Category: Toán 11

Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x
Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là một dạng phương trình quan trọng bên cạnh các phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x, phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x)

Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là gì?

Dạng tổng quát: Là các phương trình chỉ chứa $\sin x$ và $\cos x$ sao cho khi đổi chỗ $\sin x, \cos x$ cho nhau, phương trình là không đổi.

Cách giải: Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$, điều kiện $t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]$ thì suy ra $\sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$.

Lưu ý, sau khi tìm được $t$, chúng ta cần thay vào $t=\sin x+\cos x$ và giải để tìm $x$. Không được thay vào $\sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$, vì đây là phương trình hệ quả.

Ví dụ phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. $\sin x+\cos x+3\sin x\cos x=1$
2. $\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\cos x}=\sqrt{2}$
Chú ý. Nhiều phương trình chưa có dạng đang xét thì sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi về dạng đang xét.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:
1. $2\sin 2x-2(\sin x+\cos x)+1=0$
2. $1+\tan x=2\sqrt{2}\sin x$
Chú ý. Cách giải trên cũng được sử dụng để giải các phương trình chỉ chứa $\sin x – \cos x$ và $\sin x\cos x$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình:
1. $(1+\sqrt{2})(\sin x-\cos x)+2\sin x\cos x=1+\sqrt{2}$
2. $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=1$
Chú ý. Cách đặt ẩn phụ như trên cũng được dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
1. $y=\dfrac{1-\sin 2x}{\sin x+\cos x+2}$
2. $y=\sin x-\cos x+\sqrt{1+\sin x\cos x}$
Bài tập phương trình lượng giác đối xứng đối với sin x và cos x

Giải phương trình:
1. $1+\tan x=2\sin x + \frac{1}{\cos x}$
2. $\sin x+\cos x=\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{\cot x}$
3. $1- \sin3x+\cos3x= \sin2x$
4. $2\sin x+\cot x=2 \sin2x+1$
5. $\sqrt{2}\sin2x(\sin x+\cos x)=2$
6. $\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x$
7. $ 1+\sin^32x+\cos^32 x=\frac{3}{2}\sin 4x$
8. $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=1$
03/10/2021
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là một trong những dạng Phương trình lượng giác thường gặp.

1. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng tổng quát: $a\sin x+b\cos x=c$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$

Cách giải: Chia hai vế cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Chú ý. Điều kiện nghiệm của phương trình là ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. $\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$
2. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}$
3. $3\sin x+4\cos x-5=0$
4. $2\sin x-3\cos x=5$
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. $\sin x-\cos x=\sqrt{3}$
2. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$
3. $\sin x+2\cos x=\sqrt{5}$
4. $\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x+\sqrt{2}=0$
Chú ý. Nhiều phương trình chưa có dạng đang xét thì cần sử dụng công thức lượng giác hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng đang xét

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1. ${{\cos }^{2}}x+\sqrt{12}\sin x\cos x=1+{{\sin }^{2}}x$
2. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=3+\frac{1}{\sqrt{3}\sin x+\cos x+1}$
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$
2. $4\sin x+3\cos x+\frac{6}{4\sin x+3\cos x+1}=6$
Chú ý. Cách làm trên cũng được áp dụng khi giải các phương trình có dạng:
- $a\sin u+b\cos u=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin v$
- $a\sin u+b\cos u=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cos v$
- $a\sin u+b\cos u=\pm a\sin v\pm b\cos v$
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos 5x$
2. $2\sin x+3\cos x=2\cos 3x-2\sin 3x$
3. $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin 3x$
4. $\sin x-2\cos x=\cos 3x-2\sin 3x$
5. $\frac{\cos x-2\sin x.\cos x}{2{{\cos }^{2}}x+\sin x-1}=\sqrt{3}$
Chú ý. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$ cũng được dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lượng giác bằng phương pháp sử dụng định nghĩa tập giá trị.

Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. $y=2+3\sin x+4\cos x$
2. $y=\frac{2+\cos x}{\sin x+\cos x-2}$
3. $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x+2$
4. $y=f(x)=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$
5. $y=f(x)=3\sin 2x+4{{\cos }^{2}}x$
2. Phương trình thuần nhất bậc cao với sin x và cos x

Phương trình thuần nhất bậc hai với sin x và cos x

Dạng tổng quát: $$a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=d$$

Cách giải 1: Chia hai vế cho ${{\cos }^{2}}x$ để đưa về phương trình bậc hai đối với $\tan x$

Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. ${{\sin }^{2}}x+3\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$
2. $4\sin x+3\sqrt{3}\sin x.\cos x-2{{\cos }^{2}}x=4$
Chú ý. Nếu chia hai vế cho ${{\sin }^{2}}x$ thì được phương trình bậc hai đối với $\cot x$

Ví dụ 2. Giải các phương trình:
1. $3{{\sin }^{2}}x-\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=2$
2. $\sin x+(1-\sqrt{3})\sin x\cos x-\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x=0$
3. ${{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x=1$
Chú ý. Trong nhiều trường hợp, phương trình chưa có dạng đang xét thì sử dụng công thức lượng giác biến đổi về dạng đang xét

Ví dụ 3. Giải phương trình:
1. $3{{\sin }^{2}}x-4\sin 2x-2\cos 2x+5{{\cos }^{2}}x=0$
2. \sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$
Cách giải 2: Sử dụng công thức hạ bậc hoặc công thức nhân đôi thấy có dạng bậc nhất với sinx và cosx

Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. ${{\sin }^{2}}x+3\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$
2. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$
3. $3{{\sin }^{2}}x-4\sin 2x-2\cos 2x+5{{\cos }^{2}}x=0$
4. ${{\cos }^{2}}x-3\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x-1=0$
2. Phương trình thuần nhất bậc cao (bậc 3) với sin x và cos x

Cách giải hoàn toàn tương tự như trên nhưng không sử dụng công thức hạ bậc mà chia hai vế cho $\sin x$ hoặc $\cos x$ với số mũ cao nhất.

Ví dụ. Giải các phương trình:
1. $4{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{3}}x-3\sin x=0$
2. ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x-\cos x$
3. ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x+\cos x$
4. $4{{\sin }^{3}}x+3{{\cos }^{3}}x-3\sin x-{{\sin }^{2}}x\cos x=0$
5. ${{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=1$
LUYỆN TẬP

Giải các phương trình:
1. $\cos 7x.\cos 5x-\sqrt{3}\sin 2x=1-\sin 7x.\sin 5x$
2. $4{{\sin }^{3}}x-1=3\sin x-\sqrt{3}\cos 3x$
3. $4({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)+\sqrt{3}\sin 4x=2$
4. $\sqrt{2+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x}=\sin x+\sqrt{3}\cos x$
5. ${{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x+1=0$
6. $4\sin x+6\cos x=\frac{1}{\cos x}$
7. ${{\cos }^{3}}x-4{{\sin }^{3}}x-3\cos x.{{\sin }^{2}}x+\sin x=0$
8. $2{{\cos }^{3}}x=\sin 3x$
03/10/2021
Good Questions in Limits
Good Questions in Limits

Credit: www.math.cornell.edu

1. Good Questions in Limits

Question 1. Let $f$ be the function defined by $f(x)=\sin x+\cos x$ and let $g$ be the function defined by $g(u)=\sin u+\cos u$, for all real numbers $x$ and $u$. Then,
- (a) $f$ and $g$ are exactly the same functions
- (b) if $x$ and $u$ are different numbers, $f$ and $g$ are different functions
- (c) not enough information is given to determine if $f$ and $g$ are the same.
Question 2. TRUE or FALSE. If
- $f(x)=\displaystyle{\frac{x^2-4}{x-2}}$ and
- $g(x)=x+2$, then we can say the functions $f$ and $g$ are equal.
Question 3. Imagine that there is a rope around the equator of the earth. Add a 20 meter segment of rope to it. The new rope is held in a circular shape centered about the earth. Then the following can walk beneath the rope without touching it:
- (a) an amoeba
- (b) an ant
- (c) I (the student)
- (d) all of the above
Question 4. Given two infinite decimals $a=0. 3939393939…$ and $b=0.67766777666…$, their sum $a+b$
- (a) is not defined because the sum of a rational and irrational number is not defined.
- (b) is not a number because not all infinite decimals are real numbers.
- (c) can be defined precisely by using successively better approximations
- (d) is not a real number because the pattern may not be predictable indefinitely.
Question 5. TRUE or FALSE. As $x$ increases to $100$, $f(x)=1/x$ gets closer and closer to $0$, so the limit as $x$ goes to $100$ of $f(x)$ is $0$. Be prepared to justify your answer.

Question 6. TRUE or FALSE. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L}$ means that if $x_1$ is closer to $a$ than $x_2$ is, then $f(x_1)$ will be closer to $L$ than $f(x_2)$ is. Be prepared to justify your answer with an argument or counterexample.

Question 7. You’re trying to guess $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x)}$. You plug in $x=0.1, 0.01, 0.001, \dots$ and get $f(x)=0$ for all these values. In fact, you’re told that for all $n=1, 2, \dots, f\left(\frac{1}{10^n}\right)=0$.

TRUE or FALSE: Since the sequence $0.1, 0.01, 0.001, \dots$ goes to $0$, we know $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} f(x)}=0$.

Question 8. Suppose you have an infinite sequence of closed intervals, each one contains the next, and suppose too that the width of the $n$th interval is less than $\frac{1}{n}$. If $a$ and $b$ are in each of these intervals,
- (a) $a$ and $b$ are very close but they don’t have to be equal
- (b) either $a$ or $b$ must be an endpoint of one of the intervals
- (c) $a=b$
Question 9. Consider the function $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2 & \mbox{$x$ is rational, $x\neq 0$} \\ -x^2 & \mbox{$x$ is irrational} \\ \mbox{undefined} & x=0 \end{array}\right.$$ Then
- (a) there is no $a$ for which $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists
- (b) there may be some $a$ for which $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists, but it is impossible to say without more information
- (c) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists only when $a=0$
- (d) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists for infinitely many $a$
Question 10. The statement “Whether or not $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists, depends on how $f(a)$ is defined,” is true
- (a) sometimes
- (b) always
- (c) never
See more: Function Exercise

Question 11. If a function $f$ is not defined at $x=a$,
- (a) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}$ cannot exist
- (b) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}$ could be $0$
- (c) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}$ must approach $\infty$
- (d) none of the above.
Question 12. If $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)=0}$ and $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(x)=0}$, then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}}$
- (a) does not exist
- (b) must exist
- (c) not enough information
The following two problems to be used in a sequence:

Question 13. The reason that $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\sin (1/x)}$ does not exist is:
- (a) because no matter how close $x$ gets to $0$, there are $x$’s near $0$ for which $\sin(1/x) =1$, and some for which $\sin (1/x)=-1$
- (b) because the function values oscillate around $0$
- (c) because $1/0$ is undefined
- (d) all of the above
Question 14. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}x^2\sin (1/x)}$
- (a) does not exist because no matter how close $x$ gets to $0$, there are $x$’s near $0$ for which $\sin(1/x) =1$, and some for which $\sin (1/x)=-1$
- (b) does not exist because the function values oscillate around $0$
- (c) does not exist because $1/0$ is undefined
- (d) equals $0$
- (e) equals $1$
Question 15. Suppose you have two linear functions $f$ and $g$ shown below.

Then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}}$ is
- (a) 2
- (b) does not exist
- (c) not enough information
- (d) 3
Question 16. TRUE or FALSE. Consider a function $f(x)$ with the property that $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x) =0}$. Now consider another function $g(x)$ also defined near $a$. Then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} [f(x)g(x)] = 0}$.

Question 17. TRUE or FALSE.

If $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x) =\infty}$ and $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(x) =\infty}$, then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} [f(x)-g(x)] =0}$.

Question 18. Suppose you have two linear function $f$ and $g$ shown below.

Then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}}$ is
- (a) 2
- (b) does not exist
- (c) not enough information
- (d) 3
Question 19. What is the maximum number of horizontal asymptotes that a function can have?
- (a) one
- (b) two
- (c) three
- (d) as many as we want
Question 20. TRUE or FALSE. A function can cross its horizontal asymptote.

2. Answer

Question 1. Let $f$ be the function defined by $f(x)=\sin x+\cos x$ and let $g$ be the function defined by $g(u)=\sin u+\cos u$, for all real numbers $x$ and $u$. Then,
- (a) $f$ and $g$ are exactly the same functions
- (b) if $x$ and $u$ are different numbers, $f$ and $g$ are different functions
- (c) not enough information is given to determine if $f$ and $g$ are the same.
Answer: (a). Both $f$ and $g$ are given by the same rule, and are defined on the same domain, hence they are the same function.

Question 2. TRUE or FALSE. If
- $f(x)=\displaystyle{\frac{x^2-4}{x-2}}$ and
- $g(x)=x+2$, then we can say the functions $f$ and $g$ are equal.
Answer: FALSE. Note that even if the two functions have the same rule, they are defined on different domains, i.e., $f$ is not defined at 2.

Question 3. Imagine that there is a rope around the equator of the earth. Add a 20 meter segment of rope to it. The new rope is held in a circular shape centered about the earth. Then the following can walk beneath the rope without touching it:
- (a) an amoeba
- (b) an ant
- (c) I (the student)
- (d) all of the above
Answer: (d). This question is quite difficult for students because it is very counter-intuitive. A little algebra needs to be done to see that as long as the student is not over $\frac{20}{2\pi}$ meters tall, she should be able to walk under the rope.

Students should know or be provided with the perimeter of a circle. There is no need to know the radius of the Earth at equator. The problem encourages using a mathematical model to check one’s intuition. Instructors should validate students’ intuition: the change in radius is very small relative to the radius, and this may lead to the erroneous conclusion that a human would not be able to walk underneath the rope; however, a human’s height is also very small relative to the radius.

Question 4. Given two infinite decimals $a=0. 3939393939…$ and $b= 0. 67766777666…$, their sum $a+b$
- (a) is not defined because the sum of a rational and irrational number is not defined.
- (b) is not a number because not all infinite decimals are real numbers.
- (c) can be defined precisely by using successively better approximations
- (d) is not a real number because the pattern may not be predictable indefinitely.
Answer: (c). Students may be unsure about real numbers as infinite decimals. Students know that all rational numbers have terminating or repeating decimal representations. They also know that there are irrational numbers, hence there are some numbers that are represented as infinite decimals. However, they may not know that every infinite decimal represents a number (although not uniquely in the case of repeating 9’s and repeating 0’s) -The phrase “can be defined precisely” may cause some to reject this as a solution. In discussing this question, instructors can introduce the idea that every infinite decimal is a number and the Archimedian Axiom can help us see how we can tell whether two numbers are the same.

Question 5. TRUE or FALSE. As $x$ increases to $100$, $f(x)=1/x$ gets closer and closer to $0$, so the limit as $x$ goes to $100$ of $f(x)$ is $0$. Be prepared to justify your answer.

Answer: FALSE. As $x$ increases to $100$, $f(x)=1/x$ gets closer and closer to $0$, gets closer and closer to $1/1000$, but not as close as to $1/100$.
The question points out the weakness of the statement “$f(x)$ gets closer to $L$ as $x\to a$, and therefore $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L}$”.

Question 6. TRUE or FALSE. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L}$ means that if $x_1$ is closer to $a$ than $x_2$ is, then $f(x_1)$ will be closer to $L$ than $f(x_2)$ is. Be prepared to justify your answer with an argument or counterexample.

Answer: FALSE. Going to the limit is not monotonic! As a counterexample you can consider $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
2x & x\ge 0 \\ -x & x<0 \end{array}\right. $$ Then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0}$, and take $x_1=0.25$, $x_2=-0.35$.

Question 7. You’re trying to guess $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x)}$. You plug in $x=0.1, 0.01, 0.001, \dots$ and get $f(x)=0$ for all these values. In fact, you’re told that for all $n=1, 2, \dots,f\left(\frac{1}{10^n}\right)=0$.

TRUE or FALSE: Since the sequence $0.1, 0.01, 0.001, \dots$ goes to $0$, we know $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} f(x)}=0$.

Answer: FALSE. The goal is to see whether the students understand that it’s not enough to check the limit for one particular sequence of numbers that goes to 0. The instructor may want to recall the function $\displaystyle{\sin (\frac{\pi}{x})}$ from Stewart, as $x$ goes to 0, in order to discuss the problem. Make sure to point out this problem as an example of the danger of using calculators to “find” limits.

Question 8. Suppose you have an infinite sequence of closed intervals, each one contains the next, and suppose too that the width of the $n$th interval is less than $\frac{1}{n}$. If $a$ and $b$ are in each of these intervals,
- (a) $a$ and $b$ are very close but they don’t have to be equal
- (b) either $a$ or $b$ must be an endpoint of one of the intervals
- (c) $a=b$
Answer: (c). If using this problem, the instructor should briefly talk about the Archimedian Axiom, and how intersection of nested closed intervals $I_n$ of respective lengths $\frac{1}{n}$, is a single point. Since both $a$ and $b$ are in each of these $I_n$, this single point of intersection is $a=b$. Students have a hard time understanding the Squeeze Theorem, so this might be a good place to start in attacking that problem.

Question 9. Consider the function $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2 & \mbox{$x$ is rational, $x\neq 0$} \\ -x^2 & \mbox{$x$ is irrational} \\ \mbox{undefined} & x=0 \end{array}\right.$$ Then
- (a) there is no $a$ for which $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists
- (b) there may be some $a$ for which $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists, but it is impossible to say without more information
- (c) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists only when $a=0$
- (d) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists for infinitely many $a$
Answer: (c). Students should be encouraged to draw the graph and discuss.

Question 10. The statement “Whether or not $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ exists, depends on how $f(a)$ is defined,” is true
- (a) sometimes
- (b) always
- (c) never
Answer: (c). Use this problem to stress that $f(a)$ need not be defined in order for $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ to exist. Students have a difficult time asserting “never”. The problem provides an opportunity to discuss what a limit is.

Question 11. If a function $f$ is not defined at $x=a$,
- (a) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}$ cannot exist
- (b) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}$ could be $0$
- (c) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}$ must approach $\infty$
- (d) none of the above.
Answer: (b). Answers $(a)$ and $(c)$ are very popular. $f(a)$ need not be defined in order for $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ to exist, and it does not have to approach $\infty$. However, the limit could be 0, for example consider $f(x)= 0$ for all $x \neq a$, and $f(a)$ not defined. The student has to note the difference between “cannot”, “could” and “must”.

Question 12. If $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x)=0}$ and $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(x)=0}$, then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}}$
- (a) does not exist
- (b) must exist
- (c) not enough information
Answer: (c). Point out that $\frac{0}{0}$ is not always equal to $1$. If this question is used after any of the previous two problems, more students will be able to answer correctly.

The following two problems to be used in a sequence:

Question 13. The reason that $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\sin (1/x)}$ does not exist is:
- (a) because no matter how close $x$ gets to $0$, there are $x$’s near $0$ for which $\sin(1/x) =1$, and some for which $\sin (1/x)=-1$
- (b) because the function values oscillate around $0$
- (c) because $1/0$ is undefined
- (d) all of the above
Answer: (a). Illustrate why (b) and (c) are not the reason why the limit does not exist, by introducing the next problem.

Question 14. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}x^2\sin (1/x)}$
- (a) does not exist because no matter how close $x$ gets to $0$, there are $x$’s near $0$ for which $\sin(1/x) =1$, and some for which $\sin (1/x)=-1$
- (b) does not exist because the function values oscillate around $0$
- (c) does not exist because $1/0$ is undefined
- (d) equals $0$
- (e) equals $1$
Answer: (d). As in the previous problem, the function oscillates and $1/0$ is undefined, however, this limit exists. This is also a nice application of The Squeeze Theorem: $$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} (-x^2)}\le \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}x^2\sin (1/x)} \le \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} x^2}$$ Therefore, the limit equals $0$.

Question 15. Suppose you have two linear functions $f$ and $g$ shown below.

Then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}}$ is
- (a) 2
- (b) does not exist
- (c) not enough information
- (d) 3
Answer: (a). This problem requires a geometrical argument:

Solution 1: By similar triangles, $\frac{f(x)}{6}=\frac{ x-a}{0-a}=\frac{ g(x)}{3}$, and therefore $\frac {f(x)}{g(x)}=\frac {6}{3}=2$.

Solution 2: $$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \frac {\frac{f(x)}{-a}}{\frac{g(x)}{-a}}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \frac {\mbox{slope of } f}{\mbox{slope of } g}}=\frac{6}{3}=2$$ This problem is a nice preview of L’Hospital’s Rule.

Question 16. TRUE or FALSE. Consider a function $f(x)$ with the property that $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x) =0}$. Now consider another function $g(x)$ also defined near $a$. Then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} [f(x)g(x)] = 0}$.

Answer: FALSE. Students might justify a True answer by “zero times any number equals zero”. Point out that it is possible that $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(x) =\infty}$. A quick counterexample can be $a=0$, $f(x)=x$ and $g(x)=1/x$.

Question 17. TRUE or FALSE.

If $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} f(x) =\infty}$ and $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(x) =\infty}$, then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} [f(x)-g(x)] =0}$.

Answer: FALSE. Students might be thinking that $\infty$ is a number, and therefore $\infty -\infty=0$. As a quick counterexample, consider $f(x)=x^2$ and $g(x)=x$.

Question 18. Suppose you have two linear function $f$ and $g$ shown below.

Then $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}}$ is
- (a) 2
- (b) does not exist
- (c) not enough information
- (d) 3
Answer: (a). Recall problem $6.$ in Section $2.3$. $\frac{f(x)}{6}=\frac{ x-a}{0-a}=\frac{ g(x)}{3}$, and therefore $\frac {f(x)}{g(x)}=\frac {6}{3}=2$.

Question 19. What is the maximum number of horizontal asymptotes that a function can have?
- (a) one
- (b) two
- (c) three
- (d) as many as we want
Answer: (b). Students must pay attention to the way horizontal asymptotes are defined. Point out that asymptotes are defined as we go to $\infty$ and to $-\infty$, even though a function may have asymptotic behavior at other points.

Question 20. TRUE or FALSE. A function can cross its horizontal asymptote.

Answer: TRUE. It is easy to sketch a function that crosses its horizontal asymptote. For example, consider $\frac{\sin x}{x}$.
24/09/2021
Điểm và đường thẳng trong không gian lớp 11
Điểm và đường thẳng trong không gian

1. Tóm tắt lý thuyết về điểm và đường thẳng trong không gian

Ba cách xác định một mặt phẳng
- Qua ba điểm không thẳng hàng $ A,B,C $; kí hiệu là $ (ABC) $ hoặc $ mp(ABC). $
- Qua đường thẳng $ d$ và điểm $M\notin d$; kí hiệu là $ mp(d,M) $
- Qua hai đường thẳng $ d_1,d_2 $ cắt nhau; kí hiệu là $ mp(d_1,d_2) $
Quy tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
- Trên cùng một đường thẳng} hoặc trên hai đường thẳng song song} thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên. Đặc biệt, hình biểu diễn của trung điểm là trung điểm.
Các tính chất thừa nhận
- Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt
- Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đã cho.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung , thì chúng còn có điểm chung khác nữa. Do đó, chúng có chung một đường thẳng, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
- Có ít nhất bốn điểm không đồng phẳng.
Hình chóp
- Cho đa giác $ A_1A_2…A_n $ nằm trên mặt phẳng $(P)$ và điểm $ S $ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$ thì hình chóp $ S.A_1A_2…A_n $ là hình gồm đa giác $ A_1A_2…A_n $ và $ n $ tam giác có $ S $ là đỉnh chung: $ SA_1A_2,SA_2A_3,… SA_nA_1. $
- Ta gọi tên hình chóp tùy theo số cạnh của đa giác đáy, ví dụ hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác…
- Tứ diện là hình gồm có bốn điểm không đồng phẳng.
Một số hình không gian thường gặp

Để học tốt hình học không gian, việc đầu tiên là các em cần vẽ hình đúng các quy tắc. Khi vẽ hình đúng rồi, chúng ta cần lựa chọn cách vẽ làm sao cho dễ nhìn nhất có thể. Dưới đây là cách vẽ hình chuẩn của một số hình không gian thường gặp.
- Hình chóp tam giác, tứ diện
- Hình chóp tứ giác có đáy không là hình thang (đáy là một tứ giác bất kì)
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông
- Hình chóp ngũ giác
- Hình chóp lục giác
2. Bài tập điểm và đường thẳng trong không gian

Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3. Chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Dạng 4. Xác định giao tuyến của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng

Mời thầy cô và các em học sinh xem chi tiết trong các bài viết sau:
10/09/2021
Phương trình lượng giác thường gặp
Phương trình lượng giác thường gặp

Mục đích của giải phương trình lượng giác là biến đổi để đưa về các Phương trình lượng giác cơ bản. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp dưới đây cũng không nằm ngoài quy luật đó. Phần bài tập, mời các em học sinh xem trong bài Bài tập phương trình lượng giác thường gặp.

1. Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác

Cụ thể hơn, chúng ta gặp các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Nâng cao hơn thì sẽ là phương trình bậc ba, phương trình trùng phương bậc bốn đối với một hàm số lượng giác.

Các giải. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình $ f(t)=0 $ trong đó $ t $ là một hàm số lượng giác

Chú ý điều kiện cho ẩn phụ nếu có, chẳng hạn đặt $ t=\sin x $ hoặc $ t=\cos x $ thì cần điều kiện $ |t|\le1 $.

Ví dụ 1. Giải phương trình $2\cos^{2}x+\cos x-3=0$.

Hướng dẫn.

Có thể đặt $ t=\cos x $, điều kiện $ |t|\le1 $ và đưa về phương trình $$2t^2+t-3=0.$$

Giải phương trình tìm được $t$ và từ đó tìm được $x$. Tuy nhiên, chúng ta có thể làm ngắn gọn hơn như sau:

Phương trình đã cho tương đương với \begin{align} &2(\cos x-1)(\cos x+\frac{3}{2})=0 \\
\Leftrightarrow &\Bigg[\begin{array}{l} \cos x=1\\ \cos =-\frac{3}{2}\text{ (vô nghiệm)} \end{array} \\
\Leftrightarrow &x=k2\pi.\end{align}

Ví dụ 2. Giải phương trình $\tan2x-2\cot2x+1=0.$

Hướng dẫn. Điều kiện $\begin{cases} \cos2x & \ne0\\ \sin2x & \ne0 \end{cases}\Leftrightarrow\sin4x\ne0\Leftrightarrow x\ne k\frac{\pi}{4}$.

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với:\begin{align} & \tan2x-2\frac{1}{\tan2x}+1=0\\
\Leftrightarrow&\tan^{2}2x+\tan2x-2=0 \\
\Leftrightarrow&(\tan2x-1)(\tan2x+2)=0\\
\Leftrightarrow&\Bigg[\begin{array}{c}
\tan2x=1\\
\tan2x=-2
\end{array}\\
\Leftrightarrow&\Bigg[\begin{array}{c}
x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{1}{2}\arctan(-2)+k\frac{\pi}{2}
\end{array}
\end{align}
Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
1. $ 2\cos x\cos2x=1+\cos2x+\cos3x $
2. $ 5(1+\cos x)=2+\sin^4x-\cos^4 x $
3. $ \sin^4 x+\cos^4 x=\sin2x-\frac{1}{2} $
4. $ 2\cos3x\cos x-4\sin^2 2x=0 $
5. $ \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}+\frac{1}{\sin x\cos x}=2 $
6. $ \tan x+\frac{3}{\cot x}-4=0 $
7. $ \tan x+4\cot x+5=0 $
8. $ \frac{3}{\cos^2 x}=3+2\tan^2x $
9. $ \cos^2 x-2\cos x+\frac{2}{\cos x}+\frac{1}{\cos^2 x}=1 $
Đáp số.
1. $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi,x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi.$
2. $ x=\pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi $
3. $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi $
4. $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi,x=\pm\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{6}+k\pi $
5. $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\frac{5\pi}{4}+k\pi $
6. $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi $
7. $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan(-4)+k\pi $
8. $ x=k\pi $
9. $ x=\pm\arccos\frac{3-\sqrt{5}}{2}+k2\pi $
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. $ 4\sin^3x-8\sin^2x+\sin x+3=0 $
2. (CĐSPHN05) $ 4\cos^3x-2\cos x-1=\cos2x $
3. (Luật2000) $ 4(\sin3x-\cos2x)=5(\sin x-1) $
4. $ \sin2x+2\tan x=3 $
Hướng dẫn.
1. $ \frac{\pi}{2}+k2\pi,-\frac{\pi}{6}+k2\pi,\frac{7\pi}{6}+k2\pi $
2. $ \frac{\pi}{2}+k\pi,k2\pi,\pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi $
3. $ \frac{\pi}{2}+k2\pi,\arcsin(-\frac{1}{4})+k2\pi,\pi-\arcsin(-\frac{1}{4})+k2\pi $
4. Sử dụng công thức biến đổi $ \sin2x $ theo $\tan x $. Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
Ví dụ 5. [NNHN 2000] Giải phương trình $$ 2\cos 2x-8\cos x+7=\frac{1}{\cos x}$$

Hướng dẫn. Điều kiện $ \cos x\ne 0. $ Đặt $ t=\cos x $ ta được phương trình \begin{align} & 4t^3-8t^2+5t-1=0 \\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}t=1 \\t=\frac{1}{2} \end{array}\right. \\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}\cos x=1 \\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array}\right. \\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array}\right.\end{align}

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
1. $ \cos(2x+\frac{\pi}{4})+\cos(2x-\frac{\pi}{4})+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x) $
2. $ 1-\cos(\pi+x)-\sin(\frac{3\pi+x}{2})=0 $
3. $ \frac{4\sin^2 2x+6\sin^2 x-9-3\cos2x}{\cos x} =0$
4. $ \cot(\frac{3\pi}{2}+x)-\tan^2x=\frac{\cos2x-1}{\cos^2x} $
5. $ \cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\cos(x-\frac{\pi}{6})=\frac{5}{2} $
6. $ \cos^2(3x+\frac{\pi}{2})-\cos^23x-3\cos(\frac{\pi}{2}-3x)+2=0 $
7. $ \sin^8x+\cos^8x=\frac{17}{16}\cos^22x $
8. $ 8\cos^3(x+\frac{\pi}{3})=\cos3x $
Hướng dẫn.
1. $ -2(\sin x-\sqrt{2})(\sin x-\frac{1}{2})=0 $
2. $ 1+\cos x+\cos\frac{x}{2}=0 \Leftrightarrow x=\pi+k4\pi,\pm \frac{4\pi}{3}+k4\pi $
3. Đưa về phương trình bậc hai theo $ \cos2x. $ Đáp số $ \pm \frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi $ (loại)
4. Đưa về phương trình theo $ \tan x. $ Đáp số $ k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi $
5. $ 1-2\sin^2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2})=\frac{5}{2}. $ Đáp số $ -\frac{\pi}{6}+k2\pi,\frac{\pi}{2}+k2\pi. $
6. Đưa về phương trình bậc hai theo $ \sin3x. $ Đáp số $ \frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}. $
7. Đưa về phương trình trùng phương theo $ \sin2x. $ Đáp số $ \pm \frac{\pi}{8}+k\pi, \pm \frac{3\pi}{8}+k\pi.$
8. $ 8\cos^3(x+\frac{\pi}{3})=-\cos(3x+\pi) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\pm\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+k2\pi,\pm\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+k2\pi. $
2. Phương trình bậc nhất đối với $ \sin x $ và $ \cos x $

Dạng phương trình: $$a\sin x+b\cos x=c,~~(a^{2}+b^{2}\ne0)$$

Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ta được \[ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]
Đặt $\cos\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\sin\alpha =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ đưa về phương trình $ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. $ Đây chính là Phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Chú ý: Phương trình có nghiệm khi $ a^2+b^2\ge c^2 $

Ví dụ. Giải các phương trình sau:
1. $ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2 $
2. $ \sin x+\cos x=1 $
3. $ 3\sin x+4\cos x=5 $
4. $\sin x+2\cos x=3$
5. (CĐ08) $ \sin3x-\sqrt{3}\cos3x=2\sin2x $
6. $ \cos7x\cos5x-\sqrt{3}\sin2x=1-\sin7x\sin5x $
7. $ 3\cos^2 x=\sin^2 x+\sin 2x $
8. $ \sin8x-\cos6x=\sqrt{3}(\sin 6c+\cos8x) $
9. $ \sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $
10. $ \sin x(1-\sin x)=\cos x(\cos x-1) $
11. $ (\sin2x+\sqrt{3}\cos2x)^2-5=\cos(2x-\frac{\pi}{6}) $
12. $ \cos^4 x+\sin^4 (x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{4}. $
13. $ 8\sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} $
14. $ 4(\sin^4x+\cos^4x)+\sqrt{3}\sin4x=2 $
Hướng dẫn.
1. Bạn đọc tự làm.
2. Bạn đọc tự làm.
3. Bạn đọc tự làm.
4. Phương trình vô nghiệm.
5. Đưa về $ \sin(3x-\frac{\pi}{3})=\sin2x. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi,x=\frac{4\pi}{15}+k\frac{2\pi}{5}. $
6. Đáp số $ x=k\pi,x=-\frac{\pi}{3}+k\pi. $
7. Hạ bậc, đưa về $ 2\cos2x-\sin2x=-1. $
8. Bạn đọc tự làm.
9. Biến đổi thành $ \sqrt{3}\sin2x+\cos2x=1 $.
10. Nhân vào được $ \sin x+\cos x=1. $ Đáp số $ x=k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi. $
11. Đưa về phương trình bậc hai của $ \cos(2x-\frac{\pi}{6}). $ Đáp số $ x=\frac{7\pi}{12}+k\pi. $
12. Hạ bậc, đưa về phương trình $ \sin2x+\cos2x=-1. $ Đáp số $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{2}+k\pi. $
13. Qui đồng được $ 3\cos x-4\cos x\cos2x=\sqrt{3}\sin x. $ Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng được phương trình $2\cos3x=\cos x-\sqrt{3}\sin x \Leftrightarrow \cos3x=\cos(x-\frac{\pi}{3}). $ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi,x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}. $
14. Hạ bậc, đưa về phương trình $ \cos(4x-\frac{\pi}{3})=\cos\frac{2\pi}{3}. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}. $
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với $ \sin x $ và $ \cos x $

Loại phương trình này còn được gọi là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ \sin x $ và $ \cos x $. Dạng nâng cao, chúng ta có thể gặp phương trình thuần nhất bậc ba đối với $ \sin x $ và $ \cos x $, cách làm cũng tương tự.

Dạng phương trình $$a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$$
Cách giải. Ta xét hai trường hợp:
- Nếu $ \cos x=0 \Leftrightarrow \sin x=\pm1.$ Ta thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?
- Nếu $ \cos x\ne0, $ chia cả hai vế phương trình cho $ \cos^2 x $ đưa về phương trình bậc hai đối với $ \tan x. $
Chú ý:
- Có thể hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với $ \sin2x $ và $ \cos2x. $
- Phương trình $a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$ cũng giải tương tự bằng cách xét hai trường hợp, khi đó sử dụng $ \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x. $
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. $ \sin^2 x+2\sin x\cos x+3\cos^2x-3=0 $
2. $ \sin^2x-3\sin x\cos x+1=0 $
3. $ 4\sqrt{3}\sin x\cos x+4\cos^2x=2\sin^2x+\frac{5}{2} $
4. $ \cos^2x+\frac{3}{2}\sin2x+1=0 $
5. (An Ninh 98) $ \sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $
6. $ 3\sin^2(3\pi-x)+2\sin(\frac{5\pi}{2}+x)\cos(\frac{\pi}{2}+x)-5\sin^2(\frac{3\pi}{2}+x)=0 $
Hướng dẫn.
1. $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
2. $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan(\frac{1}{2})+k\pi. $
3. $ x=\frac{\pi}{3}+k\pi,x=\arctan(\frac{-\sqrt{3}}{9})+k\pi. $
4. $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan(-2)+k\pi. $
5. $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{3}+k\pi. $
6. $ 3\sin^2x-2\sin x\cos x-5\sin^2x=0. $ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan\frac{5}{3}+k\pi. $
Ví dụ 2. [Đại học Y Dược Thành phố Hồ Chí Minh 1997] Giải phương trình: $$ \sin x.\sin 2x+\sin 3x=6{{\cos }^{3}}x $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \[4{{\sin }^{3}}x-3\sin x-2{{\sin }^{2}}x\cos x+6{{\cos }^{3}}x=0\]
Tìm được $ \tan x=2, \tan x=\pm \sqrt{3}. $

Ví dụ 3. [TS Nha Trang 2000] Cho phương trình $$ \cos^2 x-\sin x\cos x-2\sin^2x-m=0 .$$
1. Giải phương trình khi $ m=1. $
2. Giải và biện luận theo $ m. $
Hướng dẫn.
1. Khi $ m=1, $ đáp số $ x=k\pi,x=\arctan(-\frac{1}{3})+k\pi. $
2. Ta xét hai trường hợp:
  - Nếu $ \cos^2 x=0 $ thì PT $ \Leftrightarrow 2\sin^2x=m. $ Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $$ -\frac{m}{2}=1 \Leftrightarrow m=-2. $$ Khi đó nghiệm là $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. $
  - Nếu $ \cos^2x\ne 0 \Leftrightarrow m\ne -2 $ thì ta chia hai vế của phương trình đã cho cho $ \cos^2 x $ được \begin{align*}
    &1-\tan x-2\tan^2 x-m(1+\tan^2x)=0\\
    \Leftrightarrow &(m+2)\tan^2x+\tan x+m-1=0
    \end{align*} là phương trình bậc hai có $ \Delta=-4m^2-4m+9. $
Từ đó có kết luận: Khi $ m\in(-\infty,\frac{1-\sqrt{10}}{2})\cup(\frac{1+\sqrt{10}}{2},+\infty)\setminus\{-2\} $ thì phương trình vô nghiệm và có nghiệm trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. (NT96) $ \cos^3x-3\sin^3x+\sin x \cos^2x=3\cos x \sin^2x $
2. (LHN96) $ 4\sin^3x+3\cos^3x-3\sin x=\sin^2x\cos x $
3. (YHN99) $ \sin x+\cos x-4\sin^3x=0 $
4. (QGHN96) $ 1+3\sin 2x=2\tan x $
5. (QGHN98) $ 8\cos^3\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3x $
6. $ 2\sin x+2\sqrt{3} \cos x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} $
Hướng dẫn.
1. Chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình $ -3\tan^3x-3\tan^2x+\tan x+1=0. $ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\pm \frac{\pi}{3}+k\pi. $
2. Chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình $ (\tan x-1)(\tan^2x-3)=0. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, x=\pm \frac{\pi}{3}+k\pi. $
3. Chia hai vế cho $ \cos^3x, $ được phương trình $ (\tan x-1)(3\tan^2x+2\tan x+1)=0. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
4. Điều kiện $ \cos x\ne0. $ Chia hai vế cho $ \cos^2x, $ được phương trình $$ (\tan x+1)(2\tan^2x-3\tan x-1)=0 $$ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, x=\arctan\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}+k\pi. $
5. Biến đổi thành $ (\cos x-\sqrt{3}\sin x)^3-3\cos x+4\cos^3x=0. $ Chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình $$ 3\sqrt{3}\tan^3x-12\tan^2x+3\sqrt{3}\tan x=0 $$ Đáp số $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{6}+k\pi,x=\frac{\pi}{3}+k\pi. $
6. Điều kiện $ \sin x\cos x\ne0. $ Qui đồng rồi chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình \[ \sqrt{3}\tan x-\tan^2x-\sqrt{3}\tan x+1=0 \] Đáp số $ x=\pm \frac{\pi}{4}+k\pi, x=\frac{\pi}{6}+k\pi. $
4. Phương trình đối xứng đối với $ \sin x $ và $ \cos x $

Phương trình đối xứng đối với $ \sin x $ và $ \cos x $ có dấu hiệu nhận biết là: Khi thay $ \sin x $ bởi $ \cos x $ và $ \cos x $ bởi $ \sin x $ thì phương trình không thay đổi.

Cách giải. Đặt $t=\sin x\pm\cos x=\sqrt{2}\sin(x\pm \frac{\pi}{4})$, điều kiện $|t|\le\sqrt{2}$ thì $\sin x\cos x=\pm\frac{t^{2}-1}{2}$ đưa về phương trình đa thức đối với $ t. $

Lưu ý. Phương trình lượng giác đối xứng đối với $ \tan x $ và $ \cot x $ ta thay $ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x} $ và chuyển về phương trình đối xứng với $ \sin x,\cos x $.

Ví dụ 1. Đánh giá lời giải sau:

Giải phương trình: $ \cos x-\sin x+\sin x\cos x=1. $
Đặt $ t=\cos x-\sin x, $ điều kiện $ |t|\le \sqrt{2}, $ thì $ \sin 2x=1-t^2. $ Phương trình trở thành $ t^2-2t+1=0 \Leftrightarrow t=1. $ Do đó $ \sin 2x=0 \Leftrightarrow x=k\frac{\pi}{2}. $

Hướng dẫn. Sai vì ở bước $ t=\cos x-\sin x $ ta bình phương để suy ra $ \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2} $ là phép biến đổi hệ quả!

Chú ý. Tìm được nghiệm $ t $, ta thay vào $ t=\sqrt{2}\sin(x\pm \frac{\pi}{4}) $ không được thay vào $ \sin x\cos x=\pm\frac{t^{2}-1}{2}. $

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. $ \sin x+\cos x-2\sin x\cos x-1=0 $
2. $ (1-\sin x\cos x)(\sin x+\cos x)=\frac{\sqrt{2} }{2} $
3. $ \cos x+\frac{1}{\cos x}+\sin x+\frac{1}{\sin x}=\frac{10}{3} $
4. $ \sin^3x+\cos^3x=\frac{\sqrt{2} }{2} $
5. $ \sin x-\cos x+7\sin2x=1 $
6. $ (1+\sqrt{2})(\sin x-\cos x)+2\sin x\cos x=1+\sqrt{2}. $
7. (NNHN2000) $ \sin2x+\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})=1. $
Hướng dẫn.
1. Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}),$ điều kiện $ |t|\le \sqrt{2}, $ được phương trình $ t-t^2=0.$ Đáp số $ x=… $
2. Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}),$ điều kiện $ |t|\le \sqrt{2}, $ được phương trình $$ t^3-3t+\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2} t-1)=0. $$ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,x=-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{1-\sqrt{3} }{2}+k2\pi,x=\frac{3\pi}{4}+\arcsin\frac{-1+\sqrt{3} }{2}+k2\pi. $
3. Điều kiện $ \sin x\cos x\ne0. $ Qui đồng, đặt $ t=… $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{2-\sqrt{19}}{3\sqrt{2}}+k2\pi. $
4. Đưa về phương trình $$ t^3+3t-\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow -(t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2} t-1)=0. $$ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,x=-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{1-\sqrt{3}}{2}+k2\pi,x=\frac{3\pi}{4}+\arcsin\frac{1-\sqrt{3} }{2}+k2\pi. $
5. Đưa về PT $ -7t^2+t+6=0. $ Đáp số $ x=-\pi+k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,x=-\frac{\pi}{4}\pm\arccos(\frac{3\sqrt{2}}{7})+k2\pi. $
6. Đưa về phương trình $ t^2-(1+\sqrt{2})t+\sqrt{2}=0. $ Đáp số $ x=-\pi+k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi. $
7. Đưa về phương trình $ -t^2+t=0. $ Đáp số $ x=\pi_k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,x=\frac{\pi}{4}+k2\pi. $
Ví dụ 3. [Đại Học Huế 2001] Cho phương trình: $$ {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=m\sin 2x-\frac{1}{2} $$
1. Giải phương trình với $ m=1 $
2. Chứng minh rằng $ \forall \left| m \right|\ge 1 $ phương trình luôn có nghiệm.
Hướng dẫn.
1. Biến đổi phương trình thành \[ {{\sin }^{2}}2x+2m\sin 2x-3=0\]
2. Khi $ m=1, $ phương trình có nghiệm $ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right) $ Sử dụng định lí đảo…
Ví dụ 4. [Vô địch NewYork 1973] Giải phương trình $$ {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x=\frac{97}{128}$$

Hướng dẫn. Hạ bậc, đưa về phương trình \[\Leftrightarrow {{\left( \cos 2x+1 \right)}^{4}}+{{\left( \cos 2x-1 \right)}^{4}}=\frac{97}{8}\]
Đặt $ t=\cos 2x. $ Đáp số $ x=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$.

Ví dụ 5. Giải các phương trình:
1. $ \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x $
2. $ 3(\tan x+\cot x)=2(2+\sin 2x) $
Hướng dẫn.
1. Điều kiện $ \sin x\cos x\ne0. $ Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
  &\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\\
  \Leftrightarrow & \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{2}{\sin 2x}
  \end{align*} Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}),$ điều kiện $ |t| \le \sqrt{2}, $ được phương trình $$ t^3-t-\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2} t+1)=0.$$ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
2. Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
08/09/2021
Bài tập phương trình lượng giác thường gặp
Bài tập phương trình lượng giác thường gặp

Để làm được các Bài tập phương trình lượng giác thường gặp dưới đây, các em cần thành thạo ba kiến thức sau:
- Công thức lượng giác ở chương trình Toán 10
- Các dạng phương trình lượng giác cơ bản
- Các dạng phương trình lượng giác thường gặp
Bài 1. Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác
1. $2\cos ( 2x+\frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}$
2. $2\sin (2x+{{50}^{0}})=-1 $
3. $-\dfrac{2}{\cos x}=\tan x+\cot x $
4. $3\sin ^22x+7\cos 2x-3=0 $
5. $6\sin ^23x+\cos 12x=14 $
6. $4\sin ^4x+12{{\cos }^{2}}x=7 $
7. $\sin \frac{x}{2}+\cos x=1 $
8. $7\tan x-4\cot x=12 $
9. $2\sin ^2x-2\cos ^2x-4\sin x=-2 $
10. $3\cos 2x+4\cos ^3x-\cos 3x=0 $
11. $\sin 2x\sin 6x=\sin 3x\sin 5x $
12. $\sin 5x\sin 3x=\sin 9x\sin 7x $
13. $\cos ^2x-\sin ^2x=\sin 3x+\cos 4x $
14. $\sin ^22x+\sin ^24x=\sin ^26x $
15. $\cos 2x-\cos x=2\sin ^2\frac{3x}{2} $
Bài 2. Phương trình bậc nhất đối với $ \sin x $ và $ \cos x $
1. $4\sin x-3\cos x=5 $
2. $\sin x-\cos x=\frac{\sqrt{6}}{2} $
3. $2\sin 2x+3\cos 2x=\sqrt{13}\sin 4x $
4. $2\sin ^22x+\sqrt{3}\sin 4x=3 $
5. $\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos ( \frac{\pi }{3}-x ) $
6. $\cos (x+\frac{\pi}{6})+\cos (x-\frac{\pi}{3})=1$
Bài 3. Phương trình thuần nhất đối với $ \sin x $ và $ \cos x $ (Phương trình này còn được gọi là phương trình đẳng cấp đối với $ \sin x $ và $ \cos x $)
1. $\sin ^2x-10\sin x\cos x+21\cos ^2x=0 $
2. $2\sin ^22x-3\sin 2x\cos 2x+\cos ^22x=2 $
3. $\cos^2x-\sin ^2x-\sqrt{3}\sin 2x=1 $
4. $\cos ^2x-3\sin x\cos x+1=0 $
5. $4\sqrt{3}\sin x\cos x+4\cos^2x-2\sin ^2x=\dfrac{5}{2} $
6. $\dfrac{1}{\sin x}=4\cos x+6\sin x $
7. $3\sin ^3x+4\cos^3x=3\sin x $
8. $2{{\cos }^{3}}x+3\cos x-8{{\sin }^{3}}x=0$
9. $ \cos^3x – \sin^3x – 3\cos x\sin^2x + \sin x = 0 $
10. $2\sin ^2( x-\frac{\pi }{2})-\cos(\frac{\pi}{2}-2x )+2\cos ^2(2x+\frac{3\pi}{2})=1 $
Bài 4. Phương trình đối xứng đối với các hàm số lượng giác.
1. ${{\left( \sin x+\cos x \right)}^{4}}-3\sin 2x-1=0$
2. $3(\sin x+\cos x)-\sin 2x-3=0 $
3. $2(\sin 4x+\frac{1}{2}\sin 2x)+\cos 2x=-3 $
4. $2\sin 2x-3\sqrt{3}(\sin x+\cos x)=-8 $
5. $\sin 2x-4(\cos x-\sin x )-4=0 $
6. $\sin 2x+2\sin( x-\frac{\pi }{4})=1 $
7. $\dfrac{3}{\sin x+\cos x}=\sin x\cos x $
8. $2(\sin^3x+\cos^3x)+\sin 2x(\sin x+\cos x )=\sqrt{2} $
9. $(\sin 2x+\cos 2x )(\sin^32x+\cos^32x)=1 $
10. $\sin x+\cos x+2+\tan x+\cot x+\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\cos x}=0$
11. $3\left( \tan x+\cot x \right)-2\left( {{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x \right)-2=0$
12. $\tan x+{{\tan }^{2}}x+{{\tan }^{3}}x+\cot x+{{\cot }^{2}}x+{{\cot }^{3}}x=6$
Bài 5. Cho phương trình ${{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{3}}x=m$. Xác định $ m $ để phương trình có nghiệm.
08/09/2021
Bài tập phương trình lượng giác cơ bản
Bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Sau khi nắm vững lý thuyết và các ví dụ Phương trình lượng giác cơ bản, các em học sinh có thể tự luyện các Bài tập phương trình lượng giác cơ bản sau:

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
1. $ \sin4x=\dfrac{4}{3} $
2. $ \cos x=\dfrac{1}{4} $
3. $ \cot x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} $
4. $ \sin(x-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{2} }{2} $
5. $ \cos(\pi-x)=-1 $
6. $ \tan(45^\circ-3x)=-\sqrt{3} $
7. $\tan(2x+20^{\circ})+\sqrt{3}=1$
8. $\tan(2x+1)-\tan(3x-1)=1$
9. $\cos\Big(2x-\dfrac{\pi}{4}\Big)+\sin\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=0$
Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
1. $ \cos\Big(5x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=\cos2x $
2. $ \sin\Big(\dfrac{\pi}{3}-x\Big)-\sin\Big(3x+\dfrac{\pi}{6}\Big)=0 $
3. $ \sin(30^\circ-x)=\cos2x $
4. $ \cos\Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)+\sin5x=0 $
5. $ 3-4\sin^2{2x}=0$
6. $(1-\cos x)(1+\cos x)=0 $
7. $(3-\sin x)(1-2\sin x)=0$
8. $ \sin^2{x}=\dfrac{1}{4}$
9. $\sin^2{\Big(5x+\dfrac{2\pi}{3}\Big)}=\cos^2{\Big(3x-\dfrac{\pi}{4}\Big)} $
10. $\cos{\Big(2x+\dfrac{\pi}{3}\Big)}=\cos x $
11. $\cos x=\sin \Big(3x+\dfrac{\pi}{6}\Big) $
12. $\sin \Big(2x+\dfrac{\pi}{3}\Big)= \sin \Big(\dfrac{2\pi}{3}-x\Big) $
13. $4\sin \Big(3x+\dfrac{\pi}{3}\Big)=\sqrt 6+\sqrt 2 $
Bài 3. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng đã cho:
1. $ \sin2x=0 $ trên $ [0,2\pi] $
2. $ \cos(x-\dfrac{\pi}{4})=1 $ trên $ [-\pi,3\pi] $
3. $ \sqrt{3}\tan x-3=0 $ trên $ (0,3\pi) $
4. $ \cot(2x+\dfrac{\pi}{6})=-1 $ trên $ (0,5\pi) $
Bài 4. Tìm $x\in \left( 0;3\pi \right)$ sao cho:$\sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)+2\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=0$.

Bài 5. Giải phương trình $$ 4x^3-\sqrt{1-x^2}-3x=0$$
Hướng dẫn. Điều kiện $ -1\le x\le 1 $ nên đặt $ x=\cos t $ với $ t\in[0,\pi] $ được phương trình $ \cos3t=\sin t. $ Đáp số $ x=\cos \dfrac{\pi}{8},x=\cos \dfrac{5\pi}{8}. $

Bài 6. Giải phương trình $$ x^3-3x=\sqrt{x+2} $$
Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge -2. $ Có nhận xét: Nếu $ x>2 $ thì $ x^3-3x>4x-3x=x>\sqrt{x+2} $ nên $ x\le 2. $ Vậy $ -2\le x\le 2 $ do đó đặt $ x=2\cos\alpha $ với $ \alpha\in[0,\pi]. $ Phương trình trở thành
\[ 2\cos3\alpha=\sqrt{2(1+\cos\alpha)}=2\cos\dfrac{\alpha}{2} \]
Giải phương trình này tìm được $ \alpha=0,\dfrac{4\pi}{7},\dfrac{4\pi}{5}. $\\
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $ x=2,x=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x=2\cos\dfrac{4\pi}{7}. $

Bài 7. [VMO 1984] Giải phương trình $$ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1+x^3)}-\sqrt{(1-x)^3} \right)=2+ \sqrt{1-x^2}.$$
Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in[-1,1] $ nên đặt $ x=\cos \alpha $ với $ \alpha \in [0,\pi] $ được phương trình
\begin{align*}
&\sqrt{1+\sqrt{1- \cos^2 \alpha}} \left( \sqrt{(1+\cos \alpha)^3}-\sqrt{(1-\cos \alpha)^3} \right)=2+ \sqrt{1- \cos^2 \alpha}\\
\Leftrightarrow &\sqrt{1+ \sin \alpha} \left(\sqrt{8 \left(\frac{1+ \cos \alpha}{2}\right)^3}- \sqrt{8 \left(\frac{1- \cos \alpha}{2}\right)^3} \right) = 2+ \sin \alpha\\
\Leftrightarrow & 2\sqrt{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2}+ \cos \frac{\alpha}{2} \right) \left( \cos \frac{\alpha}{2}- \sin \frac{\alpha}{2} \right) \left(1+ \frac{1}{2} \sin \alpha \right)=2 + \sin \alpha\\
\Leftrightarrow & \sqrt{2}\cos \alpha(2+ \sin \alpha)=2+ \sin \alpha\\
\Leftrightarrow & \cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{align*}
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. $
08/09/2021
Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình lượng giác cơ bản

Để giải được Phương trình lượng giác cơ bản, các em cần thành thạo Công thức lượng giác và Giá trị lượng giác của góc lớp 10.

1. Tóm tắt Phương trình lượng giác cơ bản

1.1. Phương trình $ \sin x=a $
- Nếu $ |a|>1$: Phương trình vô nghiệm.
- Nếu $ |a|\le 1 $: Biến đổi phương trình thành $$ \sin x=\sin\alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha+k2\pi \\x=\pi-\alpha+k2\pi \end{array}\right.$$
1.2. Phương trình $ \cos x=a $
- Nếu $ |a|>1$: Phương trình vô nghiệm.
- Nếu $ |a|\le 1 $: Biến đổi phương trình thành $$ \cos x=\cos\alpha \Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi $$
1.3. Phương trình $ \tan x=a $

Biến đổi thành $ \tan x=\tan\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi $

1.4. Phương trình $ \cot x=a $

Biến đổi thành $ \cot x=\cot\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi $

2. Các ví dụ Phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sin3x-\cos5x=0$.

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$\sin3x=\sin(\frac{\pi}{2}-5x)$

$\Leftrightarrow\Bigg[\begin{array}{c}
x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}\\
x=-\frac{\pi}{4}-k\pi
\end{array}$

Ví dụ 2. [B2013] Giải phương trình $\sin5x+2\cos^{2}x=1$.

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$\sin5x=-\cos2x$

$\Leftrightarrow\sin5x=\sin(2x-\frac{\pi}{2})$

$\Leftrightarrow\Bigg[\begin{array}{c}
x=-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\\
x=\frac{3\pi}{14}+k\frac{2\pi}{7}
\end{array}$

Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
1. $ \sin3x=\frac{1}{2} $
2. $ \cos2x=-\frac{\sqrt{2} }{2} $
3. $ \tan\Big(x-\frac{\pi}{4}\Big)=\sqrt{3} $
4. $ \sin3x-\cos2x=0 $
5. $ \sin3x+\cos2x=0 $
6. $ \tan4x\cot2x=1 $
7. $ 2\cos\Big(x-\frac{\pi}{6}\Big)+1=0 $
8. $ \tan\Big(2x+\frac{\pi}{3}\Big)+\tan3x=0 $
9. $ \cos x-2\sin^2 \frac{x}{2}=0 $
10. $ \cos^4 x-\sin^4 x=\frac{\sqrt{2} }{2} $
11. $ \sin\frac{x}{2}\cos\frac{\pi}{3} +\sin \frac{\pi}{3}\cos \frac{x}{2} =\frac{1}{2} $
12. $ \cos x=\pi $
Đáp số.
1. $\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3} $
2. $ \pm\frac{3\pi}{8}+k\pi $
3. $ \frac{7\pi}{12}+k\pi $
4. $ \frac{\pi}{2} +k2\pi,\frac{\pi}{10}+k\frac{2\pi}{5} $
5. Bạn đọc tự làm.
6. $ k\frac{\pi}{2} $
7. $ \frac{5\pi}{6}+k2\pi,-\frac{\pi}{2}+k2\pi $
8. $ -\frac{\pi}{15} +k\frac{\pi}{5} $
9. $ \pm \frac{\pi}{3}+k2\pi $
10. $ \pm \frac{\pi}{8} +k\pi $
11. $ -\frac{\pi}{3}+k4\pi,\pi+k4\pi $
12. $ \varnothing $
Ví dụ 4. Giải phương trình $\sin(\pi\cos x)=1$

Hướng dẫn.

Ta có phương trình $\sin(\pi\cos x)=1 $ tương đương với $$\pi\cos x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}+2k, k\in \mathbb{Z}.$$ Mà ta luôn có $ |\cos x|\le 1 $ nên $ \left|\frac{1}{2}+2k\right|\le 1. $ Kết hợp với $ k\in \mathbb{Z}, $ suy ra $ k=0. $ Do đó phương trình trở thành $$ \cos x=\frac{1}{2}$$ Giải phương trình này được $x=\pm \frac{\pi}{3}+n2\pi $ với $ n\in \mathbb{Z}. $

Ví dụ 5. [SPHN2 2000] Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $$ \cos\left(\frac{\pi}{8}(3x-\sqrt{9x^2+160x+800})\right)=1. $$
Hướng dẫn. Giả sử $ x $ là số nguyên thỏa mãn phương trình, khi đó có:
\begin{align*}
&\frac{\pi}{8}(3x-\sqrt{9x^2+160x+800}=k2\pi \\
\Leftrightarrow & \sqrt{9x^2+160x+800}=3x-16k\\
\Leftrightarrow & \begin{cases} 2x-16k\ge0\\x=\frac{8k^2-25}{3k+5} \end{cases} \\
\Leftrightarrow &\begin{cases} 2x-16k\ge0\\ 9x=24k-40 -\frac{25}{3k+5} \end{cases} \\
\Rightarrow &3k+5\in \mathbb{Z}.
\end{align*}
Từ đó tìm được $ k=-2,x=-7 $ hoặc $ k=-10,x=-31. $

Ví dụ 6. Giải phương trình $ \tan x=\tan 3x.$

Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi. $ Phương trình đã cho tương đương với \[ x=3x+k\pi \Leftrightarrow x=-k\frac{\pi}{2} \] Kết hợp điều kiện được đáp số $ x=k\pi. $

Chú ý. Phương trình $ \tan A=\tan B $ xác định khi $ A $ hoặc $ B $ xác định.

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản, mời thầy cô và các em xem trong bài viết Bài tập phương trình lượng giác cơ bản.
08/09/2021
Bài tập hàm số lượng giác Toán 11
Bài tập hàm số lượng giác Toán 11

Để làm được các Bài tập hàm số lượng giác Toán 11 dưới đây, các em cần nắm vững phần lý thuyết về Hàm số lượng giác và thành thạo các Công thức lượng giác, Giá trị lượng giác của góc ở Lớp 10

1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp. Sử dụng tính chất: $ -1\le \sin x\le 1,-1\le\cos x\le 1 $.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $ y=3+\sin x $.

Hướng dẫn. Ta có \begin{align*} &-1\le \sin x\le 1\\ \Leftrightarrow\;& 2\le 3+\sin x\le 4 \end{align*}

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi $ \sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi. $

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 2, $ đạt được khi $ \sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi. $

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=5-3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) $.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số$ y=\sin x\cos x $.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số$ y=\sin x+\cos x $.

2. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp. Để tìm tập xác định của một hàm số lượng giác, chúng ta cần sử dụng các kết quả:
- Hàm số \( \sin x, \cos x \) xác định với mọi \( x\in \mathbb{R} \)
- Hàm số \( \tan x \) xác định với mọi \( x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \)
- Hàm số \( \cot x \) xác định với mọi \( x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z} \)
Ngoài ra cần nhớ thêm \( \frac{A}{B} \) xác định khi và chỉ khi \( B\ne 0 \); \( \sqrt{A} \) xác định khi và chỉ khi \( A \geqslant 0 \).

Ví dụ. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1. $ y=\frac{\sin2x}{\sin3x} $
2. $ y=\cot\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) $
3. $ y=\tan\left(3x+\frac{2\pi}{3}\right) $
4. $ y=\frac{1}{\sin x+\cos x-1} $
3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Nhắc lại. Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathcal{D}. $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=-f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
Như vậy, để xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác, chúng ta cần:
- Tìm tập xác định của hàm số và kiểm tra điều kiện $ \forall x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $.
- Sử dụng các tính chất về cung có liên quan đặc biệt (cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tang) để so sánh \( f(-x) \) và \( f(x) \).
4. Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

Sử dụng các tính chất:
- Hàm số y=sinx đồng biến trên mỗi khoảng (−π2+k2π;π2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π2+k2π;3π2+k2π) với k∈Z.
- Hàm số $y=\cos x $ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}.$
5. Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Sử dụng các tính chất:
- Hàm số \( \sin x, \cos x \) tuần hoàn với chu kì \( 2\pi \).
- Hàm số \( \tan x, \cot x \) tuần hoàn với chu kì \( \pi \).
- Hàm số \( \sin ax, \cos ax \) tuần hoàn với chu kì \( \frac{2\pi}{a} \).
6. Bài tập hàm số lượng giác tự luyện

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
1. $ y=2+3\sin x $
2. $ y= -1+3\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
3. $ y=\frac{1+2\sin^2x}{2} $
4. $ y=5-3|\sin x| $
5. $ y=5-7\sin x\cos x $
6. $ y=\cos^2x-\sin^2x+3 $
7. $y=2\cos 2x+{{\sin }^{2}}x$
8. $y={{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-x \right)+{{(\sin x-\cos x)}^{2}}$
9. $ y=\sin x+\cos x+2 $
10. $ y=3\sin x-4\cos x $
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
1. $ y=\sin^4x-\cos^4x $
2. $ y=1-8\sin^2x \cos^2x $
3. $ y=\sin^6x-\cos^6x $
4. $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$
5. $ y=\sqrt{7-4\sin^2x \cos^2x } $
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1. $ y=\sin \frac{1}{x} $
2. $ y=\frac{\sin2x}{\cos x} $
3. $ y=\frac{1}{\tan x-\sqrt{3}} $
4. $ y=\frac{1}{\tan x}$
5. $ y=\frac{1}{\cos x-\sin x} $
6. $ y=\tan x\sqrt{2-\sin x} $
7. $ y=\sqrt{\frac{\cos x+3}{\cos x+1}} $
8. $ y=\sqrt{2-\sin x}+\cot x $
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số $ y=\sqrt{1+\sin x\cos x} $.

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số $ y=\frac{\tan x}{\sqrt{\cos^2x-\sin^2x+3}} $.

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $ y=-2\cos2x-4\sin x+6 $.

Đáp số. $ \min y=2, \max y=12 $

Bài 7. Chứng minh rằng \[\frac{1}{3+\sin x}+\frac{1}{3-\sin x}\le \frac{2}{2+\cos x}\]
Hướng dẫn. Vì $ 3+\sin x>0,3-\sin x>0 $ và $ 2+\cos x>0 $ nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
\begin{align*}
& 6(2+\cos x)\le 2(9-\sin^2x) \\
\Leftrightarrow\;& 12+6\cos x\le 18-2(1-\cos^2x) \\
\Leftrightarrow\;& 2\cos^2x-6\cos x+4\ge 0 \\
\Leftrightarrow\;& (\cos x-1)(\cos x-2)\ge 0
\end{align*}
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì $ \cos x\le 1. $
08/09/2021