Đề minh họa thi TN THPT 2022 môn Toán file word
Mời Thầy Cô và các em tải tại đây Đề minh họa thi TN THPT 2022 môn Toán file word
Mời các bạn xem thêm đề minh họa thi TN THPT 2022 các môn tại đây BGD công bố đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT 2022
Đáp án tham khảo Đề minh họa thi TN THPT 2022 môn Toán
| 1. B |
2. A |
3. A |
4. D |
5. C |
6. C |
7. A |
8. C |
9. C |
10. B |
| 11. C |
12. B |
13. C |
14. C |
15. A |
16. A |
17. C |
18. C |
19. C |
20. A |
| 21. D |
22. A |
23. D |
24. B |
25. A |
26. A |
27. A |
28. B |
29. B |
30. A |
| 31. A |
32. B |
33. B |
34. B |
35. A |
36. D |
37. B |
38. D |
39. D |
40. B |
| 41. B |
42. B |
43. C |
44. A |
45. D |
46. D |
47. A |
48. D |
49. D |
50. D |
Mời Thầy cô tham khảo thêm Đề thi tham khảo Đánh giá năng lực năm 2022 ĐH Quốc gia Hà Nội
Lời giải tham khảo
Câu 1. Mođun của số phức $z=3-i$ bằng
A. $8$
B. $\sqrt{10}$
C. $10$
D. $2 \sqrt{2}$
Hướng dẫn.
Ta có: $|z|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$.
Câu 2. Trong không gian $\mathrm{Oxyz}$, mặt cầu $(S):(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9$ có bán kính bằng
A. $3$
B. $81$
C. $9$
D. $6$
Hướng dẫn.
Từ phương trình mặt cầu ta có $R^2=9 $ suy ra $R=3$.
Câu 3. Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số $y=x^4+x^2-2$?
A. Điểm $P(-1;-1)$
B. Điểm $N(-1;-2)$
C. Điểm $M(-1; 0)$
D. Điểm $Q(-1; 1)$
Hướng dẫn.
Thay $M(-1; 0)$ vào đồ thị thấy thỏa mãn.
Câu 4. Thể tích $V$ của khối cầu bán kính $r$ được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $V=\dfrac{1}{3} \pi r^3$
B. $V=2 \pi r^3$
C. $V=4 \pi r^3$
D. $V=\dfrac{4}{3} \pi r^3$
Hướng dẫn.
Công thức thể khối cầu bán kính $r$ là: $V=\dfrac{4}{3} \pi r^3$.
Câu 5. Trên khoảng $(0;+\infty)$, họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ là:
A. $\displaystyle\int f(x) {\rm d} x=\dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}+C$
B. $\displaystyle\int f(x) {\rm d} x=\dfrac{5}{2} x^{\frac{2}{5}}+C$
C. $\displaystyle\int f(x) {\rm d} x=\dfrac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+C$
D. $\displaystyle\int f(x) {\rm d} x=\dfrac{2}{3} x^{\frac{1}{2}}+C$
Hướng dẫn.
Ta có: $\displaystyle\int f(x) {\rm d} x=\displaystyle\int x^{\frac{3}{2}} {\rm d} x=\dfrac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+C$.
Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $3$
B. $2$
C. $4$
D. $5$
Hướng dẫn.
Dựa vào bảng xét dấu, ta có: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là $4$.
Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình $2^x>6$ là
A. $\left(\log _2 6;+\infty\right)$
B. $(-\infty; 3)$
C. $(3;+\infty)$
D. $\left(-\infty; \log _2 6\right)$
Hướng dẫn.
Ta có: $2^x>6 \Leftrightarrow x>\log _2 6$.
Câu 8. Cho khối chóp có diện tích đáy $B=7$ và chiều cao $h=6$. Thể tích của khối chóp đã cho là
A. $42$
B. $126$
C. $14$
D. $56$
Hướng dẫn.
Thể tích của khối chóp đã cho là $V=\dfrac{1}{3} B h=\dfrac{1}{3} \cdot 7 \cdot 6=14$.
Câu 9. Tập xác định của hàm số $y=x^{\sqrt{2}}$ là
A. $\mathbb{R}$
B. $\mathbb{R} \setminus\{0\}$
C. $(0;+\infty)$
D. $(2;+\infty)$
Hướng dẫn.
Vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên điều kiện xác định của hàm số $y=x^{\sqrt{2}}$ là $x>0$.\\
Tập xác đinh: $D=(0;+\infty)$.
Câu 10. Nghiệm của phương trình $\log _2(x+4)=3$ là
A. $x=5$
B. $x=4$
C. $x=2$
D. $x=12$
Hướng dẫn.
Điều kiện: $x+4>0 \Leftrightarrow x>-4$.\\
$\log _2(x+4)=3 \Leftrightarrow x+4=2^3 \Leftrightarrow x=4$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x=4$.
Câu 11. Nếu $\displaystyle\int_2^5 f(x) \mathrm{d} x=3$ và $\displaystyle\int_2^5 g(x) \mathrm{d} x=-2$ thì $\displaystyle\int_2^5\left[f(x)+g(x) \right]\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $5$
B. $-5$
C. $1$
D. $3$
Hướng dẫn.
Ta có $\displaystyle\int_2^5\left[f(x)+g(x) \right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int_2^5f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int_2^5g(x)\mathrm{\,d}x=3+(-2)=1$.
Câu 12. Cho số phức $z=3-2i$, khi đó $2z$ bằng
A. $6-2 i$
B. $6-4 i$
C. $3-4 i$
D. $-6+4 i$
Hướng dẫn.
Ta có: $2 z=2(3-2 i)=6-4 i$.
Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P): 2 x-3 y+4 z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là:
A. $\overrightarrow{n_4}=(-1; 2;-3)$
B. $\overrightarrow{n_3}=(-3; 4;-1)$
C. $\overrightarrow{n_2}=(2;-3; 4)$
D. $\overrightarrow{n_1}=(2; 3; 4)$
Hướng dẫn.
Mặt phẳng $(P)$ có một VTPT là: $\vec{n}=(2;-3; 4)$.
Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1; 3;-2)$ và $\vec{v}=(2; 1;-1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}-\vec{v}$ là
A. $(3; 4;-3)$
B. $(-1; 2;-3)$
C. $(-1; 2;-1)$
D. $(1;-2; 1)$
Hướng dẫn.
Ta có $\vec{u}-\vec{v}=(-1; 2;-1)$.
Câu 15. Trên mặt phẳng tọa độ, cho $M(2; 3)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$. Phần thực của $z$ bằng
A. $2$
B. $3$
C. $-3$
D. $-2$
Hướng dẫn.
Ta có $M(2; 3)$ là điểm biểu diễn của số phức $z \Rightarrow z=2+3 i$. Vậy phần thực của $z$ bằng $2$.
Câu 16. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x+2}{x-2}$ là đường thẳng có phương trình:
A. $x=2$
B. $x=-1$
C. $x=3$
D. $x=-2$
Hướng dẫn.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có: $$\begin{cases} \lim\limits_{y\to 2^+}y=\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{3x+2}{x-2}=+\infty\\ \lim\limits_{y\to 2^-}y=\lim\limits_{x\to 2^-}\dfrac{3x+2}{x-2}=-\infty\end{cases},$$ suy ra $x=2$ là TCĐ. Vậy $x=2$ là TCĐ.
Câu 17.
Với $a>0$, biểu thức $\log_2\left( \dfrac{a}{2} \right)$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}\log_2a$
B. $\log_2a+1$
C. $\log_2a-1$
D. $\log_2a-2$
Hướng dẫn.
Với $a>0$, ta có $\log_2\left( \dfrac{a}{2} \right)=\log_2a-\log_22=\log_2a-1$.
Câu 18.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong ở hình bên?
A. $y=x^4-2 x^2-1$
B. $y=\dfrac{x+1}{x-1}$
C. $y=x^3-3 x-1$
D. $y=x^2+x-1$
Hướng dẫn.
Hình dáng đồ thị đặc trưng của hàm số bậc $3$, thể hiện $a>0$.
Câu 19.
Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\begin{cases}x=1+2t\\y=2-2t\\z=-3-3t\end{cases}$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. Điểm $Q(2; 2; 3)$
B. Điểm $N(2;-2;-3)$
C. Điểm $M(1; 2;-3)$
D. Điểm $P(1; 2; 3)$
Hướng dẫn.
Đường thẳng $d:\begin{cases}m \leq 0 \\ -10<m<6\end{cases}$ đi qua điểm $M(1; 2;-3)$.
Câu 20.
Với $n$ là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng?
A. $P_n=n !$
B. $P_n=n-1$
C. $P_n=(n-1) !$
D. $P_n=n$
Hướng dẫn.
Với $n$ là số nguyên dương, số các hoán vị của $n$ phần tử là: $P_n=n!$.
Câu 21.
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$. Thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $V=\dfrac{1}{3} Bh$
B. $V=\dfrac{4}{3} Bh$
C. $V=6 B h$
D. $V=Bh$
Hướng dẫn.
Thể tích $V$ của khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao h là: $V=B h$.
Câu 22.
Trên khoảng $(0;+\infty)$, đạo hàm của hàm số $y=\log _2 x$ là
A. $y’=\dfrac{1}{x \ln 2}$
B. $y’=\dfrac{\ln 2}{x}$
C. $y’=\dfrac{1}{x}$
D. $y’=\dfrac{1}{2 x}$
Hướng dẫn.
Đạo hàm của hàm số $y=\log _2 x$ trên khoảng $(0;+\infty)$ là $y’=\dfrac{1}{x \ln 2}$.
Câu 23.
Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(0;+\infty)$
B. $(-\infty;-2)$
C. $(0; 2)$
D. $(-2; 0)$
Hướng dẫn.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$.
Câu 24.
Cho hình trụ có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$. Diện tích xung quanh $S_{\rm x q}$ của hình trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $S_{\rm x q}=4 \pi r l$
B. $S_{\rm x q}=2 \pi r l$
C. $S_{\rm x q}=3 \pi r l$
D. $S_{\rm x q}=\pi r l$
Hướng dẫn.
Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{\rm x q}=2 \pi r l$.
Câu 25.
Nếu $\displaystyle\int_2^5 f(x) \mathrm{d} x=2$ thì $\displaystyle\int_2^5 3 f(x) \mathrm{d} x$ bằng
A. $6$
B. $3$
C. $18$
D. $2$
Hướng dẫn.
$
\displaystyle\int_2^5 3 f(x) \mathrm{d} x=3 \displaystyle\int_2^5 f(x) \mathrm{d} x=3.2=6$.
Câu 26.
Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=7$ và công sai $d=4$. Giá trị của $u_2$ bằng
A. $11$
B. $3$
C. $\dfrac{7}{4}$
D. $28$
Hướng dẫn.
$u_2=u_1+d=7+4=11$.
Câu 27.
Cho hàm số $f(x)=1+\sin x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x=x-\cos x+C$
B. $\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x=x+\sin x+C$
C. $\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x=x+\cos x+C$
D. $\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x=\cos x+C$
Hướng dẫn.
$\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int(1+\sin x) d x=x-\cos x+C$.
Câu 28.
Cho hàm số $y=\mathrm{ax}^4+b x^2+c(a, b, c \in \mathbb{R})$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng.
A. $0$
B. $-1$
C. $-3$
D. $2$
Hướng dẫn.
Dựa vào đồ thị hàm số, giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng $-1$.
Câu 29.
Trên đoạn $[1; 5]$, hàm số $y=x+\dfrac{4}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A. $x=5$
B. $x=2$
C. $x=1$
D. $x=4$
Hướng dẫn.
Hàm số $y=f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ xác định trên đoạn $[1; 5]$.
Ta có:
\begin{align*}
y’&=1-\dfrac{4}{x^2}\\
y’&=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{4}{x^2}=0\Leftrightarrow x=2\in [1;5]\vee x=-\notin [1;5]
\end{align*}
Mà $f(1)=5;\,f(5)=\dfrac{29}{2};\,f(2)=4$ nên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là $4$ tại $x=2$.
Câu 30.
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $y=-x^3-x$
B. $y=-x^4-x^2$
C. $y=-x^3+x$
D. $y=\dfrac{x+2}{x-1}$
Hướng dẫn.
Xét $y=-x^3-x $ có $y’=-x^2-1=-\left(x^2+1\right)<0 \,\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y=-x^3-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 31.
Với $a, b$ thỏa mãn $\log _2 a-3 \log _2 b=2$, khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $a=4 b^3$
B. $a=3 b+4$
C. $a=3 b+2$
D. $a=\dfrac{4}{b^3}$
Hướng dẫn.
Ta có $\log _2 a-3 \log _2 b=2 \Leftrightarrow \log _2 a-\log _2 b^3=2 \Leftrightarrow \log _2 \dfrac{a}{b^3}=2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b^3}=4 \Leftrightarrow a=4 b^3$.
Câu 32.
Cho hình hộp $ABCD \dot A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên).
Góc giữa hai đường thẳng $A’ C’$ và $B D$ bằng
A. $90^\circ$
B. $30^\circ$
C. $45^\circ$
D. $60^\circ$
Hướng dẫn.
Ta có $A’C’$ song song $AC$ nên góc giữa hai đường thẳng $A’C’$ và $BD$ bằng góc giữa $AC$ và $BD$ và bằng $90^\circ$.
Câu 33.
Nếu $\displaystyle\int_1^3 f(x) {\rm d} x=2$ thì $\displaystyle\int_1^3\left[f(x)+2\mathrm{x} \right]dx$ bằng
A. $20$
B. $10$
C. $18$
D. $12$
Hướng dẫn.
Ta có $\displaystyle\int_1^3\left[f(x)+2{x} \right]{\rm d}x=\displaystyle\int_1^3f(x){\rm d}x+\displaystyle\int_1^32x{\rm d}x=10$.
Câu 34.
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-5; 3)$ đường thẳng $d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$. Mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$ có phương trình là:
A. $2 x-5 y+3 z-38=0$
B. $2 x+4 y-z+19=0$
C. $2 x+4 y-z-19=0$
D. $2 x+4 y-z+11=0$
Hướng dẫn.
$d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1} $ nên có véc-tơ chỉ phương là $ \vec{u}_d=(2; 4;-1)$.
Mặt phẳng đi qua $M(2;-5; 3)$ và nhận $\vec{u}_d=(2; 4;-1)$ làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình $2(x-2)+4(y+5)-(z-3)=0 $ hay $2 x+4 y-z+19=0$.
Câu 35.
Cho số phức $z$ thỏa mãn $i\overline{z}=5+2i$. Phần ảo của $z$ bằng
A. $5$
B. $2$
C. $-5$
D. $-2$
Hướng dẫn.
Có $i\overline{z}=5+2i\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{5+2i}{i}=2-5i$. Vậy phần ảo của $z$ bằng $5$.
Câu 36.
Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AB=4$ (tham khảo hình bên).
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left(A B B’ A’\right)$ bằng
A. $2 \sqrt{2}$
B. $2$
C. $4 \sqrt{2}$
D. $4$
Hướng dẫn.
Ta có $\left. \begin{aligned}&CB\perp BB’\\&CB\perp AB\\\end{aligned} \right\}\Rightarrow CB\perp \left( ABB’A’ \right)$
Vậy $d\left[C;\left( \left( ABB’A’ \right) \right) \right]=CB=AB=4$.
Câu 37.
Từ một hộp chứa 16 quả cầu gồm 7 quả màu đỏ và 9 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau bằng
A. $\dfrac{7}{40}$
B. $\dfrac{21}{40}$
C. $\dfrac{3}{10}$
D. $\dfrac{2}{15}$
Hướng dẫn.
Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu trong 16 quả cầu, không gian mẫu có số phần tử là: $n(\Omega)=C_{16}^2$.
Gọi biến cố $A$ là “lấy được hai quả có màu khác nhau”, suy ra $\bar{A}$ là ” lấy được hai quả cùng màu”. Ta có $$n(\bar{A})=C_7^2+C_9^2$$ Vậy xác suất cần tìm: $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\dfrac{C_7^2+C_9^2}{C_{16}^2}=\dfrac{21}{40}$.
Câu 38.
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;-2; 3), B(1; 3; 4), C(3;-1; 5)$. Đường thẳng đi qua $A$ và song song với $B C$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+4}{-2}=\dfrac{z-1}{3}$
B. $\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-2}{-4}=\dfrac{z+3}{1}$
C. $\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{9}$
D. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-3}{1}$
Hướng dẫn.
Ta có $\vec{BC}=(2;-4; 1)$ nên phương trình đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ là: $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-3}{1}$.
Câu 39.
Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn $\left(4^x-5.2^{x+2}+64\right) \sqrt{2-\log (4 x)} \geq 0$.
A. $22$
B. $25$
C. $23$
D. $24$
Hướng dẫn.
Điều kiện: $$\begin{cases} 2-\log(4x)\ge 0\\ 4x>0\end{cases}\Leftrightarrow 0<x\le 25$$ Ta có: $\left(4^x-5.2^{x+2}+64\right)\sqrt{2-\log(4x)}\ge 0\Leftrightarrow 2-\log(4x)=0\,(1)$ hoặc $4^x-5.2^{x+2}+64\ge 0\,(2)$
- Giải (1): $\log(4x)=2\Leftrightarrow 4x=10^2\Leftrightarrow x=25\text{(thỏa mãn)}$
- Giải (2): $\left(2^x\right)^2-20.2^x+64\ge 0\Leftrightarrow 2^x\ge 16$ hoặc $2^x\le 4$. Từ đó tìm được $x\ge 4$ hoặc $x\le 2$.
Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thỏa mãn trong trường hợp này $x\in \left\{1;2\right\}\cup \left\{4;5;6\dots 25\right\}$.
Vậy có 24 số nguyên $x$ thỏa đề bài.
Câu 40.
Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f'(f(x))=0$ là
A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $6$
Hướng dẫn.
Xét phương trình $f'(f(x))=0$ (1). Đặt $t=f(x)$, từ (1) $\Leftrightarrow f'(t)=0$.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, ta có $f'(t)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
t=-1 \\
t=2 \\
\end{matrix}\right.$
- Với $t=-1\Leftrightarrow f(x)=-1\Rightarrow 3$ nghiệm;
- Với $t=2\Leftrightarrow f(x)=2\Rightarrow 1$ nghiệm.
Vậy số nghiệm thực phân biệt của phương trình là $3+1=4$ nghiệm.
Câu 41.
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f'(x)=12 x^2+2, \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
A. $-3$
B. $1$
C. $2$
D. $7$
Hướng dẫn.
Ta có $f(x)=\displaystyle\int f'(x) {\rm d} x=\displaystyle\int\left(12 x^2+2\right) {\rm d} x=4 x^3+2 x+C$.
- Với $f(1)=3 \Rightarrow 4.1^3+2.1+C=3 \Rightarrow C=-3$. Vậy $f(x)=4 x^3+2 x-3$. Ta có $F(x)=\displaystyle\int f(x) {\rm d} x=\displaystyle\int\left(4 x^3+2 x-3\right) {\rm d} x=x^4+x^2-3 x+C$.
- Với $F(0)=2 \Rightarrow 0^4+0^2-3.0+C=2 \Rightarrow C=2$. Vậy $F(x)=x^4+x^2-3 x+2$, khi đó $F(1)=1^4+1^2-3.1+2=1$.
Câu 42.
Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có $AC=4a$, hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(S C D)$ cùng vuông góc với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{16 \sqrt{2}}{3} a^3$
B. $\dfrac{8 \sqrt{2}}{3} a^3$
C. $16 a^3$
D. $\dfrac{16}{3} a^3$
Hướng dẫn.
Gọi $O$ là tâm hình vuông suy ra $S O \perp(A B C D)$. Ta có $(SAB) \cap(SCD)=S x\parallel AB\parallel CD$.
Gọi $I$ là trung điểm của $A B$, suy ra $S I \perp A B \Rightarrow S I \perp S x \Rightarrow S I \perp(S C D) \Rightarrow S I \perp S D$ $A C=4 a \Rightarrow A D=2 \sqrt{2} a \Rightarrow D I=a \sqrt{10}$.
Đặt $S D=x \Rightarrow S I=\sqrt{x^2-2 a^2}$.
Ta có hệ thức $x^2-2 a^2+x^2=10 a^2 \Rightarrow x^2=6 a^2 \Rightarrow x=a \sqrt{6}$. Từ đó ta tính được $S O=a \sqrt{2}$.
Vậy $V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3} \cdot a \sqrt{2} \cdot(2 \sqrt{2} a)^2=\dfrac{8 \sqrt{2}}{3} a^3$
Câu 43.
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2 m z+8 m-12=0(m$ là tham số thực). có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$?
A. $5$
B. $6$
C. $3$
D. $4$
Hướng dẫn.
Ta có $\Delta’=m^2-8 m+12$.
- Nếu $\Delta’>0$ thì phương trình có hai nghiệm thực, khi đó $\left|z_1\right|=\left|z_2\right| \Leftrightarrow z_1=-z_2 \Leftrightarrow z_1+z_2=0 \Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn);
- Nếu $\Delta'<0$, thì phương trình có hai nghiệm thức khi đó là hai số phức liên hợp nên ta luôn có $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$, hay $m^2-8 m+12<0 \Leftrightarrow 2<m<6$ luôn thỏa mãn.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn.
Câu 44.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ sao cho số phức $w=\dfrac{1}{|z|-z}$ có phần thực bằng $\dfrac{1}{8}$. Xét các số phức $z_1, z_2 \in S$ thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=2$, giá trị lớn nhất của $P=\left|z_1-5 i\right|^2-\left|z_2-5 i\right|^2$ bằng
A. $16$
B. $20$
C. $10$
D. $32$
Hướng dẫn.
Giả sử $z=x+y i$, với $x, y \in \mathbb{R}$ và điều kiện $|z|-z \neq 0 \Leftrightarrow\begin{cases}m \leq 0 \\ -10<m<6\end{cases}$.
Ta có: $w=\dfrac{1}{|z|-z}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)+y i}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2-y^2}+\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2} i$.
Theo giả thiết, ta có:
\begin{align*}
&\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2}=\dfrac{1}{8} \Leftrightarrow 8\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)=2 x^2+2 y^2-2 x \sqrt{x^2+y^2}\\
\Leftrightarrow &4\left( \sqrt{x^2+y^2}-x \right)=\sqrt{x^2+y^2}\left( \sqrt{x^2+y^2}-x \right) \\
\Leftrightarrow& \left( \sqrt{x^2+y^2}-x \right)\left( \sqrt{x^2+y^2}-4 \right)=0\Leftrightarrow x^2+y^2=4\vee \sqrt{x^2+y^2}-x=0
\end{align*}
- TH1: $\sqrt{x^2+y^2}-x=0 \Leftrightarrow\heva{&m \leq 0 \\& -10<m<6}$ (không thỏa mãn điều kiện).
- TH2: $\sqrt{x^2+y^2}=4 \Leftrightarrow x^2+y^2=16$.
Gọi $z_1=x_1+y_1 i; z_2=x_2+y_2 i \Rightarrow x_1^2+y_1^2=16; x_2^2+y_2^2=16$.
Ta có: $\left|z_1-z_2\right|=2 \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=4$.
Xét $P=\left|z_1-5 i\right|^2-\left|z_2-5 i\right|^2=x_1^2+\left(y_1-5\right)^2-x_2^2-\left(y_2-5\right)^2=-10\left(y_1-y_2\right)$ $\Rightarrow P \leq 10\left|y_1-y_2\right|=10 \sqrt{4-\left(x_1-x_2\right)^2} \leq 20$.
Dấu ” = “xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2$ và $\left|y_1-y_2\right|=2$.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của $P=20$.
Câu 45.
Cho hàm số $f(x)=3 x^4+a x^3+b x^2+c x+d(a, b, c, d \in \mathbb{R})$ có ba điểm cực trị là $-2,-1$ và 1. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng
A. $\dfrac{500}{81}$
B. $\dfrac{36}{5}$
C. $\dfrac{2932}{405}$
D. $\dfrac{2948}{405}$
Hướng dẫn.
Ta có: $f'(x)=12 x^3+3 a x^2+2 b x+c$. Theo bài ra, ta có: $$\begin{cases} m \leq 0 \\ -10<m<6\end{cases} Leftrightarrow \begin{cases} m \leq 0 \\ -10<m<6\end{cases}.$$ $\Rightarrow f(x)=3 x^4+8 x^3-6 x^2-24 x+d$
Giả sử $y=g(x)=a x^2+b x+c$
\begin{align*}
\Rightarrow \begin{cases} g(-2)=8+d\\g(-1)=13+d\\g(1)=-19+d\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 4a-2b+c=8+d\\a-b+c=-19+d\\a+b+c=-19+d\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=-7\\b=-16\\c+4+d\end{cases}\\ \Rightarrow y=-7x^2-16x+4+d
\end{align*}
Xét $f(x)-g(x)=0 \Leftrightarrow 3x^4+8 x^3+x^2-8 x-4=0\Leftrightarrow x=1;x=-\dfrac{2}{3};x=-1;x=-2 $.
Diện tích hình phẳng cần tìm là $$S=\int_{-2}^1|f(x)-g(x)| d x=\displaystyle\int_{-2}^1\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| d x$$ $$=\displaystyle\int_{-2}^{-1}\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x+\displaystyle\int_{-1}^{-\frac{2}{3}}\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x+\displaystyle\int_{-\frac{2}{3}}^1\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x=\dfrac{2948}{405}$$ Kết luận: $S=\dfrac{2948}{405}$.
Câu 46.
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-4;-3; 3)$ và mặt phẳng $(P): x+y+x=0$. Đường thẳng đi qua $A$, cắt trục $O z$ và song song với $(P)$ có phương trình là:
A. $\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z-3}{-7}$
B. $\dfrac{x+4}{-4}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-3}{1}$
C. $\dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-3}{1}$
D. $\dfrac{x+8}{4}=\dfrac{y+6}{3}=\dfrac{z-10}{-7}$
Hướng dẫn.
Ta có $\Delta \cap O z=B \Rightarrow B(0; 0; t)$ và $\overrightarrow{A B}=(4; 3; t-3)$.
Do $d\parallel (P)$ nên $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{n_P}=0 \Leftrightarrow 4+3+t-3=0 \Leftrightarrow t=-4$
$\Rightarrow \overrightarrow{A B}=(4; 3;-7)$.
Vậy đường thẳng cần tìm $d: \dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-3}{-7}$.
Chọn đáp án D (thỏa điểm đi qua đề cho).
Câu 47.
Cho hình nón đỉnh $S$ có bán kinh đáy bằng $2 \sqrt{3} a$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho $A B=4 a$. Biết khoảng cách từ tâm của đấy đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng $2 a$, thế tích của khối nón đã cho bằng.
A. $\dfrac{8 \sqrt{3}}{3} \pi a^3$
B. $4 \sqrt{6} \pi a^3$
C. $\dfrac{16 \sqrt{3}}{3} \pi a^3$
D. $8 \sqrt{2} \pi a^3$
Hướng dẫn.
Ta có $V=\dfrac{1}{3} S_d \cdot h=\dfrac{1}{2} \pi r^2 h$.
Tìm $h=S O$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\begin{cases} SI\perp AB\\OI\perp AB\end{cases}$, suy ra $AB\perp (SOI)$ mà $AB\subset (SAB)\Rightarrow (SAB)\perp (SOI)$.
Kẻ $OH\perp SI$, ta có: $\begin{cases} (SAB)\perp (SOI)\\(SAB)=SI\\OH\perp SI\end{cases}$, suy ra $OH\perp (SAB)$. Suy ra $d(O;(SAB))=OH=2a$.
Xét $\Delta AOI$ vuông $I$, suy ra $OI=\sqrt{OA^2-AI^2}=\sqrt{OA^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}a\right)^2-\left(\dfrac{4a}{2}\right)^2}=2\sqrt{2}a.$
Xét $\Delta SOI$ vuông tại $S$.
\begin{align*}
&\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OI^2}\Rightarrow \dfrac{1}{SO^2}=\dfrac{1}{OH^2}-\dfrac{1}{OI^2}=\dfrac{OI^2-OH^2}{OH^2.OI^2}\\
& \Rightarrow SO^2=\dfrac{OH^2.OI^2}{OI^2-OH^2}\Rightarrow SO=\dfrac{OH.OI}{\sqrt{OI^2-OH^2}}=\dfrac{2a.2\sqrt{2}a}{\sqrt{\left(2a\sqrt{2}\right)^2-(2a)^2}}=2\sqrt{2}a.
\end{align*}
Vậy $V=\dfrac{1}{3}S_{\text{đáy}}.h=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{1}{3}\pi (OA)^2,SO=\dfrac{1}{3}\pi \left(2\sqrt{3}a\right)^2.2\sqrt{2}a=8\sqrt{2}\pi a^3$.
Câu 48.
Có bao nhiêu số nguyên $a$, sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất bốn số nguyên $b \in(-12; 12)$ thỏa mãn $4^{a^2+b} \leq 3^{b-a}+65$?
A. $4$
B. $6$
C. $5$
D. $7$
Hướng dẫn.
Ta có $4^{a^2+b} \leq 3^{b-a}+65 \Leftrightarrow 4^{a^2+b}-3^{b-a}-65 \leq 0$.
$$\Leftrightarrow 4^{a^2}-\dfrac{3^{b-a}}{4^b}-\dfrac{65}{4^b} \leq 0 \Leftrightarrow-\left(\dfrac{3}{4}\right)^b \cdot \dfrac{1}{3^a}-65 \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^b+4^{a^2} \leq 0$$ Xét hàm số $f(b)=-\left(\dfrac{3}{4}\right)^b \cdot \dfrac{1}{3^a}-65 \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^b+4^{a^2}, b \in(-12; 12)$.
Suy ra $\Rightarrow f'(b)=-\ln \left(\dfrac{3}{4}\right) \cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^b \cdot \dfrac{1}{3^a}-65 \ln \left(\dfrac{1}{4}\right) \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^b>0$. Do đó $f(b)$ đồng biến.
Để $f(b) \leq 0$ có it nhất 4 giá trị nguyên thỏa mãn thì $f(-8) \leq 0 \Leftrightarrow 4^{a^2-8} \leq 3^{-a-8}+65$ $\Rightarrow 4^{a^2-5} \leq 65 \Rightarrow a^2-8 \leq \log _4 65$. Do $a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in\{-3;-2; \ldots 3\}$. Có 7 giá trị nguyên của $a$.
Câu 49.
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-4)^2+(y+3)^2+(z+6)^2=50$ và đường thẳng $d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $(S)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$?
A. $29$
B. $33$
C. $55$
D. $28$
Hướng dẫn.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;-3;-6), R=5 \sqrt{2}$.
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(a; 0; 0)$.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ $M$ đến $(S)$. Khi đó $(P)$ đi qua $M(a; 0; 0)$, vuông góc với đường thẳng $d$, phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $$ 2(x-a)+4 y-z=0 \Leftrightarrow 2 x+4 y-z-2 a=0$$ Ta có: $M$ là điểm nằm ngoài mặt cầu, suy ra $$I M>R \Leftrightarrow(a-4)^2+9+36>50 \Leftrightarrow(a-4)^2>5(1)$$
$d(I,(P))<R \Leftrightarrow \dfrac{|8-12+6-2 a|}{\sqrt{21}}<5 \sqrt{2} \Leftrightarrow|2-2 a|<5 \sqrt{42}$.
Từ (1) và (2), suy ra:
\begin{align*}
\begin{cases} (a-4)^2>5\\|2-2a|<5\sqrt{42}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a^2-8a+11>0\\a^2-2a+1<\dfrac{350}{3}\end{cases}\\
\begin{cases} a\ge 7\\a\le 1\\-15\le a\le 17\end{cases}\Leftrightarrow -15\le a\le 1\vee 7\le a\le 17.
\end{align*}
Mà $a \in \mathbb{Z}$ nên có 28 điểm $M$ thoả mãn.
Câu 50.
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f'(x)=x^2+10 x, \forall x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(x^4-8 x^2+m\right)$ có đúng 9 điểm cực trị?
A. $16$
B. $9$
C. $15$
D. $10$
Hướng dẫn.
Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;x=-10$.
$y’=(4x^3-16x).f’\left(x^4-8x^2+m\right)=0$
\begin{align*}
\Leftrightarrow &4x^3-16x=0\vee f’\left(x^4-8x^2+m\right)=0\\
\Leftrightarrow &x=0\vee x=-2\vee x^4-8x^2+m=0\vee x^4-8x^2+m=-10\\
\Leftrightarrow &x=0;x=2;x=-2; x^4-8x^2=-m(1); x^4-8x^2=-m-10(2)
\end{align*}
Để hàm số $y=f\left(x^4-8 x^2+m\right)$ có 9 điểm cực trị thì $f’\left(x^4-8 x^2+m\right)=0$ phải có 6 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình (1) phải có 2 nghiệm và phương trình (2) phải có 4 nghiệm.
Ta có: $\left\{\begin{array}l-m \geq 0 \ -16<-m-10<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}lm \leq 0 \ -10<m<6\end{array} \Leftrightarrow-10<m \leq 0\right.\right.$.\\
Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in\{-9;-8; \ldots:-1: 0\}$.
Vậy có 10 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn đề bài.
