Phương trình lượng giác cơ bản

Để giải được Phương trình lượng giác cơ bản, các em cần thành thạo Công thức lượng giác và Giá trị lượng giác của góc lớp 10.

1. Tóm tắt Phương trình lượng giác cơ bản

1.1. Phương trình $ \sin x=a $

• Nếu $ |a|>1$: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu $ |a|\le 1 $: Biến đổi phương trình thành $$ \sin x=\sin\alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\alpha+k2\pi \\x=\pi-\alpha+k2\pi \end{array}\right.$$

1.2. Phương trình $ \cos x=a $

• Nếu $ |a|>1$: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu $ |a|\le 1 $: Biến đổi phương trình thành $$ \cos x=\cos\alpha \Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi $$

1.3. Phương trình $ \tan x=a $

Biến đổi thành $ \tan x=\tan\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi $

1.4. Phương trình $ \cot x=a $

Biến đổi thành $ \cot x=\cot\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi $

2. Các ví dụ Phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sin3x-\cos5x=0$.

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$\sin3x=\sin(\frac{\pi}{2}-5x)$

$\Leftrightarrow\Bigg[\begin{array}{c}
x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}\\
x=-\frac{\pi}{4}-k\pi
\end{array}$

Ví dụ 2. [B2013] Giải phương trình $\sin5x+2\cos^{2}x=1$.

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$\sin5x=-\cos2x$

$\Leftrightarrow\sin5x=\sin(2x-\frac{\pi}{2})$

$\Leftrightarrow\Bigg[\begin{array}{c}
x=-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\\
x=\frac{3\pi}{14}+k\frac{2\pi}{7}
\end{array}$

Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:

1. $ \sin3x=\frac{1}{2} $
2. $ \cos2x=-\frac{\sqrt{2} }{2} $
3. $ \tan\Big(x-\frac{\pi}{4}\Big)=\sqrt{3} $
4. $ \sin3x-\cos2x=0 $
5. $ \sin3x+\cos2x=0 $
6. $ \tan4x\cot2x=1 $
7. $ 2\cos\Big(x-\frac{\pi}{6}\Big)+1=0 $
8. $ \tan\Big(2x+\frac{\pi}{3}\Big)+\tan3x=0 $
9. $ \cos x-2\sin^2 \frac{x}{2}=0 $
10. $ \cos^4 x-\sin^4 x=\frac{\sqrt{2} }{2} $
11. $ \sin\frac{x}{2}\cos\frac{\pi}{3} +\sin \frac{\pi}{3}\cos \frac{x}{2} =\frac{1}{2} $
12. $ \cos x=\pi $

Đáp số.

1. $\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3} $
2. $ \pm\frac{3\pi}{8}+k\pi $
3. $ \frac{7\pi}{12}+k\pi $
4. $ \frac{\pi}{2} +k2\pi,\frac{\pi}{10}+k\frac{2\pi}{5} $
5. Bạn đọc tự làm.
6. $ k\frac{\pi}{2} $
7. $ \frac{5\pi}{6}+k2\pi,-\frac{\pi}{2}+k2\pi $
8. $ -\frac{\pi}{15} +k\frac{\pi}{5} $
9. $ \pm \frac{\pi}{3}+k2\pi $
10. $ \pm \frac{\pi}{8} +k\pi $
11. $ -\frac{\pi}{3}+k4\pi,\pi+k4\pi $
12. $ \varnothing $

Ví dụ 4. Giải phương trình $\sin(\pi\cos x)=1$

Hướng dẫn.

Ta có phương trình $\sin(\pi\cos x)=1 $ tương đương với $$\pi\cos x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}+2k, k\in \mathbb{Z}.$$ Mà ta luôn có $ |\cos x|\le 1 $ nên $ \left|\frac{1}{2}+2k\right|\le 1. $ Kết hợp với $ k\in \mathbb{Z}, $ suy ra $ k=0. $ Do đó phương trình trở thành $$ \cos x=\frac{1}{2}$$  Giải phương trình này được $x=\pm \frac{\pi}{3}+n2\pi $ với $ n\in \mathbb{Z}. $

Ví dụ 5. [SPHN2 2000] Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $$ \cos\left(\frac{\pi}{8}(3x-\sqrt{9x^2+160x+800})\right)=1. $$
Hướng dẫn. Giả sử $ x $ là số nguyên thỏa mãn phương trình, khi đó có:
\begin{align*}
&\frac{\pi}{8}(3x-\sqrt{9x^2+160x+800}=k2\pi \\
\Leftrightarrow & \sqrt{9x^2+160x+800}=3x-16k\\
\Leftrightarrow & \begin{cases} 2x-16k\ge0\\x=\frac{8k^2-25}{3k+5} \end{cases} \\
\Leftrightarrow &\begin{cases} 2x-16k\ge0\\ 9x=24k-40 -\frac{25}{3k+5} \end{cases} \\
\Rightarrow &3k+5\in \mathbb{Z}.
\end{align*}
Từ đó tìm được $ k=-2,x=-7 $ hoặc $ k=-10,x=-31. $

Ví dụ 6. Giải phương trình $ \tan x=\tan 3x.$

Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi. $ Phương trình đã cho tương đương với \[ x=3x+k\pi \Leftrightarrow x=-k\frac{\pi}{2} \] Kết hợp điều kiện được đáp số $ x=k\pi. $

Chú ý. Phương trình $ \tan A=\tan B $ xác định khi $ A $ hoặc $ B $ xác định.

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản, mời thầy cô và các em xem trong bài viết Bài tập phương trình lượng giác cơ bản.