SKKN Phương pháp dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến kinh nghiệm
Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và đề thi chọn học sinh giỏi của tỉnh
Nam Định môn Toán trong những năm gần đây thƣờng yêu cầu thí sinh
“CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HOẶC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC”. Đặc biệt thƣờng xuất hiện những
câu khó nhằm phân loại học sinh thuộc một trong các dạng đã nêu ở trên. Bản
thân tôi là một trong các giáo viên thƣờng xuyên đƣợc nhà trƣờng giao nhiệm vụ
dạy luyện thi Đại học và bồi dƣỡng Học sinh giỏi môn Toán lớp 12, nên tôi suy
nghĩ mình cần phải trang bị cho Học sinh của mình một số các phƣơng pháp
nhất định để giúp các em có thể giải đƣợc các bài toán khó có dạng đã nêu ở
trên. Có rất nhiều phƣơng pháp có thể sử dụng để “CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC”. Khi đứng trƣớc một bài toán đó học sinh cần phải đƣợc
cung cấp nhiều phƣơng pháp giải toán khác nhau và việc phát hiện, sử dụng
phƣơng pháp cụ thể nào là một vấn đề vô cùng quan trọng để dẫn tới thành công
nhanh. Vì vậy tôi đã đƣa ra sáng kiến này nhằm mục đích: Cung cấp cho học
sinh có thêm phương án lựa chọn khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng
thức, tìm GTLN – GTNN của một biểu thức. Đồng thời cũng giúp cho giáo
viên dựa vào đó để sáng tạo ra một bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm
GTLN – GTNN của một biểu thức. Phương pháp này không dài dòng, rất độc
đáo và hiệu quả.
II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trƣớc khi tạo ra sáng kiến
Đối với học sinh việc làm các bài tập lên quan đến bất đẳng thức, tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã là một nội dung kiến thức tƣơng đối khó, hơn
nữa lại áp dụng các kiến thức này vào giải quyết các bài toán tìm giá tri lớn nhất,
nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến lại càng khó hơn. Thực tế khi dạy chủ đề này
tôi thấy khi gặp các bài toán dạng này đa số các em đều chọn bừa đáp án hoặc
bỏ qua. Một phần do các em chƣa có đƣợc cách nhìn, phƣơng pháp cụ thể, hơn
nữa lại phải có tƣ duy tổng hợp các phần kiến thức từ bất đẳng thức cơ bản, bất
3
đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, đạo hàm, hàm số, Từ những
thực tế đó tôi thấy rằng để các em không cảm thấy sợ bài tập dạng này tôi đã xây
dựng chủ đề dạy học “Chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức nhiều biến” theo một phƣơng pháp dồn biến nhằm giúp các
em từng bƣớc giải quyết các bài tập này trên cơ sở xây dựng cho các em các
kiến thức nền tảng cần thiết.
2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến
Xuất phát từ thực tế trên, khi dạy chủ đề này tôi chia thành 9 nội dung:
NỘI DUNG 1: DỒN BIẾN NHỜ VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ–
SI (CAUCHY)
NỘI DUNG 2: DỒN BIẾN NHỜ VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
BUNHIACOPXKI (CAUCHY–SCHWARZT)
NỘI DUNG 3: DỒN BIẾN NHỜ PHÁT HIỆN YẾU TỐ ĐẲNG CẤP
CỦA ĐỀ BÀI
NỘI DUNG 4: DỒN BIẾN NHỜ KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ
NỘI DUNG 5: DỒN BIẾN NHỜ VẬN DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG
THỨC
NỘI DUNG 6: DỒN BIẾN NHỜ VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CỦA GIẢ
THIẾT
NỘI DUNG 7: DỒN BIẾN NHỜ VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
NỘI DUNG 8: DỒN BIẾN NHỜ VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÌNH
HỌC
NỘI DUNG 9: DỒN BIẾN NHỜ PHƢƠNG PHÁP CHỌN PHẦN TỬ
LỚN NHẤT HOẶC PHẦN TỬ NHỎ NHẤT
Phƣơng pháp chung:
Xác định biến cần dồn về ( cần linh hoạt để sao cho bƣớc tìm điều kiện
đƣợc thuận lợi )
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki; đổi biến số để đƣa hết về
biến cần dồn đã xác định ở trên
Tìm điều kiện của biến mới.
4
Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số theo biến mới từ đó suy ra điều phải
chứng minh hoặc tìm đƣợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
NỘI DUNG 1: DỒN BIẾN NHỜ VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ –SI
(CAUCHY)
I/ Bất đẳng thức Cô–si (Cauchy)
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số: , , b 0
2
a b
ab a .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
Bất đẳng thức Cô-si cho ba số: 3
3
a b c abc, , b, c 0 a .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Bất đẳng thức Cô-si tổng quát cho n số không âm:
√ .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
II/ Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
a +b 2 , 2 2 ab a b R . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
a +b 2 , 2 2 ab a b R . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
| |
2 2
,
2
a b
ab a b R . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
2
,
2
a b
ab a b R
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
a + b 3 , 3 3 3 c abc
| |
3
3
a b c
abc
III/ Một số ví dụ minh họa
| Ví dụ 1. Cho các số thực ( ) ( )( )( ). Chứng minh rằng . |
2 2 2 3
a b c 4 Phân tích tìm lời giải
5
Đây là một ví dụ về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự
đoán dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các biến bằng nhau
1 2
a b c và biến cần đưa về là a b c hoặc abc . Khai triển đẳng
| thức ở giả thiết cho ta: |
| nên ta |
a b c a b c abc 2 2 2 1 1 4 2 xác định được:
Biến cần đưa về: a b c .
Chiều đánh giá cần tìm: abc g a b c .
Đánh giá cần tìm là: ⏞ ( )
Lời giải
+) Từ giả thiết abc a b c 1 1 1 kết hợp với ⏞ ( )
ta đƣợcabc a b c ab bc ca abc 1
1 2 a b c ab bc ca abc
2 2 2 2
2 2 2 2 2 3
1 2
2
4
1 1 4 1 1
27
a b c a b c
a b c abc
a b c a b c abc a b c a b c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
+) Đặt t a b c t 0;3. Xét hàm số 4 3 2 2 2
27
f t t t t
Ta có
2
3
4
‘ 2 2 0 2
9
3
t
f t t t
t
.
+) Bảng biến thiên của hàm số f t t , 0;3
6
| t | 0 3 |
| – 0 + | |
| 21 |
3
2
f t ‘ f t
3 4
+) Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2 2 2 3
4
a b c f t . Đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi 1 .
2
a b c
Kết luận: Vậy 2 2 2 3 .
4
a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 .
2
| Ví dụ 2. Cho các số thực x, y thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |
x y 0P x y x y 2 3 . 3 3
Phân tích tìm lời giải
Đây là ví dụ về bất đẳng thức hai biến đối xứng. Dự đoán dấu đẳng thức
xảy ra khi hai biến bằng nhau. Từ giả thiết x y 0 ta xác định được:
Biến cần đưa về: x y .
Chiều đánh giá cần có: P .
Chiều đánh giá cần tìm: x y g x y 3 3 .
Biến đổi biểu thức x y x y xy x y 3 3 3 3 , do đó nếu muốn sử
dụng đánh giá x y g x y 3 3 ta sẽ cần xy x y .
Đánh giá cần tìm là:
2
2
x y
xy
.
Lời giải
7
+)Áp dụng đánh giá
2
2
x y
xy
ta đƣợc
3 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3
4 4
x y x y
x y x y xy x y x y x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y .
+) Khi đó P x y x y x y 2 3 3 3 3 x y 2 3 , đặt x y t 0 ta có
hàm số
2
1 3 3 3
3 , 0; ‘ 0 1
2 2 2
t
f t t t t f t t
t
+) Bảng biến thiên của hàm số f t t , 0
| t | 0 1 |
| || – 0 + | |
| 0 +∞ |
f t ‘ f t
5 2
Từ bảng biến thiên, ta thấy 1 , 0 5 5
2 2
f t f t P f t .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
2
x y .
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 5
2
tại 1
2
x y .
| Ví dụ 3. Cho các số thực x, y dƣơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |
2 2
1
8 .
8
P x y
xy x y
Phân tích tìm lời giải
Đây là ví dụ về bất đẳng thức hai biến đối xứng vì thế chỉ có thể dồn về
biến x y hoặc biến xy . Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến
bằng nhau. Dựa vào chiều cần đánh giá ta xác định được:
Biến cần đưa về: x y .
8
Chiều đánh giá cần có: P .
Chiều đánh giá cần tìm: xy x y g x y 2 2 .
Biến đổi biểu thức: Nếu muốn tạo ra x y từ x y 2 2 và xy, ta chỉ có
| biến đổi sau |
| Đánh giá cần tìm là: . |
x y xy x y 2 2 . 2 2
2 . xy x y 2 2 2xy x y 2 4 2 2 2 x y 4 Lời giải
+) Ta có 1 1 2 2 2 2 8 2 . xy x y xy x y 2 2 2 2 xy x y 2 2 2 x y 4 . Đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi x y .
2 2 4
1 1
8 8
8
P x y x y
xy x y x y
,
| đặt ta có hàm số |
| +) Bảng biến thiên của hàm số |
x y t 0 f t t t f t t 1 4 4 4 5 8 , 0; ‘ 0 1
t t t
f t t , 0
| t | 0 1 |
| || – 0 + | |
| 9 |
f t ‘ f t
Từ bảng biến thiên, ta thấy f t f t P f t 1 9 , 0 9 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
2
x y .
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 9 tại 1
2
x y .
9
| Ví dụ 4. Cho các số thực x, y dƣơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |
3 3 3 3
1 1
.
9
P
x y x y x y
Phân tích tìm lời giải
Đây là ví dụ về bất đẳng thức hai biến đối xứng vì thế chỉ có thể dồn về
biến x y hoặc biến xy . Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến
bằng nhau. Tương tự ví dụ 3 dựa vào chiều cần đánh giá ta xác định
được:
Biến cần đưa về: x y .
Chiều đánh giá cần có: P .
Chiều đánh giá cần tìm: x y x y g x y 3 3 3 3 .
Biến đổi biểu thức: Ta có x y x y x xy y 3 3 2 2 . Như vậy muốn
đưa về biến x y ta xét tích x y x xy y 3 3 2 2 . Cũng như ví dụ trên, ta
thấy để tạo ra x y ta cần có biến đổi sau
x y x xy y xy xy xy 2 2 2 .
Đánh giá cần tìm là:
xy xy xy x xy y 2 2 xy xy xy x xy y 4 256 2 2 4 x y 8
.
Lời giải
+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dƣơng ta có
3 3 3 3 2 2
4
2 2 9
3 3 3 3
4 256
x y x y xy xy xy x xy y x y
xy xy xy x xy y x y
x y x y x y
| Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . |
| , đặt |
x y 3 3 3 3 9
1 1 256 1
9 9
P
x y x y x y x y x y
x y t 0
10
| ta có hàm số |
256 1 256 1 9 10 2 , 0; ‘ 0 2
9
f t t f t t
t t t t
+) Bảng biến thiên của hàm số f t t , 0
| t | 0 2 |
| || – 0 + | |
| 0 |
f t ‘ f t
4 9
+) Từ bảng biến thiên, ta thấy 2 , 0 4 4
9 9
f t f t P f t .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 4
9
tại x y 1.
| Ví dụ 5. (Khối B năm 2014) Cho các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . |
a b c , , ( ) 0 a b c
2( )
a b c
P
b c a c a b
Phân tích tìm lời giải
Đây là ví dụ về bất đẳng thức ba biến không đối xứng, quan sát điều kiện
của giả thiết xuất hiện tích ( ) 0 a b c và biểu thức P xuất hiện thương
c
a b
ta dự đoán đưa về biến
c
a b
hoặc biến a b
c
. Mặt khác theo bất
đẳng thức Cô-si ta có
2( ) 2
1
a b a b
b c a c a b c c
a b
, do đó ta
xác định được:
Biến cần đưa về: c
a b
Chiều đánh giá cần có: P .
11
Chiều đánh giá cần tìm:
.
a b c
g
b c a c a b
Đánh giá cần tìm là:
2( ) 2
1
a b a b
b c a c a b c c
a b
.
Lời giải
+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
2
a b c a b c ( ) 2 ( ) a a
b c a b c
Tƣơng tự ta có: 2 2( ) 2
1
b b a b a b
a c a b c b c a c a b c c
a b
2
2( ) 2( ) 1
a b c c
P
b c a c a b a b c
a b
,
đặt
t t c , 0
a b
.
Xét hàm số
2 1
( )
1 2
f t t
t
với t 0,
2
2 1
‘ 0 1
1 2
f t t
t
+) Bảng biến thiên của hàm số f t t , 0
| t | 0 1 |
| – 0 + | |
| 2 |
f t ‘ f t
3 2
+) Từ bảng biến thiên, ta thấy 1 , 0 3 3
2 2
f t f t P f t .
| Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . |
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT
Hoặc xem thêm các tài liệu khác của môn hóa