAR	⥘
U+2959	DOWNWARDS HARPOON WITH BARB LEFT TO BAR	⥙
U+295A	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB UP FROM BAR	⥚
U+295B	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB UP FROM BAR	⥛
U+295C	UPWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT FROM BAR	⥜
U+295D	DOWNWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT FROM BAR	⥝
U+295E	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN FROM BAR	⥞
U+295F	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN FROM BAR	⥟
U+2960	UPWARDS HARPOON WITH BARB LEFT FROM BAR	⥠
U+2961	DOWNWARDS HARPOON WITH BARB LEFT FROM BAR	⥡
U+2962	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB UP ABOVE LEFTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN	⥢
U+2963	UPWARDS HARPOON WITH BARB LEFT BESIDE UPWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT	⥣
U+2964	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB UP ABOVE RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN	⥤
U+2965	DOWNWARDS HARPOON WITH BARB LEFT BESIDE DOWNWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT	⥥
U+2966	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB UP ABOVE RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB UP	⥦
U+2967	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN ABOVE RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN	⥧
U+2968	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB UP ABOVE LEFTWARDS HARPOON WITH BARB UP	⥨
U+2969	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN ABOVE LEFTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN	⥩
U+296A	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB UP ABOVE LONG DASH	⥪
U+296B	LEFTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN BELOW LONG DASH	⥫
U+296C	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB UP ABOVE LONG DASH	⥬
U+296D	RIGHTWARDS HARPOON WITH BARB DOWN BELOW LONG DASH	⥭
U+296E	UPWARDS HARPOON WITH BARB LEFT BESIDE DOWNWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT	⥮
U+296F	DOWNWARDS HARPOON WITH BARB LEFT BESIDE UPWARDS HARPOON WITH BARB RIGHT	⥯
U+2970	RIGHT DOUBLE ARROW WITH ROUNDED HEAD	⥰
U+2971	EQUALS SIGN ABOVE RIGHTWARDS ARROW	⥱
U+2972	TILDE OPERATOR ABOVE RIGHTWARDS ARROW	⥲
U+2973	LEFTWARDS ARROW ABOVE TILDE OPERATOR	⥳
U+2974	RIGHTWARDS ARROW ABOVE TILDE OPERATOR	⥴
U+2975	RIGHTWARDS ARROW ABOVE ALMOST EQUAL TO	⥵
U+2976	LESS-THAN ABOVE LEFTWARDS ARROW	⥶
U+2977	LEFTWARDS ARROW THROUGH LESS-THAN	⥷
U+2978	GREATER-THAN ABOVE RIGHTWARDS ARROW	⥸
U+2979	SUBSET ABOVE RIGHTWARDS ARROW	⥹
U+297A	LEFTWARDS ARROW THROUGH SUBSET	⥺
U+297B	SUPERSET ABOVE LEFTWARDS ARROW	⥻
U+297C	LEFT FISH TAIL	⥼
U+297D	RIGHT FISH TAIL	⥽
U+297E	UP FISH TAIL	⥾
U+297F	DOWN FISH TAIL	⥿
U+2980	TRIPLE VERTICAL BAR DELIMITER	⦀
U+2981	Z NOTATION SPOT	⦁
U+2982	Z NOTATION TYPE COLON	⦂
U+2999	DOTTED FENCE	⦙
U+299A	VERTICAL ZIGZAG LINE	⦚
U+299B	MEASURED ANGLE OPENING LEFT	⦛
U+299C	RIGHT ANGLE VARIANT WITH SQUARE	⦜
U+299D	MEASURED RIGHT ANGLE WITH DOT	⦝
U+299E	ANGLE WITH S INSIDE	⦞
U+299F	ACUTE ANGLE	⦟
U+29A0	SPHERICAL ANGLE OPENING LEFT	⦠
U+29A1	SPHERICAL ANGLE OPENING UP	⦡
U+29A2	TURNED ANGLE	⦢
U+29A3	REVERSED ANGLE	⦣
U+29A4	ANGLE WITH UNDERBAR	⦤
U+29A5	REVERSED ANGLE WITH UNDERBAR	⦥
U+29A6	OBLIQUE ANGLE OPENING UP	⦦
U+29A7	OBLIQUE ANGLE OPENING DOWN	⦧
U+29A8	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING UP AND RIGHT	⦨
U+29A9	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING UP AND LEFT	⦩
U+29AA	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING DOWN AND RIGHT	⦪
U+29AB	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING DOWN AND LEFT	⦫
U+29AC	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING RIGHT AND UP	⦬
U+29AD	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING LEFT AND UP	⦭
U+29AE	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING RIGHT AND DOWN	⦮
U+29AF	MEASURED ANGLE WITH OPEN ARM ENDING IN ARROW POINTING LEFT AND DOWN	⦯
U+29B0	REVERSED EMPTY SET	⦰
U+29B1	EMPTY SET WITH OVERBAR	⦱
U+29B2	EMPTY SET WITH SMALL CIRCLE ABOVE	⦲
U+29B3	EMPTY SET WITH RIGHT ARROW ABOVE	⦳
U+29B4	EMPTY SET WITH LEFT ARROW ABOVE	⦴
U+29B5	CIRCLE WITH HORIZONTAL BAR	⦵
U+29B6	CIRCLED VERTICAL BAR	⦶
U+29B7	CIRCLED PARALLEL	⦷
U+29B8	CIRCLED REVERSE SOLIDUS	⦸
U+29B9	CIRCLED PERPENDICULAR	⦹
U+29BA	CIRCLE DIVIDED BY HORIZONTAL BAR AND TOP HALF DIVIDED BY VERTICAL BAR	⦺
U+29BB	CIRCLE WITH SUPERIMPOSED X	⦻
U+29BC	CIRCLED ANTICLOCKWISE-ROTATED DIVISION SIGN	⦼
U+29BD	UP ARROW THROUGH CIRCLE	⦽
U+29BE	CIRCLED WHITE BULLET	⦾
U+29BF	CIRCLED BULLET	⦿
U+29C0	CIRCLED LESS-THAN	⧀
U+29C1	CIRCLED GREATER-THAN	⧁
U+29C2	CIRCLE WITH SMALL CIRCLE TO THE RIGHT	⧂
U+29C3	CIRCLE WITH TWO HORIZONTAL STROKES TO THE RIGHT	⧃
U+29C4	SQUARED RISING DIAGONAL SLASH	⧄
U+29C5	SQUARED FALLING DIAGONAL SLASH	⧅
U+29C6	SQUARED ASTERISK	⧆
U+29C7	SQUARED SMALL CIRCLE	⧇
U+29C8	SQUARED SQUARE	⧈
U+29C9	TWO JOINED SQUARES	⧉
U+29CA	TRIANGLE WITH DOT ABOVE	⧊
U+29CB	TRIANGLE WITH UNDERBAR	⧋
U+29CC	S IN TRIANGLE	⧌
U+29CD	TRIANGLE WITH SERIFS AT BOTTOM	⧍
U+29CE	RIGHT TRIANGLE ABOVE LEFT TRIANGLE	⧎
U+29CF	LEFT TRIANGLE BESIDE VERTICAL BAR	⧏
U+29D0	VERTICAL BAR BESIDE RIGHT TRIANGLE	⧐
U+29D1	BOWTIE WITH LEFT HALF BLACK	⧑
U+29D2	BOWTIE WITH RIGHT HALF BLACK	⧒
U+29D3	BLACK BOWTIE	⧓
U+29D4	TIMES WITH LEFT HALF BLACK	⧔
U+29D5	TIMES WITH RIGHT HALF BLACK	⧕
U+29D6	WHITE HOURGLASS	⧖
U+29D7	BLACK HOURGLASS	⧗
U+29DC	INCOMPLETE INFINITY	⧜
U+29DD	TIE OVER INFINITY	⧝
U+29DE	INFINITY NEGATED WITH VERTICAL BAR	⧞
U+29DF	DOUBLE-ENDED MULTIMAP	⧟
U+29E0	SQUARE WITH CONTOURED OUTLINE	⧠
U+29E1	INCREASES AS	⧡
U+29E2	SHUFFLE PRODUCT	⧢
U+29E3	EQUALS SIGN AND SLANTED PARALLEL	⧣
U+29E4	EQUALS SIGN AND SLANTED PARALLEL WITH TILDE ABOVE	⧤
U+29E5	IDENTICAL TO AND SLANTED PARALLEL	⧥
U+29E6	GLEICH STARK	⧦
U+29E7	THERMODYNAMIC	⧧
U+29E8	DOWN-POINTING TRIANGLE WITH LEFT HALF BLACK	⧨
U+29E9	DOWN-POINTING TRIANGLE WITH RIGHT HALF BLACK	⧩
U+29EA	BLACK DIAMOND WITH DOWN ARROW	⧪
U+29EB	BLACK LOZENGE	⧫
U+29EC	WHITE CIRCLE WITH DOWN ARROW	⧬
U+29ED	BLACK CIRCLE WITH DOWN ARROW	⧭
U+29EE	ERROR-BARRED WHITE SQUARE	⧮
U+29EF	ERROR-BARRED BLACK SQUARE	⧯
U+29F0	ERROR-BARRED WHITE DIAMOND	⧰
U+29F1	ERROR-BARRED BLACK DIAMOND	⧱
U+29F2	ERROR-BARRED WHITE CIRCLE	⧲
U+29F3	ERROR-BARRED BLACK CIRCLE	⧳
U+29F4	RULE-DELAYED	⧴
U+29F5	REVERSE SOLIDUS OPERATOR	⧵
U+29F6	SOLIDUS WITH OVERBAR	⧶
U+29F7	REVERSE SOLIDUS WITH HORIZONTAL STROKE	⧷
U+29F8	BIG SOLIDUS	⧸
U+29F9	BIG REVERSE SOLIDUS	⧹
U+29FA	DOUBLE PLUS	⧺
U+29FB	TRIPLE PLUS	⧻
U+29FE	TINY	⧾
U+29FF	MINY	⧿
U+2A00	N-ARY CIRCLED DOT OPERATOR	⨀
U+2A01	N-ARY CIRCLED PLUS OPERATOR	⨁
U+2A02	N-ARY CIRCLED TIMES OPERATOR	⨂
U+2A03	N-ARY UNION OPERATOR WITH DOT	⨃
U+2A04	N-ARY UNION OPERATOR WITH PLUS	⨄
U+2A05	N-ARY SQUARE INTERSECTION OPERATOR	⨅
U+2A06	N-ARY SQUARE UNION OPERATOR	⨆
U+2A07	TWO LOGICAL AND OPERATOR	⨇
U+2A08	TWO LOGICAL OR OPERATOR	⨈
U+2A09	N-ARY TIMES OPERATOR	⨉
U+2A0A	MODULO TWO SUM	⨊
U+2A0B	SUMMATION WITH INTEGRAL	⨋
U+2A0C	QUADRUPLE INTEGRAL OPERATOR	⨌
U+2A0D	FINITE PART INTEGRAL	⨍
U+2A0E	INTEGRAL WITH DOUBLE STROKE	⨎
U+2A0F	INTEGRAL AVERAGE WITH SLASH	⨏
U+2A10	CIRCULATION FUNCTION	⨐
U+2A11	ANTICLOCKWISE INTEGRATION	⨑
U+2A12	LINE INTEGRATION WITH RECTANGULAR PATH AROUND POLE	⨒
U+2A13	LINE INTEGRATION WITH SEMICIRCULAR PATH AROUND POLE	⨓
U+2A14	LINE INTEGRATION NOT INCLUDING THE POLE	⨔
U+2A15	INTEGRAL AROUND A POINT OPERATOR	⨕
U+2A16	QUATERNION INTEGRAL OPERATOR	⨖
U+2A17	INTEGRAL WITH LEFTWARDS ARROW WITH HOOK	⨗
U+2A18	INTEGRAL WITH TIMES SIGN	⨘
U+2A19	INTEGRAL WITH INTERSECTION	⨙
U+2A1A	INTEGRAL WITH UNION	⨚
U+2A1B	INTEGRAL WITH OVERBAR	⨛
U+2A1C	INTEGRAL WITH UNDERBAR	⨜
U+2A1D	JOIN	⨝
U+2A1E	LARGE LEFT TRIANGLE OPERATOR	⨞
U+2A1F	Z NOTATION SCHEMA COMPOSITION	⨟
U+2A20	Z NOTATION SCHEMA PIPING	⨠
U+2A21	Z NOTATION SCHEMA PROJECTION	⨡
U+2A22	PLUS SIGN WITH SMALL CIRCLE ABOVE	⨢
U+2A23	PLUS SIGN WITH CIRCUMFLEX ACCENT ABOVE	⨣
U+2A24	PLUS SIGN WITH TILDE ABOVE	⨤
U+2A25	PLUS SIGN WITH DOT BELOW	⨥
U+2A26	PLUS SIGN WITH TILDE BELOW	⨦
U+2A27	PLUS SIGN WITH SUBSCRIPT TWO	⨧
U+2A28	PLUS SIGN WITH BLACK TRIANGLE	⨨
U+2A29	MINUS SIGN WITH COMMA ABOVE	⨩
U+2A2A	MINUS SIGN WITH DOT BELOW	⨪
U+2A2B	MINUS SIGN WITH FALLING DOTS	⨫
U+2A2C	MINUS SIGN WITH RISING DOTS	⨬
U+2A2D	PLUS SIGN IN LEFT HALF CIRCLE	⨭
U+2A2E	PLUS SIGN IN RIGHT HALF CIRCLE	⨮
U+2A2F	VECTOR OR CROSS PRODUCT	⨯
U+2A30	MULTIPLICATION SIGN WITH DOT ABOVE	⨰
U+2A31	MULTIPLICATION SIGN WITH UNDERBAR	⨱
U+2A32	SEMIDIRECT PRODUCT WITH BOTTOM CLOSED	⨲
U+2A33	SMASH PRODUCT	⨳
U+2A34	MULTIPLICATION SIGN IN LEFT HALF CIRCLE	⨴
U+2A35	MULTIPLICATION SIGN IN RIGHT HALF CIRCLE	⨵
U+2A36	CIRCLED MULTIPLICATION SIGN WITH CIRCUMFLEX ACCENT	⨶
U+2A37	MULTIPLICATION SIGN IN DOUBLE CIRCLE	⨷
U+2A38	CIRCLED DIVISION SIGN	⨸
U+2A39	PLUS SIGN IN TRIANGLE	⨹
U+2A3A	MINUS SIGN IN TRIANGLE	⨺
U+2A3B	MULTIPLICATION SIGN IN TRIANGLE	⨻
U+2A3C	INTERIOR PRODUCT	⨼
U+2A3D	RIGHTHAND INTERIOR PRODUCT	⨽
U+2A3E	Z NOTATION RELATIONAL COMPOSITION	⨾
U+2A3F	AMALGAMATION OR COPRODUCT	⨿
U+2A40	INTERSECTION WITH DOT	⩀
U+2A41	UNION WITH MINUS SIGN	⩁
U+2A42	UNION WITH OVERBAR	⩂
U+2A43	INTERSECTION WITH OVERBAR	⩃
U+2A44	INTERSECTION WITH LOGICAL AND	⩄
U+2A45	UNION WITH LOGICAL OR	⩅
U+2A46	UNION ABOVE INTERSECTION	⩆
U+2A47	INTERSECTION ABOVE UNION	⩇
U+2A48	UNION ABOVE BAR ABOVE INTERSECTION	⩈
U+2A49	INTERSECTION ABOVE BAR ABOVE UNION	⩉
U+2A4A	UNION BESIDE AND JOINED WITH UNION	⩊
U+2A4B	INTERSECTION BESIDE AND JOINED WITH INTERSECTION	⩋
U+2A4C	CLOSED UNION WITH SERIFS	⩌
U+2A4D	CLOSED INTERSECTION WITH SERIFS	⩍
U+2A4E	DOUBLE SQUARE INTERSECTION	⩎
U+2A4F	DOUBLE SQUARE UNION	⩏
U+2A50	CLOSED UNION WITH SERIFS AND SMASH PRODUCT	⩐
U+2A51	LOGICAL AND WITH DOT ABOVE	⩑
U+2A52	LOGICAL OR WITH DOT ABOVE	⩒
U+2A53	DOUBLE LOGICAL AND	⩓
U+2A54	DOUBLE LOGICAL OR	⩔
U+2A55	TWO INTERSECTING LOGICAL AND	⩕
U+2A56	TWO INTERSECTING LOGICAL OR	⩖
U+2A57	SLOPING LARGE OR	⩗
U+2A58	SLOPING LARGE AND	⩘
U+2A59	LOGICAL OR OVERLAPPING LOGICAL AND	⩙
U+2A5A	LOGICAL AND WITH MIDDLE STEM	⩚
U+2A5B	LOGICAL OR WITH MIDDLE STEM	⩛
U+2A5C	LOGICAL AND WITH HORIZONTAL DASH	⩜
U+2A5D	LOGICAL OR WITH HORIZONTAL DASH	⩝
U+2A5E	LOGICAL AND WITH DOUBLE OVERBAR	⩞
U+2A5F	LOGICAL AND WITH UNDERBAR	⩟
U+2A60	LOGICAL AND WITH DOUBLE UNDERBAR	⩠
U+2A61	SMALL VEE WITH UNDERBAR	⩡
U+2A62	LOGICAL OR WITH DOUBLE OVERBAR	⩢
U+2A63	LOGICAL OR WITH DOUBLE UNDERBAR	⩣
U+2A64	Z NOTATION DOMAIN ANTIRESTRICTION	⩤
U+2A65	Z NOTATION RANGE ANTIRESTRICTION	⩥
U+2A66	EQUALS SIGN WITH DOT BELOW	⩦
U+2A67	IDENTICAL WITH DOT ABOVE	⩧
U+2A68	TRIPLE HORIZONTAL BAR WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⩨
U+2A69	TRIPLE HORIZONTAL BAR WITH TRIPLE VERTICAL STROKE	⩩
U+2A6A	TILDE OPERATOR WITH DOT ABOVE	⩪
U+2A6B	TILDE OPERATOR WITH RISING DOTS	⩫
U+2A6C	SIMILAR MINUS SIMILAR	⩬
U+2A6D	CONGRUENT WITH DOT ABOVE	⩭
U+2A6E	EQUALS WITH ASTERISK	⩮
U+2A6F	ALMOST EQUAL TO WITH CIRCUMFLEX ACCENT	⩯
U+2A70	APPROXIMATELY EQUAL OR EQUAL TO	⩰
U+2A71	EQUALS SIGN ABOVE PLUS SIGN	⩱
U+2A72	PLUS SIGN ABOVE EQUALS SIGN	⩲
U+2A73	EQUALS SIGN ABOVE TILDE OPERATOR	⩳
U+2A74	DOUBLE COLON EQUAL	⩴
U+2A75	TWO CONSECUTIVE EQUALS SIGNS	⩵
U+2A76	THREE CONSECUTIVE EQUALS SIGNS	⩶
U+2A77	EQUALS SIGN WITH TWO DOTS ABOVE AND TWO DOTS BELOW	⩷
U+2A78	EQUIVALENT WITH FOUR DOTS ABOVE	⩸
U+2A79	LESS-THAN WITH CIRCLE INSIDE	⩹
U+2A7A	GREATER-THAN WITH CIRCLE INSIDE	⩺
U+2A7B	LESS-THAN WITH QUESTION MARK ABOVE	⩻
U+2A7C	GREATER-THAN WITH QUESTION MARK ABOVE	⩼
U+2A7D	LESS-THAN OR SLANTED EQUAL TO	⩽
U+2A7E	GREATER-THAN OR SLANTED EQUAL TO	⩾
U+2A7F	LESS-THAN OR SLANTED EQUAL TO WITH DOT INSIDE	⩿
U+2A80	GREATER-THAN OR SLANTED EQUAL TO WITH DOT INSIDE	⪀
U+2A81	LESS-THAN OR SLANTED EQUAL TO WITH DOT ABOVE	⪁
U+2A82	GREATER-THAN OR SLANTED EQUAL TO WITH DOT ABOVE	⪂
U+2A83	LESS-THAN OR SLANTED EQUAL TO WITH DOT ABOVE RIGHT	⪃
U+2A84	GREATER-THAN OR SLANTED EQUAL TO WITH DOT ABOVE LEFT	⪄
U+2A85	LESS-THAN OR APPROXIMATE	⪅
U+2A86	GREATER-THAN OR APPROXIMATE	⪆
U+2A87	LESS-THAN AND SINGLE-LINE NOT EQUAL TO	⪇
U+2A88	GREATER-THAN AND SINGLE-LINE NOT EQUAL TO	⪈
U+2A89	LESS-THAN AND NOT APPROXIMATE	⪉
U+2A8A	GREATER-THAN AND NOT APPROXIMATE	⪊
U+2A8B	LESS-THAN ABOVE DOUBLE-LINE EQUAL ABOVE GREATER-THAN	⪋
U+2A8C	GREATER-THAN ABOVE DOUBLE-LINE EQUAL ABOVE LESS-THAN	⪌
U+2A8D	LESS-THAN ABOVE SIMILAR OR EQUAL	⪍
U+2A8E	GREATER-THAN ABOVE SIMILAR OR EQUAL	⪎
U+2A8F	LESS-THAN ABOVE SIMILAR ABOVE GREATER-THAN	⪏
U+2A90	GREATER-THAN ABOVE SIMILAR ABOVE LESS-THAN	⪐
U+2A91	LESS-THAN ABOVE GREATER-THAN ABOVE DOUBLE-LINE EQUAL	⪑
U+2A92	GREATER-THAN ABOVE LESS-THAN ABOVE DOUBLE-LINE EQUAL	⪒
U+2A93	LESS-THAN ABOVE SLANTED EQUAL ABOVE GREATER-THAN ABOVE SLANTED EQUAL	⪓
U+2A94	GREATER-THAN ABOVE SLANTED EQUAL ABOVE LESS-THAN ABOVE SLANTED EQUAL	⪔
U+2A95	SLANTED EQUAL TO OR LESS-THAN	⪕
U+2A96	SLANTED EQUAL TO OR GREATER-THAN	⪖
U+2A97	SLANTED EQUAL TO OR LESS-THAN WITH DOT INSIDE	⪗
U+2A98	SLANTED EQUAL TO OR GREATER-THAN WITH DOT INSIDE	⪘
U+2A99	DOUBLE-LINE EQUAL TO OR LESS-THAN	⪙
U+2A9A	DOUBLE-LINE EQUAL TO OR GREATER-THAN	⪚
U+2A9B	DOUBLE-LINE SLANTED EQUAL TO OR LESS-THAN	⪛
U+2A9C	DOUBLE-LINE SLANTED EQUAL TO OR GREATER-THAN	⪜
U+2A9D	SIMILAR OR LESS-THAN	⪝
U+2A9E	SIMILAR OR GREATER-THAN	⪞
U+2A9F	SIMILAR ABOVE LESS-THAN ABOVE EQUALS SIGN	⪟
U+2AA0	SIMILAR ABOVE GREATER-THAN ABOVE EQUALS SIGN	⪠
U+2AA1	DOUBLE NESTED LESS-THAN	⪡
U+2AA2	DOUBLE NESTED GREATER-THAN	⪢
U+2AA3	DOUBLE NESTED LESS-THAN WITH UNDERBAR	⪣
U+2AA4	GREATER-THAN OVERLAPPING LESS-THAN	⪤
U+2AA5	GREATER-THAN BESIDE LESS-THAN	⪥
U+2AA6	LESS-THAN CLOSED BY CURVE	⪦
U+2AA7	GREATER-THAN CLOSED BY CURVE	⪧
U+2AA8	LESS-THAN CLOSED BY CURVE ABOVE SLANTED EQUAL	⪨
U+2AA9	GREATER-THAN CLOSED BY CURVE ABOVE SLANTED EQUAL	⪩
U+2AAA	SMALLER THAN	⪪
U+2AAB	LARGER THAN	⪫
U+2AAC	SMALLER THAN OR EQUAL TO	⪬
U+2AAD	LARGER THAN OR EQUAL TO	⪭
U+2AAE	EQUALS SIGN WITH BUMPY ABOVE	⪮
U+2AAF	PRECEDES ABOVE SINGLE-LINE EQUALS SIGN	⪯
U+2AB0	SUCCEEDS ABOVE SINGLE-LINE EQUALS SIGN	⪰
U+2AB1	PRECEDES ABOVE SINGLE-LINE NOT EQUAL TO	⪱
U+2AB2	SUCCEEDS ABOVE SINGLE-LINE NOT EQUAL TO	⪲
U+2AB3	PRECEDES ABOVE EQUALS SIGN	⪳
U+2AB4	SUCCEEDS ABOVE EQUALS SIGN	⪴
U+2AB5	PRECEDES ABOVE NOT EQUAL TO	⪵
U+2AB6	SUCCEEDS ABOVE NOT EQUAL TO	⪶
U+2AB7	PRECEDES ABOVE ALMOST EQUAL TO	⪷
U+2AB8	SUCCEEDS ABOVE ALMOST EQUAL TO	⪸
U+2AB9	PRECEDES ABOVE NOT ALMOST EQUAL TO	⪹
U+2ABA	SUCCEEDS ABOVE NOT ALMOST EQUAL TO	⪺
U+2ABB	DOUBLE PRECEDES	⪻
U+2ABC	DOUBLE SUCCEEDS	⪼
U+2ABD	SUBSET WITH DOT	⪽
U+2ABE	SUPERSET WITH DOT	⪾
U+2ABF	SUBSET WITH PLUS SIGN BELOW	⪿
U+2AC0	SUPERSET WITH PLUS SIGN BELOW	⫀
U+2AC1	SUBSET WITH MULTIPLICATION SIGN BELOW	⫁
U+2AC2	SUPERSET WITH MULTIPLICATION SIGN BELOW	⫂
U+2AC3	SUBSET OF OR EQUAL TO WITH DOT ABOVE	⫃
U+2AC4	SUPERSET OF OR EQUAL TO WITH DOT ABOVE	⫄
U+2AC5	SUBSET OF ABOVE EQUALS SIGN	⫅
U+2AC6	SUPERSET OF ABOVE EQUALS SIGN	⫆
U+2AC7	SUBSET OF ABOVE TILDE OPERATOR	⫇
U+2AC8	SUPERSET OF ABOVE TILDE OPERATOR	⫈
U+2AC9	SUBSET OF ABOVE ALMOST EQUAL TO	⫉
U+2ACA	SUPERSET OF ABOVE ALMOST EQUAL TO	⫊
U+2ACB	SUBSET OF ABOVE NOT EQUAL TO	⫋
U+2ACC	SUPERSET OF ABOVE NOT EQUAL TO	⫌
U+2ACD	SQUARE LEFT OPEN BOX OPERATOR	⫍
U+2ACE	SQUARE RIGHT OPEN BOX OPERATOR	⫎
U+2ACF	CLOSED SUBSET	⫏
U+2AD0	CLOSED SUPERSET	⫐
U+2AD1	CLOSED SUBSET OR EQUAL TO	⫑
U+2AD2	CLOSED SUPERSET OR EQUAL TO	⫒
U+2AD3	SUBSET ABOVE SUPERSET	⫓
U+2AD4	SUPERSET ABOVE SUBSET	⫔
U+2AD5	SUBSET ABOVE SUBSET	⫕
U+2AD6	SUPERSET ABOVE SUPERSET	⫖
U+2AD7	SUPERSET BESIDE SUBSET	⫗
U+2AD8	SUPERSET BESIDE AND JOINED BY DASH WITH SUBSET	⫘
U+2AD9	ELEMENT OF OPENING DOWNWARDS	⫙
U+2ADA	PITCHFORK WITH TEE TOP	⫚
U+2ADB	TRANSVERSAL INTERSECTION	⫛
U+2ADC	FORKING	⫝̸
U+2ADD	NONFORKING	⫝
U+2ADE	SHORT LEFT TACK	⫞
U+2ADF	SHORT DOWN TACK	⫟
U+2AE0	SHORT UP TACK	⫠
U+2AE1	PERPENDICULAR WITH S	⫡
U+2AE2	VERTICAL BAR TRIPLE RIGHT TURNSTILE	⫢
U+2AE3	DOUBLE VERTICAL BAR LEFT TURNSTILE	⫣
U+2AE4	VERTICAL BAR DOUBLE LEFT TURNSTILE	⫤
U+2AE5	DOUBLE VERTICAL BAR DOUBLE LEFT TURNSTILE	⫥
U+2AE6	LONG DASH FROM LEFT MEMBER OF DOUBLE VERTICAL	⫦
U+2AE7	SHORT DOWN TACK WITH OVERBAR	⫧
U+2AE8	SHORT UP TACK WITH UNDERBAR	⫨
U+2AE9	SHORT UP TACK ABOVE SHORT DOWN TACK	⫩
U+2AEA	DOUBLE DOWN TACK	⫪
U+2AEB	DOUBLE UP TACK	⫫
U+2AEC	DOUBLE STROKE NOT SIGN	⫬
U+2AED	REVERSED DOUBLE STROKE NOT SIGN	⫭
U+2AEE	DOES NOT DIVIDE WITH REVERSED NEGATION SLASH	⫮
U+2AEF	VERTICAL LINE WITH CIRCLE ABOVE	⫯
U+2AF0	VERTICAL LINE WITH CIRCLE BELOW	⫰
U+2AF1	DOWN TACK WITH CIRCLE BELOW	⫱
U+2AF2	PARALLEL WITH HORIZONTAL STROKE	⫲
U+2AF3	PARALLEL WITH TILDE OPERATOR	⫳
U+2AF4	TRIPLE VERTICAL BAR BINARY RELATION	⫴
U+2AF5	TRIPLE VERTICAL BAR WITH HORIZONTAL STROKE	⫵
U+2AF6	TRIPLE COLON OPERATOR	⫶
U+2AF7	TRIPLE NESTED LESS-THAN	⫷
U+2AF8	TRIPLE NESTED GREATER-THAN	⫸
U+2AF9	DOUBLE-LINE SLANTED LESS-THAN OR EQUAL TO	⫹
U+2AFA	DOUBLE-LINE SLANTED GREATER-THAN OR EQUAL TO	⫺
U+2AFB	TRIPLE SOLIDUS BINARY RELATION	⫻
U+2AFC	LARGE TRIPLE VERTICAL BAR OPERATOR	⫼
U+2AFD	DOUBLE SOLIDUS OPERATOR	⫽
U+2AFE	WHITE VERTICAL BAR	⫾
U+2AFF	N-ARY WHITE VERTICAL BAR	⫿
U+2B30	LEFT ARROW WITH SMALL CIRCLE	⬰
U+2B31	THREE LEFTWARDS ARROWS	⬱
U+2B32	LEFT ARROW WITH CIRCLED PLUS	⬲
U+2B33	LONG LEFTWARDS SQUIGGLE ARROW	⬳
U+2B34	LEFTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH VERTICAL STROKE	⬴
U+2B35	LEFTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⬵
U+2B36	LEFTWARDS TWO-HEADED ARROW FROM BAR	⬶
U+2B37	LEFTWARDS TWO-HEADED TRIPLE DASH ARROW	⬷
U+2B38	LEFTWARDS ARROW WITH DOTTED STEM	⬸
U+2B39	LEFTWARDS ARROW WITH TAIL WITH VERTICAL STROKE	⬹
U+2B3A	LEFTWARDS ARROW WITH TAIL WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⬺
U+2B3B	LEFTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH TAIL	⬻
U+2B3C	LEFTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH TAIL WITH VERTICAL STROKE	⬼
U+2B3D	LEFTWARDS TWO-HEADED ARROW WITH TAIL WITH DOUBLE VERTICAL STROKE	⬽
U+2B3E	LEFTWARDS ARROW THROUGH X	⬾
U+2B3F	WAVE ARROW POINTING DIRECTLY LEFT	⬿
U+2B40	EQUALS SIGN ABOVE LEFTWARDS ARROW	⭀
U+2B41	REVERSE TILDE OPERATOR ABOVE LEFTWARDS ARROW	⭁
U+2B42	LEFTWARDS ARROW ABOVE REVERSE ALMOST EQUAL TO	⭂
U+2B43	RIGHTWARDS ARROW THROUGH GREATER-THAN	⭃
U+2B44	RIGHTWARDS ARROW THROUGH SUPERSET	⭄
U+2B47	REVERSE TILDE OPERATOR ABOVE RIGHTWARDS ARROW	⭇
U+2B48	RIGHTWARDS ARROW ABOVE REVERSE ALMOST EQUAL TO	⭈
U+2B49	TILDE OPERATOR ABOVE LEFTWARDS ARROW	⭉
U+2B4A	LEFTWARDS ARROW ABOVE ALMOST EQUAL TO	⭊
U+2B4B	LEFTWARDS ARROW ABOVE REVERSE TILDE OPERATOR	⭋
U+2B4C	RIGHTWARDS ARROW ABOVE REVERSE TILDE OPERATOR	⭌
U+FB29	HEBREW LETTER ALTERNATIVE PLUS SIGN	﬩
U+FE62	SMALL PLUS SIGN	﹢
U+FE64	SMALL LESS-THAN SIGN	﹤
U+FE65	SMALL GREATER-THAN SIGN	﹥
U+FE66	SMALL EQUALS SIGN	﹦
U+FF0B	FULLWIDTH PLUS SIGN	＋
U+FF1C	FULLWIDTH LESS-THAN SIGN	＜
U+FF1D	FULLWIDTH EQUALS SIGN	＝
U+FF1E	FULLWIDTH GREATER-THAN SIGN	＞
U+FF5C	FULLWIDTH VERTICAL LINE	｜
U+FF5E	FULLWIDTH TILDE	～
U+FFE2	FULLWIDTH NOT SIGN	￢
U+FFE9	HALFWIDTH LEFTWARDS ARROW	￩
U+FFEA	HALFWIDTH UPWARDS ARROW	￪
U+FFEB	HALFWIDTH RIGHTWARDS ARROW	￫
U+FFEC	HALFWIDTH DOWNWARDS ARROW	￬
U+1D6C1	MATHEMATICAL BOLD NABLA	𝛁
U+1D6DB	MATHEMATICAL BOLD PARTIAL DIFFERENTIAL	𝛛
U+1D6FB	MATHEMATICAL ITALIC NABLA	𝛻
U+1D715	MATHEMATICAL ITALIC PARTIAL DIFFERENTIAL	𝜕
U+1D735	MATHEMATICAL BOLD ITALIC NABLA	𝜵
U+1D74F	MATHEMATICAL BOLD ITALIC PARTIAL DIFFERENTIAL	𝝏
U+1D76F	MATHEMATICAL SANS-SERIF BOLD NABLA	𝝯
U+1D789	MATHEMATICAL SANS-SERIF BOLD PARTIAL DIFFERENTIAL	𝞉
U+1D7A9	MATHEMATICAL SANS-SERIF BOLD ITALIC NABLA	𝞩
U+1D7C3	MATHEMATICAL SANS-SERIF BOLD ITALIC PARTIAL DIFFERENTIAL	𝟃

13/11/2021

Bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°
Bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°

Để làm được các bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°, các em học sinh cần khi nắm vững định nghĩa và các công thức trong bài Giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ.

Bài 1. Cho $\sin x =\frac{5}{13}\left(90^{\circ}<x<180^{\circ}\right)$. Tính các giá trị lượng giác còn lại.

Hướng dẫn. Từ đẳng thức $\sin^2x+\cos^2x=1$ ta suy ra $$\cos ^{2} x =1-\sin ^{2} x =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$ Mặt khác, $90^{\circ}<x<180^{\circ}$ nên $\cos x <0$. Do đó, $$\cos x=-\frac{12}{13}$$
Từ đó tính được $\tan x=\frac{5}{13} \cdot-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}, \cot x=-\frac{12}{5}$.

Bài 2. Biết $\cot 15^\circ=2+\sqrt{3}$. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc $15^{\circ}$.

Hướng dẫn. Dễ dàng có ngay $$\tan 15^{\circ}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} $$ Để tính $\cos 15^\circ$, chúng ta sử dụng hằng đẳng thức $$1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2x}$$

Ta có $$\frac{1}{\cos ^{2} 15^{\circ}}=1+\tan ^{2} 15^{\circ}=4(2-\sqrt{3}) $$ Suy ra $$\cos ^{2} 15^\circ=\frac{1}{4(2-\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4} $$ Lưu ý rằng $15^\circ$ là góc nhọn nên $$\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} $$ Cuối cùng, ta tính $$\sin 15^\circ=\tan 15^\circ \cdot \cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$

Bài 3. Cho $\tan \alpha=3$. Tính:
1. $\frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha}$
2. $\frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha}$
Hướng dẫn.
1. Chia hai vế cho $\cos\alpha $ ta được $$\frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha}=\frac{2 \tan \alpha+3}{4 \tan \alpha-11}=11$$
2. Chia hai vế cho $\cos^3\alpha $ ta được \begin{align} \frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha}&=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\\
  &=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17}\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)=7\end{align}
Bài 4. Cho tana $+$ cota $={m}$, hãy tính theo ${m}$:
1. $\tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a}$
2. $\tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a}$
3. $\mid \tan a- \cot a \mid$
Hướng dẫn.
1. $ \tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a}=(\tan {a}+\cot a)^{2}-2 \tan a \cdot \cot a={m}^{2}-2$
2. $\tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a}=(\tan {a}+\cot {a})^{3}-3 \tan a \cdot \cot {a}(\tan {a}+\cot {a})={m}^{3}-3 {m}$
3. $|\tan a-\cot a|=\sqrt{(\tan a+\cot a)^{2}-2 \tan a \cot a}=\sqrt{m^{2}-2}$
Bài 5. Cho $\sin a +\cos a=m$, hãy tính theo $m$ các biểu thức sau:
1. $\sin a \cos a$
2. $ |\sin a – \cos a |$
3. $\sin ^{3} a+\cos ^{3} a$
4. $\sin ^{4} a+\cos ^{4} a$
Bài 6. Chứng minh rằng:
1. $\frac{\tan ^{2} a-\sin ^{2} a}{\cot ^{2} a-\cos ^{2} a}=\tan ^{6} a$
2. $\sin ^{2} a\tan^{2} a+4 \sin ^{2} a-\tan ^{2} a+3 \cos ^{2} a=3$
3. $\frac{\sin a+\cos a}{\cos ^{3} a}=1+\tan a+\tan ^{2} a+\tan ^{3} a $
Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
1. $ \cos ^{4} x-\sin ^{4} x=2 \cos ^{2} x-1$
2. $\cot ^{2} x-\cos ^{2} x=\cos ^{2} x \cdot \cot ^{2} x$
3. $\tan ^{2} x-\sin ^{2} x=\tan ^{2} x \cdot \sin ^{2} x$
4. $(\sin x+\cos x)^{2}+(\sin x-\cos x)^{2}=2$
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
1. $2\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right) $
2. $2 \cos ^{4} x-\sin ^{4} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x $
3. $\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x-1\right)\left(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x+2\right) $
12/11/2021
Sử dụng Python giải bài tập tổ hợp xác suất
Sử dụng Python giải bài tập tổ hợp xác suất

Sau khi đã giải được 20 Bài tập Python cơ bản có lời giải, mời bạn tiếp tục thử sức các bài tập Python chỉ sử dụng vòng lặp và các kiểu dữ liệu cơ bản như kiểu danh sách list, kiểu xâu str.

Bài 1. [Đại học Thái Nguyên 2000] Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số có mặt đủ 3 chữ số nói trên?

Đáp số: 150 số.

Hướng dẫn. Đầu tiên sử dụng 5 vòng lặp để tạo một danh sách tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3. Sau đó duyệt qua tất cả các phần tử của danh sách này và dùng hàm membership in để kiểm tra xem phần tử đó có mặt cả ba chữ số 1, 2, 3 hay không. Nếu có thì tăng biến đếm count, và in phần tử đó ra nếu muốn.
```
numbers = ['1', '2', '3']
results = []

for a in numbers:
  for b in numbers:
    for c in numbers:
      for d in numbers:
        for e in numbers:
          # results.append([a,b,c,d,e])
          results.append(a+b+c+d+e)

count = 1

for temp in results:
  # print(temp)
  if ('1' in temp) and ('2' in temp) and ('3' in temp):
    print(str(count) +': '+temp)
    count +=1
```
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 7.

Đáp số: 12857 số.

Hướng dẫn. Sử dụng một biến đếm count. Duyệt tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số (từ 10000 đến 99999) và kiểm tra xem số đó có chia hết cho 7 hay không. Nếu có thì tăng biến đếm. Có thể in ra số đó nếu muốn.
```
count = 0
for i in range(10000, 99999 + 1):	
  if (i % 7 == 0):
    count += 1
    print(str(count) + ': ' + str(i))
```
Bài 3. Một em bé có thể mang họ cha là Nguyễn, hoặc họ mẹ là Lê; tên đệm có thể là Văn, Hữu hoặc Đình; tên có thể là Nhân, Nghĩa, Trí hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé?

Đáp số. Có 24 cách đặt tên.
```
bien_dem = 1
ho = ['Nguyễn', 'Lê']
dem = ['Văn', 'Hữu', 'Đình']
ten = ['Nhân', 'Nghĩa', 'Trí', 'Dũng']
for h in ho:
  for d in dem:
    for t in ten:
      print(str(bien_dem) + ': ' + h + ' ' + d + ' ' + t)
      bien_dem += 1
```
Bài 4. [Đại học An Ninh 1997] Từ các chữ số từ 0 đến 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

Nếu sử dụng kiểu dữ liệu tập hợp set, chúng ta có thể in trực tiếp ra các số thỏa mãn yêu cầu:
```
numbers_even = {'0', '2', '4', '6'}
numbers_odd = {'1', '3', '5'}
numbers = numbers_even | numbers_odd

results = []
count = 0

for c in numbers_even:
  for a in (numbers - {'0'}):
    if (a != c):
      for b in numbers:
        if ( b!=a and b!= c):
          count += 1
          print(str(count) + ': ' +a+b+c)
```
Cách khác, chúng ta không sử dụng kiểu dữ liệu tập hợp thì sẽ in ra rất cả các số tự nhiên chẵn sau đó loại đi các số mà có chữ số giống nhau:
```
count = 0
results =[]

for a in range(1,7):
  for b in range(0,7):
    for c in {0,2,4,6}:
      results.append(str(a)+str(b)+str(c))

temp = []
for x in results:
  if not((x[0] == x[1]) or (x[0]==x[2]) or (x[1]==x[2])):
    temp.append(x)
print(len(temp))
print(temp)
```
Bài 5. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

Đáp số: 80 số.
```
count = 0
results =[]

for a in range(1,7):
  for b in range(0,7):
    for c in range(0,7):
      results.append(str(a)+str(b)+str(c))

temp = []
for x in results:
  if not((x[0] == x[1]) or (x[0]==x[2]) or (x[1]==x[2])) and ('5' in x):
    temp.append(x)
print(len(temp))
print(temp)
```
10/11/2021
Bài tập Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Tiếp theo bài Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất, chúng tôi tiếp tục giới thiệu phần bài tập Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất trong đề cương của ĐH BKHN.

Xem thêm: 1000 bài toán Tổ hợp Xác Suất có lời giải.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài tập 2.1. Một chùm chìa khóa gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở được cửa. Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho đến khi mở được cửa. Gọi X là số lần thử.
1. Tìm phân phối xác suất của X;
2. Tìm kỳ vọng và phương sai của X;
3. Viết hàm phân phối xác suất của X.
Hướng dẫn. Gọi X là số lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nó nhận các giá trị X = 1, 2, 3, 4. Gọi X_ilà “mở được cửa ở lần thứ i” thì X₁, X₂, X₃, X₄tạo thành hệ đầy đủ.

Bài tập 2.2. Một xạ thủ có 5 viên đạn. Anh ta phải bắn vào bia với quy định khi nào có 2 viên trúng bia hoặc hết đạn thì dừng. Biết xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,4 và gọi X là số đạn cần bắn.
1. Tìm phân phối xác suất của X;
2. Tìm kỳ vọng, phương sai và viết hàm phân phối xác suất của X.
Bài tập 2.3. Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử tổng thống là 40%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho ông A trong 20 người đó.
1. Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn của X và modX.
2. Tìm P(X = 10).
Bài tập 2.4. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có 2 giá trị x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Xác suất để X nhận giá trị x₁ là 0,2. Tìm luật phân phối xác suất của X, biết kỳ vọng E(X) = 2, 6 và độ lệch tiêu chuẩn σ(X) = 0,8.

Bài tập 2.5. Mỗi khách uống cà phê tại quán cà phê mỗi ngày đều được phát ngẫu nhiên một vé bốc thăm, xác suất khách hàng trúng thăm là 0,1. Nếu khách hàng trúng thăm liên tục trong 5 ngày (từ thứ hai đến thứ sáu) sẽ nhận được 100₫, nếu không sẽ không được gì. An uống cà phê liên tục tại quán này 4 tuần liên tiếp. Gọi X₫ là số tiền An được thưởng khi bốc thăm trong 4 tuần đó. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.

Gọi X là số tiền An nhận được khi bốc thăm trong 4 tuần và Y là số tuần An được thưởng
thì khi đó

X = 100Y

và Y là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối nhị thức với n = 4 phép thử độc lập và p là xác
suất được thưởng trong 1 tuần bất kì. Dễ tính p = 0.1⁵
Suy ra E[X] = 100 E[Y] = 100 × 4 × 0.1⁵ = 0.004 và V[X] = 10⁴ V[Y]= 0.4

Bài tập 2.6. Tung đồng xu 10 lần. Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa như sau: (X = 1) nếu sự kiện đúng 3 lần ra mặt sấp xảy ra và (X = 0) trong trường hợp còn lại. Tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X).

Bài tập 2.7. Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và 1 phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt hai sản phẩm (lấy không hoàn lại).
1. Gọi X là “số chính phẩm gặp phải”. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính E(X) và V(X).
2. Gọi Y là “số phế phẩm gặp phải”. Lập hệ thức cho mối quan hệ giữa X và Y.
Bài tập 2.8. Người ta đặt ngẫu nhiên 10 thẻ (trong đó có 5 thẻ màu đỏ và 5 thẻ màu xanh) vào 10 phong bì (5 phong bì có màu đỏ và 5 phong bì có màu xanh), mỗi phong bì một thẻ. Gọi X là số phong bì có chứa một thẻ cùng màu. Tính giá trị:
1. P(X = 1).
2. E(X).
Bài tập 2.9. Có 2 kiện hàng. Kiện I có 3 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Kiện II có 2 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện I ra 2 sản phẩm và từ kiện II ra 1 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.

Bài tập 2.10. Có hai kiện hàng. Kiện thứ nhất có 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Kiện thứ hai có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện I bỏ sang kiện II. Sau đó từ kiện II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện II.

Bài tập 2.11. Gieo hai con xúc sắc đồng chất 5 lần, gọi X là số lần xuất hiện hai mặt 6.
1. Tính xác suất của sự kiện số lần xuất hiện hai mặt 6 ít nhất là 2.
2. Tính E(X), V(X).
3. Viết hàm phân phối F(x).
Bài tập 2.12. Một thanh niên nam vào cửa hàng thấy 5 máy thu thanh giống nhau. Anh ta đề nghị cửa hàng cho anh ta thử lần lượt các máy đến khi chọn được máy tốt thì mua, nếu cả 5 lần đều xấu thì thôi. Biết rằng xác suất để một máy xấu là 0,6 và các máy xấu tốt độc lập với nhau. Gọi X là số lần thử. Lập bảng phân phối xác suất của X.

Bài tập 2.13. Có hai hộp bi. Hộp I có 2 bi trắng, 3 bi đỏ. Hộp II có 2 bi trắng, 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, sau đó lại lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp II bỏ vào hộp I. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số bi trắng có mặt ở hộp I và hộp II sau khi đã chuyển xong.

Bài tập 2.14. Một người đi làm từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư. Xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5. Gọi X là số đèn đỏ mà người đó gặp phải trong một lần đi làm (giả sử 3 đèn giao thông ở ngã tư hoạt động độc lập với nhau).
1. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính kỳ vọng, phương sai của X. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
2. Hỏi thời gian trung bình phải ngừng trên đường là bao nhiêu biết rằng mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải đợi khoảng 3 phút.
Bài tập 2.15. Một người chơi trò chơi tung con xúc sắc cân đối đồng chất ba lần. Nếu cả ba lần đều xuất hiện mặt 6 thì thu về 36₫, nếu hai lần xuất hiện mặt 6 thì thu về 2,8₫, nếu một lần xuất hiện mặt 6 thì thu về 0,4₫. Biết rằng khi chơi người đó phải nộp x₫.
1. Tìm x sao cho trò chơi là vô thưởng vô phạt.
2. x bằng bao nhiêu thì trung bình mỗi lần chơi, người chơi mất 1₫?
Bài tập 2.16. Một kiện hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II. Khi bán được một sản phẩm loại I thì được lãi 50 ngàn đồng; còn nếu bán được một sản phẩm loại II thì được lãi 20 ngàn đồng. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 3 sản phẩm.
1. Tìm quy luật phân phối xác suất của số tiền lãi thu được do bán 3 sản phẩm đó; tính kỳ vọng, phương sai của số tiền lãi thu được do bán 3 sản phẩm đó.
2. Viết hàm phân phối, vẽ đồ thị hàm phân phối của số tiền lãi thu được khi bán 3 sản phẩm đó.
Bài tập 2.17. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 10 quả còn mới. Lần đầu ta lấy ra 3 quả để thi đấu, sau đó lại trả 3 quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra 3 quả. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số quả bóng mới trong 3 quả lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất, tính kì vọng, phương sai của X.

Bài tập 2.18. Một cơ sở thí nghiệm có 3 phòng thí nghiệm như nhau. Xác suất thực hiện thành công một thí nghiệm của các phòng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Một sinh viên chọn một phòng thí nghiệm bất kỳ và tiến hành 3 thí nghiệm độc lập. Gọi X là số thí nghiệm thành công.
1. Lập bảng phân phối xác suất của X, tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X).
2. Theo anh (chị) thì khả năng chắc chắn sẽ thành công mấy thí nghiệm?
2. Biến ngẫu nhiên liên tục

Bài tập 2.19. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[f(x)=\begin{cases} k\sin 3x, & x\in (0;\frac{\pi}{3})\\ 0, & x\not\in (0;\frac{\pi}{3})\end{cases}\]
1. Xác định k và hàm phân phối F(x).
2. Tính P(π/6 ≤ X < π/3).
Bài tập 2.20. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[f(x)=\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{a^2-x^2}},& x\in (-a;a)\\ 0, & x\not\in (-a;a)\end{cases}\] Xác định hằng số c, sau đó tính kỳ vọng và phương sai của X.

Bài tập 2.21. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[ f(x)=\frac{c}{e^x+e^-x}\]Xác định hằng số c và sau đó tính kỳ vọng của X.

Bài tập 2.22. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ là $f(x) = ae^{-|x|}$, (−∞ < x < +∞).
1. Xác định a.
2. Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X; biến ngẫu nhiên Y = X².
3. Tìm E(X), V(X).
4. Tính xác suất để sau ba lần lặp lại phép thử một cách độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong (0; ln 3).
Bài tập 2.23. Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):\[f(x)=\begin{cases} k(30-x),& x\in (0;30)\\ 0, & x\not\in (0;30)\end{cases}\]
1. Tìm k.
2. Tìm hàm phân phối F(x).
3. Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó.
Bài tập 2.24. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất \[f(x)=\begin{cases} 0,& x\leqslant 0\\ 1/2-k\cos x, & 0<x \leqslant \pi \\ 1, & x>\pi\end{cases}\]
1. Tìm k.
2. Tìm P(0 < X < π/2 ).
3. Tìm E(X).
Bài tập 2.25. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất
1. Tìm A và B.
2. Tìm hàm mật độ xác suất f (x).
Bài tập 2.26. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng F(x) = a + b arctan x, (−∞ < x < +∞).
1. Tìm hệ số a và b.
2. Tìm hàm mật độ xác suất f (x).
3. Tìm xác suất để khi tiến hành 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (−1; 1).
Bài tập 2.27. Biến ngẫu nhiên X liên tục trên toàn trục số và có hàm phân phối xác suất F(x) = 1/2 + 1/π arctan(x/2). Tìm giá trị có thể có của x₁ thỏa mãn điều kiện P(X > x₁) = 1/4.

Bài tập 2.28. Thu nhập của dân cư tại một vùng là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất như sau:

Hãy xác định mức thu nhập sao cho lấy ngẫu nhiên một người ở vùng đó thì thu nhập của người này vượt quá mức trên với xác suất 0,5.

Bài tập 2.29. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng tại một cửa hàng ăn nhanh là biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật lũy thừa với hàm mật độ xác suất \[ f(x)=\begin{cases} 5e^{-5x},& x>0\\ 0,& x \leqslant 0 \end{cases}\] với x được tính bằng phút/khách hàng.
1. Tìm xác suất để thời gian phục vụ một khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng (0, 4; 1)(phút).
2. Tính thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.
3. Một số luật phân phối xác suất thông dụng

Bài tập 2.30. Bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy.

Bài tập 2.31. Xác suất để một sinh viên chậm giờ thi là 0,02. Tìm số sinh viên chậm giờ thi có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 sinh viên dự thi.

Bài tập 2.32. Một ga ra cho thuê ôtô thấy rằng số người đến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần là một biến ngẫu nhiên có phân bố Poát-xông với tham số λ = 2. Giả sử gara có 4 chiếc ôtô.
1. Tìm xác suất để tất cả 4 ôtô đều được thuê vào thứ 7.
2. Tìm xác suất gara không đáp ứng được yêu cầu (thiếu xe cho thuê) vào thứ 7.
3. Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê vào ngày thứ 7?
Bài tập 2.33. Gọi biến ngẫu nhiên Y là tỷ lệ người trong 1000 người Mỹ xác nhận rằng có uống nhiều hơn 5 cốc bia mỗi ngày. Giả sử rằng tỷ lệ đúng là 10% trên toàn bộ dân số Mỹ. Tính E(Y), D(Y).

Bài tập 2.34. Giả sử X là biến ngẫu hiên có phân phối chuẩn với trung bình là 3 và phương sai là 0,16.
1. Hãy tính P(X > 3), P(X > 3, 784).
2. Tìm c sao cho P(3 − c < X < 3 + c) = 0,9.
Bài tập 2.35. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm 2006 được coi như một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì với xác suất 0,1587 cho lãi suất lớn hơn 20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng đầu tư mà không bị lỗ là bao nhiêu?

Bài tập 2.36. Tung một đồng xu vô hạn lần, xác suất thu được mặt ngửa mỗi lần là p.
1. Gọi X là số lần tung đến khi xuất hiện mặt ngửa lần đầu tiên (tại lần tung thứ X). Tính E(X).
2. Tính xác suất xuất hiện đúng 6 lần ngửa trong 10 lần tung.
3. Tính xác suất để lần xuất hiện mặt ngửa thứ 6 rơi vào lần tung thứ 10.
Bài tập 2.37. Lấy ngẫu nhiên một điểm M trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2a. Biết rằng xác suất điểm M rơi vào cung CD bất kì của nửa đường tròn AMB chỉ phụ thuộc vào độ dài cung CD.
1. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y chỉ diện tích tam giác AMB.
2. Tìm giá trị trung bình của diện tích tam giác ấy.
Bài tập 2.38. Từ điểm A(0, −a) (a > 0) trong nửa mặt phẳng tọa độ xOy phần x ≥ 0, người ta kẻ ngẫu nhiên một tia At hợp với tia Oy một góc ϕ. Biết ϕ là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trong khoảng (0, π/4). Tia At cắt Ox tại điểm M.
1. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ diện tích tam giác AOM.
2. Tìm giá trị trung bình của diện tích trên.
Bài tập 2.39. Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định sẽ áp dụng một trong hai phương án kinh doanh: Phương án 1: Gọi X₁ (triệu đồng/tháng) là lợi nhuận thu được. X₁ có phân phối chuẩn (140; 2500). Phương án 2: Gọi X₂ (triệu đồng/tháng) là lợi nhuận thu được. X₂có phân phối chuẩn (200; 3600). Biết rằng công ty tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ mặt hàng A phải đạt ít nhất 80 triệu đồng/tháng. Hỏi nên áp dụng phương án nào để rủi ro thấp hơn.

Bài tập 2.40. Trọng lượng của một loại trái cây có quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 250g, độ lệch chuẩn về trọng lượng là 5g. Trái cây loại I là trái cây có trọng lượng không nhỏ hơn 260g.
1. Một người lấy 1 trái từ trong sọt trái cây Tính xác suất người này lấy được trái cây loại I.
2. Nếu lấy được trái loại I thì người này sẽ mua sọt đó. Người ngày kiểm tra 100 sọt. Tính xác suất người này mua được 6 sọt.
Bài tập 2.41. Một dây chuyền tự động khi hoạt động bình thường có thể sản xuất ra phế phẩm với xác suất p = 0,001 và được điều chỉnh ngay lập tức khi phát hiện có phế phẩm. Tính số trung bình các sản phẩm được sản xuất giữa 2 lần điều chỉnh.

Bài tập 2.42. Trong một kỳ thi điểm số của các sinh viên có trung bình là 80 và độ lệch chuẩn là 10. Giả sử phân phối của điểm thi xấp xỉ phân phối chuẩn.
1. Nếu giáo viên muốn 25% số sinh viên đạt điểm A (nhóm điểm cao nhất) thì điểm số thấp nhất để đạt điểm A là bao nhiêu?
2. Chọn ngẫu nhiên 50 sinh viên, tính xác suất trong đó có nhiều hơn 10 sinh viên đạt điểm A (điểm A lấy ở câu (a)).
Bài tập 2.43. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kì vọng 20mm, phương sai 0,04mm. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một chi tiết có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm.

Bài tập 2.44. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 160cm và độ lệch chuẩn là 6cm. Tìm xác suất để đo ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất một người có chiều cao nằm trong khoảng (158–162)cm.

Bài tập 2.45. Dùng hai phương pháp để tính sai số của một biến ngẫu nhiên. Phương pháp 1: Cho sai số đó bằng 2X với X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 25). Phương pháp 2: Cho sai số đó bằng tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập Y = Y₁ + Y₂ trong đó E(Y₁) = E(Y₂) = 0 và σ(Y₁) = σ(Y₂) = 5. Hỏi phương pháp nào được ưa dùng hơn?
02/11/2021
Bài tập Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
Bài tập Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Chúng tôi xin giới thiệu Bài tập Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất của ĐH Bách Khoa Hà Nội để bạn đọc tham khảo.

1. Giải tích tổ hợp. Sự kiện ngẫu nhiên. Định nghĩa xác suất.

Bài tập 1.1. Một hộp có 10 quả cầu cùng kích cỡ được đánh số từ 0 đến 9. Từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên 1 quả ra và ghi lại số của quả đó, sau đó trả lại vào trong hộp. Làm như vậy 5 lần ta thu được một dãy số có 5 chữ số.
1. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó?
2. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó sao cho các chữ số trong đó là khác nhau?
Hướng dẫn.
1. Số kết quả cho dãy đó là 10^5.
2. Số kết quả cho dãy có các chữ số khác nhau là 10.9.8.7.6 = 30240.
Bài tập 1.2. Có 6 bạn Hoa, Trang, Vân, Anh, Thái, Trung ngồi quanh một bàn tròn để uống cà phê, trong đó bạn Trang và Vân không ngồi cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế là không phân biệt?
2. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế có phân biệt?
Hướng dẫn.
1. Số cách xếp để Trang và Vân không ngồi cạnh nhau là 5! – 2.4! = 72.
2. Số cách xếp nếu các ghế có phân biệt là 6! – 6.2.4! = 432.
Bài tập 1.3. Từ một bộ bài tú lơ khơ 52 cây rút ngẫu nhiên và không quan tâm đến thứ tự 4 cây. Có bao nhiêu khả năng xảy ra trường hợp trong 4 cây đó:
1. 4 cây đều là át;
2. có duy nhất 1 cây át;
3. có ít nhất 1 cây át;
4. có đủ 4 loại rô, cơ, bích, nhép.
Hướng dẫn.
1. Chỉ có 1 khả năng do một bộ bài chỉ có 4 con át.
2. Có 4 cách lấy ra 1 con át, có 40C3 cách chọn 3 lá bài còn lại. Như vậy, số cách lấy ra 4 lá để có duy nhất 1 con át là 4×48C3=69184
3. Số cách chọn ra 4 lá từ bộ bài là 52C3. Số cách để chọn ra 4 lá bài trong đó không có cây át nào là 48C3 (không xét thứ tự). Suy ra số khả năng là 52C3 – 48C3 = 76145.
4. Số cách lấy 1 lá bài cơ là 13C1 = 13. Tương tự với các loại rô, bích, nhép. Suy ra số khả năng là 13^4 = 28561.
Bài tập 1.4. Có 20 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 sinh viên (không xét tới tính thứ tự) tham gia câu lạc bộ Văn và 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán trong trường hợp:
1. một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ;
2. một sinh viên có thể tham gia cả hai câu lạc bộ.
Hướng dẫn.
1. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có 20C4 cách. Do 1 sinh viên không thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán là C16 4 . Số khả năng là 20C4×16C4 = 8817900
2. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có 20C4 cách. Do 1 sinh viên có thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên
  tham gia câu lạc bộ Toán là 20C4. Số khả năng là 20C4×20C4= 23474025.
Bài tập 1.5. Cho phương trình x + y + z = 100. Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm:
1. nguyên dương;
2. nguyên không âm.
Hướng dẫn.
1. Ta đánh dấu trên trục số từ số 1 đến 100 bởi 100 số 1 cách đều nhau 1 đơn vị. Khi đó, ta có 99 khoảng giữa 2 số 1 liên tiếp. Nếu chia đoạn thẳng [1, 100] này bởi 2 điểm chia nằm trong đoạn thì ta sẽ có 3 phần có độ dài ít nhất là 1.
  Có thể thấy rằng ta có song ánh giữa bài toán chia đoạn này với bài toán tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 100.
  Như vậy, số nghiệm của phương trình này bằng số cách chia, và bằng 99C2.
2. Sử dụng phàn trên, a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1 thì a, b, c là số nguyên dương và a+b+c=103. Do đó, số nghiệm của nguyên không âm là 102C2.
Bài tập 1.6. Thực hiện một phép thử tung 2 con xúc xắc, rồi ghi lại số chấm xuất hiện trên mỗi con. Gọi x, y là số chấm xuất hiện tương ứng trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai. Ký hiệu không gian mẫu Ω = {(x, y) : 1 ≤ x, y ≤ 6}. Hãy liệt kê các phần tử của các sự kiện sau:
1. A : “tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 8”;
2. B : “có ít nhất một con xúc xắc ra mặt 2 chấm”;
3. C : “con xúc xắc thứ nhất có số chấm lớn hơn 4”;
4. A + B, A + C, B + C, A + B + C, sau đó thể hiện thông qua sơ đồ Venn;
5. AB, AC, BC, ABC, sau đó thể hiện thông qua sơ đồ Venn.
Hướng dẫn.
1. A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
2. B = {(2, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}
3. C = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
4. A + B, A + C, B + C, A + B + C
5. AB = ⌀
  AC = {(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
  BC = {(5, 2), (6, 2)}
  ABC = ⌀
Bài tập 1.7. Số lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:
1. một nhân viên trong độ tuổi 30 – 40;
2. một nam nhân viên trên 40 tuổi;
3. một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống.
Bài tập 1.8. Một kiện hàng có 24 sản phẩm, trong số đó có 14 sản phẩm loại I, 8 sản phẩm loại II và 2 sản phẩm loại III. Người ta chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất trong 4 sản phẩm đó:
1. có 3 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II;
2. có ít nhất 3 sản phẩm loại I;
3. có ít nhất 1 sản phẩm loại III.
Bài tập 1.9. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để:
1. tất cả tấm thẻ đều mang số chẵn;
2. có đúng 5 số chia hết cho 3;
3. có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một số chia hết cho 10.
Bài tập 1.10. Việt Nam có 64 tỉnh thành, mỗi tỉnh thành có 2 đại biểu quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 64 đại biểu quốc hội để thành lập một ủy ban. Tính xác suất để:
1. trong ủy ban có ít nhất một người của thành phố Hà Nội;
2. mỗi tỉnh có đúng một đại biểu trong ủy ban.
Bài tập 1.11. Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ sân ga lên tàu. Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để:
1. toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người;
2. một toa có 3 người, một toa 2 người, một toa có 1 người;
3. mỗi toa có ít nhất 1 người.
Bài tập 1.12. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Một con xúc xắc có số chấm các mặt là 1, 2, 3, 4, 5, 6, con xúc xắc còn lại có số chấm các mặt là 2, 3, 4, 5, 6, 6. Tính xác suất:
1. có đúng 1 con xúc xắc ra mặt 6 chấm;
2. có ít nhất 1 con xúc xắc ra mặt 6 chấm;
3. tổng số chấm xuất hiện bằng 7.
Bài tập 1.13. Trong một thành phố có 5 khách sạn. Có 3 khách du lịch đến thành phố đó, mỗi người chọn ngẫu nhiên một khách sạn. Tìm xác suất để:
1. mỗi người ở một khách sạn khác nhau;
2. có đúng 2 người ở cùng một khách sạn.
Bài tập 1.14. Một lớp có 3 tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người và tổ III có 15 người. Chọn hú họa ra một nhóm sinh viên gồm 4 người.
1. Tính xác suất để trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I.
2. Biết trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I, tính xác suất để trong nhóm đó có đúng một sinh viên tổ III.
Bài tập 1.15. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa chén và giả sử ba người này đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất để:
1. chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén;
2. một trong ba người đánh vỡ 3 chén;
3. một trong ba người đánh vỡ cả 4 chén.
Bài tập 1.16. Đội A có 3 người và đội B có 3 người tham gia vào một cuộc chạy thi, 6 người có khả năng như nhau và xuất phát cùng nhau. Tính xác suất để 3 người đội A về vị trí nhất, nhì, ba.

Bài tập 1.17. Phân phối ngẫu nhiên n viên bi vào n chiếc hộp (biết rằng mỗi hộp có thể chứa cả n viên bi). Tính xác suất để:
1. Hộp nào cũng có bi;
2. Có đúng một hộp không có bi.
Bài tập 1.18. Hai người hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 5h00 đến 6h00 để cùng đi tập thể dục. Hai người quy ước ai đến không thấy người kia sẽ chỉ chờ trong vòng 10 phút. Giả sử rằng thời điểm hai người đến công viên là ngẫu nhiên trong khoảng từ 5h00 đến 6h00. Tính xác suất để hai người gặp nhau.

Bài tập 1.19. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10cm. Lấy một điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng đó. Tính xác suất chênh lệch độ dài giữa hai đoạn thẳng AC và CB không vượt quá 4cm.

Bài tập 1.20. Cho đoạn thẳng AB độ dài 10cm. Lấy hai điểm C, D bất kỳ trên đoạn AB (C nằm giữa A và D). Tính xác suất độ dài AC, CD, DB tạo thành 3 cạnh một tam giác.

2. Công thức cộng và nhân xác suất, công thức Becnulli

Bài tập 1.21. Cho các sự kiện $A, B$ với $P(A) = P(B) = 1/2; P(A\overline{B}) = 1/8$. Tìm:
- $P(\overline{A} + \overline{B})$;
- $P(\overline{A}B), P(A + \overline{B})$.
Bài tập 1.22. Cho các sự kiện $A, B, C$ thỏa mãn:
- $P(A) = 0{,}3$,
- $P(B|A) = 0{,}75$,
- $P(B|\overline{A}) = 0{,}2$,
- $P(C|AB) = 0{,}2$,
- $P(C|\overline{AB}) = 0{,}15$,
- $P(C|A\overline{B}) = 0{,}8$,
- $P(CAB) = 0, 9$.
Tính $P(ABC), P(\overline{B}C), P(C), P(A|\overline{B}C)$.

Bài tập 1.23. Trong cùng một phép thử, A và B là các sự kiện thỏa mãn P(A) = 1/4, P(B) = 1/2. Tính xác suất để A không xảy ra nhưng B xảy ra trong các trường hợp sau:
1. A và B xung khắc;
2. A suy ra B;
3. P(AB) = 1/8.
Bài tập 1.24. Cho hai sự kiện A và B trong đó P(A) = 0, 4 và P(B) = 0, 7. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P(AB) và P(A + B) và điều kiện đạt được các giá trị đó.

Bài tập 1.25. Ba người A, B và C lần lượt tung một đồng xu. Giả sử rằng A tung đồng xu đầu tiên, B tung thứ hai và thứ ba C tung. Quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi ai thắng bằng việc trở thành người đầu tiên thu được mặt ngửa. Xác định khả năng mà mỗi người sẽ giành chiến thắng.

Bài tập 1.26. Trong một thùng kín có 6 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả cầu cho đến khi lấy được cầu đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để:
1. Lấy được 2 cầu trắng, 1 cầu vàng.
2. Không có quả cầu trắng nào được lấy
Bài tập 1.27. Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng bắn súng vào bia. Xác suất bắn trúng bia của 3 người A, B và C tương ứng là 0,7, 0,6 và 0,9. Tính xác suất để:
1. có duy nhất một xạ thủ bắn trúng bia;
2. có đúng hai xạ thủ bắn trúng bia;
3. có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia;
4. xạ thủ A bắn trúng bia biết rằng có hai xạ thủ bắn trúng bia.
Bài tập 1.28. Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập. Hệ thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi hệ thống được xem như độc lập. Tính xác suất để trong 18 giờ thắp sáng liên tục:
1. cả hai hệ thống bị hỏng;
2. chỉ có một hệ thống bị hỏng.
Bài tập 1.29. Một máy bay ném bom một mục tiêu phải bay qua ba tuyến phòng thủ. Xác suất để mỗi tuyến phòng thủ tiêu diệt được máy bay là 0,8.
1. Tìm xác suất máy bay rơi trước khi đến mục tiêu.
2. Giả sử máy bay bị rơi, tìm xác suất để tuyến I bắn rơi.
3. Muốn bảo vệ mục tiêu với xác suất 99,99% cần tổ chức bao nhiêu tuyến phòng thủ.
Bài tập 1.30. Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Bắn hú họa bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Điều gì có khả năng xảy ra lớn hơn: bắn bằng khẩu súng mới hay bắn bằng khẩu súng cũ?

Bài tập 1.31. Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là 0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa.

Bài tập 1.32. Một hộp chứa a quả bóng màu đỏ và b quả bóng màu xanh. Một quả bóng được chọn ngẫu nhiên và quan sát màu sắc của nó. Sau đó bóng được trả lại cho vào hộp và k bóng cùng màu cũng được thêm vào hộp. Một quả bóng thứ hai sau đó được chọn một cách ngẫu nhiên, màu sắc của nó được quan sát, và nó được trả lại cho vào hộp với k bóng bổ sung cùng một màu. Quá trình này được lặp đi lặp lại 4 lần. Tính xác suất để ba quả bóng đầu tiên sẽ có màu đỏ và quả bóng thứ tư có màu xanh.

Bài tập 1.33. Một cửa hàng sách ước lượng rằng: trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này:
1. không thực hiện cả hai điều trên;
2. không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng.
Bài tập 1.34. Một cuộc khảo sát 1000 người về hoạt động thể dục thấy có 80% số người thích đi bộ và 60% thích đạp xe vào buổi sáng và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người hoạt động thể dục. Nếu gặp được người thích đi xe đạp thì xác suất mà người đó không thích đi bộ là bao nhiêu?

Bài tập 1.35. Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi. Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ:
1. được vào đội tuyển;
2. bị loại ở vòng thứ ba;
3. bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.
Bài tập 1.36. Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết sự kiện khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.

Bài tập 1.37. Một tổ có 15 sinh viên trong đó có 5 sinh viên học giỏi môn “Xác suất thống kê”. Cần chia làm 5 nhóm, mỗi nhóm 3 sinh viên. Tính xác suất để nhóm nào cũng có một sinh viên học giỏi môn “Xác suất thống kê”.

Bài tập 1.38. Hai vận động viên bóng bàn A và B đấu một trận gồm tối đa 5 ván (không có kết quả hòa sau mỗi ván và trận đấu sẽ dừng nếu một người nào đó thắng trước 3 ván). Xác suất để A thắng được ở một ván là 0,7.
1. Tính các xác suất để A thắng sau x ván (x = 3, 4, 5).
2. Tính xác suất để trận đấu kết thúc sau 5 ván.
Bài tập 1.39. Một bài thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Giả sử một câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa câu trả lời. Tìm xác suất để:
1. Học sinh đó được 13 điểm.
2. Học sinh đó bị điểm âm.
Bài tập 1.40. Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0,2. Tìm xác suất để:
1. người đó bán được hàng ở 2 nơi;
2. người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi.
Bài tập 1.41. Một người có hai bao diêm trong túi, mỗi bao có n que. Mỗi khi cần diêm anh ta rút hú họa ra một bao. Tính xác suất sao cho người đó lần đầu rút phải bao rỗng thì bao kia còn đúng k que k = 1, 2, . . . , n.

Bài tập 1.42. Xác suất trúng đích của một lần bắn là 0,4. Cần phải bắn bao nhiêu phát đạn để xác suất có ít nhất một viên bắn trúng sẽ lớn hơn 0,95?

Bài tập 1.43. Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 2 lần vào rổ. Xác suất ném trúng rổ của mỗi cầu thủ theo thứ tự lần lượt là 0,6 và 0,7. Tìm xác suất để
1. số lần ném trúng rổ của hai người bằng nhau;
2. số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ hai.
Bài tập 1.44. Xác suất sản xuất ra phế phẩm của một máy là 0,005. Tìm xác suất để trong 800 sản phẩm của máy đó có đúng 3 phế phẩm.

Bài tập 1.45. Một công nhân đứng máy 1000 ống sợi. Xác suất mỗi ống bị đứt trong vòng một giờ là 0,005. Tính xác suất để trong vòng một giờ:
1. 40 ống sợi bị đứt;
2. không quá 40 ống sợi bị đứt.
Bài tập 1.46. Xác suất ném trúng rổ của một cầu thủ là 0,8. Tìm xác suất để trong 100 lần cầu thủ đó:
1. ném trúng 75 lần;
2. ném trúng không ít hơn 75 lần.
3. Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Bạn đọc tham khảo các ví dụ trong bài Xác suất có điều kiện – Công thức Bayes

Bài tập 1.47. Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng.
1. Tìm xác suất nó là phế phẩm.
2. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.
Bài tập 1.48. Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi.
1. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ.
2. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba.
Bài tập 1.49. Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi.
1. Tính xác suất để viên bi rút ra sau cùng màu đỏ.
2. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II.
Bài tập 1.50. Trong một kho rượu, số lượng rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai và đưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất đoán đúng của mỗi người là 0,8. Có 3 người kết luận rượu loại A, 2 người kết luận rượu loại B. Hỏi khi đó xác suất chai rượu đó thuộc loại A là bao nhiêu?

Bài tập 1.51. Có 3 hộp đựng bóng. Hộp I chứa 2 bóng xanh và 5 bóng đỏ. Hộp II chứa 5 bóng xanh và 3 bóng đỏ. Hộp III đựng 4 bóng đỏ và 4 bóng xanh. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất một lần: nếu thu được mặt một chấm thì lấy ngẫu nhiên ra một bóng từ hộp I, nếu số chấm thu được là 2, 3, 4 thì lấy ngẫu nhiên ra một bóng từ hộp II và nếu số chấm là 5, 6 thì lấy ngẫu nhiên một bóng từ hộp III. Tính xác suất quả bóng đỏ được lấy ra.

Bài tập 1.52. Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm 3 phế phẩm; lô II có 6 chính phẩm 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô I sang lô II, sau đó từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm được 2 chính phẩm. Tính xác suất để 2 chính phẩm lấy ra sau cùng là của lô I.

Bài tập 1.53. Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.

Bài tập 1.54. Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là 18, 16, 12. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất.

Bài tập 1.55. Có 10 sinh viên đi thi trong đó có 3 sinh viên thuộc loại giỏi, 4 sinh viên thuộc loại khá và 3 sinh viên thuộc loại trung bình. Trong phiếu thi thi có 20 câu hỏi. Sinh viên loại giỏi trả lời được cả 20 câu, loại khá trả lời được 16 câu và loại trung bình trả lời được 10 câu. Gọi ngẫu nhiên 1 sinh viên. Sinh viên đó trả lời được 3 câu hỏi trong phiếu thi. Tính xác suất đó là sinh viên thuộc loại trung bình.

Bài tập 1.56. Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là 30%. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là 60%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là 40%.
1. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
2. Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
Bài tập 1.57. Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.

Bài tập 1.58. Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là 0,8. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để
1. chẩn đoán có bệnh;
2. chẩn đoán đúng;
Bài tập 1.59. Tại một bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A là 10%. Để chẩn đoán xác định người ta làm phản ứng miễn dịch, nếu không bị bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 10%, nếu bị bệnh thì phản ứng dương tính là 95%.
1. Tìm xác suất dương tính của phản ứng.
2. Tìm xác suất chẩn đoán đúng của phản ứng.
Bài tập 1.60. Một hãng hàng không cho biết rằng 5% số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được 50 khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%.

Bài tập 1.61. Một trạm chỉ phát hai loại tín hiệu A và B với xác suất tương ứng là 0,84 và 0,16. Do có nhiễu trên đường truyền nên 1/6 tín hiệu A bị méo và được thu như là tín hiệu B, còn 1/8 tín hiệu B bị méo thành tín hiệu A.
1. Tìm xác suất thu được tín hiệu A;
2. Giả sử thu được tín hiệu A, tìm xác suất để thu được đúng tín hiệu lúc phát.
Bài tập 1.62. Lớp học phần “Xác suất thống kê” có 50 sinh viên, trong đó có 18 sinh viên thuộc nhóm I và 32 sinh viên thuộc nhóm II. Xác suất để một sinh viên trong nhóm I, II đạt điểm giỏi tương ứng là 0,8; 0,7.
1. Gọi ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp, tính xác suất để sinh viên đó đạt điểm giỏi.
2. Gọi ngẫu nhiên hai sinh viên trong lớp thì xác suất để cả hai sinh viên đó đạt điểm giỏi là bao nhiêu?
Bài tập 1.63. Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở mỗi chỗ tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8. Biết rằng đến một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cá. Tính xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất.

Bài tập 1.64. Trong học kỳ I năm học 2018-2019, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.

Bài tập 1.65. Ba người thợ cùng may một loại áo với xác suất may được sản phẩm chất lượng cao tương ứng là 0,9; 0,9 và 0,8. Biết một người khi may 8 áo thì có 6 sản phẩm chất lượng cao. Tìm xác suất để người đó may 8 áo nữa thì có 6 áo chất lượng cao.
01/11/2021
100 bài tập khối nón, khối trụ, khối cầu VDC

100 bài tập khối nón, khối trụ, khối cầu VDC

Bài tập khối nón khối trụ khối cầu có lời giải

Câu 1. Cắt hình nón $\left( N \right)$ bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng $4$. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. $\frac{8\pi }{3}$.
B. $\frac{32\pi }{3}$.
C. $8\pi $.
D. $64\pi $.

Lời giải. Chọn A

Gọi tam giác $SAB$ vuông cân tại S là thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng.

Ta có $S{}_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}S{{A}^{2}}=4\Rightarrow SA=2\sqrt{2}\Rightarrow AB=4$.

Khi đó bán kính đáy của hình nón $r=\frac{AB}{2}=2$ và $SO=r=2$.

Vậy thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho là:

$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{8\pi }{3}$.

Câu 2. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O;R \right)$ và $\left( {O}’;R \right)$. $AB$ là một dây cung của đường tròn $\left( O;R \right)$ sao cho tam giác ${O}’AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left( {O}’AB \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O;R \right)$ một góc $60{}^\circ $. Tính theo $R$ thể tích $V$ của khối trụ đã cho.

A.$V=\frac{\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
B. $V=\frac{3\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}$.
C. $V=\frac{\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}$.
D. $V=\frac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.

Lời giải. Chọn D

Đặt độ dài cạnh $AB=x$ $\left( x>0 \right)$ và $M$ là trung điểm $AB$.

Vì tam giác ${O}’AB$ đều nên ${O}’A={O}’B=AB=x$$\Rightarrow {O}’M=\frac{x\sqrt{3}}{2}$.

Vì mặt phẳng $\left( {O}’AB \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O;R \right)$ góc $60{}^\circ $ nên $\widehat{{O}’MO}=60{}^\circ $.

Xét tam giác ${O}’OM$ vuông tại $O$ ta có: $\cos \widehat{{O}’MO}=\frac{OM}{{O}’M}$. Suy ra

$\cos 60{}^\circ =\frac{OM}{\frac{x\sqrt{3}}{2}}\Leftrightarrow OM=\frac{x\sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác $OAM$vuông ở $M$ có: $O{{A}^{2}}=O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}$ nên

${{R}^{2}}={{\left( \frac{x\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=\frac{7}{16}{{x}^{2}}\Rightarrow x=\frac{4\sqrt{7}}{7}R$

Do đó: ${O}’M=\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{21}}{7}R$ và $OM=\frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{21}}{7}R$. Vì vậy, ta có

$O{O}’=\sqrt{{O}'{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}R$.

Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}.h=\pi {{R}^{2}}.\frac{3\sqrt{7}}{7}R\Rightarrow V=\frac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.

Câu 3. Một hình trụ có chiều cao bằng $10$ và bán kính mặt đáy bằng $5$. Một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng 2 cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích bằng

A. $40\pi $.
B. $80\pi $.
C. $100\pi $.
D. $50\pi $.

Lời giải. Chọn B

Thiết diện là hình chữ nhật và giả sử là $ABCD$ như hình vẽ.

Gọi $M$là trung điểm $AB$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD = OO’ = 10}\\ {OB = 5,OM = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow MB = \sqrt {O{B^2} – O{M^2}} = 4 \Rightarrow AB = 8$.

Suy ra, diện tích thiết diện bằng: ${S_{ABCD}} = AD.AB = 10.8 = 80 \Rightarrow $Chọn B

Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$bằng

A. $\frac{a\sqrt{165}}{45}$.
B. $\frac{a\sqrt{165}}{15}$.
C. $\frac{2a\sqrt{165}}{15}$.
D. $\frac{a\sqrt{165}}{30}$.

Lời giải.Chọn B

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Do hình chóp $S.ABC$ đều nên $SO\bot \left( ABC \right)$

$SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{33}}{3}$; $GM=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3d\left( G,\left( SBC \right) \right)=\frac{3SG.GM}{\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}}$ $=\frac{a\sqrt{165}}{15}$.

Câu 5. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và $SAO = {30^0}$; $SAB = {60^0}$. Tính diện tích xung quanh hình nón?

A. $4\pi \sqrt 3 $
B. $\frac{{3\pi \sqrt 2 }}{4}$
C. $2\pi \sqrt 3 $
D. $3\pi \sqrt 2 $

Lời giải. Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB thì $OI \bot AB;SI \bot AB;OI = 2$

Lại có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{AO = SA.\cos SAO = SA.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\

{AI = SA.\cos SAI = \frac{{SA}}{2}}

\end{array}} \right.$

Từ đó ta có $\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Mặt khác $\frac{{AI}}{{AO}} = \cos IAO \Rightarrow \sin IAO = \frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{2}{{OA}} \Rightarrow OA = \sqrt 6 $

Mà $SA = \frac{{OA}}{{\cos 30}} = \sqrt 6 .\frac{2}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 2 $

Diện tích xung quanh cần tính là: ${S_{xq}} = \pi .OA.SA = 4\pi \sqrt 3 $

Download bài tập khối nón khối trụ khối cầu file word

Các câu còn lại, mời thầy cô và các em download tại đây 100 bai tap khoi non khoi tru khoi cau o2.edu.vn

01/11/2021
Số chính phương là gì?
Số chính phương là gì?

Số chính phương là số có giá trị bằng bình phương đúng (lũy thừa bậc hai) của một số nguyên. Hay nói cách khác, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên.

Ví dụ, $100$ là số chính phương vì $100=10^2$, $36$ là số chính phương vì $36=6^2$,…

Nhận xét, số $m$ là một số chính phương khi và chỉ khi có thể sắp xếp $m$ điểm thành một hình vuông:

Do đó, số chính phương còn được gọi là số hình vuông bởi số chính phương là lũy thừa bậc hai của một số tự nhiên mà diện tích hình vuông cũng có giá trị bằng bình phương của 1 cạnh.

Xem thêm Hình vuông số chính phương kì diệu của Vianney

Phân loại số chính phương

Có hai loại số chính phương là: số chẵn và số lẻ. Trong đó, số chính phương chẵn là bình phương của một số chẵn. Ngược lại, số chính phương lẻ lại là lũy thừa bậc hai của một số lẻ.

Ví dụ: 9 (= 3²), 81 (= 9²), 121 (= 11²),… là các số chính phương lẻ. 4 (= 2²), 16 (= 4²), 100 (= 10²),… là các số chính phương chẵn.

Tính chất của số chính phương
- Những số có chữ số tận cùng là 9, 6, 5, 4, 1, 0 có thể là số chính phương. Các số có tận cùng là 8, 7, 3, 2 không thể là số chính phương.
- Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố $p$ thì cũng chia hết cho $p^2$. Ví dụ, nếu số chính phương chia hết được cho 2 thì cũng chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì cũng sẽ chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì cũng sẽ chia hết 25.Số chính phương chia hết cho 8 thì cũng sẽ chia hết cho 16.
- Số chính phương chỉ có thể tồn tại dưới các dạng $4n$, $4n + 1$, $3n$ và $3n + 1$, với $n$ là số tự nhiên. Không có bất kỳ số chính phương nào tồn tại dưới dạng $4n + 2$, $4n + 3$ hoặc $3n + 2$. Nói cách khác:
  - Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
  - Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ chia 4 dư 1 hoặc 3.
  - Số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là 0, 1 hoặc là -1 (hay dư 4).
- Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1:
\begin{align} 1&=1\\
4&=1 + 3\\
9&=1 + 3 + 5\\
16&=1 + 3 + 5 + 7\\
25&=1 + 3 + 5 + 7 + 9\\
&… \end{align}

Bài tập số chính phương

Bài 1. Chứng minh số $n = 2004^2 + 2003^2 +2002^2 – 2001^2$ không phải là số chính phương

Hướng dẫn. Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của của các số $2004^2 $, $2003^2$, $2002^2$, $2001^2$ lần lượt là $6 ; 9 ; 4 ; 1$. Do đó số n có chữ số tận cùng là $6+9+4-1=8$ nên $n$ không phải là số chính phương.

Bài 2. Chứng minh số $1234567890$ không phải là số chính phương.

Hướng dẫn. Thấy ngay số $1234567890$ chia hết cho $5$ ( vì chữ số tận cùng của số này là $0$) nhưng không chia hết cho $25$ (vì hai chữ số tận cùng của nó là $90$). Do đó số $1234567890$ không phải là số chính phương.

Bài 3. Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là $2004$ thì số đó không phải là số chính phưuong.

Hướng dẫn. Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 do đó số này không phải là số chính phương.

Bài 4. Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương

Hướng dẫn. Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải số chính phương.

Bài 5. Chứng minh rằng số $333^{333} + 555^{555} + 777^{777}$ không phải là một số chính phương.

Bài 6. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không?
30/10/2021
Radian là gì?

Radian là gì?

Bình thường trong đời sống hằng ngày, khi nói về góc, chúng ta thường dùng đơn vị độ. Ví dụ góc vuông có số đo là 90 độ, góc tam giác đều là 60 độ, góc bẹt là 180 độ. Tuy nhiên, trong toán học, tất cả các hàm số, ví dụ $\sin(x)$, $\cos(x)$, v.v…, thì góc $x$ luôn luôn được dùng với đơn vị radian.

Vậy đơn vị Radian là gì?

Muốn dùng đơn vị radian, chúng ra vẽ đường tròn đơn vị. Trong mặt phẳng tọa độ, đường tròn đơn vị là đường tròn có bán kính bằng $1$ và tâm là gốc tọa độ. Chúng ta cũng đã biết rằng, theo định nghĩa, thì số $\pi$ chính là độ dài của một nửa đường tròn đơn vị.

Độ lớn của một góc theo đơn vị radian chính là độ dài của cung chắn góc đó.

Theo đơn vị radian thì $x$ chính là độ dài cung chắn góc

Ví dụ, góc vuông chắn một phần tư đường tròn. Một phần tư đường tròn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$. Do đó theo đơn vị radian thì góc vuông là $\frac{\pi}{2}$ (radian). Trong hình dưới đây cho biết giá trị radian của các góc thường gặp tính bằng độ, và tọa độ của điểm tương ứng trong mặt phẳng tọa độ.

Như vậy, các bạn có thể dễ dàng ghi nhớ sự chuyển đổi giữa đơn vị độ và radian bằng sự liên tưởng sau

góc bẹt 180 độ $\to$ nửa đường tròn đơn vị $\to ~~ \pi$

Những góc mà chúng ta thường dùng là

Bài viết tham khảo từ http://vuontoanblog.blogspot.com/2016/03/radian.html

30/10/2021