SỬ DỤNG AM-GM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẤU BẰNG KHÔNG TẠI TÂM

Bài viết của tác giả Lê Khánh Sỹ. O2 Education đã xin phép tác giả để đăng lại trên website.

Bất đẳng thức AM-GM là một trong những bất đẳng thức thường sử dụng. Ở Việt Nam, chúng ta hay gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Cauchy, dù không phải do ông lần đầu tiên đưa ra bất đẳng thức này.

1. Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức dấu bằng không tại tâm

Bài tập 1. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge 2\sqrt{1+\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}.$$

Hướng dẫn. Nhân hai vế bầt đẳng thức cho $\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$ bất đẳng thức viết lại như sau $$\sqrt{a(a+b)(a+c)}+\sqrt{b(b+c)(b+a)}+\sqrt{c(c+a)(c+b)}\ge 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}.$$
Áp dụng Mincopxki, ta có $$\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{b^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{c^2(a+b+c)+abc}\ge \sqrt{(a+b+c)^3+9abc}$$ Áp dụng Schur có $$\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\ge\sqrt{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}.$$
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$, hoặc $a=0$ và $b=c>0$, hoặc các hoán vị.

Nếu chọn $ab+bc+ca=1$ thì chúng ta thu được đó là bất đẳng thức Iran 2008: $$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge 2\sqrt{a+b+c}.$$ Nếu chọn $a+b+c=1$ thì cũng là bài toán quen thuộc thường thấy trên diễn đàn toán học: $$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\ge 2\sqrt{ab+bc+ca}.$$

Bài toán trên cũng liên quan mật thiết đến bài Jack garfunkel $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2.$$

Bài tập 2. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 6.$$

Hướng dẫn. Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $(ab+bc+ca)$, ta được
$$a^2+b^2+c^2+abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2}\ge 6(ab+bc+ca),$$
hay
$$(a+b+c)^2+abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2}\ge 8(ab+bc+ca),$$
Bất đẳng thức trên luôn đúng do AM-GM với hai số dương $$(a+b+c)^2+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2}\ge 8(ab+bc+ca),$$
và $$abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi hoán vị $(a,b,c)\sim (0,t,t)$ với $t>0.$

Tiếp cận cách khác: Bất đẳng thức viết lại như sau $$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 9.$$ Vì $abc\ge 0$ do đó theo tính chất bắc cần chúng ta đi chứng minh $$(a+b+c)\left[\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right]+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 9.$$ Vì $abc\ge 0$ do đó theo tính chất bắc cần chúng ta đi chứng minh $$(a+b+c)\left[\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right]+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 9,$$
hay
$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 6,$$
hay
$$\left[a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)\right]^2\ge 0.$$ Hiển nhiên đúng.

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 16$ thì $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{k(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 2\left(\sqrt{k}-1 \right).$$

Bài tập 3. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 8.$$

Hướng dẫn. Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $(ab+bc+ca)$, ta được $$a^2+b^2+c^2+abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 8(ab+bc+ca).$$ Bất đẳng thức trên luôn đúng do AM-GM với hai số dương
$$a^2+b^2+c^2+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 8(ab+bc+ca),$$ và
$$abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=4.$

Tiếp cận cách khác. Áp dụng Bài tập 2 chúng ta cần chứng minh $$\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca} +\frac{16(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 11,$$ hay $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} +\frac{16(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 8,$$
Đây chính là AM-GM bài toán chứng minh xong.

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 4$ thì $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{k(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 2\sqrt{k}.$$

Bài tập 4. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{27(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 52.$$

Hướng dẫn. Ta có $$ \dfrac{a^2(ab+bc+ca)^2}{b^2+c^2}= \dfrac{a^2\left[a^2(b^2+c^2)+2abc(b+c+a)+b^2c^2 \right]}{b^2+c^2}\ge a^4.$$ Do đó nhân hai vế cho $(ab+bc+ca)$ và để bất đẳng thức đúng chúng cần chứng minh $$a^4+b^4+c^4+ \dfrac{27(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 52(ab+bc+ca)^2.$$ Mà $$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+4abc(a+b+c)\ge (a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2.$$ Do đó theo tính chất bắc cầu ta đi chứng minh
$$(a^2+b^2+c^2)^2+\dfrac{27(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 54(ab+bc+ca)^2,$$ hay
$$(a^2+b^2+c^2)^3+54(ab+bc+ca)^3\ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.$$

Bất đẳng thức trên luôn đúng theo AM-GM do $$(a^2+b^2+c^2)^3+ 27(ab+bc+ca)^2+27(ab+bc+ca)^2\ge 3\sqrt[3]{27^2(a^2+b^2+c^2)^3(ab+bc+ca)^6}$$$$= 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=3.$

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 8$ thì $$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{k(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge k+3\sqrt[3]{k^2}-2+\dfrac{4abc(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2}.$$

Bài tập 5. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c} \ge 6 .$$

Hướng dẫn. Ta có $$\sqrt{\dfrac{a(ab+bc+ca)}{b+c}}=\sqrt{a^2+\dfrac{abc}{b+c}}\ge a.$$ Do đó nhân hai vế cho $\sqrt{ab+bc+ca}$ và để bất đẳng thức đúng chúng cần chứng minh $$a+b+c+\dfrac{9(ab+bc+ca)}{a+b+c}\ge 6\sqrt{ab+bc+ca},$$ hay $$\left(a+b+c-3\sqrt{ab+bc+ca} \right)^2\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7.$

Tổng quát:

• Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 4$ thì $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{k\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c} \ge 2\sqrt{k}.$$
• Với các số thực không âm $x,y,z,a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 4\min\{xy,yz,zx\}$ thì $$x\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+y\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+z\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{k\sqrt{ab+bc+ca}}{xa+yb+zc} \ge 2\sqrt{k}.$$

Bài tập 6. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{27(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2} .$$

Hướng dẫn. Ta có $$\sqrt{\dfrac{a(ab+bc+ca)}{b+c}}=\sqrt{a^2+\dfrac{abc}{b+c}}\ge a.$$ Do đó nhân hai vế cho $\sqrt{ab+bc+ca}$ và để bất đẳng thức đúng chúng cần chứng minh $$a+b+c+\dfrac{3\sqrt{3}(ab+bc+ca)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}\sqrt{ab+bc+ca},$$ hay
$$\sqrt{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}+\dfrac{3\sqrt{3}(ab+bc+ca)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}\sqrt{ab+bc+ca}.$$ Đặt $t=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2}\ge \sqrt{3}$ chúng ta cần chứng minh $$f(x):=x+\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x^2-2}}-\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\ge 0$$ Dễ thấy rằng $f'(x)=0$ khi $x=2\sqrt{2}$, khi đó $$f(x)\ge f(2\sqrt{2})=0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=6.$

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge \sqrt{2}$ thì $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+k\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}} \ge x+\dfrac{k}{\sqrt{x^2-2}}.$$
Với
$$x=\sqrt{ \dfrac{k^2}{\sqrt[3]{27k^2+3\sqrt{81k^4-3k^6}}} +\dfrac{\sqrt[3]{27k^2+3\sqrt{81k^4-3k^6}}}{3}+2 }.$$

Bài tập 7. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{8}{a+b+c}\ge \dfrac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$

Hướng dẫn. Viết lại bất đẳng thức như sau $$\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}+\dfrac{8}{a+b+c}\ge \dfrac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$ Bất đẳng thức đúng thì chúng ta chỉ cần chứng minh $$\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}+\dfrac{8}{a+b+c}\ge \dfrac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}},$$ hay $$\left(a+b+c-3\sqrt{ab+bc+ca} \right)^2\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7.$

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 3$ thì $$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{k}{a+b+c}\ge \dfrac{2\sqrt{k+1}}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$

Bài tập 8. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}+\dfrac{24}{(a+b+c)^2}\ge \dfrac{8}{ab+bc+ca} .$$

Hướng dẫn. Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $(a+b+c)^2$, ta được $$2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c+a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a+b}\right)^2+27\ge \dfrac{8(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.$$ Như trên thì ta có $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca},$$
và \begin{align}\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c+a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a+b}\right)^2\ge \dfrac{a^4+b^4+c^4}{(ab+bc+ca)^2}\\
\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}\\
=\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)^2-2.\end{align} Đặt $y=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge 1$ bài toán cần chứng minh theo tính chất bắc cầu qua ngôn ngữ $y$ như sau $$2y+y^2+25\ge 8(y+2),$$ hay $$(y-3)^2\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=3.$

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 15$ thì $$\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}+\dfrac{k}{(a+b+c)^2}\ge \dfrac{2\left(\sqrt{k+1}-1 \right)}{ab+bc+ca}.$$

Bài tập 9. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge \dfrac{5}{2(ab+bc+ca)} .$$

Hướng dẫn. Giả sử rằng $c=\min\{a,b,c\}$ khi đó ta có $$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge \dfrac{1}{\left(a+\dfrac{c}{2} \right)^2+\left(b+\dfrac{c}{2} \right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+\dfrac{c}{2} \right)^2}+\dfrac{1}{\left(a+\dfrac{c}{2} \right)^2},$$ và $$\left(a+\dfrac{c}{2}\right)\left(b+\dfrac{c}{2}\right)-(ab+bc+ca)=\dfrac{c(c-2a-2b)}{4}\le 0. $$Do đó chúng ta cần chứng minh bài toán qua ngôn ngữ $x,y$ như sau $$\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge \dfrac{5}{2xy},$$
hay $$\dfrac{(x-y)^2(2x^2+2y^2-xy)}{2x^2y^2(x^2+y^2)}\ge 0. $$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $a=b>0$.

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không thì $$\dfrac{1}{a^2-kab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-kbc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-kca+a^2}\ge \dfrac{E_k}{(ab+bc+ca)},$$ khi đó $$E_k=\begin{cases} \dfrac{5-2k}{2-k},\ \ \ \ 0\le k\le 1\\
2+k,\ \ \ \ 1\le k\le 2\end{cases}.$$ Thật vậy, dễ thấy rằng ba phân thức vế trái là dương. Giả sử $a\ge b\ge c$. Ta có $$a^2-kab+b^2- \left[\left( a+\dfrac{c}{2}\right)^2-k\left( a+\dfrac{c}{2}\right)\left( b+\dfrac{c}{2} \right)+\left( b+\dfrac{c}{2} \right)^2 \right]=\dfrac{(k-2)(2a+2b+c)c}{4}\le 0,$$ $$a^2-kac+c^2 \le\left( a+\dfrac{c}{2}\right)^2,$$ và $$b^2-kbc+c^2 \le\left( b+\dfrac{c}{2}\right)^2,$$ $$\left(a+\dfrac{c}{2}\right)\left(b+\dfrac{c}{2}\right)\le ab+bc+ca.$$ Do đó chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức theo ngôn ngữ $x,y$ dương như sau $$\dfrac{1}{x^2-kxy+y^2}+\frac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge \dfrac{E_k}{xy}.$$ Nếu $1\le k\le 2$ bất đẳng thức viết lại $$\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{xy}+k\ge E_k.$$ Áp dụng AM-GM, ta có $$\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{xy}+k\ge 2+k=E_k.$$ Nếu $0\le k\le 1$ bất đẳng thức viết lại $$\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{xy}+k\ge E_k.$$ Chú ý rằng trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi $x=y$, do đó trọng số của $\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}= \dfrac{1}{2-k}$ vậy nên chúng ta phải phân tích như sau. Bất đẳng thức viết lại \begin{align}\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{(2-k)^2xy}
+\left[1-\dfrac{1}{(2-k)^2}\right]\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\dfrac{k}{(2-k)^2}\\
\ge \dfrac{2}{2-k}+2\left[1-\dfrac{1}{(2-k)^2}\right]+\dfrac{k}{(2-k)^2}\\
=E_k.\end{align} Hoàn tất chứng minh.

Bài tập 10. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$4\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\right)+9\ge\dfrac{27(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.$$

Hướng dẫn. Dễ thấy rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$ Vì thế chúng ta chỉ cần chứng minh với ngôn ngữ $x\ge 1$ như sau $$4\sqrt{x+2}+9\ge \dfrac{27x}{x+2},$$ hay $$\dfrac{54}{x+2}+2\sqrt{x+2} +2\sqrt{x+2}\ge 18.$$ Đây chính là bất đẳng thức AM-GM cơ bản.

Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7.$

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $0<k\le \dfrac{3}{2}$ thì $$4k^3\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\right)+9(3-2k^2)\ge \dfrac{27(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.$$

Bài tập 11. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|\le \dfrac{(a+b+c)^3}{6\sqrt{3}}.$$

Hướng dẫn. Bình phương hai vế, ta được $$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\le \dfrac{(a+b+c)^6}{108}.$$
Giả sử rằng $c=\min\{a,b,c\}$ khi đó ta có \begin{align} (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\le (a^2-2ab+b^2).ab.ab \\
\text{(Áp dụng AM-GM)}\ \ \le\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(a^2-2ab+b^2+2ab+2ab)^3}{27}\\
\le \dfrac{(a+b)^6}{108}\\
\le \dfrac{(a+b+c)^6}{108}.
\end{align} Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=4.$

Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ và $\dfrac{2}{3}\le k\le 2$. Khi đó ta có $$(a^2-kab+b^2)(b^2-kbc+c^2)(c^2-kca+a^2)\le \dfrac{4(a+b+c)^6}{27(2+k)^2}.$$ Thật vậy không mất tính tổng quát giả sử rằng $c=\min\{a,b,c\}$. Khi đó ta có
$$0\le b^2-kbc+c^2\le b(b-kc+c),$$ và $$0\le c^2-kca+a^2 \le a(c-kc+a).$$ Do đó chúng ta cần chứng minh $$(a^2-kab+b^2)(ab-kca+ca)(bc-kbc+ab)\le \dfrac{4(a+b+c)^6}{27(2+k)^2},$$ hay $$(a^2-kab+b^2).x(ab-kca+ca).x(bc-kbc+ab)\le \dfrac{(a+b+c)^6}{27} \left(x=1+\dfrac{k}{2}\right).$$ Áp dụng AM-GM thì ta cần chứng minh $$\left[(a+b)^2+\left(1+\dfrac{k}{2}\right)(1-k)(a+b)c \right]^3\le (a+b+c)^6,$$ hay $$c\left[(k^2+k+2)(a+b)+2c\right]\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{2+3k}{2}.$

2. Bài tập tự luyện

Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng với $k\ge 1$ ta luôn có 2 bài toán sau:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+k\cdot\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a^3+b^3+c^3}\ge 2\sqrt{k}+1.$$
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+k\cdot\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^3+b^3+c^3}\ge 2\sqrt{k}+1.$$