SKKN Rèn luyện năng lực sáng tạo cho học sinh thcs thông qua bài toán tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau cho trước
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
I- ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:
Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 đang diễn ra với nhiều cơ hội và thách
thức mới. Để đáp ứng yêu cầu của sản xuất hiện đại, ngành giáo dục cần đào tạo
nguồn nhân lực không chỉ có chuyên môn kĩ thuật mà còn có khả năng tư duy
sáng tạo và độc lập khi giải quyết các vấn đề kĩ thuật trong thực tiễn. Trong
“Chiến lược phát triển giáo dục 2011 – 2020” của Thủ tướng Chính phủ, vấn đề
phát triển năng lực sáng tạo cho người học được xác định là một trong những
mục tiêu quan trọng.
Trong việc rèn luyện năng lực sáng tạo cho HS THCS, do đặc điểm môn
học mà toán học đóng một vai trò rất quan trọng. Rèn luyện năng lực sáng tạo
qua môn toán có nhiều cách, nhiều con đường và không thể nghiên cứu tất cả
các con đường, chúng tôi chọn con đường dạy học giải bài tập để góp phần rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THCS.
Trong chương trình môn Toán lớp 7 nói riêng và chương trình toán THCS
nói chung, kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là kiến thức cơ bản và
quan trọng. Nó là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hay và khó. Một trong
những dạng toán đó là: Tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau cho trước.
Dạng toán này thường có mặt trong các đề thi học kỳ và trong các đề thi học
sinh giỏi và trong đề thi vào THPT.
Với mong muốn được góp một phần công sức của mình trong việc bồi dưỡng học
sinh giỏi và rèn luyện năng lực sáng tạo trong học toán cho học sinh THCS để các
em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình, chúng tôi xin được
chia sẻ và trao đổi cùng đồng nghiệp sáng kiến kinh nghiệm:
“RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THCS THÔNG
QUA BÀI TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC TỪ DÃY TỈ SỐ BẰNG
NHAU CHO TRƢỚC”.
3
II . MÔ TẢ GIẢI PHÁP
II.1. Mô tả giải pháp trƣớc khi tạo ra sáng kiến
1.1 Việc rèn luyện tư duy sáng tạo của HS THCS trong quá trình giải toán
Khi giải một bài toán, đa phần HS chỉ quan tâm đến việc tìm được lời giải bài
toán là tốt rồi và không quan tâm tìm lời giải khác. Chỉ có số ít là quan tâm đến
lời giải khác, còn sáng tạo bài toán mới thì rất ít HS quan tâm. Như vậy các em
còn thụ động trong học tập, chưa biết vận dụng sáng tạo những kiến thức đã học
vào việc giải các bài toán khác, hoặc nhìn nhận các khía cạnh khác của bài toán
đặc biệt là bài toán: Tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau cho trước.
1.2 Học sinh gặp rất nhiều lúng túng và bỡ ngỡ khi giải bài tập tính giá trị
biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau cho trước
Khi giải dạng bài tập dạng này phần lớn học sinh:
+ Không tự tìm được cách giải.
+ Không linh hoạt khi vận dụng.
+ Hay mắc lỗi sai:
* Không để ý đến điều kiện cho trước.
Ví dụ: Đề bài cho a, b, c 0 thường nghĩ là a + b + c 0. Do đó trong một số
bài thường xét thiếu trường hợp.
* Biến đổi dài: Do chọn cách làm chưa hợp lý.
* Biến đổi sai do áp dụng sai tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính toán sai.
Đôi khi HS chỉ nhìn giả thiết hoặc kết luận của bài toán đã thấy khó nên suy
nghĩ, ngại làm.
HS có thể vận dụng kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính giá
trị biểu thức vào từng loại bài tập đơn giản, đơn lẻ nhưng không nhìn thấy sự
liên kết của các đơn vị kiến thức, không nhận ra bài toán “gốc”, tương tự hóa,
tổng quát hóa, đặc biệt hóa,….
Đứng trước một bài toán tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau cho
trước có nhiều cách giải học sinh không biết lựa chọn kiến thức vận dụng phù
hợp, phương pháp tối ưu.
1.3 Các bài tập thuộc dạng này đa phần học sinh thấy khó
4
II.2. Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi tạo ra sáng kiến
2.1 Một số vấn đề chung
2.1.1 Sáng tạo và năng lực sáng tạo
Có nhiều cách hiểu khác nhau về sáng tạo theo các góc độ triết học, ngôn
ngữ học, xã hội học, tâm lí học,… Mỗi góc độ nghiên cứu có thể hướng đến một
khái niệm sáng tạo khác nhau. Tuy nhiên, điểm chung là các nhà nghiên cứu đều
nhắc đến sản phẩm sáng tạo, gồm tính mới, tính giá trị và là dấu hiệu để phân
biệt. Như vậy , sáng tạo chính là hoạt động của con người tạo ra cái mới (ý
tưởng, giải pháp, quan niệm hay sản phẩm,…) có giá trị để giải quyết có hiệu quả
những vấn đề trong thực tiễn, đáp ứng nhu cầu của con người.
Hiện nay, cũng có rất nhiều quan niệm, cách hiểu và phát biểu khác nhau
về năng lực. Năng lực có thể được hiểu là khả năng huy động vốn kiến thức, kĩ
năng, kinh nghiệm của bản thân và thái độ để thực hiện thành công, có hiệu quả
nhiệm vụ hay giải quyết một vấn đề xác định. Một số nhà nghiên cứu đã định
nghĩa ngắn gọn về năng lực sáng tạo dựa trên đặc trưng cơ bản là tính mới.
Huỳnh Văn Sơn cho rằng “năng lực sáng tạo là khả năng tạo ra những cái mới
hoặc giải quyết vấn đề một cách mới mẻ của con người”. Như vậy, đặc trưng
của năng lực sáng tạo là khả năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Nguyễn
Thị Hồng Gấm cho rằng: “năng lực sáng tạo của mỗi cá nhân thể hiện ở chỗ cá
nhân đó có thể mang lại những giá trị mới , sản phẩm mới có ý nghĩa . Người có
năng lực sáng tạo phải có tư duy sáng tạo”[2].
Như vậy, năng lực sáng tạo biểu hiện rõ nét nhất ở khả năng tư duy sáng
tạo, là đỉnh cao nhất của quá trình hoạt động trí tuệ của con người.
Tóm lại, năng lực sáng tạo chính là khả năng huy động vốn kiến thức , kĩ
năng và thái độ, tư duy để tạo ra ý tưởng , giải pháp, sản phẩm mới có giá trị với
con người.
5
2.1.2 Dạy học giải toán tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh THCS
2.1.2.1 Kiến thức cơ bản về dãy tỉ số bằng nhau
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
| * Tính chất 1: Nếu thì ad = bc |
a c
b d
* Tính chất 2: Nếu ad = bc (a, b, c, d 0) ta có các tỉ lệ thức:
a c
b d
,
a b
c d
,
d c
b a
,
d b
c a
* Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức a c a c a c a c
b d b d b d b d
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Tính chất 4: Từ a c e
b d f
ta có dãy tỉ số bằng nhaua
a c e a c e
b d f b d f
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Tính chất 5: Nếu a, b, c tỉ lệ với x, y, z thì a b c
x y z
2.1.2.2 Các tình huốngthƣờng gặp khi giải bài toán tính giá trị biểu thức từ
dãy tỉ số bằng nhau
Khi giải toán tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau, ta thường gặp hai tình
huống sau:
Tình huống 1: Tính giá trị của biểu thức có tính được giá trị của biến.
Tình huống 2: Tính giá trị của biểu thức không tính được giá trị của biến.
Ví dụ minh họa cho mỗi tình huống:
Ví dụ 1: Cho x 16 y 25 z 9
9 16 25
và 2 1 15 x3
Tính giá trị của M = x + y + z
Phân tích:
– Muốn tính giá trị của M ta cần tính được giá trị của các biến x, y, z.
6
– Từ giả thiết của bài toán ta tính được giá trị của biến x trước, từ đó tính giá
trị của biến y, z.
Lời giải
Ta có: 2×31 = 15
2×3 = 16
x3 = 8
x = 2
Khi đó: y 25 z 9 2 16 2
16 25 9
y 25 32 y 57
z 9 50 z 41
Do đó : M = 2 + 57 + 41 = 100.
Ví dụ 2: Cho x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3. Tính giá trị biểu thức:
M = x 2y 5z
x 2y 5z
Phân tích :
– Với dữ kiện đề bài ta không thể tính cụ thể được giá trị của x, y, z.
– Từ giả thiết đã biểu diễn x, y, z qua một số trung gian hoặc tìm mối quan hệ
của x, y, z.
Giải
Cách 1 : Sử dụng số trung gian
Vì x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3 x y z
5 4 3
Đặt x y z k
5 4 3
(k 0)
x 5k
y 4k
z 3k
Khi đó M = 5k 2.4k 5.3k 5k 8k 15k 2k 1
5k 2.4k 5.3k 5k 8k 15k 12k 6
(k 0)
7
Cách 2 : Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để làm xuất hiện các biểu thức
thành phần trong biểu thức cần tính.
Giải
Từ x y z
5 4 3
suy ra :
x 2y 5z
5 8 15
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x 2y 5z x 2y 5z x 2y 5z
5 8 15 5 8 15 12
x 2y 5z x 2y 5z x 2y 5z
5 8 15 5 8 15 2
Suy ra : x 2y 5z
2
:
2 5
12
x y z = 1
x 2y 5z 12
. 1
2 x 2y 5z
x 2y 5z
.( 6)
x 2y 5z
= 1
Khi đó M = 1
6
8
2.2 Các biện pháp rèn luyện năng lực sáng tạo cho học sinh THCS
thông qua bài toán tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau.
(Với mỗi biện pháp tác giả đều lấy ví dụ minh họa cho cả 2 tình huống)
2.2.1 Biện pháp 1: Rèn cho học sinh biết phân tích tình huống, đặt ra
dƣới nhiều góc độ khác nhau, biết giải quyết vấn đề dƣới nhiều cách khác
nhau và lựa chọn cách giải quyết tối ƣu.
Trong quá trình dạy học giải toán tính giá tị biểu thức từ dãy tỉ số bằng
nhau, chúng tôi đã rèn luyện cho học sinh năng lực nhìn nhận vấn đề dưới nhiều
góc độ khác nhau, giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả
năng xảy ra. Do đó, học sinh không chỉ nhìn bài toán dưới một góc độ mà phải
xem xét từ nhiều phía, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy
nhất, luôn tìm tòi và đề xuất được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán.
Giáo viên có nhiệm vụ định hướng cho các em, đặc biệt là chỉ ra được lời giải
tối ưu cho bài toán.
Thông qua phân tích vấn đề, xuất hiện các trường hợp cần phải giải quyết,
học sinh phải nắm vững các kiến thức, các phép suy luận thì mới có thể linh hoạt
sáng tạo trong giải quyết; giúp học sinh có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống
hóa, đặc biệt hóa, trìu tượng hóa… và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng, thủ
thuật một cách chắc chắn, mềm dẻo, linh hoạt.
| Theo G .Polya không đơn thuần chỉ dừ ng laị ở viêc̣ tìm ra đáp số | , như |
| nhiều hoc̣ sinh thâṃ chí cả sinh viên vâñ thườ ng hay hiểu | , “Giải bài toán ” ở |
đây bao quá t toàn bộ quá tr ình suy ngâm , tìm toi lời giải cung như ly giải
nguyên nhân phá t sinh bài toá n , và cuối cung là phát triển bài toán vừa làm
đươc̣ , hoăc̣ ít ra nêu ra những hướ ng đi mớ i trên cơ sở đã hiểu nguồn gố c từ
đâu bài toá n phá t sinh. Quy tình giải bài tập của G.Polya có 4 bước:
1. Tìm hiểu bài toán
2. Tìm tòi lời giải bài toán
3. Giải bài toán
4. Khai thác bài toán
9
Để giải một bài toán có thể phải sử dụng, kết hợp nhiều phương pháp mới
đi đến lời giải, tuỳ vào từng tình huống bài toán cụ thể mà mỗi phương pháp có
ưu điểm riêng. Trước bất kỳ bài toán nào, công việc đầu tiên của người giải toán
là từ giả thiết và những yêu cầu của bài toán phải xác định được:
– Thể loại bài toán.
– Định ra được phương hướng giải.
– Tìm được phương pháp và công cụ thích hợp để giải.
Để làm được những việc đó người ta thường tiến hành một số các biện pháp tìm
lời giải sau đây:
– Khai thác triệt để giả thiết bài toán: Nghiên cứu đặc điểm về dạng của
bài toán, nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng và tính chất của các
biểu thức có mặt trong bài toán.
– Phân tích, biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận của bài toán, làm cho
chúng gần nhau hơn, nổi bật mối quan hệ giữa các yếu tố đó.
– Chuyển hoá nội dung bài toán để thực hiện dễ dàng hơn yêu cầu của bài
toán.
– Chuyển hoá hình thức bài toán như biến đổi giả thiết, kết luận về
dạng tương đương nhằm thực hiện lời giải được tốt hơn.
– Lựa chọn các công cụ giải toán, sử dụng trong lời giải tối ưu nhất.
Sau khi giải được bài toán, bước quan trọng tiếp theo là tìm thêm những
lời giải khác, điều đó giúp học sinh bồi dưỡng năng lực tìm hiểu nhiều giải pháp
cho một vấn đề, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh khác nhau, điều này giúp
học sinh phát triển năng lực giải toán.
Biện pháp này được minh họa cụ thể trong ví dụ sau:
Bài toán 1: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x y z
4 5 10
và x y z 18
Tính giá trị của biểu thức A =
2020
2 5 5
x y z
10
Phân tích:
(GV đặt các câu hỏi đặt các câu hỏi đặt vấn đề, gợi mở vấn đề để học sịnh giải
quyết vấn đề)
– Thể loại bài toán: Tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau.
– Định hướng giải: Giả thiết của bài toán đề cập đến dãy tỉ số bằng nhau
do đó ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.
– Phương hướng và công cụ thích hợp :
Từ giả thiết x y z
4 5 10
và x y + z = 18, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau ta tìm được giá trị của các biến x, y, z sau đó thay vào biểu thức A rồi tính.
Giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x y z x y z 18
2
4 5 10 4 5 10 9
| |
x 4.( 2) x 8
y 5.( 2) y 10
z 10.( 2) z 20
| Khi đó A = |
| Phân tích: |
2020 2020
2 5 5 1 1 1 2020
1 1
8 10 20 4 2 4
– Yếu tố sáng tạo trong cách giải trên: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau tìm giá trị của các biến x, y, z
– Ngoài cách trên, còn cách trình bày khác biểu diễn x, y, z theo k, tính k,
tính x, y, z . Tính A.
Cách 2 :
Giải
Đặt: x y z k (k 0)
4 5 10
x 4k
y 5k
z 10k
Thay vào x y + z = 18, ta có:
11
4k – 5k + 10k = -18
=> 9k = -18
=> k = -2
Khi đó:
x 4.( 2) 8
y 5.( 2) 10
z 10.( 2) 20
| Vậy A = |
| Phân tích: |
2020 2020
2 5 5 1 1 1 2020
1 1
8 10 20 4 2 4
– Yếu tố sáng tạo trong cách giải trên: Sử dụng số trung gian k tìm giá trị
của các biến x, y, z
– Giả thiết của bài toán là ba phương tình với ba ẩn, do đó ta có thể sử
dụng phép thế một trong ba ẩn để giải bài toán.
Cách 3
Giải
| Ta có: |
| Thay vào x y + z = , ta có: |
x y z
4 5 10
5
y x
4 5
z x
2
185 5
x x x 18
4 2
9
x 18
4
x 8
Khi đó
5
y .( 8) 10
4 5
z ( 8) 20
2
| Vậy A = |
2020 2020
2 5 5 1 1 1 2020
1 1
8 10 20 4 2 4
.
12
Phân tích:
– Ta cũng có thể dùng phép thế theo ẩn y hoặc z để giải bài toán.
– Yếu tố sáng tạo trong cách giải trên: Dùng phép thế theo một trong ba ẩn
để giải.
Trong cả ba cách giải trên, để tính giá trị biểu thức A ta đều phải tính giá trị của
các biến x, y, z.
Tuy nhiên cách 1 và cách 2 gần gũi với học sinh lớp 7 hơn, HS dễ dàng
phát hiện ra cách làm hơn..
Trong cách 2, HS phải tìm giá trị trung gian k sau đó mới tính được giá trị
của các biến.
Trong cách 3, HS phải nhận ra giả thiết của bài toán là hệ phương trình ba
ẩn để sử dụng, cách này không quen thuộc với học sinh lớp dưới.
Từ những so sánh trên, HS tìm được phương án tối ưu cho mình, phù hợp với
kiến thức lớp học.
Bài toán 2: Cho x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3. Tính giá trị biểu thức: M = x 2y 5z
x 2y 5z
Phân tích :
– Thể loại bài toán: Tính giá trị biểu thức từ dãy tỉ số bằng nhau.
– Định hướng giải: Giả thiết của bài toán đề cập đến các đại lượng tỉ lệ
thuận hay dãy tỉ số bằng nhau do đó ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau để giải bài toán.
– Phương hướng và công cụ thích hợp :
Với dữ kiện đề bài ta không tính được giá trị của x, y, z.
Từ giả thiết đã biểu diễn x, y, z qua một số trung gian hoặc tìm mối quan hệ của
x, y, z, hoặc làm xuất hiện biểu thức thành phần.
Cách 1 : Biểu diễn x, y, z qua một số trung gian
Vì x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3 x y z
5 4 3
Đặt x y z k
5 4 3
(k 0)
13
x 5k
y 4k
z 3k
Khi đó M = 5k 2.4k 5.3k 5k 8k 15k 2k 1
5k 2.4k 5.3k 5k 8k 15k 12k 6
Cách 2 : Làm xuất hiện biểu thức thành phần : x + 2y – 5z và x – 2y + 5z .
Bằng cách sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để làm xuất hiện các biểu thức
thành phần trong biểu thức cần tính.
Từ x y z
5 4 3
suy ra :
x 2y 5z
5 8 15
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x 2y 5z x 2y 5z x 2y 5z
5 8 15 5 8 15 12
x 2y 5z x 2y 5z x 2y 5z
5 8 15 5 8 15 2
Suy ra : x 2y 5z
2
:
2 5
12
x y z = 1
x 2y 5z 12
. 1
2 x 2y 5z
x 2y 5z
.( 6)
x 2y 5z
= 1
Khi đó M = 1
6
Cách 3: Sử dụng phép thế
Vì x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3 x y z
5 4 3
4
y x
5 3
z x
5
Khi đó
4 3 2
x 2. x 5. x x
5 5 5 1
M
4 3 12 6
x 2. x 5. x x
5 5 5
14
Phân tích
– Cách 1: Biểu diễn qua số trung gian k (k 0), mặc dù không tính được giá trị
của k nhưng vẫn tính được giá trị của M.
– Cách 2: Để làm xuất hiện các biểu thức thành phần trong biểu thức cần tính ta
phải biến đổi dãy tỉ số bằng nhau trước khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau.
– Cách 3: Từ giả thiết của bài toán ta biểu diễn y, z theo x rồi thay vào vào biểu
thức M và tính giá trị của M. Ta cũng có thể dùng phép thế theo ẩn y hoặc z để
giải bài toán.
Như vậy trong cả 3 cách làm, chúng ta đều không tìm được giá trị cụ thể
của các biến x, y, z nhưng bằng cách sử dụng các kiến thức, các kỹ năng, thủ
thuật một cách mềm dẻo, linh hoạt HS đã sáng tạo được các cách giải hay, ngắn
gọn.
15
2.2.2 Biện pháp 2: Hƣớng dẫn và luyện tập cho học sinh cách nhìn nhận bài
toán “Gốc” dƣới các góc nhìn khác nhau để từ đó đề xuất bài toán mới.
Trong tác phẩm: “Giải bài toán như thế nào”, G.Polya đã viết:” Cách giải
này đúng thật, nhưng làm thế nào để nghĩ ra một cách giải khác? Sự kiện này đã
được kiểm nghiệm, nhưng làm thế nào để phát hiện ra những sự kiện như vậy?
và làm thế nào để tự mình phát hiện ra được?”.
Quan điểm này của G.Polya muốn nhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy cho
học sinh biết tự tìm tòi lời giải, tự phát hiện những kết quả mới.
Sáng tạo bài toán mới là một bước quan trọng của quá trình giải toán, một
phương thức rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, một trong các mục tiêu chính
của học tập sáng tạo.
Khi giải xong một bài toán đơn giản HS cần biết cách ghi nhớ để làm
thành “chìa khoá” để giải các bài toán khác. Do đó, HS cần biết vận dụng các
phương pháp suy luận HS biết tương tự hóa, đặc biệt hóa, trìu tượng hóa, khái
quát hóa, từ đó đề xuất bài toán mới.
Với việc rèn luyện kĩ năng tương tự hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa,
khái quát hóa và các kĩ năng khác giúp học sinh tự sáng tạo bài toán nhằm rèn
luyện năng lực sáng tạo đồng thời đề xuất được hệ thống bài tập đa dạng phong
phú.
Bài toán 1 được tiếp tục sử dụng làm một ví dụ để minh họa cho biện pháp này ,
cụ thể như sau:
Bài toán 1: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x y z
4 5 10
và x y z 18
Tính giá trị của biểu thức A =
2020
2 5 5
x y z
*Bài toán tƣơng tự hóa (1.1)
Bài toán 1.1.1 : Cho các số x, y, z thỏa mãn ,
2 3 4 5
x y y z
và x + y – z = 10.
Tính giá trị của biểu thức A =
2020
2 5 5
x y z
16
Phân tích :
Biến đổi ,
2 3 4 5
x y y z
thành
8 12 15
x y z
ta được bài toán tương tự bài toán 1.
Bài toán 1.1.2 : Cho x, y, z tỉ lệ với 1; 2; 3 và 3x –y +4z = 12.
| Tính giá trị của biểu thức A = |
2016
2 5 5
x y z
Bài toán 1.1.3 : Cho các số x, y, z thỏa mãn: 5x = 4y = 2z và x y + z = 18
Tính giá trị của biểu thức B = x673 –
2019
y 5
+ z
*Bài toán đặc biệt hóa (1.2)
Bỏ đi một ẩn trong giả thiết bài toán ta có bài toán sau :
| Bài toán 1.2 : Cho các số x, y thỏa mãn: và x y = |
x y
4 5
18
Tính giá trị của biểu thức A =
2020
2 5
x y
*Bài toán khái quát hóa (1.3)
Bài toán 1.3.1 : Với a, b, c, m, a’, b’, c’ là các số cho trước, cho các số x, y, z
| thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức |
x y z và x y z m
a b c
n
x y z
A
a ‘ b’ c’
(với giả thiết tất cả các tỉ số đều có nghĩa)
Bài toán 1.3.2 : Với a , b , c , a , b , c ,a , b , c , m, n n N 1 1 1 2 2 2 3 3 3 *là các số cho
| trước, cho các số x, y, z thỏa mãn . |
2 2 2
1 1 1
x y z
và a x b y c z m
a b c
(n N*) Tính giá trị các biểu thức sau:
n
3 3 3
x y z
A
a b c
;
n
a b c 3 3 3
B
y z x
;
n
a x b y c z 3 3 3
C
x y z
….
(với giả thiết tất cả các tỉ số đều có nghĩa)
17
*Bài toán trìu tƣợng hóa (1.4)
Thay x bởi 3x – 2y, thay y bởi 2z 4x , thay x bởi 4y 3z ta có bài toán sau
| Bài toán 1.4.1 : Cho x, y, z thỏa mãn | (1) |
3x 2y 2z 4x 4y 3z
4 3 2
và x + y + z = 9. Tính giá trị biểu thức Q = 3×2 + 4y + 2z
Phân tích:
– Muốn tính giá trị biểu thức P ta sẽ biến đổi (1) về dãy tỉ số bằng nhau mới đơn
giản hơn .
– Ta làm triệt tiêu biến x, y, z bằng cách đưa hệ số của biến x , y , z về bằng nhau
hoặc đối nhau.
+ Nếu hệ số của từng biến đối nhau ta cộng …
+ Nếu hệ số của từng biến bằng nhau ta trừ…
Giải
a) Từ (1) 4 3x 2y 3 2z 4x 2 4y 3z
4.4 3.3 2.2
12x 8y 6z 12x 8y 6z
16 9 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
12x 8y 6z 12x 8y 6z 12x 8y 6z 12x 8y 6z 0
0
16 9 4 16 9 4 29
x y
2 3
3x 2y 0
x z x y z
2z 4x 0
2 4 2 3 4
4y 3z 0
z y
4 3
b) Theo câu a ta có: x y z
2 3 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x y z 9
1
2 3 4 2 3 4 9
x 2
y 3
z 4
18
Khi đó Q = 3 . (2)2 + 4 .(3) + 2 . (4)
= 12 12 8 = 8
Bài toán 1.4.2 : Cho x, y, z thỏa mãn: 5 4 6 5 4 6
6 4 5
x y y z z x
và 3x – 2y + z = 24. Tính giá trị của biểu thức A = xy – yz + zx
Bài toán 1.4.3 : Cho x, y, z thỏa mãn:
2015z 2016y 2016x 2014z 2014y 2015x
2014 2015 2016
và x 3y z 2015
Tính giá trị của P = (x + 2015)2016 + (y + 2015)2016 + (z + 2015)2016
Bài toán 1.4.4 : Với m , m , m , n , n , n 1 2 3 1 2 3là các số cho trước, cho các số a, b,
c, x, y, z thoản mãn bz cy cx az ay bx
a b c
(1) và a b c x y z
Tính giá trị các biểu thức sau:
1 2 3
1 2 3
m a m b m c
A
n x n b n c
; 1 2 3
1 2 3
m a m b m c
B
m x m y m z
(với giả thiết tất cả các tỉ số đều có nghĩa)
Hướng dân:
Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c
Từ (1) ta có:
2 2 2 2 2 2
bz-cy abz-acy bcx- baz cay-cbx abz-acy+ bcx- baz+ cay-cbx
= = = = = 0
a a b c a + b + c
bz-cy = 0 bz = cy = 2 x y
c b
ay-bx = 0 ay = bx 3 x y
a b
| Từ (2) và (3) |
….
x y z
a b c
Như vậy, từ bài toán đơn giản ban đầu, GV đã rèn luyện năng lực sáng tạo cho
HS bằng cách tạo ra các tình huống khác nhau, giúp HS sáng tạo được các cách
giải hay, ngắn gọn. Yếu tố sáng tạo trong mỗi bài toán đã được nâng từ đơn
giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát.
19
Bài toán 3 : Cho a b c
b c a
và a + b + c 0. Tính M =
5 4 2010
2019
a b c
c
Phân tích:
– Từ giả thiết của bài toán, không tính được giá trị của a, b, c .
– Trong dãy tỉ số bằng nhau: tích các tỉ số bằng 1, tổng các tử số bằng tổng
các mẫu số.
Giải
Cách 1: Sử dụng số trung gian dựa vào nhận xét tích các tỉ số bằng 1
Đặt a b c
b c a
= k (k 0)
a b c
. .
b c a
= k3 k3 = 1 k = 1
a b c
1
b c a
a = b = c = 1
Khi đó M =
2019
2019
c
1
c
(vì b
c
tồn tại c 0)
Cách 2: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau dựa vào nhận xét tổng các tử số
bằng tổng các mẫu số
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a b c
1
b c a a b c
(vì a + b + c 0)
a = b = c
Khi đó M =
2019
2019
c
1
c
(vì b
c
tồn tại c 0)
*Bài toán tƣơng tự hóa (3.1)
Bài toán 3.1.1: Cho a b c
b c a
và a + b + c 0.
Tính A = (19a + 5b + 1890c)2020 – 19142020 . a20019 . b
Cách 1: Sử dụng số trung gian dựa vào nhận xét tích các tỉ số bằng 1
Cách 2: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau dựa vào nhận xét tổng các tử số
bằng tổng các mẫu số
20
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta chứng minh được
a = b = c = 1
Khi đó A = (19a + 5a + 1890a)2020- 19142020 . a2019 . a = 0
Bài toán 3.1.2: Cho a b c
b c a
và a + b + c 0. Tính giá trị biểu thức
A = (2019a – 9b + 8c)2021 – 20202021. a2000 . b19c2
Bài toán 3.1.2 : Cho ac = b2, ab = c2, a, b, c 0 và a + b + c 0.
Tính giá trị biểu thức M =
5 4 2010
2019
a b c
c
Bài toán 3.1.3 : Cho ac = b2, ab = c2, a, b, c 0 và a + b + c 0
và N = 999
222 333 444
a b c
a b c
. Chứng tỏ : N = 3
Phân tích :
Trong bài toán 3.1.2 và 3.1.3, giả thiết a b c
b c a
được thay bằng ac = b2,
ab = c2 . Do đó yếu tố sáng tạo ở đây là chuyển từ giả thiết ac = b2, ab = c2
thành a b c
b c a
.
*Bài toán đặc biệt hóa (3.2):
Bỏ đi giả thiết a + b + c 0 ta có bài toán sau:
Bài toán 3.2.1 : Cho a b c
b c a
. Tính M =
5 4 2010
2019
a b c
c
Phân tích:
Bài toán này tương tự như Bài toán 3 nhưng bỏ đi giả thiết a + b + c 0
– Các tỉ số a
b
,
b c
,
c d
tồn tại a , b , c 0 . Tuy nhiên a + b + c có thể bằng
0, có thể khác 0 do đó nếu sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta phải xét hai
trường hợp: a b c 0 và a + b + c 0.
Vì vậy, trong bài tập này phương án sử dụng số trung gian là tối ưu.
21
*Bài toán tổng quát hóa (3.3)
Bài toán 3.3.1 : Cho a b c d
b c d a
. Tính giá trị biểu thức P = 2 2 2 2 a b c d2
a b c d
Phân tích:
– Giả thiết của bài toán mở rộng đối với dãy 4 tỉ số bằngnhau, tuy nhiên quy luật
của dãy vẫn không đổi, tương tự như bài toán 3
– Các tỉ số a
b
,
b c
,
c d
,
d a
tồn tại a , b , c , d 0 . Tuy nhiên a + b + c + d
có thể bằng 0, có thể khác 0 do đó nếu sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta
phải xét hai trường hợp: a b c 0 và a + b + c 0.
Giải
Cách 1: Đặt a b c d
b c d a
= k (k 0)
a b c d . . . k4
b c d a
k4 = 1 k = 1
+ Nếu k = 1 a = b = c = d. Khi đó P = 2
2
4a
4
4a
+ Nếu k = 1 a b
c d
Khi đó P = 2
2 2 2 2
b b d d 0
0
2b 2d 2b 2d
| Vậy P |
0;4
Cách 2:
Xét 2 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Nếu a + b + c + d = 0 P = 2 2 2 2 0 0
a b c d
+ Trường hợp 2: Nếu a + b + c + d 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c d a b c d
1
b c d a a b c d
(Vì a + b + c + d 0)
a = b = c = d. Khi đó P = 4
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT
Hoặc xem thêm các tài liệu khác của môn hóa