O₂ Education

Category: Đại số

  • SỬ DỤNG AM-GM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẤU BẰNG KHÔNG TẠI TÂM

    SỬ DỤNG AM-GM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẤU BẰNG KHÔNG TẠI TÂM

    SỬ DỤNG AM-GM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẤU BẰNG KHÔNG TẠI TÂM

    Bài viết của tác giả Lê Khánh Sỹ. O2 Education đã xin phép tác giả để đăng lại trên website.

    Bất đẳng thức AM-GM là một trong những bất đẳng thức thường sử dụng. Ở Việt Nam, chúng ta hay gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Cauchy, dù không phải do ông lần đầu tiên đưa ra bất đẳng thức này.

    1. Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức dấu bằng không tại tâm

    Bài tập 1. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge 2\sqrt{1+\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}.$$

    Hướng dẫn. Nhân hai vế bầt đẳng thức cho $\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$ bất đẳng thức viết lại như sau $$\sqrt{a(a+b)(a+c)}+\sqrt{b(b+c)(b+a)}+\sqrt{c(c+a)(c+b)}\ge 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}.$$
    Áp dụng Mincopxki, ta có $$\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{b^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{c^2(a+b+c)+abc}\ge \sqrt{(a+b+c)^3+9abc}$$ Áp dụng Schur có $$\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\ge\sqrt{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}.$$
    Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$, hoặc $a=0$ và $b=c>0$, hoặc các hoán vị.

    Nếu chọn $ab+bc+ca=1$ thì chúng ta thu được đó là bất đẳng thức Iran 2008: $$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge 2\sqrt{a+b+c}.$$ Nếu chọn $a+b+c=1$ thì cũng là bài toán quen thuộc thường thấy trên diễn đàn toán học: $$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\ge 2\sqrt{ab+bc+ca}.$$

    Bài toán trên cũng liên quan mật thiết đến bài Jack garfunkel $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2.$$

    Bài tập 2. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 6.$$

    Hướng dẫn. Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $(ab+bc+ca)$, ta được
    $$a^2+b^2+c^2+abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2}\ge 6(ab+bc+ca),$$
    hay
    $$(a+b+c)^2+abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2}\ge 8(ab+bc+ca),$$
    Bất đẳng thức trên luôn đúng do AM-GM với hai số dương $$(a+b+c)^2+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2}\ge 8(ab+bc+ca),$$
    và $$abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi hoán vị $(a,b,c)\sim (0,t,t)$ với $t>0.$

    Tiếp cận cách khác: Bất đẳng thức viết lại như sau $$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 9.$$ Vì $abc\ge 0$ do đó theo tính chất bắc cần chúng ta đi chứng minh $$(a+b+c)\left[\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right]+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 9.$$ Vì $abc\ge 0$ do đó theo tính chất bắc cần chúng ta đi chứng minh $$(a+b+c)\left[\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right]+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 9,$$
    hay
    $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 6,$$
    hay
    $$\left[a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)\right]^2\ge 0.$$ Hiển nhiên đúng.

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 16$ thì $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{k(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge 2\left(\sqrt{k}-1 \right).$$

    Bài tập 3. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
    $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 8.$$

    Hướng dẫn. Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $(ab+bc+ca)$, ta được $$a^2+b^2+c^2+abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 8(ab+bc+ca).$$ Bất đẳng thức trên luôn đúng do AM-GM với hai số dương
    $$a^2+b^2+c^2+\dfrac{16(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 8(ab+bc+ca),$$ và
    $$abc\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=4.$

    Tiếp cận cách khác. Áp dụng Bài tập 2 chúng ta cần chứng minh $$\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca} +\frac{16(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 11,$$ hay $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} +\frac{16(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 8,$$
    Đây chính là AM-GM bài toán chứng minh xong.

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 4$ thì $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{k(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 2\sqrt{k}.$$

    Bài tập 4. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{27(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 52.$$

    Hướng dẫn. Ta có $$ \dfrac{a^2(ab+bc+ca)^2}{b^2+c^2}= \dfrac{a^2\left[a^2(b^2+c^2)+2abc(b+c+a)+b^2c^2 \right]}{b^2+c^2}\ge a^4.$$ Do đó nhân hai vế cho $(ab+bc+ca)$ và để bất đẳng thức đúng chúng cần chứng minh $$a^4+b^4+c^4+ \dfrac{27(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 52(ab+bc+ca)^2.$$ Mà $$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+4abc(a+b+c)\ge (a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2.$$ Do đó theo tính chất bắc cầu ta đi chứng minh
    $$(a^2+b^2+c^2)^2+\dfrac{27(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 54(ab+bc+ca)^2,$$ hay
    $$(a^2+b^2+c^2)^3+54(ab+bc+ca)^3\ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.$$

    Bất đẳng thức trên luôn đúng theo AM-GM do $$(a^2+b^2+c^2)^3+ 27(ab+bc+ca)^2+27(ab+bc+ca)^2\ge 3\sqrt[3]{27^2(a^2+b^2+c^2)^3(ab+bc+ca)^6}$$$$= 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=3.$

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 8$ thì $$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{k(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge k+3\sqrt[3]{k^2}-2+\dfrac{4abc(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2}.$$

    Bài tập 5. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c} \ge 6 .$$

    Hướng dẫn. Ta có $$\sqrt{\dfrac{a(ab+bc+ca)}{b+c}}=\sqrt{a^2+\dfrac{abc}{b+c}}\ge a.$$ Do đó nhân hai vế cho $\sqrt{ab+bc+ca}$ và để bất đẳng thức đúng chúng cần chứng minh $$a+b+c+\dfrac{9(ab+bc+ca)}{a+b+c}\ge 6\sqrt{ab+bc+ca},$$ hay $$\left(a+b+c-3\sqrt{ab+bc+ca} \right)^2\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7.$

    Tổng quát:

    • Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 4$ thì $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{k\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c} \ge 2\sqrt{k}.$$
    • Với các số thực không âm $x,y,z,a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 4\min\{xy,yz,zx\}$ thì $$x\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+y\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+z\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{k\sqrt{ab+bc+ca}}{xa+yb+zc} \ge 2\sqrt{k}.$$

    Bài tập 6. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{27(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2} .$$

    Hướng dẫn. Ta có $$\sqrt{\dfrac{a(ab+bc+ca)}{b+c}}=\sqrt{a^2+\dfrac{abc}{b+c}}\ge a.$$ Do đó nhân hai vế cho $\sqrt{ab+bc+ca}$ và để bất đẳng thức đúng chúng cần chứng minh $$a+b+c+\dfrac{3\sqrt{3}(ab+bc+ca)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}\sqrt{ab+bc+ca},$$ hay
    $$\sqrt{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}+\dfrac{3\sqrt{3}(ab+bc+ca)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}\sqrt{ab+bc+ca}.$$ Đặt $t=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2}\ge \sqrt{3}$ chúng ta cần chứng minh $$f(x):=x+\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x^2-2}}-\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\ge 0$$ Dễ thấy rằng $f'(x)=0$ khi $x=2\sqrt{2}$, khi đó $$f(x)\ge f(2\sqrt{2})=0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=6.$

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge \sqrt{2}$ thì $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+k\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}} \ge x+\dfrac{k}{\sqrt{x^2-2}}.$$
    Với
    $$x=\sqrt{ \dfrac{k^2}{\sqrt[3]{27k^2+3\sqrt{81k^4-3k^6}}} +\dfrac{\sqrt[3]{27k^2+3\sqrt{81k^4-3k^6}}}{3}+2 }.$$

    Bài tập 7. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{8}{a+b+c}\ge \dfrac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$

    Hướng dẫn. Viết lại bất đẳng thức như sau $$\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}+\dfrac{8}{a+b+c}\ge \dfrac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$ Bất đẳng thức đúng thì chúng ta chỉ cần chứng minh $$\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}+\dfrac{8}{a+b+c}\ge \dfrac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}},$$ hay $$\left(a+b+c-3\sqrt{ab+bc+ca} \right)^2\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7.$

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 3$ thì $$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{k}{a+b+c}\ge \dfrac{2\sqrt{k+1}}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$

    Bài tập 8. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}+\dfrac{24}{(a+b+c)^2}\ge \dfrac{8}{ab+bc+ca} .$$

    Hướng dẫn. Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $(a+b+c)^2$, ta được $$2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c+a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a+b}\right)^2+27\ge \dfrac{8(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.$$ Như trên thì ta có $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca},$$
    và \begin{align}\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c+a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a+b}\right)^2\ge \dfrac{a^4+b^4+c^4}{(ab+bc+ca)^2}\\
    \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}\\
    =\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)^2-2.\end{align} Đặt $y=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge 1$ bài toán cần chứng minh theo tính chất bắc cầu qua ngôn ngữ $y$ như sau $$2y+y^2+25\ge 8(y+2),$$ hay $$(y-3)^2\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=3.$

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $k\ge 15$ thì $$\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}+\dfrac{k}{(a+b+c)^2}\ge \dfrac{2\left(\sqrt{k+1}-1 \right)}{ab+bc+ca}.$$

    Bài tập 9. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge \dfrac{5}{2(ab+bc+ca)} .$$

    Hướng dẫn. Giả sử rằng $c=\min\{a,b,c\}$ khi đó ta có $$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge \dfrac{1}{\left(a+\dfrac{c}{2} \right)^2+\left(b+\dfrac{c}{2} \right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+\dfrac{c}{2} \right)^2}+\dfrac{1}{\left(a+\dfrac{c}{2} \right)^2},$$ và $$\left(a+\dfrac{c}{2}\right)\left(b+\dfrac{c}{2}\right)-(ab+bc+ca)=\dfrac{c(c-2a-2b)}{4}\le 0. $$Do đó chúng ta cần chứng minh bài toán qua ngôn ngữ $x,y$ như sau $$\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge \dfrac{5}{2xy},$$
    hay $$\dfrac{(x-y)^2(2x^2+2y^2-xy)}{2x^2y^2(x^2+y^2)}\ge 0. $$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $a=b>0$.

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không thì $$\dfrac{1}{a^2-kab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-kbc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-kca+a^2}\ge \dfrac{E_k}{(ab+bc+ca)},$$ khi đó $$E_k=\begin{cases} \dfrac{5-2k}{2-k},\ \ \ \ 0\le k\le 1\\
    2+k,\ \ \ \ 1\le k\le 2\end{cases}.$$ Thật vậy, dễ thấy rằng ba phân thức vế trái là dương. Giả sử $a\ge b\ge c$. Ta có $$a^2-kab+b^2- \left[\left( a+\dfrac{c}{2}\right)^2-k\left( a+\dfrac{c}{2}\right)\left( b+\dfrac{c}{2} \right)+\left( b+\dfrac{c}{2} \right)^2 \right]=\dfrac{(k-2)(2a+2b+c)c}{4}\le 0,$$ $$a^2-kac+c^2 \le\left( a+\dfrac{c}{2}\right)^2,$$ và $$b^2-kbc+c^2 \le\left( b+\dfrac{c}{2}\right)^2,$$ $$\left(a+\dfrac{c}{2}\right)\left(b+\dfrac{c}{2}\right)\le ab+bc+ca.$$ Do đó chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức theo ngôn ngữ $x,y$ dương như sau $$\dfrac{1}{x^2-kxy+y^2}+\frac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge \dfrac{E_k}{xy}.$$ Nếu $1\le k\le 2$ bất đẳng thức viết lại $$\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{xy}+k\ge E_k.$$ Áp dụng AM-GM, ta có $$\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{xy}+k\ge 2+k=E_k.$$ Nếu $0\le k\le 1$ bất đẳng thức viết lại $$\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{xy}+k\ge E_k.$$ Chú ý rằng trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi $x=y$, do đó trọng số của $\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}= \dfrac{1}{2-k}$ vậy nên chúng ta phải phân tích như sau. Bất đẳng thức viết lại \begin{align}\dfrac{xy}{x^2-kxy+y^2}+\dfrac{x^2-kxy+y^2}{(2-k)^2xy}
    +\left[1-\dfrac{1}{(2-k)^2}\right]\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\dfrac{k}{(2-k)^2}\\
    \ge \dfrac{2}{2-k}+2\left[1-\dfrac{1}{(2-k)^2}\right]+\dfrac{k}{(2-k)^2}\\
    =E_k.\end{align} Hoàn tất chứng minh.

    Bài tập 10. Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng $$4\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\right)+9\ge\dfrac{27(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.$$

    Hướng dẫn. Dễ thấy rằng $$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}.$$ Vì thế chúng ta chỉ cần chứng minh với ngôn ngữ $x\ge 1$ như sau $$4\sqrt{x+2}+9\ge \dfrac{27x}{x+2},$$ hay $$\dfrac{54}{x+2}+2\sqrt{x+2} +2\sqrt{x+2}\ge 18.$$ Đây chính là bất đẳng thức AM-GM cơ bản.

    Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7.$

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không và $0<k\le \dfrac{3}{2}$ thì $$4k^3\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\right)+9(3-2k^2)\ge \dfrac{27(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.$$

    Bài tập 11. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|\le \dfrac{(a+b+c)^3}{6\sqrt{3}}.$$

    Hướng dẫn. Bình phương hai vế, ta được $$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\le \dfrac{(a+b+c)^6}{108}.$$
    Giả sử rằng $c=\min\{a,b,c\}$ khi đó ta có \begin{align} (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\le (a^2-2ab+b^2).ab.ab \\
    \text{(Áp dụng AM-GM)}\ \ \le\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(a^2-2ab+b^2+2ab+2ab)^3}{27}\\
    \le \dfrac{(a+b)^6}{108}\\
    \le \dfrac{(a+b+c)^6}{108}.
    \end{align} Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=4.$

    Tổng quát: Với các số thực không âm $a,b,c$ và $\dfrac{2}{3}\le k\le 2$. Khi đó ta có $$(a^2-kab+b^2)(b^2-kbc+c^2)(c^2-kca+a^2)\le \dfrac{4(a+b+c)^6}{27(2+k)^2}.$$ Thật vậy không mất tính tổng quát giả sử rằng $c=\min\{a,b,c\}$. Khi đó ta có
    $$0\le b^2-kbc+c^2\le b(b-kc+c),$$ và $$0\le c^2-kca+a^2 \le a(c-kc+a).$$ Do đó chúng ta cần chứng minh $$(a^2-kab+b^2)(ab-kca+ca)(bc-kbc+ab)\le \dfrac{4(a+b+c)^6}{27(2+k)^2},$$ hay $$(a^2-kab+b^2).x(ab-kca+ca).x(bc-kbc+ab)\le \dfrac{(a+b+c)^6}{27} \left(x=1+\dfrac{k}{2}\right).$$ Áp dụng AM-GM thì ta cần chứng minh $$\left[(a+b)^2+\left(1+\dfrac{k}{2}\right)(1-k)(a+b)c \right]^3\le (a+b+c)^6,$$ hay $$c\left[(k^2+k+2)(a+b)+2c\right]\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra hoán vị cặp nghiệm $c=0$ và $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{2+3k}{2}.$

    2. Bài tập tự luyện

    Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng với $k\ge 1$ ta luôn có 2 bài toán sau:
    $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+k\cdot\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a^3+b^3+c^3}\ge 2\sqrt{k}+1.$$
    $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+k\cdot\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^3+b^3+c^3}\ge 2\sqrt{k}+1.$$

  • Các bất đẳng thức thường sử dụng

    Các bất đẳng thức thường sử dụng

    Các bất đẳng thức thường sử dụng

    1. Các bất đẳng thức thường sử dụng

    Bất đẳng thức AM-GM

    Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó $$a_1+a_2+\cdots +a_{n}\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n$.

    các bất đẳng thức thường sử dụng
    Chứng minh bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm bằng hình học

    Bất đẳng thức AM-GM suy rộng

    Cho $p_1,p_2\ldots p_n$ là các số thực dương thỏa $$p_1+p_2+\cdots +p_n=1.$$ Với $a_1,a_2\ldots a_n$ là các số thực không âm thì ta có $$p_1a_1+p_2a_2+\cdots +p_na_n\ge a_1^{p_1}a_2^{p_2}\ldots a_n^{p_n}.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n.$

    Bất đẳng thức AM-HM

    Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó $$\left(a_1+a_2+\cdots +a_n \right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}\cdots +\dfrac{1}{a_n} \right)\ge n^2$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n.$

    Bất đẳng thức Bernoulli

    Với số thực $x\ge -1$, ta có:

    • $(1+x)^r\ge 1+rx $ khi $r\ge 1$ hoặc $r\le 0$
    • $(1+x)^r\le 1+rx $ khi $0\le r\le 1$

    Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

    Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ và $b_1,b_2,\ldots ,b_n$, ta có $$\left(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2\right)\ge \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\right)^2.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}.$

    Bất đẳng thức Hölder

    Cho $x_{ij}$ là các số thực không âm (với $i=\overline{1;m}, \ \ j=\overline{1;n}$ ), khi đó ta có $$\prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^n x_{ij}\right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}x_{ij}} \right)^m.$$

    Bất đẳng thức Chebyshev

    Cho $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$ là các số thực.

    1. Nếu $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_n$ thì $$n\sum_{i=1}^na_ib_i\ge\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$
    2. Nếu $b_1\le b_2\le\cdots\le b_n$ thì $$n\sum_{i=1}^na_ib_i\le\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$

    Bất đẳng thức hoán vị

    Cho $a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_n$ là hai dãy số thực và $(z_1,z_2,\ldots ,z_n)$ là hoán vị nào đó của $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$. Khi đó ta có:

    1. Nếu $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_n$ thì $$a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\ge z_1b_2+z_2b_2+\cdots +z_nb_n.$$
    2. Nếu $b_1\le b_2\le\cdots\le b_n$ thì $$a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\le z_1b_2+z_2b_2+\cdots +z_nb_n.$$

    Bất đẳng thức Maclaurin và bất đẳng thức Newton

    Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó:

    1. (Maclaurin) $S_1\ge S_2\ge \cdots\ge S_n$
    2. (Newton) $S_k^2\ge S_{k-1}S_{k+1}$

    với $$S_{k}=\sqrt[k]{\dfrac{\displaystyle\sum_{1\le i_1< i_2<\cdots <i_n}^n a_{i_1}a_{i_2}\ldots a_{i_n} }{ C_{n}^k}}.$$

    Bất đẳng thức Karamata

    Cho hai bộ số $(x_1,x_2\ldots ,x_n)$ và $(y_1,y_2\ldots ,y_n)$ với $(x_1,x_2\ldots ,x_n)\succ\succ(y_1,y_2\ldots ,y_n)$ sao cho $x_i,y_i\in \mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$. Nếu hàm số $f$ xác định lồi trên khoảng $\mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$ thì
    $$f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\ge f(y_1)+f(y_2)+\cdots +f(y_n).$$

    Ghi chú: $$(x_1,x_2\ldots ,x_n)\succ\succ(y_1,y_2\ldots ,y_n)\Leftrightarrow\begin{cases}x_1\ge y_1\\
    x_2+x_2\ge y_1+y_2\\
    \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\
    x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}\ge y_1+y_2+\cdots +y_{n-1}\\
    x_1+x_2+\cdots +x_{n}= y_1+y_2+\cdots +y_{n}\end{cases}$$

    Bất đẳng thức Popoviciu

    Cho hàm số $f$ xác định lồi trên khoảng $\mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$. Khi đó với $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{I}$ thì
    $$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)+n(n-2)f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)\ge (n-1)\left[f(b_1)+f(b_2)+\cdots +f(b_2)\right],$$ với $$b_i=\dfrac{1}{n-1}\sum_{j\neq i}a_j \ \ ,\ \ i=\overline{1;n}.$$

    Bất đẳng thức Schur

    • Cho các số thực không âm $a,b,c$ và số thực dương k, khi đó ta có $$a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\ge 0,$$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0$ và $b=c$ hoặc một vài hoán vị.
    • Với $k=1$ chúng ta thu được một vài phát biểu quen thuộc sau: $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
      $$(a+b+c)^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$ $$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge 2(ab+bc+ca)$$ $$\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c} +\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2.$$

    Bất đẳng thức Vornicu-Schur

    Cho các số thực không âm $a,b,c,x,y,z$ sao cho $(a,b,c)$ và $(x,y,z)$ đều là các bộ đơn điệu. Khi đó ta có $$x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)+z(c-a)(c-b)\ge 0$$

    Bất đẳng thức Vasc

    Với mọi số thực $a,b,c$, ta có $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a). $$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $\dfrac{a}{sin^2\dfrac{4\pi}{7}}=\dfrac{b}{sin^2\dfrac{2\pi}{7}}=\dfrac{c}{sin^2\dfrac{\pi}{7}}$, (hoặc một vài hoán vị).

    Bất đẳng thức Vasc

    Cho $f_{n}(a,b,c)$ là một đa thức đối xứng bậc $n=3$, $n=4$, $n=5.$

    1. Với $a,b,c$ các số thực thì $f_{4}(a,b,c)\ge 0$ khi và chỉ khi $f_{4}(a,1,1)\ge 0$
    2. Với $a,b,c$ các số thực không âm thì $f_{n}(a,b,c)\ge 0$ khi và chỉ khi $f_{n}(a,1,1)\ge 0$ và $f_{n}(0,b,c)\ge 0$.

    Bất đẳng thức $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\ge 0$

    Với các số thực $a,b,c$, ta có $$27(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2= 4(p^2-3q)^3-(2p^3-9pq+27r)^2\ge 0,$$ từ đây ta có
    $$ \dfrac{-2p^3+9pq-2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27} \le r\le \dfrac{-2p^3+9pq+2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27} $$

    2. Một số tiêu chuẩn khi chứng minh bất đẳng thức

    SOS

    Cho các số thực không âm thỏa $a\ge b\ge c $ và cần chứng minh $$f(a,b,c)=(a-b)^2S_c+(b-c)^2S_a+(c-a)^2S_b\ge 0.$$
    Sau đấy chúng ta sẽ tạo ra một vài tiêu chuẩn thường sử dụng:

    1. Tiêu chuẩn 1. Nếu $S_a,S_b,S_c\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$ là hiển nhiên.
    2. Tiêu chuẩn 2. Nếu $S_b\ge 0$ và $S_b+S_c\ge 0$ và $S_a+S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy $$(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)\ge (a-b)^2+(b-c)^2,$$
      do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (a-b)^2(S_b+S_c)+(b-c)^2(S_a+S_b)\ge 0,$$ do đó để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $S_b+S_c\ge 0$ và $S_a+S_b\ge 0$.
    3. Tiêu chuẩn 3. Nếu $S_b\le 0$ và $S_a+2S_b\ge 0$ và $S_c+2S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy $$(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)\le 2\left[(a-b)^2+(b-c)^2 \right]$$ do đó ta có
      $$f(a,b,c)\ge (a-b)^2(S_c+2S_b)+(b-c)^2(S_a+2S_b),$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $S_c+2S_b\ge 0$ và $S_a+2S_b\ge 0$.
    4. Tiêu chuẩn 4. Nếu $S_b,S_c\ge 0$ và $b^2S_a+a^2S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy theo bất đẳng thức tỉ lệ thì $$\dfrac{a-c}{b-c}\ge \dfrac{a}{b},$$ do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (b-c)^2S_a+\dfrac{(b-c)^2a^2}{b^2}S_b,$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $b^2S_a+a^2S_b\ge 0.$
    5. Tiêu chuẩn 5. Nếu $S_b,S_c\ge 0$ và $b(b-c)S_a+a(a-c)S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy theo bất đẳng thức tỉ lệ thì $$\dfrac{a-c}{b-c}\ge \dfrac{a}{b},$$ do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (b-c)^2S_a+\dfrac{(b-c)^2a(a-c)}{b(b-c)}S_b,$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $b(b-c)S_a+a(a-c)S_b\ge 0.$

    Tiêu chuẩn Vornicu-Schur

    \begin{aligned}x(a-b)(a-c)&+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)=\left[a\sqrt{x}-(\sqrt{x}+\sqrt{z})b+c\sqrt{z} \right]^2+\\
    &+(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(a-b)(b-c)+2\sqrt{y}(a-b)(b-c)(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z})\end{aligned}

  • Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

    Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

    Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

    1. Hàm số bậc nhất là gì?

    Hàm số bậc nhất   đối với biến số $x$ là hàm số có dạng $y = ax + b$ trong đó $a\ne  0$.

    Tập xác định: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$.

    Xem thêm: Cách tìm tập xác định của hàm số

    Sự biến thiên:

    • Khi $a > 0$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
    • Khi $a < 0$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

    Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng có hệ số góc bằng $a$, cắt trục tung tại điểm có toạ độ $(0; b)$, cắt trục hoành tại điểm có toạ độ $(-\frac{b}{a};0)$.

    Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b

    2. Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số bậc nhất

    Cho hai đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d’: y = a’x + b’$:

    • $d$ song song $d’$ khi và chỉ khi $a = a’$ và $b\ne b’$.
    • $d$ trùng $d’$ khi và chỉ khi $a = a’$ và $b=b’$.
    • $d$ cắt $d’$ khi và chỉ khi $a \ne a’$.
    • $d$ vuông góc $d’$ khi và chỉ khi $a\cdot a’=-1$.

    3. Hàm số y = b

    Trong trường hợp đặc biệt, khi $a=0$ thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số hằng (hàm hằng) có đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0;b)$ như hình dưới đây:

    đồ thị hàm số hằng, hàm hằng y = b, y=m

    4. Hàm số $y=\left| ax+b \right|$

    Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối chúng ta viết lại hàm số $y=\left| ax+b \right|$ dưới dạng $$y=\begin{cases} ax+b& \text{khi } x\ge -\frac{b}{a} \\ -(ax+b)&\text{khi } x<-\frac{b}{a} \end{cases} $$

    Để vẽ đồ thị của hàm số $y=\left| ax+b \right|$ ta có thể vẽ hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = –ax – b$, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.

    Đồ thị hàm số $y=\left| ax+b \right|$ có dạng như hình vẽ sau:

    đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

    5. Bài tập Toán 10 Hàm số bậc nhất $y=ax+b$

    Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

    a) $y=2x-7$
    b) $y=-3x+5$
    c) $y=\frac{x-3}{2}$
    d) $y=\frac{5-x}{3}$

    Bài 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:

    a) $y=3x-2;y=2x+3$
    b) $y=-3x+2;y=4(x-3)$
    c) $y=2x;y=-x-3$
    d) $y=\frac{x-3}{2};y=\frac{5-x}{3}$

    Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị $k$ để đồ thị của hàm số $y=-2x+k(x+1)$:

    1. Đi qua gốc tọa độ $O$
    2. Đi qua điểm $M(–2 ; 3)$
    3. Song song với đường thẳng $y=\sqrt{2} x$

    Bài 4. Xác định $a$ và $b$ để đồ thị của hàm số $y=ax+b$:

    1. Đi qua hai điểm $A(–1; –20), B(3; 8)$.
    2. Đi qua điểm $M(4; –3)$ và song song với đường thẳng $d: y=-\frac{2}{3}x+1$.
    3. Cắt đường thẳng $d_1: y=2x+5$ tại điểm có hoành độ bằng $–2$ và cắt đường thẳng $d_2:y=3x+4$ tại điểm có tung độ bằng $–2$.
    4. Song song với đường thẳng $y=\frac{1}{2}x$ đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x+1$ và $y=3x+5$.

    Bài 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của $m$ sao cho ba đường thẳng sau phân biệt và đồng qui:

    1. $y=2x;y=-x-3;y=mx+5$
    2. $y=5(x+1);y=mx+3;y=3x+m$
    3. $y=2x-1;y=8-x;y=(3-2m)x+2$
    4. $y=(5-3m)x+m-2;y=-x+11;y=x+3$
    5. $y=-x+5;y=2x-7;y=(m-2)x+{{m}^{2}}+4$

    Bài 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù $m$ lấy bất cứ giá trị nào:

    1. $y=2mx+1-m$
    2. $y=mx-3-x$
    3. $y=(2m+5)x+m+3$
    4. $y=m(x+2)$
    5. $y=(2m-3)x+2$
    6. $y=(m-1)x-2m$

    Bài 7. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?

    1. $y=(2m+3)x-m+1$
    2. $y=(2m+5)x+m+3$
    3. $y=mx-3-x$
    4. $y=m(x+2)$

    Bài 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây:

    1. $3y-6x+1=0$
    2. $y=-0,5x-4$
    3. $y=3+\frac{x}{2}$
    4. $2y+x=6$
    5.  $2x-y=1$
    6. $y=0,5x+1$

    Bài 9. Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:

    1. $y=(3m-1)x+m+3;y=2x-1$
    2. $y=\frac{m}{1-m}x+\frac{2(m+2)}{m-1};y=\frac{3m}{3m+1}x-\frac{5m+4}{3m+1}$
    3. $y=m(x+2);y=(2m+3)x-m+1$

    Bài 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

    1. $y= \begin{cases}  -x&\text{khi }x\le -1 \\  1&\text{khi }-1<x<2 \\ x-1&\text{khi }x\ge 2 \\
      \end{cases} $
    2. $y= \begin{cases} -2x-2&\text{khi }x<-1 \\ 0&\text{khi }-1\le x\le 2 \\ x-2&\text{khi }x\ge 2 \\ \end{cases} $
    3. $y=\left| 3x+5 \right|$
    4. $y=-2\left| x-1 \right|$
    5. $y=-\frac{1}{2}\left| 2x+3 \right|+\frac{5}{2}$
    6.  $y=\left| x-2 \right|+\left| 1-x \right|$
    7. $y=\left| x \right|-\left| x-1 \right|$
    8. $y=x+\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|$
  • Cách lập mệnh đề phủ định

    Cách lập mệnh đề phủ định

    Cách lập mệnh đề phủ định

    Để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, trước tiên các em cần biết được thế nào là một mệnh đề và mệnh đề phủ định là gì. Có thể xem chi tiết trong bài Mệnh đề toán học và Lý thuyết và Bài tập mệnh đề. Dưới đây, chúng tôi xin nhắc lại các kiến thức liên quan.

    Mệnh đề phủ định là gì?

    Cho mệnh đề $P$, mệnh đề “Không phải $P$” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$, kí hiệu là $ \overline{P} $.

    Nếu mệnh đề $P$ đúng thì mệnh đề $ \overline{P} $ sai và ngược lại.

    Cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề

    Như vậy, để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, chúng ta chỉ cần thêm cụm từ “KHÔNG PHẢI” vào trước cụm từ đó. Tuy nhiên, cách làm này khiến người đọc khó hiểu nên chúng ta thường sử dụng các từ ngữ trái nghĩa để diễn đạt lại mệnh đề đã cho.

    Một số từ và cụm từ trái nghĩa thường sử dụng:

    • Trái nghĩa của “bằng” là “không bằng” hoặc “khác”;
    • Trái nghĩa với “vô nghiệm” là “có nghiệm”;
    • Trái nghĩa của “lớn hơn” là “nhỏ hơn hoặc bằng”;
    • Trái nghĩa của “nhỏ hơn” là “lớn hơn hoặc bằng”;
    • Trái nghĩa của “dương” là “không dương” tức là “nhỏ hơn hoặc bằng $0$”;…

    Chú ý. Cho hai mệnh đề P và Q.

    • Phủ định của mệnh đề “P và Q” là “Không P hoặc không Q”.
    • Phủ định của mệnh đề “P hoặc Q” là “Không P và không Q”.

    Ví dụ 1. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    1. Phương trình $x^2+1=0$ vô nghiệm.
    2. Tam giác đều có ba góc bằng nhau.
    3. Số $13$ là một số nguyên tố.
    4. Số $2$ và $7$ đều là số nguyên tố.
    5. An và Bình đều có vé xem phim.
    6. Số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$ và cho $3$ thì nó chia hết cho $6$.

    Hướng dẫn. Mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho là:

    1. Phương trình $x^2+1=0$ có nghiệm.
    2. Tam giác đều không có ba góc bằng nhau.
    3. Số $13$ không là số nguyên tố.
    4. Mệnh đề đã cho nghĩa là “Số $2$ là số nguyên tố và $7$ là số nguyên tố” nên mệnh đề phủ định là “Số $2$ hoặc $7$ không là số nguyên tố”.
    5. An hoặc Bình không có vé xem phim.
    6. Số tự nhiên $n$ không chia hết cho $2$ hoặc $3$ thì nó không chia hết cho $6$.

    Riêng đối với các mệnh đề có chứa cụm từ “với mọi, tất cả, tồn tại, có ít nhất” hoặc các kí tự ∀ và ∃ có dạng $$\forall x \in \mathcal{D}, P(x) $$ chúng ta có hai bước:

    • Chuyển kí tự ∀ thành ∃ hoặc chuyển kí tự ∃ thành ∀
    • Lập mệnh đề phủ định của $P(x)$.

    Ví dụ 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    Tất cả học sinh lớp 10A4 Xuân Trường B đều có gấu.

    Hướng dẫn. Chúng ta thực hiện hai bước:

    • Chuyển từ “tất cả” thành “có ít nhất”;
    • Chuyển “có gấu” thành “không có gấu”.

    Từ đó có mệnh đề phủ định là “Có ít nhất một học sinh lớp 10A4 Xuân Trường B không có gấu”.

    Ví dụ 3. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    1. $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2+1>0 $,
    2. $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2-3x+2=0$,
    3. $ \exists n\in \mathbb{N}, n^2+2 $ chia hết cho 4,
    4. $ \exists n\in \mathbb{Q}, 2n+1\ne 0$.

    Hướng dẫn.

    1. $\exists x \in \mathbb{R}, x^2+1 \leqslant 0$,
    2. $\exists x \in \mathbb{R}, x^2-3x+2\ne 0$,
    3. $ \forall n \in \mathbb{N}, n^2+2 $ không chia hết cho 4,
    4. $ \forall n \in \mathbb{Q}, 2n+1 = 0$.

    Các em học sinh có thể tham khảo thêm bài tập tại Bài tập Mệnh đề toán học.

  • Điều kiện cần và đủ là gì?

    Điều kiện cần và đủ là gì?

    Điều kiện cần và đủ là gì?

    1. Điều kiện cần là gì, điều kiện đủ là gì?

    Trong Toán học, chúng ta rất hay gặp các mệnh đề có dạng “Nếu $P$ thì $Q$” hoặc viết dưới dạng kí hiệu là $P \Rightarrow Q$, chẳng hạn:

    • Nếu trời mưa thì nghỉ học.
    • Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.

    Trong các mệnh đề có dạng $P \Rightarrow Q$ này thì $P$ được gọi là giả thiết, $Q$ được gọi là kết luận. Hoặc, có thể nói:

    • $P$ là điều kiện đủ để có $Q$;
    • $Q$ là điều kiện cần để co $P$.

    Chúng ta xét mệnh đề “Nếu trời mưa thì nghỉ học“.

    Rõ ràng, chỉ cần gặp trời mưa là đủ để suy ra nghỉ học, tức là trời mưa đủ để có nghỉ học, nên nó được gọi là điều kiện đủ. Ngược lại, nghỉ học thì chưa đủ để suy ra trời mưa, vì có thể hôm đó cô giáo ốm 🙂

    Nhưng tại sao lại gọi là điều kiện cần, vì không có nghỉ học (tức là vẫn đi học) thì chắc chắn không thể có trời mưa. Lí do, nếu trời mưa thì đã nghỉ học rồi, đâu có đến lớp nữa.

    Như vậy, “trời mưa là điều kiện đủ của nghỉ học” còn “nghỉ học là điều kiện cần của trời mưa“.

    Để hiểu rõ hơn, chúng ta tiếp tục xét vài ví dụ nữa.

    • Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.
      • Một số mà chữ số cuối cùng là $5$ thì chắc chắn chia hết cho $5$, nên có thể nói đây Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $5$.
      • Ngược lại, một số chia hết cho $5$ là cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó tận cùng bằng $5$, vì số đó có thể tận cùng là $0$.
    • Một số chia hết cho $6$ thì chia hết cho $3$.
      • Tương tự, một số chia hết cho $6$ thì chắc chắn chia hết cho $3$ nên một số chia hết cho $6$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $3$.
      • Ngược lại, một số chia hết cho $3$ thì cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó chia hết cho $6$, nó còn phải chẵn nữa mới đủ.

    Trong cuộc sống, nói đến điều kiện cần điều kiện đủ chúng ta có thể hiểu:

    A là điều kiện cần của B nếu bất cứ khi nào có B thì có A nhưng không phải lúc nào có A cũng có B.
    A là điều kiện đủ của B nếu bất cứ khi nào ta có A thì có B nhưng không phải với bất kỳ B ta đều được A.

    2. Điều kiện cần và đủ là gì?

    Nếu mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta có mệnh đề P ⇔ Q là một mệnh đề đúng. Khi đó, ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc cũng nói Q là điều kiện cần và đủ để có P.

    Thuật ngữ “cần và đủ” còn được thay thế bằng các thuật ngữ “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu” hoặc “tương đương”.

    Trong cuộc sống, chúng ta thường nói A là điều kiện cần và đủ của B nếu bất kỳ A nào ta cũng có B và bất kì B nào cũng có A.

  • Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Chúng tôi xin giới thiệu Tài liệu Lý thuyết và Bài tập mệnh đề của thầy Trần Sĩ Tùng để Thầy cô và các em học sinh tham khảo.

    I. Tóm tắt kiến thức

    1. Mệnh đề

    • Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
    • Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

    2. Mệnh đề phủ định

    Cho mệnh đề $P$.

    • Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ và kí hiệu là $\overline{P}$.
    • Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

    3. Mệnh đề kéo theo

    Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$.

    • Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P ⇒ Q$.
    • Mệnh đề $P ⇒ Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

    Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q.

    Khi đó:

    • P là giả thiết, Q là kết luận;
    • P là điều kiện đủ để có Q;
    • Q là điều kiện cần để có P.

    Mời các em xem thêm Điều kiện cần và đủ là gì?

    4. Mệnh đề đảo

    Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

    5. Mệnh đề tương đương

    Cho hai mệnh đề P và Q.
    • Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.
    • Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.
    Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

    6. Mệnh đề chứa biến

    Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

    7. Kí hiệu ∀ và ∃

    • “∀x ∈ X, P(x)”
    • “∃x ∈ X, P(x)”
    • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” là “∃x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.
    • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” là “∀x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.

    8. Phép chứng minh phản chứng

    Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B.

    • Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
    • Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

    9. Bổ sung kiến thức về mệnh đề

    Cho hai mệnh đề P và Q.

    • Mệnh đề “P và Q” được gọi là giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∧ Q.
    • Mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là  hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∨ Q.
    • Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: $$\overline{P\wedge Q}=\overline{P}\vee \overline{Q}, \overline{P\vee Q}=\overline{P}\wedge \overline{Q}$$

    II. Bài tập mệnh đề

    Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

    a) Số $11$ là số chẵn.
    b) Bạn có chăm học không?
    c) Huế là một thành phố của Việt Nam.
    d) $2x + 3$ là một số nguyên dương.
    e) $2-\sqrt{5}<0$.
    f) $4 + x = 3$.
    g) Hãy trả lời câu hỏi này!.
    h) Paris là thủ đô nước Ý.
    i) Phương trình ${{x}^{2}}-x+1=0$ có nghiệm.
    k) $13$ là một số nguyên tố.

    Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

    a) Nếu $a$ chia hết cho $9$ thì $a$ chia hết cho $3$.
    b) Nếu $a\ge b$ thì ${{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}$.
    c) Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $6$.
    d) Số $\pi $ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
    e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
    f) 81 là một số chính phương.
    g) $5 > 3$ hoặc $5 < 3$.
    h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

    Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

    a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
    b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
    c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng ${{60}^{0}}$.
    d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
    e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.
    f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.
    g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
    h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

    Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

    a) $\forall x\in R,{{x}^{2}}>0$.
    b) $\exists x\in R,x>{{x}^{2}}$
    c) $\exists x\in Q,4{{{x}}^{2}}-1=0$.
    d) $\forall n\in N,{{n}^{2}}>n$.
    e) $\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+1>0$.
    f) $\forall x\in \mathbb{R},x^2>9 \Rightarrow x>3$.
    g) $\forall x\in R,x>3\Rightarrow {{x}^{2}}>9$.
    h) $\forall x\in R,{{x}^{2}}<5\Rightarrow x<\sqrt{5}$
    i) $\exists x\in R,5x-3{{x}^{2}}\le 1$
    k) $\exists x\in N,{{x}^{2}}+2x+5$ là hợp số.
    l) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
    m) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)$ là số lẻ.
    n) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 6.

    Bài 5. Điền vào chỗ trống từ nối “và” hay “hoặc” để được mệnh đề đúng:

    a) $\pi <4…\pi >5$.
    b) $ab=0$ khi $a=0\,…\,b=0$.
    c) $ab\ne 0$ khi $a\ne 0\,…\,b\ne 0$
    d) $ab>0$ khi $a>0\,…\,b>0\,…\,a<0\,…\,b<0$.
    e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 … cho 3.
    f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 … bằng 5.

    Bài 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng:

    a) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+4=0″$
    b) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+6=0″$
    c) $P(x):”{{x}^{2}}-3x>0″$
    d) $P(x):”\sqrt{x}\ge x”$
    e) $P(x):”2x+3\le 7″$
    f) $P(x):”{{x}^{2}}+x+1>0″$

    Bài 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

    a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.
    b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
    c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
    d) Số tự nhiên $n$ có ước số bằng $1$ và bằng $n$.

    Bài 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
    a) $\forall x\in R:{{x}^{2}}>0$ .
    b) $\exists x\in R:x>{{x}^{2}}$.
    c) $\exists x\in Q:4{{x}^{2}}-1=0$.
    d) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x+7>0$.
    e) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x-2<0$.
    f) $\exists x\in R:{{x}^{2}}=3$.
    g) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
    h) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+2n+5$ là số nguyên tố.
    i) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+n$ chia hết cho 2.
    k) $\forall n\in N,{{n}^{2}}-1$ là số lẻ.

    Bài 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

    a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.
    b) Nếu $a+b>0$ thì một trong hai số a và b phải dương.
    c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
    d) Nếu $a=b$ thì ${{a}^{2}}={{b}^{2}}$.
    e) Nếu $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$.

    Bài 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

    a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.
    b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
    c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
    d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.
    e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.

    Bài 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”:

    a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
    b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.
    c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
    d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
    e) Số tự nhiên $n$ là số lẻ khi và chỉ khi ${{n}^{2}}$ là số lẻ.

    Bài 12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:

    a) Nếu $a+b<2$ thì một trong hai số $a$ và $b$ nhỏ hơn $1$.
    b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn ${{60}^{0}}$.
    c) Nếu $x\ne -1$ và $y\ne -1$ thì $x+y+xy\ne -1$.
    d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn.
    e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
    f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
    g) Nếu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=0$ thì $x = 0$ và $y = 0$.

  • Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Các câu cảm thán, câu mệnh lệnh, câu hỏi đều không phải mệnh đề vì chúng không có tính đúng/sai một cách rõ ràng.

    Ngoài ra còn có những khẳng định mà tính đúng — sai của chúng chưa thể kiểm chứng được, chẳng hạn như khẳng định “Trên Sao Hỏa có sự sống.” Đây là một mệnh đề, vì nó chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai, mặc dù chúng ta chưa biết là nó đúng hay sai. Những mệnh đề dạng này có rất nhiều, một ví dụ nữa là định lí lớn Fermat. Tuy nhiên, cần phân biệt chúng với những phát biểu mà chúng ta không thể chỉ ra được nó đúng hay sai, xét ví dụ sau:

    “Tôi luôn luôn nói dối.”

    Đây không là một mệnh đề. Nếu đây là mệnh đề đúng, thì nghĩa là tôi luôn nói dối, do đó nội dung của câu nói trên phải ngược lại, tức là tôi luôn luôn nói thật! Còn nếu đây là mệnh đề sai thì nghĩa là tôi luôn luôn nói thật, mà tôi đã luôn luôn nói thật thì những câu tôi nói ra phải đúng, do đó câu tôi nói ở trên cũng phải đúng, tức là tôi luôn luôn nói dối! Có rất nhiều phát biểu dạng này, hãy xem xét câu chuyện sau:

    Trên đường đi cứu công chúa, hoàng tử phải đi qua một vương quốc có ông vô cùng vua tàn ác. Thật không may, chàng bị bắt và giải đến trước mặt nhà vua. Nhà vua tàn ác ra lệnh: “Bây giờ ta cho ngươi nói một câu. Nếu ngươi nói đúng thì bị chặt đầu, nếu ngươi nói sai thì bị treo cổ!” Hỏi rằng hoàng tử phải nói câu gì?

    phát biểu không phải mệnh đề

  • Bài tập Tập hợp Toán 10

    Bài tập Tập hợp Toán 10

    Bài tập Tập hợp Toán 10

    Phần lý thuyết, mời các em xem trong bài Tập hợp và các phép toán tập hợp

    Bài tập Tập hợp Toán 10

    Bài 1. Viết lại các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

    • $A=\left\{3k-1\mid k\in \mathbb{Z} , -5\leqslant k\leqslant 3\right\}$.
    • $B=\left\{x\in \mathbb{Z} \mid \mid x\mid <10\right\}$.
    • $C=\left\{x\in \mathbb{Z} \mid 3<\mid x\mid \leqslant \frac{19}{2}\right\}.$
    • $D=\left\{x\in\mathbb{Z} \mid 6x^2-5x-1=0\right\} $.
    • $E=\left\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-2x+4=0\right\}$.
    • $F=\left\{x=2k \mid k\in \mathbb{Z} \text{ và } -3<x<15\right\}$.
    • $G=\left\{(x;x^2)\mid x\in \left\{-1;0;1\right\}\right\}$.
    • $H=\left\{(x;y)\mid x^2+y^2\leqslant 2\text{ và } x\in \mathbb{Z} \right\}$.
    • $I=\left\{k\in \mathbb{Z} \mid x=3k\text{ với }x\in \mathbb{Z} \text{ và } -12<x\leqslant 6\right\}$.
    • $J=\left\{k\in \mathbb{N}\mid y=2k\text{ với }y\in \mathbb{Z} \text{ và } -4\leqslant y\leqslant 7\right\}$.
    • $K=\left\{k\in \mathbb{Z} \mid z=4k\text{ với }z\in \mathbb{Z} \text{ và } -16\leqslant z< 12 \right\}$.

    Bài 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng:

    • $ A= \left\{1,4,9,16,25,36\right\}. $
    • $ B= \left\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\right\}. $

    Bài 3. Cho $ A= \left\{1,2,3,4,5,6\right\}, B= \left\{2,4,6\right\}, C=\left\{4,6,8\right\}. $ Tìm các tập hợp:

    • $ A\cap B$
    • $B\cap C$
    • $C\cap A$
    • $A\cup B$
    • $B\cup C$
    • $C\cup A$
    • $ A\setminus B$
    • $ B\setminus C$
    • $ A \setminus C$
    • $A\cap B\cap C.$

    Bài 4. Cho $ A=\left\{x\in \mathbb{R}, \mid x-1\mid >2 \right\} $ và $ B=\left\{x\in \mathbb{R}, \mid x+2\mid \leqslant 1 \right\}. $ Tìm $ A\cap B$.

    Bài 5. [Công thức De Morgan]

    Chứng minh $ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $ và $ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C), $ với $ A,B,C $ là các tập hợp bất kì.

    Bài 6. Cho $ A,B,C $ là các tập hợp bất kì. Chứng minh rằng:

    • $ (A\setminus B)\cap (B\setminus A)=\varnothing \Leftrightarrow A=B$
    • $ A=(A\setminus B)\cup (A\cap B)$
    • $ (A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B) $

    Bài 7. Một số em của nhóm gồm 9 học sinh tham gia ngoại khóa các môn thể thao. Một học sinh tham gia môn cầu lông, sáu học sinh tham gia môn bóng bàn và môn bơi, ba học sinh tham gia môn bơi. Hỏi có bao nhiêu học sinh không tham gia cả ba môn bóng bàn, bơi, cầu lông?

    Hướng dẫn. Sử dụng biểu đồ Venn. Có 2 học sinh.

    Bài 8. Trong một lớp học mọi học sinh nam đều tham gia vào những câu lạc bộ: Bóng đá, bóng chuyền và cầu lông. Qua tìm hiểu thấy rằng: Có 7 em tham gia bóng đá, 6 em bóng chuyền, 5 em cầu lông, 4 em vừa bóng đá vừa bóng chuyền, 3 em vừa bóng đá vừa cầu lông, 2 em vừa bóng chuyền vừa cầu lông, 1 em tham gia cả ba câu lạc bộ. Vậy trong lớp học có bao nhiêu học sinh nam?

    Bài 9. Cho $A,B$ là hai tập hợp, $x\in A$ và $x\notin B$. Xét xem trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    • $x\in A\cap B$
    • $x\in A\cup B$
    • $x\in A\setminus B$
    • $x\in B\setminus A$

    Bài 10. Cho $A,B$ là hai tập phân biệt và khác rỗng. Xét xem trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    • $A\subset (B\setminus A)$
    • $A\subset A\cup B$
    • $A\cap B\subset A\cup B$
    • $A\setminus B\subset A$

    Bài 11. Tìm các tập hợp $A,B$ biết $A\cap B=\left\{0,1,2,3,4\right\};A\setminus B=\left\{-3,-2\right\}$ và $B\setminus A=\left\{6,9,10\right\}$.

    Bài 12. Cho các tập hợp:

    • $E=\left\{x\in \mathbb{N} \mid 1\leqslant x<7\right\}$
    • $A=\left\{x\in \mathbb{N} \mid (x^2-9)(x^2-5x-6)=0\right\}$
    • $B=\left\{x\in \mathbb{N} \mid x\text{ là số nguyên tố không quá 5}\right\}$

    Chứng minh $A\subset B;B\subset E$. Tìm $C_E A;C_E B;C_E (A\cap B)$.

    Bài 13. Cho các tập hợp:

    $$E=\left\{x\in\mathbb{Z} \mid \mid x\mid \leqslant 5 \right\}$$
    $$A=\left\{x\in\mathbb{N}\mid \mid x\mid \leqslant 5\right\}$$
    $$B=\left\{x\in\mathbb{Z}\mid (x-2)(x+1)(2x^2-x-3)=0\right\}$$

    • Chứng minh $A\subset E$ và $B\subset E$.
    • Tìm $C_{E}(A\cup B)$ và $C_{E}(A\cap B)$.
    • Chứng minh $C_{E}(A\cup B)\subset C_{E}A$.

    Bài 14.  Chứng minh rằng:

    • Nếu $A\subset B$ và $C\subset D$ thì $(A\cup B)\subset (C\cup D)$.
    • $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.
    • $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

    Bài 15. Cho các tập $$A=\left\{x\in\mathbb{R}\mid 1\leqslant x\leqslant 5\right\}$$ $$B=\left\{x\in \mathbb{R}\mid 4\leqslant x\leqslant 7\right\}$$ $$C=\left\{x\in\mathbb{R}\mid 2\leqslant x<6\right\}$$

    • Tìm các tập sau: $A\cap B;\;A\cap C;\;B\cap C;\;A\cup C;\;A\setminus (B\cup C)$.
    • Gọi $D=\left\{x\in R\mid a\leqslant x\leqslant b\right\}$. Hãy xác định $a,b$ để $D\subset (A\cap B\cap C)$.

    Bài 16. Cho $A=\left\{x\in \mathbb{R}\mid x\leqslant -3\text{ hoặc } x>6\right\}$ và $B=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^2-25\leqslant 0\right\}$.

    Tìm các tập sau:

    • $A\setminus B$,
    • $B\setminus A$,
    • $\mathbb{R} \setminus (A\cup B)$,
    • $ \mathbb{R} \setminus (A\cap B)$,
    • $ \mathbb{R} \setminus (A\setminus B)$.

    Bài 17. Cho $C=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant a\right\}$ và $D=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant b\right\}$. Xác định $a,b$ biết rằng $C\cap B$ và $D\cap B$ là các đoạn có độ dài lần lượt bằng 7 và 9.

    Bài 18. Kí hiệu $n(X)$ là số phần tử của tập hợp $X$. Cho hai tập hợp $ A $ và $ B $, biết $n(A)=25;n(B)=29;n(A\cup B)=41$. Tính $n(A\cap B); n(A\setminus B); n(B\setminus A)$.

    Bài tập các tập hợp số

    Bài 1. Xác định tập hợp $A\cap B, A\cup B$ với:

    • $A=[1;5]$ và $B=(-3;2)\cup (3;7)$.
    • $A=(-5;0)\cup (3;5)$ và $B=(-1;2)\cup (4;6]$.

    Bài 2. Dùng kí hiệu khoảng đoạn tìm tập nghiệm của các hệ bất phương trình sau và biểu diễn chúng trên trục số:

    • $ \begin{cases} 2x>12\\4-x>-6 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} 2x+3<7x\\x>3 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} 3(x-2)<12\\2(x+5)<10 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} \mid x\mid >3\\2x-2>0 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} \mid x\mid <2\\4-3x>13 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} x-2>11x\\-3x>-6 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} x>3\\2-x>-6\\3x-1<23 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} -2x\geqslant 6\\4+x>6 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} x^2>0\\4x\geqslant 0 \end{cases} $

    Bài 3. Biểu diễn trên trục số và thực hiện các phép toán sau:

    • $\left( 1;5 \right)\cap \left( -1;3 \right)$
    • $\left( 2;5 \right)\cap \left[ -1;4 \right]$
    • $\left[ 2;7 \right)\cap \left\{ 2;4;7;8;9 \right\}$
    • $\left[ 2;3 \right]\cap \left( -\infty ;3 \right)$
    • $\left( 3;5 \right)\cap \left[ -4;5 \right]\cap \left\{ 2;3;5 \right\}$
    • $\left( 1;4 \right)\cap \left[ 2;7 \right)$
    • $\left( -1;1 \right)\cap \left[ -5;3 \right]$
    • $\left( -1;1 \right]\cap \left[ 1;5 \right]$
    • $\left( -2;5 \right)\cap \left[ -1;6 \right)\cap \left[ 0;8 \right]$
    • $\left( 2;4 \right)\cap \mathbb{R} \cap \left[ -2;6 \right]$
    • $\left( 1;5 \right)\cup \left( -1;2 \right)$
    • $\left( 2;5 \right)\cup \left[ -1;4 \right]$
    • $\left[ 2;7 \right)\cup \setminus \left\{ 2;4;7;8;9 \right\}$
    • $\left[ -1;4 \right]\cup \left( -\infty ;4 \right)$
    • $\left( 3;5 \right)\cup \left[ -4;5 \right]\cup \setminus\left\{ 2;3;5 \right\}$
    • $\left( 0;4 \right)\cup \left[ 2;7 \right)$
    • $\left( -3;2 \right)\cup \left[ 2;5 \right]$
    • $\left( -1;1 \right]\cup \left[ -1;5 \right]$
    • $\big(\left[ -1;2 \right]\cup \left( -1;2 \right)\big)\cap \left( 2;+\infty \right)$
    • $\big(\left(-\infty;-2 \right]\cup \left(2; +\infty \right)\big)\cap \left[-5;+\infty \right)$
    • $\left( 2;4 \right)\cup \mathbb{R} \cup \varnothing$
    • $\left( 1;5 \right)\setminus\left( -1;2 \right)$
    • $\left( 2;5 \right)\setminus\left[ -1;4 \right]$
    • $\left[ 2;7 \right)\setminus\left\{ 2;4;7;8;9\right\}$
    • $\left[ -1;4 \right]\setminus\left( -\infty ;4 \right)$
    • $\left[ 3;+\infty \right]\setminus\left( 3;+\infty \right)$
    • $\left( -\infty ;1 \right]\setminus\left[ -1;1 \right]$
    • $\mathbb{R}\setminus\left( 2;+\infty \right)$

    Bài 4. Tìm $ m $ sao cho $ (m-7,2)\subset (-4,3). $

    Bài 5. Tùy theo $ m, $ hãy tìm $ (-\infty,m]\cap(5,+\infty). $

    Bài 6. Cho hai tập hợp $A=\left( m;m+5 \right)$ và $B=\left( 3m+2;3m+7 \right)$ trong đó $ m $ là một số thực bất kì. Tìm điều kiện của $ m $ để:

    • Tập hợp $ A $ là một tập hợp con của tập hợp $ B $.
    • Giao của hai tập hợp $ A $ và $ B $ là tập hợp rỗng.
    • Hợp của hai tập hợp $ A $ và $ B $ là tập hợp $ A $.
    • Hiệu của hai tập hợp $ A $ và $ B $ theo thứ tự đó là tập hợp rỗng.

    Hướng dẫn.
    1. $m=-1$, \quad 2. $m\in \left( -\infty ;-\frac{7}{2} \right]\cup \left[ -\frac{3}{2};+\infty \right)$,\quad 3. $m=-1$,\quad 4. $m\in \left( -\infty ;-\frac{7}{2} \right]\cup \left[ -\frac{3}{2};+\infty \right)$.

    Bài 7. Cho $ A=(a;a+1) $ và $ B=(2015;2018).$ Tìm $ a $ để tập $ A\cup B $ là một khoảng.

    Hướng dẫn. $ 2015\leqslant a\le2017 $.

    Bài 8. Cho hai đoạn $ A=[a;a+2] $ và $ B=[b;b+1]. $ Tìm điều kiện của $ a,b $ để tập $ A\cap B\ne \varnothing. $

    Hướng dẫn. $ -2<a-b<1 $.

    Bài 9. Cho $ A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-1|>2\} $ và $ B=\{x\in \mathbb{R}\mid |x+2|<1 \} $. Tìm $ A\cap B. $

    Bài 10. Cho $ A=(a;a+1) $ và $ B=(2010;2012) $. Tìm $ a $ để $ A\cap B $ là một khoảng.

    Bài 11. Cho $a,b,c$ là các số thực và $a<b<c$. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $(a;b)\cap (b;c)$
    • $(a;b)\cup (b;c)$
    • $(a;c)\setminus (b;c)$
    • $(a;b)\setminus (b;c)$

    Bài 12. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $(-\infty;3]\cap (-2;+\infty)$
    • $(-15;7)\cup (-2;14)$
    • $(0;12)\setminus [5;+\infty)$
    • $\mathbb{R} \setminus (-1;1)$

    Bài 13. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $\mathbb{R} \setminus \big((0;1)\cup (2;3)\big)$
    • $\mathbb{R} \setminus \big((3;5)\cap (4;6)\big)$
    • $(-2;7)\setminus [1;3]$
    • $\big((-1;2)\cup (3;5)\big)\setminus (1;4)$

    Bài 14. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $(-3;5]\cap \mathbb{Z} $
    • $(1;2)\cap \mathbb{Z} $
    • $(1;2]\cap \mathbb{Z} $
    • $[-3;5]\cap \mathbb{N} $

    Bài 15. Tìm tập hợp $X$ sao cho $\left\{a,b\right\}\subset X\subset \left\{a,b,c,d,e\right\}$.

    Bài 16.  Viết phần bù trong $\mathbb{R} $ của các tập hợp sau:

    • $A=\left\{x\in \mathbb{R} \mid -2\leqslant x<7\right\}$.
    • $B=\left\{x\in \mathbb{R} \mid \mid x\mid >2\right\}$.
    • $C=\left\{x\in \mathbb{R} \mid -4\leqslant x+3<5\right\}$.

    Bài 17. Cho $A=\left\{1,2\right\}$ và $B=\left\{1,2,3,4,5\right\}$. Xác định các tập hợp $X$ sao cho $A\cup X=B$.

  • Bài tập Mệnh đề toán học

    Bài tập Mệnh đề toán học

    Bài tập Mệnh đề toán học

    Để làm được các Bài tập Mệnh đề toán học này, các em học sinh cần nắm vững lý thuyết ở bài Mệnh đề toán học.

    Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, nếu là mệnh đề thì xét xem nó đúng hay sai?

    • “Số 11 là số nguyên tố.”
    • “Vai trò của Quốc Hội là gì?”
    • “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.”
    • “$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.”
    • “$ \forall n\in \mathbb{N}, n^2+n $ là số chẵn.”
    • “$ \forall n\in \mathbb{N}, 2n^2+1 $ chia hết cho 3.”
    • “Tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhỏ hơn 60$ ^\circ $.”
    • “Tồn tại một hình thang có ba góc tù.”

    Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:

    • Mọi hình vuông đều là hình thoi.
    • Có một tam giác cân không là tam giác đều.
    • Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3.
    • $ \forall x\in \mathbb{R}, f(x)>0 \Rightarrow f(x)\leqslant 0$ vô nghiệm.
    • Phương trình $ x^2+1=0 $ vô nghiệm và phương trình $ x+3=0 $ có nghiệm.

    Bài 3.  Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2+1>0 $,
    • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2-3x+2=0$,
    • $ \exists n\in \mathbb{N}, n^2+2 $ chia hết cho 4,
    • $ \exists n\in \mathbb{Q}, 2n+1\ne 0$,
    • $ x\leqslant 0 $ hoặc $ x>1$,
    • $ 1<x<3. $

    Bài 4. Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$. Xét mệnh đề: “Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $”. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Nêu một điều kiện cần và đủ để phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $.

    Bài 5. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”.

    • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.
    • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
    • Nếu một số tự nhiên tận cùng là 5 thì số đó chia hết cho 5.

    Bài 6. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”.

    • Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
    • Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
    • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

    Bài 7. Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng. Biết rằng cuốn bọc bìa màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì.

    Hướng dẫn. Lập bảng dữ kiện. Đáp số: Văn màu xanh, Toán màu đỏ, Địa lí màu vàng.

    Bài 8. Trong một bảng đấu loại bóng đá có bốn đội Mùa Xuân, Mùa Hạ, Mùa Thu và Mùa Đông. Người ta đưa ra 3 dự đoán:

    • Đội Mùa Xuân nhì, đội Mùa Hạ nhất.
    • Đội Mùa Hạ nhì, đội Mùa Đông ba.
    • Đội Mùa Thu nhì, đội Mùa Đông tư.

    Kết quả cả ba dự đoán đều có một ý đúng, một ý sai. Hãy xác định thứ tự của mỗi đội.

    Bài 9. Có ba nhà triết gia Hy-Lạp cổ, sau một cuộc tranh luận căng thẳng và cũng vì trời hè nóng nực nên đã nằm ngủ dưới gốc cây trong vườn của Viện Hàn lâm. Có mấy thợ thông lò đi qua tinh nghịch đã bôi nhọ lên trán cả ba triết gia. Khi ba nhà thông thái tỉnh dậy, họ nhìn nhau và cùng phá lên cười. Ai cũng yên chí rằng chỉ có hai người kia bị nhọ và họ cười nhau, còn mình thì cười họ. Thế nhưng, trong khoảnh khắc, một triết gia không cười nữa vì ông ta suy đoán ra trên trán ông ta cũng bị nhọ. Vậy nhà thông thái đó suy luận như thế nào?

    Bài 10. Đến một ngôi đền cổ có ba vị thần: Thần Thật Thà luôn nói thật, thần Dối Trá luôn nói dối và thần Khôn Ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Để biết cách tiêu diệt rồng lửa cứu công chúa, hoàng tử phải hỏi vị thần Thật Thà. Nhưng ba vị thần trông giống hệt nhau. Để xác định vị nào là thần Thật Thà, chàng đã hỏi vị thần bên trái:

    – Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Thật Thà.

    Hoàng tử hỏi thần ngồi giữa: – Ngài là ai? Ta là thần Khôn Ngoan.

    Sau cùng chàng hỏi thần bên phải: Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Dối Trá.

    Nghe xong, hoàng tử bối rối không xác định được đâu là thần Thật Thà. Bạn hãy giúp hoàng tử!

    Bài 11. [Câu đố của Einstein] Vào cuối thế kỉ 19, Einstein ra câu đố này và nói rằng chỉ có nhiều nhất là 2% dân số trên thế giới giải được. Bạn có muốn vào con số ít ỏi thế không? Nếu giải được thì chỉ số IQ của bạn không dưới 140 đâu nhé.

    câu đố của einstein

    Có 5 ngôi nhà, mỗi nhà có một màu khác nhau. Trong mỗi nhà ở một người có quốc tịch khác nhau. Mỗi người chỉ thích một loại nước uống, hút thuốc một hãng và nuôi một con vật trong nhà. Cả 5 người không cùng thích một loại nước uống, hút thuốc cùng một hãng hay nuôi cùng một con vật trong nhà như người hàng xóm của mình. Câu hỏi: Ai nuôi cá?, biết rằng:

    • Người Anh ở trong nhà màu đỏ.
    • Người Thuỵ Điển nuôi chó.
    • Người Đan Mạch thích uống trà.
    • Ngôi nhà màu xanh lá cây nằm bên trái ngôi nhà màu trắng.
    • Người ở nhà màu xanh lá cây thích uống cà phê.
    • Người hút thuốc hiệu Pall Mall nuôi chim.
    • Người ở nhà màu vàng hút thuốc hiệu Dunhill.
    • Người ở nhà nằm giữa thích uống sữa.
    • Người Na-uy ở nhà đầu tiên.
    • Người hút thuốc hiệu Blends ở cạnh nhà người có nuôi mèo.
    • Người có nuôi ngựa ở cạnh nhà người hút thuốc hiệu Dunhill.
    • Người hút thuốc hiệu Blue Master thích uống bia.
    • Người Đức hút thuốc hiệu Prince.
    • Người Na-uy ở cạnh nhà màu xanh lơ.
    • Người hút thuốc hiệu Blends có người hàng xóm thích uống nước khoáng.

    Hướng dẫn. Mời các em xem lời giải tại đây Ai là người nuôi cá? Câu đố của Einstein 98% dân số thế giới không giải được!

    Bài 12. [SASMO 2015] Albert, Bernard vừa kết bạn với Cheryl và họ muốn biết ngày sinh nhật của cô. Cheryl đã đưa cho họ một danh sách với 10 ngày là: 15/5, 16/5, 19/5, 17/6, 18/6, 14/7,16/7, 14/8, 15/8 và 17/8.

    Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

    Cheryl sau đó đã nói riêng với Albert về tháng và Bernard về ngày sinh của mình.

    Albert: Bài Tôi không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào nhưng tôi biết Bernard cũng không biết nhiều hơn.

    Bernard: Bài Lúc đầu tôi không biết sinh nhật Cheryl nhưng bây giờ thì tôi đã biết.

    Albert: Bài Bây giờ tôi cũng biết sinh nhật Cheryl là ngày nào.

    Vậy, Cheryl sinh nhật vào ngày nào?

    Hướng dẫn. Mời bạn xem lời giải tại đây Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

    Bài 13. Một người nông dân phải đưa một con sói, một con dê và một bắp cải qua sông bằng một chiếc thuyền. Tuy nhiên thuyền của anh ta quá nhỏ, do đó, mỗi lần qua sông anh chỉ mang được mỗi một trong ba đồ vật trên đi cùng với anh ta. Hỏi làm thế nào anh nông dân có thể mang tất cả ba đồ vật trên qua sông, biết rằng con sói không thể để lại ở một mình với con dê, còn con dê thì không thể để ở lại một mình với bắp cải.

    Bài 14. Trong bốn đồng tiền có ba đồng tiền thật khối lượng như nhau và một đồng tiền giả có khối lượng khác. Làm thế nào để tìm được đồng tiền giả bằng hai lần cân, sử dụng cân có hai đĩa và không có quả cân.

    Hướng dẫn. Lần cân thứ nhất, đặt nên mỗi quả cân một đồng tiền…

    Bài 15. Có 16 chai rượu trong đó có một chai rượu giả, nhẹ hơn tất cả các chai còn lại. Làm thế nào chỉ ba lần cân xác định được chai nào giả?

    Hướng dẫn. Chia 16 chai rượu thành 3 nhóm: 2 nhóm 6 và 1 nhóm 4.

    Bài 16. Làm thế nào để lấy được 6 lít nước từ sông về, nếu trong tay chỉ có hai cái thùng, một thùng dung tích 4 lít, một thùng dung tích 9 lít và không thùng nào có vạch chia dung tích?

    Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b) $ là trạng thái thùng $ 4 $ lít đang chứa $ a $ lít $ (0\leqslant a \leqslant 4) $ và thùng 9 lít đang chứa $ b $ lít $ (0\leqslant b\leqslant 9). $ Khi đó việc lấy 6 lít nước từ sông về được diễn tả qua các trạng thái sau:

    (0,0) ➡️ (0,9)➡️(4,5) ➡️ (0,5) ➡️ (4,1) ➡️ (0,1) ➡️ (1,9) ➡️(4,6)

    Bài 17. Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng đó thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 8 lít, nếu chỉ dùng thêm một can 11 lít và một can 6 lít?

    Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b,c) $ là trạng thái can 16 lít chứa $ a $ lít xăng, can 11 lít chứa $ b $ lít xăng và can 6 lít chứa $ c $ lít xăng.
    Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bằng nhau được diễn tả qua các trạng thái sau:

    (16,0,0) ➡️ (10,0,6) ➡️(10,6,0) ➡️ (4,6,6) ➡️ (4,11,1)➡️ (15,0,1)➡️ (15,1,0) ➡️
    (9,1,6) ➡️(9,7,0) ➡️(3,7,6)➡️(3,11,2) ➡️(14,0,2) ➡️(14,2,0)➡️(8,2,6)➡️(8,8,0).

    Bài 18. Chứng minh rằng nếu $n^2 $ là số chẵn thì $ n $ cũng là số chẵn.

    Bài 19. Chứng minh rằng $ \sqrt{2} $ là số vô tỷ.

    Bài 20. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố.

    Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp phản chứng của Euclide.

    Bài 21. Chứng minh rằng nếu $ x^2+y^2=0 $ thì $ x=0 $ và $ y=0. $

    Bài 22. Chứng minh các định lí sau:

    1. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ là số lẻ thì $ n $ là số lẻ.
    2. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ chia hết cho 3 thì $ n $ chia hết cho 3.
    3. Nếu $ a,b,c $ là ba cạnh tam giác vuông ($ a $ là cạnh huyền) thì $ b $ hay $ c $ chia hết cho 3.

    Hướng dẫn. Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

    1. Giả sử ngược lại, $ n $ là số chẵn, thế thì $ n = 2k. $ Suy ra: $ n^2 = 4k^2 $ là số chẵn: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

    2. Giả sử ngược lại, $ n $ không chia hết cho 3 tức $ n = 3k\pm 1. $ Khi đó: \[ n^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1 \] Tức là $ n^2 $ cũng không chia hết cho 3. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

    3. Giả sử ngược lại, $ b $ và $ c $ không chia hết cho 3, thế thì: $ b = 3m\pm 1 , c = 3n\pm 1.$ Suy ra: \[ b^2 + c^2 = 9(m^2 + n^2 ) \pm 6m \pm 6n + 2 \] Số này chia cho 3 thì dư 2, trong khi:

    • Nếu $ a=3k $ thì $ a^2 $ chia hết cho 3.
    • Nếu $ a=3k\pm 1 $ thì $ a^2=3(3k^2\pm 2k)+1 $ chia cho 3 dư 1.

    Do đó $ a^2 $ luôn không có dạng khác $ 3k + 2 $, nên mệnh đề: $ a^2 = b^2 + c^2 $ là sai. Dẫn tới điều giả sử là sai, tức là mệnh đề đã cho là đúng.

    Bài 23. Có 50 đôi tất giống hệt nhau, nhưng bị xếp lộn xộn ở trong tủ. Hỏi phải lấy ít nhất mấy chiếc tất để được một đôi?

    Bài 24. Trên đường tròn có bán kính là 100 m, lấy 630 điểm tùy ý. Chứng minh rằng có ít nhất hai điểm cách nhau không đến 1 m.

    Hướng dẫn. Giả sử không có hai điểm nào cách nhau dưới 1 m , tức mọi cặp điểm đều cách nhau 1 m trở lên. Vì độ dài cung luôn lớn hơn độ dài dây cung, nên chu vi đường tròn sẽ lớn hơn tổng độ dài của 630 dây cung, mỗi dây cung đều dài từ 1 m trở lên. Do đó chu vi đường tròn sẽ lớn hơn 630 m. Nhưng đường tròn có bán kính là 100 m, nên chu vi phải là $ 2\pi R = 200\cdot3,1415.< 630$m: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức mệnh đề đã cho là đúng.

    Bài 25. Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 101 điểm. Chứng minh rằng có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường tròn bán kính $ 1/7. $

    Hướng dẫn. Chia hình vuông ra làm 25 hình vuông bằng nhau, mỗi cạnh của hình vuông là 0,2. Vì có 101 điểm, mà chỉ có 25 hình vuông, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hình vuông nhỏ chứa ít nhất năm điểm (trong 101 điểm đã cho). Vì hình vuông này nội tiếp trong đường tròn bán kính $ R<1/7 $