Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
1. Phương trình bậc hai là gì?
Phương trình bậc hai (ẩn $x$) là phương trình có dạng $$ax^2+bx=0$$ trong đó $a\ne 0$.
Cách giải phương trình bậc 2. Chúng ta tính đại lượng sau (đặt là $\Delta$) $$\Delta=b^2-4ac$$ Khi đó, tùy vào giá trị dương, âm, bằng không của $\Delta$ mà chúng ta có kết luận về nghiệm của phương trình bậc 2.
- $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
- $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
- $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$
Xem thêm:
Ví dụ 1. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$
Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$ nên tính được $$ \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=40 $$ Vì $ 40>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-4)+\sqrt{40}}{2}$ và $ \frac{-(-4)-\sqrt{40}}{2}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$.
Ví dụ 2. Giải phương trình $x^2-3x+6=0$
Chúng ta có các hệ số $a=1,b=3,c=6$ nên tính được $$ \Delta=3^2-4\cdot 1\cdot 6=-15 $$ Vì $ -15<0$ nên phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình $x^2-2x+1=0$
Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-2,c=1$ nên tính được $$ \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1=0 $$ nên phương trình có một nghiệm là $x=\frac{-(-2)}{2}=1$.
Lưu ý, nếu hệ số $b$ chẵn, tức là có dạng $b=2b’$ thì có thể tính $\Delta’=b’^2-ac$ thay cho $\Delta$. Lúc đó, công thức nghiệm là $\frac{-b’\pm\sqrt{\Delta’}}{a}$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$
Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$. Nhận thấy $b=2\cdot(-2)$ nên tính $$ \Delta’=(-2)^2-\cdot 1\cdot (-6)=10 $$ Vì $ 10>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-2)+\sqrt{10}}{1}$ và $ \frac{-(-2)-\sqrt{10}}{1}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$, chính là hai nghiệm ở ví dụ 1.
2. Phương trình bậc hai có nghiệm khi nào?
Như vậy, phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $$\Delta \geqslant 0$$
Lúc đó, chúng ta có định lý Viète như sau $$ \begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{cases} $$
Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & m \leqslant \frac{29}{4} \end{align}
3. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi nào?
Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta >0.$$
Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) > 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m > 0\\ \Leftrightarrow & m <\frac{29}{4} \end{align}
4. Phương trình bậc hai vô nghiệm khi nào?
Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta <0.$$
Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) < 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m < 0\\ \Leftrightarrow & m >\frac{29}{4} \end{align}
5. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương khi nào?
Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) dương khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$
6. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm âm khi nào?
Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) âm khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
x_1+x_2=\frac{-b}{a}<0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$
7. Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu?
Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) trái dấu khi và chỉ khi $$ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}<0 $$ hoặc đơn giản hơn là $$ac<0.$$
8. Phương trình bậc hai có hai nghiệm lớn hơn một số, nhỏ hơn một số cho trước (định lý đảo)
Phương trình bậc hai $f(x)=ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) $ x_1,x_2$ (giả sử $ x_1<x_2$) và thỏa mãn yêu cầu
- $ x_1<\alpha <x_2$: điều kiện cần và đủ là $ a\cdot f(\alpha) <0$
- $ x_1< x_2<\alpha $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} <\alpha
\end{cases}$ - $ \alpha <x_1< x_2 $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} >\alpha \end{cases}$
