Category: TOÁN HỌC

Tính thể tích khối chóp
Tính thể tích khối chóp

Tính thể tích khối chóp là một dạng toán quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp và xét tuyển vào ĐH CĐ. Để tính được thể tích của một khối chóp đòi hỏi học sinh ghi nhớ và vận dụng được nhiều phần kiến thức của hình học không gian, đặc biệt là kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

Dưới đây là cách tính thể tích khối chóp trực tiếp, ngoài ra còn cách tính gián tiếp bằng Phương pháp so sánh thể tích.

1. Công thức tính thể tích khối chóp

Khối chóp đỉnh $ S $ và đáy là một đa giác có diện tích $ B $ thì $$ V=\frac{1}{3}B\times h $$

Trong công thức trên, việc tính được diện tích $B$ của đáy là bài toán tính diện tích đa giác (tam giác, tứ giác…) quen thuộc trong chương trình hình học cấp 2. Mọi khó khăn của bài toán tính thể tích khối chóp quy về việc xác định và tính được chiều cao của khối chóp. Dưới đây là các cách xác định đường cao của khối chóp.

2. Cách xác định chiều cao của hình chóp

Đường cao của một hình chóp là đoạn thẳng hạ vuông góc từ đỉnh hình chóp xuống mặt đáy tương ứng của nó. Trong thực tế, đối khi người ta không cần dựng đường cao mà chỉ cần tính chiều cao khối chóp, tức là tính khoảng cách từ đỉnh tới mặt đáy của nó. (Bạn đọc có thể xem lại cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)

Dĩ nhiên, ngoài các kiến thức nêu dưới đây, thì các em học sinh cần ôn tập kĩ lại phần kiến thức về góc trong không gian:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
2.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là cạnh bên đó.

Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy thì thể tích của nó là $$ V =\frac{1}{3} SA\cdot S_{ABCD}$$

2.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy

Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy thì đường cao của hình chóp chính là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$. Tức là đường thẳng $SB$. Do đó, thể tích của hình chóp là $$
V =\frac{1}{3} SB\cdot S_{ABCD} $$

2.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy

Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng đó thường là một tam giác thì đường cao của hình chóp chính là đường cao của tam giác đó.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $ (SAC) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó, để xác định đường cao của hình chóp chúng ta làm như sau:
- Trong mặt phẳng $ (SAC) $ kẻ $ SH $ vuông góc với $ AC $, $ H $ thuộc $ AC $.
- Sử dụng tính chất của Hai mặt phẳng vuông góc với nhau , ta chứng minh được $ SH $ vuông góc với $ (ABC) $ hay $ SH $ là đường cao của hình chóp.
Do đó, thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $$ V=\frac{1}{3}SH\cdot S_{ABC} $$

2.4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều thì đường cao đi qua đỉnh và tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
- Các em học sinh cần lưu ý hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau. Các cạnh bên này và cạnh đáy có thể bằng nhau hoặc không bằng nhau đều được.
- Một hình chóp đều thì có các cạnh bên bằng nhau nhưng hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chưa đủ điều kiện để là một hình chóp đều. Tuy nhiên, một hình chóp mà có các cạnh bên bằng nhau (bao gồm cả hình chóp đều) thì có tính chất:
- Hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp lên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
Chẳng hạn, với hình chóp đều tứ giác $S.ABCD$ thì gọi $ O $ là tâm hình vuông (tức là giao điểm hai đường chéo của hình vuông, đồng thời cũng là tâm đối xứng, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông) thì chứng minh được $ SO $ vuông góc với mặt phẳng đáy.

Như vậy, chiều cao hình chóp $S.ABCD$ là $ SO $ và thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ là $$ V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD} $$

3. Các dạng toán tính thể tích khối chóp

3.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1. [TN2013] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $ và $ SA $ vuông góc với đáy. Cạnh $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 30^\circ. $ Tính thể tích khối chóp.

Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3} $.

Ví dụ 2. [TN2011] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D. $ Cạnh $ AD=CD=a,$ cạnh $AB=3a. $ Cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SC $ tạo với đáy một góc $ 45^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Đáp số $ V=\frac{2a^3\sqrt{2}}{3} $.

Ví dụ 3. [TN2010] cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy là $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy thì $ \widehat{SOA}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}. $

Ví dụ 4. [TN2009] Cho hình chóp $ S.ABC $ có mặt bên $ SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy, $ \widehat{BAC}=120^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Hai tam giác vuông $ SAB $ và $ SAC $ bằng nhau nên $ AB=AC. $ Áp dụng định lí cosin có $ BC=\frac{a\sqrt{3} }{3}. $ Từ đó tìm được $ SA =\frac{a\sqrt{3}}{6} $ và thể tích bằng $ \frac{a^3\sqrt{2}}{36}. $

Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật, cạnh $ AB=a,AD=2a. $ Cạnh $ SB $ vuông góc với đáy và khoảng cách từ $ B $ tới $ (SAD) $ bằng $ \frac{2a}{\sqrt{5}}. $ Tính thể tích khối chóp.

Hướng dẫn. Dựng $ BH $ vuông góc với $ SA $ thì $ BH=\frac{2a}{\sqrt{5}}. $ Suy ra $ SB=2a $, và từ đó tìm được $ V=\frac{4}{3}a^3. $

3.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ đáy là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a, $ SC $ =5a $. Hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp?

Hướng dẫn. Từ giả thiết suy ra $ SA $ vuông góc với đáy và tìm được $ SA=3a. $ Đáp số $ V=6a^3. $

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,BC=2a. $ Hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với đáy, cạnh $ SC $ hợp với đáy góc $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?

Hướng dẫn. Chỉ ra $ \widehat{SCA}=60^\circ $ và tìm được $ SA=a\sqrt{15} $. Từ đó tìm được đáp số $ {{V}_{ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}. $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Các mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy bằng $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.

Đáp số $ V = \frac{{a^3}\sqrt{2}}{6} $

Ví dụ 4. [A2009] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,$ cạnh $AB=AD=2a,$ cạnh $CD=a,$ góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABCD \right) $ bằng $ {{60}^\circ} $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ AD $. Biết rằng hai mặt phẳng $ \left( SBI \right) $ và $ \left( SCI \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?

Hướng dẫn. Vì hai mặt phẳng $ \left( SBI \right) $ và $ \left( SCI \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng cũng vuông góc với đáy, tức là $ SI\perp (ABCD) $. Kẻ $ IK\perp BC $ với $ K\in BC $ thì $ \widehat{SKI}=60^\circ. $ Gọi $ J $ là trung điểm $ BC $ từ tam giác vuông $ IKJ $ tìm được $ IK= \frac{3a\sqrt{5}}{5}. $ Từ đó tìm được $ SI=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$. Đáp số $ V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}. $

Ví dụ 5. [A2011] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân tại $ B, AB = BC = 2a $, hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB, $ mặt phẳng qua $ SM $ và song song với $ BC $, cắt $ AC $ tại $ N $. Biết góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ bằng $ 60^\circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.BCNM $.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ SA\perp(ABC) $ và góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ là $ \widehat{SBA} $. Mặt khác, chứng minh được $ N $ là trung điểm $ AC $. Từ đó, tìm được đáp số là $ {V_{S.BCNM}} = \sqrt 3 {a^3}. $

Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi, $ AC = 2\sqrt{3}a, BD = 2a.$ Hai cạnh $AC $ và $ BD $ cắt nhau tại $ O. $ Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ \frac{a\sqrt{3}}{4} $.Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.

Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến $ SO $ của chúng chính là đường cao của hình chóp. Chỉ ra tam giác $ ABD $ đều. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB, K $ là trung điểm của $ HB $ và $ I $ là hình chiếu của $ O $ lên $ SK $ thì $ OI $ chính là khoảng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có $$ \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} $$ và tìm được $SO = \frac{a}{2} $. Đáp số $ {{V}_{S.ABCD}}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}. $

3.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $, cho $ AB=a,AC=a\sqrt{3} $, mặt bên $ SBC $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.

Đáp số $ \frac{a^3}{2}. $

Ví dụ 2. [CĐ2010] Hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với đáy và $ SA=SB. $ Góc giữa $ SC $ và đáy là $ 45^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $ thì $ SI\perp (ABCD). $ Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{5}}{6}. $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ B,$ cạnh $AB=BC=a,$ cạnh $AD=2a. $ Mặt phẳng $ SAD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SAD $ vuông tại $ S. $ Biết $ SB=a\sqrt{2} $, tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ BC=2a $ và đáy là tam giác vuông tại $ C. $ Tam giác $ SAB $ vuông cân tại $ S $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $ (SAC) $ hợp với đáy một góc $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Gọi $ H,K $ là trung điểm của $ AB,AC $ thì $ SH\perp(ABC) $ và $ \widehat{SKH}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}. $

Ví dụ 5. [B2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ 2a, SA = a, SB = a\sqrt{3} $ và mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm $ AB, BC $. Tính theo $ a $ thể tích khối chóp $ S.BMDN $ và tính cosin góc giữa hai đường thẳng $ SM, DN $.

Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{3}}$ và $\cos (SM,DN)=\frac{1}{\sqrt{5}} $.

Ví dụ 6. [B2006] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,$ $AD=a\sqrt{2},$ cạnh $SA=a $ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AD,SC $ và $ I $ là giao điểm của $ BM $ và $ AC $. Tính thể tích khối tứ diện $ ANIB $.

Hướng dẫn. Chỉ ra đường thẳng $ NO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD) $ nên ${{V}_{ANIB}}={{V}_{N.AIB}}$ và được tính bởi công thức $$\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta AIB}}.NO$$ Tính được $ AI,BI $ và suy ra tam giác $ AIB $ vuông tại $ I $. Từ đó tìm được đáp số ${{V}_{N.AIB}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36} $

Ví dụ 7. [A2007] Cho hình chóp $ S.ABCD $ đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, mặt bên $ SAD $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ SB,BC,CD $. Chứng minh rằng $ AM\perp PB $ và tính thể tích khối tứ diện $ CMNP $.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AD $ thì $ SH\perp AD $. Kẻ $ MK\parallel SH$ với $K\in HB $ thì chứng minh được $ MK\perp(ABCD) $ và $ MK=\frac{SH}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}. $ Do đó, thể tích khối chóp cần tính là \begin{align}
V&=V_{M.CNP}\\
&=\frac{1}{3}MK.S_{CNP}\\
&=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}
\end{align}

3.4. Hình chóp đều – Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Ví dụ 1. Hình chóp tam giác đều $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ a $, các cạnh bên tạo với đáy một góc $ 60^\circ $. Hãy tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ và $ O $ là tâm của đáy thì $ \widehat{SAO}=60^\circ $. Từ đó tìm được $ SO=a $ và $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} $

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy $ 2a $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy, $ M $ là trung điểm của $ AB $ thì $ \widehat{SMO}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}. $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ AB = a , AD = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều các đỉnh $ A,B,C,D $ của mặt đáy và $ SB = a\sqrt{5} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $

Hướng dẫn. Đáp số \begin{align} {V} &= \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \\ &= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{2}.2{a^2} \\ &= \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3} \end{align}

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a,\widehat{ABC} =60^\circ$, cạnh $SB = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều các đỉnh $ A,B,C $ của mặt đáy $ ABCD $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD.$

Hướng dẫn. Chỉ ra tam giác $ ABC $ đều và gọi $ H $ là tâm của tam giác $ ABC $ thì $ SH\perp(ABCD). $ Từ đó tìm được \begin{align}
{{V}}&=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}\\
&=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{33}}{9}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\\
&=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}
\end{align}

Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a $ và $SA=a$. Các góc $\widehat{SAB},\widehat{SAD} ,\widehat{BAD}$ cùng bằng $60^\circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm hình thoi $ ABCD $. Từ $ SA=AB=AD=a $ và $ \widehat{SAB}=\widehat{SAD}=60^\circ $ suy ra các tam giác $ SAB,SAD $ đều.

Do đó, $ SA=SB=SD $ nên hình chiếu của đỉnh $S$ lên mặt đáy sẽ trùng với tâm $ H $ của tam giác $BAD $.

Có cạnh $ BD=a$ nên suy ra $ AC=a\sqrt{3}$ và tính được diện tích $ABCD$ là $\frac{1}{2}AC.BD=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}. $

Trong tam giác $ BAD $ có $ AH=\frac{2}{3}AO=\frac{a\sqrt{3}}{3} $ nên suy ra $ SH=\sqrt{SA^2-AH^2}$. Từ đó tính được $SH=\frac{a\sqrt{6}}{3}. $
Suy ra $ V=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}. $

4. Bài tập . thể tích khối chóp

Hình chóp có chứa một cạnh bên vuông góc với đáy

Bài tập 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ với $ AC=a,SA\perp \left( ABC \right) $ và $ SB $ hợp với mặt phẳng đáy $ (ABC) $ một góc $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp.
Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24} $.

Bài tập 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,SA\perp \left( ABC \right) $. Biết rằng $ AB=a, AC=2a $, góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABC \right) $ bằng $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $ theo $ a $.
Đáp số: $ V=\frac{a^3}{2} $.

Bài tập 3. [CĐ2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang, các góc $ \widehat{BAD}$, $\widehat{ABC}$ cùng bằng ${{90}^\circ}$, $AB=BC=a,$ $AD=2a$, cạnh $ SA$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ và dài bằng $2a $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA,SD $. Chứng minh rằng $ BCNM $ là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp $ S.BNM $?
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V_{S.BNM}&=V_{N.BMS}\\
&=\frac{1}{3}NM.S_{\Delta BMS} \\
&=\frac{a^3}{6}
\end{align}

Bài tập 4. [CĐKT Cao Thắng 2007] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ \Delta ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ và $ SA\perp \left( ABC \right) $ với $ \widehat{ACB}={{60}^\circ} $, $ BC=a,SA=a\sqrt{3} $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ SB $. Chứng minh $ \left( SAB \right)\perp \left( SBC \right) $ và tính thể tích khối tứ diện $ MABC $.
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V_{MABC }&=V_{C.MAB}\\
&=\frac{1}{3}CB.S_{\Delta MAB} \\
&=\frac{{{a}^{3}}}{4}.
\end{align}

Bài tập 5. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $SB\perp \left( ABC \right)$. Biết $SB=a,SC$ hợp với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{30}^\circ}$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ hợp với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{60}^\circ}$. Chứng minh $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2$ và tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ AC\perp (SAB) $ nên tam giác $ SAC $ vuông. Do đó $ SC^2=SA^2+AC^2$ và suy ra $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2. $ Thể tích $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.

Bài tập 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=3a, BC=4a $. Biết $ SD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SBC $ có diện tích $ 6\sqrt{2} a^2 $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Đáp số: $ 12a^3 $

Bài tập 7. [A2010] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $ và $ AD,H $ là giao điểm của $ CN $ và $ DM $. Biết $ SH\perp \left( ABCD \right) $ và $ SH=a\sqrt{3} $. Tính thể tích khối chóp $ S.CDNM $.
Hướng dẫn. Tính diện tích của tứ giác $ CDNM$ bằng cách lấy diện tích ${ABCD}$ trừ đi diện tích tam giác ${AMN}$ và ${BMC} $. Đáp số $ V=\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.

Bài tập 8. [DB A2006] Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=AD=a,$ cạnh bên $AA’=\frac{a\sqrt{3}}{2},$ góc ${BAD}={{60}^{0}}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A’D’$ và $A’B’$. Chứng minh rằng: $AC’\bot \left( BDMN \right)$ và tính thể tích khối chóp $A.BDMN$.

Hướng dẫn. Nhận thấy $ABCD$ là hình thoi nên chứng minh được $ BD\perp(ACC’A’) $. Do đó $ AC’\perp BD. $ Gọi $ E=MD\cap AA’ $ thì $ A’ $ là trung điểm $ AE $ và $ AA’,BN,DM $ đồng quy tại $ E. $ Hai tam giác vuông $ AOE $ và $ CC’A $ bằng nhau nên suy ra $ AC’\perp OE. $ Như vậy $ AC’ $ vuông góc với $ BD $ và $ OE $ nên $ AC’\perp(BDMN) $. Gọi $ H=AC’\cap OE $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp $ A.BDMN $. Khi đó, $ V=\frac{1}{3}AH.S_{BDMN}=\frac{3{{a}^{3}}}{16}. $

Hình chóp có chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy

Bài tập 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, hai mặt bên $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với $ \left( ABCD \right) $. Cho $ SB=3a $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCM $.
Đáp số: $ V=\frac{3\sqrt{2}a^3}{2} $

Bài tập 10. Hình chóp $ S.ABC $ có các cạnh $ SB,SC,BC,CA$ bằng nhau và cùng bằng $a, $ hai mặt $ (ABC) $ và $ (ASC) $ cùng vuông góc với $ (SBC). $ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Đáp số: Chọn $ A $ làm đỉnh hình chóp. Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12} $

Bài tập 11. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, các mặt bên $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ \left( ABCD \right) $, cho $ AB=a,AD=2a,$ cạnh $SC $ tạo với mặt đáy $ \left( ABCD \right) $ một góc $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số: $ V=\frac{2\sqrt{3}a^3}{3}.$

Bài tập 12. Hình chóp $ S.ABC $ có hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Biết rằng đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân đỉnh $ A $ với trung tuyến $ AD = a $, cạnh bên $ SB $ tạo với đáy một góc $ \alpha $. Biết $ $SA$=a\sqrt{6} $, hãy tìm góc $ \alpha $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABC$.
Đáp số:
$ \alpha=\widehat{SBA}=60^\circ $, $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3} $.

Bài tập 13. Cho hình chóp $ S.ABC $ có các mặt bên đôi một vuông góc. Diện tích các mặt bên lần lượt là $ 4a^2,6a^2 $ và $ 12a^2. $ Tính thể tích khối chóp.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ SA,SB,SC $ đôi một vuông góc. Đặt $ SA=x,$ $SB=y,$ $SC=z $ và biểu diễn tích $ xyz $ theo $ a. $ Từ đó tìm được thể tích $ V=8a^3 $.

Bài tập 14. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $, $ AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ \left( ABCD \right),SC $ tạo với mặt phẳng đáy $ \left( ABCD \right) $ một góc $ {{60}^\circ} $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SB $.
1. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
2. Chứng minh tam giác $ SBC $ vuông và tính thể tích khối chóp $ S.ACI $.
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V&=V_{I.SAC}\\
&=\frac{1}{3}d(I,(SAC)).S_{\Delta SAC}\\
&= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d(B,(SAC)).S_{\Delta SAC}
\end{align} Đáp số $ V_{S.ABCD}=\frac{\sqrt{6}a^3}{2},$ và $V_{S.ACI}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}. $

Hình chóp có chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy

Bài tập 15. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang cân với $ AD\parallel BC $. Mặt phẳng $ (SAD) $ vuông góc với đáy. Cho $ AB=BC=CD=a$ và $SA=SD=AD=2a $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC$.

Đáp số: $ V_{S.ABCD}=\frac{3a^3}{4}$ và $V_{S.ABC}=\frac{a^3}{4}. $

Bài tập 16. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng $ \Delta SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ \left( ABCD \right) $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} $.

Bài tập 17. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ mặt phẳng $ (SAC) $ vuông góc với đáy, $ \widehat{ASC}=90^\circ $ và $ SA $ tạo với đáy một góc $ \alpha. $ Tính thể tích khối chóp.

Hướng dẫn. Kẻ $ AH $ vuông góc với $ AC $ tại $ H $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp. Đáp số: $ V=\frac{a^3\sqrt{2}\sin2\alpha}{6} $

Bài tập 18. Hình chóp $ S.ABC $ có $ \widehat{BAC}=90^\circ,$ $\widehat{ABC}=\alpha.$ Tam giác $SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $ và $ (SAB)\perp (ABC). $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Hạ $ SH\perp AB $ thì có hai tam giác $ SHB,SHC $ bằng nhau nên suy ra $ HB=HC $. Gọi $ I $ là trung điểm $ BC $ thì $ HI $ là đường trung tuyến và đường cao của tam giác cân $ HBC $ nên tính được $ HB =\frac{a}{2\cos\alpha} $. Từ đó tìm được $ SH=\frac{a\sqrt{4\cos^2\alpha-1}}{2\cos\alpha} $. Đáp số: $ \frac{1}{12}a^3\sin\alpha\sqrt{4\cos^2\alpha-1} $

Bài tập 19. Hai hình thang $ ABCD $ và $ ABEF $ cùng vuông tại $ A,B $ và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Cho $ AB=5a$, $AD=AF=a$, $BC=4a$, $BE=x. $ Định $ x $ để hai tứ diện $ ABDF $ và $ ABCE $ có thể tích bằng nhau.

Đáp số: $ x=\frac{a}{4}. $

Hình chóp đều và hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Bài tập 20. [TN2008] Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có cạnh đáy bằng $ a $, cạnh bên bằng $ 2a $. Gọi $ I $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Chứng minh: $ SA\perp BC $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABI $ theo $ a $.

Bài tập 21. Tính thể tích tứ diện đều có các cạnh bằng $ a $.

Đáp số: $ \frac{a^2\sqrt{2}}{12} $

Bài tập 22. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng $ a $.

Đáp số: $ \frac{a^2\sqrt{2}}{6} $

Bài tập 23. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, các cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích hình chóp đó.
Đáp số: $ \frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}} $

Bài tập 24. Cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, các cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp.
Đáp số: $ \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} $

Bài tập 25. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có chiều cao $ SH = h $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ \alpha $. Tính thể tích khối chóp theo $ h $ và $ \alpha $.

Đáp số: $ \frac{4{{h}^{3}}{{\cot }^{2}}\alpha }{3} $

Bài tập 26. [Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2007]
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng $ S.ABCD $ là hình chóp đều. Tính độ dài cạnh của hình chóp này khi biết thể tích của nó bằng $ \frac{9{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} $.
Đáp số: $ 3a $.

Bài tập 27. [DB D2006] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $. Gọi $ SH $ là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm $ I $ của $ SH $ đến mặt bên $ \left( SBC \right) $ bằng $ b $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $, hạ $ IK\perp SM $ thì $ IK $ chính là khoảng cách từ $ I $ đến mặt phẳng $ (SCD). $ Đáp số: $ V=\frac{2{{a}^{3}}b}{3\sqrt{{{a}^{2}}-16{{b}^{2}}}} $.

Bài tập 29. [B2004] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $ \varphi$. Tính tang góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và mặt phẳng $ \left( ABCD \right) $ theo $ \varphi $. Tính thể tích khối chóp theo $ a $ và $ \varphi $.

Đáp số: $ \sqrt{2}\tan \varphi$, $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}.\tan \varphi }{6} $.
11/04/2021
Bộ công cụ cho phần mềm hình học Geometer’s Sketchpad (Bộ công cụ cho GSP)
Bộ công cụ cho phần mềm hình học Geometer’s Sketchpad (Tool for GSP)

Bộ công cụ cho GSP, Bộ công cụ cho phần mềm hình học Geometer’s Sketchpad (Tool for GSP) là tập hợp các công cụ để giúp Quý thầy cô vẽ hình được dễ dàng, đơn giản.

Thay vì phải tự xây dựng hình vẽ trải qua nhiều bước dựng hình (chẳng hạn vẽ hình bình hành thì thầy cô phải vẽ một đoạn thẳng, rồi sử dụng các công cụ vẽ đường thẳng song song….) thì giờ đây thầy cô chỉ cần lựa chọn công cụ vẽ hình bình hành và chọn 3 đỉnh là xong.

Xem thêm 5 phần mềm dạy học online, hội thảo tốt nhất thay thế Zoom

Cách cài đặt bộ công cụ cho GSP
- Để dùng được bộ công cụ vẽ hình phẳng, hình không gian,… toàn tập này, trước hết thầy cô phải cài phần mềm Geometer’s Sketchpad 5.0. (Quý thầy cô có thể search Google để tìm link cài đặt, vì lí do bản quyền nên chúng tôi không cung cấp các phần mềm lậu)
- Tải và giải nén bộ công cụ dưới đây vào một thư mục trên máy tính (thường giải nén vào thư mục nơi cài đặt phần mềm GSP để dễ quản lý):
  - ✅ Bộ công cụ GSP
- Mở phần mềm GSP 5.0 và chọn nút dưới cùng (như hình vẽ), sau đó chọn Choose Tools Folder… và tìm đến thư mục vừa giải nén ở trên.
- Lúc này, Quý thầy cô có thể truy cập vào rất nhiều công cụ vẽ hình được dựng sẵn, như vẽ hình bình hành, hình chữ nhật, vẽ dấu góc vuông, dấu góc nhọn, hệ trục tọa độ….
11/04/2021

Lời giải đề tham khảo Toán 2021

Cuối tháng 3 năm 2021, BGD đã công bố đề tham khảo TN THPT các môn năm 2021, trong đó có đề tham khảo môn Toán. Dưới đây, chúng tôi xin giới thiệu phần bình luận và lời giải chi tiết đề tham khảo Toán 2021 của thầy Lê Phúc Lữ.

1. Bảng đáp án đề tham khảo Toán 2021

1C	2D	3B	4D	5A	6A	7B	8C	9D	10A
11B	12A	13C	14B	15A	16A	17D	18A	19B	20D
21A	22B	23D	24C	25B	26B	27A	28D	29C	30C
31D	32A	33D	34D	35B	36A	37B	38A	39C	40A
41B	42C	43A	44C	45A	46A	47A	48D	49B	50C

2. Phân tích đề tham khảo Toán 2021

Cấu trúc đề (số câu từng chương).

(1) Chương Ứng dụng đạo hàm: 10 câu
(2) Chương Hàm số lũy thừa, mũ & logarit: 8 câu
(3) Chương Nguyên hàm & tích phân: 7 câu
(4) Chương Số phức: 6 câu
(5) Chương Thể tích khối đa diện: 3 câu
(6) Chương Khối tròn xoay: 3 câu
(7) Chương Hình giải tích trong không gian: 8 câu
(8) Chương Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân: 1 câu
(9) Chương Tổ hợp, Xác suất: 2 câu
(10) Chương Quan hệ vuông góc trong không gian: 2 câu

Ma trận đề tham khảo môn Toán 2021 của BGD

Chủ đề	Nội dung	Cấp độ tư duy				Tổng
Chủ đề	Nội dung	NB	TH	VDT	VDC	Tổng
1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số	Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số	1	1	1		10
	Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số	Câu 3	Câu 30	Câu 39
	Cực trị của hàm số	1	1		1
	Cực trị của hàm số	Câu 4	Câu 5		Câu 46
	GTLN, GTNN của hàm số		1
	GTLN, GTNN của hàm số		Câu 31
	Đường tiệm cận	1
	Đường tiệm cận	Câu 6
	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số	1	1
	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số	Câu 7	Câu 8
2. Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ và Hàm số logarit	Lũy thừa – Mũ – Logarit	1	1			8
	Lũy thừa – Mũ – Logarit	Câu 9	Câu 11
	Hàm số mũ – Hàm số logarit	1
	Hàm số mũ – Hàm số logarit	Câu 10
	Phương trình mũ và phương trình logarit	1	1		1
	Phương trình mũ và phương trình logarit	Câu 12	Câu 13		Câu 47
	Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit		1	1
	Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit		Câu 32	Câu 40
3. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng	Nguyên hàm	1	1			7
	Nguyên hàm	Câu 14	Câu 15
	Tích phân	1	1	2
	Tích phân	Câu 16	Câu 17	Câu 33, Câu 41
	Ứng dụng của tích phân			1	1
	Ứng dụng của tích phân			Câu 44	Câu 48
4. Số phức	Định nghĩa và tính chất	2	1	1	1	6
	Định nghĩa và tính chất	Câu 18, Câu 20	Câu 34	Câu 42	Câu 49
	Các phép toán số phức	1
	Các phép toán số phức	Câu 19
	Phương trình bậc hai với hệ số thực
5. Khối đa diện	Đa diện lồi – Đa diện đều					3
	Thể tích khối đa diện	1	1	1
	Thể tích khối đa diện	Câu 21	Câu 22	Câu 43
6. Mặt trụ, mặt nón, mặt cầu	Khối nón	1				3
	Khối nón	Câu 23
	Khối trụ
	Khối cầu	1
	Khối cầu	Câu 24
7. Phương pháp tọa độ trong không gian	Hệ tọa độ trong không gian	1				8
	Hệ tọa độ trong không gian	Câu 25
	Phương trình mặt cầu	1	1		1
	Phương trình mặt cầu	Câu 26	Câu 37		Câu 50
	Phương trình mặt phẳng	1	1
	Phương trình mặt phẳng	Câu 28	Câu 27
	Phương trình đường thẳng		1	1
	Phương trình đường thẳng		Câu 38	Câu 45
8. Tổ hợp – Xác suất	Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp	1				2
	Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp	Câu 1				2
	Xác suất		1
	Xác suất		Câu 29
9. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân	Cấp số cộng, cấp số nhân	1				1
9. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân	Cấp số cộng, cấp số nhân	Câu 2				1
10. Quan hệ vuông góc trong không gian	Góc trong không gian			1		2
	Góc trong không gian			Câu 35
	Khoảng cách trong không gian			1
	Khoảng cách trong không gian			Câu 36
Tổng		20	15	10	5	50

Nhận xét đề tham khảo Toán 2021

Các câu khó, mức độ 4 thuộc về các phần: (1), (2), (3), (4), (7).
Các câu mức độ 3 có khoảng 10 câu và có đủ ở các phần, còn lại 35 câu mức 1-2.
Nội dung của lớp 11 chiếm 10%, các câu mức độ 1-2.
Các câu ở mỗi mức độ đang được sắp xếp theo từng chương (giống năm 2017), nhưng đề chính thức chắc không như thế.
So về mức độ thì đề này dễ hơn đề chính thức năm 2019 nhưng khó hơn đề năm
Không có xuất hiện phần: lượng giác, bài toán vận tốc, bài toán lãi suất, phương trình tiếp tuyến, khoảng cách đường chéo nhau.
Về 5 câu khó nhất (vận dụng cao): câu 46, biện luận số cực trị của hàm chứa trị tuyệt đối là khó nhất đề, đòi hỏi thực hiện nhiều bước; câu 47, 48, 49 đòi hỏi có các kinh nghiệm nhất định ở dạng này để chọn hướng tiếp cận đúng mới xử lý nhanh gọn được; câu 50 có nét mới là kết hợp nhiều chương: khối tròn xoay, tìm giá trị lớn nhất và hình giải tích Oxyz.
Thời gian lý tưởng để một học sinh muốn được 9+ đề này là: 35 câu đầu làm (và kiểm tra lại) trong 20 phút; 10 câu tiếp theo làm trong 30-40 phút; 5 câu cuối dành 30-40 phút còn lại làm được càng nhiều càng tốt.

3. Lời giải chi tiết đề tham khảo Toán 2021

07/04/2021

Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng lớp 10
Tóm tắt lý thuyết Phương trình đường thẳng lớp 10

Lập phương trình đường thẳng là một bài toán quan trọng của chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thuộc chương trình hình học lớp 10. Có hai bài toán cơ bản cần ghi nhớ là lập phương trình tổng quát của đường thẳng, lập phương trình tham số của đường thẳng.

Ngoài ra còn có phương trình chính tắc của đường thẳng, cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc…

Xem thêm 100 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1. Phương trình tham số của đường thẳng

Một véc-tơ $\overrightarrow{u}\ne \vec{0}$ được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
- Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(x_{0},y_{0})$ và có một véc-tơ chỉ phương $\vec{u}(a,b)$ là:\[
  \begin{cases} x =x_{0}+at\\ y =y_{0}+bt \end{cases}, (t\in \mathbb{R})\]
Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương là $ \vec{u}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(7;2) $.

Hướng dẫn.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương là $ \vec{u}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(7;2) $ là $$ \begin{cases}
x=3t+7\\
y=4t+2
\end{cases} (t\in \mathbb{R}) $$

Nhận xét
- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và tất cả chúng đều cùng phương với nhau.
- Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì $k.\overrightarrow{u}$ cũng là vectơ chỉ phương của $d.$
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Một véc-tơ $\overrightarrow{n}\ne \vec{0}$ được gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng nếu nó có giá vuông góc với đường thẳng đó.

2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $$ax+by+c=0$$ với $a,b$ không đồng thời bằng $0$ (có thể viết tắt là $a^2+b^2 \ne 0$).
- Khi đó, một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n}(a;b)$.
- Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng ta có thể cho $x$ nhận một giá trị tùy ý rồi tìm giá trị của $y$ tương ứng, hoặc cho $y$ một giá trị tùy ý rồi tìm $x$ tương ứng.
Ví dụ 2. Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $2x+3y-5=0$ thì chúng ta có:
- Một véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;3)$.
- Lấy một điểm thuộc $\Delta$. Cho $x=2$ thì có $2\cdot 2+3y-5=0$, do đó tìm được $y=\frac{1}{3}$. Vậy tọa độ một điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là $\left (2;\frac{1}{3}\right)$.
2.2. Cách lập phương trình tổng quát của đường thẳng

Ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}$ và tìm tọa độ của một điểm $M$ thuộc đường thẳng. Sau đó sử dụng kết quả:

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ có một véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}(a,b)$ và đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ là: \[ ax+by-(ax_{0}+by_{0})=0\]

Ví dụ 3. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ biết nó có véc-tơ pháp tuyến $ \vec{n}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(0;7) $.

Hướng dẫn. Đường thẳng $\Delta$ có véc-tơ pháp tuyến $ \vec{n}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(0;7) $ nên có phương trình tổng quát:
$$ 3x+4y-(3\cdot 0+4\cdot 7)=0 $$ hay chính là $ 3x+4y-28=0 $.

Ví dụ 4. Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ với $ E(1;9) $ và $ F(3;-3) $

Hướng dẫn.
- Gọi đường trung trực của $ EF $ là $ d $ thì đường thẳng $d$ vuông góc với $ EF $ và đi qua trung điểm của $ EF. $
- Vì $d$ vuông góc với $ EF $ nên đường thẳng $d$ có véc-tơ pháp tuyến chính là $ \overrightarrow{EF}(2;-12) $.
- Gọi trung điểm của $ EF $ là $ M $ thì tìm được $ M(2;3) $.
- Đường thẳng $ d $ có véc-tơ pháp tuyến chính là $ \overrightarrow{EF}(2;-12) $ và đi qua điểm $ M(2;3) $ nên có phương trình tổng quát: $$ 2x-12y+32=0. $$
2.3. Mối quan hệ giữa véc-tơ chỉ phương và véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng
- Véctơ chỉ phương và véc-tơ pháp tuyến của một đường thẳng thì vuông góc với nhau, do đó nếu véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a,b)$ thì có thể chọn véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(-b,a)$ hoặc $\vec{u}=(b,-a);$ và ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}=(p,q)$ là một vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì đường thẳng đó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(q,-p)$ hoặc $\overrightarrow{n’}=(-q,p).$
- Hai đường thẳng song song thì có cùng các véc-tơ chỉ phương, cùng các véc-tơ pháp tuyến.
- Hai đường thẳng vuông góc thì véc-tơ chỉ phương của đường thẳng này là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
Nếu đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì đường thẳng $\Delta’$
- vuông góc với $\Delta$ là $\Delta’:-bx+ay+c’=0$ hoặc $\Delta’:bx-ay+c’=0$.
- song song với $\Delta$ là $\Delta’:ax+by+c’=0$ với $ c\ne c’. $
Ví dụ 5. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $ AB $ với $ A(1;2) $ và $ B(-3;5) $.

Hướng dẫn.
- Đường thẳng $ AB $ chứa $ \overrightarrow{AB}(-4;3) $ nên $ \overrightarrow{AB}(-4;3) $ chính là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.
- Suy ra, đường thẳng $AB$ có véc-tơ pháp tuyến là $ \vec{n}(3;4) $.
- Như vậy, đường thẳng $AB$ có véc-tơ pháp tuyến là $ \vec{n}(3;4) $ và đi qua điểm $ A(1;2) $ nên có phương trình tổng quát: $$ 3x+4y-11=0. $$
3. Góc và khoảng cách lớp 10
- Khoảng cách từ điểm $ M(x_0,y_0) $ đến đường thẳng $ \Delta:ax+by+c=0 $ là $$ d(M,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
- Góc giữa hai véc-tơ $ \vec{a},\vec{b} $ có $$\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}=\frac{\text{tích vô hướng}}{\text{tích độ dài}} $$
- Góc giữa hai đường thẳng $ \Delta $ và $ \Delta’ $ có $$\cos(\Delta,\Delta’)=\left|\cos(\vec{n},\vec{n’})\right|=\frac{|\vec{n}.\vec{n’}|}{|\vec{n}|.|\vec{n’}|}$$
Góc giữa hai đường thẳng có cosin bằng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài các véc-tơ pháp tuyến của hai đường thẳng.

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm $ A(1 , 3) $ đến đường thẳng $ \Delta: 3x – 4y + 4 = 0 $

Hướng dẫn. Khoảng cách từ điểm $ A $ đến đường thẳng $\Delta$ là $$ d(A,\Delta) = \frac{\left|3\cdot 1-4\cdot 3 +4\right|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=1 $$

Ví dụ 7. Tính khoảng cách từ điểm $ P(3 , 12) $ đến đường thẳng $ \Delta:\begin{cases} x=2+t\\y=5-3t \end{cases} $

Hướng dẫn. Trước tiên, chúng ta cần chuyển phương trình đường thẳng $\Delta$ từ dạng tham số về dạng tổng quát. Từ phương trình thứ nhất của hệ, chúng ta có $ t=x-2 $. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $ y=5-3(x-2) $ hay chính là $$ 3x+y-11=0 $$
Đây chính là phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$. Từ đó, khoảng cách cần tìm là $$ d(P,\Delta)=\frac{|3\cdot 3+ 12 -11|}{\sqrt{3^2+1^2}} = \sqrt{10} . $$

Ví dụ 8. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $ d : 5x + 3y – 5 = 0 $ và $ d’ : 5x + 3y + 8 = 0 $.

Hướng dẫn. Vì hai đường thẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa chúng chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này tới đường thẳng còn lại.

Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng $ d $, chẳng hạn $ M(1;0) $ thì khoảng cách cần tìm là \begin{align}
d(d,d’) &= d(M,d’) \\
&=\frac{|5\cdot 1+3\cdot 0+8|}{\sqrt{5^2+3^2}}\\
& = \frac{13\sqrt{34}}{34}.
\end{align}

Ví dụ 9. Tính góc giữa hai đường thẳng $ \Delta: x-3y+5=0 $ và $ \Delta’:2x-3y+7=0 $.

Hướng dẫn.
- Đường thẳng $\Delta$ có véc-tơ pháp tuyến là $ \vec{n}(1;-3) $, đường thẳng $\Delta’$ có véc-tơ pháp tuyến là $ \vec{n}'(2;-3) $ nên góc giữa hai đường thẳng có \begin{align}
  \cos(\Delta,\Delta’)&=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{n}’|}{\big|\vec{n}|\cdot|\vec{n}’\big|}\\
  &=\frac{\big|1\cdot 2+(-3)\cdot (-3)\big|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2}}\\
  &= \frac{11}{\sqrt{130}}.
  \end{align}
- Suy ra, góc giữa hai đường thẳng là $ (\Delta,\Delta’)\approx 15.26^\circ. $
4. Các dạng phương trình đường thẳng lớp 10 khác

4.1. Phương trình chính tắc của đường thẳng
- Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $ M(x_0,y_0) $ và có véc-tơ chỉ phương $ \vec{u}(a,b) $ mà $ ab\ne0 $ là $$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}$$
4.2. Phương trình đường thẳng biết hệ số góc
- Đường thẳng đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ và có hệ số góc $k$ có phương trình: $$y-y_{0}=k(x-x_{0})$$
4.3. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Nếu hai điểm $ A(x_A;y_A) $ và $ B(x_B;y_B) $ mà có $ x_B-x_A\ne 0 $ và $ y_B-y_A\ne 0 $ thì có phương trình
  $$ \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-yA} $$
4.4. PT đường thẳng cắt hai trục tọa độ
- Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại $A(a,0)$ và $B(0,b)$ có phương trình: $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$
- Phương trình này được gọi là phương trình đoạn chắn.
5. Bài tập phương trình đường thẳng lớp 10

Quý thầy cô và các em học sinh tham khảo trong bài Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
02/03/2021
ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10
ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10

1. Nội dung ôn tập đề cương học kì 2 Toán 10
- Lý thuyết và bài tập dấu nhị thức bậc nhất
- Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai
- Phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn
- Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10
- Bài tập công thức lượng giác
- Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (Phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn)
2. Bài tập trắc nghiệm ôn tập HK2 môn Toán 10

2.1. Tam thức bậc hai

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số.

A. $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right]$.

B. $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$.

C. $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$.

D. $\left[ 2;+\infty \right)$.

Câu 2: Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của $x$?

A. ${{x}^{2}}-10x+2$.
B. ${{x}^{2}}-2x-10$.
C. ${{x}^{2}}-2x+10$.
D. $-{{x}^{2}}+2x+10$

Câu 3: Giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( m-3 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-\left( m+1 \right)=0\,$ $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$
B. $m\in \left( -\infty ;\,-\frac{3}{5} \right)\cup \left( 1;\,+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$.
C. $m\in \left( -\frac{3}{5};\,1 \right)$.
D. $m\in \left( -\frac{3}{5};\,+\infty \right)$.

Câu 4: Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình ${{x}^{2}}-8x+7\ge 0$. Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của $S$?
A. $\left[ 8;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;-1 \right]$.
C. $\left( -\infty ;0 \right]$.
D. $\left[ 6;+\infty \right)$.

Câu 5: Tìm nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-5$.

A. $x=5$; $x=-1$.
B. $x=-5$; $x=-1$.
C. $x=5$; $x=1$.
D. $x=-5$; $x=1$.

Câu 6: Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-4x+5$. Tìm tất cả giá trị của $x$ để $f\left( x \right)\ge 0$.

A. $x\in \left( -\infty ;\,-1 \right]\cup \left[ 5;\,+\infty \right)$.
B. $x\in \left[ -1;\,5 \right]$.
C. $x\in \left[ -5;\,1 \right]$.
D. $x\in \left( -5;\,1 \right)$.

Câu 7: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{x}^{2}}-4>0$.

A. $S=\left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$
B. $S=\left( -2;2 \right)$
C. $S=\left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$.
D. $S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)$

Câu 8: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{x}^{2}}-4x+4>0$.

A. $S=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
B. $S=\mathbb{R}$.
C. $S=\left( 2;+\infty \right)$.
D. $S=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.

Câu 9: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x-5$ là tam thức bậc hai.
B. $f\left( x \right)=2x-4$ là tam thức bậc hai.

C. $f\left( x \right)=3{{x}^{3}}+2x-1$ là tam thức bậc hai.
D. $f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1$ là tam thức bậc hai.

Câu 10: Cho $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$, $\left( a\ne 0 \right)$ và $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$. Cho biết dấu của $\Delta $ khi $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
A. $\Delta <0$.
B. $\Delta =0$.
C. $\Delta >0$.
D. $\Delta \ge 0$.

Câu 11: Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-4<0 \\
& \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\ge 0 \\
\end{align} \right.$ có số nghiệm nguyên là

A. $2$.
B. $1$.
C. Vô số.
D. $3$.

Câu 12: Dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+5x-6$ được xác định như sau

A. $f\left( x \right)<0$ với $2<x<3$ và $f\left( x \right)>0$ với $x<2$ hoặc $x>3$.

B. $f\left( x \right)<0$ với $-3<x<-2$ và $f\left( x \right)>0$ với $x<-3$ hoặc $x>-2$.

C. $f\left( x \right)>0$ với $2<x<3$ và $f\left( x \right)<0$ với $x<2$hoặc $x>3$.

D. $f\left( x \right)>0$ với $-3<x<-2$ và $f\left( x \right)<0$ với $x<-3$ hoặc $x>-2$.

Câu 13: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2{{x}^{2}}-3x-15\le 0$ là

A. $6$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.

Câu 14: Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{{x}^{2}}+x+3}{{{x}^{2}}-4}\ge 1$. Khi đó $S\cap \left( -2;\,2 \right)$ là tập nào sau đây?

A. $\left( -2;\,-1 \right)$.
B. $\left( -1;\,2 \right)$.
C. $\varnothing $.
D. $\left( -2;\,-1 \right]$.

Câu 15: Để bất phương trình $5{{x}^{2}}-x+m\le 0$ vô nghiệm thì $m$ thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A. $m\le \frac{1}{5}$.
B. $m>\frac{1}{20}$.
C. $m\le \frac{1}{20}$.
D. $m>\frac{1}{5}$.

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}-2mx-2m+3}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

A. $4$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $5$.

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{8-x}\le x-2$ là

A. $S=\left[ 4,\,+\infty \right)$.
B. $S=\left( -\infty ;\,-1 \right)\cup \left( 4;\,8 \right)$.
C. $S=\left[ 4;\,8 \right]$.
D. $S=\left( -\infty ;\,-1 \right]\cup \left[ 4;\,+\infty \right)$.

Câu 18: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+m$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $f\left( x \right)\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}$.

A. $m\ge 1$.
B. $m>1$.
C. $m>0$.
D. $m<2$.

Câu 19: Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+m-3=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}<1$?
A. $1<m<3$.
B. $1<m<2$.
C. $m>2$.
D. $m>3$.

Câu 20: Cho phương trình $\left( m-5 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m=0$ $\left( 1 \right)$. Với giá trị nào của $m$ thì $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}<2<{{x}_{2}}$?
A. $m\ge 5$.
B. $m<\frac{8}{3}$.
C. $\frac{8}{3}<m<5$.
D. $\frac{8}{3}\le m\le 5$.
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $-{{x}^{2}}+x-m>0$ vô nghiệm.

A. $m\ge \frac{1}{4}$.
B. $m\in \mathbb{R}$.
C. $m>\frac{1}{4}$.
D. $m<\frac{1}{4}$.

Câu 22: Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+m=0$ có một nghiệm lớn hơn $1$ và một nghiệm nhỏ hơn $1$?
A. $0<m<1$.
B. $m>1$.
C. $m\in \varnothing $.
D. $\left\{ \begin{align}
& m>0 \\
& m\ne 1 \\
\end{align} \right.$.

Câu 23: Bất phương trình $\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m+3\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi

A. $m\in \left[ 1;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( 2;+\infty \right)$.
C. $m\in \left( 1;+\infty \right)$.
D. $m\in \left( -2;7 \right)$.

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$ là

A. $\left[ \begin{matrix}
x\ge 3\text{ } \\
x=2\text{ } \\
x\le -\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
B. $\left[ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x\le 0 \\
\end{matrix} \right.$.
C. $\left[ \begin{matrix}
x\ge 2\text{ } \\
x\le -\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
D. $x\in \left\{ -\frac{1}{2};0;2;3 \right\}$.

Câu 25: Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-1\le 0 \\
& x-m>0 \\
\end{align} \right.$ có nghiệm khi
A. $m>1$.
B. $m<1$.
C. $m\ne 1$.
D. $m=1$.

Câu 26: Xác định $m$ để phương trình $\left( x-1 \right)\left[ {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+4m+12 \right]=0$ có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $-1$.

A. $-\frac{7}{2}<m<-3$ và $m\ne -\frac{19}{6}$.
B. $m<-\frac{7}{2}$.
C. $-\frac{7}{2}<m<-1$ và $m\ne -\frac{16}{9}$.
D. $-\frac{7}{2}<m<3$ và $m\ne -\frac{19}{6}$.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\le 16$.
A. Không có giá trị của $m$.
B. $m\ge 2$.
C. $m\le -1$.
D. $m\le -1$ hoặc $m=2$.

Câu 28: Giải bất phương trình $\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-5}>8-2x$ có nghiệm là

A. $-5<x\le -3$.
B. $3<x\le 5$.
C. $2<x\le 3$.
D. $-3\le x\le -2$.
Câu 29: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\sqrt{(x-1)(9-3x)}$ với $1 \leqslant x \leqslant 3$ là:
A. $\sqrt{2}$
B. $0$
C. $\sqrt{3}$
D. $2$
Câu 30: Cho hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $f\left( x \right)>0$, $\forall x\in \left( 0;\,1 \right)$.
A. $m>1$.
B. $m<\frac{1}{2}$.
C. $m\ge 1$.
D. $m\ge \frac{1}{2}$.

2.2. CUNG, GÓC LƯỢNG GIÁ
C. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Góc có số đo ${{108}^{\text{o}}}$đổi ra radian là
A. $\frac{3\pi }{5}.$
B. $\frac{\pi }{10}.$
C. $\frac{3\pi }{2}.$
D. $\frac{\pi }{4}.$

Câu 2: Biết một số đo của góc $\left( Ou,Ov \right)=\frac{3\pi }{2}$. Giá trị tổng quát của góc $\left( Ou,Ov \right)$ là

A. $\left( Ou,Ov \right)=\frac{3\pi }{2}+k\pi $
B. $\left( Ou,Ov \right)=\pi +k2\pi $
C. $\left( Ou,Ov \right)=\frac{\pi }{2}+k\pi $
D. $\left( Ou,Ov \right)=\frac{-\pi }{2}+k2\pi $

Câu 3: Góc có số đo $\frac{2\pi }{5}$đổi sang độ là
A. ${{240}^{\text{o}}}$
B. ${{135}^{\text{o}}}$
C. ${{72}^{\text{o}}}$
D. ${{270}^{\text{o}}}$

Câu 4: Một đường tròn có bán kính $R=\frac{10}{\pi }\,\text{cm}$. Tìm độ dài của cung $\frac{\pi }{2}$ trên đường tròn.

A. $10\,\text{cm}$
B. $5\,\text{cm}$
C. $\frac{20}{{{\pi }^{2}}}\,\text{cm}$
D. $\frac{{{\pi }^{2}}}{20}\,\text{cm}$

Câu 5: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.

B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá $2\pi $.

C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2\pi \text{ }\!\!]\!\!\text{ }$.

D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.

Câu 6: Cho đường tròn có bán kính $6\ \text{cm}$. Tìm số đo (${rad}$) của cung có độ dài là $3\ \text{cm}$:

A. 0,5
B. 3
C. 2
D. 1

Câu 7: Xét góc lượng giác $\left( OA;OM \right)=\alpha $, trong đó $M$ là điểm không nằm trên các trục tọa độ $Ox$ và $Oy$. Khi đó $M$ thuộc góc phần tư nào để $\sin \alpha $ và $\text{cos}\alpha $ cùng dấu

A. (I) và (II)
B. (I) và (III)
C. (I) và (IV)
D. (II) và (III)

Câu 8: Cho $\alpha $ là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha <0$
B. $\cos \alpha >\text{0}$
C. $\tan \alpha <0$
D. $\cot \alpha >0$

Câu 9: Chọn điểm $A\left( 1;0 \right)$làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối $M$ của cung lượng giác có số đo $\frac{25\pi }{4}$.

A. $M$ là điểm chính giữa của cung phần tư thứ $\text{I}$.

B.$M$là điểm chính giữa của cung phần tư thứ $\text{II}$.

C. $M$ là điểm chính giữa của cung phần tư thứ $\text{III}$.

D. $M$ là điểm chính giữa của cung phần tư thứ$\text{IV}$.

Câu 10: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): $\alpha =-\frac{5\pi }{6}$, $\beta =\frac{\pi }{\text{3}}$, $\gamma =\frac{\text{25}\pi }{\text{3}}$, $\delta =\frac{\text{19}\pi }{\text{6}}$. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:

A. $\alpha $ và $\beta $; $\gamma $và $\delta $.
B. $\beta $ và $\gamma $; $\alpha $ và $\delta $.
C. $\alpha $, $\beta $, $\gamma $.
D. $\beta $, $\gamma $, $\delta $.

Câu 11: Giá trị $k$ để cung $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi $ thỏa mãn $10\pi <\alpha <11\pi $ là

A. $k=4.$
B. $k=6.$
C. $k=7.$
D. $k=5.$

Câu 12: Cung $\alpha $ có mút đầu là $A$ và mút cuối là $M$ thì số đo của $\alpha $ là

A.$\frac{3\pi }{4}+k\pi. $

B.$-\frac{3\pi }{4}+k\pi. $

C. $\frac{3\pi }{4}+k2\pi. $

D. $-\frac{3\pi }{4}+k2\pi. $

Câu 13: Nếu góc lượng giác có $s\left( Ox,Oz \right)=-\frac{63\pi }{2}$thì hai tia $Ox$ và $Oz$

A. Trùng nhau.
B. Vuông góc.
C. Tạo với nhau một góc bằng $\frac{3\pi }{4}$.
D. Đối nhau.

Câu 14: Một bánh xe có $72$ răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển $10$ răng là

A.${{30}^{\text{o}}}.$

B.${{40}^{\text{o}}}.$

C.${{50}^{\text{o}}}.$

D.${{60}^{\text{o}}}.$

Câu 15: Trong ${20}$ giây bánh xe của xe gắn máy quay được ${60}$ vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng $3$ phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng $6,5\text{ cm}$ (lấy $\pi =3,1416$).

A. $22054\text{ cm}$.
B. $22063\text{ cm}$.
C. $22054\text{ mm}$.
D. $22044\text{ cm}$

Câu 16: Cho hai góc lượng giác có sđ$\left( Ox,Ou \right)={{45}^{\text{o}}}+m{{360}^{\text{o}}},m\in \mathbb{Z}$ và sđ$\left( Ox,Ov \right)=-{{135}^{\text{o}}}+n{{360}^{\text{o}}},n\in \mathbb{Z}$. Ta có hai tia $Ou$ và $Ov$

A. Tạo với nhau góc ${{45}^{\text{o}}}$.
B. Trùng nhau.
C. Đối nhau.
D. Vuông góc.

Câu 17: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài $10,57\text{ cm}$ và kim phút dài $13,34\text{ cm}$.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:
A. $2,77\text{ cm}$
B. $2,9\text{ cm}$
C. $2,76\text{ cm}$
D. $2,8\text{ cm}$

Câu 18: Cho $\frac{3\pi }{2}<a<2\pi $. Kết quả đúng là
A. $\sin a>0$, $\cos a>0$.
B. $\sin a<0$, $cosa<0$.
C. $\sin a>0$, $cosa<0$.
D. $\sin a<0$, $cosa>0$

Câu 19: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?

A. $\cos \left( {{180}^{0}}a \right)=\cos a$.
B. $\sin \left( {{180}^{0}}a \right)=-\sin a$.
C. $\sin \left( {{180}^{0}}a \right)=-\sin a$.
D. $\sin \left( {{180}^{0}}a \right)=\cos a$.

Câu 20: Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

A. $\sin \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\cos x$.
B. $\sin \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=-\cos x$.
C. $\tan \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\cot x$.
D. $\tan \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=-\cot x$

Câu 21: Trong các giá trị sau, $\sin \alpha $ có thể nhận giá trị nào?

A. $-1,7$.
B. $\frac{2}{3}$.
C. $-\sqrt{3}$.
D. $\frac{\sqrt{10}}{3}$.

Câu 22: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$.

B. $1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\,\left( \alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \right)$.

C. $1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\ \left( \alpha \ne k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \right)$.

D. $\tan \alpha +\cot \alpha =1\,\left( \alpha \ne \frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z} \right)$.

Câu 23: Cho biết $\tan \alpha =\frac{1}{5}$. Tính $\cot \alpha $

A. $\cot \alpha =5$.
B. $\cot \alpha =\frac{1}{25}$.
C. $\cot \alpha =\frac{1}{5}$.
D. $\cot \alpha =\sqrt{5}$

Câu 24: Đơn giản biểu thức $A=\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\sin \left( \pi -\alpha \right)-\cos \left( \pi -\alpha \right)$, ta có:

A. $A=2\sin a$.
B. $A=2\cos a$.
C. $A=\sin a\cos a$.
D. $A=0$.

Câu 25: Đơn giản biểu thức $A=\left( 1{{\cos }^{2}}x \right).{{\tan }^{2}}x+\left( 1{{\tan }^{2}}x \right),$ ta có

A. $A={{\sin }^{2}}x$.
B. $A={{\cos }^{2}}x$.
C. $A={{\sin }^{2}}x$.
D. $A=co{{s}^{2}}x$.

Câu 26: Cho $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $. Giá trị của $\text{cos}\alpha $ là:
A. $\frac{3}{5}$.
B. $-\frac{3}{5}$.
C. $\pm \frac{3}{5}$
D. $\frac{9}{25}$.

Câu 27: Cho $\tan \alpha =2$. Giá trị của $A=\frac{5\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -3\cos \alpha }$ là:
A. $5$.
B. $\frac{5}{3}$.
C. $-11$.
D. $\frac{-1}{3}$.

Câu 28: Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?

A. $\sin \alpha =1$ và $\cos \alpha =1$.
B. $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ và $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ và $\text{cos}\alpha =-\frac{1}{2}$.
D. $\sin \alpha =\sqrt{3}$ và $\cos \alpha =0$.

Câu 29: Cho $\cos \alpha =\frac{4}{5}$ với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Tính $\sin \alpha $.
A. $\sin \alpha =\frac{1}{5}$.
B. $\sin \alpha =-\frac{1}{5}$
C. $\sin \alpha =\frac{3}{5}$
D. $\sin \alpha =\pm \frac{3}{5}$.

Câu 30: Đơn giản biểu thức $A\text{ }=\frac{2{{\cos }^{2}}x-1}{\sin x-\cos x}$ ta có

A. $A=\cos x+\sin x$.
B. $A=\cos x\sin x$.
C. $A=\sin x\cos x$.
D. $A=-\sin x\cos x$.

Câu 31: Tính $\alpha $ biết $\cos \alpha =-1$

A. $\alpha =k\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
B. $\alpha =k2\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
C. $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
D. $\alpha =-\pi +k2\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.

Câu 32: Biết $\tan \alpha =2$ và ${{180}^{\circ }}<\alpha <{{270}^{\circ }}$. Giá trị $\cos \alpha +\sin \alpha $ bằng
A. $-\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
B. $1\sqrt{5}$.
C. $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
D. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Câu 33: Giá trị của $A={{\cos }^{2}}\frac{\pi }{8}+{{\cos }^{2}}\frac{3\pi }{8}+{{\cos }^{2}}\frac{5\pi }{8}+{{\cos }^{2}}\frac{7\pi }{8}$ bằng
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$
D. $-1$.

Câu 34: Biểu thức $D={{\cos }^{2}}x.co{{t}^{2}}x+4{{\cos }^{2}}xco{{t}^{2}}x+3{{\sin }^{2}}x$ không phụ thuộc $x$ và bằng
A. 2.
B. $2$.
C. 3.
D. $3$.

Câu 35: Biết $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?
A. $\sin \alpha. \cos \alpha =\frac{1}{8}$.
B. $\sin \alpha -\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
C. ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{5}{4}$.
D. ${{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha =62$.

Câu 36: Tính giá trị của biểu thức $A={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$.
A. $A=1$.
B. $A=1$.
C. $A=4$.
D. $A=4$.

Câu 37: Biểu thức $A=\frac{{{\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)}^{2}}}{4{{\tan }^{2}}x}-\frac{1}{4{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}$ không phụ thuộc vào $x$ và bằng
A. $1$.
B. $1$.
C. $\frac{1}{4}$.
D. $-\frac{1}{4}$.

Câu 38: Biểu thức $C=2{{\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}\left( {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x \right)$ có giá trị không đổi và bằng
A. $2$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $1$.

Câu 39: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. $\cot 2x=\frac{{{\cot }^{2}}x-1}{2\cot x}$.
B. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1+{{\tan }^{2}}x}$.
C. $\cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3\cos x$.
D. $\sin 3x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x$

Câu 40: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. $\cos 2a={{\cos }^{2}}a{{\sin }^{2}}a.$
B. $\cos 2a={{\cos }^{2}}a+{{\sin }^{2}}a.$
C. $\cos 2a=2{{\cos }^{2}}a1.$
D. $\cos 2a=12{{\sin }^{2}}a.$

Câu 41: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. $\cos \left( ab \right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b.$
B. $\cos \left( a+b \right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b.$
C. $\sin \left( ab \right)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b.$
D. $\sin \left( a+b \right)=\sin a.\cos b-\cos. \sin b.$

Câu 42: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. $\tan \left( a-b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.$
B. $\tan \left( ab \right)=\tan a-\tan b.$
C. $\tan \left( a+b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.$
D. $\tan \left( a+b \right)=\tan a+\tan b.$

Câu 43: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( ab \right)+\cos \left( a+b \right) \right].$
B. $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( ab \right)\cos \left( a+b \right) \right].$
C. $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( ab \right)+\sin \left( a+b \right) \right].$
D. $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( a-b \right)-\cos \left( a+b \right) \right].$

Câu 44: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}.$

B. $\cos a\cos b=2\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}.$

C. $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}.$

D. $\sin a\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}.$

Câu 45: Rút gọn biểu thức: $\sin \left( a17{}^\circ \right).\cos \left( a+13{}^\circ \right)\sin \left( a+13{}^\circ \right).\cos \left( a17{}^\circ \right)$, ta được:
A. $\sin 2a.$
B. $\cos 2a.$
C. $-\frac{1}{2}.$
D. $\frac{1}{2}.$

Câu 46: Giá trị đúng của $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}$ bằng:
A. $2\left( \sqrt{6}-\sqrt{3} \right).$
B. $2\left( \sqrt{6}+\sqrt{3} \right).$
C. $2\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right).$
D. $2\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right).$

Câu 47: Rút gọn biểu thức $\cos 54{}^\circ. \cos 4{}^\circ \cos 36{}^\circ. \cos 86{}^\circ $, ta được:
A. $\cos 50{}^\circ. $
B. $\cos 58{}^\circ. $
C. $\sin 50{}^\circ. $
D. $\sin 58{}^\circ. $

Câu 48: Cho $x,\text{ }y$ là các góc nhọn, $\cot x=\frac{3}{4}$, $\cot y=\frac{1}{7}$. Tổng $x+y$ bằng:
A. $\frac{\pi }{4}.$
B. $\frac{3\pi }{4}.$
C. $\frac{\pi }{3}.$
D. $\pi. $

Câu 49: Biểu thức $A={{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)$ không phụ thuộc $x$ và bằng:
A. $\frac{3}{4}.$
B. $\frac{4}{3}.$
C. $\frac{3}{2}.$
D. $\frac{2}{3}.$

Câu 50: Cho $A$, $B$ , $C$ là ba góc của một tam giá
C. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.
A. $\cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}.$
B. $\cos \left( A+B+2C \right)=\cos C.$
C. $\sin \left( A+C \right)=\sin B.$
D. $\cos \left( A+B \right)=\cos C.$

Câu 51: Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$
A. $A=\tan 6x.$
B. $A=\tan 3x.$
C. $A=\tan 2x.$
D. $A=\tan x+\tan 2x+\tan 3x.$

Câu 52: Rút gọn biểu thức: $\cos \left( 120{}^\circ \text{ }x \right)+\cos \left( 120{}^\circ +\text{ }x \right)\cos x$ ta được kết quả là
A. $0.$
B. $\cos x.$
C. $2\cos x.$
D. $\sin x\cos x.$

Câu 53: Cho $\cos a=\frac{3}{4}$; $\sin a>0$; $\sin b=\frac{3}{5}$; $\cos b<0$. Giá trị của $\cos \left( a+b \right).$ bằng:

A. $\frac{3}{5}\left( 1+\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$
B. $-\frac{3}{5}\left( 1+\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$
C. $\frac{3}{5}\left( 1-\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$
D. $-\frac{3}{5}\left( 1-\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$

Câu 54: Biểu thức $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}$ bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa)

A. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\sin a+\sin b}{\sin a-\sin b}.$
B. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\sin a-\sin b}{\sin a+\sin b}.$

C. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}.$
D. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\cot a+\cot b}{\cot a-\cot b}.$

Câu 55: Giá trị đúng của $\cos \frac{2k\pi }{7}+\cos \frac{4k\pi }{7}+\cos \frac{6k\pi }{7}$ ( k℃∈Z) bằng:
A. $\frac{1}{2}.$
B. $-\frac{1}{2}.$
C. $\frac{1}{4}.$
D. $-\frac{1}{4}.$

Câu 56: Cho $A$, $B$, $C$ là các góc nhọn và $\tan A=\frac{1}{2}$, $\tan B=\frac{1}{5}$, $\tan C=\frac{1}{8}$. Tổng $A+B+C$ bằng:

A. $\frac{\pi }{6}.$
B. $\frac{\pi }{5}.$
C. $\frac{\pi }{4}.$
D. $\frac{\pi }{3}.$

Câu 57: Cho $\cot a=15$, giá trị $\sin 2a$ có thể nhận giá trị nào dưới đây:
A. $\frac{11}{113}.$
B. $\frac{13}{113}.$
C. $\frac{15}{113}.$
D. $\frac{17}{113}.$

Câu 58: Cho $A$, $B$, $C$ là ba góc của một tam giá
C. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

A. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=1+\cos A.\cos B.\cos C.$
B. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=1\cos A.\cos B.\cos C.$

C. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=1+2\cos A.\cos B.\cos C.$
D. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=12\cos A.\cos B.\cos C.$

Câu 59: Biểu thức $A=\frac{2{{\cos }^{2}}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{{\sin }^{2}}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$ có kết quả rút gọn là:

A. $\frac{\cos \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}{\cos \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}.$
B. $\frac{\cos \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}{\cos \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}.$
C. $\frac{\sin \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}{\sin \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}.$
D. $\frac{\sin \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}{\sin \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}.$

Câu 60: Nếu $5\sin \alpha =3\sin \left( \alpha +2\beta \right)$ thì:

A. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=2\tan \beta. $
B. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=3\tan \beta. $
C. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=4\tan \beta. $
D. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=5\tan \beta. $

2.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH)

Câu 1: Tìm côsin góc giữa $2$ đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$: $10x+5y-1=0$và ${{\Delta }_{2}}$: $\left\{ \begin{align}
& x=2+t \\ & y=1-t \\ \end{align} \right.$.
A. $\frac{3}{10}$.
B. $\frac{\sqrt{10}}{10}.$
C. $\frac{3\sqrt{10}}{10}.$
D. $\frac{3}{5}.$

Câu 2: Khoảng cách từ điểm $M\left( 15;1 \right)$đến đường thẳng $\Delta: \left\{ \begin{align}
& x=2+3t \\ & y=t \\ \end{align} \right.$ là
A. $\sqrt{5}$.
B. $\frac{1}{\sqrt{10}}$.
C. $\sqrt{10}$.
D. $\frac{16}{\sqrt{5}}$

Câu 3: Có hai giá trị ${{m}_{1}},\,\,{{m}_{2}}$ để đường thẳng $mx+y-3=0$ hợp với đường thẳng $x+y=0$ một góc $60{}^\circ $.Tổng ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}$ bằng
A. $-3.$
B. $3.$
C. $4.$
D. $-4.$

Câu 4: Tìm tọa độ điểm $M$nằm trên trục $Ox$và cách đều $2$đường thẳng: ${{\Delta }_{1}}: 3x-2y-6=0$ và ${{\Delta }_{2}}: 3x-2y+3=0$

A. $\left( 0;\sqrt{2} \right)$.
B. $\left( \frac{1}{2};0 \right)$.
C. $\left( 1;0 \right)$.
D. $\left( \sqrt{2};0 \right)$.

Câu 5: Tính chiều cao tương ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ biết $A\left( 1;2 \right)$, $C\left( 4;0 \right)$, $B\left( 0;3 \right)$

A. $3$.
B. $\frac{1}{5}$.
C. $\frac{1}{25}$.
D. $\frac{3}{5}$.

Câu 6: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}: 5x-7y+4=0$ và ${{\Delta }_{2}}: 5x-7y+6=0$ là

A. $\frac{4}{\sqrt{74}}$.
B. $\frac{6}{\sqrt{74}}$.
C. $\frac{2}{\sqrt{74}}$.
D. $\frac{10}{\sqrt{74}}$.

Câu 7: Cho đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 2;2 \right)$, $B\left( 5;1 \right)$. Tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $\Delta: x-2y+8=0$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $17$.

A. $C\left( 12;10 \right)$ và$C\left( -\frac{76}{5};-\frac{18}{5} \right)$
B. $C\left( -12;10 \right)$.
C. $C\left( -4;2 \right)$.
D. $C\left( \frac{1}{5};\frac{41}{10} \right)$.

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$$\Delta ABC$có đỉnh $A\left( 2;-3 \right),$$B\left( 3;-2 \right)$ và diện tích $\Delta ABC$bằng $\frac{3}{2}$. Biết trọng tâm $G$của $\Delta ABC$ thuộc đường thẳng $
D. 3x-y-8=0$. Tìm tọa độ điểm $C$.

A. $C\left( 1;-1 \right)$và $C\left( 4;8 \right)$.
B. $C\left( 1;-1 \right)$và $C\left( -2;10 \right)$.
C. $C\left( -1;1 \right)$và $C\left( -2;10 \right)$.
D. $C\left( -1;1 \right)$và $C\left( 2;-10 \right)$.

Câu 9: Cho hai điểm $A\left( 3;2 \right)$, $B\left( -2;2 \right)$. Tìm phương trình đường thẳng đi qua $A$ và cách $B$ một khoảng bằng $3$là:

A. $3x+4y-17=0$ và $3x+7y-23=0$.
B. $x+2y-7=0$và $3x-7y+5=0$

C. $3x-4y-1=0$và $3x-7y+5=0$
D. $3x+4y-17=0$.và $3x-4y-1=0$

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}: 2x-y-2=0$ và ${{d}_{2}}: 2x+4y-7=0$. Viết phương trình đường thẳng qua điểm $P\left( 3;1 \right)$ cùng với ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$

A. $\left[ \begin{align}
&
D. 3x+y-10=0 \\
&
D. x+3y=0 \\
\end{align} \right.$.
B. $\left[ \begin{align}
&
D. 3x-y-10=0 \\
&
D. x-3y=0 \\
\end{align} \right.$.
C. $\left[ \begin{align}
&
D. 2x+y-7=0 \\
&
D. x-2y-1=0 \\
\end{align} \right.$.
D. $\left[ \begin{align}
&
D. 3x+y-10=0 \\
&
D. x-3y=0 \\
\end{align} \right.$.

2.4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y-4=0$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của $\left( C \right)$ lần lượt là

A. $I\left( 1;\,2 \right)$, $R=1$.
B. $I\left( 1;\,-2 \right)$, $R=3$.
C. $I\left( -1;\,-2 \right)$, $R=3$.
D. $I\left( 2;\,-4 \right)$, $R=9$.

Câu 2: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn nào sau đây đi qua điểm$A\left( 4;-2 \right)$?

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-20=0$.
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+7y-8=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y+9=0$.
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+6y=0$.

Câu 3: Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn?

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y+4=0$.
B. ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}+4x-6y-2=0$.
C. ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2x+4y-1=0$.
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-1=0$.

Câu 4: Cho đường tròn $\left( C \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+1=0$. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;\,-2 \right)$.
B. $\left( C \right)$ đi qua $M\left( 1;\,0 \right)$.
C. $\left( C \right)$ đi qua $A\left( 1;\,1 \right)$.
D. $\left( C \right)$ có bán kính $R=2$.

Câu 5: Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm thuộc đường thẳng $
D. \left\{ \begin{align}
& x=1+2t \\
& y=3-t \\
\end{align} \right.$ và đi qua hai điểm $A\left( 1;1 \right)$ và $B\left( 0;-2 \right)$. Tính bán kính đường tròn $\left( C \right)$
A. $R=\sqrt{565}$.
B. $R=\sqrt{10}$.
C. $R=2$.
D. $R=25$.

Câu 6: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right): {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=10$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( 4;4 \right)$ là
A. $x+3y-16=0$.
B. $x+3y-4=0$.
C. $x-3y+5=0$.
D. $x-3y+16=0$.

Câu 7: Cho đường tròn $\left( C \right): \,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=10$ và đường thẳng $\Delta: x+y+1=0$ biết đường thẳng $\Delta $ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng
A. $\frac{19}{2}$.
B. $\sqrt{38}$.
C. $\frac{\sqrt{19}}{2}$.
D. $\frac{\sqrt{38}}{2}$.

Câu 8: Cho đường tròn $\left( C \right): {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=10$ và đường thẳng $\Delta: x+3y+m+1=0$. Đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$ khi và chỉ khi

A. $m=1$ hoặc $m=-19$.
B. $m=-3$ hoặc $m=17$.
C. $m=-1$ hoặc $m=19$.
D. $m=3$ hoặc $m=-17$.

Câu 9: Cho đường tròn $\left( C \right): \,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ và đường thẳng $
D. \,x+y+1=0$. Tìm tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng $
D. và cắt đường tròn $\left( C \right)$ theo dây cung có độ dài bằng $2$.

A. $x+y+4=0$ và $x+y-4=0$.
B. $x+y+2=0$.
C. $x+y+4=0$.
D. $x+y+2=0$ và $x+y-2=0$.

Câu 10: Cho đường tròn $\left( C \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-2y+5=0$ và điểm $A\left( -4;2 \right)$. Đường thẳng $
D. qua $A$ cắt $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $M$, $N$ sao cho $A$ là trung điểm của $MN$ có phương trình là

A. $x-y+6=0$.
B. $7x-3y+34=0$.
C. $7x-y+30=0$.
D. $7x-y+35=0$

2.5. ĐƯỜNG ELIP

Câu 1: Trong các phương trình sau,phương trình nào là phương trình chính tắc của elip:

A. $4x{}^\text{2}+8y{}^\text{2}=32$.
B. $\frac{x{}^\text{2}}{\frac{1}{8}}+\frac{y{}^\text{2}}{\frac{1}{4}}=1$.
C. $\frac{x{}^\text{2}}{64}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=-1$.
D. $\frac{x{}^\text{2}}{8}-\frac{y{}^\text{2}}{4}=1$.

Câu 2: Elip $(E)$ có độ dài trục bé bằng $8$ và độ dài trục lớn bằng $12$ có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x{}^\text{2}}{36}-\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.
B. $\frac{x{}^\text{2}}{36}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.
C. $\frac{x{}^\text{2}}{36}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=-1$.
D. $\frac{x{}^\text{2}}{144}+\frac{y{}^\text{2}}{64}=1$.

Câu 3: Đường Elip $\left( E \right): \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{6}=1$ có một tiêu điểm là:

A. $\left( 0;3 \right)$.
B. $(0\ ;\ \sqrt{3)}$.
C. $(-\sqrt{3};0)$.
D. $\left( 3;0 \right)$.

Câu 4: Phương trình chính tắc của elip đi qua $A\left( 0;\,-4 \right)$ và có tiêu điểm $F\left( 3;\,0 \right)$ là:

A. $\frac{x{}^\text{2}}{25}-\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.
B. $\frac{x{}^\text{2}}{13}+\frac{y{}^\text{2}}{4}=1$.
C. $\frac{x{}^\text{2}}{5}+\frac{y{}^\text{2}}{4}=1$.
D. $\frac{x{}^\text{2}}{25}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.

Câu 5: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng $4\sqrt{3}$

A. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{24}=1$.
C. $\frac{{{x}^{2}}}{24}+\frac{{{y}^{2}}}{6}=1$.
D. $\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$.

Câu 6: Cho elip có phương trình $16{{x}^{2}}+\text{ }25{{y}^{2}}=\text{ }100$. Tính tổng khoảng cách từ điểm $M$ thuộc elip có hoành độ bằng $2$ đến hai tiêu điểm.
A. $\sqrt{3}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. $5$.
D. $4\sqrt{3}.$

Câu 7: Trong mặt phẳng ${Oxy}$,cho (E) có hai tiêu điểm F_1 (-4;0); F_2 (4;0) và đi qua điểm A(0;3). Điểm $M$ nào sau đây thuộc (E) thỏa$M{{F}_{1}}=3M{{F}_{2}}$.

A. $M\left( -\frac{25}{8};\frac{\sqrt{551}}{8} \right)$.
B. $M\left( \frac{25}{8};\frac{\sqrt{551}}{8} \right)$.
C. $M\left( -\frac{25}{8};-\frac{\sqrt{551}}{8} \right)$.
D. $M\left( \frac{25}{4};\frac{\sqrt{551}}{4} \right)$.

Câu 8: Cho $\left( E \right): \frac{{{x}^{2}}}{20}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1$. Một đường thẳng đi qua điểm $A\left( 2;2 \right)$ và song song với trục hoành cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N$. Tính độ dài $MN$.
A. $3\sqrt{5}.$
B. $15\sqrt{2}.$
C. $2\sqrt{15}.$
D. $5\sqrt{3}.$

Câu 9: Lập phương trình chính tắc của elip $\left( E \right),$ biết đi qua điểm $M\left( \frac{3}{\sqrt{5}};\frac{4}{\sqrt{5}} \right)$ và $\Delta M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$ vuông tại $M$.

A. $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1$.
C. $\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.
D. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ${Oxy}$ cho elíp $\left( E \right): \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ và hai điểm $A\left( -3;2 \right)$,$B\left( -3;-2 \right)$ Tìm trên $\left( E \right)$ điểm $C$ sao cho tam giác ${ABC}$ có diện tích lớn nhất.

A. $C\left( 0;3 \right)$.
B. $C\left( 0;2 \right)$.
C. $C\left( 3;0 \right)$.
D. $C\left( 2;0 \right)$.

3. BÀI TẬP TỰ LUẬN ÔN TẬP HỌC KÌ 2 TOÁN 10

Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1. $\left\{ \begin{align} & \frac{5x+2}{3}\ge 4-x \\ & \frac{6-5x}{13}<3x+1 \\ \end{align} \right.$
2. $\left\{ \begin{align} & x-1\le 2x-3 \\ & 3x<x+5 \\ & \frac{5-3x}{2}\le x-3 \\ \end{align} \right.$
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
1. $\left( 2-x \right)\left( 2{{x}^{2}}-5x+2 \right)\ge 0$
2. $\frac{{{x}^{2}}+3x-1}{2-x}>-x$
3. $\left| x+1 \right|\le \left| x \right|-x+2$
4. $\frac{3-3x}{15-2x-{{x}^{2}}}\ge 1$
Bài 3: Tìm giá trị của tham số để phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$:
1. $mx^2 –10x –5 < 0$
2. $(m + 1)x^2 –2(m – 1)x +3m – 3\ge 0$
Bài 4: Tìm giá trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm:
- $5x^2 – x + m \le 0$
- $mx^2 -10x -5 \ge 0$
Bài 5: Cho phương trình: $(m-5){{x}^{2}}-4mx+m-2=0$ với giá nào của $m$ thì
- Phương trình có nghiệm?
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu?
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt?
- Có hai nghiệm dương phân biệt?
Bài 6: Với giá trị nào của $m$ thì hệ sau có nghiệm: $$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-9x+20\le 0 \\ & 3x-2m>0 \\
\end{align} \right.$
$\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-5x+4>0 \\
& m-2x\ge 0 \\
\end{align} \right.$$

Bài 7: Giải các phương trình và bất phương trình sau
1. $\sqrt{{{x}^{2}}+3x+2}={{x}^{2}}+3x-4$
2. $\sqrt{{{x}^{2}}-4x}<x-3$ $c)|x+1|+|x+3|=x+4$
3. $\sqrt{{{x}^{2}}-2x-15}=x-3$
4. $\frac{2}{2x_{{}}^{2}-5x+3}>\frac{1}{x_{{}}^{2}-9}$
5. $\frac{x_{{}}^{2}-4x+3}{3-2x}<1-x$
6. $\sqrt{3{{x}^{2}}+24x+22}\ge 2x+1$
Bài 8:
1. Cho $cosx =\frac{-3}{5}$ và $180^\circ < x < 270^\circ$. Tính giá trị của $\sin x, \tan x, \cot x$.
2. Cho $tan \alpha=\frac{3}{4}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính $\cot\alpha \sin\alpha $ và $\cos\alpha $.
Bài 9. Cho $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Xét dấu các biểu thức sau:
1. $\cos (\alpha +\pi )$
2. $\tan(\alpha +\pi )$
3. $\sin\left( \alpha +\frac{2\pi }{5} \right)$
Bài 10. Rút gọn các biểu thức:
- $A=\frac{1-2{{\cos }^{2}}x}{\sin x-\cos x}$
- $B=\sqrt{{{\sin }^{2}}x(1+\cot x)+{{\cos }^{2}}(1+\tan x)}$
Bài 11. Tính giá trị của biểu thức:
- $A=\frac{\cot \alpha +\tan \alpha }{\cot \alpha -\tan \alpha }$ biết $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $0 < \alpha <\frac{\pi }{2}$.
- Cho $\tan \alpha =3$. Tính $\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{4\sin \alpha -5\cos \alpha }$; $\frac{3\sin \alpha -2\cos \alpha }{5{{\sin }^{3}}\alpha +4{{\cos }^{3}}\alpha }$.
Bài 12. Chứng minh các đẳng thức sau:
1. $\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}$
2. $\sin4x+\cos4x=1-2\sin2x\cos2x$
3. $\frac{1}{\cos x}-\frac{\cos x}{1+\sin x}=\tan x$
4. $\sin6x + \cos6x = 1 – 3\sin2x\cos2x$
5. $\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}={{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x$
6. $\frac{1+{{\sin }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x}=1+2{{\tan }^{2}}x$
Bài 13. Tính $\cos \left( \frac{\pi }{3}-\alpha \right)$ nếu $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $.

Bài 14. Chứng minh rằng:
1. $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)$
2. $\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\tan \left( \frac{\pi }{4}+x \right)$
Bài 15. Tính giá trị của các biểu thức
- $A=\sin \frac{\pi }{24}.\cos \frac{\pi }{24}.\cos \frac{\pi }{12}.\cos \frac{\pi }{6}$
- $B=2{{\cos }^{2}}{{75}^{0}}-1$
- $C=\left( \cos {{15}^{0}}-\sin {{15}^{0}} \right).\left( \cos {{15}^{0}}+\sin {{15}^{0}} \right)$
Bài 16. Rút gon biểu thức:
- $A=\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }$
- $B=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha }{1-{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}}$
- $\frac{1+\cos \alpha -\sin \alpha }{1-\cos \alpha -\sin \alpha }$
Bài 17. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $\alpha ,\beta $:
1. $\sin 6\alpha. \cot 3\alpha -\cos 6\alpha $
2. $(\tan \alpha -\tan \beta )\cot (\alpha -\beta )-\tan \alpha. \tan \beta $
3. $\left( \cot \frac{\alpha }{3}-\tan \frac{\alpha }{3} \right).\tan \frac{2\alpha }{3}$
Bài 18. Cho biết trung điểm ba cạnh của một tam giác là $M1(2; 1); M2 (5; 3); M3 (3; -4)$. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng chứa mỗi cạnh của tam giác đó.

Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác với $M (-1; 1)$ là trung điểm của một cạnh, hai cạnh kia có phương trình là: $x + y -2 = 0$ và $2x + 6y +3 = 0$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.

Bài 20. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ trong các trường hợp sau:
- $d$ đi qua điểm $M (1; -2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: 3x + y = 0$
- $d$ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng $\left\{ \begin{align} & x=2-5t \\ & y=1+t \\ \end{align} \right.$
Bài 21. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
- $d_1: 2x – 5y +6 = 0$ và $d_2: – x + y – 3 = 0$
- $d_1: \left\{ \begin{align} & x=-1-5t \\ & y=2+4t \\ \end{align} \right.$ và $d_2: \left\{ \begin{align}
  & x=-6+5u \\ & y=2-4u \\ \end{align} \right.$
- $d_1: 8x + 10y – 12 = 0$ và $d_2: \left\{ \begin{align} & x=-6+5t \\
  & y=6-4t \\ \end{align} \right.$
Bài 22. Cho điểm $M(1; 2)$ và đường thẳng $d: 2x – 6y + 3 = 0$. Viết ptrình đường thẳng $d’$ đi qua $M$ và tạo với $d$ một góc $45^\circ$.

Bài 23. Cho hai điểm $M(2; 5)$ và $N(5; 1)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và cách điểm $N$ một khoảng bằng $3$.

Bài 24. Cho đường thẳng $\Delta: 2x – y – 1 = 0$ và điểm $M(1; 2)$.
1. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta’) $ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $.
2. Tìm tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên $\Delta $.
3. Tìm điểm $M’$ đối xứng với $M$ qua $\Delta $.
Bài 25. Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{align} & x=2+2t \\ & y=3+t \\
\end{align} \right.$
- Tìm điểm $M$ nằm trên $\Delta $ và cách điểm $A(0 ;1)$ một khoảng bằng $5$.
- Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta $ với đường thẳng $x + y + 1 = 0$.
- Tìm điểm $M$ trên $\Delta $ sao cho $AM$ là ngắn nhất.
Bài 26. Cho phương trình $$x^2 + y2 – 2mx – 2(m- 1)y + 5 = 0 $$ với $m$ là tham số. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình trên là phương trình đường tròn? Khi đó hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn theo $m$.

Bài 27. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $A(2; 0); B(0; – 1)$ và $C(- 3; 1)$.

Bài 28. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta: \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-2+t \\ \end{align} \right.$ và đường tròn $(C): (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 16$.

Bài 29. Viết phương trình đường tròn đi qua $A(1; 1), B(0; 4)$ và có tâm thuộc đường thẳng $d: x – y – 2 = 0$.

Bài 30. Viết phương trình đường tròn đi qua $A(2; 1), B(-4;1)$ và có bán kính $R=10$.

Bài 31. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn $(C ): {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=13$ tại điểm $M$ thuộc đường tròn có hoành độ bằng 2.

Bài 32. Cho đường tròn $(C): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+6y+5=0$ và đường thẳng $d: 2x + y – 1 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ biết $\Delta $ song song với $d$. Tìm tọa độ tiếp điểm.

Bài 33. Cho đường tròn $(C): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0$ và điểm $A(1; 3)$.
- Chứng minh rằng $A$ nằm ngoài đường tròn $(C).$
- Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ kẻ từ $A$.
- Viết phương trình tiếp tuyến của $(C )$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d: 3x – 4y + 1 = 0$.
27/02/2021
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ HÀM SỐ BẬC 2 BẰNG MÁY TÍNH CASIO
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ HÀM SỐ BẬC 2 BẰNG MÁY TÍNH CASIO

Hướng dẫn cách tìm các hệ số $a,b,c$ của hàm số hậc hai $y=ax^2+bx+c$ bằng máy tính biết parabol đi qua 3 điểm có tọa độ cụ thể cho trước.

MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT

Xem thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 Xuân Trường B năm 2020

Phương pháp xác định hệ số hàm số bậc 2 bằng máy tính

https://www.youtube.com/watch?v=q_sXAtPfm3M&feature=emb_logo

Phương pháp nhanh lập phương trình parabol đi qua ba điểm bằng máy tính CASIO fx 580 VNX hoặc máy tính VINACAL
- Toán 10 lập phương trình hàm số bậc hai biết parabol đi qua ba điem có tọa độ cho trước. (Tìm phương trình parabol đi qua 3 điểm bằng máy tính cầm tay CASIO, VINACAL)
- Xác định tìm phương trình của parabol biết tọa độ đỉnh, trục đối xứng và tọa độ một điểm đi qua.
- Hướng dẫn giải đề thi thử đại học THPTQG môn toán năm 2021 trường Lương Thế Vinh Hà Nội và Trần Phú Hà Tĩnh
- Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật đi được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
- Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8m. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M,N nằm trên Parbol và hai đỉnh P,Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho 1 m2 cần số tiền mua hoa là 200.000 đồng cho 1 m2 . Biết MN = 4m,MQ = 6m. Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?
  - A. 3.735.300 đồng.
  - B. 3.437.300 đồng.
  - C. 3.734.300 đồng.
  - D. 3.733.300 đồng.
Ở bài viết xác định nhanh các hệ số hàm số bậc 2 trên casio fx 580vnx ta đã biết cách sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 580VNX để tìm các hệ số của một hàm số bậc 2, mời các bạn cùng thực hành thao tác trên máy tính với bài toán tương tự trích trong một đề thi học kỳ.
22/01/2021
So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai
So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

Để so sánh một số với hai nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.

1. So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

Cho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c $, với $ a\ne 0 $, có hai nghiệm phân biệt $ x_1<x_2 $ và một số $ \alpha$. Khi đó, ta có các kết quả sau

1.1. Số α nằm trong khoảng hai nghiệm
- Số $\alpha$ nằm giữa hai nghiệm, tức là $ x_1<\alpha<x_2 $ điều kiện cần và đủ là $$a\cdot f(\alpha)<0$$
1.2. Số α nằm ngoài khoảng hai nghiệm
- Số $\alpha$ nằm về bên trái hai nghiệm $x_1,x_2$ (nói cách khác, số $\alpha$ bé hơn hai nghiệm), tức là $ \alpha<x_1<x_2$ điều kiện cần và đủ là $$\begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \alpha<\frac{S}{2} \end{cases}$$
- Số $\alpha$ nằm về bên phải hai nghiệm $x_1,x_2$, (nói cách khác, số $\alpha$ lớn hơn hai nghiệm)tức là $ x_1<x_2<\alpha$ điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases}
  \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \frac{S}{2}<\alpha \end{cases}$$
1.3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0

Đặc biệt, khi $\alpha=0$ chúng ta có các bài toán:
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: Tức là $x_1<0<x_2$, khi đó $f(\alpha) = f(0) =c$ nên điều kiện cần và đủ là $$ac<0$$
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}>0\end{cases}$$
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}<0\end{cases}$$
Đôi khi, người ta còn đặt tổng 2 nghiệm là $x_1+x_2=S=-\frac{b}{a}$, tích hai nghiệm là $x_1 x_2=P=\frac{c}{a}$ thì các điều kiện trên trở thành:
- Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P<0$.
- Phương trình bậc 2 có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\end{cases}$$
- Phương trình bậc 2 có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S>0\end{cases}$$
- Phương trình bậc 2 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S<0\end{cases}$$
2. So sánh nghiệm với hai số cho trước α < β
- Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )<0 \\ \end{align} \right.$
- Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )>0 \\ \end{align} \right.$
- Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn $\alpha <{{x}_{1}}<\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & af(\alpha )>0 \\ & af(\beta )<0 \\ \end{align} \right.$
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc khoảng $(\alpha;\beta)$ khi và chỉ khi $$f(\alpha).f(\beta) < 0$$
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt và $\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta >0 \\ & af(\alpha )>0 \\ & af(\beta )>0 \\ & \frac{S}{2}-\alpha >0 \\ & \frac{S}{2}-\beta <0 \\ \end{align} \right.$
3. Ví dụ về so sánh nghiệm phương trình bậc hai với một số

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình: ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$
- Có hai nghiệm trái dấu;
- Có hai nghiệm cùng lớn hơn $1$.
Hướng dẫn.
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $$P=\frac{c}{a}=m+2<0\Leftrightarrow m<-2$$
  Vậy $m<-2$ là giá trị cần tìm.
- Phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ cùng lớn hơn 1 khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ a.f(1)>0\\
  {-b}{2a}>0 \end{cases} $$ Giải hệ này ta tìm được đáp số $2\leqslant m<3$.
Cách khác, không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, mà chúng ta sử dụng định lí Viète:
- Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ khi và chỉ khi $$\Delta’={{m}^{2}}-m-2\geqslant 0\Leftrightarrow m\in (-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$$
- Khi đó, cả hai nghiệm của phương trình đều lớn hơn $ 1$, tức là $ x_1-1>0$ và $ x_2-1>0$. Do đó, chúng ta có \begin{align*}
  \begin{cases} x_1-1>0\\ x_2-1>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x_1-1)(x_2-1)>0\\ (x_1-1)+(x_2-1)>0
  \end{cases}\end{align*}
- Nhân ra và sử dụng Viète, thay $ x_1x_2=m+2$ và $ x_1+x_2=2m$ chúng ta được hệ \begin{align}
  \begin{cases} m+2-2m+1>0\\2m-2>0 \end{cases} \Leftrightarrow 1<m<3 \end{align}
  Kết hợp với điều kiện ta có $2\leqslant m<3$ là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho phương trình $ {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0$. Tìm $ m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ thoả mãn $ {x1} < 1 < {x_2}.$
Hướng dẫn. Đặt $ f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}$. Yêu cầu bài toán tương đương với
$$ af\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow 1 \cdot f\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow {1^2} + 2m – 3{m^2} < 0 \Leftrightarrow – 3{m^2} + 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < – \frac{1}{3} \end{array} \right. $$.

Ví dụ 3. Cho phương trình $ {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ và số $ \alpha =1$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm.

Hướng dẫn. Đặt $ f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}$. Ta có $ \Delta ‘ = {m^2} – \left( { – 3{m^2}} \right) = 4{m^2}$.
Yêu cầu bài toán tương đương
$$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ af\left( \alpha \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} > 0\\ – 3{m^2} + 2m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ – \frac{1}{3} < m < 1 \end{array} \right. $$.

4. Bài tập so sánh nghiệm phương trình bậc hai

Bài 1. Tìm giá trị của $ m $ để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
- $ x^2-2mx+5m-4=0; $
- $ mx^2+mx+3=0. $
Bài 2. Tìm $ m $ để phương trình $ (m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0 $ có một nghiệm, hai nghiệm phân biệt cùng dấu, hai nghiệm âm phân biệt?

Bài 3. Tìm $ m $ để phương trình $ (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0 $ có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, đúng một nghiệm dương, hai nghiệm đối nhau?

Bài 4. Tìm $m$ để phương trình $ mx^2-2(m-3)x+m-4=0 $ có đúng một nghiệm không dương.

Bài 5. Tìm $ m $ để phương trình $ (m+1)x^2-2x+m-1=0 $ có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 6. So sánh số $1$ với nghiệm của phương trình $ 2x^2 – 18x + 17 = 0$ [TD10BD70]
Bài 7. So sánh số $- 2$ với nghiệm của phương trình $f(x) = (m^2 + 1)x^2 – 5(m^2 + 1)x – m^2 + m – 1 = 0$ [TD11BD70]
Bài 8. Tìm $ m$ để các phương trình sau có hai nghiệm
- $ mx^2 + (m – 1)x + 3 – 4m = 0$ và thoả mãn $ x_1 < 2 < x_2$ [VD1TTM19]
- $ (m + 1)x^2 – (m – 3)x + m + 1 = 0$ và thoả mãn $ -1 < x_1 \leqslant x_2$
- $ (m + 1)x^2 + mx + 3 = 0$ và thoả mãn $ x_1 < – 2 < 1 < x_2$ [VD-TTM27]
- $ x^2 – 2mx + m = 0$ và thoả mãn $ x_1, x_2\in (-1;3)$
- $ x^2 – 2x – 3m = 0$ và thoả mãn $\frac{m}{2}\le {{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$
Bài 9. Tìm $ m$ để phương trình sau có nghiệm
- $ (x^2 + 2x)2 – 4m(x^2 + 2x) + 3m + 1 = 0$ [VD1TTM23]
- $ x^4 + mx^3 + 2mx^2 + mx + 1 = 0$ [VD!TTM31]
Bài 10. Tìm $ m$ để phương trình $ (m + 1)x^2 – 3mx + 4m = 0$ có duy nhất một nghiệm lớn hơn $ 1$.

Bài 11. Cho phương trình $ x^2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0$. Xác định $ m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1 ; x_2$ thoả mãn $ 1 < x_1 < x_2 < 6$.

Bài 12. Cho phương trình $ 2x^2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0$. Xác định $ m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $ x_1 ; x_2$ thoả mãn: $ – 1 < x_1 < x_2 < 1.$

Bài 13. Cho $ f(x) = x^2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.$
- Chứng minh rằng phương trình $ f(x) = 0$ có nghiệm với mọi $ m$.
- Đặt $ x = t + 2$. Tính $ f(x)$ theo $ t$, từ đó tìm điều kiện đối với $ m$ để phương trình $ f(x) = 0$ có hai nghiệm lớn hơn $ 2$.
Bài 14. Cho phương trình bậc hai: $ x^2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0$.
- Với giá trị nào của tham số $ a$, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
- Xác định $ a$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $ – 1$.
Bài 15. Cho phương trình: $ x^2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0$.
- Tìm giá trị của $ m$ để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn $ 1$ và một nghiệm lớn hơn $ 1$.
- Tìm giá trị của $ m$ để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn $ 2$.
Bài 16. Tìm $m$ để phương trình: $ x^2 – mx + m = 0$ có nghiệm thoả mãn $ x_1 \leqslant – 2 \leqslant x_2$

Bài 17. Cho biểu thức \[ A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right). \] Tìm $ m $ để có $ x $ thoả mãn $ A(\sqrt{x}+1)=m(x+1)-2 $.

Bài 18. Tìm $ m $ để có $ x<0 $ sao cho \[ m=\frac{x(1-x^2)^2}{1+x^2}:\left[\left(\frac{1-x^3}{1-x}+x\right)\left(\frac{1+x^3}{1+x}-x\right)\right]. \]

Bài 19. Tìm $ m $ để có $ x<0 $ sao cho \[ m=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{4x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}. \]
21/01/2021
Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai
Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai

Sử dụng kiến thức về dấu tam thức bậc hai, chúng ta có thể giải quyết được 2 dạng toán quan trọng sau:
- Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm
- Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn
1. Tam thức bậc hai là gì?

Tam thức bậc hai đối với biến $x$ là biểu thức có dạng $$f(x) = ax^2+ bx + c,$$ trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a \ne 0$.

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

2.1. Định lí dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c $ với $ a\ne 0 $ có $ \Delta=b^2-4ac $. Khi đó, có ba trường hợp xảy ra:
- $ \Delta <0 $: $ f(x) $ cùng dấu với hệ số $ a $ với mọi $ x\in \mathbb{R}, $
- $ \Delta =0 $: $ f(x) $ cùng dấu với hệ số $ a $ với mọi $ x\ne -\frac{b}{2a}, $
- $ \Delta >0 $: $ f(x) $ có hai nghiệm phân biệt $ x_1,x_2 $ (giả sử $ x_1<x_2 $), và dấu của $ f(x) $ xác định bởi quy tắc trong trái — ngoài cùng, nghĩa là ở giữa hai số $0$ thì thì $ f(x) $ và hệ số $ a $ trái dấu, còn bên ngoài hai số $0$ thì cùng dấu.
2.2. Minh họa hình học của định lý dấu tam thức bậc hai

Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau

2.3. Ứng dụng định lí dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét rằng trong cả hai trường hợp $ a>0 $ và $ a<0 $ thì
- $ f(x) $ luôn có đủ hai loại dấu cả âm và dương nếu $ \Delta >0, $
- $ f(x) $ chỉ có một loại dấu hoặc âm hoặc dương nếu $ \Delta \leqslant 0. $
Do đó, chúng ta có các bài toán sau đây, với $ f(x)=ax^2+bx+c $ trong đó $ a\ne 0 $:
- $ f(x) >0\, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta <0\\ a>0 \end{cases}$
- $ f(x) <0\, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta <0\\ a<0 \end{cases}$
- $ f(x) \geqslant 0\, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \leqslant 0\\ a>0 \end{cases}$
- $ f(x) \leqslant 0\, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \leqslant 0\\ a<0 \end{cases}$
Chi tiết về vấn đề này, xin mời các em học sinh xem trong bài giảng Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

2.4. Định lí đảo dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c $, với $ a\ne 0 $, có hai nghiệm phân biệt $ x_1<x_2 $ và một số $ \epsilon $. Khi đó, ta có các kết quả sau
- $ x_1<\epsilon <x_2 \Leftrightarrow a\cdot f(\epsilon)<0$
- $ \epsilon <x_1<x_2 \Leftrightarrow \begin{cases}
  \Delta >0\\
  a\cdot f(\epsilon)>0\\
  \epsilon <\frac{S}{2}
  \end{cases}$
- $ x_1<x_2<\epsilon \Leftrightarrow \begin{cases}
  \Delta >0\\
  a\cdot f(\epsilon)>0\\
  \frac{S}{2}<\epsilon
  \end{cases}$
Ứng dụng của định lí đảo là dùng để so sánh một số với hai nghiệm của phương trình bậc hai. Chi tiết vấn đề này, mời các em tham khảo bài So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

3. Bài tập về dấu tam thức bậc hai

Bài 1. Xét dấu các tam thức sau
1. $ f(x)=x^2-5x+6$
2. $ g(x)=-x^2+4x+5$
3. $ h(x)=6x^2+x+4$
Hướng dẫn.
1. Tam thức bậc hai $f(x)$ có hệ số $ a=6$ và có hai nghiệm $ x_1=2,x_2=3 $ nên có bảng xét dấu như sau:
2. Tam thức bậc hai $ g(x)=-x^2+4x+5$ có hệ số $ a=-1$ và có hai nghiệm $ x_1=-1,x_2=5 $ nên có bảng xét dấu như sau:
3. Tam thức bậc hai $ h(x)=6x^2+x+4$ có hệ số $ a=6$ và có $ \Delta <0$ nên có bảng xét dấu như sau:
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
1. $x^2-2x+3>0$
2. $x^2+9>6x$
3. $6x^2-x-2 \geqslant 0$
4. $\frac{1}{3}x^2+3x+6<0$
5. $\dfrac{x^2+1}{x^2+3x-10}<0$
6. $\dfrac{10-x}{5+x^2}>\dfrac{1}{2}$
7. $\dfrac{x+1}{x-1}+2>\dfrac{x-1}{x}$
8. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+3}<\dfrac{3}{x+2}$
Hướng dẫn. Để giải các bất phương trình hữu tỉ, chúng ta biến đổi (rút gọn, quy đồng giữ lại mẫu) để được một bất phương trình tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó lập bảng xét dấu và căn cứ vào đó để kết luận.
1. $x^2-2x+3>0.$
  Bất phương trình này chỉ gồm một tam thức bậc hai nên chúng ta lập bảng xét dấu luôn, được kết quả như sau:
  Từ bảng xét dấu, chúng ta có tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.
2. $x^2+9>6x$. Biến đổi bất phương trình đã cho thành $$x^2+9-6x>0$$ Bảng xét dấu của vế trái như sau:
  Suy ra, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
3. $6x^2-x-2 \geqslant 0$. Lập bảng xét dấu cho vế trái, ta được:
  Suy ra, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{2}{3};+\infty\right)$.
4. $\frac{1}{3}x^2+3x+6<0$. Bảng xét dấu của vế trái:
  Kết luận, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-6;-3)$.
5. $\dfrac{x^2+1}{x^2+3x-10}<0$. Lập bảng xét dấu cho vế trái, chúng ta có bảng sau: Kết luận, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-5;2)$.
6. $\dfrac{10-x}{5+x^2}>\dfrac{1}{2}$. Chuyển vế, quy đồng giữ lại mẫu của bất phương trình đã cho, ta được bất phương trình tương đương $$\frac{-x^{2}-2x+15}{2\left( x^{2}+5\right) }>0$$ Lập bảng xét dấu cho vế trái bất phương trình này, ta được bảng sau:Kết luận, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-5;3)$.
7. $\dfrac{x+1}{x-1}+2>\dfrac{x-1}{x}$. Chuyển vế, quy đồng giữ mẫu của bất phương trình này, ta được bất phương trình tương đương: $$\frac{2x^{2}+x-1}{x^{2}-x}>0$$Lập bảng xét dấu cho vế trái, ta được: Kết luận, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S= \left( -\infty ,-1\right) \cup \left( 0,\frac{1}{2}\right) \cup \left( 1,+\infty \right) $.
8. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+3}<\dfrac{3}{x+2}$. Chuyển vế, quy đồng ta được bất phương trình tương đương: $$\frac{-x+1}{\left( x+3\right) \left( x+2\right) \left( x+1\right) }<0$$ Lập bảng xét dấu cho vế trái, ta được:
  Căn cứ vào bảng xét dấu, chúng ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left( -\infty ,-3\right) \cup \left( -2,-1\right) \cup \left( 1,+\infty \right) $.
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số $m$ để các phương trình sau có 2 nghiệm dương phân biệt
1. $(m^2+m+1)x^2+(2m-3)x+m-5=0$
2. $x^2-6mx+2-2m+9m^2=0$
Bài 4. Tìm $m$ để các bất phương trình sau vô nghiệm.
1. $5x^2-x+m\leqslant 0$
2. $mx^2-10x-5\geqslant 0$
3. $(m-1)x^{2}-(2m+1)x>m-3$
4. $x^{2}-2mx+m+12<0$
5. $-2x^{2}-mx+m^{2}-1>0$
6. $x^{2}+3mx-9<0$
7. $2mx^{2}+x-3\geqslant 0$
8. $x^{2}+3x-9m\leqslant 0$
Bài 5. Tìm $m$ để các bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
1. $x^{2}-2mx+m+12\leqslant 0$
2. $-2x^{2}-mx+m^{2}-1\geqslant 0$
3. $x^{2}+3mx-9\leqslant 0$
4. $x^{2}+3x-9m\leqslant 0$
5. $(m-1)x^{2}-(2m+1)x\geqslant -m-3$
6. $2mx^{2}+x-3\geqslant 0$
Bài 6. Tìm $m$ để các bất phương trình sau có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
1. $5x^2-x+m>0$
2. $mx^2-10x-5<0$
3. $\dfrac{x^2-mx-2}{x^2-3x+4}>-1$
4. $m(m+2)x^2+2mx+2>0$
5. $x^{2}-2mx+m+12>0$
6. $-2x^{2}-mx+m^{2}-1<0$
7. $x^{2}+3mx-9\geqslant 0$
8. $2mx^{2}+x-3\geqslant 0$
9. $x^{2}+3x-9m>0$
10. $(m-1)x^{2}>(2m+1)x-m-3$
Bài 7. Tìm $m$ để hàm số sau xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$.
1. $y=\sqrt{x^{2}+3x-m^{2}+2}$
2. $y=\sqrt{m(m+2)x^{2}+2mx+2}$
3. $y=\dfrac{1}{\sqrt{mx^{2}+6mx-7}}$
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
1. $\dfrac{x^{2}-9x+14}{2-3x}\geqslant 0$
2. $\dfrac{(2x-5)(x+2)}{-4x+3}>0$
3. $\dfrac{x-3}{x+1}>\dfrac{x+5}{2-x}$
4. $\dfrac{x-3}{x+5}<\dfrac{1-2x}{x-3}$
5. $\dfrac{2x-1}{2x+1}\leqslant 1$
6. $\dfrac{3x-4}{x-2}>1$
7. $\dfrac{2x-5}{2-x}\geqslant -1$
8. $\dfrac{2}{x-1}\leqslant \dfrac{5}{2x-1}$
9. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{2}{x^{2}+x}$
10. $\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}+\dfrac{2}{x}<1$
11. $\dfrac{11x^{2}-5x+6}{x^{2}+5x+6}<x$
12. $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x^{2}-x+1}\leqslant \dfrac{1-2x}{x^{3}+1}$
13. $\dfrac{2-x}{x^{3}+x}>\dfrac{1-2x}{x^{3}-3x}$
14. $1<\dfrac{1+x}{1-x}\le2$
15. $-1\leqslant \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{2}-4}\leqslant 1$
Xem thêm: Phương trình chứa trị tuyệt đối

Bài 9. Giải các phương trình sau.
1. $|2x+1|-3=x$
2. $|1-3x|+x-7=0$
3. $|2x-13|+3x-1=0$
4. $|x^{2}-x+2|=2-x$
5. $|1-x-2x^{2}|+3x=5$
6. $|2x^{2}-4x+1|+x-2=1$
7. $|2x-1|+|1-x|+x=4$
8. $|2x-1|+|2x+1|=4$
9. $|x^{2}-3x+2|-2x=1$
10. $|x^{2}+x-12|=x^{2}-x-2$
11. $|x^{2}-2x|=2x^{2}-1$
12. $|2x^{2}+3x-2|=|x^{2}-x-3|$
Bài 10. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1. $(x^{2}+4x+10)^{2}-7(x^{2}+4x+11)+7<0$
2. $x^{4}+4x^{2}+2|x^{2}-2x|=4x^{3}+3$
3. $2|x+1|-|x^{2}-2x-8|=-5-x+x^{2}$
4. $|x+3|<x-6$
5. $|2x-1|+5x-7\geqslant 0$
6. $|x^{2}-3x+2|-3x-7\geqslant 0$
7. $|2x-4|+|3x-6|\geqslant 2$
8. $|x-1|\leqslant 2|-x-4|+x-2$
9. $|x+2|+|1-2x|\leqslant x+1$
19/01/2021
Đề thi học kì 1 Toán 10 Xuân Trường B năm 2020
Đề thi học kì 1 Toán 10 Xuân Trường B năm 2020

Xem thêm: Đề thi Hóa học 12 HK1 2020 SGD Nam Định

1. Đề thi học kì 1 Toán 10 trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam giác $ABC$có $AB=5$, $AC=8$ và $A={{60}^{o}}.$ Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ bằng
A. 40.
B. $40\sqrt{3}.$
C. $20.$
D. $20\sqrt{3}.$
Câu 2: Cho hàm số $y=\frac{x+2}{\sqrt{x-1}}+\sqrt{3-x}$. Tập xác định của hàm số là
A. $\left( 1;3 \right)$.
B. $\left[ 1;3 \right]$.
C. $\left( 1;3 \right]$ .
D. $\left[ 1;3 \right)$.
Câu 3: Tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $m{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt là
A. $m<0.$
B. $m\le 0.$
C. $m>0.$
D. $m\ge 0.$
Câu 4: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x-2020}+x=\sqrt{2020-x}+2020$ là
A. 2020.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Câu 5: Cho $\tan \alpha =2.$Giá trị của $A=\frac{3\sin \alpha -c\text{os}\alpha }{\sin \alpha +3c\text{os}\alpha }$ bằng
A. $3.$
B. $1.$
C. $\frac{1}{2}.$
D. $\pm \frac{2}{3}.$
Câu 6: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(4;3),$và $\overrightarrow{b}=(1;7).$ Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng
A. ${{45}^{o}}.$
B. ${{90}^{o}}.$
C. ${{60}^{o}}.$
D. ${{30}^{o}}.$
Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hình thang cân $ABC\text{D}$$(AB\parallel C\text{D}).$ Biết điểm $A(-1;1),$ $B(0;2),$ $C(3;1).$ Gọi điểm $D(x;y).$ Biểu thức ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}$ bằng
A. 9.
B. $4.$
C. $-4.$
D. -9.
Câu 8: Số các giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\sqrt{x-1}=2\text{x}+m$ có hai nghiệm phân biệt là
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Câu 9: Tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{\text{x}}^{2}}-x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},$${{x}_{2}}$thỏa mãn ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\le 3$ là
A. $m\in \left[ -\frac{1}{4};1 \right)$
B. $m\in \left( -\frac{1}{4};1 \right).$
C. $m\in \left( -\frac{1}{4};1 \right].$
D. $m\in \left[ -\frac{1}{4};1 \right].$
Câu 10: Cho hàm số $y=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+b\text{x}+c,$ với $a\ne 0$ . Khi đó tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số là
A. $\left( -\frac{b}{2a};\frac{-\Delta }{4\text{a}} \right)$.
B. $\left( \frac{b}{2a};\frac{-\Delta }{4\text{a}} \right)$
C. $\left( -\frac{b}{2a};\frac{\Delta }{4\text{a}} \right)$
D. $\left( \frac{b}{2a};\frac{\Delta }{4\text{a}} \right)$
Câu 11: Trên mặt phẳng tọa độ $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};b_{1}^{{}}),$và $\overrightarrow{b}=({{a}_{2}};{{b}_{2}}).$Trong các biểu thức sau, biểu thức nào dưới đây đúng?
A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}}.$
B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}-{{a}_{2}}{{b}_{2}}.$
C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}.$
D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}.$
Câu 12: Số các giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-4=0$có hai nghiệm trái dấu là
A. 1.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
Câu 13: Hệ phương trình nào sau đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. $\left\{ \begin{align}
& 3x-y-z=0 \\
& 4x-5y=3 \\
\end{align} \right.$
B. $\left\{ \begin{align}
& 3x-2y=1 \\
& 4x-5y=-3 \\
\end{align} \right.$
C. $\left\{ \begin{align}
& 3{{x}^{2}}-2y=11 \\
& 4x-5{{y}^{2}}=3 \\
\end{align} \right.$
D. $\left\{ \begin{align}
& 3x-2=0 \\
& {{x}^{2}}-5x=3 \\
\end{align} \right.$
Câu 14: Số nghiệm nguyên của phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}+x-6}=7-x$ là
A. $\frac{11}{3}.$
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Câu 15: Trên hệ trục tọa độ $Oxy$cho hình bình hành $ABCD$ có $A(-1;3),$$B(2;4),$$C(0;1)$. Tọa độ đỉnh D là
A. $D(3;0).$
B. $D(0;-3).$
C. $D(0;3).$
D. $D(-3;0).$
Câu 16: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $R$?
A. $y={{x}^{2}}+1$.
B. $y=3\text{x}-2$.
C. $y=-{{x}^{2}}+1$.
D. $y=2-3\text{x}$.
Câu 17: Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{{{x}^{2}}-4\text{x}+4}$ là
A. $\left[ 2;+\infty \right).$
B. $\left( 2;+\infty \right).$
C. $\mathbb{R}.$
D. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.$
Câu 18: Với điều kiện nào của $m$ thì phương trình $m(x-2)=3\text{x}+1$ có nghiệm duy nhất
A. $m\ne 0.$
B. $m=0.$
C. $m=3.$
D. $m\ne 3.$
Câu 19: Phương trình ${{\left( x-4 \right)}^{2}}=x-2$ là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây
A. ${{(x-2)}^{2}}=x-4.$
B. $\sqrt{x-4}=x-2.$
C. $\sqrt{x-2}=x-4.$
D. $\sqrt{x-2}=\sqrt{x-4}.$
Câu 20: Số nghiệm nguyên của phương trình $\frac{\left| 4-x \right|}{\sqrt{x-2}}=\frac{4-x}{\sqrt{x-2}}$ là
A. 3.
B. 1.
C. 4.
D. 2.
Câu 21: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. $\sin ({{180}^{0}}-\alpha )=-\sin \alpha .$
B. $\sin ({{180}^{0}}-\alpha )=\sin \alpha .$
C. $\sin ({{180}^{0}}-\alpha )=c\text{os}\alpha .$
D. $\sin ({{180}^{0}}-\alpha )=-\cos \alpha .$
Câu 22: Cho $\text{cos}\alpha =-\frac{3}{5}.$Giá trị của$\sin \alpha $ bằng
A. $-\frac{4}{5}.$
B. $\frac{4}{5}.$
C. $\frac{16}{25}.$
D. $\pm \frac{4}{5}.$
Câu 23: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;2),$$B(-3;1)$. Số điểm $C$ thuộc trục tung để tam giác $ABC$ cân tại $A$ là
A. $2.$
B. $1.$
C. 0.
D. 3.
Câu 24: Số các giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $\frac{{{x}^{2}}-4\text{x}+m-1}{x-1}=0$ có hai nghiệm phân biệt là
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 3.
Câu 25: Cho ba điểm phân biệt $A,$$B,$$C.$ Nếu $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}.$
B. $\overrightarrow{BC}=-4\overrightarrow{AC}.$
C. $\overrightarrow{BC}=-3\overrightarrow{AC}.$
D. $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{AC}.$

2. Đề thi học kì 1 Toán 10 tự luận

Câu 1. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
1. $\sqrt{{{x}^{2}}-x+7}=2x-1$
2. $\sqrt{2-x}=\sqrt{x+1}+1$
Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm:$$m{{x}^{2}}+(2x+1)m+5-5x=0$$

Câu 3. (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác ABC có $A(1;1)$, $B(2;4)$, $C(10;-2)$ và đường cao $AH$.
1. Chứng minh tam giác ABC vuông tại $A$;
2. Tính cosin của góc $B$;
3. Tìm tọa độ của điểm $H$.
Câu 4. (0,5 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất $$\sqrt{{{x}^{2}}-2m}+2\sqrt{{{x}^{2}}-1}=x$$

———-Hết———–
19/01/2021