SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh trong dạy ôn tập hình học 9

SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh trong dạy ôn tập hình học 9

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Chúng ta đều biết: Dạy học cũng là một nghệ thuật. Dạy cái gì? Dạy
như thế nào? Và sử dụng những phương pháp, phương tiện thích hợp nào để
làm cho bài dạy có hiệu quả? Đây là một trong những vấn đề rất quan trọng
đối với giáo viên. Để thực hiện việc tốt nhiệm vụ dạy học, người giáo viên
phải tìm tòi các phương pháp, các thủ thuật và đặc biệt là tích lũy các kinh
nghiệm để làm cho bài giảng của mình có chất lượng và hiệu quả hơn. Thực
hiện việc dạy học cần phải phù hợp với khả năng, trình độ nhận thức của học
sinh, dạy học theo tinh thần “Lấy người học làm trung tâm”, quan tâm đến
nhu cầu, khả năng nhận thức của từng đối tượng học sinh. Tổ chức việc dạy
học đi theo hướng kiến tạo, có nghĩa học sinh sẽ là người chủ động tìm
kiếm, phát hiện, tự đưa ra suy luận để giải quyết vấn đề. Xuất phát từ thực tế
dạy và học toán, việc học toán chính là một quá trình lĩnh hội các tri thức toán
học. Trên cơ sở đó, học sinh biết vận dụng và vận dụng một cách sáng tạo
những tri thức được học vào giải các bài tập và thực tế cuộc sống. Do vậy
việc dạy toán là quá trình người thầy giúp cho học sinh nắm được bản chất
của vấn đề mà các em cần được lĩnh hội, dạy toán là dạy cho các em ngoài
việc tiếp thu được kiến thức trong sách giáo khoa thì còn giúp các em biết
vận dụng các kiến thức đã học vào cuộc sống thực tế.
Hình học là một môn học khó đặc biệt là những bài toán dành cho học
ôn thi THPT chuyên và cả không chuyên. Khi giải học sinh gặp nhiều bỡ ngỡ
và khó khăn. Mặt khác hình học là một phân môn rất quan trọng của chương
trình Toán, trong bất cứ kỳ thi nào cũng phải có mặt những bài toán hình học
cho nên nếu các em được trang bị các kiến thức một cách hệ thống, có được
kỹ năng tư duy tốt, có một cách suy nghĩ sáng tạo, một cách khai thác tốt các
kiến thức đã học vào giải bài sẽ đạt hiệu quả cao.
Bộ môn hình học là một bộ môn giúp các em phát triển tư duy một cách
rất tốt, đồng thời giúp các em linh hoạt, sáng tạo trong giải toán.Trường Lê
Quý Đôn là một trường có nhiệm vụ rất quan trọng trong đó là bồi dưỡng
nhân tài cho cả huyện, tỉnh, đất nước. Vì vậy việc dạy cho học sinh nắm các
kiến thức toán học một cách sâu sắc, có khả năng nhìn nhận một bài toán từ
nhiều góc độ khác nhau, biết khai thác từ một bài toán để được nhiều bài toán
khác, có kỹ năng phân tích, tổng hợp, biết cách tư duy để tìm tòi lời giải một
bài toán hình học là vô cùng cần và nên làm.
II. Mô tả giải pháp
1. Giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
. Qua thời gian nhiều năm giảng dạy tôi thấy học sinh hầu như làm quen
với bộ môn hình học rất chậm. Các em đều cảm thấy rất khó khăn khi gặp
một bài toán hình học. Đặc biệt các em không linh hoạt trong vận dụng các
kết quả đã học, đã được biết để giải một bài tập tiếp theo có nét tương tự;
hoặc hay nhầm lẫn giữa các bài toán có dữ liệu na ná giống nhau.
Trước đây, khi hướng dẫn học sinh ôn thi tuyển sinh THPT, bản thân
tôi cũng thường đưa hệ thống bài tập theo dạng bài dựa trên cơ sở một số tài
liệu tham khảo mà chưa quan tập tới việc hình thành kỹ năng tư duy cho học
sinh, chủ yếu chỉ phân chia và cho học sinh làm bài tập theo từng dạng mà
không hướng dẫn cho các em cách khai thác một bài toán, cách nhìn một bài
toán từ nhiều góc độ khác nhau, cách tích lũy kinh nghiệm giải toán thông qua
hệ thống bài tập đã được làm, đã được nghe giảng, vì vậy các em chưa biết
cách tư duy khi học hình, dẫn đến các em thường không giải được các bài tập
ở mức độ yêu cầu cao hơn. Nhiều em rất lúng túng khi phải giải quyết một bài
hình học và có tâm lý ‘ sợ” bài tập hình. Trong khi đó trong các đề thi tuyển
sinh THPT chuyên và không chuyên thì hình học thường chiếm 3 điểm, trong
đó thường có một câu giành cho học sinh có học lực khá giỏi. Chính vì vậy
nếu người thầy không có một giải pháp tốt trong dạy hình học cho các em thì
nhiều em thường không làm được câu c của bài hình trong các đề thi tuyển
sinh, do đó các em không đạt điểm cao khi tham gia các kỳ thi thi tuyển sinh
vào các trường THPT chuyên và không chuyên.
2. Giải pháp sau khi có sáng kiến
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy, nghiên cứu rút kinh nghiệm hôm
nay tôi xin trình bày những kinh nghiệm của tôi trong cách hướng dẫn học
sinh ôn tập và giải các bài tập hình học trong quá trình ôn thi tuyển sinh
THPT từ đó phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Cụ thể khi dạy hình để
cho học sinh có thể đỡ lúng túng giáo viên cần phải chú ý giúp học sinh hiểu
được những vấn đề sau là không thể thiếu khi đọc một đề bài hình học:
– Phải nắm được các khái niệm hình học, từ đó định nghĩa được chúng
và xác định được các tính chất, định lý có liên quan.
– Kỹ năng vẽ hình phải thành thạo, chính xác. Có kỹ năng vẽ đường
phụ cho hợp lý cho học sinh.
– Sử dụng các phương pháp tư duy như đặc biệt hóa, tổng quát hóa,
tương tự hóa, phân tích, tổng hợp …trong việc tìm tòi lời giải.
Bản thân giáo viên phải nắm thật chắc kiến thức, phải luôn tự học, tự
nghiên cứu tài liệu và sách tham khảo, đặc biệt với sự phát triển của công
nghệ thông tin, ngày nay hệ thống sách, tài liệu ôn thi, hệ thống bài tập trên
các kho dữ liệu dùng chung là rất nhiều, bởi vậy mỗi người thầy cần phải tự
nâng cao trình độ công nghệ thông tin, tích cực tìm tòi tài liệu số, nhằm trau
rồi kiến thức và nâng cao trình độ hiểu biết cho bản thân.
Trong quá trình dạy giáo viên phải làm cho học sinh thấy được bản chất
của vấn đề, của kiến thức mà các em cần lĩnh hội. Người thầy cần làm tốt việc
giúp cho học sinh linh hoạt trong sử dụng ngôn ngữ toán học để các em có thể
chuyển từ ngôn ngữ toán học về ngôn ngữ thông thường và ngược lại, từ đó
giúp các em dễ hiểu, dễ nhớ.
Hình thành cho học sinh cách tư duy khi giải toán, cách “nhìn” một bài
toán sao cho bao giờ cũng đạt hiệu quả cao.
Chia nhỏ bài toán để học sinh có thể giải quyết từ dễ đến khó. Sau đó
bỏ bớt những câu dễ đi chỉ để lại những câu khó để các em tự giải quyết trên
cơ sở đó hình thành kỹ năng giải bài toán tổng hợp có các bước trung gian.
Hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải sau đó cho các em tự nhận xét
cách nào là tối ưu nhất.
Trong các giờ học, giáo viên cần truyền cho học sinh niềm đam mê học
toán, say mê học hỏi và luôn tự hoàn thiện phương học, áp dụng các phương
pháp học tích cực, phát huy tính sang tạo của bản thân, Người thầy cần tạo
nhằm tạo sức hút đối với học sinh để các em có thể yêu và hứng thu với môn
học có thể xem là tương đối khó này.
F
E
D O
B
C
A
* Giải pháp cụ thể khi giảng dạy học sinh ôn tập hình học 9
2.1. Cung cấp hệ thống bài tập trong SGK toán 9 được xem như các
bổ đề
Chúng ta đều biết trong chương trình học, một số bài tập trong sách
giáo khoa có tính ứng dụng rất cao trong quá trình giải các bài tập của chương
trình. Do đó giáo viên cần thiết trang bị cho các em các bài tập đó, để các em
có thể dễ dàng nhận biết ra được kết quả nếu trong khi làm bài tập có gặp các
câu hỏi tương tự. Ví dụ trong chương trình lớp 9 một số bài tập sau đây có thể
trang bị cho học sinh như những bổ đề:
Bài toán 1: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
đường thẳng qua tâm và điểm đó là trung trực của đoạn thẳng nối hai tiếp điểm.

Bài toán 2: (Bài 31 / SGK T9- Tập 1 / Tr 116)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường
tròn tâm O (hình vẽ)

CMR: 2AD = AB + AC – BC. Hãy chỉ ra các hệ thức tương tự.

Bài toán 3: (Bài 60 / SBT T9 Tập 1/ Tr 166)
Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bàng tiếp
góc A tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại E,
F. Biết BC = a, AB = c, AC = b. Chứng minh rằng:
a.
2
a b c
AE AF    
b.
2
a b c
BE   
F
E
K
C
B
A
c.
2
a c b
CF   
Bài toán 4: (Bài tập 23 – SGK T9 Tập 2 / Tr 76)
Cho đường tròn (O), một điểm M cố định không thuộc đường tròn. Qua
M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn tại A và B,
đường thẳng thứ hai cắt đường tròn tại C và D.
Chứng minh: MA. MB = MC. MD
M
D
C
B
A
D
B
C O
A
M
Bài toán 5: (Bài tập 30 / SGK T9 – Tập 2 / Tr 79)
Nếu góc BAx (Với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây
cung AB) có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây ấy và cung này nằm
trong góc BAx thì cạnh Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn.
Hướng dẫn
Giả sử Ax không là tiếp tuyến tại A, thì tại A
kẻ tia tiêp tuyến Ax’ với đường tròn (sao cho Ax’
và Ax thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB)
=> BAx ‘ = 1
2
sd AB
=> BA BA x x’ 
=> tia Ax trùng tia Ax’ do đó Ax là tiếp
tuyến tại A.
(Có thể chứng minh bằng cách kẻ đường thẳng vuông góc từ O xuống
x’
x
B
A
AB rồi cộng góc)
Bài toán 6: (Bài 34 /Tr 80 – SGK T9 tập
2)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm
ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới
đường tròn (T là tiếp điểm) và một cát tuyến
MAB.
Chứng minh MT2 = MA.MB
Bài toán 7: (Bài 9 /Tr 135 SGK T9 – Tập 2)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn
(O) và nội tiếp đường tròn (O’), tia AO cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác tại D. Ta có:
a. CD = BD = O’D
b. CD = OC = BD
c. AO =CO =OD
d. CD = OD = BD
HD:
2 2
BAC ABC
OBD BOD   
Bài toán 8: (Mệnh đề đảo của bài tập 23 tr 76 – SGK T9 (tập 2))
Nếu tứ giác ABCD có:
+ MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột
tiếp. (Trong đó M AB CD; N AD BC     )
+ Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó
P AC BD   )
Bài toán 9: Diện tích tam giác bằng nửa tích độ dài hai cạnh và sin góc
xen giữa.
Bài toán 10: Diện tích tam giác bằng tích độ dài ba cạnh chia cho bốn
lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Bài toán 11: Diện tích tam giác bằng tích của nửa chu vi tam giác với
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.
O O’
C
D
B
A
O
B
A
T
M
Bài toán 12: Tỷ số bán kính các đường tròn nội, ngoại tiếp hai tam giác
đồng dạng tam giác bằng tỷ số đồng dạng.
Ngoài một số ví dụ trên thì còn nhiều bài toán khác trong chương trình
học THCS học sinh cũng cần phải nhớ như những định lý để áp dụng.Tuy
nhiên khi đưa ra hệ thống bổ đề, giáo viên cần chú ý cho học sinh khi các em
sử dụng chúng thì phải chứng minh
2.2. Trang bị thêm cho học sinh một số kỹ năng chứng minh hình
học cơ bản trong chương trình lớp 9
Khi học trong các giờ lý thuyết, các định lý, tính chất học sinh được
trang bị đôi khi chưa đủ để các em có thể giải quyết được những bài tập hình
học khó, đặc biệt là đối với một số dấu hiệu nhận biết các hình quen thuộc,
trên cơ sở đó giúp học sinh giải quyết bài tập dễ dàng hơn. Vì thế, ngoài việc
hệ thống lại những kiến thức cơ bản được trang bị trong chương trình sách
giáo khoa, thì người thầy có thể trang bị cho học sinh một số kỹ năng khác,
một cách có hệ thống, giúp các em thuận lợi hơn khi giải bài. Nếu như ở lớp
7, 8 việc trang bị kỹ năng chứng minh hai tam giác bằng nhau, đoạn thẳng,
góc bằng nhau, chứng minh điểm thẳng hàng, đường đồng quy, đoạn thẳng tỷ
lệ, đẳng thức …là không thể thiếu khi dạy cho học sinh thì với chương trình
lớp 9 hiện hành các kỹ năng sau đây là thật sự cần thiết phải trang bị cho học
sinh.
2.2.1. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến
của một đường tròn (đường tròn và đường thẳng tiếp xúc nhau)
* Phương pháp 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính
của đường tròn tại một điểm nằm trên đường tròn. (Dấu hiệu nhận biết do
sách giáo khoa cung cấp)
Ví dụ 1: (Đề Khảo sát 24 tuần huyện Ý Yên, Năm học 2018-2019)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CF vuông góc với OA tại H
(H không trùng với A và O). Gọi I là trung điểm của CH, AI cắt đường tròn
(O) tại D. Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm của AD và BC,
K là trung điểm của MN.
a) Chứng minh AC2 = AI.AD.
b) Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Gọi P là giao điểm của KC với tiếp tuyến tại A đường tròn (O).
Chứng minh B, I, P thẳng hàng.
Hướng dẫn: Ý (b).
Cách 1: Xét đường tròn (O) ta có
ACB = ADB = 900
(các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
AD  BM và BC AM
 N là trực tâm của ∆ABM
 MN AB
Ta có ∆CMN vuông tại C, K là trung
điểm MN nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CMN
 KC = KM  ∆KCM cân tại K  KCM = KMC (1).
Ta có OC = OA (bán kính đường tròn (O))
 ∆OCA cân tại O  OCA =OAC (2).
Từ (1) và (2)     KCM OCA KMC OAC 900 (do MN AB)

KCO 90   0 KC  OC tại C thuộc đường tròn (O)
 KC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Cách 2: Hướng dẫn
Tứ giác MDNC nội tiếp nên:
CMN CDN  , (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN)
Trong đường tròn (O):
CDN CDA CBA   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CA)
Và CBA BCO 
Mặt khác K là trung điểm của MN nên tam giác CNK cân tại K
=> KCN KNC 
E
Q P
K N
M
D
I
H
C F
A O B
C O
D
M
B
A
CNM CMN   900
=> KCN BCO   900
=> KC  OC tại C thuộc đường tròn (O)
 KC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
* Phương pháp 2: (Bài tập 30 /Tr 79 SGK T9 – Tập 2)
Nếu góc BAx (Với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây
cung AB) có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây ấy và cung này nằm
trong góc BAx thì cạnh Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại C, trực tâm H. Chứng minh rằng
AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.
Hướng dẫn:
H Là trực tâm của tam giác ABC
nên AH  BC, CH  AB
=> HAB HCB 
Do tam giác ABC cân tại C nên
CH đồng thời là phân giác của góc ACB

=> => Theo bổ đề 2 thì AB là tiếp tuyến

ACH BCH  HA ACH B 
* Phương pháp 3: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường
tròn. Từ M kẻ một cát tuyến MAB tới đường tròn và một điểm T trên đường
tròn.
CMR: Nếu MT2 = MA.MB thì MT là tiếp tuyến của đường tròn tại T
(Bài toán đảo của bài 34 /Tr80 SGK T9 – Tập 2)
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) và một dây AB khác đường kính. M là
điểm chính giữa cung AB. Một điểm C trên dây AB, dây MD của đường tròn
đi qua C.
a. Chứng minh MA2 = MC.MD
b. Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
O
H
A B
C
j
H I O’
O
K
E
D
B
C
A
Hướng dẫn
a. Tam giác MAC và tam giác MDA đồng dạng nên => MA2 = MC.MD
b. Tương tự có MB2 = MC.MD, như vậy theo bổ đề 3 thì MB là tiếp
tuyến của đường tròn.
2.2.2. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp (hoặc
chứng minh các điểm thuộc một đường tròn)
* Phương pháp 1. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một
điểm. (theo định nghĩa)
Ví dụ 1: (Từ bài 70 Tr 138- SBT T9 – Tập 1): Cho hai đường tròn (O)
và (O’) cắt nhau tại A,B. Dây AC của đường tròn (O) là tiếp tuyến tại A của
đường tròn (O’). Dây AD của đường tròn (O’) là tiếp tuyến của đường tròn
(O) tại A. Gọi K là diểm đối xứng của A trung điểm I của OO’, E là điểm đối
xứng của A qua B.
a. Chứng minh AB  KB
b. Chứng minh tứ giác BKOO’ nội tiếp
c. Chứng minh 4 điểm A, C, E, D thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn
Do K đối xứng với A qua I => I
là trung điểm của AK. (1)
Gọi H là giao của AB và OO’;
AB là dây chung của hai đường tròn
(O) và (O’)
=> H là trung điểm của AB (2)

Từ (1) và (2) => HI là đường trung bình của tam giác ABK

=> HI // BK
=> Mà AB  OO’ (Tính chất đường nối tâm)
=> BK  AB
a. Có I là trung điểm của AK (cmt)
Lại có I là trung điểm của OO’, I là giao điểm của AK và OO’
=> Tứ giác AOKO’ là hình bình hành (DHNB)
=> OK = AO’(Cạnh đối HBH)
Lại có O’A = O’B (BK đường tròn (O’))
=> OK = O’B (3)
=> Có HI // BK (cmt) => BK // OO’
=> Tứ giác BKO’O là hình thang (4)
=> Từ (3) và (4) => Tứ giác BKO’O là hình thang cân (DHNB)
=> Tứ giác BKO’O nội tiếp một đường tròn (Hình thang cân thì nội tiếp)
b. Có tứ giác AOKO’ là hình bình hành (cmt)
=>KO // AO’ (5) (Cạnh đối HBH)
Mà AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A
=>O’A  AD (6) (TC tiếp tuyến)
Từ (5) và (6) => KO  AD (Từ vuông góc đến song song)
Trong đường tròn (O) có AD là dây cung, KO là đường kính => KO đi
qua trung điểm của AD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
=> KO là trung trực của AD
=> KA = KD (*)
CMTT ta có: KA = KC (**)
Có E đối xứng với A qua B => B là trung điểm của AE
Mà KB  AB (CMT) hay KB  AE tại trung điểm B
=> KB là trung trực của AE
=> KA = KE (***)
Từ (*), (**), (***) => KA =KD =KE =KC
=>A, C, D, E thuộc đường tròn (K,KA)
* Phương pháp2: Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau
(dấu hiệu nhận biết sách giáo khoa cung cấp)
Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh THPT tỉnh Nam Định, năm học 2014-2015)
Cho tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và
C). Đường tròn đường kính EC cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng AE tại
N (M khác C, N khác E).
A
B C
E
M
N
M
K
O
H
E
D
A
B C
a) Chứng minh các tứ giác ABEM, ABNC là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ME là tia phân giác của
c) Chứng minh: AE.AN CE.CB AC   2 .

Hướng dẫn M thuộc đường tròn đường kính EC nên . suy ra tứ giác

EMC AME    90 90 o o    AME ABE 180oABEM nội tiếp (tứ giác có tổng 2 góc
đối bằng 180o).
N thuộc đường tròn đường kính

EC nên . Suy ra

ENC hay ANC   90 90 o o ANC ABC   90o
Do đó tứ giác ABNC nội tiếp (hai điểm B, N cùng nhìn đoạn AC dưới
một góc vuông).
* Phương pháp 3. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn
đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại dưới hai góc bằng nhau (dấu hiệu nhận
biết sách giáo khoa cung cấp). Ví dụ 2 a)
Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Nam Định năm học 2013-2014
đề Dự bị)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao
BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BCDE là một tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh OA  DE.
c) Cho điểm A di động trên cung lớn BC
của đường tròn (O; R). Chứng minh đường tròn
ngoại tiếp tam giác AED có bán kính không đổi.
Hướng dẫn
a. Xét tứ giác BCDE có: BDC= 900
(vì BD  AC)
M
K
H
D
E
A O B C
BEC = 900 (vì CE  AB)
 hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
Vậy BCDE là một tứ giác nội tiếp.
* Phương pháp 4: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng
góc trong đỉnh đối diện (dấu hiệu nhận biết sách giáo khoa cung cấp)
Ví dụ 4: (Đề tuyển sinh THPT tỉnh Nam Định năm học 2013-2014)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C
(C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm),
tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao
điểm của AD với OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không
trùng với B).
a) Chứng minh AE2 = EK. EB.
b) Chứng minh bốn điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M.

Chứng minh

.

AE EM = 1
EM CM
 Hướng dẫn
b. Ta có AE, ED là hai tiếp
tuyến của đường tròn (O)
=>AE = ED (tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau)
Có OA = OD (bằng bán kính
(O))  EO là đường trung trực của
AD AD  EO tại H.
Áp dụng hệ thức b2 = a.b’ trong
tam giác vuông AOE, Ta có AE2 = EH.EO
 EK. EB = EH. EO (= AE2) EK EH =
EO EB

Xét  EHK và  EBO ta có: HEK chung, EK EH =
EO EB
(chứng minh trên)
  EHK  EBO (c.g.c).
 EHK = EBO Tứ giác BOHK nội tiếp.
Vậy bốn điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.
* Phương pháp 5: (Mệnh đề đảo của bài tập 23 tr 76 – SGK T9 (tập 2))
Nếu tứ giác ABCD có:
+ MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nội
tiếp. (Trong đó M AB CD; N AD BC     )
+ Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó
P AC BD   )
Ví dụ 5: (Ví dụ 4c):
Nếu biết bổ đề 5 thì tại ví dụ 4 ý c học sinh khi nhìn thấy đẳng thức:
EK. EB = EH. EO đã biết tứ giác BOHK nội tiếp, từ đó các em chỉ việc trình
bày lời giải.
* Phương pháp 6: Chứng minh tứ giác đó là các tứ giác đặc biệt (hình
thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …)
Ví dụ 6: (Ví dụ 1b):
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A,B. Dây AC của đường
tròn (O) là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’). Dây AD của đường tròn (O’)
là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Gọi K là diểm đối xứng của A trung
điểm I của OO’, E là điểm đối xứng của A qua B
a. Chứng minh AB  KB
b. Chứng minh tứ giác BKO’O nội tiếp
c. Chứng minh 4 điểm A, C, B, D thuộc một đường tròn.
Chú ý: Đôi khi làm bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp có thể áp dụng
một số nội dung sau):
+ Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta
có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3
điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”
+ Có đôi khi để chứng minh tứ giác nội tiếp chúng ta còn chứng minh
qua 5 hoặc 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
* Một số ví dụ: (Đề thi tuyển sinh các năm) có yêu cầu chứng minh tứ
giác nội tiếp:
(Đề tuyển sinh THPT 2016-2017 tỉnh Nam Định)
Cho đường tròn O đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với
đường tròn O tại A. Gọi M N , là hai điểm trên đường thẳng d sao cho A
nằm giữa M và N. Các đường thẳng BM BN , cắt đường tròn O lần lượt tại
D và E (khác B ).
a) Chứng minh tứ giác DMNE nội tiếp một đường tròn.

b) Chứng minh rằng

(với là giao điểm của và ).

IA AM AN . 2
IB AB
 I AB DE c) Khi M N , thay đổi trên d nằm về hai phía của điểm A và AM AN .
là một đại lượng không đổi, chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định.
(Đề tuyển sinh THPT năm 2018-2019 tỉnh Nam Định)
Cho đường tròn (O) , đường kính AB. Trên đường tròn đó lấy hai điểm
C D , nằm cùng phía với đường kính AB (C , D không trùng với A B , ) và C
thuộc cung nhỏ AD. Các đoạn thẳng AD và BC cắt nhau tại E , gọi I là hình
chiếu vuông góc của E trên AB, M là giao điểm thứ hai của DI và đường tròn
(O).
a) Chứng minh BDEI là tứ giác nội tiếp vàCM AB  .
b) Đoạn thẳng BC và DM cắt nhau tại K . Chứng minh BK CE BC EK . . . 
2.3. Chỉ ra một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài tập
hình học đề các em có thể biết và tránh khi làm bài
Khi làm bài tập hình học, học sinh thường mắc phải một số lỗi sai lầm
do đó ảnh hưởng rất nhiều tới việc làm bài của các em. Một lỗi ngộ nhận hay
một lỗi vẽ hình sai, có thể làm thay đổi hoàn toàn số điểm mà các em có thể
đạt được, trong một số trường hợp, có những em học sinh khá, giỏi, nhưng do
không cẩn thận, không để ý hoặc đơn giản hơn là không biết những lỗi sai
thường mắc trong khi giải bài tập hình học, mà dẫn đến kết quả không cao, do
đó rất đáng tiếc. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy, chữa bài cho học sinh
trong từng giờ học, giáo viên cần chú ý thường xuyên khắc sâu, nhắc nhở và
chỉ ra những sai lầm mà các em thường mắc phải để giúp các em nhận biết và
tránh mắc lỗi trong làm bài. Cụ thể học sinh thường mắc một số sai lầm sau:
2.3.1. Sai lầm ở phần vẽ hình:
+) Vẽ sai vì đọc không kĩ các vị trí như điểm thuộc tia, tia đối, thuộc
đoạn, các yêu cầu về các đoạn thẳng lớn hơn, nhỏ hơn, cung lớn, cung nhỏ, …
+) Lấy các điểm cho bất kì ở những vị trí đặc biệt như trung điểm đoạn
thẳng, chân đường vuông góc, điểm chính giữa của một cung, … để dẫn tới
các cảm nhận trực quan sai và hình thành đường lối suy nghĩ, tìm lời giải cho
bài toán lệch hướng.
+) Không vẽ các đoạn thẳng mà trong phần bài làm có sử dụng.
+) Cẩu thả nên dễ bị nhầm các kí hiệu M với N; E với F; O với D, …
+) Đánh kí hiệu các góc A A 1 2 ; ; … từ câu a, b nên nếu tới câu c, d xuất
hiện tia nằm bên trong góc mà học sinh không vẽ lại hình.
+) Trong bài lạm dụng các góc đánh số A A 1 2 ; ;….nhưng trên hình vẽ
quên không đánh kí hiệu 1, 2,… vào góc.
+) Có hai ký hiệu trùng nhau trên hình vẽ.
2.3.2. Những lỗi sai, nhầm lẫn khi trình bày bài:
+) Khi sử dụng các định lý chỉ áp dụng trong một tam giác, một tứ giác
hay một đường tròn nhưng HS không xét tam giác, tứ giác hay đường tròn đó.
+) Làm tắt các bước bắt buộc. (Lỗi sai ngộ nhận kiểu chưa có mà bảo là
có)
+) Đưa ra các tính chất hình học quan trọng song lại thiếu căn cứ.
+) Khi chứng minh tứ giác nội tiếp đôi khi học sinh có
A B   90 ; 90 0 0 nhưng không có biểu thức A B  1800 (Khi đỉnh A; B đối
nhau) hay A B   900(Khi đỉnh A; B kề nhau) đã kết luận.
+) Khi chứng minh hai tam giác đồng dạng, bằng nhau viết kí hiệu hai
tam giác đồng dạng, bằng nhau viết sai đỉnh tương ứng từ đó dẫn đến biết các
cặp canh, góc tương ứng sai.
+) Khi sử dụng các góc dùng kí hiệu 3 đỉnh, học sinh viết nhầm đỉnh
(Ví dụ BAC thì viết là ABC ).
+) Các em dùng kí hiệu góc, cung còn nhầm lẫn, không chính xác.
+) Khi gặp câu yêu cầu tính toán cần để kết quả đúng là một số vô tỷ (Ví
dụ 2 ) chứ không để kết quả dưới dạng số thập phân (1,4 ) nếu đề bài không
yêu cầu. Kết quả cuối cùng phải có đơn vị đo nếu giả thiết cho đơn vị đo.
+) Vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt do đó dẫn đến các em ngộ nhận
khi làm bài.
2.4. Khai thác bài toán ở các mức độ khác nhau, giúp học sinh hình
thành kỹ năng tư duy
2.4.1. Đưa ra bài tập cho học sinh với hệ thống câu hỏi từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp
VD 1.1; Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường
tròn (O,R). Lấy một điểm M bất kỳ trên cung nhỏ
BC.Trên đoạn MA lấy một điểm D sao cho MB =
MD.

a, Hãy chứng minh MDB là tam giác đều b, Chứng minh MA = MB + MC

 Đây là một bài toán rất quen thuộc của hình học 9, nếu không có gợi ý
ở câu a, học sinh ban đầu khi mới học sẽ chưa thể hình dung cách lấy thêm
điểm D để giải quyết câu b, chính vì vậy, để cho học sinh dễ năm bắt, tôi đưa
bài toán có hai câu, giúp các em có thể xem bài toán như một bổ để để tiếp tục
giải bài ở mức độ cao hơn.
VD 1.2: Cho tam giác ABC đều, gọi O là trung
điểm của BC, một góc xOy = 600 quay xung quanh điểm
O, cắt AB, AC lần lượt tại M, N
a, CMR: Chứng minh hai tam giác : BMO và CON
đồng dạng, từ đó suy ra BM.CN =
2
4
BC
b, Chứng minh rằng OM là tia phân giác của góc
O
D
C
M
B
A
BMN
c, Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu a là câu gợi ý cho học sinh giải quyết câu b, nếu ngay từ đầu đã cho
chỉ một câu, học sinh sẽ khó có thể làm được bài, nhất là với học sinh trung
bình và yếu, do đó câu gợi ý là rất quan trong đối với các em. Giáo viên muốn
đạt hiệu quả cho giờ dạy thì cần chia nhỏ bài toán, đưa thêm câu hỏi gợi ý để
các em có thể giải được, từ đó dẫn dắt dần các em đến với những câu khó hơn.
VD 1.3: Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC lần lượt lấy các
điểm M,N sao cho BM = CN. Trên AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi K là
giao điểm trung trực của BC và AE.
a. Chứng minh rằng: các tam giác
KBA và KCD bằng nhau.
b. Chứng minh K cũng thuộc trung
trực của MN.
Với bài toán này, học sinh chỉ cần
chứng minh câu a rồi từ đó chứng minh tam
giác KMB và tam giác KNC bằng nhau.
Tất cả các bài toán trong phần này đều rất đơn giản, học sinh dưới sự
hướng dẫn của giáo viên đều có thể dễ dàng làm được. Tuy nhiên đó cũng
chính là những bài toán gốc, những bổ đề hoặc những gợi ý quan trọng để HS
có thể giải quyết những bài toán khó hơn.
Trên cơ sở giải quyết các bài toán trên, giáo viên có thể đặt ra yêu cầu
cao hơn đối với học sinh.
2.4.2. Thay đổi một số dữ liệu ở kết luận của bài toán trên cơ sở
những bài toán quen thuộc đã làm và cho HS tự giải
quyết bài toán mới.
VD 2.1: (một các khai thác từ ví dụ ví dụ 1.2 )
Cho đường tròn (O,R) kẻ đường kính AB.Một đường
kính CD vuông góc với AB tại trung điểm I của
AO.Lấy M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ CB.Chứng
minh rằng: 2R 3  MB + MC + MD  4R

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

Hoặc xem thêm các tài liệu khác của môn hóa

• Phương pháp tư duy dồn chất xếp hình giải bài tập hóa học hữu cơ
• Tổng hợp đề thi môn hóa của bộ giáo dục từ năm 2007 đến nay
• Tổng hợp các phương pháp giải bài tập môn hoá học
• Tổng hợp giáo án chủ đề STEM trong môn hóa học