O₂ Education

Category: Toán 10

  • Các bất đẳng thức thường sử dụng

    Các bất đẳng thức thường sử dụng

    Các bất đẳng thức thường sử dụng

    1. Các bất đẳng thức thường sử dụng

    Bất đẳng thức AM-GM

    Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó $$a_1+a_2+\cdots +a_{n}\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n$.

    các bất đẳng thức thường sử dụng
    Chứng minh bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm bằng hình học

    Bất đẳng thức AM-GM suy rộng

    Cho $p_1,p_2\ldots p_n$ là các số thực dương thỏa $$p_1+p_2+\cdots +p_n=1.$$ Với $a_1,a_2\ldots a_n$ là các số thực không âm thì ta có $$p_1a_1+p_2a_2+\cdots +p_na_n\ge a_1^{p_1}a_2^{p_2}\ldots a_n^{p_n}.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n.$

    Bất đẳng thức AM-HM

    Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó $$\left(a_1+a_2+\cdots +a_n \right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}\cdots +\dfrac{1}{a_n} \right)\ge n^2$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n.$

    Bất đẳng thức Bernoulli

    Với số thực $x\ge -1$, ta có:

    • $(1+x)^r\ge 1+rx $ khi $r\ge 1$ hoặc $r\le 0$
    • $(1+x)^r\le 1+rx $ khi $0\le r\le 1$

    Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

    Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ và $b_1,b_2,\ldots ,b_n$, ta có $$\left(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2\right)\ge \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\right)^2.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}.$

    Bất đẳng thức Hölder

    Cho $x_{ij}$ là các số thực không âm (với $i=\overline{1;m}, \ \ j=\overline{1;n}$ ), khi đó ta có $$\prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^n x_{ij}\right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}x_{ij}} \right)^m.$$

    Bất đẳng thức Chebyshev

    Cho $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$ là các số thực.

    1. Nếu $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_n$ thì $$n\sum_{i=1}^na_ib_i\ge\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$
    2. Nếu $b_1\le b_2\le\cdots\le b_n$ thì $$n\sum_{i=1}^na_ib_i\le\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$

    Bất đẳng thức hoán vị

    Cho $a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_n$ là hai dãy số thực và $(z_1,z_2,\ldots ,z_n)$ là hoán vị nào đó của $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$. Khi đó ta có:

    1. Nếu $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_n$ thì $$a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\ge z_1b_2+z_2b_2+\cdots +z_nb_n.$$
    2. Nếu $b_1\le b_2\le\cdots\le b_n$ thì $$a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\le z_1b_2+z_2b_2+\cdots +z_nb_n.$$

    Bất đẳng thức Maclaurin và bất đẳng thức Newton

    Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó:

    1. (Maclaurin) $S_1\ge S_2\ge \cdots\ge S_n$
    2. (Newton) $S_k^2\ge S_{k-1}S_{k+1}$

    với $$S_{k}=\sqrt[k]{\dfrac{\displaystyle\sum_{1\le i_1< i_2<\cdots <i_n}^n a_{i_1}a_{i_2}\ldots a_{i_n} }{ C_{n}^k}}.$$

    Bất đẳng thức Karamata

    Cho hai bộ số $(x_1,x_2\ldots ,x_n)$ và $(y_1,y_2\ldots ,y_n)$ với $(x_1,x_2\ldots ,x_n)\succ\succ(y_1,y_2\ldots ,y_n)$ sao cho $x_i,y_i\in \mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$. Nếu hàm số $f$ xác định lồi trên khoảng $\mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$ thì
    $$f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\ge f(y_1)+f(y_2)+\cdots +f(y_n).$$

    Ghi chú: $$(x_1,x_2\ldots ,x_n)\succ\succ(y_1,y_2\ldots ,y_n)\Leftrightarrow\begin{cases}x_1\ge y_1\\
    x_2+x_2\ge y_1+y_2\\
    \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\
    x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}\ge y_1+y_2+\cdots +y_{n-1}\\
    x_1+x_2+\cdots +x_{n}= y_1+y_2+\cdots +y_{n}\end{cases}$$

    Bất đẳng thức Popoviciu

    Cho hàm số $f$ xác định lồi trên khoảng $\mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$. Khi đó với $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{I}$ thì
    $$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)+n(n-2)f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)\ge (n-1)\left[f(b_1)+f(b_2)+\cdots +f(b_2)\right],$$ với $$b_i=\dfrac{1}{n-1}\sum_{j\neq i}a_j \ \ ,\ \ i=\overline{1;n}.$$

    Bất đẳng thức Schur

    • Cho các số thực không âm $a,b,c$ và số thực dương k, khi đó ta có $$a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\ge 0,$$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0$ và $b=c$ hoặc một vài hoán vị.
    • Với $k=1$ chúng ta thu được một vài phát biểu quen thuộc sau: $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
      $$(a+b+c)^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$ $$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge 2(ab+bc+ca)$$ $$\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c} +\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2.$$

    Bất đẳng thức Vornicu-Schur

    Cho các số thực không âm $a,b,c,x,y,z$ sao cho $(a,b,c)$ và $(x,y,z)$ đều là các bộ đơn điệu. Khi đó ta có $$x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)+z(c-a)(c-b)\ge 0$$

    Bất đẳng thức Vasc

    Với mọi số thực $a,b,c$, ta có $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a). $$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $\dfrac{a}{sin^2\dfrac{4\pi}{7}}=\dfrac{b}{sin^2\dfrac{2\pi}{7}}=\dfrac{c}{sin^2\dfrac{\pi}{7}}$, (hoặc một vài hoán vị).

    Bất đẳng thức Vasc

    Cho $f_{n}(a,b,c)$ là một đa thức đối xứng bậc $n=3$, $n=4$, $n=5.$

    1. Với $a,b,c$ các số thực thì $f_{4}(a,b,c)\ge 0$ khi và chỉ khi $f_{4}(a,1,1)\ge 0$
    2. Với $a,b,c$ các số thực không âm thì $f_{n}(a,b,c)\ge 0$ khi và chỉ khi $f_{n}(a,1,1)\ge 0$ và $f_{n}(0,b,c)\ge 0$.

    Bất đẳng thức $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\ge 0$

    Với các số thực $a,b,c$, ta có $$27(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2= 4(p^2-3q)^3-(2p^3-9pq+27r)^2\ge 0,$$ từ đây ta có
    $$ \dfrac{-2p^3+9pq-2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27} \le r\le \dfrac{-2p^3+9pq+2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27} $$

    2. Một số tiêu chuẩn khi chứng minh bất đẳng thức

    SOS

    Cho các số thực không âm thỏa $a\ge b\ge c $ và cần chứng minh $$f(a,b,c)=(a-b)^2S_c+(b-c)^2S_a+(c-a)^2S_b\ge 0.$$
    Sau đấy chúng ta sẽ tạo ra một vài tiêu chuẩn thường sử dụng:

    1. Tiêu chuẩn 1. Nếu $S_a,S_b,S_c\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$ là hiển nhiên.
    2. Tiêu chuẩn 2. Nếu $S_b\ge 0$ và $S_b+S_c\ge 0$ và $S_a+S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy $$(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)\ge (a-b)^2+(b-c)^2,$$
      do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (a-b)^2(S_b+S_c)+(b-c)^2(S_a+S_b)\ge 0,$$ do đó để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $S_b+S_c\ge 0$ và $S_a+S_b\ge 0$.
    3. Tiêu chuẩn 3. Nếu $S_b\le 0$ và $S_a+2S_b\ge 0$ và $S_c+2S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy $$(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)\le 2\left[(a-b)^2+(b-c)^2 \right]$$ do đó ta có
      $$f(a,b,c)\ge (a-b)^2(S_c+2S_b)+(b-c)^2(S_a+2S_b),$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $S_c+2S_b\ge 0$ và $S_a+2S_b\ge 0$.
    4. Tiêu chuẩn 4. Nếu $S_b,S_c\ge 0$ và $b^2S_a+a^2S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy theo bất đẳng thức tỉ lệ thì $$\dfrac{a-c}{b-c}\ge \dfrac{a}{b},$$ do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (b-c)^2S_a+\dfrac{(b-c)^2a^2}{b^2}S_b,$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $b^2S_a+a^2S_b\ge 0.$
    5. Tiêu chuẩn 5. Nếu $S_b,S_c\ge 0$ và $b(b-c)S_a+a(a-c)S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
      Thật vậy theo bất đẳng thức tỉ lệ thì $$\dfrac{a-c}{b-c}\ge \dfrac{a}{b},$$ do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (b-c)^2S_a+\dfrac{(b-c)^2a(a-c)}{b(b-c)}S_b,$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $b(b-c)S_a+a(a-c)S_b\ge 0.$

    Tiêu chuẩn Vornicu-Schur

    \begin{aligned}x(a-b)(a-c)&+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)=\left[a\sqrt{x}-(\sqrt{x}+\sqrt{z})b+c\sqrt{z} \right]^2+\\
    &+(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(a-b)(b-c)+2\sqrt{y}(a-b)(b-c)(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z})\end{aligned}

  • Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

    Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

    Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

    1. Hàm số bậc nhất là gì?

    Hàm số bậc nhất   đối với biến số $x$ là hàm số có dạng $y = ax + b$ trong đó $a\ne  0$.

    Tập xác định: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$.

    Xem thêm: Cách tìm tập xác định của hàm số

    Sự biến thiên:

    • Khi $a > 0$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
    • Khi $a < 0$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

    Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng có hệ số góc bằng $a$, cắt trục tung tại điểm có toạ độ $(0; b)$, cắt trục hoành tại điểm có toạ độ $(-\frac{b}{a};0)$.

    Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b

    2. Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số bậc nhất

    Cho hai đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d’: y = a’x + b’$:

    • $d$ song song $d’$ khi và chỉ khi $a = a’$ và $b\ne b’$.
    • $d$ trùng $d’$ khi và chỉ khi $a = a’$ và $b=b’$.
    • $d$ cắt $d’$ khi và chỉ khi $a \ne a’$.
    • $d$ vuông góc $d’$ khi và chỉ khi $a\cdot a’=-1$.

    3. Hàm số y = b

    Trong trường hợp đặc biệt, khi $a=0$ thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số hằng (hàm hằng) có đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0;b)$ như hình dưới đây:

    đồ thị hàm số hằng, hàm hằng y = b, y=m

    4. Hàm số $y=\left| ax+b \right|$

    Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối chúng ta viết lại hàm số $y=\left| ax+b \right|$ dưới dạng $$y=\begin{cases} ax+b& \text{khi } x\ge -\frac{b}{a} \\ -(ax+b)&\text{khi } x<-\frac{b}{a} \end{cases} $$

    Để vẽ đồ thị của hàm số $y=\left| ax+b \right|$ ta có thể vẽ hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = –ax – b$, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.

    Đồ thị hàm số $y=\left| ax+b \right|$ có dạng như hình vẽ sau:

    đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

    5. Bài tập Toán 10 Hàm số bậc nhất $y=ax+b$

    Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

    a) $y=2x-7$
    b) $y=-3x+5$
    c) $y=\frac{x-3}{2}$
    d) $y=\frac{5-x}{3}$

    Bài 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:

    a) $y=3x-2;y=2x+3$
    b) $y=-3x+2;y=4(x-3)$
    c) $y=2x;y=-x-3$
    d) $y=\frac{x-3}{2};y=\frac{5-x}{3}$

    Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị $k$ để đồ thị của hàm số $y=-2x+k(x+1)$:

    1. Đi qua gốc tọa độ $O$
    2. Đi qua điểm $M(–2 ; 3)$
    3. Song song với đường thẳng $y=\sqrt{2} x$

    Bài 4. Xác định $a$ và $b$ để đồ thị của hàm số $y=ax+b$:

    1. Đi qua hai điểm $A(–1; –20), B(3; 8)$.
    2. Đi qua điểm $M(4; –3)$ và song song với đường thẳng $d: y=-\frac{2}{3}x+1$.
    3. Cắt đường thẳng $d_1: y=2x+5$ tại điểm có hoành độ bằng $–2$ và cắt đường thẳng $d_2:y=3x+4$ tại điểm có tung độ bằng $–2$.
    4. Song song với đường thẳng $y=\frac{1}{2}x$ đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x+1$ và $y=3x+5$.

    Bài 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của $m$ sao cho ba đường thẳng sau phân biệt và đồng qui:

    1. $y=2x;y=-x-3;y=mx+5$
    2. $y=5(x+1);y=mx+3;y=3x+m$
    3. $y=2x-1;y=8-x;y=(3-2m)x+2$
    4. $y=(5-3m)x+m-2;y=-x+11;y=x+3$
    5. $y=-x+5;y=2x-7;y=(m-2)x+{{m}^{2}}+4$

    Bài 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù $m$ lấy bất cứ giá trị nào:

    1. $y=2mx+1-m$
    2. $y=mx-3-x$
    3. $y=(2m+5)x+m+3$
    4. $y=m(x+2)$
    5. $y=(2m-3)x+2$
    6. $y=(m-1)x-2m$

    Bài 7. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?

    1. $y=(2m+3)x-m+1$
    2. $y=(2m+5)x+m+3$
    3. $y=mx-3-x$
    4. $y=m(x+2)$

    Bài 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây:

    1. $3y-6x+1=0$
    2. $y=-0,5x-4$
    3. $y=3+\frac{x}{2}$
    4. $2y+x=6$
    5.  $2x-y=1$
    6. $y=0,5x+1$

    Bài 9. Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:

    1. $y=(3m-1)x+m+3;y=2x-1$
    2. $y=\frac{m}{1-m}x+\frac{2(m+2)}{m-1};y=\frac{3m}{3m+1}x-\frac{5m+4}{3m+1}$
    3. $y=m(x+2);y=(2m+3)x-m+1$

    Bài 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

    1. $y= \begin{cases}  -x&\text{khi }x\le -1 \\  1&\text{khi }-1<x<2 \\ x-1&\text{khi }x\ge 2 \\
      \end{cases} $
    2. $y= \begin{cases} -2x-2&\text{khi }x<-1 \\ 0&\text{khi }-1\le x\le 2 \\ x-2&\text{khi }x\ge 2 \\ \end{cases} $
    3. $y=\left| 3x+5 \right|$
    4. $y=-2\left| x-1 \right|$
    5. $y=-\frac{1}{2}\left| 2x+3 \right|+\frac{5}{2}$
    6.  $y=\left| x-2 \right|+\left| 1-x \right|$
    7. $y=\left| x \right|-\left| x-1 \right|$
    8. $y=x+\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|$

  • Bài tập trắc nghiệm Tổng của hai véc-tơ

    Bài tập trắc nghiệm Tổng của hai véc-tơ

    Các em truy cập link sau để làm https://forms.office.com/r/5YjEdbDtxp hoặc làm trực tiếp ở phần dưới đây

  • Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

    Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

    Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

    Phần lý thuyết, mời thầy cô và các em xem trong bài Tích vô hướng của hai vectơ. Dưới đây là các bài tập tự luyện.

    Bài 1. Cho hình vuông \( ABCD \) cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

    Bài 2. Cho tam giác $ ABC$ có $\widehat{A}=90^\circ;\widehat{B}=60^\circ$ và $AB=a$. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$.

    Bài 3. Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tại \( A \) có $AB=AC=a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\;\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$.

    Bài 4. Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}$.

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=5$ cm, $BC=7$ cm, $CA=8$ cm.

    1. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra giá trị của góc \( A \).
    2. Tính $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$.

    Bài 6. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=6$ cm, $BC=11$ cm, $CA=8$ cm.

    1. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra góc A tù.
    2. Trên cạnh \( AB \) lấy \( M \) sao cho $AM=2$ cm và gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \). Tính $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}$.

    Bài 7. Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho $A=(4;6),B(1;4)$ và $C(7;\frac{3}{2})$.

    1. Chứng minh tam giác $ ABC$ vuông tại \( A \).
    2. Tính độ dài các cạnh $AB,AC,BC$.

    Bài 8. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:

    1. $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{b}=(-1;-3)$.
    2. $\overrightarrow{a}=(3;-4)$ và $\overrightarrow{b}=(4;3)$.
    3. $\overrightarrow{a}=(2;5)$ và $\overrightarrow{b}=(3;-7)$.

    Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm $A(2;4)$ và $B(1;1)$. Tìm tọa độ điểm \( C \) sao cho tam giác $ ABC$ là tam giác vuông cân tại \( B \).

    Bài 10. Cho tam giác $ ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.

    1. Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ ABC$.
    2. Tìm tọa độ điểm \( M \) biết $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.
    3. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$.

    Bài 11. Cho tam giác $ ABC$. Với điểm \( M \) tùy ý, chứng minh rằng $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$$

    Bài 12. Cho \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( M \) là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=OM^2 – OA^2$.

    Bài 13. Cho tam giác $ ABC$ có ba đường trung tuyến là \( AD, BE, CF \). Chứng minh rằng $$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CF}=0$$

    Bài 14. Cho tam giác $ ABC$ có góc \( A \) nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác $ ABC$ các tam giác vuông cân đỉnh \( A \) là \( ABD \) và \( ACE \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh: $AM\perp DE$.

    Bài 15. Cho hình chữ nhật \( ABCD \) có $AB=a$ và $AD=a\sqrt{2}$. Gọi \( K \) là trung điểm của cạnh \( AD \). Chứng minh $BK\perp AC$.

    Bài 16. Cho tam giác $ ABC$ cân tại \( A \). Gọi \( H \) là trung điểm của cạnh \( BC \), \( D \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên cạnh \( AC \), \( M \) là trung điểm của đoạn \( HD \). Chứng minh $AM\perp BD$.

    Bài 17. Cho tam giác $ ABC$. Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2$.

    Bài 18. Cho tứ giác \( ABCD \) có hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau và cắt nhau tại \( M \). Gọi \( P \) là trung điểm của \( AD \). Chứng minh: $$MP\perp BC \Longleftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MD}$$

  • Cách lập mệnh đề phủ định

    Cách lập mệnh đề phủ định

    Cách lập mệnh đề phủ định

    Để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, trước tiên các em cần biết được thế nào là một mệnh đề và mệnh đề phủ định là gì. Có thể xem chi tiết trong bài Mệnh đề toán học và Lý thuyết và Bài tập mệnh đề. Dưới đây, chúng tôi xin nhắc lại các kiến thức liên quan.

    Mệnh đề phủ định là gì?

    Cho mệnh đề $P$, mệnh đề “Không phải $P$” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$, kí hiệu là $ \overline{P} $.

    Nếu mệnh đề $P$ đúng thì mệnh đề $ \overline{P} $ sai và ngược lại.

    Cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề

    Như vậy, để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, chúng ta chỉ cần thêm cụm từ “KHÔNG PHẢI” vào trước cụm từ đó. Tuy nhiên, cách làm này khiến người đọc khó hiểu nên chúng ta thường sử dụng các từ ngữ trái nghĩa để diễn đạt lại mệnh đề đã cho.

    Một số từ và cụm từ trái nghĩa thường sử dụng:

    • Trái nghĩa của “bằng” là “không bằng” hoặc “khác”;
    • Trái nghĩa với “vô nghiệm” là “có nghiệm”;
    • Trái nghĩa của “lớn hơn” là “nhỏ hơn hoặc bằng”;
    • Trái nghĩa của “nhỏ hơn” là “lớn hơn hoặc bằng”;
    • Trái nghĩa của “dương” là “không dương” tức là “nhỏ hơn hoặc bằng $0$”;…

    Chú ý. Cho hai mệnh đề P và Q.

    • Phủ định của mệnh đề “P và Q” là “Không P hoặc không Q”.
    • Phủ định của mệnh đề “P hoặc Q” là “Không P và không Q”.

    Ví dụ 1. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    1. Phương trình $x^2+1=0$ vô nghiệm.
    2. Tam giác đều có ba góc bằng nhau.
    3. Số $13$ là một số nguyên tố.
    4. Số $2$ và $7$ đều là số nguyên tố.
    5. An và Bình đều có vé xem phim.
    6. Số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$ và cho $3$ thì nó chia hết cho $6$.

    Hướng dẫn. Mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho là:

    1. Phương trình $x^2+1=0$ có nghiệm.
    2. Tam giác đều không có ba góc bằng nhau.
    3. Số $13$ không là số nguyên tố.
    4. Mệnh đề đã cho nghĩa là “Số $2$ là số nguyên tố và $7$ là số nguyên tố” nên mệnh đề phủ định là “Số $2$ hoặc $7$ không là số nguyên tố”.
    5. An hoặc Bình không có vé xem phim.
    6. Số tự nhiên $n$ không chia hết cho $2$ hoặc $3$ thì nó không chia hết cho $6$.

    Riêng đối với các mệnh đề có chứa cụm từ “với mọi, tất cả, tồn tại, có ít nhất” hoặc các kí tự ∀ và ∃ có dạng $$\forall x \in \mathcal{D}, P(x) $$ chúng ta có hai bước:

    • Chuyển kí tự ∀ thành ∃ hoặc chuyển kí tự ∃ thành ∀
    • Lập mệnh đề phủ định của $P(x)$.

    Ví dụ 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    Tất cả học sinh lớp 10A4 Xuân Trường B đều có gấu.

    Hướng dẫn. Chúng ta thực hiện hai bước:

    • Chuyển từ “tất cả” thành “có ít nhất”;
    • Chuyển “có gấu” thành “không có gấu”.

    Từ đó có mệnh đề phủ định là “Có ít nhất một học sinh lớp 10A4 Xuân Trường B không có gấu”.

    Ví dụ 3. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    1. $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2+1>0 $,
    2. $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2-3x+2=0$,
    3. $ \exists n\in \mathbb{N}, n^2+2 $ chia hết cho 4,
    4. $ \exists n\in \mathbb{Q}, 2n+1\ne 0$.

    Hướng dẫn.

    1. $\exists x \in \mathbb{R}, x^2+1 \leqslant 0$,
    2. $\exists x \in \mathbb{R}, x^2-3x+2\ne 0$,
    3. $ \forall n \in \mathbb{N}, n^2+2 $ không chia hết cho 4,
    4. $ \forall n \in \mathbb{Q}, 2n+1 = 0$.

    Các em học sinh có thể tham khảo thêm bài tập tại Bài tập Mệnh đề toán học.

  • Điều kiện cần và đủ là gì?

    Điều kiện cần và đủ là gì?

    Điều kiện cần và đủ là gì?

    1. Điều kiện cần là gì, điều kiện đủ là gì?

    Trong Toán học, chúng ta rất hay gặp các mệnh đề có dạng “Nếu $P$ thì $Q$” hoặc viết dưới dạng kí hiệu là $P \Rightarrow Q$, chẳng hạn:

    • Nếu trời mưa thì nghỉ học.
    • Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.

    Trong các mệnh đề có dạng $P \Rightarrow Q$ này thì $P$ được gọi là giả thiết, $Q$ được gọi là kết luận. Hoặc, có thể nói:

    • $P$ là điều kiện đủ để có $Q$;
    • $Q$ là điều kiện cần để co $P$.

    Chúng ta xét mệnh đề “Nếu trời mưa thì nghỉ học“.

    Rõ ràng, chỉ cần gặp trời mưa là đủ để suy ra nghỉ học, tức là trời mưa đủ để có nghỉ học, nên nó được gọi là điều kiện đủ. Ngược lại, nghỉ học thì chưa đủ để suy ra trời mưa, vì có thể hôm đó cô giáo ốm 🙂

    Nhưng tại sao lại gọi là điều kiện cần, vì không có nghỉ học (tức là vẫn đi học) thì chắc chắn không thể có trời mưa. Lí do, nếu trời mưa thì đã nghỉ học rồi, đâu có đến lớp nữa.

    Như vậy, “trời mưa là điều kiện đủ của nghỉ học” còn “nghỉ học là điều kiện cần của trời mưa“.

    Để hiểu rõ hơn, chúng ta tiếp tục xét vài ví dụ nữa.

    • Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.
      • Một số mà chữ số cuối cùng là $5$ thì chắc chắn chia hết cho $5$, nên có thể nói đây Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $5$.
      • Ngược lại, một số chia hết cho $5$ là cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó tận cùng bằng $5$, vì số đó có thể tận cùng là $0$.
    • Một số chia hết cho $6$ thì chia hết cho $3$.
      • Tương tự, một số chia hết cho $6$ thì chắc chắn chia hết cho $3$ nên một số chia hết cho $6$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $3$.
      • Ngược lại, một số chia hết cho $3$ thì cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó chia hết cho $6$, nó còn phải chẵn nữa mới đủ.

    Trong cuộc sống, nói đến điều kiện cần điều kiện đủ chúng ta có thể hiểu:

    A là điều kiện cần của B nếu bất cứ khi nào có B thì có A nhưng không phải lúc nào có A cũng có B.
    A là điều kiện đủ của B nếu bất cứ khi nào ta có A thì có B nhưng không phải với bất kỳ B ta đều được A.

    2. Điều kiện cần và đủ là gì?

    Nếu mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta có mệnh đề P ⇔ Q là một mệnh đề đúng. Khi đó, ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc cũng nói Q là điều kiện cần và đủ để có P.

    Thuật ngữ “cần và đủ” còn được thay thế bằng các thuật ngữ “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu” hoặc “tương đương”.

    Trong cuộc sống, chúng ta thường nói A là điều kiện cần và đủ của B nếu bất kỳ A nào ta cũng có B và bất kì B nào cũng có A.

  • Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Chúng tôi xin giới thiệu Tài liệu Lý thuyết và Bài tập mệnh đề của thầy Trần Sĩ Tùng để Thầy cô và các em học sinh tham khảo.

    I. Tóm tắt kiến thức

    1. Mệnh đề

    • Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
    • Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

    2. Mệnh đề phủ định

    Cho mệnh đề $P$.

    • Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ và kí hiệu là $\overline{P}$.
    • Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

    3. Mệnh đề kéo theo

    Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$.

    • Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P ⇒ Q$.
    • Mệnh đề $P ⇒ Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

    Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q.

    Khi đó:

    • P là giả thiết, Q là kết luận;
    • P là điều kiện đủ để có Q;
    • Q là điều kiện cần để có P.

    Mời các em xem thêm Điều kiện cần và đủ là gì?

    4. Mệnh đề đảo

    Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

    5. Mệnh đề tương đương

    Cho hai mệnh đề P và Q.
    • Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.
    • Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.
    Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

    6. Mệnh đề chứa biến

    Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

    7. Kí hiệu ∀ và ∃

    • “∀x ∈ X, P(x)”
    • “∃x ∈ X, P(x)”
    • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” là “∃x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.
    • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” là “∀x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.

    8. Phép chứng minh phản chứng

    Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B.

    • Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
    • Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

    9. Bổ sung kiến thức về mệnh đề

    Cho hai mệnh đề P và Q.

    • Mệnh đề “P và Q” được gọi là giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∧ Q.
    • Mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là  hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∨ Q.
    • Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: $$\overline{P\wedge Q}=\overline{P}\vee \overline{Q}, \overline{P\vee Q}=\overline{P}\wedge \overline{Q}$$

    II. Bài tập mệnh đề

    Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

    a) Số $11$ là số chẵn.
    b) Bạn có chăm học không?
    c) Huế là một thành phố của Việt Nam.
    d) $2x + 3$ là một số nguyên dương.
    e) $2-\sqrt{5}<0$.
    f) $4 + x = 3$.
    g) Hãy trả lời câu hỏi này!.
    h) Paris là thủ đô nước Ý.
    i) Phương trình ${{x}^{2}}-x+1=0$ có nghiệm.
    k) $13$ là một số nguyên tố.

    Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

    a) Nếu $a$ chia hết cho $9$ thì $a$ chia hết cho $3$.
    b) Nếu $a\ge b$ thì ${{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}$.
    c) Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $6$.
    d) Số $\pi $ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
    e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
    f) 81 là một số chính phương.
    g) $5 > 3$ hoặc $5 < 3$.
    h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

    Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

    a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
    b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
    c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng ${{60}^{0}}$.
    d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
    e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.
    f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.
    g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
    h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

    Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

    a) $\forall x\in R,{{x}^{2}}>0$.
    b) $\exists x\in R,x>{{x}^{2}}$
    c) $\exists x\in Q,4{{{x}}^{2}}-1=0$.
    d) $\forall n\in N,{{n}^{2}}>n$.
    e) $\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+1>0$.
    f) $\forall x\in \mathbb{R},x^2>9 \Rightarrow x>3$.
    g) $\forall x\in R,x>3\Rightarrow {{x}^{2}}>9$.
    h) $\forall x\in R,{{x}^{2}}<5\Rightarrow x<\sqrt{5}$
    i) $\exists x\in R,5x-3{{x}^{2}}\le 1$
    k) $\exists x\in N,{{x}^{2}}+2x+5$ là hợp số.
    l) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
    m) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)$ là số lẻ.
    n) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 6.

    Bài 5. Điền vào chỗ trống từ nối “và” hay “hoặc” để được mệnh đề đúng:

    a) $\pi <4…\pi >5$.
    b) $ab=0$ khi $a=0\,…\,b=0$.
    c) $ab\ne 0$ khi $a\ne 0\,…\,b\ne 0$
    d) $ab>0$ khi $a>0\,…\,b>0\,…\,a<0\,…\,b<0$.
    e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 … cho 3.
    f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 … bằng 5.

    Bài 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng:

    a) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+4=0″$
    b) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+6=0″$
    c) $P(x):”{{x}^{2}}-3x>0″$
    d) $P(x):”\sqrt{x}\ge x”$
    e) $P(x):”2x+3\le 7″$
    f) $P(x):”{{x}^{2}}+x+1>0″$

    Bài 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

    a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.
    b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
    c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
    d) Số tự nhiên $n$ có ước số bằng $1$ và bằng $n$.

    Bài 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
    a) $\forall x\in R:{{x}^{2}}>0$ .
    b) $\exists x\in R:x>{{x}^{2}}$.
    c) $\exists x\in Q:4{{x}^{2}}-1=0$.
    d) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x+7>0$.
    e) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x-2<0$.
    f) $\exists x\in R:{{x}^{2}}=3$.
    g) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
    h) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+2n+5$ là số nguyên tố.
    i) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+n$ chia hết cho 2.
    k) $\forall n\in N,{{n}^{2}}-1$ là số lẻ.

    Bài 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

    a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.
    b) Nếu $a+b>0$ thì một trong hai số a và b phải dương.
    c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
    d) Nếu $a=b$ thì ${{a}^{2}}={{b}^{2}}$.
    e) Nếu $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$.

    Bài 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

    a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.
    b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
    c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
    d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.
    e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.

    Bài 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”:

    a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
    b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.
    c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
    d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
    e) Số tự nhiên $n$ là số lẻ khi và chỉ khi ${{n}^{2}}$ là số lẻ.

    Bài 12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:

    a) Nếu $a+b<2$ thì một trong hai số $a$ và $b$ nhỏ hơn $1$.
    b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn ${{60}^{0}}$.
    c) Nếu $x\ne -1$ và $y\ne -1$ thì $x+y+xy\ne -1$.
    d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn.
    e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
    f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
    g) Nếu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=0$ thì $x = 0$ và $y = 0$.

  • Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Các câu cảm thán, câu mệnh lệnh, câu hỏi đều không phải mệnh đề vì chúng không có tính đúng/sai một cách rõ ràng.

    Ngoài ra còn có những khẳng định mà tính đúng — sai của chúng chưa thể kiểm chứng được, chẳng hạn như khẳng định “Trên Sao Hỏa có sự sống.” Đây là một mệnh đề, vì nó chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai, mặc dù chúng ta chưa biết là nó đúng hay sai. Những mệnh đề dạng này có rất nhiều, một ví dụ nữa là định lí lớn Fermat. Tuy nhiên, cần phân biệt chúng với những phát biểu mà chúng ta không thể chỉ ra được nó đúng hay sai, xét ví dụ sau:

    “Tôi luôn luôn nói dối.”

    Đây không là một mệnh đề. Nếu đây là mệnh đề đúng, thì nghĩa là tôi luôn nói dối, do đó nội dung của câu nói trên phải ngược lại, tức là tôi luôn luôn nói thật! Còn nếu đây là mệnh đề sai thì nghĩa là tôi luôn luôn nói thật, mà tôi đã luôn luôn nói thật thì những câu tôi nói ra phải đúng, do đó câu tôi nói ở trên cũng phải đúng, tức là tôi luôn luôn nói dối! Có rất nhiều phát biểu dạng này, hãy xem xét câu chuyện sau:

    Trên đường đi cứu công chúa, hoàng tử phải đi qua một vương quốc có ông vô cùng vua tàn ác. Thật không may, chàng bị bắt và giải đến trước mặt nhà vua. Nhà vua tàn ác ra lệnh: “Bây giờ ta cho ngươi nói một câu. Nếu ngươi nói đúng thì bị chặt đầu, nếu ngươi nói sai thì bị treo cổ!” Hỏi rằng hoàng tử phải nói câu gì?

    phát biểu không phải mệnh đề

  • Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ (phép toán tổng của hai vecto, hiệu của hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và ứng dụng để chứng minh đẳng thức véc-tơ, xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ, chứng minh thẳng hàng, song song, tìm tập hợp điểm…

    Xem thêm:

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài 1. Cho bốn điểm phân biệt $ A, B, C, D. $ Dựng các vectơ tổng $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CD} $, $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} $.

    Bài 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ: $$ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}, \vec{v}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

    Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng $a$. Hãy tính $$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}|;|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|;|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}|.$$
    Đáp số. $\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;a\sqrt{2}$.

    Bài tập chứng minh đẳng thức vecto

    Bài 1. Cho bốn điểm $ A, B, C, D $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

    Bài 2. Cho năm điểm $ A, B, C, D, E $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.

    Bài 3. Chứng minh rằng với mọi điểm $ A,B,C,D,E,F,G $ tùy ý ta luôn có:

    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} $
    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB} $
    • $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE} $
    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{GF} $

    Bài 4. Gọi $ O $ là tâm của hình bình hành $ ABCD $. Chứng minh rằng:

    • $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$
    • $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}$
    • $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
    • $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ với điểm $ M $ tùy ý.

    Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$ và $BC$. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kỳ ta có
    $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.$

    Bài 6. Cho tam giác $ \Delta ABC $ có $A’,B’,C’$ là trung điểm các cạnh $ BC,CA,AB. $ Chứng minh $ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec{0}. $

    Bài 7. Cho tứ giác $ ABCD. $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB, CD. $ Điểm $ K $ là điểm đối xứng của $ M $ qua $ N. $ Chứng minh $$ \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}. $$

    Bài 8. Cho tam giác $ ABC $, dựng bên ngoài tam giác các hình bình hành $ ABIJ,BCPQ,CARS. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec{0}$.

    Bài 9. Cho tứ giác lồi $ ABCD. $ Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD. $

    • Chứng minh $ \overrightarrow{ AC}+\overrightarrow{ BD}=\overrightarrow{ AD}+\overrightarrow{{BC}}=2 \overrightarrow{ EF} $.
    • Gọi $ G $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=2 \overrightarrow{EF}$.

    Bài 10. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ M,N $ là trung điểm của $ AD,BC $ và $ O $ là điểm trên đoạn $ MN $ sao cho $ OM=2ON. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $$

    Bài 11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là một điểm bất kỳ trên đường chéo $AC$. Qua $O$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt $AB$ và $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$, cắt $AD$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng:

    • $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.
    • $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}$.

    Bài 12. Gọi $ G,G’ $ là trọng tâm hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $. Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=3\overrightarrow{GG’}. $$ Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

    Bài 13. Cho lục giác $ ABCDEF $ có $ M, N, P, Q, R, S $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB, BC, CD, DE, EF $ và $ FA. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ MPR $ và $ NQS $ có cùng trọng tâm.

    Hướng dẫn. Giả sử điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ MPR $ thì
    \begin{align*}
    \overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GA}) \\
    &=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})\\
    &=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}\\
    &=\vec{0}.
    \end{align*}

    Bài 14. Cho tứ giác $ABCD$, biết rằng tồn tại điểm $ O $ sao cho các véc-tơ $ \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau và $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng $ABCD$ là hình chữ nhật.

    Hướng dẫn. Gọi $ E,F,G,H $ là trung điểm các cạnh. Từ $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $ suy ra $ O $ là trung điểm của $ EG $ và $ HF. $ Mặt khác, các véc-tơ $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau nên $ OA=OB=OC=OD. $ Từ đó suy ra tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

    Bài 15. Cho $ \Delta ABC $ có $ M $ là trung điểm của $ BC,G$ là trọng tâm, $ H $ là trực tâm, $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh:

    • $ \overrightarrow{ AH}=2 \overrightarrow{ OM} $,
    • $ \overrightarrow{ OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OC}=\overrightarrow{ OH}=3\overrightarrow{OG} $,
    • $ \overrightarrow{ HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ HC}=2 \overrightarrow{ HO}=3\overrightarrow{HG} $,
    • $ \overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OI} $.

    Hướng dẫn. Gọi $A’$ đối xứng với $ A $ qua $ O $ thì $ BHCA’ $ là hình bình hành.

    Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ có độ dài ba cạnh là $ a,b,c $. Gọi $ I $ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh $ a \overrightarrow{ IA}+b\overrightarrow{ IB}+c\overrightarrow{ IC}=\vec{0} $.

    Hướng dẫn. Gọi $ B_1,C_1 $ là chân hai đường phân giác kẻ từ $ B,C. $ Dựng hình bình hành $AB_2IC_2$ thì $ \overrightarrow{ IA}=\overrightarrow{ IB_2}+\overrightarrow{ IC_2} $. Lại có $ \frac{IB_2}{IB}=\frac{AC_2}{IB}=\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{b}{a}, $ nên $ \overrightarrow{ IB_2}=-\frac{b}{a}\overrightarrow{IB}. $ Tương tự có $ \overrightarrow{ IC_2}=-\frac{c}{a}\overrightarrow{IC}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

    Bài 17. Cho tam giác $ ABC $ có $ H $ là trực tâm. Chứng minh rằng
    $$ \tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$$ Hướng dẫn. Xét trường hợp tam giác $ ABC $ nhọn. Dựng hình bình hành $ HA’CB’ $ thì có $ \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA’}+\overrightarrow{HB’}=\alpha.\overrightarrow{HA}+\beta.\overrightarrow{HB}, $ trong đó $$ \alpha=-\frac{HA’}{HA}=-\frac{B_1C}{B_1A}=-\frac{BB_1.\cot C}{BB_1\cot A}=-\frac{\tan A}{\tan C},$$ và  $$\beta=…=-\frac{\tan B}{\tan C}. $$ Suy ra $$ \overrightarrow{HC}=-\frac{\tan A}{\tan C}\overrightarrow{HA}-\frac{\tan B}{\tan C}\overrightarrow{HB} $$ hay chính là $\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$

    Bài 18*. Cho tam giác $ ABC $ đều có $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua các cạnh $ BC,AC,AB. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ ABC $ và $ DEF $ có cùng trọng tâm.

    Bài 19. Cho tam giác $ ABC $ có $ G $ là trọng tâm và $ H $ là điểm đối xứng của $B$ qua $ G. $

    • Chứng minh $ \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) $.
    • Gọi $ M $ là trung điểm của $BC$, chứng minh rằng $ \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $

    Bài 20*. Cho tam giác $ ABC $ đều tâm $ O.$ Giả sử $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là hình chiếu của $ M $ trên $ BC, AC $ và $ AB. $ Chứng minh rằng: $ \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}. $

    Hướng dẫn. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song $ B_2C_2\parallel BC, A_2C_1\parallel AC, A_1B_1\parallel AB $ thì các tam giác $ MA_1A_2,MB_1B_2,MC_1C_2 $ là các tam giác đều.

    Có \begin{align} 2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})& =\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\\
    &=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}. \end{align}

    Bài tập phân tích véc-tơ (Biểu diễn vecto theo 2 vecto không cùng phương)

    Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo hai véc-tơ $\vec{u},\vec{v}$.

    Đáp số. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v};\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v};\overrightarrow{DE}=-\vec{v};\overrightarrow{DC}=\vec{u}-\vec{v}$.

    Bài 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Đặt $ \overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}. $ Hãy tính các véc-tơ sau theo $ \vec{a}, \vec{b} $:

    • $ \overrightarrow{AI} $ với $ I $ là trung điểm của $ BO. $
    • $ \overrightarrow{BG} $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ OCD. $

    Đáp số. $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b} $, $ \overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{6}\vec{b}. $

    Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Cho các điểm $ D, E, F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC, CA, AB $ và $ I $ là giao điểm của $ AD $ và $ EF. $ Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo $\vec{u},\vec{v}$.

    Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
    \overrightarrow{AI}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})\\
    \overrightarrow{AG}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}\\
    \overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}=0.\vec{u}+(-1)\vec{v}\\
    \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\vec{u}-\vec{v}
    \end{align*}

    Bài 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$ và cạnh $a$.

    • Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF}$.
    • Tính độ dài của véc-tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ theo $a$.

    Đáp số. a) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}$; b) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

    Bài 5. Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Phân tích $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

    Đáp số. $ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

    Bài 6. Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NA=2NC$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. Phân tích $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

    Đáp số. $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

    Bài 7. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $I$ trên cạnh $BC$ sao cho $ 2CI=3BI, J $ trên cạnh $BC$ kéo dài sao cho $ 5JB=2JC. $

    • Tính $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $
    • Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}. $

    Đáp số.

    • $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
    • $ \overrightarrow{AG}=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}. $

    Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

    Bài 1. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tìm điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

    Bài 2. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K$ thỏa mãn: $ \overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC} $, $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0} $, $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CB} $.

    Bài 3. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L$ thỏa mãn:

    • $ \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB} $,
    • $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} $,
    • $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\vec{0} $,
    • $ \overrightarrow{LA}-2\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}=\vec{0} $.

    Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $ a,M $ là một điểm bất kì. Chứng minh rằng các véc-tơ sau đây không đổi. Tính mô-đun của chúng theo $ a. $

    • $ 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD} $,
    • $ 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} $,
    • $ 4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} $.

    Đáp số. $3a,a\sqrt{13},2a\sqrt{2} $

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC $, tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:

    • $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $,
    • $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}| $,
    • $ |4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}| $.

    Hướng dẫn.

    • Biến đổi thành $ |\overrightarrow{MG}|=|\overrightarrow{MI}| $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm $ BC. $
    • $ M $ thuộc đường tròn $ (D,AB) $ với $ D $ là đỉnh hình bình hành $ABCD$.
    • Biến đổi thành $ |6\overrightarrow{MK}|=|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}|=2|\overrightarrow{EA}| $ trong đó $ E $ là trung điểm $BC$ và $ K $ là điểm thỏa mãn $ 4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\vec{0}. $

    Chứng minh song song thẳng hàng bằng vecto

    Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $MN\parallel AC$.

    Hướng dẫn. Chỉ ra $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$.

    Bài 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

    Bài 3. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

    Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $ Tính $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.
    Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $ Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $

    Hướng dẫn.  Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
    Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $
    Mặt khác \begin{align} \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}&=\vec{0}.\end{align} Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $

    Bài 6. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.

    • Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
    • Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
    • Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $

    Hướng dẫn.

    • Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
    • Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
    • Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
      Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $

    Bài 7. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

    Bài 8. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

    • Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.
    • Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

    Bài 9. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực.

    • Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
    • Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
    • Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn.

    • $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $
    • Ta có \begin{align} \overrightarrow{AM}&=x\overrightarrow{AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}&=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}& =(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. \end{align}
    • Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng $ \Leftrightarrow $ tồn tại số $ k $ sao cho \begin{align} \overrightarrow{BM}&=k\overrightarrow{BI}  \\ \Leftrightarrow  (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}&=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \\ \Leftrightarrow 2(1-x)&= 3x \\ \Leftrightarrow x&=\frac{2}{5}.\end{align}

    Bài 10. Cho tam giác $ ABC $. Xác định điểm $ D $ thỏa mãn $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0}. $ Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $ |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|=8. $

    Hướng dẫn. 
    Có $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{DB} $ nên điểm $ D $ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $ -3. $

    Từ \begin{align} |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|&=8 \\ \Leftrightarrow |\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+3(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB})|&=8 \\ \Leftrightarrow |4\overrightarrow{MD}|&=8 \end{align} suy ra $ DM=2. $

    Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ D, $ bán kính bằng 2.

    Bài 11. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $M$ tùy ý. Xác định điểm $D$ thỏa mãn $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ MN $ đi qua điểm cố định biết $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}. $

    Hướng dẫn. 
    Có $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DC}.$ Vậy điểm $ D $ chia đoạn $ BC $ theo tỉ số 3.
    Ta có $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MD}. $ Vậy đường thẳng $ MN $ đi qua điểm $D$ cố định.

    Bài 12. Cho tam giác $ ABC $ có $ D $ là trung điểm của $ BC, N $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ A $ và
    $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Tìm điểm $ K $ trên đường thẳng $ MN $ sao cho ba điểm $ A, D , K $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn.

    Ta có $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}). $ Vì $ K\in MN $ nên đặt $ \overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{KN} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=x(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK})$.

    Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{x\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} }{x-1}=\frac{-x\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} }{x-1}=\frac{x}{1-x}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2(1-x)}\overrightarrow{AB}. $ Mà $ A,D,K $ thẳng hàng nên tìm được $ x=\frac{1}{2}. $

    Vậy $ \overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KN}. $