O₂ Education

Tag: toán 4

  • Tìm số số hạng của dãy số lớp 4-5

    Cách tìm số số hạng của dãy số

    • số số hạng = số khoảng cách + 1
    • số số hạng = (Số hạng đầu – Số hạng cuối ) : khoảng cách + 1
    • số hạng thứ n = (n – 1) x Khoảng cách + Số đầu.

    Mời các em xem thêm Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Bài tập tìm số số hạng của dãy số

    Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp kể từ:

    a) 1 dến 1945?

    b) 187 đến 718?

    c) 1000 đến 2000?

    Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên là:

    a) Các số chẵn liên tiếp có hai chữ số?

    b) Các số lẻ liên tiếp có ba chữ số?

    c) Các số lẻ từ 1 đến 2001?

    Bài 3. Dãy số sau đây có bao nhiêu số hạng:

    a) 1, 2, 3, 4, …, 98, 99, 100, 99, 98, …,4, 3, 2, 1?

    b) 1, 3, 5, 7, …, 95, 97, 99, 100, 98, …, 8, 6, 4, 2 ?

    Bài 4. Cho dãy số 298, 295, 292, …, 7, 4, 1. Hỏi dãy này có bao nhiêu số hạng?

  • Phương pháp rút về đơn vị – Phương pháp tỉ số

    Phương pháp rút về đơn vị – Phương pháp tỉ số

    Phương pháp rút về đơn vị – Phương pháp tỉ số

    Phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số là một trong những PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC.

    Phương pháp rút về đơn vị là gì?

    Trong một bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch người ta thường cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất và một giá trị của đại lượng thứ hai. Bài toán đó đòi hỏi phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai.

    Để tìm giá trị đó, ở tiểu học có thể sử dụng một trong những phương pháp thường dùng như phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số.

    Ví dụ, có 45 m vải may được 9 bộ quần áo như nhau. Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải loại đó để may được 7 bộ quần áo như thế?

    Phương pháp rút về đơn vị - Phương pháp tỉ số

    Ở bài toán này, từ dữ kiện thứ nhất “có 45 m vải may được 9 bộ quần áo như nhau” chúng ta phải:

    • Tìm được 1 bộ quần áo may hết mấy mét vải;
    • Khi biết được 1 bộ quần áo may cần bao nhiêu mét vải thì chúng ta sẽ tìm được 7 bộ quần áo hết bao nhiêu mét vải?

    Ví dụ Phương pháp rút về đơn vị

    Ví dụ 1. Có 45 m vải may được 9 bộ quần áo như nhau. Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải loại đó để may được 7 bộ quần áo như thế?

    Phân tích. Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất (9 bộ và 7 bộ  và một giá trị của đại lượng thứ hai (45 m). Ta phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai (đó là số mét vải để may 7 bộ quần áo).
    Ta tóm tắt bài toán như sau:

    9 bộ : 45 m
    7 bộ : ? m

    Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây:

    1 bộ : ? m
    7 bộ : ? m

    Lời giải

    Số mét vải để may một bộ quần áo là:

    45: 9 = 5 (m)

    Số mét vải để may một bộ quần áo là

    5 × 7 = 35 (m)

    Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị. Cách giải theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước:

    1. Tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ nhất tương ứng với một giá trị nào của đại lượng thứ hai (ở bài toán này thì 1 bộ quần áo ứng với 5m vải). Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính chia.
    2. Có bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ nhất thì có bấy nhiêu lần giá trị tương ứng (vừa tìm) của đại lượng thứ hai. Giá trị này của đại lượng thứ hai chính là số phải tìm trong bài toán (ở bài toán này thì 7 bộ quần áo ứng với 35m vải). Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính nhân.

    Ví dụ 2. Có 50 m vải may được 10 bộ quần áo như nhau. Hỏi có 40m vải cùng loại thì may được mấy bộ quần áo như thế?

    Phân tích. Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất (50m và 40m) và một giá trị của đại lượng thứ hai (10 bộ). Ta phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai (đó là số bộ quần áo may được từ 40m vải). Ta tóm tắt bài toán như sau:

    50m : 10 bộ
    40m : ? bộ

    Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây:

    ? m : 1 bộ
    40m : ? bộ

    Lời giải

    Số mét vải để may 1 bộ quần áo là

    50: 10 = 5 (m)

    Số bộ quần áo may được là:

    40: 5 = 8 (bộ)

    Ví dụ 3. Một xe máy đi 3 giờ được 60km. Hỏi xe đó đi trong 6 giờ được bao nhiêu ki lô mét? (Coi như vận tốc không đổi).

    Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau:

    3 giờ : 60km
    6 giờ : ?km

    Lời giải
    So sánh 6 giờ với 3 giờ ta thấy:

    6: 3 = 2 (lần)

    Vậy trong 6 giờ xe máy đi được:

    60 × 2 = 120 (km)

    Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp tỉ số. Cách giải theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước:

    • So sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất xem số này gấp mấy lần số kia (ở bài toán này 6 giờ gấp 2 lần 3 giờ)
    • Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai cũng được tăng (hoặc giảm) đúng một số lần vừa tìm ở bước a, (ở bài toán này 60km được tăng gấp hai lần). Kết quả tìm được chính là số phải tìm trong bài toán.

    Ngoài cách giải bằng phương pháp tỉ số, bài toán ở ví dụ 3 còn có thể giải bằng phương pháp rút về đơn vị:

    Trong 1 giờ xe máy đi được là:

    60: 3 = 20 (km)

    Trong 6 giờ xe máy đi được là:

    20 × 6 = 120 (km)

    Ứng dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số về giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận.

    Ví dụ 4. Xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 36km/ giờ thì hết 4 giờ. Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì ô tô đi với vận tốc bao nhiêu km/ giờ?

    Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau:

    4 giờ: 36km/ giờ
    6 giờ:?km/ giờ

    Giả sử ô tô đi từ A đến B hết một giờ thì khi đó vận tốc của ô tô là:

    36 × 4 = 144 (km/ giờ)

    Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì vận tốc của ô tô là:

    144: 6 = 24 (km/ giờ)

    Bài toán trên đã được giải theo phương pháp rút về đơn vị. Ngoài phương pháp rút về đơn vị, có thể giải bài toán này theo phương pháp tỉ số
    bằng cách lập luận như sau:

    Trên cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau. Theo đầu bài ta vẽ sơ đồ vận tốc của ô tô trong hai lần chạy.

    Phương pháp rút về đơn vị - Phương pháp tỉ số 1

    Vận tốc phải tìm của ô tô là:

    36: 6 = 24 (km/ giờ)

    Ví dụ 5. Để chuyên chở 39kg hàng hóa trên quãng đường dài 74km phải chi phí hết 12000 đồng. Hỏi phải chi phí hết bao nhiêu tiền nếu chuyên chở 26kg trên quãng đường dài 185km? (Giá cước chuyên chở tỷ lệ thuận với khối lượng hàng hóa và đường dài).

    Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau:

    39kg – 74km – 12000 đồng
    26 kg – 185km -? đồng

    Ta có thể “tách” bài toán đã cho thành hai bài toán đơn giản hơn và tiến hành giải liên tiếp hai bài toán đó. Kết quả của bài toán thứ hai chính là đáp số của bài toán đã cho.

    Ta tiến hành như sau:

    a) Cứ chuyên chở 39kg (đi 74km) thì chi phí là 12 000 đồng. Vậy chuyên chở 26kg (đi 74km) thì chi phí là:

    $\displaystyle \frac{12000 \times 26}{39}= 8000$ (đồng)

    b) Chuyên chở (26kg) trên đường dài 74km thì chi phí là 8000 đồng. Vậy chuyên chở (26kg) đi trên đường dài 185km thì chi phí là:

    $\displaystyle \frac{8000 \times 185}{74}= 20000$ (đồng)

    Ứng dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số về giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

    Ví dụ 6. Hai bạn An và Cường được lớp phân công đi mua kẹo về liên hoan. Hai bạn nhẩm tính nếu mua loại kẹo giá 4000 đồng một gói thì được 21 gói. Hỏi cùng số tiền đó mà các bạn mua loại kẹo giá 7000 đồng 1 gói thì được bao nhiêu gói?

    Phân tích: Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng:

    • một đại lượng không đổi là số tiền mua kẹo.
    • hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch là số gói kẹo mua được và tiền 1 gói kẹo.

    Lời giải.

    Cách 1:

    Nếu giá 1000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

    21 × 4 = 84 (gói kẹo)

    Nếu giá 7000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

    84 : 7 = 12 (gói kẹo)

    Đáp số: 12 gói kẹo

    Cách 2:

    Nếu giá 1000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

    21 × 4000 = 84000 (gói )

    Nếu giá 7000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

    84000 : 7000 = 12 (gói)

    Đáp số: 12 gói kẹo

    Cách 3:

    Số tiền hai bạn mang đi mua kẹo là:

    4000 × 21 = 84000 (đồng)

    Số gói kẹo 7000 đ mua được là:

    84000 : 7000 = 12 (gói)

    Bài tập phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số

    Bài 1. Mua 6 ngòi bút hết 3000 đồng. Hỏi mua 12 ngòi bút như thế hết bao nhiêu tiền?

    Bài 2. Một người tính rằng nếu mua 15kg gạo thì phải trả 30 000 đồng. Hỏi nếu người đó trả 6000 đồng thì mua được bao nhiêu kilôgam gạo?

    Bài 3. Quãng đường từ cột điện thứ nhất đến cột điện thứ nhất đến cột điện thứ năm dài 480 bước. Hỏi quãng đường từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mười dài bao nhiêu bước, biết rằng khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp đều như nhau?

    Bài 4. Một người đi xe máy từ A đến B mỗi giờ đi được 30km thì hết 3 giờ. Khi trở về từ B đến A người đó đi hết 6 giờ. Hỏi khi trở về mỗi giờ đi được bao nhiêu kilômét, biết rằng cả lúc đi và về đều không nghỉ ở dọc đường?

    Bài 5. Trong kì thi chọn học sinh giỏi người ta thấy rằng cứ 5 bạn thì có hai bạn gái còn lại là con trai. Hãy tinh xem trong kì thi đó có bao nhiêu bạn gái, biết rằng có 240 bạn trai tham gia?

    Bài 6. Một đơn vị có 45 người đã chuẩn bị đủ gạo ăn trong 15 ngày. Sau 5 ngày đơn vị đó tiếp nhận thêm 5 người nữa. Hãy tính xem số gạo còn lại đủ cho đơn vị ăn trong bao ngày nữa?

    Bài 7. Theo dự định thì một đơn vị thanh niên xung phong phải làm xong quãng đường trong 10 ngày. Ngày hôm sau, vì có 10 người đã chuyển đi nơi khác trong 7 ngày nên đội thanh niên đã phải làm xong quãng đường đó trong 12 ngày. Hỏi lúc đầu đội thanh niên có bao nhiêu người?

    Bài 8. Một đội 15 công nhân dự địng lắp xong một cái máy trong 20 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giờ. Nếu thêm 5 người nữa mà cả đội mỗi ngày làm việc 10 giờ, thì lắp xong cái máy đó trong bao nhiêu ngày?

    Bài 9. Người ta tính rằng cứ 3 ô tô chở hàng, mỗi ô tô đi 50km thì tiền chi phí tất cả là 120000 đồng. Vậy nếu 5 ô tô như thế, mỗi ô tô đi 100km thì chi phí hết tất cả bao nhiêu tiền?

    Bài 10. Một ô tô chạy từ tỉnh A đến tỉnh B. Nếu chạy mỗi giờ 60km thì ô tô sẽ đến B vào lúc 15 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 40km thì ô tô sẽ đến B vào lúc 17 giờ cùng ngày.

    a) Hỏi tỉnh A cách tỉnh B bao nhiêu kilômét?
    b) Hãy tính xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu kilômét để đến B vào lúc 16 giờ?

  • Tóm tắt kiến thức Toán lớp 4

    Tóm tắt kiến thức Toán lớp 4

    Tóm tắt kiến thức Toán lớp 4

    SỐ VÀ CHỮ SỐ

    1. Dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9.
    2. Có 10 số có 1 chữ số: Từ số 0 đến số 9.
    3. Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. Không có số tự nhiên lớn nhất.
    4. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.
    5. Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 gọi là số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
    6. Các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 gọi là số lẻ. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.

    PHÉP CỘNG VÀ CÁC TÍNH CHẤT

    1. a + b = b + a
    2. (a + b) + c = a + (b + c)
    3. 0 + a = a + 0 = a
    4. (a – n) + (b + n) = a + b
    5. (a – n) + (b – n) = a + b – n x 2
    6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
    7. Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n -1) lần số hạng được gấp lên đó.
    8. Nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (1 – n) số hạng bị giảm đi đó.
    9. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ.
    10. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số chẵn.
    11. Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
    12. Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
    13. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.

    PHÉP TRỪ VÀ CÁC TÍNH CHẤT

    1. a – (b + c) = (a – c) – b = (a – b) – c
    2. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi.
    3. Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số đúng bằng (n -1) lần số bị trừ. (n > 1).
    4. Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n – 1) lần số trừ. (n > 1).
    5. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
    6. Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.

    TÓM TẮT KIẾN THỨC TOÁN LỚP 4: PHÉP NHÂN

    1. a × b = b × a
    2. a × (b × c) = (a × b) × c
    3. a × 0 = 0 × a = 0
    4. a × 1 = 1 × a = a
    5. a × (b + c) = a × b + a × c
    6. a × (b – c) = a × b – a × c
    7. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.
    8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0)
    9. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần. Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n) lần. (m và n khác 0)
    10. Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại.
    11. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.
    12. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
    13. Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5.

    PHÉP CHIA

    1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
    2. 0 : a = 0 (a > 0)
    3. a : c – b : c = ( a – b) : c (c > 0)
    4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
    5. Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
    6. Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại.7. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi.8. Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần (n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm ) n lần.

    TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

    1. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

    Ví dụ: 542 + 123 – 79 482 × 2 : 4
    = 665 – 79 = 964 : 4
    = 586 = 241

    2. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau.

    Ví dụ: 27 : 3 – 4 × 2 = 9 – 8 = 1

    3. Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau.

    Ví dụ: 25 ×(63 : 3 + 24 ×5) = 25 × (21 + 120) = 25 × 141 = 3525

    DÃY SỐ TỰ NHIÊN

    1. Đối với số tự nhiên liên tiếp:
      • Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
      • Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn số lượng số lẻ là 1.
      • Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là 1.
    2. Một số quy luật của dãy số thường gặp:
      • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d.
      • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1).
      • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
      • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
      • Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
      • Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó.
        …
    3. Dãy số cách đều:
      • Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
        Số số hạng = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : d + 1 (d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
        Ví dụ: Tính số lượng số hạng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.
    Ta thấy:
    4 – 1 = 3 …
    7 – 4 = 3 97 – 94 = 3
    10 – 7 = 3 100 – 97 = 3

    Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị.

    Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là: (100 – 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)

      • Tính tổng của dãy số cách đều.

    TONG DAY SO CACH DEUVí dụ : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là (1+100)×100:2 = 5050.

    DẤU HIỆU CHIA HẾT

    1. Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
    2. Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
    3. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
    4. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
    5. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
    6. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25
    7. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
    8. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
    9. Số a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a > b) cũng chia hết cho m.
    10. Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r.
    11. Số a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a – b) chia hết cho m ( m > 0).
    12. Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0).
    13. Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0). Đồng thời m và n chỉ cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m×n.
      Ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1) nên 18 chia hết cho tích 2×9.
    14. Nếu a chia cho m dư m – 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m.
    15. Nếu a chia cho m dư 1 thì a – 1 chia hết cho m (m > 1).
    16. Một số a chia hết cho một số x (x ≠ 0) thì tích của số a với một số (hoặc với một tổng, hiệu, tích, thương) nào đó cũng chia hết cho số x.
    17. Tổng hay hiệu 2 số chia hết cho một số thứ ba và một trong hai số cũng chia hết cho số thứ ba đó thỡ số cũn lại cũng chia hết cho số thứ ba.
    18. Hai số cùng chia hết cho một số thứ 3 thỡ tổng hay hiệu của chỳng cũng chia hết cho số đó.
    19. Trong hai số, có một số chia hết và một số không chia hết cho số thứ ba đó thỡ tổng hay hiệu của chúng khụng chia hết cho số thứ ba đó. e. Hai số cùng chia cho một số thứ ba và đều cho cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số thứ ba đó.
    20. Trong trường hợp tổng 2 số chia hết cho x thi tổng hai số dư phải chia hết cho x

    KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ CẤU TẠO SỐ

    Phần này, xin mời thầy cô và các em học sinh xem trong bài Toán lớp 4 Lập số tự nhiên và quy tắc đếm.

  • Giải toán bằng phương pháp khử

    Giải toán bằng phương pháp khử

    Giải toán bằng phương pháp khử

    1. Phương pháp khử là gì?

    Trong một bài toán thường có nhiều số cho trước (số đã biết). Bài toán có thể đòi hỏi phải tính giá trị của một đơn vị nào đó. Bởi vậy ta có thể biến đổi hai số cho trước của một đại lượng này sao cho chúng bằng nhau rồi nhờ cách so sánh hai số khác nhau của một đại lượng khác mà tính được giá trị một đơn vị cần tìm.

    Làm thế này ta đã tạm “xóa bỏ” hai giá trị của một đại lượng bằng cách làm cho hai giá trị đó (hai số đã cho) bằng nhau rồi trừ hai số bằng nhau đó.

    Phương pháp khử là phương pháp được dùng trong các bài toán tính nhiều đại lượng ở tiểu học. Ta sử dụng dữ kiện của bài toán, nhằm “khử” đi một số đại lượng, chỉ giữ lại 1 đại lượng để tính ra kết quả, rồi tiếp theo là tính ngược lại các đại lượng còn lại.

    Xem thêm:

    2. Ví dụ giải toán bằng phương pháp khử

    Ví dụ 1. Mua $3$ bút xanh và $7$ bút đỏ hết $44000$ đồng. Mua $3$ bút xanh và $4$ bút đỏ như thế hết $29000$ đồng. Tìm giá tiền $1$ bút xanh, $1$ bút đỏ?

    Nhận xét. Chúng ta thấy ở cả hai lần mua thì số lượng bút xanh đều là $3$, nên số tiền chênh lệch là do số lượng bút đỏ ở mỗi lần khác nhau. Do đó, từ số tiền chênh lệch này chúng ta sẽ tìm cách tính xem giá tiền một bút đỏ là bao nhiêu.

    Lời giải

    Giải toán bằng phương pháp khử 2

    Mua $3$ bút xanh và $7$ bút đỏ hết $44000$ đồng. Mua $3$ bút xanh và $4$ bút đỏ hết $29000$ đồng. Suy ra, số tiền mua $7 -4 = 3$ bút đỏ là

    $44000-29000 = 15000$ (đồng)

    Giá $1$ bút đỏ là:

    $15000 : 3 = 5000$ (đồng)

    Số tiền mua $7$ bút đỏ là:

    $7 \times 5000 = 35000$ (đồng)

    Số tiền mua $3$ bút xanh là:

    $44000-35000 = 9000$ (đồng)

    Giá tiền $1$ bút xanh là:

    $9000 : 3 = 3000$ (đồng)

    Đáp số: Bút xanh: $3000$ đồng, bút đỏ: $5000$ đồng

    Ví dụ 2. Một người mua $5$ quả chanh và $10$ quả hồng hết tất cả $5000$ đồng. Hãy tính giá tiền $1$ quả mỗi loại, biết rằng mua một quả chanh và một quả hồng hết $700$ đồng.

    Phân tích. Ta phải làm cho hai số chỉ số lượng quả chanh bằng nhau, bằng cách nhân 5 lần số tiền mua một quả chanh và một quả hồng.

    Mua một quả chanh và một quả hồng hết $700$ đồng, nên mua $5$ quả chanh và $5$ quả hồng hết $5\times 700 = 3500$ đồng.

    Từ đó có sơ đồ sau:

    Giải toán bằng phương pháp khử 3

    Nhìn vào sơ đồ này, chúng ta dễ dàng thấy sự chênh lệch khi mua nhiều hơn 5 quả hồng thì phải trả nhiều hơn 1500 đồng. Từ đó ta tính được giá tiền 1 quả hồng.

    Lời giải.

    Mua một quả chanh và một quả hồng hết $700$ đồng, nên mua $5$ quả chanh và $5$ quả hồng hết

    $5\times 700 = 3500$ đồng.

    Mua $5$ quả chanh và $10$ quả hồng hết tất cả $5000$ đồng, mua $5$ quả chanh và $5$ quả hồng hết $3500$ đồng. Như vậy, số tiền mua $20-5=5$ quả hồng là

    $5000-3500=1500$ đồng.

    Suy ra, giá tiền một quả hồng là

    $1500:5=300$ đồng.

    Giá tiền một quả chanh là:

    $700-300 = 400$ (đồng)

    Nhận xét. Thay vì đưa về cùng số lượng quả chanh, chúng ta cũng có thể đưa về cùng số lượng quả hồng.

    Ví dụ 3. Mua $3$ kg gaọ tẻ và $5$ kg gạo nếp hết tất cả $132000$ đồng. Mua $6$ kg gạo tẻ và $7$ kg gạo nếp hết tất cả $210000$ đồng. Tính giá tiền của $1$ kg gạo mỗi loại?

    Bài giải:

    Mua $6$ ki lô gam gạo tẻ và $10$ ki lô gam gạo nếp hết số tiền là:

    $132000 \times 2 = 264000$ (đồng)

    $10$ ki lô gam gạo nếp hơn $7$ ki lô gam gạo nếp là:

    $10 – 7 = 3$ (kg)

    Số tiền mua $3$ ki lô gam gạo nếp là:

    $264000-210000 = 54000$ (đồng)

    Giá tiền $1$ ki lô gam gạo nếp là:

    $54000 : 3 = 18000$ (đồng)

    Số tiền mua $3$ ki lô gam gạo tẻ là:

    $132000-18000 \times 5 = 42000$ (đồng)

    Giá $1$ ki lô gam gạo tẻ là:

    $42000 : 3 = 14000$ (đồng)

    Đáp số: Gạo nếp: $18000$ đồng, gạo tẻ: $14000$ đồng

    Ví dụ 4. Tổng của hai số A và B là $3{,}9$. Nếu gấp số A lên $3$ lần và số B lên $4$ lần thì tổng của hai số mới là $13{,}2$. Tìm số A, số B.

    Lời giải

    Tổng của $3$ lần số A và $3$ lần số B là:

    $3{,}9 \times 3 = 11{,}7$

    Số B là:

    $13,2-11{,}7 = 1{,}5$

    Số A là:

    $3{,}9-1{,}5 = 2{,}4$

    Đáp số: A: $2{,}4$; B: $1{,}5$

    Ví dụ 5. Mua $4$ kg quýt và $7$ kg cam hết $147000$ đồng. Giá tiền $1$ kg quýt hơn giá tiền $1$ kg cam là $1000$ đồng. Tính giá tiền $1$ ki lô gam quýt, $1$ ki lô gam cam.

    Hướng dẫn. Với dạng này, ta đưa cùng hệ số của một đại lượng đối với hiệu và tổng, sau đó tiến hành “khử” .

    Lời giải.

    Giá tiền $1$ kg quýt đắt hơn giá tiền $1$ kg cam là $1000$ đồng nên $7$ kg quýt  đắt hơn $7$ kg cam số tiền là:

    $1000 \times 7 = 7000$ (đồng)

    Mua $11$ kg hoa quả gồm $4$ kg quýt và $7$ kg cam hết $147000$ đồng. Nếu thay $7$ kg cam bằng $7$ kg quýt thì ta có $11$ kg toàn là quýt, sẽ phải trả thêm $7000$ đ. Số tiền mua $11$ kg quýt này là:

    $147000 + 7000 = 154000$ (đồng)

    Giá tiền $1$ ki lô gam quýt là:

    $154000 : 11 = 14000$ (đồng)

    Giá tiền $1$ ki lô gam cam là:

    $14000-1000 = 13000$ (đồng)

    Đáp số: Quýt: $14000$ đồng ; Cam: $13000$ đồng

    3. Bài tập Giải toán bằng phương pháp khử

    Bài 1. Bạn Dương mua $5$ ngòi bút máy và $3$ quyển vở hết tất cả $3800$ đồng. Bạn Giang mua $3$ ngòi bút và $3$ quyển vở như thế hết tất cả $3000$ đồng. Tính giá tiền 1 cái mỗi loại.

    Bài 2. An mua $15$ hộp giấy và $10$ bút cả thảy hết $31600$ đồng. Bình mua $1$ tập giấy và $1$ bút như thế hết $2640$ đồng. Tính giá tiền $1$ cái mỗi loại.

    Bài 3. Hôm trước cô Ngân mua cho nhà trường 3 lọ mực xanh và 2 lọ mực đỏ hết cả thảy 9200 đồng, hôm sau mua 2 lọ mực xanh và 3 lọ mực đỏ như thế hết cả thảy 8800 đồng. Tính giá tiền 1 lọ mực mỗi loại.

    Bài 4. Một cái thùng đựng 49 lít dầu và 1 cái bình đựng 56 lít dầu. Nếu đổ dầu ở thùng vào cho đầy bình thì trong thùng còn 1/2 thùng dầu. Nếu đổ dầu ở bình vào cho đầy thùng thì trong bình còn 1/3 bình dầu. Hãy cho biết sức chứa của thùng và của bình?

    Hướng dẫn. Đại lượng muốn khử là gạo tẻ, chưa cùng hệ số. Ta phải đưa về cùng hệ số (tức là cùng số kilogam) rồi khử

    Đáp số: Bình: 63 lít ; Thùng: 84 lít.

    Bài 5. 4 con gà và 3 con vịt nặng 12,5 kg. 1 con gà nặng hơn 1 con vịt 0,5 kg. Hỏi mỗi con gà, mỗi con vịt nặng bao nhiêu ki lô gam?

    Đáp số: Gà: 2kg ; Vịt: 1,5kg

    Bài 6. Cửa hàng thực phẩm buổi sáng bán 35 chai nước mắm loại một và 65 chai nước mắm loại hai thu được cả thảy 435000 đồng, buổi chiều bán gấp đôi số chai nước mắm loại một và gấp ba số chai nước mắm loại hai thu được cả thảy 1130000 đồng. Tính số tiền một chai nước mắm mỗi loại.

    Bài 7. Cửa hàng bách hóa lần đầu bán 12 áo và 5 quần thu được cả thảy 268000 đồng, lần sau bán 15 áo và 8 quần như thế thu được cả thảy 37000 đồng. Tính giá tiền 1 áo, 1 quần.

    Bài 8. Nhà trường đã mua một số ghế, mỗi cái giá 25000 đồng và một số bàn, mỗi cái giá 40000 đồng, hết cả thảy 310000 đồng. Nếu nhà trường mua số bàn đúng bằng số ghế đã mua và số ghế đúng bằng số bàn đã mua thì phải trả thêm 30000 đồng nữa. Hỏi nhà trường đã mua mấy cái bàn và mấy cái ghế?

    Bài 9. Một người mua 10 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết cả thảy 9500 đồng. Tính giá tiền mỗi quả trứng, biết rằng số tiền mua 5 quả trứng gà nhiều hơn số tiền mua 2 quả trứng vịt là 1600 đồng.

    Bài 10. Ba cán bộ được chia một số tiền thưởng như sau: số tiền của bác Hiền và của cô Yến là 200000 đồng, số tiền của cố Yến và của cô Thuận là 150000 đồng, số tiền của cô Thuận và của bác Hiển là 220000 đồng. Hỏi mỗi người được thưởng bao nhiêu tiền?

    Bài 11. Bốn khối lớp cùng thu nộp giấy vụn được tất cả 1325 kg. Khối Hai, khối Bốn và khối Ba thu được 425kg, khối Năm, khối Bốn và khối Ba thu được 1225kg, khối Hai và khối Bốn thu được 275kg. Hỏi mỗi khối thu được bao nhiêu kg giấy vụn?

    Bài 12. Một người đi du lịch rời thành phố đi bộ hết 6 giờ và đi ngựa hết 5 giờ thì cách xa thành phố 80km. Lần sau vẫn đi với vận tốc như trước, nhưng người đó rời thành phố đi ngựa hết 11 giờ rồi đi bộ quay trở về thành phố hết 6 giờ thì lúc đó còn cách thành phố 64km. Hãy tính vận tốc khi đi ngựa của người đó.

  • TOÁN 4: DẠNG TOÁN TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ

    TOÁN 4: DẠNG TOÁN TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ

    DẠNG TOÁN TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ

    1. Cách tìm phân số của một số

    Quy tắc tìm phân số của một số: Muốn tìm giá trị $\frac{m}{n}$ của một số $x$ cho trước, ta lấy $x$ nhân với $\frac{m}{n}$.

    Muốn tìm phân số của một số ta nhân số đó với phân số đã cho.

    Chú ý rằng, số đã cho đó có thể viết dưới dạng phân số với mẫu số là 1 và ta thực hiện phép nhân như nhân hai phân số với nhau.

    Xem thêm: Tìm một số biết giá trị một phân số của số đó

    Ví dụ 1. Tính $\frac{2}{7}$ của $21$.

    Hướng dẫn. $\frac{2}{7}$ của $21$ là $$\frac{2}{7}\times 21 = 6.$$

    Ví dụ 2. Một hộp kẹo có 40 chiếc kẹo. Hỏi $\frac{3}{4}$ hộp kẹo có bao nhiêu chiếc?

    Hướng dẫn. Số chiếc kẹo có trong $\frac{3}{4}$ hộp kẹo là $$\frac{3}{4} \times 40 =30.$$

    Ví dụ 3. Lớp 6A có 50 học sinh. Trong đó, có $\frac{3}{5}$ số học sinh thích chơi đá bóng. 80% số học sinh thích chơi đá cầu và $\frac{7}{10}$ số học sinh thích chơi cầu lông. Hỏi lớp 6A có:

    • Bao nhiêu học sinh thích chơi đá bóng ?
    • Bao nhiêu học sinh thích chơi đá cầu ?
    • Bao nhiêu học sinh thích chơi cầu lông ?

    Hướng dẫn.

    • Số học sinh lớp 6A thích chơi đá bóng là: $50\times\frac{3}{5}= 30$ (học sinh);
    • Số học sinh lớp 6A thích chơi đá cầu là: $50\times \frac{80}{100} = 40$ (học sinh);
    • Số học sinh lớp 6A thích chơi đá bóng là: $50\times \frac{7}{10} = 35$ (học sinh).

    2. Bài tập tìm phân số của một số

    Bài 1. Mẹ 49 tuổi, tuổi con bằng 2/7 tuổi mẹ. Hỏi con bao nhiêu tuổi?

    Bài 2. Mẹ 36 tuổi, tuổi con bằng 1/6 tuổi mẹ hỏi bao nhiêu năm nữa tuổi con bằng 1/3 tuổi mẹ?

    Bài 3. Bác An có một thửa ruộng. Trên thửa ruộng ấy bác dành 1/2 diện tích để trồng rau. 1/3 Để đào ao phần còn lại dành làm đường đi. Biết diện tích làm đường đi là 30m2 . Tính diện tích thửa ruộng.

    Bài 4. Trong đợt kiểm tra học kì vừa qua ở khối 4 thầy giáo nhận thấy. 1/2 Số học sinh đạt điểm giỏi, 1/3 số học sinh đạt điểm khá, 1/10 số học sinh đạt trung bình còn lại là số học sinh đạt điểm yếu. Tính số học sinh đạt điểm yếu biết số học sinh giỏi là 45 em.

    Hướng dẫn. Để tìm được số học sinh yếu thì cần tìm phân số chỉ số học sinh yếu. Cần biết số học sinh của khối dựa vào số học sinh giỏi.

    Bài 5. Một cửa hàng nhận về một số hộp xà phòng. Người bán hàng để lại 1/10 số hộp bầy ở quầy, còn lại đem cất vào tủ quầy. Sau khi bán 4 hộp ở quầy người đo nhận thấy số hộp xà phòng cất đi gấp 15 lần số hộp xà phòng còn lại ở quầy. Tính số hộp xà phòng cửa hàng đã nhập về.

    Nhận xét : ở đây ta nhận thấy số hộp xà phòng cất đi không thay đổi vì vậy cần bám vào đó bằng cách lấy số hộp xà phòng cất đi làm mẫu số. tìm phân số chỉ 4 hộp xà phòng.

    Bài 6. Một cửa hàng nhận về một số xe đạp. Người bán hàng để lại 1/6 số xe đạp bầy bán, còn lại đem cất vào kho. Sau khi bán 5 xe đạp ở quầy người đo nhận thấy số xe đạp cất đi gấp 10 lần số xe đạp còn lại ở quầy. Tính số xe đạp cửa hàng đã nhập.

    Bài 7. Trong đợt hưởng ứng phát động trồng cây đầu năm, số cây lớp 5a trồng bằng 3/4 số cây lớp 5b. Sau khi nhẩm tính thầy giáo nhận thấy nếu lớp 5b trồng giảm đi 5 cây thì số cây lúc này của lớp 5a sẽ bằng 6/7 số cây của lớp 5b.

    Sau khi thầy giáo nói như vậy bạn Huy đã nhẩm tính ngay được số cây cả 2 lớp trồng được. Em có tính được như bạn không ?

    Bài 8. Một giá sách có 2 ngăn. Số sách ở ngăn dưới gấp 3 lần số sách ở ngăn trên. Nếu chuyển 2 quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ở ngăn dưới sẽ gấp 4 lấn số sách ở ngăn trên. Tính số sách ở mỗi ngăn.

    Bài 9. Hai kho có 360 tấn thóc. Nếu lấy 1/3 số thóc ở kho thứ nhất và 2/ 5 số thóc ở kho thứ 2 thì số thóc còn lại ở 2 kho bằng nhau.

    1. Tính số thóc lúc đầu mỗi kho.
    2. Hỏi đã lấy ra ở mỗi kho bao nhiêu tấn thóc.

    Bài 10. Hai bể chứa 4500 lít nước. người ta tháo ở bể thứ nhất 2/5 bể. Tháo ở bể thứ hai là 1/4 bể thì só nước còn lại ở hai bể bằng nhau. Hỏi mỗi bể chứa bao nhiêu lít nước.

    Bài 11. Hai bể chứa 4500 lít nước. người ta tháo ở bể thứ nhất 500 lít. Tháo ở bể thứ hai là 1000 lít thì số nước còn lại ở hai bể bằng nhau. Hỏi mỗi bể chứa bao nhiêu lít nước.

  • Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

    Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

    Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

    Cùng với bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ, biết hiệu và tỉ, bài toán về trung bình cộng thì bài toán Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó là những dạng toán quan trọng nhất ở bậc tiểu học.

    Mời thầy cô và các em học sinh xem thêm:

    1. Cách giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số lớp 4

    Chúng ta sử dụng một trong hai cách:

    • Cách 1. Số lớn = (tổng + hiệu): 2, Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng – số lớn)
    • Cách 2. Số bé = (tổng – hiệu) : 2, Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng – số bé)

    2. Các dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

    • Dạng 1: Cho biết cả tổng lẫn hiệu
    • Dạng 2: Cho biết tổng nhưng không cho biết hiệu
    • Dạng 3: Cho biết hiệu nhưng không cho biết  tổng
    • Dạng 4: Không cho biết cả tổng lẫn hiệu
    • Dạng 5: Dạng tổng hợp

    Ví dụ 1. Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuối?

    Lời giải.

    • Tuổi con là: (58 – 38) : 2 = 10 (tuổi)
    • Tuổi bố là: 58 – 10 = 48 (tuổi)
    • Đáp số: Bố 48 tuổi, con 10 tuổi.

    Ví dụ 2. Một lớp học có 28 học sinh. Số học sinh trai hơn số học sinh gái là 4 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh trai, bao nhiêu học sinh gái?

    Lời giải.

    • Hai lần số học sinh trai là: 28 + 4 = 32 (học sinh)
    • Số học sinh trai là: 32 : 2 = 16 (học sinh)
    • Số học sinh gái là: 16 – 4 = 12 (học sinh)

    Đáp số: 16 học sinh trai, 12 học sinh gái.

    Ví dụ 3. An và Bình có 70 viên bi. Biết nếu Bình có thêm 16 viên bi thì 2 bạn có số bi bằng nhau. Hỏi ban đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Lời giải.

    • Hai lần số bi của An là: 70 + 16 = 86 (viên bi)
    • Số bi của An là: 86 : 2 = 43 (viên bi)
    • Số bi của Bình là: 43 – 16 = 27 (viên bi)
    • Đáp số: An: 43 viên bi; Bình: 27 viên bi.

    Ví dụ 4. Hai bao gạo cân nặng tổng cộng 147 kg. Biết rằng nếu lấy ra ở bao thứ nhất 5kg và bao thứ hai 22 kg thì số gạo còn lại ở 2 bao bằng nhau. Hỏi mỗi bao có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

    Ví dụ 5. Một trại chăn nuôi có 200 con vịt, ngan và ngỗng. Số vịt bằng tổng số ngan và ngỗng, số ngan nhiều hơn số ngỗng là 40 con. Hỏi trang trại đó có bao nhiêu con ngan, vịt, ngỗng?

    Ví dụ 6. Hai tổ trồng được 30 cây. Sau đó tổ 1 trồng thêm 5 cây nữa, tổ hai trồng thêm 3 cây nữa nên số cây tổ 1 nhiều hơn số cây tổ 2 trồng được là 8 cây. Hỏi lúc đầu mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?

    Ví dụ 7. Cách đây 5 năm tổng số tuổi 2 mẹ con là 34 tuổi. Biết rằng mẹ sinh con năm 26 tuổi. Tính tuổi mỗi người hiện nay?

    Ví dụ 8. Học kì 1, Huy có nhiều hơn Hoàng 6 quyển vở. Sau đó Huy mua thêm 5 quyển, Hoàng mua thêm 9 quyển thì tổng số vở 2 bạn lúc này là 10 quyển. Hỏi:

    • a) Lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?
    • b) Nếu sau kì 1 Huy viết hết số vở ít hơn Hoàng là 5 quyển thì sau kì 1 bạn nào sẽ còn nhiều vở hơn và nhiều hơn bao nhiêu quyển?

    Ví dụ 9. Hai thùng có tổng cộng 82 lít dầu. Nếu chuyển 7 lít dầu từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì 2 thùng có số dầu bằng nhau. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

    Ví dụ 10. An và Bình có 120 viên bi. Nếu Bình cho An 25 viên thì Bình còn hơn An 10 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Ví dụ 11. Huy và Hoàng có tất cả 25 viên bi. Nếu như Huy cho Hoàng 5 viên, rồi Hoàng cho lại Huy 3 viên thì số bi của Huy nhiều hơn của Hoàng là 1 viên. Hỏi:

    • a) Mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
    • b) Huy phải cho Hoàng mấy viên để Hoàng có nhiều hơn Huy 1 viên?

    Ví dụ 12. Tìm 2 số lẻ liên tiếp có tổng bằng 4020.

    Ví dụ 13. Tìm 2 số chẵn có tổng bằng 1000, biết giữa chúng có đúng 2 số lẻ.

    Ví dụ 14. Tổng 2 số chẵn bằng 480. Tìm 2 số đó, biết giữa chúng có 6 số lẻ liên tiếp.

    Ví dụ 15. Tìm 2 số lẻ có tổng bằng 2010, biết giữa chúng có đúng 10 số chẵn.

    Ví dụ 16. Tìm 2 số có tổng bằng 2016, biết giữa chúng có đúng 10 số tự nhiên khác.

    Ví dụ 17. Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 2003 và giữa chúng có tất cả 15 số chẵn.

    Ví dụ 18. Trung bình cộng của hai số tự nhiên bằng 2375. Tìm số bé biết, nếu viết thêm chữ số 3 vào bên trái số bé ta được số lớn. Tìm số bé.

    Ví dụ 19. Một số có hai chữ số mà tổng của hai chữ số bằng 11.Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số đó tăng lên 27 đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.

    3. Bài tập tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

    Dạng 1: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu cho biết cả tổng lẫn hiệu

    Bài 1. Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

    Bài 2. Một lớp học có 28 học sinh. Số hs nam hơn số hs nữ là 4 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?

    Bài 3. Một hình chữ nhật có hiệu hai cạnh liên tiếp là 24 cm và tổng của chúng là 92 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đã cho.

    Bài 4. Tìm hai số biết tổng của hai số bằng 42, hiệu của hai số bằng 10.

    Bài 5. Hai lớp 4A và 4B trồng được 600 cây. Lớp 4A trồng được ít hơn lớp 4B là 50 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

    Bài 6. Tính nhẩm: Tổng của hai số bằng 8. Hiệu của chúng cũng bằng 8. Tìm hai số đó.

    Bài 7. Tìm 2 số biết tổng và hiệu của chúng lần lượt là:

    a) 24 và 6; b) 60 và 12; c) 325 và 99.

    Bài 8. Tuổi chị và tuổi em cộng lại được 36 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi chị bao nhiêu tuổi, em bao nhiêu tuổi?

    Bài 9. Một thư viện trường học cho HS mượn 65 quyển sách gồm 2 loại: Sách giáo khoa và sách đọc thêm. Số sách giáo khoa nhiều hơn số sách đọc thêm 17 quyển. Hỏi thư viện đó đã cho học sinh mượn mỗi loại bao nhiêu quyển sách?

    Bài 10. Hai phân xưởng làm được 1200 sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất làm được ít hơn phân xưởng thứ hai 120 sản phẩm. Hỏi mỗi phân xưởng làm được bao nhiêu sản phẩm?

    Bài 11. Thu hoạch từ hai thửa ruộng được 5 tấn 2 tạ thóc. Thu hoạch được ở thửa ruộng thứ nhất được nhiều hơn ở thửa ruộng thứ hai 8 tạ thóc. Hỏi thu hoạch được ở mỗi thửa ruộng bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

    Bài 12. Hai thùng chứa được tất cả 600 lít nước. Thùng bé chứa được ít hơn thùng to 120l nước. Hỏi mỗi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?

    Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu cho biết tổng nhưng dấu hiệu

    Bài 1. Tìm hai số chẵn có tổng là 210, biết giữa chúng có 18 số chẵn khác.

    Bài 2. Tìm hai số biết tổng của chúng là 198 và nếu xóa đi chữ số bên trái của số lớn thì được số bé. Nếu xóa chữ số 1 thì số đó giảm 100 đơn vị).

    Bài 3. Hai lớp 4A và 4B có tất cả 82 học sinh. Nếu chuyển 2 học sinh ở lớp 4A sang lớp 4B thì số học sinh 2 lớp sẽ bằng nhau. Tính số học sinh của mỗi lớp.

    Bài 4. Tìm hai số lẻ có tổng là 186. Biết giữa chúng có 5 số lẻ.

    Bài 5. Hai ông cháu hiện nay có tổng số tuổi là 68, biết rằng cách đây 5 năm cháu kém ông 52 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người.

    Bài 6. Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.

    Bài 7. Lớp 4A có 32 học sinh. Hôm nay có 3 bạn nữ nghỉ học nên số nam nhiều hơn số nữ là 5 bạn. Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nữ, bao nhiêu học sinh nam?

    Bài 8. Hùng và Dũng có tất cả 46 viên bi. Nếu Hùng cho Dũng 5 viên bi thì số bi của hai bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.

    Bài 9. Hai thùng dầu có tất cả 116 lít. Nếu chuyển 6 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

    Bài 10. Tìm hai số có tổng là 132. Biết rằng nếu lấy số lớn trừ đi số bé rồi cộng với tổng của chúng thì được 178.

    Bài 11. Tìm hai số có tổng là 234. Biết rằng nếu lấy số thứ nhất trừ đi số thứ hai rồi cộng với hiệu của chúng thì được 172.

    Bài 12. An và Bình có tất cả 120 viên bi. Nếu An cho Bình 20 viên thì Bình sẽ có nhiều hơn An 16 viên. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Bài 13. Hai kho gạo có 155 tấn. Nếu thêm vào kho thứ nhất 8 tấn và kho thứ hai 17 tấn thì số gạo ở mỗi kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

    Bài 14. Ngọc có tất cả 48 viên bi vừa xanh vừa đỏ. Biết rằng nếu lấy ra 10 viên bi đỏ và hai viên bi xanh thì số bi đỏ bằng số bi xanh. Hỏi có bao nhiêu viên bi mỗi loại?

    Bài 15. Hai người thợ dệt dệt được 270 m vải. Nếu người thứ nhất dệt thêm 12m và người thứ hai dệt thêm 8 m thì người thứ nhất sẽ dệt nhiều hơn người thứ hai 10 m. hỏi mỗi người đã dệt được bao nhiêu m vải?

    Bài 16. Tổng của 3 số là 1978. Số thứ nhất hơn tổng hai số kia là 58 đơn vị. Nếu bớt ở số thứ hai đi 36 đơn vị thì số thứ hai sẽ bằng số thứ ba. Tìm 3 số đó.

    Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu cho biết hiệu nhưng không cho biết tổng

    Bài 1. Tất cả học sinh của lớp xếp hàng 3 thì được 12 hàng. Số bạn gái ít hơn số bạn trai là 4. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bạn trai, bao nhiêu bạn gái? (Dấu tổng)

    Bài 2. Bố hơn con 28 tuổi; 3 năm nữa số tuổi của cả hai bố con tròn 50. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.

    Hướng dẫn.

    • Cách 1: Hiệu giữa tuổi bố và con luôn không đổi nên 3 năm nữa bố vẫn hơn con 28 tuổi. Tổng số tuổi của bố và con 3 năm nữa là 50 tuổi.
    • Cách 2: Hiệu giữa tuổi bố và con hiện tại là 28. Tổng số tuổi bố và con hiện tại là 50 – 3 × 2 = 44 (tuổi).

    Bài 3. Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 48m, chiều dài hơn chiều rộng 4m. Hỏi diện tích của mảnh vườn là bao nhiêu m2?

    Bài 4. Bố hơn con 30 tuổi. Biết 5 năm nữa tổng số tuổi của 2 bố con là 62 tuổi. Tính tuổi 2 bố con hiện nay.

    Bài 5. Cha hơn con 32 tuổi. Biết 4 năm nữa tổng số tuổi của 2 cha con là 64 tuổi. Tính tuổi 2 cha con hiện nay.

    Bài 6. Tổng của hai số là một số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5. Biết nếu thêm vào số bé 35 đơn vị thì ta được số lớn. Tìm mỗi số.

    Bài 7. Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái chân vừa gà vừa chó. Biết số chân chó nhiều hơn chân gà là 12 chiếc. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

    Bài 8. Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái mắt vừa gà vừa chó. Biết số chó nhiều hơn số gà là 12con. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

    Bài 9. Tìm hai số có hiệu là 129. Biết rằng nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng với tổng của chúng thì được 2010.

    Bài 10. Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 7652. Hiệu lớn hơn số trừ 798 đơn vị. Hãy tìm phép trừ đó.

    Bài 11. Tìm hai số có hiệu là 22. Biết rằng nếu lấy số lớn cộng với số bé rồi cộng với hiệu của chúng thì được 116.

    Bài 12. Tìm hai số có hiệu là 132. Biết rằng nếu lấy số lớn cộng với số bé rồi trừ đi hiệu của chúng thì được 548.

    Bài 13. Lan đi bộ vòng quanh sân vận động hết 15 phút, mỗi phút đi được 36 m. Biết chiều dài sân vận động hơn chiều rộng là 24 m. Tính diện tích của sân vận động.

    Bài 14. Hồng có nhiều hơn Huệ 16000 đồng. Nếu Hồng có thêm 5000 đồng và Huệ có thêm 11000 đồng thì cả hai bạn sẽ có tất cả 70000 đồng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    Bài 15. Hồng có nhiều hơn Huệ 16000 đồng. Nếu Hồng cho đi 5000 đồng và Huệ cho 11000 đồng thì cả hai bạn sẽ có tất cả 70000 đồng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    Bài 16. Anh hơn em 5 tuổi. Biết rằng 5 năm nữa thì tổng số tuổi của hai anh em là 25. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay?

    Bài 17. Tính diện tích của miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 256 m và chiều dài hơn chiều rộng 32m.

    Bài 18. Tìm hai số có hiệu bằng 129, biết rằng nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng tổng của chúng thì được 2010.

    Bài 19. Hiệu hai số là 705. Tổng 2 số gấp 5 lần số bé. Tìm 2 số đó.

    Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu không cho biết cả tổng lẫn hiệu

    Bài 1. Hai số lẻ có tổng là số nhỏ nhất có 4 chữ số và ở giữa hai số lẻ đó có 4 số lẻ. Tìm hai số đó.

    Bài 2. Tìm hai số biết tổng của chúng gấp 5 lần số lớn nhất có hai chữ số và hiệu của chúng kém số lớn nhất có ba chữ số 9 lần.

    Bài 3. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 120m. Tính diện tích thửa ruộng đó, biết nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 5m thì thửa ruộng đó trở thành hình vuông.

    Bài 4. Tìm hai số biết tổng gấp 9 lần hiệu của chúng và hiệu kém số bé 27 đơn vị.

    Bài 5. Tổng 2 số là số lớn nhất có 3 chữ số. Hiệu của chúng là số lẻ nhỏ nhất có 2 chữ số. Tìm mỗi số.

    Bài 6. Tìm hai số có tổng là số lớn nhất có 4 chữ số và hiệu là số lẻ bé nhất có 3 chữ số.

    Bài 7. Tìm hai số có tổng là số bé nhất có 4 chữ số và hiệu là số chẵn lớn nhất có 2 chữ số.

    Bài 8. Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 2.

    Bài 9. Tìm hai số, biết tổng hai số là số lớn nhất có hai chữ số. Hiệu hai số là số lẻ bé nhất có hai chữ số.

    Bài 10. Tìm hai số biết hiệu hai số là số lớn nhất có 1 chữ số và tổng hai số là số lớn nhất có ba chữ số.

    Bài 11. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng chu vi thửa ruộng hình vuông cạnh 80m. Nếu giảm chiều dài mảnh vườn đi 30m và tăng chiều rộng thêm 10m thì mảnh vườn sẽ có hình vuông. Tính diện tích mảnh vườn.

    Dạng 5: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu tổng hợp

    Bài 1. Lớp 5A và 5B trồng cây. Biết trung bình cộng số cây của hai lớp là : 235 cây. Và nếu lớp 5A trồng thêm 80 cây và lớp 5B trồng thêm 40 cây thì số cây của hai lớp bằng nhau. Tìm số cây của mỗi lớp đã trồng.

    Bài 2. Hiệu của hai số bằng 520. Nếu bớt số bé đi 40 đơn vị thì số bé bằng số lớn. số bé là:
    A. 880
    B. 88
    C. 800
    D. 80

    Bài 3. Tìm hai số biết số thứ nhất bằng số thứ hai. Biết rằng nếu bớt ở số thứ nhất đi 28 đơn vị và thêm vào số thứ hai là 35 đơn vị thì được tổng mới là 357.

    Bài 4. Lớp 4A, 4B, 4C của một trường tiểu học có 95 học sinh. Biết rằng nếu thêm 7 học sinh nữa vào lớp 4C thì sẽ bằng số học sinh lớp 4B và số học sinh lớp 4A là 32 em. Hỏi lớp 4B và 4C mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

    Bài 5. An và Bình mua chung 45 quyển vở và phải trả hết số tiền là 72000 đồng. Biết An phải trả nhiều hơn Bình 11200. Hỏi mỗi bạn đã mua bao nhiêu quyển vở.

    Bài 6. Ba bạn Lan, Đào, Hồng có tất cả 27 cái kẹo. Nếu Lan cho Đào 5 cái, Đào cho Hồng 3 cái, Hồng lại cho Lan 1 cái thì số kẹo của ba bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái kẹo?

    Bài 7. Trung bình cộng số tuổi của bố, tuổi An và tuổi Hồng là 19 tuổi, tuổi bố hơn tổng số tuổi của An và Hồng là 2 tuổi, Hồng kém An 8 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người.

    Bài 9. Tìm hai số có hiệu là 603, biết rằng khi thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì được số lớn.

    Bài 10. Tìm hai số, biết rằng khi xoá chữ số 7 của số lớn thì được số bé.

     

     

  • Phương pháp giả thiết tạm giải toán tiểu học

    Phương pháp giả thiết tạm giải toán tiểu học

    Phương pháp giả thiết tạm giải toán 5, toán 4

    Phương pháp giả thiết tạm là một trong những phương pháp giải toán quan trọng ở bậc tiểu học, và cả THCS, khi mà các em học sinh chưa được học khái niệm hệ phương trình.

    Xem thêm

    1. Phương pháp giả thiết tạm là gì?

    Phương pháp giả thiết tạm thường dùng đối với các bài toán cần tìm 2 đại lượng chưa biết, mà giữa 2 đại lượng này có mối liên hệ hơn kém nhau một số đơn vị (như vận tốc của hai đối tượng chuyển động, năng suất của hai máy/người khác nhau, hai loại vé giá tiền khác nhau, số chân gà và chân chó…)

    Để sử dụng phương pháp giả thiết tạm, chúng ta thử đặt ra một trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật thậm chí một tình huống vô lí (chính vì vậy mà phương pháp này đòi hỏi người giải toán sức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt… ) Tất nhiên giả thiết ấy chỉ tạm thời, nhưng phải tìm được giả thiết ấy, nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc, đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra được cái phải tìm.

    2. Các ví dụ về phương pháp giả thiết tạm

    Ví dụ 1. Xét bài toán cổ sau đây:

    “Vừa gà vừa chó,
    Ba mươi sáu con,
    Bó lại cho tròn,
    Một trăm chân chẵn”

    Hỏi có bao nhiêu con gà và bao nhiêu con chó?

    vua-ga-vua-cho-phuong-phap-gia-thiet-tam

    Phân tích. Đây là bài toán cổ quen thuộc ở nhiều nước. Rõ rằng là 36 con không thể là toàn chó cả hay toàn là gà cả. Bởi vì, nếu như thế, thì số chân sẽ là $4 \times 36= 144$ (chân) hoặc $2 \times 36 = 72$ (chân), đều không phù hợp với giả thiết bài toán.

    Nhưng ta lại giả thiết rằng có trường hợp ấy, để từ chênh lệch về số chân của toàn bộ tổng số các con vật với sự chênh lệch về số chân của từng con chó với gà, ta suy ra số con vật mỗi loại.

    Lời giải.

    • Giả sử 36 con toàn là gà cả. Như vậy, số chân chỉ có là:

    $2 x 36 = 72$ (chân)

    • Số chân bị hụt đi là: $100 – 72 = 28$ (chân).
    • Sở dĩ bị hụt như vậy là do mỗi con chó không được tính đủ 4 chân mà bị tính hụt đi:

    $4 – 2 = 2$ (chân)

    • Ta thấy cứ mỗi một con chó bị tính thiếu đi 2 chân, mà tất cả bị thiếu $28$ chân so với giả thiết, tức là có $28 : 2 = 14$ con chó.
    • Suy ra, số con gà là $36 – 14 = 22$ (con).

    Các em học sinh có thể giả sử 36 con toàn là chó cả, thì cũng tìm được đáp số tương tự.

    Ví dụ 2. Lớp có 32 bạn tham gia chuyển gạch vụn làm kế hoạch nhỏ bằng xe cải tiến và quang gánh. Xe cải tiến cần bốn người một xe, còn quang gánh thì hai bạn khiêng một chiếc. Vừa xe cải tiến vừa quang gánh có tất cả 13 dụng cụ. Hỏi có mấy xe cải tiến và mấy chiếc quang gánh?

    Hướng dẫn.

    • Giả sử 13 dụng cụ đều là xe cải tiến cả. Khi đó số người cần có là bao nhiêu?
    • Tính số người dôi ra, tính số người theo một quang gánh được tính dôi ra. Từ đó, tính số dụng cụ mỗi loại.

    Ví dụ 3. Một quầy bán hàng có 48 gói kẹo gồm loại 0,5 kg; loại 0,2 kg và loại 0,1 kg. Khối lượng cả 48 gói là 9 kg. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu gói (biết số gói loại 0,1 kg gấp 3 lần số gói loại 0,2 kg).

    Hướng dẫn.

    • Vì số gói loại 0,1 kg gấp 3 lần số gói loại 0,2 kg nên cứ có 1 gói loại 0,2 kg thì có 3 gói loại 0,1 kg.
    • Tổng khối lượng 1 gói 0,2 kg và 3 gói 0,1 kg là

    $0,2 + 0,1 x 3 = 0,5$(kg)

    • Giả sử tất cả các gói kẹo đều là loại mới 0,5 kg thì sẽ có tất cả:

    $9 : 0,5 = 18$(gói)

    • Nếu như vậy sẽ còn thiếu:

    $48 – 18 = 30 $(gói)

    • Còn thiếu 30 gói là do ta đã tính 4 gói (1 gói loại 0,2 kg và 3 gói loại 0,1 kg) thành 1 gói. Mỗi lần như vậy số gói sẽ thiếu đi:

    $4 – 1 = 3$ (gói)

    • Số gói cần phải thay là: $30 : 3 = 10 $(gói)
    • Suy ra số gói 0,5 kg là $18 – 10 = 8$ (gói 0,5kg)
    • Cứ 10 gói 0,2 kg thì có số gói 0,1 kg là $10\times 3 = 30$ (gói 0,1kg)
    • Đáp số: 0,5kg có 8 gói; 0,2kg có 10 gói; 0,1kg có 30 gói.

    Ví dụ 4. Có một số lít dầu hỏa, nếu đổ vào các can 6 lít thì vừa hết. Nếu đổ vào các can 10 lít thì thừa 2 lít và số can giảm đi 5 can. Hỏi có bao nhiêu lít dầu?

    Hướng dẫn. 

    • Nếu đổ đầy số can 10 lít bằng với số can 6 lít thì còn thiếu:

    $10 \times 5 – 2 = 48$ (lít)

    • Thiếu 48 lít này do mỗi can 6 lít ít hơn $10 – 6 = 4$ lít so với can 10 lít.
    • Suy ra, số can 6 lít là:

    $48 : 4 = 12$ (can)

    • Số lít dầu là

    $6 \times 12 = 72$ (lít)

    Ví dụ 5. Một cái sọt có thể đựng đầy 14 kg táo hoặc đựng đầy 21 kg mận. Người ta đã đổ đầy sọt cả táo lẫn mận. Tính ra sọt nặng 18 kg và giá tiền cả sọt là 30.000 đồng. Hãy tính giá tiền 1 kg táo và 1 kg mận, biết trong 18 kg đó số tiền táo và mận bằng nhau.

    3. Bài tập sử dụng phương pháp giả thiết tạm

    Bài 1. Huy mua 15 quyển vở gồm 2 loại hết tất cả 100 000 đồng. Biết giá vở dày là 8000 đồng một quyển và giá vở mỏng là 6000 đồng một quyển. Tính số vở mỗi loại Huy đã mua.

    Bài 2. Trong 1 bài kiểm tra, tất cả học sinh trong lớp đều được điểm 7 hoặc 8. Tổng số điểm của lớp là 336. Tính số học sinh được điểm 7, số học sinh được điểm 8. Biết tổng số học sinh là số chia hết cho 5.

    Bài 3. Có 18 ô tô gồm 3 loại: Loại 4 bánh chở được 5 tấn, loại 6 bánh chở được 6 tấn và loại 8 bánh chở được 6 tấn. 18 xe đó chở được tất cả 101 tấn hàng, và có tất cả 106 bánh xe. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu xe?

    Bài 4. Có 1120 quả vừa cam vừa quýt được đựng trong các sọt. Biết mỗi sọt cam đựng 75 quả, mỗi sọt quýt đựng 179 quả và số sọt cam ít hơn số sọt quýt là 2 sọt. Hỏi có bao nhiêu sọt cam, bao nhiêu sọt quýt?

    Bài 5. Một người đã mua cho cơ quan 30 vé xem đá bóng hết tất cả 2 150 000 đồng, gồm 3 loại: 50 000 đồng, 80 000 đồng và 120 000 đồng. Hỏi mỗi loại người đó đã mua bao nhiêu vé? Biết số vé loại 50 000 đồng gấp 3 lần số vé loại 120 000 đồng.

    Bài 6. Vòi thứ nhất chảy một mình trong 4 giờ thì đẩy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong 6 giờ thì đầy bể. Người ta vặn vòi thứ nhất chảy trước, sau đó khóa lại để vòi thứ hai chảy tiếp thì hết tổng cộng 5 giờ. Hỏi mỗi vòi đã chảy hết bao lâu?

    Bài 7. Trong một giải bóng đá có bốn đội bóng (mỗi đội đều đá 1 trận với các đội còn lại để tính điểm), tổng số điểm của bốn đội là 16 điểm. Hỏi có mấy trận phân biệt thắng – thua, mấy trận hòa biết mỗi trận đấu thì đội thắng được 3 điểm, thua 0 điểm, trận hòa mỗi đội được 1 điểm?

    Bài 8. Khối học sinh lớp 5 gồm 480 em đi tham quan bằng 2 loại xe ô tô: loại chở được 50 người và loại chở được 40 người. Các em đã ngồi trên 10 xe ô tô thì vừa đủ chỗ. Hỏi có bao nhiêu xe mỗi loại?

    Bài 9. Trong một cuộc thi có 60 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 1/6 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1/2 điểm. Một bạn học sinh được tổng điểm là 8. Hỏi học sinh đó trả lời đúng mấy câu?

    Bài 10. Có 22 ô tô gồm 3 loại: loại 4 bánh chở được 6 tấn, loại 6 bánh chở được 8 tấn, loại 8 bánh chở được 8 tấn. Số xe đó có tất cả 126 bánh và có thể chở cùng một lúc được 158 tấn. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu xe?

    Bài 11. Lớp 5A có 5 tổ trồng cây, số người mỗi tổ đều bằng nhau. Mỗi bạn trồng được 4 hoặc 6 cây. Cả lớp trồng được tất cả 220 cây. Hỏi có bao nhiêu bạn trồng được 4 cây? Bao nhiêu bạn trồng được 6 cây? Biết số học sinh ít hơn 50, nhiều hơn 40.

    Bài 12. Có 1920 quả cam, quýt và chanh được đựng trong 15 sọt. Biết mỗi sọt cam đựng 75 quả, mỗi sọt quýt đựng 180 quả và mỗi sọt chanh đựng 150 quả, và số sọt cam nhiều gấp rưỡi số sọt quýt. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu quả?

    Bài 13. Có hai vòi bơm nước chảy vào bể có sức chứa 1230l. Vòi thứ nhất bơm được 80l trong một phút, vòi thứ hai bơm được 50 lít trong một phút. Người cho vòi thứ nhất bơm một số phút thì dừng lại để cho vòi thứ hai bơm tiếp cho đầy bể, tổng số thời gian bơm của vòi thứ nhất và vòi thứ hai là 21 phút. Hỏi mỗi vòi nước bơm trong bao nhiêu phút?

    Bài 14. Một đội công nhân sử dụng tất cả 28 ống nước loại ống 8m và 5m để lắp đoạn ống dài 188m. Hỏi có bao nhiêu ống (nguyên) mỗi loại để lắp đủ đoạn đường ống đó?

    Bài 15. Một ô tô đi với vận tốc 70km/giờ đi từ tỉnh A đến tỉnh B có độ dài 300km. Ô tô đi một số giờ thì dừng lại và một xe máy đi với vận tốc 40km/giờ ngược chiều từ B đến A. Biết rằng tổng số thời gian của đi của cả ô tô và xe máy là 6 giờ. Tính thời gian đi của mỗi loại xe.

    .

  • BÀI TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG LỚP 4

    BÀI TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG LỚP 4

    BÀI TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG LỚP 4

    1. Đặc điểm của bài toán công việc chung

    • Trong mỗi bài toán thường có một đại lượng không đổi như công việc cần làm xong, quãng đường cần đi, thể tích bể nước… Do đó, khi giải ta cần quy ước đại lượng không đổi đó làm đơn vị. Ta có thể hiểu 1 công việc như là 1 đơn vị. Đôi khi, ta cũng có thể biểu thị 1 công việc thành nhiều phần bằng nhau (phù hợp với các điều kiện của bài toán) để thuận tiện cho việc tính toán.
    • Loại toán công việc làm đồng thời cũng thể hiện rõ mối quan hệ đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch trong các tình huống phức tạp hơn bài toán về quy tắc tam suất.
    • Trong dạng toán này thường có giả thiết “làm chung, làm riêng” cụ thể là các từ “làm một mình, làm riêng, cùng làm…”
    • Trong các bài toán công việc chung, giá trị phải tìm có thể không phụ thuộc vào một đại lượng nào đó.
    • Sử dụng phân số được coi là thương của phép chia hai số tự nhiên.
    • Bài toán này thường có đại lượng thời gian. Cần phải biết chuyển đổi và sử dụng các đơn vị đo thời gian thích hợp cho việc tính toán.

    Xem thêm CÁC BÀI TOÁN VỀ TRUNG BÌNH CỘNG LỚP 4

    2. Các kiểu bài toán công việc chung lớp 4

    2.1. Biết thời gia làm riêng một công việc, yêu cầu tìm thời gian làm công việc chung đó.

    Phương pháp giải bài toán công việc chung riêng.

    • Bước 1: Quy ước một đại lượng (như công việc cần hoàn thành, quãng đường cần đi, thể tích của bể nước,…) là đơn vị.
    • Bước 2: Tính số phần công việc làm riêng trong một giờ.
    • Bước 3: Tính số phần công việc làm chung trong một giờ.
    • Bước 4: Tính thời gian làm chung để hoàn thành công việc đó.

    Ví dụ 1. Hai người thợ nhận làm chung một công việc. Người thứ nhất làm một mình thì hoàn thành xong công việc trong 4 giờ. Người thứ hai làm một mình thì hoàn thành xong công việc đó trong 6 giờ. Hỏi cả hai người thợ cùng làm chung thì hoàn thành công việc đó trong thời gian bao lâu?

    Hướng dẫn giải.

    Các em học sinh cần trả lời được các câu hỏi sau:

    • Bài toán cho biết gì? (Thời gian của mỗi người cần làm một mình – làm riêng – để hoàn thành một công việc chung)
    • Bài toán hỏi gì? (Thời gian cả hai ngươì cùng làm chung hoàn thành xong công việc đó)
    • Để biết được cả hai người thợ cùng làm chung thì hoàn thành xong công việc đó mất bao lâu, thì ta cần phải biết gì? (Phải biết trong một giờ cả hai người cùng làm được bao nhiêu phần của công việc)
    • Muốn biết trong một giờ cả hai người cùng làm được mấy phần của công việc ta phải làm gì? (Ta tính trong 1 giờ mỗi người làm được mấy phần công việc)
    • Để tính được trong một giờ mỗi người làm được mấy phần của công việc, ta làm thế nào? (Ta lấy công việc càn hoàn thành chia cho thời gian mỗi người làm hoàn thành công việc đó).

    Lời giải.

    • Ta quy ước công việc cần hoàn thành là đơn vị. Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm một mình được: $$\frac{1}{4} \text{ (công việc)}$$
    • Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm một mình được: $$\frac{1}{6} \text{ (công việc)}$$
    • Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được: $$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12} \text{ (công việc)}$$
    • Thời gian để hai người cùng làm chung hoàn thành xong công việc đó là: $$1\div \frac{5}{12} = \frac{12}{5} \text{ giờ}  = 2 \text{ giờ } 24 \text{ phút.}$$

    Ví dụ 2. Bác An làm một công việc hết 8 giờ. Bác Bình cũng công việc ấy hết 5 giờ. Hỏi nếu 2 bác cùng làm công việc ấy thì sau bao nhiêu giờ sẽ hoàn thành?

    Ví dụ 3. Nếu bể không có nước vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ sẽ đầy bể. Nếu bể không  có nước vòi thứ 2 chảy trong 5 giờ sẽ đầy bể. Hỏi nếu bể không có nước cùng 1 lúc cho cả 2 vòi chảy thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

    Ví dụ 4. Ba người thợ cùng làm chung một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì mất 3 giờ mới xong. Nếu người thứ 2 làm một mình thì mất 4 giờ mới xong. Nếu người thứ ba làm một mình thì mất 6 giờ mới xong. Hỏi cả ba người cùng làm thì mấy giờ sẽ hoàn thành công việc?

    Lời giải.

    • Trong 1 giờ người thứ nhất làm được 1:3= 1/3 (công việc)
    • Trong 1 giờ người thứ 2 làm được 1:4= 1/4 (công việc)
    • Trong 1 giờ người thứ 3 làm được 1:6= 1/6 (công việc)
    • Trong 1 giờ cả 3 người làm được $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{4} \text{ (công việc)}$$
    • Do đó, thời gian để cả 3 người hoàn thành công việc là $$1\div \frac{3}{4}=\frac{4}{3} \text{ (giờ)}$$

    2.2. Biết thời gian cùng chung hoàn thành xong công việc và thời gian làm riêng (đã biết). Hoàn thành xong công việc đó, yêu cầu tính thời gian là riêng (chưa biết) xong công việc đó.

    Ví dụ. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Nếu một mình người thợ thứ nhất làm thì phải làm 8 giờ mới xong. hỏi người thợ thứ hai làm một mình sau bao lâu sẽ xong công việc đó?

    Hướng dẫn.

    • Bài toán cho biết gì? (thời gian hai người cùng làm chung công việc, biết thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong công việc đó)
    • Bài toán hỏi gì? (thời gian một mình người thợ thứ hai làm xong công việc đó)
    • Muốn biết thời gian một mình người thợ thứ hai làm xong công việc đó ta phải biết gì? (trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được bao nhiêu phấn của công việc).
    • Để biết trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được bao nhiêu phần của công việc ta phải làm thế nào? (Lấy số phần công việc cả hai người làm trong 1 giờ trừ đi số phần công việc của người thợ thứ nhất làm trong 1 giờ)
    • Muốn biết số phần công việc làm trong 1 giờ ta làm thế nào? (ta lấy công việc cần hoàn thành chia cho thời gian làm hoàn thành công việc đó)

    Lời giải.

    • Ta quy ước công việc cần là xong là đơn vị.
    • Trong 1 giờ cả hai người thợ cùng làm được: $$\frac{1}{5} \text{ (công việc)}$$
    • Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm được: $$\frac{1}{8} \text{ (công việc)}$$
    • Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm được: $$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=\frac{3}{40} \text{ (công việc)}$$
    • Thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong công việc đó là $$1\div \frac{3}{40} = \frac{40}{3} \text{ giờ}$$

    2.3. Cho thời gian làm riêng công việc và tổng thời gian hai người làm liên tiếp để xong công việc, yêu cầu tính thời gian mỗi người làm.

    Để giải dạng toán này, chúng ta thường sử dụng phương pháp giả thiết tạm.

    Ví dụ 1. Có một công việc, nếu Sơn làm một mình thì hết 10 giờ; nếu Dương làm một mình thì hết 15 giờ. Lúc đầu, Sơn làm rồi nghỉ sau đó Dương làm tiếp cho đến khi xong việc. Hai bạn làm hết 11 giờ. Hỏi mỗi bạn làm trong mấy giờ?

    Hướng dẫn học sinh giải.

    • Tính số phần công việc Sơn làm trong 1 giờ.
    • Tính số phần công việc Dương làm trong 1 giờ.
    • Vì hai bạn làm liên tiếp xong công việc trong 11 giờ. Giả sử Dương làm một mình trong cả 11 giờ thì làm được bao nhiêu phần công việc.
    • Tính số phần công việc còn lại chưa làm xong.
    • Tính số phần công việc mỗi giờ Sơn làm nhiều hơn Dương.
    • Tính thời gian Sơn làm.
    • Tính thời gian Dương làm.

    Bài giải.

    • Mỗi giờ Sơn làm được số phần công việc là: $$\frac{1}{10} \text{(công việc)}$$
    • Mỗi giờ Dương làm được số phần công việc là: $$\frac{1}{15} \text{(công việc)}$$
    • Giả sử Dương làm một mình trong cả 11 giờ thì làm được số phần công việc là $$11\times \frac{1}{15}=\frac{11}{15} \text{(công việc)}$$
    • Khi đó số phần công việc còn lại chưa làm xong là: $$1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15} \text{(công việc)}$$
    • Sở dĩ có phần công việc chưa làm xong là do ta đã thay số giờ Sơn làm Bằng số giờ Dương làm. Mỗi giờ Sơn làm được nhiều hơn Dương là: $$\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{1}{30} \text{(công việc)}$$
    • Suy ra, thời gian Sơn làm là: $$\frac{4}{15}\div \frac{1}{30}= 8 \text{ giờ}$$
    • Thời gian Dương làm là: $$11-8=3 \text{ giờ}$$

    Ví dụ 2. Bác Minh làm một công việc hết 8 giờ. Bác Tâm cũng công việc ấy làm hết 5 giờ. Đầu tiên bác Minh làm môt mình được 4 giờ thì bác Tâm đến làm cùng với bác Minh. Hỏi sau bao nhiêu lâu nữa thì hai bác làm xong công việc đó?

    3. Bài tập dạng toán công việc làm chung làm riêng lớp 4

    Bài 1. Hai anh em cùng làm việc nhà. Nếu một mình anh làm thì sau 4 giờ sẽ xong việc, còn nếu em làm một mình thì sau 6 giờ sẽ xong việc đó. Hỏi cả 2 người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ xong việc đó?

    Bài 2. Hai người cùng làm một công việc sau 2 giờ 24 phút sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm 1 mình xong công việc đó thì mất 4 giờ. Hỏi người thứ hai làm 1 mình thì sau bao lâu mới xong công việc đó?

    Bài 3. Hai tốp thợ lặn cùng làm 1 công việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Họ cùng làm được 4 giờ thì tốp thứ nhất nghỉ, tốp thứ hai làm nốt trong 20 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tốp phải mất bao nhiêu giờ mới xong công việc đó?

    Bài 4. Anh làm việc nhà thì sau 16 phút sẽ xong. Khi anh làm được 4 phút thì có thêm em cùng làm nên cả 2 anh em làm tiếp trong 10 phút là xong. Hỏi nếu em làm một mình thì sau bao lâu xong việc nhà?

    Bài 5. Hai tổ cùng làm một công việc trong 48 giờ thì xong. Nếu tổ 1 làm một mình trong 60 giờ, sau đó tổ 1 nghỉ, tổ 2 làm nốt công việc còn lại trong 32 giờ nữa thì xong. Hỏi nếu chỉ có tổ 1 làm một mình thì làm xong công việc đó trong bao nhiêu giờ?

    Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào THCS Amsterdam – 2013) Hai máy cùng gặt xong một thửa ruộng hết 12 giờ. Nếu máy I gặt một mình trong 4 giờ, rồi máy II gặt tiếp thêm 9 giờ nữa thì được 7/12 thửa ruộng. Hỏi mỗi máy gặt một mình thì gặt xong thửa ruộng trong bao lâu?

    Bài 7. Người thứ nhất một mình có thể làm xong việc trong 25 ngày, người thứ hai trong 20 ngày, người thứ ba trong 24 ngày. Cả 3 người cùng làm trong 2 ngày, sau đó chỉ còn người thứ ba làm trong 6 ngày. Phần việc còn lại người thứ nhất và người thứ tư cùng làm với người thứ ba 4 ngày nữa mới xong. Hỏi nếu người thứ tư làm một mình thì sau bao lâu xong công việc?

    Bài 8. Người một làm 15 giờ thì hoàn thành công việc. Người thứ hai cần 12 giờ thì hoàn thành. Lúc đầu 2 người làm chung 3 giờ sau đó người thứ nhất làm một mình trong 2 giờ nữa. Tiếp đó nếu người thứ hai quay lại cùng làm thì hai người làm tiếp trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

    Bài 9. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 12 phút sẽ đầy bể. Nếu một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi một mình vòi thứ hai chảy thì mấy giờ sẽ đầy bể?

    Bài 10. Hai lớp 5A và 5B cùng quét sân trường. Nếu chỉ có lớp 5A làm thì sau 2 giờ sẽ xong, nếu chỉ có lớp 5B làm thì sau 3 giờ sẽ xong. Hỏi khi cả 2 lớp cùng quét thì sau bao lâu sẽ quét xong một nửa sân trường?

    Bài 11. Hai người làm chung một công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Sau khi làm được 2 giờ thì người thứ hai có việc phải nghỉ và người thứ nhất phải làm thêm 9 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu?

    Bài 12. Có hai vòi nước chảy vào một cái bể. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình thì phải mất 6 giờ mới đầy bể , vòi thứ hai chảy bằng 2/3 vòi thứ nhất . Hỏi nếu bể không có nước thì mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu đầy bể?

    Bài 13. Một cửa hàng cần đóng gói 1 số thùng hàng. Nếu 2 người cùng làm thì sau 8 giờ sẽ xong. Người thứ nhất làm một mình thì sau 12 giờ sẽ xong. Hỏi:

    a) Nếu người thứ hai làm 1 mình thì sau bao lâu sẽ xong?

    b) Nếu 2 người đóng gói được tổng cộng 216 thùng hàng thì mỗi người đã đóng gói được bao nhiêu thùng?

    Bài 14. Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất có thể hoàn thành trong 3 tuần; người thứ hai có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp ba lần công việc đó trong 8 tuần; người thứ ba có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp 5 công việc đó trong 12 tuần. Hỏi nếu cả ba người cùng làm công việc ban đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu giờ biết mỗi tuần làm 45 giờ?

    Bài 15. Hai người thợ cùng làm chung 1 công việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm 7 giờ và người thứ hai làm 4 giờ thì được một nửa công việc. Hỏi người thứ hai làm công việc đó một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

    Bài 16. Hai công nhân cùng làm việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ thì có việc bận nên nghỉ, sau đó người thứ hai làm nốt trong 8 giờ thì xong. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người xong công việc trong bao lâu?

  • Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Chuyên đề các dạng toán về dãy số toán lớp 4

    Các dạng toán về dãy số và phương pháp giải các dạng toán về dãy số toán lớp 4 được chúng tôi tổng hợp, đưa ra các ví dụ với lời giải chi tiết giúp các em học sinh có thể tự luyện tập và kiểm tra lại kiến thức của mình. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích với quý thầy cô và các em học sinh tiểu học trong quá trình giảng dạy và học tập.

    Xem thêm

    1. Kiến thức cần nhớ dãy sốtoán lớp 4

    Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn… Vì vậy, nếu:

    • Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.
    • Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.
    • Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
    • Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.

    Tìm số lượng các số trong dãy số toán lớp 4

    • Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số $1$ thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số đó. Ví dụ, dãy số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,4,5,…,100$ có $100$ số hạng.
    • Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số $1$ thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. Ví dụ, dãy số $5,6,7,8,…,50$ có số các số hạng là $$50-4=46 \text{ số}$$ hoặc có thể tính bằng cách lấy số cuối cùng trừ số đầu tiên rồi cộng thêm $1$.

    2. Các loại dãy sốtoán lớp 4

    2.1. Dãy số cách đều nhau

    • Dãy số tự nhiên $1,2,3,4,5,…$
    • Dãy số lẻ $1,3,5,7,9,…$
    • Dãy số chẵn $2,4,6,8,10,…$
    • Dãy số cách đều nhau một giá trị. Ví dụ dãy số $1,4,7,10,13,…$ cách đều nhau $3$ đơn vị.
    • Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó. Ví dụ $1, 6, 11, 16, 21…$ là dãy các số tự nhiên chia cho $5$ dư $1$.

    2.1. Dãy số tự nhiên không cách đều.

    • Dãy Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,21,…$ (tính từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó, ví dụ $5=2+3, 21=13+8…$)

    day so fibonacchi dãy số toán lớp 4

    • Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số tự nhiên liên tiếp.

    2.3. Dãy số thập phân, phân số

    3. Cách giải toán dãy số lớp 4

    Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

    Trước hết các em học sinh cần ghi nhớ những quy luật dãy số thường gặp là:

    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên $d$;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên $q$ khác 0;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên $d$ cộng với số thứ tự của số hạng ấy;
    • Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng $a$ lần số liền trước nó;
    • Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng $a$ lần số liền trước nó cộng (trừ ) với một số $n$ ($n$ khác 0).

    Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: $$1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$

    Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau:

    • Ta thấy: $$1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13$$
    • Như vậy, dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
    • Ba số hạng tiếp theo là: $21 + 34 = 55$; $34 + 55 = 89$; $55 + 89 = 144$.
    • Vậy dãy số được viết đầy đủ là: $$1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144.$$

    Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: $$1, 3, 4, 8, 15, 27,…$$

    • Ta nhận thấy: $$8 = 1 + 3 + 4, 27 = 4 + 8 + 15, 15 = 3 + 4 + 8$$
    • Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
    • Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: $$1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.$$

    Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.

    a) $…, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$

    b) $…, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110$

    Giải:

    a) Ta nhận thấy:

    • Số hạng thứ 10 là: $1024 = 512 \times 2$
    • Số hạng thứ 9 là: $512 = 256 \times 2$
    • Số hạng thứ 8 là: $256 = 128 \times 2$
    • Số hạng thứ 7 là: $128 = 64 \times 2$
    • ….
    • Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: Mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó.
    • Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: $1 \times 2 = 2$.

    b) Ta nhận thấy rằng:

    • Số hạng thứ 10 là: $110 = 11 \times 10$
    • Số hạng thứ 9 là: $99 = 11 \times 9$
    • Số hạng thứ 8 là: $88 = 11 \times 8$
    • Số hạng thứ 7 là: $77 = 11 \times 7$
    • …
    • Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với $11$.
    • Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: $1 \times 11 = 11$.

    Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau:

    • a. $3, 9, 27, …, …, 729$.
    • b. $3, 8, 23, …, …, 608$.

    Hướng dẫn.

    a. Ta nhận xét: $3 \times 3 = 9, 9 \times 3 = 27$

    • Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 3 lần số liền trước nó.
    • Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: $$27 \times 3 = 81; 81 \times 3 = 243$$
    • Vậy dãy số còn thiếu hai số là: $81$ và $243$.

    b. Ta nhận xét: $$3 \times 3 – 1 = 8; 8 \times 3 – 1 = 23$$

    • Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 3 lần số liền trước nó trừ đi 1.
    • Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là: $$23 \times 3 – 1 = 68; 68 \times 3 – 1 = 203$$
    • Dãy số còn thiếu hai số là: $68$ và $203$.

    Bài 5: Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB.

    Hướng dẫn.

    • Đổi 2 giờ chiều là 14h trong ngày.
    • 2 người đi đến đích của mình trong số giờ là: $14 – 7 = 7 $ giờ.
    • Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:$$ 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.$$
    • Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số: $$9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.$$
    • Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: $$9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84$$
    • Đáp số: 84 km.

    Bài 6: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2010

    783 998

    Giải:

    Ta đánh số thứ tự các ô như sau:

    783 998
    Ô1 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10

    Theo điều kiện của đề bài ta có:

    • 783 + Ô7 + Ô8 = 2010.
    • Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010.

    Vậy Ô9 = 783; từ đó ta tính được:

    • Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2010 – (783 + 998) = 229
    • Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998
    • Ô3 = Ô6 = 783.

    Điền các số vào ta được dãy số:

    998 229 783 998 229 783 998 229 783 998

    Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ. Từ đó mà học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho.

    Dạng 2: Xác định số $x$ có thuộc dãy đã cho hay không?

    Cách giải của dạng toán này:

    • Tìm quy luật của dãy số;
    • Kiểm tra số $x$ có thoả mãn quy luật đó hay không.

    Bài 1: Cho dãy số: $2, 4, 6, 8,…$

    • a. Dãy số được viết theo quy luật nào?
    • b. Số $2009 $có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?

    Giải:

    a. Ta nhận thấy:

    • Số hạng thứ 1: $2 = 2 \times 1$
    • Số hạng thứ 2: $4 = 2 \times 2$
    • Số hạng thứ 3: $6 = 2 \times 3$
    • …
    • Số hạng thứ $n$ là $2 \times n$

    Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng $2$ nhân với số thứ tự của số hạng ấy.

    b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nên số 2009 không phải là số hạng của dãy.

    Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……

    • Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
    • Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

    Giải:

    • Ta thấy: $8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; …$
    • Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3.
    • Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là:$$17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26$$
    • Dãy số được viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
    • Ta thấy: 2 : 3 = 0 dư 2; 5 : 3 = 1 dư 2; 8 : 3 = 2 dư 2; …

    Suy ra, đây là dãy số mà mỗi số hạng khi chia cho 3 đều dư 2. Mà 2009 : 3 = 669 dư 2. Vậy số 2009 có thuộc dãy số trên vì cũng chia cho 3 thì dư 2.

    Bài 3: Em hãy cho biết:

    a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không?

    b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?

    c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích tại sao?

    Giải:

    a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:

    – Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.

    – Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5.

    b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.

    c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:

    – Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều gấp đôi số hạng liền trước nhận nó; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chia cho 2 = 399 là số lẻ.

    – Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.

    – Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.

    Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.

    Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?

    Giải:

    – Ta nhận xét: 2,2 – 1 = 1,2; 3,4 – 2,2 = 1,2; 14,2 – 13 = 1,2;……

    Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nó là 1,2 đơn vị:

    – Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.

    Ví dụ: (13 – 1) chia hết cho 1,2

    (3,4 – 1) chia hết cho 1,2

    Mà: (34,6 – 1) : 1,2 = 28 dư 0.

    Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.

    Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.

    Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?

    100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?

    Giải:

    Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.

    Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 2009 không phải là số hạng của dẫy số đã cho vì lớn hơn 1996.

    Các số hạng của dãy số đã cho là số khi chia cho 3 thì dư 1. Do đó, số 100 và số 1900 là số hạng của dãy số đó.

    Các số 123, 456, 789 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của dãy số đã cho.

    Số 1436 khi chia cho 3 thì dư 2 nên không phải là số hạng của dãy số đã cho.

    Bài tập lự luyện:

    Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,…

    a. Nêu quy luật của dãy.

    b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không?

    c. Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao?

    Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.

    Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?

    Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,

    a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.

    b. Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?

    Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……

    Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?

    Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……

    a. Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

    b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

    Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy

    Đối với dạng toán tìm số lượng số hạng của một dãy số, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây). Ta có công thức sau:

    Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1.

    Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi $d$ thì:

    Số các số hạng của dãy = (Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ) : d + 1.

    https://www.youtube.com/watch?v=GE3R3OiF2IA

    Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17;…..;65; 68.

    Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

    Lời giải:

    Ta có: 14 – 11= 3; 17 – 14 = 3;….

    Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước nó cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là:

    (68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)

    Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992

    Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

    Giải:

    Ta thấy: 4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2

    6 – 4 = 2 ; ………

    Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.

    Dựa vào công thức trên:

    (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

    Ta có: Số các số hạng của dãy là:

    (1992 – 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).

    Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?

    (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)

    Giải:

    Ta thấy:

    Số hạng thứ nhất bằng: 1 = 1 + 2 x 0

    Số hạng thứ hai bằng: 3 = 1 + 2 x 1

    Số hạng thứ ba bằng: 5 = 1 + 2 x 2

    …

    Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990

    Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó.

    Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…

    a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy.

    b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

    Giải:

    a. Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0

    Số hạng thứ hai: 18 = 3 + 15 x 1

    Số hạng thứ ba: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2

    Số hạng thứ tư: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3

    Số hạng thứ năm: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4

    …

    Số hạng thứ n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n – 1)

    Vậy số hạng thứ 100 của dãy là:

    3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 – 1)

    = 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) (Đưa về một số nhân với một tổng.

    = 3 + 15 x (1 + 99) x 99 : 2 = 74253

    b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy:

    Theo quy luật ở phần a ta có:

    3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 11703

    3 + 15 x (1 + 2 + 3 + ……+ (n – 1)) = 11703

    3 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : 2 = 11703

    15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2 = 23400

    n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560

    Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560)

    Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.

    Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?

    Lời giải:

    Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng nhỏ nhất là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng liền trước cộng với 4.

    Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho 4 là:

    (996 – 100) : 4 = 225 (số)

    * Bài tập tự luyện:

    Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008

    Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng?

    Bài 2: Tìm số số hạng của các dãy số sau:

    a. 1, 4, 7, 10, ……,1999.

    b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; … ; 108,9 ; 110,0.

    Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.

    Dãy này có bao nhiêu số hạng?

    Bài 4: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010?

    Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m.

    Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số

    Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,…………Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào

    Giải:

    Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là:

    98 – 1 = 99

    Mỗi khoảng cách là

    3 – 1 = 5 – 3 = 2

    Số hạng thứ 100 là

    1 + 99 ´ 2 = 199

    Công thức tổng quát:

    Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách x (Số số hạng – 1)

    Bài toán 2: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:

    a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1)

    b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2)

    Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1×3, 2×4, 3×5, 4×6, 5×7,…

    Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100.

    Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100×102 = 10200.

    b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1×3, 4×6, 7×9, 10×12, 13×15,…

    Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298.

    Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400.

    Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng

    Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,…….150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số

    Giải:

    Dãy số đã cho có: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số.

    Có (99 – 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số

    Có (150 – 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.

    Vậy số chữ số cần dùng là:

    9 x 1 + 90 x 2 + 51 x 3 = 342 chữ số

    Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số.

    Giải:

    Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có

    (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số

    Có: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số

    Có: (234 – 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số

    Vậy người ta phải dùng số chữ số là:

    9 x 1 + 90 x 2 + 135 x 3 = 594 chữ số

    * Bài tập tự luyện:

    Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số

    Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số

    Bài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:

    a) 752 trang.

    b) 1251 trang.

    Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số

    Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

    Giải:

    Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có

    9 số có 1 chữ số

    có 90 số có 2 chữ số

    Để viết các số này cần số chữ số là

    9 x 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số

    Số chữ số còn lại là:

    435 – 189 = 246 chữ số

    Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được

    246 : 3 = 82 số

    Số trang quyển sách đó là

    99 + 82 = 181 (trang)

    Bài toán 2:

    Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

    Giải: 99 trang đầu cần dùng 9×1 + 90×2 = 189 chữ số.

    999 trang đầu cần dùng: 9×1 + 90×2 + 900×3 = 2889 chữ số

    Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la: 600 – 189 = 411 (chữ số)

    Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.

    Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang.

    Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy.

    Giải:

    Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (nhà)

    Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 – 10) : 2 + 1 = 45 (nhà)

    Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là:

    4 + 45 2 = 94 (lượt)

    Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 – 94 = 273 (lượt)

    Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà)

    Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà)

    Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: (140 – 1) 2 + 2 = 280.

    Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy

    Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3,….. Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào?

    Giải:

    Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số

    Có 90 số có 2 chữ số

    Để viết các số này cần

    9 x 1 + 90 x 2 = 189 chữ số

    Số chữ số còn lại là

    200 – 189 = 11 chữ số

    Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được

    11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số)

    Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến

    99 + 3 = 102

    Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103.

    Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ….. Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?

    Giải:

    Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số

    Có (98 – 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số

    Có (998 – 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số

    Để viết các số này cần:

    4 x 1 + 45 x 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số

    Số chữ số còn lại là:

    2010 – 1444 = 566 chữ số

    Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được:

    566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số)

    Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là:

    (141 – 1) x 2 + 1000 = 1280

    Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282.

    Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số$\frac{1}{7}$.

    Giải:

    Số thập phân bằng phân số $\frac{1}{7}$ là: 1 : 7 = 0,14285714285……

    Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm 142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là:

    2010 : 6 = 335 (nhóm). Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số $\frac{1}{7}$ là chữ số 7.

    Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy với số vừa nhận được … (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, … ). Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14.

    Giải:

    Ta lập được dãy các số như sau:

    14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, …..

    Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu.

    Với 2010 số thì có số nhóm là:

    2010 : 18 = 111 nhóm (dư 12 số)

    12 số đó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1. Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1.

    Bài tập tự luyện:

    Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,…….Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.

    Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ….. Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?

    Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang chơi, Minh liền đố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai?