SKKN Thiết kế và sử dụng các phần mềm vẽ sơ đồ tư duy để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán ở trường THPT

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

PHẦN I: ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

1. Lí do chọn đề tài
   Chúng ta đã biết rằng Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục chú trọng giúp
   người học hình thành phát triển 10 năng lực và 5 phẩm chất. Trong môn Toán năng
   lực nhìn thấy rõ nhất là năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, sáng tạo,
   ngoài ra rèn luyện tư duy lôgic, phản xạ, … Một trong những phương pháp giúp học
   sinh có thể học tốt môn toán cũng như góp phần hình thành những năng lực và phẩm
   chất là sử dụng sơ đồ tư duy.
   Trong điều 24, mục 2 Luật giáo dục ( do Quốc hội khóa X thông qua) cũng đã
   chỉ rõ: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động ,
   sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, từng môn học; bồi
   dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.
   Nhiệm vụ hàng đầu và quan trọng nhất của nghành Giáo dục và Đào tạo nói chung
   và của mỗi giáo viên nói riêng là nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy. Đổi
   mới phương pháp giảng dạy chính là một biện pháp thiết thực nhằm nâng cao chất
   lượng và hiệu quả dạy học. Đổi mới theo hướng: “ Người học là chủ thể ”, “ Người
   học là trung tâm của quá trình giáo dục ” trong tiếp nhận kiến thức đã được Bộ giáo
   dục – Đào tạo phát động, điều đó có nghĩa: “ Người học không chỉ thu nhận kiến
   thức thụ động mà quan trọng là phải biết phương pháp để thu nhận kiến thức và vận
   dụng được kiến thức đó ” vào trong bài học và trong thực tế cuộc sống.
   Trong thực tế việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay theo hướng phát
   huy tính tích cực chủ động và sáng tạo của học sinh. Bên cạnh việc đổi mới trong
   phương pháp dạy thì việc đổi mới phương pháp học của học sinh cũng rất quan trọng.
   Nó góp phần làm cho tiết học trên lớp đạt hiệu quả hơn. Trên cơ sở đó, việc hướng
   dẫn học sinh định hướng để xây dựng và củng cố, khắc sâu kiến thức một cách hệ
   thống bằng sơ đồ được xem là một hình thức mới trong việc đổi mới phương pháp
   dạy học hiện nay.
   “ Trong thời đại ngày nay, nguồn tài liệu học tập, nghiên cứu như: sách, tạp
   chí, báo, các kỷ yếu,…rất phong phú. Thêm vào đó là sự phát triển mạnh mẽ của
   2
   ngành công nghệ thông tin, chúng ta đang tiếp xúc với nguồn kiến thức mênh mông
   của thế giới. Bên cạnh đó, chúng ta thường xuyên phải ghi nhớ, tổng hợp hay phân
   tích một vấn đề bằng nhiều phương pháp như kẻ bảng, gạch đầu dòng các ý chính,
   vẽ sơ đồ tổng hợp,…nhưng nó chưa bao giờ được hệ thống và được nghiên cứu kỹ
   lưỡng, mà chỉ được dùng tản mạn trong giới sinh viên học sinh trước các mùa thi.
   Vì vậy, trong công tác giáo dục, ngoài vấn đề truyền đạt kiến thức cho sinh viên,
   chúng ta cần hướng sinh viên đến một phương pháp học tập tích cực và tự chủ để
   lĩnh hội tri thức, và giáo viên cũng cần có phương pháp nghiên cứu để luôn cập nhật
   kịp thời tri thức của thế giới. Với “biển thông tin” như thế, để tiếp cận tốt cần có
   phương pháp giúp hệ thống lại những kiến thức đó. Việc xây dựng được một “hình
   ảnh” thể hiện mối liên hệ giữa các kiến thức, sẽ mang lại những lợi ích đáng quan
   tâm về các mặt: ghi nhớ, phát triển nhận thức, tư duy, óc tưởng tượng và khả năng
   sáng tạo…Một trong những công cụ hết sức hữu hiệu để tạo nên các “hình ảnh liên
   kết” là Sơ đồ Tư duy – MindMap. Bài viết này, xin giới thiệu phương pháp Sơ đồ tư
   duy do Tony Buzan đề xuất, được mệnh danh là “công cụ vạn năng cho bộ não” là
   phương pháp ghi chú đầy sáng tạo, hiện đang được ngành giáo dục khuyến khích
   đưa vào thực hiện trong giảng dạy và học tập.
   Trong những năm vừa qua, việc áp dụng phương pháp mới trong giảng dạy ở
   trường THPT nói chung và môn Toán nói riêng đã đem lại những kết quả bước đầu
   đáng khích lệ. Học sinh hoạt động tích cực hơn trong các giờ học, các em nắm vững
   và chủ động tìm tòi, phát hiện tri thức, giáo viên không còn là người làm thay mà
   các em đã phát huy được vai trò thực sự của mình. Đó là thành quả của phong trào
   đổi mới phương pháp dạy học, trong đó sử dụng SĐTD là phương tiện dạy học tương
   đối mới mẻ ở nước ta. Đây là phương pháp mang lại tâm lí thoải mái, vui vẻ, đầy
   tính sáng tạo rất phù hợp với tình hình dạy học của GV và HS hiện nay và các phong
   trào do Bộ giáo dục và đào tạo phát động như phong trào “ trường học thân thiện,
   học sinh tích cực”.
   Tuy nhiên hiện nay còn nhiều HS học tập thụ động, chỉ đơn thuần là nhớ kiến
   thức một cách rời rạc, máy móc hay theo một trình tự áp đặt của thầy cô giáo dẫn
   đến HS chóng quên. Do đó, sử dụng SĐTD để hệ thống kiến thức rất thuận lợi trong
   3
   quá trình học tập, tư duy và ghi nhớ kiến thức. SĐTD là một sơ đồ mở chính do HS
   hình thành, sáng tạo thỏa sức, là sản phẩm của chính tay HS tạo ra nên HS nhớ rất
   lâu. Đồng thời, SĐTD được thể hiện bằng màu sắc, đường nét và dùng những từ
   khóa để ghi chép một cách ngắn gọn, đầy đủ giúp HS quan sát được tổng thể hệ
   thống kiến thức.
   Dạy học bằng những phương pháp tích cực và có sử dụng SĐTD là một
   phương pháp dạy học mới được áp dụng nên cả thầy và trò đều bỡ ngỡ và gặp không
   ít khó khăn. HS chưa quen với việc sử dụng SĐTD để hình thành được phương pháp
   tổng quát hóa nội dung của một tiết học, chưa quen trong quá trình thể hiện các
   nhánh cho khoa học. Đó là chưa kể đến một bộ phận HS lười tư duy và thụ động
   trong học tập. Không ít HS lúng túng không biết học bắt đầu từ đâu, làm sao ghi nhớ
   các kiến thức một cách hệ thống. Không thấy được mối quan hệ giữa các kiến thức
   dẫn đến nhầm lẫn, chán nản trong các giờ học kể cả học ở nhà. Ghi chép một cách
   thụ động bài tập của GV cung cấp nên khi gặp bài toán tương tự vẫn ko biết cách
   giải quyết. Đối với GV, sử dụng SĐTD gặp rất nhiều khó khăn trong khâu soạn,
   giảng. Trong thực tế giảng dạy, qua một thời gian tìm hiểu chúng tôi thấy rằng khi
   dạy tiết lí thuyết, chỉ có một đơn vị kiến thức nên rất khó hình thành SĐTD, các tiết
   lí thuyết là xây dựng kiến thức mà SĐTD thường dùng để hệ thống, củng cố kiến
   thức. Phần khác do một số GV suy nghĩ là dùng SĐTD để củng cố kiến thức nhằm
   mục đích là nhớ kiến thức để vận dụng vào giải bài tập. Khi dạy tiết ôn tập chương,
   GV thường ngại khó, chỉ hướng dẫn HS ôn tập lí thuyết một cách qua loa rồi giành
   thời gian còn lại để hướng dẫn HS giải bài tập hoặc bỏ qua phần ôn tập lí thuyết chỉ
   hướng dẫn giải bài tập, khi nào cần kiến thức nào thì mới yêu cầu HS nhắc lại, hoặc
   ôn tập kĩ lí thuyết thì thời gian hướng dẫn ôn các dạng bài tập trong chương không
   đảm bảo. Trong khi đó, tiết ôn tập chương được phân bố thời lượng tối đa chỉ một
   đến hai tiết, nhưng nội dung ôn tập phải chuyển tải một lượng lớn kiến thức cơ bản
   của chương và bài tập vận dụng. Mặt khác, một số GV còn ngần ngại sử dụng SĐTD
   vì chưa xác định rõ quy trình dạy học và vẽ SĐTD. Đồng thời còn gặp nhiều trở ngại
   trong việc sử dụng các phần mềm vẽ SĐTD. Với thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn
   nghiên cứu đề tài : THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG CÁC PHẦN MỀM VẼ SƠ ĐỒ TƯ
   4
   DUY ĐỂ GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY MÔN TOÁN
   Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG và đã ứng dụng thực tế đề tài này tại
   trường THPT nơi tôi giảng dạy.
   Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức một chiều sang
   cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ. Ý tưởng là “sơ đồ” được xây dựng theo
   quá trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau. Vì đây là một
   hoạt động vừa mang tính phân tích vừa mang tính nghệ thuật, nó làm cho HS gợi
   nhớ các kiến thức vừa mới học hoặc đã được học từ trước. Để thực hiện được điều
   như trên, bản thân tôi xác định phải bám sát các nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức,
   kĩ năng; sách giáo khoa, sách GV và các nguồn sách tham khảo khác. Ngoài ra còn
   luôn chuẩn bị một hệ thống câu hỏi và bài tập dựa trên mục tiêu của từng bài, từng
   chương cụ thể, giúp HS định hướng và nắm được kiến thức trọng tâm của từng bài
   học. Thông qua đó HS nắm được kiến thức cũ và lĩnh hội kiến thức mới nhanh hơn.
   Trong phạm vi bài viết của mình, vì khuôn khổ đề tài nên tôi không thể đi sâu
   vào giải quyết tất cả các bài học mà tôi chỉ tập trung vào việc giúp GV và HS vẽ
   SĐTD và đưa ra cách sử dụng SĐTD trong quá trình tổ chức hoạt động dạy học ở
   một vài tiết dạy trong chương trình sách giáo khoa 11,12. Vì vốn kiến thức còn hạn
   hẹp, vì khuôn khổ đề tài, cộng với kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên đề tài còn
   nhiều thiếu sót rất mong sự trao đổi, đóng góp của các đồng nghiệp để chúng ta tạo
   ra sự đa dạng, phong phú trong cách tạo cảm giác, gây dựng tình yêu toán học của
   HS.
2. Mục đích nghiên cứu

• Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với HS, tạo hứng thú học tập cho HS.
  Từ đó, nâng cao chất lượng học tập của HS trong các tiết học.
• Qua nội dung của đề tài, tôi muốn giúp HS tiếp cận kiến thức một cách đơn
  giản trực quan nhất. Giúp HS biết khắc sâu kiến thức trọng tâm, biết liên tưởng
  kiến thức và giúp HS ghi nhớ kiến thức một cách tốt nhất
• Giúp GV khai thác tốt SĐTD để hỗ trợ đắc lực trong quá trình dạy học

1. Đối tượng nghiên cứu
   Đối tượng nghiên cứu của đề tài này tập trung vào việc giúp GV và HS vẽ
   5
   SĐTD và cách sử dụng SĐTD trong quá trình tổ chức hoạt động dạy học
2. Giới hạn của đề tài
   Trên các cơ sở lí luận, thực tiễn và nhiệm vụ của đề tài tôi đã chọn phạm vi
   nghiên cứu của đề tài là :

• Sử dụng SĐTD trong dạy học môn toán THPT
• Các tiết dạy học lí thuyết, ôn tập chương môn Toán ở các lớp 11,12
• Qua công tác dự giờ trong nhà trường và kết quả khảo sát .

1. Nhiệm vụ của đề tài

• Giúp cho GV thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục.
• Giúp cho HS phát triển tư duy, tiếp cận kiến thức một cách đơn giản nhất và
  ghi nhớ kiến thức một cách tốt nhất.
• Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
  tượng HS nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.

1. Phương pháp nghiên cứu
   Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
   đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

• Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài
• Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của GV và HS)
• Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình và hồ sơ chuyên môn)
• Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của GV và HS thông qua trao
  đổi trực tiếp)
• Phương pháp thực nghiệm.
• Phương pháp thống kê toán học

1. Kế hoạch nghiên cứu
   STT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm
   1
   Từ 15/10/2021
   đến
   30/11/2021
   Tìm hiểu thực trạng
   và chọn đề tài, viết
   đề cương nghiên cứu
   Bản đề cương chi tiết của đề
   tài
   6
   2
   Từ 1/12/2021
   đến
   15/12/2021

• Khảo sát thực trạng, tổng
  hợp số liệu khảo sát thực tế
• Áp dụng thử nghiệm ở các
  lớp 11,12
• Tập hợp lí thuyết của đề tài
• Xử lí số liệu-> kết quả thực
  nghiệm
  3
  Từ 16/01/2022
  đến 31/3/2022
  Đọc tài liệu lí thuyết, viết cơ
  sở lí luận
• Viết cơ sở lí luận của đề tài
• Tập hợp lí thuyết
  4
  Từ 1/4/2022
  đến 1/5/2022
  Trao đổi với đồng nghiệp
  và đề xuất các biện pháp,
  các sáng kiến
  Tập hợp ý kiến đóng góp của
  đồng nghiệp
  5
  Từ 2/5/2022
  đến 30/6/2022
• Viết sơ lược sáng kiến
• Xin ý kiến đóng góp của
  đồng nghiệp
  Bản nháp sáng kiến
  6
  Từ 1/7/2022
  đến 15/8/2022
  Hoàn thành sáng kiến kinh
  nghiệm
  Sáng kiến kinh nghiệm chính
  7
  PHẦN II: MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
   Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn toán là môn học quan trọng, môn
   toán có tiềm năng để khai thác góp phần phát triển trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển
   tư duy. Trường THPT nơi tôi giảng dạy là một tập thể đoàn kết, thương yêu giúp đỡ
   lẫn nhau, nhiệt tình trong công tác, tâm huyết với nghề, có tính cộng đồng cao.
   Những thầy cô lớn tuổi có tay nghề vững, có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy
   cũng như trong cuộc sống, mẫu mực và luôn sẵn sàng giúp đỡ, dìu dắt thế hệ trẻ.
   Lực lượng giáo viên trẻ năng động, kiến thức vững vàng, ham hoạt động, hăng say
   và có chí tiến thủ, có ý thức rèn luyện và trau dồi chuyên môn, say mê học tập nâng
   cao trình độ. Đội ngũ quản lí tâm huyết, năng động, luôn tạo điều kiện tốt nhất cho
   GV và HS phát triển năng lực. Ngay từ khi Bộ giáo dục chủ trương đổi mới phương
   pháp dạy học, nhà trường cũng như các tổ chuyên môn đã nhanh chóng triển khai
   các buổi họp chuyên môn, thảo luận về đổi mới phương pháp, chuần kiến thức, kĩ
   năng. Triển khai và rút kinh nghiệm sau mỗi giai đoạn, tạo điều kiện cho GV và HS
   thích nghi nhanh với việc dạy và học theo phương pháp mới.
   Về bản thân, được nhà trường giao nhiệm vụ dạy học lớp 11,12, được lãnh đạo
   nhà trường tạo điều kiện, góp ý về chuyên môn; được các đồng nghiệp và học trò
   ủng hộ và hưởng ứng trong việc áp dụng phương pháp mới vào dạy học. Được trao
   đổi và đã rút ra nhiều kinh nghiệm trong quá trình hình thành đề tài.
   Bên cạnh đó nhà trường còn gặp nhiều khó khăn về cơ sở vật chất; điều kiện
   kinh tế xã hội khu vực trường đang đóng còn nhiều thiếu thốn, đa số HS là con em
   nông dân có thu nhập thấp còn khó khăn về kinh tế dẫn đến việc đầu tư học tập còn
   nhiều hạn chế.
   Theo quan điểm từ trước đến nay, học toán là những kiến thức mang tính chất
   chân lí, hàn lâm nên con đường để tiếp nhận kiến thức rất cứng nhắc và khô khan.
   Vì vậy trong tâm lí đại đa số HS học toán lúc nào cũng khó và chán. Và lâu nay việc
   dạy học toán cũng nặng về truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, còn
   ít hoạt động thực tế và trải nghiệm. Tuy nhiên, vấn đề được đặt ra là, trên thực tế lớp
   học lúc nào cũng bao gồm đủ các loại HS từ khá giỏi đến yếu kém. Mức độ tiếp thu
   8
   bài của các em không đồng đều nhau gây ra việc khó khăn trong việc lựa chọn các
   hoạt động giảng dạy phù hợp với trình độ của lớp.
   Trong những năm vừa qua việc áp dụng phương pháp dạy học mới- sử dụng
   SĐTD vào giảng dạy môn toán tại trường bản thân tôi nhận thấy được sự lúng túng
   trong việc hình thành SĐTD cho từng tiết dạy, hệ thống kiến thức từng phần, từng
   chương; thiết kế và thực hiện các hoạt động dạy học theo phương pháp dạy học lấy
   học sinh làm trung tâm. Hiện nay, còn nhiều HS học tập một cách thụ động, chưa
   thật sự độc lập suy nghĩ. Nhiều HS không biết đọc và lưu giữ thông tin ( nghe giảng
   thì không ghi được, ghi thì không nghe được; sắp xếp lộn xộn, ghi xong quên
   ngay…). Hầu hết HS chỉ đơn thuần là tìm kiếm kiến thức có sẵn trong sách giáo
   khoa và ghi nhớ một cách rời rạc, chưa có sự ghi nhớ giữa các phần, các bài, các
   chương theo một hệ thống tư duy có logic và nhớ, thuộc kiến thức theo một trình tự
   sắp đặt, bắt buộc của thầy cô giáo và sách giáo khoa,….
   Mặt khác, dạy học có sử dụng SĐTD là một phương pháp dạy học mới do đó
   một số thầy cô giáo còn lúng túng trong quá trình giảng dạy cũng như hình thành
   bản đồ tư duy. Đặc biệt một số thầy cô giáo và HS gặp nhiều khó khăn trong việc
   đưa SĐTD vào tiết học như thế nào, tại thời điểm nào cho thích hợp. Bên cạnh đó,
   việc vẽ SĐTD trên giấy, trên bảng, trên bảng phụ, trên máy tính của thầy cô giáo
   gặp rất nhiều khó khăn. Mặt khác, vì không tuân theo một chuẩn mực nào nên không
   ít GV vi phạm nguyên tắc ghi bảng khi hình thành kiến thức theo dạng SĐTD.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
   2.1. Cơ sở lý luận của việc sử dụng SĐTD
   Việc sử dụng SĐTD như một phương pháp giảng dạy mới. Theo ông Vũ Đình
   Chuẩn vụ trưởng vụ giáo dục trung học: “ngoài tính khoa học ,phương pháp học này
   có nhiều ưu điểm phù hợp với điều kiện kinh tế và cơ sở vật chất của ngành giáo
   dục Việt Nam”; “Sơ đồ tư duy có thể áp dụng cho nhiều vùng khác nhau ,đặc biệt
   tại các vùng nghèo ,giáo viên có khi chỉ cần một tấm bản đồ dùng rồi , một tờ lịch
   dùng rồi,chỉ cần một mặt giấy cũng có thể vẽ được bản đồ tư duy . Chính vì tính linh
   hoạt nên khi áp dụng nó khả thi”; “Việc phát triển tư duy cho học sinh và giảng dạy
   kiến thứcvề thế giới xung quanh luôn là một trong những ưu tiên hàng đầu của những
   9
   người làm công tác giáo dục”. Còn theo tiến sĩ Trần Đình Châu-người đầu tiên tiến
   hành nghiên cứu và tìm cách đưa phương pháp bản đồ tư duy vào giảng dạy ở Việt
   Nam thì “quan trọng là phổ biến phương pháp giảng dạy này đến giáo viên ,thay đổi
   tư duy dạy học của họ”.
   Trong hoạt động dạy học có hai chủ thể thầy và trò. Mối quan hệ giữa thầy và
   trò là quan hệ thầy – người tổ chức, điều khiển quá trình nhận thức và trò, nhằm thực
   hiện mục tiêu các hoạt động dạy học. dạy học chỉ có hiệu quả khi cả thầy và trò tích
   cực hợp tác hoạt động.
   SĐTD là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi, đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ
   thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức… bằng cách kết hợp việc sử dụng
   đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực. Tác giả của
   SĐTD là Tony Buzan, ông là người đã thúc đẩy làn sóng cách mạng học tập bùng
   nổ tại nhiều nước trên thế giới và khu vực, trong đó có Việt Nam. Có thể nói, SĐTD
   là con đường dẫn HS đến với phương pháp “ học cách học”.
   Lí luận dạy học đã chỉ ra rằng, HS vừa là đối tượng, vừa là chủ thể của quá trình
   dạy học. Việc sử dụng kĩ thuật dạy học SĐTD làm cho HS có điều kiện trao đổi với
   thầy với bạn, sẽ phát huy tốt tính tích cực chủ động của HS. Thay đổi phương pháp,
   mô hình dạy học là yêu cầu không thể thiếu trong xã hội hiện đại, nó vừa phát huy
   tốt ưu thế của mỗi môn học, vừa tạo được sự hấp dẫn đối với HS, thông qua đó vừa
   giáo dục và hình thành những kĩ năng sống cơ bản cho HS.
   Tuy nhiên, việc tổ chức bài học sôi động và chuyển đổi các dòng chữ dài và đơn
   điệu trong sách giáo khoa thành các bài học với những hình vẽ, đường cong sinh
   động và dễ hiểu không phải là vấn đề dễ dàng đối với GV và HS hiện nay. Việc thay
   đổi cách nghĩ, cách học đối với lớp học mà HS có mặt bằng nhận thức không đồng
   đều, lại càng khó khăn và phức tạp hơn. Bởi vì, từ lâu HS đã quen với việc chỉ cần
   ghi chép các nội dung mà thầy, cô truyền đạt, khi về nhà chỉ cần học thuộc lòng bài
   cũ, không cần hiểu sâu hay áp dụng vào thực tế, tất cả những điều đó đã ăn mòn
   trong cách học của các em bấy lâu nay. Do vậy, việc vận dụng phương pháp SĐTD
   lại càng trở nên gian nan đối với GV.
   Từ những vấn đề lý luận nêu trên, có thể khẳng định việc sử dụng kĩ thuật dạy
   10
   học SĐTD là một công cụ hữu ích trong giảng dạy và học tập. Bằng phương pháp
   này, GV và HS có thể trình bày ý tưởng và nội dung bài học một cách rõ ràng, sáng
   tạo, thông tin được tóm tắt cô đọng, đưa ra được nhiều ý tưởng mới… Trong đó, GV
   đóng vai trò hướng dẫn, tổ chức, nhận xét, bổ sung và đánh giá trong tiết học; HS
   không phải ghi chép nhiều, thời gian của tiết học được dùng để thảo luận nghiên cứu
   và báo cáo; đồng thời HS được rèn luyện nhiều kỹ năng như làm việc nhóm, hợp tác
   và tự tin trước tập thể, qua đó giúp HS vượt qua rào cản tự ti và

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Phát triển năng lực cho học sinh qua dạy bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị Trung
ương 8 (khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu
cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước trong điều kiện kinh tế thị trường định
hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã chỉ rõ:
“Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành;
lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và
giáo dục xã hội”;
“Đổi mới chương trình nhằm phát triển năng lực và phẩm chất người học,
hài hòa đức, trí, thể, mỹ; dạy người, dạy chữ và dạy nghề. Đổi mới nội dung giáo
dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và
ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực chủ động tư
duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng
phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh”.
Tháng 12 năm 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố chương trình giáo
dục phổ thông môn Toán ban hành kèm thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT đã định
hướng về nội dung giáo dục phải tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận
dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa
toán học với thực tiễn, giữa toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác,
đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hóa học, Sinh học,
Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM.
Điều này cho thấy, giáo dục môn Toán gắn liền với thực tiễn và các môn
học khác là rất quan trọng trong hệ thống giáo dục phổ thông, giai đoạn giáo dục
định hướng nghề nghiệp. Trong dạy học Toán, bài toán thực tiễn có vai trò rất
3
quan trọng, cụ thể: Thông qua bài toán thực tiễn, học sinh hiểu rõ hơn các khái
niệm, tính chất; được củng cố kiến thức; mở rộng hiểu biết một cách sinh động,
phong phú; hiểu rõ mối liên hệ của Toán học với các môn học khác, với thiên
nhiên, môi trường, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống. Do đó, trong quá
trình giảng dạy môn Toán 11, tôi đã dành thời gian để nghiên cứu về ứng dụng của
“Cấp số nhân”, giúp học sinh hiểu được vai trò của Toán học trong các môn học
khác và trong thực tế cuộc sống, từ đó tạo động cơ học tập tích cực, kích thích trí
tò mò, quan sát, làm tăng hứng thú học tập môn Toán, say mê nghiên cứu khoa
học, có những định hướng nghề nghiệp trong tương lai.
Vì vậy, tôi đã tìm hiểu và đưa ra sáng kiến :“Phát triển năng lực cho học
sinh qua dạy học bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn”
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trƣớc khi tạo ra sáng kiến
   Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11 hiện nay, các bài tập về cấp số
   nhân đa phần thiên về tính toán khô khan, rất ít bài toán ứng dụng thực tế. Thực
   hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ
   yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học.
   Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với
   giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” thì những bài toán ứng dụng thực tế của cấp
   số nhân là thực sự cần thiết đối với những học sinh trung học phổ thông.
   Ví dụ: (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang – 2019)
   Khi ký hợp đồng dài hạn (
   10
   năm) với các kỹ sư được tuyển dụng, công
   ty A đề xuất
   4 phương án trả lương để người lao động chọn như sau:
   Phƣơng án 1: Người lao động sẽ nhận
   72000000
   đồng cho năm làm việc đầu tiên
   và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm
   5000000
   đồng mỗi năm.
   Phƣơng án 2: Người lao động sẽ nhận mức lương
   18000000
   đồng cho quý làm
   việc đầu và kể từ quý thứ hai mức lương sẽ tăng thêm
   1000000
   đồng cho mỗi quý.
   Phƣơng án 3: Người lao động sẽ nhận mức lương
   4000000
   đồng cho 1 tháng làm
   việc đầu và kể từ tháng thứ hai mức lương sẽ tăng thêm
   100000
   đồng so với tháng
   trước đó.
   4
   Phƣơng án 4: Người lao động sẽ nhận
   80000000
   đồng cho năm làm việc đầu tiên
   và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm
   10%
   so với năm trước đó.
   Ta nên chọn cách nhận lương theo phương án nào để được hưởng lương cao nhất?
   A. Phương án 2 . B. Phương án 1. C. Phương án 3. D. Phương án 4 .
   Ví dụ : Kết quả Tổng điều tra dân số lần thứ 5 tại Việt Nam cho thấy tính đến 0
   giờ ngày 1/4/2019, tổng dân số của Việt Nam đạt 96,2 triệu người. Với kết quả
   này, Việt Nam là quốc gia đông dân thứ 15 trên thế giới và đứng thứ 3 trong khu
   vực Đông Nam Á (sau Indonesia và Philipines). Tỷ lệ tăng dân số hàng năm là
   1,14%. Giả sử tỷ lệ tăng dân số từ năm 2019 đến năm 2030 không thay đổi thì dân
   số nước ta đầu năm 2030 khoảng bao nhiêu?
   A. 118,98 triệu người B. 106,98 triệu người
   C. 116,98 triệu người D. 108,98 triệu người
   Ví dụ : (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2021)
   Ông A gửi 120 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% /năm. Biết rằng
   nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập
   vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau 10 năm, tổng số tiền mà ông A
   nhận được là bao nhiêu? (Giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay
   đổi và người đó không rút tiền ra)
   A. 214,90 triệu đồng B. 224,10 triệu đồng
   C. 234,90 triệu đồng D. 215,10 triệu đồng.
   Thực tế, học sinh rất lúng túng trong việc giải quyết bài toán có nội dung
   thực tế, rất ngại đọc đề bài vì dài, phức tạp. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, tôi
   đã lồng ghép các kiến thức thực tế, liên môn, tạo cơ hội cho học sinh vận dụng
   kiến thức đã học để giải quyết sẽ khiến học sinh hứng thú hơn nhiều. Các bài toán
   cũng sẽ trở nên thú vị và hấp dẫn với học sinh hơn, có ý nghĩa trong chính thực tế
   cuộc sống của các em, chứ không phải là các bài toán khô khan, cứng nhắc, chỉ
   gồm những con số. Do đó, trong sáng kiến này, tôi có đưa ra những bài toán ứng
   dụng của cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn giúp giáo viên có thể khai thác,
   5
   phát triển những ý tưởng mới đưa vào bài dạy của mình cho sinh động và thu hút
   học sinh.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
   Nội dung sáng kiến có thể giúp cho học sinh lớp 11 và các giáo viên có cái
   nhìn sâu sắc hơn về ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế và các môn học khác.
   Từ đó bản thân người giáo viên sẽ xây dựng được cho mình phương pháp dạy học
   hiệu quả, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục. Đồng thời các em sẽ tự tin hơn khi
   giải quyết các bài toán thực tế, sẽ thấy hứng thú, tích cực, chủ động tìm tòi kiến
   thức mới hơn. Sáng kiến của tôi đưa ra có cấu trúc như sau:
   Phần A: Cơ sở lí luận
   Phần B: Nội dung giải pháp (3 nội dung)
   Nội dung 1: Tóm tắt lí thuyết
   Nội dung 2: Các bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn
   Bài toán 1: Ứng dụng cấp số nhân trong các bài toán kinh tế, xã hội;liên hệ giáo
   dục địa phương và môn Lịch sử.
   Bài toán 2: Ứng dụng cấp số nhân trong các môn học: Sinh học, Vật lí, Địa lí, Âm
   nhạc,…
   Với mỗi dạng bài đều có ví dụ minh họa, phân tích và hướng dẫn giải để học sinh
   phát triển năng lực giải quyết bài toán thực tế.
   Nội dung 3: Hệ thống bài tập tự luyện
   6
   Phần A: CƠ SỞ LÍ LUẬN
   I. Khái niệm năng lực, chƣơng trình giáo dục định hƣớng năng lực
   1.Khái niệm năng lực:
   Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức hợp, là điểm hội tụ của nhiều yếu tố
   như tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành động và trách nhiệm.
   Trong quá trình dạy học, năng lực được hiểu là sự kết hợp tri thức, kỹ năng và thái
   độ.

Có ý kiến cho rằng: “Người có năng lực là người đạt hiệu suất và chất lượng
hoạt động cao trong các hoàn cảnh khác nhau”. Dưới góc độ giáo dục học, chúng
ta có thể xem xét năng lực là kết quả của quá trình giáo dục, rèn luyện của cá
nhân, thể hiện ở những kiến thức, kỹ năng và thái độ phù hợp để cá nhân có thể
tham gia hiệu quả vào một lĩnh vực hoạt động nhất định.
Dạy học phát triển năng lực là quá trình thiết kế, tổ chức và phối hợp giữa
hoạt động dạy và hoạt động học, tập trung vào kết quả đầu ra của quá trình này.
Trong đó nhấn mạnh người học cần đạt được các mức năng lực như thế nào sau
khi kết thúc một giai đoạn (hay một quá trình) dạy học.
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực là mô hình dạy học nhằm phát
triển tối đa năng lực của người học, trong đó, người học tự mình hoàn thành nhiệm
vụ nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của người dạy. Quá trình giáo dục từ chủ
yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học
trên nguyên lý: Học đi đôi với hành; Lý luận gắn với thực tiễn; Giáo dục nhà
trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.
7
2.Chương trình giáo dục định hướng năng lực
Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực được bàn đến nhiều
từ những năm 90 của thế kỷ XX và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc
tế. Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực
người học.
Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định
hướng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đầu ra, có thể coi là
“sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lượng dạy học
chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học
tập của học sinh.
Bảng so sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình định hướng nội
dung và chương trình định hướng phát triển năng lực sẽ cho chúng ta thấy ưu điểm
của chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực.
Chƣơng trình
định hƣớng nội dung
Chƣơng trình định hƣớng
phát triển năng lực
Mục tiêu
giáo dục
Mục tiêu dạy học được mô tả
không chi tiết và không nhất
thiết phải quan sát, đánh giá
được.
Kết quả học tập cần đạt được mô tả
chi tiết và có thể quan sát, đánh giá
được, thể hiện được mức độ tiến bộ
của học sinh một cách liên tục
Nội dung
giáo dục
Việc lựa chọn nội dung dựa
vào các khoa học chuyên môn,
không gắn với các tình huống
thực tiễn. Nội dung được quy
định chi tiết trong chương
trình.
Lựa chọn những nội dung nhằm đạt
được kết quả đầu ra đã quy định,
gắn với các tình huống thực tiễn.
Chương trình chỉ quy định những
nội dung chính, không quy định chi
tiết.
Phương
pháp dạy
học
Giáo viên là người truyền thụ
tri thức, là trung tâm của quá
trình dạy học. Học sinh tiếp
thu thụ động những tri thức
được quy định sẵn.
Giáo viên chủ yếu là người tổ chức,
hỗ trợ học sinh tự lực và tích cực
lĩnh hội tri thức. Chú trọng sự phát
triển khả năng giải quyết vấn đề,
khả năng giao tiếp…
Chú trọng sử dụng các quan điểm,
phương pháp và kỹ thuật dạy học
tích cực; các phương pháp dạy học
thí nghiệm, thực hành.
8
Hình thức
dạy học
Chủ yếu dạy học lý thuyết trên
lớp học
Tổ chức hình thức học tập đa dạng;
chú ý các hoạt động xã hội, ngoại
khóa, nghiên cứu khoa học, trải
nghiệm sáng tạo; đẩy mạnh ứng
dụng công nghệ thông tin và truyền
thông trong dạy và học.
Đánh giá
kết quả học
tập của học
sinh
Tiêu chí đánh giá được xây
dựng chủ yếu dựa trên sự ghi
nhớ và tái hiện nội dung đã
học.
Tiêu chí đánh giá dựa vào năng lực
đầu ra, có tính đến sự tiến bộ trong
quá trình học tập, chú trọng khả
năng vận dụng trong các tình
huống thực tiễn.
II. Các năng lực cần phát triển cho học sinh trong dạy học nói chung v dạy
học môn Toán nói riêng.
Môn Toán là môn học công cụ, là môn học bắt buộc đối với tất cả các học
sinh. Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, môn Toán được phân chia theo
hai giai đoạn: Giai đoạn giáo dục cơ bản (lớp 1 đến lớp 9); Giai đoạn giáo dục
định hướng nghề nghiệp (lớp 10 đến lớp 12).
Trong giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp, giáo viên cần phải giúp
học sinh thấy được những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, những
ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghề
nghiệp sau này, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự mình tìm hiểu những vấn
đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời.
Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi… làm nền
tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp.
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực nhằm bồi dưỡng và phát huy
cho học sinh 10 năng lực sau đây: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và
hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo; năng lực ngôn ngữ, năng lực toán
học, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mỹ,
năng lực thể chất. Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học là:

• Năng lực tư duy và lập luận toán học: là tổng hợp những khả năng ghi
  nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận – giải quyết vấn
  đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào
  thực tiễn. Năng lực tư duy của học sinh tiểu học trong quá trình học toán thể hiện
  9
  qua các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, đặc biệt hóa và khái quát
  hóa…
• Năng lực giải quyết vấn đề: là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các
  quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xác cảm để giải quyết những
  tình huống có vấn đề mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông
  thường. Đây là một trong những năng lực mà môn toán có nhiều lợi thế để phát
  triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, quy tắc toán học và đặc biệt là
  qua giải toán.
• Năng lực mô hình hóa toán học (còn gọi là năng lực toán học hóa tình
  huống thực tiễn): là khả năng chuyển hóa một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán
  học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá
  lời giải trong ngữ cảnh thực tế.
• Năng lực giao tiếp toán học: là khả năng sử dụng ngôn ngữ nói, viết và
  biểu diễn toán học để làm thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học.
  Năng lực giao tiếp liên quan đến việc sử dụng ngôn ngữ toán học kết hợp các ngôn
  ngữ thông thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán
  học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi giải toán…
• Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán: giúp học sinh làm
  quen với các phương tiện toán học thông thường và bắt đầu làm quen với công
  nghệ thông tin.
  III. Đổi mới phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển năng lực của học sinh
  Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình
  giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ
  quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng
  được cái gì qua việc học.
  Phương pháp dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ chú ý tích
  cực hoá học sinh về hoạt động trí tuệ mà còn chú ý rèn luyện năng lực giải quyết
  vấn đề gắn với những tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp, đồng thời gắn
  hoạt động trí tuệ với hoạt động thực hành, thực tiễn. Tăng cường việc học tập
  trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên – học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa
  10
  quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập những tri thức
  và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề học tập
  phức hợp nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp.
  Những định hướng chung, tổng quát về đổi mới phương pháp dạy học các môn
  học thuộc chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực là:
• Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và
  phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông
  tin,…), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy.
• Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp
  đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào
  cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận
  thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.
• Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy
  học. Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình
  thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài
  lớp… Cần chuẩn bị tốt về phương pháp đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu
  cầu rèn luyện kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng
  thú cho người học.
• Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học môn học tối thiểu đã qui
  định. Có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm nếu xét thấy cần thiết với nội
  dung học và phù hợp với đối tượng học sinh. Tích cực vận dụng công nghệ thông
  tin trong dạy học.
  IV. Một số biện pháp đổi mới phƣơng pháp dạy học

1. Cải tiến các phương pháp dạy học truyền thống
   Các phương pháp dạy học truyền thống như thuyết trình, đàm thoại, luyện tập
   luôn là những phương pháp quan trọng trong dạy học. Đổi mới phương pháp dạy
   học không có nghĩa là loại bỏ các phương pháp dạy học truyền thống quen thuộc
   mà cần bắt đầu bằng việc cải tiến để nâng cao hiệu quả và hạn chế nhược điểm của
   chúng. Các phương pháp dạy học truyền thống có những hạn chế tất yếu, vì thế
   11
   bên cạnh các phương pháp dạy học truyền thống cần kết hợp sử dụng các phương
   pháp dạy học mới, đặc biệt là những phương pháp và kỹ thuật dạy học phát huy
   tính tích cực và sáng tạo của học sinh. Chẳng hạn có thể tăng cường tính tích cực
   nhận thức của học sinh trong thuyết trình, đàm thoại theo quan điểm dạy học giải
   quyết vấn đề.
2. Kết hợp đa dạng các phương pháp dạy học
   Không có một phương pháp dạy học toàn năng phù hợp với mọi mục tiêu và
   nội dung dạy học. Mỗi phương pháp và hình thức dạy học có những ưu, nhựơc
   điểm và giới hạn sử dụng riêng. Vì vậy việc phối hợp đa dạng các phương pháp và
   hình thức dạy học trong toàn bộ quá trình dạy học là phương hướng quan trọng để
   phát huy tính tích cực và nâng cao chất lượng dạy học.
3. Tích cực sử dụng các phương pháp dạy học tích cực trong môn Toán như:
   +) Dạy học giải quyết vấn đề: là cách thức phù hợp để hình thành và phát triển
   “Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo” (năng lực chung). Trong phạm vi dạy
   học môn Toán (vấn đề được nêu ra có bản chất toán học), dạy học giải quyết vấn
   đề phù hợp để hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học (một
   thành phần của năng lực toán học).
   Dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán giúp cho các tri thức toán (khái
   niệm, định lí, hệ quả, tính chất,…) được hình thành như là kết quả của quá trình
   HS tích cực suy nghĩ để giải quyết một vấn đề toán học, chứ không phải do GV
   tuyên bố.
   +) Dạy học mô hình hoá toán học và dạy học bằng mô hình hoá toán học: là
   dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho
   những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
   Dạy học bằng mô hình hoá toán học là dạy học toán thông qua dạy học mô
   hình hoá. Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải
   quyết các vấn đề thực tiễn, đây, mô hình hóa toán học được hiểu là sự giải thích
   toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà
   người ta đặt ra trên hệ thống này.
   12
   +) Dạy học toán qua tranh luận khoa học: là tổ chức lớp học toán như một
   cộng đồng khoa học, trong đó HS sẽ đóng vai các nhà toán học nhằm thiết lập
   chân lí cho các kiến thức toán học cần dạy dựa vào các quy tắc suy luận logic và
   những tri thức toán học đã biết.
   +) Dạy học toán qua hoạt động trải nghiệm: là dạy học dựa trên mô hình gắn
   với lí thuyết học tập trải nghiệm . Do vậy, thông qua hành động (thực hành, làm
   việc), HS tạo ra tri thức mới trên cơ sở trải nghiệm thực tế, dựa vào đánh giá, phân
   tích những kinh nghiệm, kiến thức sẵn có.
4. Sử dụng các kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật khăn trải bàn, phòng tranh, sơ đồ tư
   duy, tia chớp, KWL và KWLH,…
   13
   Phần B: NỘI DUNG GIẢI PHÁP
   Nội dung 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN.
5. Cấp số cộng
   1.1. Khái niệm
   Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,
   mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
   Số d gọi là công sai của cấp số cộng.
   1.2. Số hạng tổng quát
   Nếu cấp số cộng
     n
   u
   có số hạng đầu là
   1 u
   và công sai
   d
   thì số hạng tổng quát
   n u
   được xác định bởi công thức:
   u u n d n
      1  1 .
   với
   n 2
   1.3. Tính chất
   Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung
   bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
   1 1
   2
   k k
   k
   u u
   u
   với
   k 2
   1.4. Tổng n số hạng đầu
   Cho cấp số cộng
    .
   n
   u
   Đặt
   1 2 3 … .
   n n
   S u u u u
   Khi đó
    1 
   2
   n n
   n
   S u u  
   hoặc
   1
   2 1
   2
   n
   n
   S u n d
6. Cấp số nhân
   2.1. Khái niệm
   Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
   hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi
   q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.
   2.2. Số hạng tổng quát
   Nếu cấp số nhân
     n
   u
   có số hạng đầu là
   1 u
   và công bội
   q
   thì số hạng tổng quát
   n u
   được xác định bởi công thức:
   1
   1
   .
   n
   n
   u u q
   với
   n 2
   2.3. Tính chất
   Trong một cấp số nhận, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
   14
   cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
   2
   1 1 .
   k k k u u u
   với
   k 2
   2.4. Tổng n số hạng đầu
   Cho cấp số nhân
     n
   u
   với công bội
   q 1.
   Đặt
   1 2 3 … .
   n n
   S u u u u
   Khi đó
   1
   1
   .
   1
   n
   n
   q
   S u
   q
   
   
   
   Chú ý: Nếu
   q 1
   thì cấp số nhân là:
   1 1 1 1 u u u u , , ,…, ,…
   Khi đó
   1
   .
   n
   S n u 
   Nội dung 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CẤP SỐ NHÂN TRONG THỰC
   TIỄN, LIÊN MÔN.
   Bài toán 1: Bài toán ứng dụng cấp số nhân trong kinh tế, xây dựng; liên hệ
   giáo dục địa phƣơng v môn Lịch sử.
   Ví dụ 1: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của
   mỗi tầng bằng
   4
   5
   diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt
   trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (đế tháp có diện tích là 40 m
   2
   ). Tính
   diện tích mặt trên cùng.
   Phân tích:

• Diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp, tức là bằng:
  40 2
  20
  2
  m
• Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay
  bên dưới, nghĩa là: diện tích bề mặt trên của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một
  cấp số nhân, công bội bằng
  4
  5
• Tính diện tích mặt trên cùng, tức là tính số hạng thứ 11 của cấp số nhân đó.
  Lời giải:
  15
• Diện tích mặt trên của tầng 1 là:
  40 2
  20
  2
  m
• Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có số
  hạng đầu là
  2
  1
  u m 20 ,
  công bội
  4
  5
  q
• Diện tích mặt trên cùng là:
  10
  10 2
  11 1
  4
  . 20. 2,15
  5
  u u q m
  Chọn A.
  Bình luận: – Để tính diện tích mặt trên cùng của tháp ta cần phân tích các dữ kiện
  để chuyển bài toán thực tế sang bài toán toán học. Qua đó, giáo viên đã bồi
  dưỡng, phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.
• Khi yêu cầu học sinh giải toán, ta nên đưa vào những hình ảnh minh họa
  để học sinh quan sát, liên tưởng, giúp các em giải quyết vấn đề tốt hơn đồng thời
  bồi dưỡng năng lực thẩm mỹ. Chẳng hạn, khi giải quyết bài toán trong ví dụ 1, ta
  đưa thêm hình ảnh tháp Phổ Minh – di sản văn hóa thời Trần ở Nam Định

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy bài toán Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Mỗi môn học ở trường phổ thông với đặc trưng của mình đều góp phần thực hiện
mục tiêu giáo dục trong đó có môn Toán. Môn Toán ở trường phổ thông không chỉ
trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản của bộ môn mà còn bồi dưỡng tư
tưởng, tình cảm đúng đắn đồng thời giúp các em phát triển toàn diện. Song để thực
hiện chức năng đó cần thiết phải đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần: phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng cho
học sinh năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.
Quán triệt sâu sắc quan điểm chỉ đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục –
Đào tạo Nam Định về đổi mới phương pháp dạy học, giáo viên trường THPT Giao
Thủy đã từng bước tích cực áp dụng các phương pháp, hình thức dạy học theo
hướng phát triển phẩm chất, năng lực của học sinh.
Năm học 2021 – 2022 là năm học thứ sáu Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT Quốc
Gia môn toán dưới hình thức trắc nghiệm nên một số nội dung giảng dạy theo
phương pháp truyền thống không còn phù hợp, cần có hướng khai thác mới phát
huy tư duy học sinh để đạt hiệu quả cao nhất.
Chuyên đề “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng” là
một nội dung quan trọng của hình học lớp 11. Nếu hệ thống bài tập được khai thác
và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy biểu
hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác
nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một
bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra
bài toán mới trên cơ sở những bài toán quen thuộc.
Xuất phát từ lí do trên, qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và dự giờ học
tập đồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
2
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
   Trong các kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG và học sinh giỏi thì bài toán về Góc
   giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng làm cho nhiều học sinh
   lúng túng vì nghĩ rằng nó trừu tượng và thiếu tính thực tế. Có thể nói bài toán về
   Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng có sự phân loại đối
   tượng học sinh rất cao.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
   Trong quá trình học tập, tôi khuyến khích HS sử dụng bất cứ nội lực nào, bất cứ
   phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào có thể, miễn sao phát hiện và giải quyết
   được vấn đề. SKKN hướng đến việc phát triển phẩm chất, năng lực học sinh, rèn
   luyện tính linh hoạt của tư duy, thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư
   duy. Trước hết cần rèn luyện cho HS khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy
   đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm
   xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. Việc chuyển
   hướng quá trình tư duy không chỉ là đảo ngược quá trình này mà còn có thể là
   chuyển từ hướng này sang hướng khác không nhất thiết là ngược với hướng ban
   đầu. Rèn luyện cho học sinh tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả
   năng tự mình phát hiện vấn đề, tự xác định phương hướng và tìm ra cách giải
   quyết, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết
   với tính phê phán của tư duy nó thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc ý nghĩ và
   tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết
   đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?” đúng chỗ, đúng lúc. Như vậy qua việc
   nghiên cứu sâu bài toán có thể giúp HS sáng tạo ra được bài toán mới thể hiện tính
   sáng tạo của tư duy.
   Sau đây tôi trình bày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến.
   BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO
   CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN
   GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;
   GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
   3
   Những điểm mới mà sáng kiến của tôi đề cập đến bao gồm:

• Phần 1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp
  để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Trang 4)
  Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói
  trên (Trang 8)
• Phần 2 Góc giữa hai mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp để tính góc
  giữa hai mặt phẳng (Trang 39)
  Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói
  trên (Trang 43)
• Phần 3 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo:
  tìm ra nhiều cách giải khác nhau; đề xuất bài toán mới từ bài toán đã cho; phát
  hiện những sai lầm trong lời giải, nguyên nhân và cách khắc phục những sai
  lầm đó (Trang 60)
• Phần 4 Tứ diện vuông: khai thác – ứng dụng các tính chất cơ bản về Góc giữa
  đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng để phát triển thêm một số
  bài toán (Trang 68)
  4
  PHẦN 1. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
  I. Phương pháp

1. Phương pháp 1. Dựng góc
   SGK định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:

• Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng d và
  mặt phẳng bằng .
• Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường
  thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng gọi là góc giữa đường thẳng
  d và mặt phẳng .
  Chú ý: Gọi
  
  là góc giữa đường thẳng
  d
  và mặt phẳng
  (P)
• 
  0 90     
• 
  ( )
  ( )
  0
  
    = 
   
  d P
  d P
  
• Để tìm hình chiếu d’ của d trên ta có thể
  làm như sau:
  Tìm giao điểm
  M d P = ( )
  Lấy một điểm tùy ý trên d khác và
  xác định hình chiếu của trên . Khi
  đó d’ là đường thẳng đi qua hai điểm và
  .
  Ta có
   = AMH cos =
  MH
  MA
  
  sin , = 0 90     AH
  AM
   
  Tuy nhiên việc xác định hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng không phải
  lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc đưa ra thêm một số phương pháp để tính
  góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.
  (P)
  (P) 90
  (P)
  (P)
  (P)
  (P)
  A M
  H A (P)
  H
  M
  P
  A
  M H
  5

1. Phương pháp 2. Sử dụng quan hệ song song
   a. Hướng 1: Chọn một đường thẳng
    d
   . Khi đó góc giữa đường thẳng
   d
   và mặt
   phẳng
   (P)
   bằng góc giữa đường thẳng
   
   và mặt phẳng
   (P).
   b. Hướng 2: Chọn một mặt phẳng
   (Q P ) ( )
   . Khi đó góc giữa đường thẳng
   d
   và mặt
   phẳng
   (P)
   bằng góc giữa đường thẳng
   d
   và mặt phẳng
   (Q).
   c. Hướng 3: Chọn một đường thẳng
    d
   . Chọn một mặt phẳng
   (Q P ) ( )
   . Khi đó góc
   giữa đường thẳng
   d
   và mặt phẳng
   (P)
   bằng góc giữa đường thẳng
   
   và mặt phẳng
   (Q).
   Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh sẽ thay thế một trong hai đối tượng đường thẳng
   và mặt phẳng nhằm mục đích xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng thuận
   lợi.
2. Phương pháp 3. Sử dụng khoảng cách
   Nhận thấy ở Phương pháp 1 việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng
   không phải lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc sử dụng khoảng cách để tính
   góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.
   Cho đường thẳng
   d
   cắt mặt phẳng
   (P)
   tại M.
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   d
   và mặt phẳng
   (P)
   Khi đó
   ( ,( ))
   sin , = 0 9    0
   d A P
   AM
    
   ( ( ))
   2 2
   ,
   cos

−

MA d A P
MA

Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh không cần xác định góc mà có thể tính ngay
được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua khoảng cách, và cách tính khoảng
cách có thể đơn giản hơn nhiều so với cách xác định góc và tính góc.

4. Phương pháp 4. Sử dụng dãy tỉ số bằng nhau của khoảng cách (KHÔNG CẦN
   TÌM GIAO ĐIỂM của đường thẳng và mặt phẳng)
   Nhận thấy ở Phương pháp 3 việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
   không phải lúc nào cũng thuận lợi. Khắc phục khó khăn đó bằng cách lấy hai điểm
   phân biệt thuộc đường thẳng và xem vị trí tương đối của hai điểm đó với mặt phẳng
   P
   A
   M H
   6
   Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A, M.
   a. Hai điểm A, M nằm về 2 phía của mặt phẳng
   (P)
   ( , , , , ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
   sin
   d M P d A P d M P d A P
   MO AO MA
   
   +
   = = =
   b. Hai điểm A, M nằm về cùng một phía của mặt phẳng
   (P)
   ( , , ( )) ( ( )) ( , , ( )) ( ( ))
   sin
   −
   = = =
   d M P d A P d M P d A P
   MO AO MA
   
   Chú ý: Cách tiếp cận này thích hợp cho học sinh nắm chắc việc tính khoảng cách từ một
   điểm đến một mặt phẳng.
5. Phương pháp 5. Sử dụng góc phụ
   Cho đường thẳng
   
   vuông góc với
   mặt phẳng
   (P)
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   d
   và
   mặt phẳng
   (P)
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   d
   và
   đường thẳng
   
    + =    90
   Ta có
   sin cos ,   = 0 90    

2
cos sin 1 cos    = = −
Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai đường thẳng.
d
P
M
O
K
A
H
d
P
A
O H
M
K

P
A
M H
7

6. Phương pháp 6. Sử dụng góc phụ
   Gọi
   
   là góc giữa hai mặt phẳng
   (P)
   và
   (Q)
   Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
   (P)
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
   (Q)
    + =    90
   Ta có
   2
   cos sin 1 cos    = = − sin cos ,   = 0 90     

Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai mặt phẳng.

7. Phương pháp 7. Sử dụng phương pháp tọa độ không gian
   Đường thẳng
   d
   có một vectơ chỉ phương
   u
   Mặt phẳng
   (P)
   có một vectơ pháp tuyến
   n
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   d
   và mặt phẳng
   (P)
   Ta có
   .
   sin ,
   .
   = 0 90    
   u n
   u n
    
   a
   8
   Sau đây tôi đưa ra một số bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận
   các phương pháp nói trên
   II. Bài tập minh họa
   Bài 1: Cho hình lập phương
   ABCD A B C D .
      
   có cạnh bằng
   a
   . Tính góc giữa đường thẳng
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Lời giải
   Lời giải 1: Phương pháp 1
   Tìm hình chiếu của
   A
   trên mặt phẳng
   ( A BD ).
   Tìm giao điểm của
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Cụ thể: Ta có
   AI A BD ⊥(  )
   tại
   I
   Giao điểm của
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD )
   chính là giao điểm của
   AD
   và
   AD
   Lời giải 2: Phương pháp 2
   Ta có
   AD BC  
   nên góc giữa đường thẳng
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD )
   bằng góc giữa
   đường thẳng
   BC
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   BC
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Hướng 1: Hình chiếu của
   BC
   trên mặt phẳng
   ( A BD )
   là
   BI C BI  =  
   3 3
   cos arccos
   3 3
    = =  =
   
   BI
   BC
    
   Hướng 2: Ta có
   ( , 2 , ( )) ( ( ))
   sin
     
   = =
    
   d C A BD d A A BD
   C B C B
   
   Mà
   ( ( ))
   ( ( )) 2 2 2 2 2
   1 1 1 1 3 3
   ,
   , 3
   = + + =  = 
    
   a
   d A A BD
   d A A BD AA AB AD a
   , C B a 
   = 2
   9
   6 6 sin arcsin
   3 3
    =  =  
   Lời giải 3: Phương pháp 3
   Tìm giao điểm của
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Tính
   d A A BD ( ,(  ))
   Lời giải 4: Phương pháp 4 (KHÔNG CẦN tìm giao điểm của
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD )
   )
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Ta có
   A D,
   
   nằm hai phía mặt phẳng
   ( A BD )
   ( , , 2 , ( )) ( ( )) ( ( ))
   sin
       +
   = =
    
   d A A BD d D A BD d A A BD
   AD AD
   
   Mà
   d D A BD d A A BD (   
   , , ( )) = ( ( )),
   ( ( ))
   ( ( )) 2 2 2 2 2
   1 1 1 1 3 3
   ,
   , 3
   = + + =  = 
    
   a
   d A A BD
   d A A BD AA AB AD a
   , A D a 
   = 2
   2 , ( ( )) 6 6 sin arcsin
   3 3
   
    = =  =
   
   d A A BD
   AD
    
   Lời giải 5: Phương pháp 5
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Ta có
   AC A BD   ⊥( ). Gọi
   
   là góc giữa hai đường thẳng
   AD
   và
   AC.
   2 2 2
   sin cos cos
   2 .
       + −
    = = =  
    
   AC AD C D
   C AD
   AC AD
    
   Lời giải 6: Phương pháp 6
   Ta có
   AD A B CD    ⊥( )
   Gọi
   
   là góc giữa đường thẳng
   AD
   và mặt phẳng
   ( A BD ).
   Gọi
   
   là góc giữa hai mặt phẳng
   ( A BD )
   và
   ( A B CD   )
    = sin cos  
   Lời giải 7: Phương pháp 7
   10
   Chọn hệ trục tọa độ
   Bài 2: Cho hình chóp
   S ABCD .
   có đáy
   ABCD
   là hình vuông cạnh
   a
   , cạnh bên
   SA
   vuông
   góc với đáy và
   SA a =
   . Gọi
   M N,
   lần lượt là trung điểm của các cạnh
   BC
   và
   SD , 
   là
   góc giữa đường thẳng
   MN
   và mặt phẳng
   (SAC). Tính
   tan .
   Lời giải
   Lời giải 1: Phương pháp 2
   +) Gọi
   I
   là giao điểm của
   DM
   và
   AB
   . Ta có
   1
   ,
   2
   BM AD BM AD BM // = 
   là đường trung
   bình của tam giác
   AID
   nên
   M
   là trung điểm của
   ID
   . Suy ra
   MN SI // .
   +) Ta có tứ giác
   BDCI
   là hình bình hành nên
   BD IC //
   , mà
   BD SAC ⊥ ( )
   nên
   IC SAC ⊥ ( ).
   Suy ra hình chiếu của điểm
   I
   lên mặt phẳng
   (SAC)
   là điểm
   C .
   +) Góc giữa đường thẳng
   MN
   và mặt phẳng
   (SAC)
   bằng góc giữa đường thẳng
   SI
   và
   mặt phẳng
   (SAC)
   cũng bằng góc giữa
   SI
   và
   SC
   hay góc
   ISC = .
   +) Ta có
   SC a IC BD a = = = 3, 2 2 6
   tan
   3 3
   IC a
   SC a
    = = =  .
   Lời giải 2: Phương pháp 7
   11
   Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ
   O
   trùng với
   A
   . Không mất tính tổng quát,
   giả sử
   a =1
   Khi đó
   B(1;0;0), D(0;1;0), C(1;1;0), S (0;0;1)
   1 1 1 1; ;0 , 0; ;
   2 2 2
   M N             
   .
   Mặt phẳng
   (SAC)
   có vectơ pháp tuyến là
   n BD = = −( 1;1;0) .
   Đường thẳng
   MN
   có vectơ chỉ phương là
   1
   1;0;
   2
   u MN  
   = = −   
   .
   Mà
   
   là góc giữa đường thẳng
   MN
   và mặt phẳng
   (SAC)
   nên
   . 1 2 sin
   . 5 5 2.
   2
   n u
   n u
    = = = .
   Do đó
   2 3
   cos 1 sin
   5
     = − =
   sin 2 6
   tan
   cos 3 3
   
   
   
    = = = .
   Bài 3: Cho hình chóp
   S ABCD .
   có
   SA
   vuông góc với mặt phẳng đáy,
   ABCD
   là hình chữ
   nhật có
   AD a AC a = = 3 , 5
   , góc giữa hai mặt phẳng
   (SCD)
   và
   ( ABCD)
   bằng
   45 . Tính
   cosin của góc giữa đường thẳng
   SD
   và mặt phẳng
   (SBC).
   Lời giải
   Lời giải 1: Phương pháp 1
   12
   Gọi
   H
   là hình chiếu của
   A
   lên
   SB.
   Ta có
   ( )
   BC AB BC SAB BC AH
   BC SA
    ⊥
     ⊥  ⊥
    ⊥
   .
   ( )
   BC AH AH SBC
   SB AH
    ⊥
     ⊥
    ⊥
   .
   Dựng hình chữ nhật
   AHED  AH // DE  ⊥ DE SBC ( ).
   Do đó,
   (SD SBC SD SE DSE , , ( )) = = ( ) .
   Hai mặt phẳng
   (SCD)
   và
   ( ABCD)
   cắt nhau theo giao tuyến
   CD , AD ABCD  ( )
   và
   AD CD ⊥ , SD SCD  ( )
   và
   SD CD ⊥
   nên
   (( ) ( )) SCD ABCD SDA , 45 = =  .
   Tam giác
   SAD
   vuông tại
   A
   , có
   AD a = 3
   nên
   3
   3 2
   cos cos45
   AD a SD a
   SDA
   = = =
   
   ;
   SA AD a =  = .tan45 3 .
   Đáy
   ABCD
   là hình chữ nhật nên
   ( ) ( )
   2 2 2 2 AB DC AC AD a a a = = − = − = 5 3 4 .
   Tam giác
   SAB
   vuông tại
   A
   có đường cao
   AH
   nên
   ( ) ( )
   2 2 2 2 2 2
   1 1 1 1 1 25
   AH SA AB a 3 4 a a 144
   = + = + = 12
   5
   a
    = AH .
   AHDE
   là hình chữ nhật nên
   12
   5
   a
   AH DE = = .
   13
   Tam giác
   SDE
   vuông tại
   E
   nên
   12
   5 2 2 sin
   3 2 5
   a
   DE DSE
   SD a
   = = =
   Suy ra:
   2 17 cos 1 sin
   5
   DSE DSE = − = .
   Lời giải 2: Phương pháp 3
   Ta có thể không cần xác định chính xác hình chiếu của
   D
   lên mặt phẳng
   (SBC)
   mà vẫn
   tính được góc giữa đường thẳng
   SD
   và mặt phẳng
   (SBC)
   như sau:
   Gọi
   
   là góc giữa
   SD
   và mặt phẳng
   (SBC).
   Ta có
   ( ,( )) 2 2 sin
   5
   d D SBC AH
   SD SD
    = = = .
   Suy ra:
   2 17 cos 1 sin
   5
     = − = .
   Lời giải 3: Phương pháp 2
   14
   Tam giác
   SAD
   vuông tại
   A
   , có
   AD a = 3
   nên
   3
   3 2
   cos cos45
   AD a SD a
   SDA
   = = =
   
   ;
   SA AD a =  = .tan45 3 .
   Dựng hình chữ nhật
   SABP
   , khi đó
   SP AB CD SB = = , // AB// CD
   nên
   SDCP
   là hình bình
   hành, mà
   CD SD ⊥
   nên
   SDCP
   là hình chữ nhật. Suy ra
   SD CP SD CP a // , 3 2 = = .
   Từ
   P
   kẻ
   PH SB ⊥
   tại
   H
   , tam giác
   SPB
   vuông tại
   P
   , đường cao
   PH
   nên
   ( ) ( )
   2 2 2 2 2 2 2
   1 1 1 1 1 1 1
   PH SP PB AB SA 4 3 a a
   = + = + = + 12
   5
   a
    = PH
   Ta có
   ( ( )) ( ( )) SD SBC CP SBC PCH , ,
   = = .
   12
   5 2 2 sin
   3 2 5
   a
   PH PCH
   PC a
   = = = .
   Suy ra:
   2 17 cos 1 sin
   5
   PCH PCH = − = .
   15
   Bài 4: Câu 24.3 Đề khảo sát chất lượng học kỳ 2 năm học 2019-2020 của trường THPT
   Giao Thủy
   Đáp án của trường Câu 24.3 làm theo Phương pháp 3
   M
   I
   N O
   C
   B
   D
   A
   S
   H
   P
   E
   16
   Lời giải 1: Phương pháp 3
   Lời giải học sinh lớp tôi dạy

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Một số bài toán về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong ôn thi học sinh giỏi và tốt nghiệp trung học phổ thông

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia từ năm 2017 đến năm 2020 và
kì thi tốt nghiệp năm 2021, năm 2022 đề thi môn Toán thay đổi từ hình thức tự
luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự
chuyển biến lớn trong cả dạy và học. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này,
học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán
quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất,
chọn được cách giải quyết tốt nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn.
Để làm được điều đó, giáo viên cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức cơ bản,
kỹ năng tổng hợp phân tích các dạng toán để có thể giải quyết các bài tập ở cả 4
cấp độ tư duy.
Với chương trình toán 12, phần kiến thức về chủ đề hàm số luôn luôn chiếm
tỷ lệ cao trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi học sinh giỏi và đánh giá năng lực của
Đại học quốc gia hay đề thi tư duy của Đại học Bách khoa. Các kiến thức của từng
bài trong chương Hàm số luôn có sự lôgic có nhiều dạng bài, trong đó có câu hỏi
về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuyên xuất hiện trong đề HSG,
đề thi thử của các trường trong cả nước và có trong đề thi tham khảo năm 2018;
đề minh họa 2021 và đề thi tốt nghiệp năm 2021; năm 2022 của Bộ giáo dục đều
ở mức vận dụng, vận dụng cao. Các bài tập về chủ đề này giúp học sinh ôn tập
kiến thức tổng thể về chương hàm số, trang bị cho học sinh các kĩ năng: tính toán,
tổng hợp; học sinh được phát triển các năng lực một cách toàn diện: năng lực tính
toán, năng lực hợp tác, năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh….từ đó học sinh mới
có thể giải quyết được các bài tập tổng hợp mức vận dụng, vận dụng cao trong đề
thi. Vì vậy, qua nhiều năm nghiên cứu và giảng dạy lớp 12, tôi xin đưa ra sáng
kiến “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI TRONG ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” để giúp học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi
3
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
năm học 2022-2023 và các năm tiếp theo. Hy vọng chuyên đề này sẽ đồng hành
với các em học sinh, hỗ trợ phần nào đó trên con đường tìm hiểu khoa học, tìm
đến cái hay của Toán học. Tuy nhiên, do nhiều điều kiện khách quan khác nhau
nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng
góp của quý Thầy cô để sáng kiến ngày càng được bổ sung và hoàn thiện góp
phần vào sự nghiệp giáo dục chung của tỉnh nhà.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
   Các bài toán về chủ đề hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương
   trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong tất cả các kì thi: tốt nghiệp; đánh
   giá năng lực, đánh giá tư duy; thi học sinh giỏi các cấp. Mặc dù học sinh được cọ
   sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình
   tìm ra cách giải trong các bài toán vận dụng và vận dụng cao. Nguyên nhân là:
   Thứ nhất, các bài toán về cực trị, tương giao…trong chủ đề hàm số là mảng
   kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết
   hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
   Thứ hai, sách giáo khoa cơ bản trình bày phần này khá đơn giản, các tài
   liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên
   cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa
   có cái nhìn tổng quát về các dạng toán.
   Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng
   quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi
   do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn
   cho các em.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
   Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề quan trọng trong những năm
   gần đây khi thực hiện thi tốt nghiệp THPT, thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy
   môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm . Cái mới ở đây chính là sự phân loại các
   4
   Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
   dạng bài có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các kĩ thuật
   quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh. Thêm vào đó, với mỗi bài toán đều
   có sự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là cho học sinh tìm ra cái
   gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách
   nào và trang bị cho các em một số kỹ thuật suy luận nhanh khi các em đã hiểu
   được bản chất bài toán.
   Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần thích nghi một
   cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới.
   Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này, rút ngắn được thời gian
   làm một câu trắc nghiệm.
   Sau đây tôi xin trình bày nội dung chính của sáng kiến:

• Phần 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
• Phần 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
  DẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
  DẠNG 2: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
  DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁNCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GTTĐ KHÁC
  PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ
   1.1. Định nghĩa
   Hàm số y f x    với tập xác định D và gọi là hàm số chẵn nếu
    x D thì   x D và  x D thì f x f x    .
   Hàm số y f x    với tập xác định D và gọi là hàm số lẻ nếu
    x D thì   x D và  x D thì f x f x      .
   1.2. Nhận xét
   5
   Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
   Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
   Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
2. Đạo hàm hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

•     
     
   
  2
  .
  .
  f x f x
  y f x y f x
  f x
   
      
•      . .  
  x
  y f x y f x f x
  x
  
       

1. Khái niệm cực trị của hàm số
   3.1. Khái niệm
   Cho hàm số y f x    xác định và liên tục trên khoảng a b;  (có thể a là ;
   b là ) và điểm x a b 0   ; .

• Nếu tồn tại số h  0sao cho 0
  f x f x ( ) ( )  với mọi x x h x h     0 0 ; và
  0
  x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại 0
  x và 0
  x gọi là điểm cực đại của
  hàm số; f x 0  gọi là giá trị cực đại của hàm số.
• Nếu tồn tại số h  0sao cho 0
  f x f x ( ) ( )  với mọi x x h x h     0 0 ; và
  0
  x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại 0
  x và 0
  x gọi là điểm cực tiểu của
  hàm số; f x 0  gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
  3.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
  Nếu hàm số y f x    có đạo hàm tại 0
  x và đạt cực trị tại điểm đó thì f x ‘ 0.  0  
  3.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
  6
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  Giả sử hàm số y f x    liên tục trên khoảng K x h x h     0 0 ;  và có đạo
  hàm trên K hoặc trên K x \ ,  0  với h  0.
• Nếu 0 0 f x x x h x ( ) 0, ( ; )     và 0 0 f x x x x h ( ) 0, ( ; )     thì hàm số đạt
  cực đại tại điểm 0
  x .
• Nếu 0 0 f x x x h x ( ) 0, ( ; )     và 0 0 f x x x x h ( ) 0, ( ; )     thì hàm số đạt
  cực tiểu tại điểm 0
  x .
  x
  0
  x h  0
  x 0
  x h  x
  0
  x h  0
  x 0
  x h 
  f x  
    f x  
   
  f x 
  CD f

f x 

CT f

4. Giao điểm của hai đồ thị hàm số
   4.1. Định lí
   Cho hàm số y f x    có đồ thị C1 và hàm số y g x    có đồ thị C2 .
   Hoành độ giao điểm củaC1 và C2 là nghiệm của phương trình f x g x     .
   Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị C1 và C2 .
   4.2. Nhận xét
   7
   Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
   Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x    và trục Ox là nghiệm của
   phương trình f x   0.
   Ví dụ: Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) là đường cong
   như hình vẽ bên. Suy ra phương trình f x   0 có 3
   nghiệm phân biệt là x x x     1, 1, 3. 4.3. Chú ý về nghiệm đơn, nghiệm kép với bài toán đồ thị hàm số
   Cho hàm số y f x    có đồ thị ( ) C cho trước. Khi xác định giao điểm của đồ thị
   ( ) C và trục Ox ta cần lưu ý:

• Đồ thị ( ) C tiếp xúc với trục hoành thì hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C với
  trục Ox là nghiệm bội chẵn (thường là nghiệm kép).
• Đồ thị ( ) C cắt trục hoành thì:
• Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox trùng với trục Ox thì hoành
  độ giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox là nghiệm bội lẻ.
• Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox cắt trục Ox thì hoành độ
  giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox là nghiệm đơn.
  Hình ảnh minh họa
   x  1 là nghiệm đơn.
   x  1 là nghiệm kép.
   x  2 là nghiệm bội lẻ.
  8
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  Ví dụ: Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) là đường cong như
  hình vẽ bên. Suy ra phương trình f x   0 có 2 nghiệm x  0
  ( nghiệm kép) và x a a   , 2 (nghiệm đơn).
  4.4. Phương pháp xét dấu biểu thức f x  
• Nếu hàm y f x  ( ) liên tục trên     a b f x ; , ( ) 0     vô nghiệm trên khoảng a b; 
  thì f x( ) luôn dương hoặc luôn âm trên khoảng a b; .
  Khi đó chọn x a b 0   ; , ta có : Nếu 0
  f x( ) 0  thì f x x a b ( ) 0, ;     .
  Nếu 0
  f x( ) 0  thì f x x a b ( ) 0, ;     .
  *Quy tắc xét dấu bằng phương pháp khoảng: qua nghiệm đơn thì biểu thức đổi
  dấu, qua nghiệm kép thì biểu thức không đổi dấu (nghiệm bội lẻ được xét như
  nghiệm đơn, nghiệm bội chẵn được xét như nghiệm kép).

4. Phép tịnh tiến đồ thị
   Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) và số thực a  0

• Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên a đơn vị theo phương song song với trục Oy ta
  được đồ thị hàm số y f x a     .
• Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới a đơn vị theo phương song song với trục Oy
  ta được đồ thị hàm số y f x a     .
• Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta
  được đồ thị hàm số y f x a    .
• Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta
  được đồ thị hàm số y f x a    .
  9
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
  DẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
  1.1. Phương pháp
  Cách 1:
  Để tìm số điểm cực trị của hàm số y f x    ta đi vẽ đồ thị hàm số đó dựa trên
  bảng biến thiên và đồ thị hàm số y f x   như sau:
• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x    nằm trên trục hoành ( trục Ox ).
• Phần đồ thị hàm số y f x    nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó.
  Cách 2:
  Ta có:     
     
   
  2
  .
  .
  f x f x
  y f x y f x
  f x
   
      
  Do đó, số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng tổng số điểm cực trị của hàm
  số y f x    và số nghiệm đơn hay bội lẻ của phương trình f x   0 .
• Chú ý: Với dạng toán này giả thiết có thể cho biểu thức f x , biểu thức f x  ,
  hoặc đồ thị hàm số y f x   ; đồ thị hàm số y f x   . Căn cứ vào giả thiết để
  sử dụng 1 trong 2 cách giải trên cho phù hợp.
  1.2. Ví dụ
  Ví dụ 1: Cho hàm số y f x    có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau:
  10
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  Số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng
  A. . B. 3. C. 4 . D. 5.
  Lời giải
  Cách 1: Từ đồ thị hàm số y f x    suy ra đồ thị hàm số y f x    như sau:
• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x    nằm trên trục hoành ( trục Ox ).
• Phần đồ thị hàm số y f x    nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó
  Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng 5.
  Cách 2:     
     
   
  2
  .
  .
  f x f x
  y f x y f x
  f x
   
      
• Hàm số có 2 điểm cực trị nên phương trình f x    0 có hai nghiệm phân biệt
  và f x   đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó.
  2
  11
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x   0
  có 3 nghiệm phân biệt.
  Vậy y đổi dấu qua 5 nghiệm đó nên hàm số y f x    có 5 điểm cực trị.
  Nhận xét: Khi giải loại bài toán trên học sinh đưa về hai bài toán cơ bản: tìm số
  cực trị của hàm số y f x    và số nghiệm của phương trình f x   0 . Do đó
  học sinh có thể giải quyết riêng lẻ 2 bài toán đơn đó dựa trên bảng biến thiên hoặc
  đồ thị hàm số y f x   . Ví dụ 2: Cho hàm số y f x    có bảng biến thiên như sau.
  Đồ thị của hàm số y f x    có bao nhiêu điểm cực trị ?
  A. 4 . B.3 . C. 7 . D. 5. Lời giải
  Từ bảng biến thiên ta thấy:
• Hàm số có 3 điểm cực trị.
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
  Suy ra đồ thị của hàm số y f x    có tất cả 3 + 4 = 7 điểm cực trị.
  Ví dụ 3: Cho hàm số   2
  y x x    1 2 . Số điểm cực trị của hàm số trên bằng
  A.1. B.2 . C. 3 . D. 4 .
  12
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  Lời giải
  Đặt     
  2
  3 2 f x x x x x x        1 2 5 8 4
      2
  2
  3 10 8 0 4
  3
  x
  f x x x f x
  x
     
           
     
  
  Nên hàm số f x  có hai điểm cực trị.
  Lại có f x   0 có 1 nghiệm đơn x  1 nên số điểm cực trị của hàm số
      
  2
  y f x x x     1 2 bằng 2 + 1 =3 .
  Nhận xét: Thực tế nếu học sinh tư duy tốt có thể biết hàm số bậc 3 không có cực trị
  thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất nên với ví dụ trên f x   0
  có 2 nghiệm x  1 (nghiệm đơn) và x  2 ( nghiệm kép) nên hàm số f x  có
  2 điểm cực trị. Từ đó kết luận luôn hàm số y f x    có 3 điểm cực trị.
  Ví dụ 4: Cho hàm số y f x    có đạo hàm     
  3 2 3 f x x x x x ‘ 2 2    . Hàm
  số y f x    có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
  A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
  Lời giải
  Ta có:       3
  0
  2
  ‘ 2 2 2 0
  2
  2
  x
  x
  f x x x x x
  x
  x
    
    
        
   
  
     
  
  Ta lập bảng biến thiên của hàm số y f x   
  13
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x    có 4 điểm cực trị, suy ra f x   0
  có tối đa 5 nghiệm phân biệt.
  Do đó hàm số y f x    có tối đa 4 5 9   điểm cực trị.
  Ví dụ 5: Xét hàm số f x( ) có đạo hàm   
  2 3 f x x x x x ( ) 3    với mọi
  x R  . Hàm số y f x   1 2022  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
  A. 9 . B. 7. C. 8 . D. 6 .
  Lời giải
  Nhận xét: Số điểm cực trị tối đa của hàm số y f x   1 2022  bằng tổng số
  nghiệm của phương trình f x 1 2022 0   và số điểm cực trị của hàm số
  y f x   1 2022 .
  Ta có:    
  2
  f x x x x x ( ) 1 3 3 .    
  Suy ra f x f x 1 2022 2022 (1 2022 ). 
  
        
      Do đó:
        
  2
  f x x x x 1 2022 0 1 2022 1 2022 1 1 2022 3 0
  
                
  1
  2022
  0
  1 3
  2022
  1 3
  2022
  x
  x
  x
  x
  
    
  
   
     
   
  
  
   
   
  
  trong đó 1
  2022
  x  là nghiệm kép.
  Bảng biến thiên của y f x   1 2022 
  14
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  x  1 3
  2022
   0
  1
  2022
  1 3
  2022
   
  y – 0 + 0 – 0 – 0 +
  y

Do đó phương trình f x 1 2022 0   có tối đa 4 nghiệm và hàm số
y f x   1 2022  có 3 điểm cực trị.
Vậy hàm số y f x   1 2022  có tối đa 7 điểm cực trị.
Ví dụ 6: Cho hàm số y g x  ( ) xác định liên tục trên  và có bảng biến thiên
như sau:

Hỏi đồ thị hàm số y g x   ( ) 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 7 . C. 5. D. 8 .
Lời giải
Từ bảng biến thiên của hàm số y g x  ( )bằng cách tịnh tiến đồ thị xuống dưới 2
đơn vị ta có bảng biến thiên của hàm số y g x   ( ) 2 như sau:
Từ đó suy diễn bảng biến thiên hàm số y g x   ( ) 2 như sau:
15
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số y g x   ( ) 2 là 7 điểm.
Ví dụ 7: Cho hàm số y f x    là hàm đa thức bậc năm thỏa mãn
f f     0 0; 2 0   . Biết hàm số y f x    có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Hàm số    2 4 2 g x f x x x   2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 8 . B. 5. C. 6 . D. 7 . Lời giải
Xét hàm số         2 4 2 2 3 h x f x x x h x xf x x x        2 2 4 4  
     
2 2
2 2
0
0 2 2 2 0
2 2
x
h x x f x x
f x x
               
Xét đồ thị hàm số y f t    và y t    2 2
16
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Từ dồ thị hàm số ta được   1
2 2
2
t
f t t
t
       
 Khi đó suy ra  
2
2 2
2
0 0
0
1 1
2 2
2 2
x x
x
x x
f x x
x x
 

   
                
Ta có bảng biến thiên
Do f f     0 0; 2 0   nên hàm số      2 4 2 g x h x f x x x    2 có 7
điểm cực trị.
17
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Ví dụ 8: [Mã 101-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2] Cho hàm số f x  có f   0 0.  Biết y f x    là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số
điểm cực trị của hàm số  3
g x f x x ( )   là
A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
Lời giải
Xét  3 h x f x x ( )        2 3 h x x f x ‘ 3 ‘ 1  
          2 3 3
2
1
0 3 1 0 0 1
3 h x x f x f x x
x
         
Đặt 3 2 2 3
x t x t    phương trình (1) trở thành:
      3 2
1
0 2
3
f t t
t
  
Vẽ đồ thị hàm
3 2
1
3
y
x  trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y f x   . Dựa vào đồ thị ta có:
18
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
 
3 3
3
3 2 3
1 0 0 0
3
0 0 0
t b x b x b
f t
t
t a x a x a

       

      

        

Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy hàm số  3
g x f x x ( )   có 5 điểm cực trị.
Nhận xét: Ngoài cách suy ra BBT của hàm h x  ta có thể nhận xét từ BBT của
hàm số h x  suy ra phương trình h x   0 có 3 nghiệm phân biệt và hàm số
h x  có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số g x h x      có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 9: [Mã 102-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2] Cho hàm số f x  có f   0 0.  Biết y f x    là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số
điểm cực trị của hàm số    3
g x f x x   là
A. 4. B. 5. C. 3. D. 6.
Lời giải
19
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Đặt          
3 2 3 3
2
1
3 1 0
3
h x f x x h x x f x f x
x
           
Đặt 3 3
t x x t    thế vào phương trình trên ta được  
3 2
1
3
f t
t
  
Xét hàm số
3 3 2 5
1 2
3 9
y y
t t
    đổi dấu khi qua 0 và đồ thị hàm số có
tiệm cận ngang y  0 . Khi vẽ đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ với đồ thị
hàm số y f t    ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc góc phần
từ thứ 3 và 4, gọi 2 giao điểm lần lượt là 3 3
1 2 1 1 2 2 t t x t x t      0, 0 , .
Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số h x  như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x   0 có 3 nghiệm phân biệt
và hàm số h x  có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số
g x h x      có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 10: Cho hàm số y f x    có đồ thị như hình sau. Hàm số
2 g x f x x ( ) ( 4 )    có bao nhiêu điểm cực trị ?
20
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
A. 6. B. 4. C. 5. D. 7.
Lời giải
Ta có 2 2 h x f x x h x x f x x ( ) ( 4 ) ‘( ) ( 2 4) ‘( 4 )         
Cho 2
2
2
2
2
2 4 0 0
‘( ) 0 4 0 ‘( 4 ) 0 4
4 1
2 3
x
x
x x
h x x x
f x x x
x x
x
     
    
       
   
        Phương trình h x'( ) 0  có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy 2 h x f x x ( ) ( 4 )   
có 5 điểm cực trị.
Xét phương trình 2 h x f x x ( ) ( 4 ) 0     . Đồ thị hàm số y f x    cắt trục Ox tại điểm x a a    (1 2) nên
2
f x x ( 4 ) 0    2 2         x x a x x a 4 4 0 có     ‘ 4 0 a với
  a (1,2), phương trình có hai nghiệm pb x a x a       2 4 ; 2 4 và
hai nghiệm này khác các nghiệm của phương trình h x ‘ 0    . Vậy hàm số 2
g x f x x ( ) ( 4 )    có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 11: Cho hàm số y f x    liên tục trên  và có
       2 3
f x x x x      1 1 3 ; f   3 0  . Số điểm cực trị của hàm số
  3 2 y f x x x     2 5 3 là
21
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
Lời giải
Đặt  
3 2 g x x x x     2 5 3. Ta có:  
2
g x x x x        3 4 5 0,  .
Suy ra g x  là hàm số đồng biến trên  .
Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y f g x     bằng số điểm cực trị của
hàm số y f x   .
Lại có:  
3 2 y f x x x     2 5 3 =      
2
f g x f g x  ( )
       
   
2
g x f g x f g x . .
y
f g x
 
  . Khi đó:     
    
0 *
0
0 **
f g x
y
f g x


 
   
 


• Từ giả thiết:       
  2 3
  f x x x x      1 1 3 suy ra hàm số y f x    có điểm
  cực đại x  1và điểm cực tiểu x  3
  Xét phương trình *: f g x     0
     
     
     
  1 1
  1 2
  3 3
  g x
  g x
  g x
  
    
     
  
   
  
• Phương trình (1) có 1 nghiệm đơn.
• Phương trình (2) có 1 nghiệm kép.
• Phương trình (3) có 1 nghiệm bội 3.
  Nên từ (*) suy ra hàm số  
  3 2 y f x x x     2 5 3 có hai điểm cực trị.
  Xét phương trình (): f g x     0     g x a   1 ( vì x  1 là điểm cực đại, x  3 là điểm cực tiểu và f 3 0   ). Do hàm g x  đồng biến trên  nên phương trình g x a    đúng 1 nghiệm đơn. Nên từ () suy ra hàm số  
  3 2 y f x x x     2 5 3 có một điểm cực trị.
  22
  Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  Vậy hàm số  
  3 2 y f x x x     2 5 3 có 3 điểm cực trị.
  Ví dụ 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới. Tập các giá trị của
  tham số để hàm số có 7 điểm cực trị là . Tính
  A. . B. . C. . D. .
  Lời giải
• Số cực trị của hàm số bằng tổng số cực trị của hàm y f x m     và số
  nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình .
• Hàm số y f x m     có 3 điểm cực trị. Do

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ một vị trí quan trọng và phần nội
dung kiến thức về “Góc và khoảng cách trong hình học không gian ” là một trong
những nội dung khó không chỉ đối với học sinh mà còn cả không ít giáo viên. Học
sinh có tư tưởng ngại và sợ bài tập hình không gian. Học sinh thường gặp khó khăn
khi phải tư duy tưởng tượng không gian, tư duy logic, chưa biết vận dụng lí thuyết
đã học để giải quyết các bài tập…. Giáo viên thiếu sách tham khảo, tài liệu hướng
dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy, phương tiện giảng dạy chưa đáp ứng đủ và không
có quy trình giảng dạy cụ thể mà chủ yếu là do kinh nghiệm giảng dạy của bản thân
giáo viên.
Học sinh khó tiếp thu kiến thức đó và vận dụng nó để giải bài tập vì lượng
bài tập nhiều và rất phong phú nhưng thường nằm trong các bài tập lớn, các cách
giải đa dạng. Trong các kì thi đề thường hay có nội dung “Các bài toán về góc,
khoảng cách” trong hình học không gian, dẫn đến nhiều học sinh khi gặp bài tập
dạng này thường là các em nản chí bỏ qua, còn có một số em làm nhưng không
hoàn chỉnh, rất ít các em được điểm tối đa ở Ví dụ này. Trong kì thi tốt nghiệp
THPT dù đề ra dưới dạng hình thức trắc nghiệm nhưng nếu học sinh không nắm
được bản chất, không hiểu sâu sắc thì khó có thể đưa ra được đáp án đúng bởi lẽ
riêng nội dung này không có cách nào “mò” hay có một công thức tổng quát nào
cả. Thực tiễn dạy học cho thấy nếu học sinh không có phương pháp để xác định,
tính góc giữa hai mặt phẳng thì học sinh khó có thể vận dụng vào giải toán được,
nhất là những học sinh không tưởng tượng được hình hay cảm thấy khó khăn với
hình học không gian. Chính vì vậy, việc xây dựng “Một số phương pháp tính góc
giữa hai mặt phẳng” áp dụng trên các mô hình từ các mô hình cơ bản thường gặp
đến một số mô hình phức tạp hơn sẽ giúp học sinh hiểu, nắm chắc các phương pháp
là điều rất cần thiết. Từ đó khi gặp những bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt
phẳng học sinh cũng không quá lo ngại, dè dặt, gạt bỏ được tư tưởng ngại và sợ
hình học không gian làm cho hình học không gian trở thành một môn học gần gũi
và thiết thực đối với học sinh.
II. Mô tả giải pháp

2. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
   Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường phổ thông, tôi nhận thấy kiến
   thức về góc và khoảng cách, thể tích khối đa diện là các bài toán thường gặp trong
   các kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia . Trong đó, rèn luyện cho học sinh có kỹ năng
   xác định góc và tính góc giữa hai mặt phẳng là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng.
   Trong quá trình dạy học hình học không gian nói chung và dạy bài tập về tính góc
   giữa hai mặt phẳng trong chương trình toán 11 nói riêng học sinh thường lúng túng,
   3
   dễ nhầm lẫn và mất thời gian khi xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng. Vì vậy,
   để giúp các em tự tin hơn, tôi có rút ra “Một số phương pháp tính góc giữa hai
   mặt phẳng” áp dụng trong một số trường hợp từ những mô hình cơ bản đến một
   số mô hình phức tạp hơn nhằm giúp các em học sinh lớp 11 xác định góc và tính
   góc giữa hai mặt phẳng dễ dàng và nhanh chóng hơn. Đồng thời là nền tảng cho
   việc tính thể tích khối đa diện trong chương trình toán 12 ở một số bài toán thường
   gặp. Vì nếu các em không xác định được góc giữa hai mặt phẳng thì có thể dẫn tới
   không giải quyết được bài toán thể tích khối đa diện trong một số trường hợp.
3. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
   2.1. Vấn đề cần giải quyết
   Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp một số phương pháp xác định
   và tính góc giữa hai mặt phẳng giúp học sinh nắm vững một số phương pháp tính
   góc giữa hai mặt phẳng từ các mô hình cơ bản và một số mô hình phức tạp hơn.
   2.2. Biện pháp thực hiện
   2.2.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và ghi nhớ kiến thức cơ bản

• Học sinh vẽ được các mô hình cơ bản và một số mô hình phức tạp.
• Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng từ các mô
  hình cụ thể.
• Giáo viên đưa ra các bài toán áp dụng cho mỗi phương pháp.
• Học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán liên quan đến
  góc giữa hai mặt phẳng.
• Giúp đỡ, hướng dẫn cho học sinh khi học sinh gặp khó khăn trong khi vận
  dụng giải quyết bài toán.
  2.2.2. Rèn cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp tự học
• Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh,…
• Kỹ năng:
• Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng.
• Sau mỗi phương pháp, giáo viên cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài
  toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và
  sáng tạo cho các bài toán khác.
  4
• Học sinh nắm vững các phương pháp để giải toán và tự tập hợp thêm các
  bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng để củng cố kiến thức.
  2.2.3. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
• Ra đề với 4 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng
  cao, trong đó có sử dụng các bài toán về xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng.
• Giáo viên đánh giá học sinh.
• Học sinh đánh giá học sinh.
  2.3. Nội dung giải pháp
  Sau đây tôi xin đề xuất một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng tôi đã tổng
  hợp, sưu tầm được và đã áp dụng cho học sinh có hiệu quả.
  2.3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
  Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông
  góc với hai mặt phẳng đó.
  Chú ý:
• Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
  bằng 0 0 .
• Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì góc giữa chúng bằng 0 90 .
  2.3.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
  2.3.2.1. Sử dụng định nghĩa
  Muốn sử dụng phương pháp này thì ta phải xét xem hai mặt phẳng có rơi vào
  trường hợp song song hay vuông góc hay không? Nếu không rơi vào hai trường
  hợp đó ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm đã cho của bài toán thì ta
  có thể xác định được hoặc dựng được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
  mặt phẳng mà bài toán yêu cầu tính góc giữa chúng hay không?
  Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D .     . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
  a,  ABCD và  A B C D    ;
  b,  ABCD và  ACC A .
  Hướng dẫn:
  5
  a, Ta thấy hai mặt phẳng  ABCD và ( ) A B C D     là
  hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song
  song với nhau.
  Vậy góc giữa  ABCD và ( ) A B C D     bằng 0 0 .
  b, Do AA ABCD ACC A ABCD             nên
  góc giữa  ABCD và  ACC A  bằng 90.
  Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D .     . Tính góc giữa hai mặt phẳng
   A B CD    và  ABC D .
  Hướng dẫn:
  Ta có CD ADD A CD A D        
    A D AD
  AD A B CD
  CD AD
     
      
    
  Mà AD ABC D          ABC D A B CD       
  Do đó, góc giữa ( ) A B CD   và ( ) ABC D  bằng 90.
  Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có các mặt bên là các tam giác đều có
  diện tích bằng
  2 3 3
  4
  a
  . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC . Tính
  góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) ABCD .
  Hướng dẫn:

Gọi O AC BD   , ta có: SO ABCD ( ).
D’ B’ C’ A’ D
B C
A
C’ B’ A’ D’ C
A B D
SO
D
B C
A
6
Giả thiết ( ) P SC  nên góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) ABCD là góc giữa SC
và SO là góc CSO .
Vì các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng
2 3 3
4
a
nên các cạnh của hình
chóp có độ dài bằng a 3 .
Trong SCO , ta có:  2  0
sin 45 .
2
OC CSO CSO
SC
    

• Nhận xét: Việc đi dựng mặt phẳng ( ) P khá phức tạp và mất thời gian, học sinh
  chỉ cần chú ý phân tích kĩ giả thiết của bài toán và từ việc cho hình chóp tứ giác
  đều ta dễ tìm được đường thẳng vuông góc với mặt đáy. Từ đó áp dụng định nghĩa
  có thể giải quyết nhanh bài toán.
  Ví dụ 4. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
  SA ABCD   , SA x  . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với
  nhau một góc 0 60 .
  Hướng dẫn:

Ta có SCD SAD    , kẻ AN SD  tại N   AN SCD  .
SAB SBC    , kẻ AM SB  tại M   AM SBC  .
Suy ra góc giữa SBC và SDClà góc giữa AM và AN .
Ta có SB SD 
2 2   x a , AM AN 
2 2
ax
x a


,
SM MN
SB BD

SM BD . MN
SB
 
2
2 2
x
SM
x a


2
2 2
2 2
. 2 x
a
x a MN
x a
  

2
2 2
x a 2 MN
x a
 

.
a
x N M
D
C
B A
S
7
Từ giả thiết ta có AMN đều, suy ra MN AM 
2
2 2 2 2
xa x a 2
x a x a
 
 
2 2    x a x 2  x a . *Nhận xét: Trong bài toán trên, ta dễ dàng dựng được hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng SBC và SDC nên việc sử dụng định nghĩa để
vận dụng giải quyết bài toán này là hợp lý.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S ABC . có cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA BC a  
và  0 BAC  60 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và
SC . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( ) AHK và ( ) ABC . Hướng dẫn:
Ta có SA ABC ( ) (1)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , kẻ đường kính AD.
( )
BD SA
BD SAB BD AH
BD AB
 
    
 

( )
AH SB
AH SBD AH SD
AH BD
 
    
 
Chứng minh tương tự, ta có AK SD  . Từ đó suy ra SD AHK ( ) (2)
Từ (1) và (2), suy ra góc giữa ( ) AHK và ( ) ABC là góc giữa SA và SD là DSA 
8
Trong ABC , ta có: 0
2
2
60 3
BC a a AD R
sinA sin     Trong SAD, ta có: 2 2 21
3
a
SD SA AD    . Từ đó suy ra  21
cos .
7
SA DSA
SD
  *Nhận xét: Trong bài toán trên việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) AHK và ( ) ABC , từ đó dựng mặt phẳng với giao tuyến là phức tạp. Mặt khác, ta
đã có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và việc dựng đường thẳng vuông góc với
( ) AHK đơn giản hơn.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông
góc với ( ), , 2 . ABC SA AB a AC a    Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên
SB SC , . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ) AHK và ( ) ABC (tương tự như Ví
dụ 5).
2.3.2.2. Tính góc giữa hai mặt phẳng theo phương pháp gián tiếp
Phương pháp này gồm một số cách sau
Cách 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc cụ thể giữa hai
mặt phẳng.
Cách này thường sử dụng khi việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
dễ dàng và có các yếu tố vuông góc, cụ thể có các bước sau
Bước 1. Xác định ( ) ( ) P Q   
Bước 2. Dựng ( ) R  . Tìm
( ) ( ) , ( ) ( ) R P p R Q q    
Bước 3. Góc giữa ( ) P và ( ) Q là góc giữa p
và q . Việc tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian ta thường gặp hai loại cơ bản
sau
LOẠI 1. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp, hình lăng trụ
9
Phân tích: Giao tuyến của mặt bên và mặt đáy là cạnh đáy. Khi đó có ít nhất
một đường thẳng vuông góc với cạnh đáy. Dễ dựng được mặt phẳng vuông góc với
giao tuyến.
Bài toán gốc: Cho hình chóp 1 2 . … n S A A A có đường cao SH . Xác định góc
giữa mặt bên ( ) i j SA A và mặt đáy.
Hướng dẫn

• Bước 1: Xác định giao tuyến: 1 2 ( ) ( … ) i j n i j SA A A A A A A  
• Bước 2: Ta có:
  Trong 1 2 ( … ) A A An
  kẻ HK A A  i j . Chứng minh được ( ) A A SHK i j 
• Bước 3: Tìm các giao tuyến của mặt phẳng ( ) SHK với các mặt phẳng
  ( ) i j SA A và 1 2 ( … ). A A An
• Bước 4: Tính góc giữa hai giao tuyến, từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng.
  Mô hình 1: Hình chóp đều
  Đối với mô hình này, học sinh phải nắm vững định nghĩa hình chóp đều là
  hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của
  đa giác đáy.
  Ví dụ 7. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a , chiều cao
  hình chóp bằng 3
  2
  a
  . Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
  Hướng dẫn:

Vì S ABCD . là hình chóp đều nên góc giữa mặt các mặt bên với mặt đáy bằng
nhau.
Tính góc  là giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và  ABCD.
HD:
O I
D
B C
A
S
10
 ABCD SCD CD     
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của CD
Tam giác có I O, lần lượt là trung điểm của CD BD , nên IO là đường trung
bình của tam giác BCD
/ /
1
2 2
IO BC
a
IO BC

  
  

Mà BC CD IO CD   
Lại có ( )
, ( )
CD SO
CD OI CD SIO
SO OI SIO
 

   

 
Ta có    
   
SIO ABCD IO
SIO SCD SI
  

   
Suy ra góc giữa ( ) SCD và ( ) ABCD là góc giữa IO và SI là góc nhọn SIO
Xét SIO vuông tại O, ta có:   0
3
2 tan 3 60 .
2
a
SI SIO SIO
IO a
    
Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 .
Mô hình 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Tương tự như trong hình chóp đều, trong hình chóp có cạnh bên vuông góc
với mặt đáy khi tính góc giữa mặt bên và mặt đáy ta dễ dàng dựng được mặt
phẳng vuông góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ đường thẳng
vuông góc với giao tuyến.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S ABC . có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại B,
BA BC a   , SA vuông góc với mặt phẳng ( ), ABC SA a  . Tính góc giữa các
mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn:
11

• TH mặt bên chứa SA
   
        SA ABC
  SAB ABC
  SA SAB
   
    
   
   
        SA ABC
  SAC ABC
  SA SAC
   
    
   
  Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng 0 90 .
• Trường hợp mặt bên không chứa SA
  Ta có SBC ABC BC     
   
   
  ,
  BC BA
  BC SA BC SAB
  SA BA SAB
   
  
     
  
   
  Mà    
     
  SAB ABC AB
  SAB SBC SB
    
  
     
  Suy ra góc giữa ( ) SBC và ( ) ABC là góc giữa AB và SB là góc nhọn SBA 
  (SAB vuông tại A)
  Lại có AB SA SAB    vuông cân tại  0 A SBA   45 .
  Vậy góc giữa ( ) SBC và ( ) ABC bằng 0 45 .
  Ví dụ 9. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA  2 và
  SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD, biết AC  2 2 . Tính tan góc giữa mặt
  phẳng SOD và mặt phẳng BCO.
  Hướng dẫn:
  C
  B
  A
  S
  12
      SOD BCO BD   , BD SAC   . Góc giữa   SOD và   BCO là góc nhọn SOA ( SAO vuông tại O )
  Ta có tan 2  SA SOA
  AO
    . Ví dụ 10. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thoi,  0 AB a BAD   2 , 120 , SA
  vuông góc với đáy. Biết góc giữa đường thẳng SC và ( ) ABCD bằng 0
  45 . Tính góc
  giữa các mặt bên và mặt đáy.
  Hướng dẫn
• TH mặt bên chứa SA
   
        SA ABCD
  SAB ABCD
  SA SAB
   
    
   
  J
  I
  D
  B C
  A
  S
  13
   
        SA ABCD
  SAD ABCD
  SA SAD
   
    
   
  Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng
• Trường hợp mặt bên không chứa SA
• Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD
  Vì ABCD là hình thoi có  0 BAD 120 nên  0
  2
  60
  BC BA a
  ABC
  ABC
     
    
   
  đều
  Gọi I là trung điểm của BC   AI BC
  Mà
   
   
  ,
  BC SA
  BC AI BC SIA
  SA AI SIA
   
  
     
  
   
  ( ) ( )
  ( ) ( )
  SIA SBC SI
  SIA ABCD AI
     
    
  nên góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là góc nhọn SIA
  Từ giả thiết ta có  0 SCA  45 nên SAC vuông cân tại A SA a   2 .
  Xét ABC đều có trung tuyến AI AI a   3
  Xét SIA vuông tại  2 3
  , tan
  3
  SA I SIA
  AI
   
  Vậy góc giữa ( ) SBC và ( ) ABCD là góc  sao cho 2 3
  tan .
  3
   
  Tương tự góc giữa ( ) SCD và ( ) ABCD là góc  sao cho 2 3
  tan .
  3
   
  Ví dụ 11. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thang vuông tại A và B,
  AB BC a   , AD a  2 ; SA ABCD    và SA a  2 .Tính tan của góc giữa hai mặt
  phẳng SCD và  ABCD.
  Hướng dẫn:
  0 90
  14

Ta có SCD ABCD CD     
Gọi M là trung điểm của AD. Từ giả thiết ta có ABCM là hình vuông
Xét ACD có CM là trung tuyến,
2
AD CM  nên tam giác ACD vuông tại C. Do
đó CD AD  .   CD AD
CD SAC
CD SA
 
  
 
   
   
SAC SCD SC
SAC ABCD AC
  

   
Suy ra góc giữa SCD và  ABCD là góc giữa SC và AC là góc nhọn SCA 
Ta có t  2
2
an
2
SA a SCA
AC a
   .
Mô hình 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy – Hình chiếu vuông góc
Trong mô hình này, học sinh phải nắm vững nội dung kiến thức sau
“Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia”( Hệ
quả 1 của Định lý 1 bài Hai mặt phẳng vuông góc)

M D
C
B
A
S
15
Như vậy, từ giả thiết mặt bên vuông góc với mặt đáy ta dễ dàng dựng được
hình chiếu của đỉnh xuống mặt phẳng đáy, từ đó ta dựng được mặt phẳng vuông
góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến.
Ví dụ 12. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuô

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Ứng dụng của một số phép biến hình nhằm đáp ứng kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Từ năm học 2016–2017, việc đổi mới phương pháp thi THPT Quốc gia và
bây giờ là thi Tốt nghiệp THPT trong đó có sự đổi mới hình thức thi Đại học môn
Toán từ tự luận 180 phút sang trắc nghiệm 100% (gồm 50 câu hỏi với thời gian 90
phút), hầu hết các giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn. Với thi trắc
nghiệm, đòi hỏi học sinh phải hiểu cặn kẽ về mặt lý thuyết; biết tư duy linh hoạt
làm thế nào để đưa ra đáp án nhanh và chính xác. Để làm được điều đó, giáo viên
cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức cơ bản, kỹ năng tổng hợp phân tích các
dạng toán để có thể giải quyết các bài tập ở cả 4 cấp độ tư duy.
Trong quá trình dạy học môn Toán, đối với học sinh Trung học phổ thông
thường chúng ta phải phân tích, phán đoán các hướng giải quyết bài toán, liên hệ
giữa bài toán đó với các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn đặc biệt là mối quan
quan hệ và ứng dụng của các chủ đề kiến thức để có hướng giải quyết tương tự và
ngược lại từ một bài toán đơn giản ta có thể đi sâu phân tích, mở rộng, phát triển
thành những bài toán mới.
Khi dạy phần phép biến hình trong mặt phẳng và trong không gian tôi thấy
hầu như học sinh rất “sợ”. Đặc biệt là việc ứng dụng nó trong giải quyết các bài
toán liên quan là một nội dung khó đòi hỏi học sinh vừa phải nắm chắc kiến thức
về phép biến hình vừa phải biết tư duy hình học và biết kết hợp sử dụng các
phương pháp trong từng nội dung tương ứng.
Đồng thời hiện nay trên quan điểm cải cách giáo dục, người ta nghiên cứu và
cải tiến nội dung chương trình toán học bằng cách bỏ bớt nhũng lý luận dài dòng
không cần thiết. Mục tiêu cuối cùng cần đạt tới là làm thế nào cho học sinh nắm
được mối quan hệ biện chứng giữa các khái niệm, tính chất và nhớ các kiến thức cơ
bản của môn học để tính toán, suy luận nhanh gọn để giải quyết vấn đề đặt ra.
Trên tinh thần đó, chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức
vào nhiều tình huống, kiến thức khác nhau thông qua hệ thống các ví dụ, bài tập đa
dạng, phong phú để giúp rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh. Khi đó học sinh
biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. Không những vậy mà
thông qua việc giải các ví dụ trong chủ đề còn giúp học sinh hình thành thế giới
quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo. Sự say mê
khoa học thường được bắt nguồn từ sự hiểu biết. Giúp học sinh hiểu biết sâu hơn về
phép biến hình nói riêng và các ứng dụng của nội dung cho các đơn vị kiến thức
3

liên quan nói chung là góp phần làm cho các em say mê môn toán và các môn khoa
học khác.
Để nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo
dục ở nước ta hiện nay trong dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông tôi nghiên
cứu đề tài: “ Ứng dụng của một số phép biến hình nhằm đáp ứng kỳ thi tốt
nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp”.
II. Mô tả giải pháp

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
   Chủ đề về phép biến hình nói riêng và hình học nói chung là rất quan trọng
   trong chương trình toán THPT. Đã có rất nhiều các phương pháp để tiếp cận và giải
   quyết các bài toán trong chủ đề. Tuy nhiên với việc đã quen với không quan tâm
   đúng của cả giáo viên và học sinh do trước đây các câu hỏi chỉ dừng lại ở mức độ
   nhẹ nhàng cũng như “ngại” phần hình học đến khi gần đây đã xuất hiện các khai
   thác ứng dụng của nó trong các câu hỏi vận dụng và cũng đã xuất hiện trong các đề
   thi tốt nghiệp THPT cũng như trong kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp. Đặc biệt là
   các ứng dụng không còn đơn thuần trong hình học tổng hợp nữa mà còn xuất hiện
   trong hình học toạ độ cũng như trong giải tích dẫn tới rất nhiều khó khăn cho giáo
   viên và học sinh. Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải là chưa khai thác
   hết tính chất về phép biến hình đặc biệt là việc áp dụng nó với phần kiến thức trong
   hình học toạ độ và giải tích.
   Trong quá trình dạy học của mình, tôi nhận thấy nếu cung cấp cho học sinh đầy
   đủ kiến thức nêu trên và cách nhìn nhận bài toán cũng như việc liên hệ các kiến thức
   để chuyển hoá bài toán lạ về bài toán quen thuộc, đơn giản hơn thì học sinh hoàn toàn
   có thể giải quyết được vấn đề mà không quá khó khăn để từ đó đam mê với nội dung
   và môn học.
   Một số phương pháp quen thuộc với loại toán này mà các em học sinh được
   biết ở các tài liệu đã đề cập ở mức độ nhận biết, thông hiểu. Trong sáng kiến này, tôi
   xin trình bày chủ yếu các ứng dụng của một số phép biến hình trong mặt phẳng và
   không gian như: Phép đối xứng tâm; Phép đối xứng trục; Phép tịnh tiến; Phép quay và
   Phép vị tự nhằm giải quyết các bài toán ở mức độ vận dụng trong chủ đề cũng như
   không chỉ bó hẹp trong hình học mà còn trong cả giải tích.
2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến
   Vấn đề đặt ra trong sáng kiến là tôi không đưa ra các bài toán mức độ nhẹ
   nhàng liên quan trực tiếp tới các phép biến hình đó hay các phương pháp giải như
   4
   
   đã biết đối với các nội dung liên quan mà ở đây tôi chỉ đưa ra các phân tích và một
   số ứng dụng đối với các phép biến hình nói trên trong việc giải quyết các bài toán ở
   mức độ vận dụng không chỉ trong lĩnh vực hình học mà còn tìm hiểu sâu rộng trong
   cả lĩnh vực giải tích.
   2.1. Phép đối xứng: Đối xứng trục, đối xứng tâm và đối xứng qua mặt phẳng
   2.1.1. Khái niệm và tính chất liên quan
   Phép biến hình và phép dời hình trong không gian được định nghĩa tương tự
   như trong mặt phẳng nên các khái niệm sau ta chỉ trình bày trong mặt phẳng:
   Trước tiên chúng ta tìm hiểu về phép biến hình:
   Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy
   nhất M  của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
   Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết F M M     hay M F M    
   và gọi điểm M  là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.
   Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H H   F   là tập
   các điểm M F M    , với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H
   thành hình H  , hay hình H  là ảnh của hình H qua phép biến hình F.
   2.1.1.1. Phép đối xứng trục

• Định nghĩa: Cho đường thẳng d. Phép biến hình
  biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến
  mỗi điểm M không thuộc d thành M  sao cho d
  là đường trung trực của đoạn thẳng MM  được gọi
  là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối
  xứng trục d.
  Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.
  Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là . Ñd
  Nếu hình H  là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H
  đối xứng với H 
  qua d , hay H và H  đối xứng với nhau qua d.
• Nhận xét
   Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M0
  là hình chiếu vuông góc của M
  trên đường thẳng d. Khi đó M   Ñ Md   0 0    M M M M  .
   
   M   Ñ Md     M  . Ñ Md
• Biểu thức toạ độ
  5
  
   Nếu d Ox  , gọi M x y     ;    
        ; Ñ M x y d
  thì .
  x x
  y y
  
  
   
  
      
   Nếu d Oy  , gọi M x y     ;    
        ; Ñ M x y d
  thì .
  x x
  y y
  
  
    
  
     
• Tính chất
  Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
  Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến
  đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
  đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Trục đối xứng của một hình
  Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến
  hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
  2.1.1.2. Phép đối xứng tâm
• Định nghĩa
  Cho điểm I . Phép biến hình biến
  điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm
  M khác I thành M  sao cho I là trung
  điểm của MM  được gọi là phép đối
  xứng tâm I .
  Điểm I được gọi là tâm đối xứng.
  Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là . ÑI
  Nếu hình H  là ảnh của hình H qua ÑI
  thì ta còn nói H đối xứng với H 
  qua tâm I , hay H và H  đối xứng với nhau qua I.
  Từ đinh nghĩa suy ra M Ñ M    I  IM IM    .
   
• Biểu thức toạ độ
  R
  R
  O’
  O
  B’ C’
  A’
  B C
  A
  a’
  a
  I
  M’
  M
  6
  
  N’
  N
  I
  M’
  M
   Với O0;0, ta có M x y     ;    
        ; Ñ M x y I
  thì .
  x x
  y y
  
  
    
  
      
   Với I a b  ; , ta có M x y     ;    
        ; Ñ M x y I
  thì
  2
  .
  2
  x a x
  y b y
  
  
    
  
      
• Tính chất
  Tính chất 1: Nếu    Ñ M M I
  và    Ñ N N I
  thì M N MN    
   
  , từ đó suy
  ra M N MN    .
  Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song
  song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác
  thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
• Tâm đối xứng của một hình
  Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến
  hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.
  2.1.1.3. Phép đối xứng qua mặt phẳng
  Phép đối xứng qua mặt phẳng P là phép
  biến hình biến mỗi điểm thuộc P thành
  chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc P
  thành điểm M sao cho P là mặt phẳng
  trung trực của MM .
  Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P
  biến hình H thành chính nó thì P được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình H.
  2.1.2. Ví dụ áp dụng
  A’
  A
  O’
  O
  C’
  B’
  A’
  C
  B
  A
  B’
  A’
  B
  A
  I I I
  7
  
  Ví dụ 1: Gọi m0
  là số thực sao cho phương trình  
  3
  0
  x x m 12 có ba nghiệm
  dương phân biệt 1
  x ,
  2
  x ,
  3
  x thỏa mãn 1 2 3 x x x    1 4 3. Biết rằng m0
  có
  dạng a b 3  với a b, là các số hữu tỷ. Tính 2
  4 8 . a b 
  A. 106. B. 115. C. 113. D. 101.
  Hướng dẫn:
  x
  y
  16
  1
  Từ đồ thị của hàm số  
  3
  y x x 12 ta có phương trình    
  3
  0
  x x m 12 1 có ba
  nghiệm dương phân biệt 1
  x ,
  2
  x ,
  3
  x khi và chỉ khi m0
   0;16 .
  Ta có hàm số  
  3
  y x x 12 là hàm số chẵn
  (vì               
  3
  3
  y x x x x x y x 12. 12 ).
  Từ đó, ta thấy rằng nếu 1
  x ; 2
  x ; 3
  x là ba nghiệm dương của phương trình 1 thì
   1
  x ;  2
  x ;  3
  x cũng là ba nghiệm của phương trình 1. Không mất tính tổng quát,
  giả sử 1
  x  2
  x  3
  x . Khi đó ta có 1 x ,
  2 x ,
  3
  x là nghiệm của phương trình
  3
  0
  x x m   12 . Theo định lí Viet ta có: 
       1 2 3 0
  b
  x x x
  a
  .
  Theo bài ra, x x x 1 2 3    1 4 3 nên 
  3 
  1 4 3
  2
  x .
  Khi đó,
       
       
   
      
  3
  0
  1 4 3 1 4 3 3 97 12. 3
  2 2 2 8
  m
  8
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
    
  3 97
  ,
  2 8
  a b    2
  4 8 106. a b
  Chọn đáp án A.
  Nhận xét: Bằng việc sử dụng phép đối xứng trục và phối hợp các tính chất khác
  của hàm số ta có nhận xét sau:
• Biết đồ thị C y f x  :    ta suy ra đồ thị C1 của hàm số y f x    như sau:
• Giữ lại đồ thị C y f x  :    trên trục hoành.
• Lấy phần đồ thị C y f x  :    dưới trục hoành đối xứng qua trục hoành.
• Biết đồ thị C y f x  :    ta suy ra đồ thị C y f x 2  :    như sau:
• Giữ lại đồ thị C y f x  :    bên phải trục tung.
• Lấy phần đồ thị C  vừa giữ lại đối xứng qua trục tung.
  Ví dụ 2: Cho hàm số  
  
  
  
  2 1
  1
  x
  f x
  x
  có đồ thị C . Gọi M 2;3 thuộc C ,
  đường tròn tâm M bán kính R cắt nhánh đồ thị C  không chứa M tại hai điểm
  phân biệt A B, sao cho tam giác MAB có diện tích bằng
  2
  3
  .
  4
  R
  Khi đó bán kính
  R của đường tròn đó bằng
  A. 2 6. B. 3
  .
  2
  C. 2 2. D. 6.
  Hướng dẫn:
  9
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  Nhận xét điểm M C d     , với d y x : 1   là trục đối xứng của C  nên
            
   0 AMB MAB ABM d MA d MB 60 , , 30 .
  Suy ra        45 75 .
  Phương trình đường thẳng MB qua M 2,3và có hệ số góc tan 2 3    là:
  MB y x : 2 3 1 2 3       .
  Suy ra B M MB C , ,     gọi B có hoành độ x x x , 2   là nghiệm của
  phương trình:
   
  
                
  2( ) 2 1 2 3 1 2 3
  1 1 3
  x l x
  x
  x x
  .
             x y B 1 3 3 1 3, 3  .
  Giả thiết
  2
  3
  ,
  4
  MAB
  R
  S MAB   đều.
  Khi đó: R MB MA AB     2 6.
  Nhận xét: Thực tế khi học sinh làm bài trên mà không nhận xét được đường thẳng
  d y x : 1   là trục đối xứng của đồ thị hàm số để từ đó lập được phương trình
  đường thẳng MB thì việc vượt qua bài toán trên thực sự là một khó khăn rất lớn
  với các em.
  Chọn đáp án A.
  Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó, điểm B
  thuộc cạnh Ox (B khác O ). Tìm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ
  nhất.
  A. C là hình chiếu của A trên Oy.
  B. C là hình chiếu của B trên Oy.
  C. C là hình chiếu trung điểm I của AB trên Oy.
  D. C là giao điểm của BA A ‘; ‘ đối xứng với A qua Oy.
  Hướng dẫn:
  Gọi M là điểm đối xứng với A qua Ox. Vì B Ox  nên BA BM  .
  Gọi N là điểm đối xứng với A qua Oy. Vì C Oy  nên CA CN  .
  Chu vi tam giác:        .
  ABC P AB BC CA BM BC CN *
  10
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có
  MB BC MC   và MC CN MN   .
  Kết hợp với , suy ra
           .
  ABC P MB BC CN MC CN MN
  Dấu ” ”  xảy ra khi và chỉ khi B C M N , , , thẳng
  hàng hay C là giao điểm của BM với trục Oy .
  Chọn đáp án D.
  Nhận xét: Ví dụ trên có sử dụng bài toán tổng quát sau: Cho đường thẳng d và hai
  điểm A B, . Xét điểm M thay đổi trên d, tìm vị trí của M để tổng T MA MB  
  đạt giá trị nhỏ nhất.
  TH1: Khi A hay B thuộc d thì T AB min  khi M trùng A hoặc B.
  TH2: Khi A B, khác phía với min d T MA MB AB T AB       khi M là
  giao điểm của đường thẳng d và AB.
  TH3: Khi A B, cùng phía với đường thẳng d ta gọi A1
  là đối xứng của A qua d.
  Theo tính chất phép đối xứng trục ta có:
  T MA MB MA MB AB      1 1
    T AB min 1 khi M là giao điểm của đường thẳng d và 1 AB.
  Ta xét tiếp các ví dụ sau:
  Ví dụ 4: Cho hai số phức 1 2 z z, thỏa mãn các đẳng thức sau
  z i z i 1 1      5 3 1 3 , z i z i 2 2      4 3 2 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu
  thức         1 2 1 2 P z z z i z i 6 6 là
  A. 2 10. B. 6. C. 16
  .
  13
  D.
  18
  .
  13
  Hướng dẫn:
  Đặt z x yi 1   thì z i z i x y d 1 1 1          5 3 1 3 2 3 6 0 .  
  Đặt
  2
  z x y i    thì z i z i x y d 2 2 2          4 3 2 3 3 3 0 .    
  Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn của 1 2 z z, thì   1 2 A d B d ; . Gọi C 6;1.
  N
  M
  C
  B
  A
  O y
  x
  11
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  d2
  d1
  α
  D
  E
  C2
  C1
  C
  A
  B
  1 2 1 2 1 2 1 2
  1 2
  6 6 6 6
  .
  P z z z i z i z z z i z i
  AB AC BC C C
                 
     
  Với 1 2 C C, lần lượt đối xứng với C qua 1 2 d d, .
  Phương trình CC1
  : 1
  66 31 3 2 20 0 ; .
  13 13
  x y C
           
   
     
  Phương trình CC2
  : 2
  24 13 3 – 17 0 ; .
  5 5
  x y C
      
      
   
     
  Vậy 1 2 
  18
  .
  13
  C C
  Chọn đáp án D.
  Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng x y, cố định. Hai điểm M N, thay đổi trên x và hai
  điểm P Q, thay đổi trên y sao cho MN a PQ b   , trong đó a b, là các độ dài
  cho trước. Hãy xác định vị trí của M N P Q , , , sao cho bán kính hình cầu nội tiếp tứ
  diện MNPQ là lớn nhất.
  Hướng dẫn:
  Gọi V S r , , lần lượt là thể tích, diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ
  diện MNPPQ XY ; là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng x y, ; điểm X
  trên x Y, trên y sao cho XY d x y   , , .   
  Ta có       
  3 1 1 , . .sin , sin .
  6 6
  V
  r V MN PQ x y abd const
  S
  12
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  Nên r max khi và chỉ khi S min.
  Hạ MM y M NN y N PP x P QQ x Q 1 1 1 1 1 1 1 1         ; ; ; ta có
  2 2 2 S MN PP QQ PQ MM NN S S        1 1 1 1 1 2    ta chứng minh S min
  khi và chỉ khi 1
  S min và 2
  S min.
  Thật vậy, chiếu toàn bộ hình vẽ lên P nào đó vuông góc với x tại điểm O.
  Gọi y là hình chiếu của y lên P trong đó O H P Q , , ,  lần lượt là hình chiếu của
  X Y P Q , , , lên P. Dễ thấy OH XY d P Q PQ b b // , sin sin          
  (hằng số), cũng vậy 1 1 PP OP QQ QQ // , // .    
  Từ đó ta được 2 min S a OP OQ S OP OQ 1 1            min.
  Vì OH P Q H OH d P Q b b           , , sin nên tam giác OP Q  có diện
  tích không đổi. Từ đó dễ thấy tam giác OP Q  có chu vi nhỏ nhất tức OP OQ   
  min khi và chỉ khi nó là tam giác cân đỉnh O P Q    , đối xứng nhau qua H, do
  đó P Q, đối xứng nhau qua Y.
  Chứng minh tương tự S M N 2 min ,  đối xứng nhau qua X.
  Tóm lại r max khi và chỉ khi đường vuông góc chung XY của hai đường chéo
  nhau x y, là trục đối xứng của tứ diện MNPQ (có cạnh MN a  trân x và cạnh
  PQ b  trên y ) nghĩa là     , .
  2 2
  a b XM XN YP YQ
  13
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  Tương tự như các ví dụ trên, trong không gian ta xét các ví dụ sau:
  Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A2;3;3
  đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B là   
   
   
  3 3 2
  ,
  1 2 1
  x y z phương trình đường
  phân giác trong góc C là   
   
   
  2 4 2
  .
  2 1 1
  x y z Đường thẳng AB có một véctơ
  chỉ phương là:
  A. 1
  u   (0;1; 1).
  
  B. 2
  u   (2;1; 1).
  
  C. 3
  u  (1;2;1).
  
  D. 4
  u   (1; 1;0).
  
  Hướng dẫn:
  Gọi M t t t (3 ;3 2 ;2 )    là trung điểm cạnh AC, khi đó
  C t t t (4 2 ;3 4 ;1 2 ).   
  Mặt khác C thuộc đường phân giác trong góc C là  nên
       
      
   
  (4 2 ) 2 (3 4 ) 4 (1 2 ) 2 0 (4;3;1).
  2 1 1
  t t t t C
  Gọi A đối xứng với A qua phân giác trong góc C A CB   .
  Mặt phẳng  qua A và vuông góc với đường phân giác trong góc C :
  : 2( 2) ( 3) ( 3) 0 x y z       .
  Gọi H H      2;4;2 .
  Mặt khác H là trung điểm AA nên A2;5;1 .
  Phương trình BC qua A C, là:
     
  
    
  
  
          
  
  
    
  
  4 2
  3 2 2;5;1 0;2; 2
  1
  x t
  y t BC BM B AB
  z
  Chọn đáp án A.
  Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;0 và
  B 3;0;1 . Điểm I a b c  ; ;  nằm trên mặt phẳng P x y z  : 2 2 0     sao cho
  IA IB  là nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a b c   bằng
  A. 2. B. 3. C. 2. D. 3.
  14
  
  Hướng dẫn:
  Xét vị trí tương đối của A và B so với mặt phẳng P:
  Ta có: 2 2.1 0 2 3 2.0 1 2 6.4 24 0             A B, nằm cùng phía
  so với P.
  Gọi A là điểm đối xứng của A qua P. Khi đó: IA IB IA IB    nhỏ nhất
  khi A I B , , thẳng hàng.
  Gọi M là hình chiếu của A lên P.
  Ta có:       
   
  1;2; 1 MA P
  u n (do AM P   ), MA đi qua A2;1;0 .
  Phương trình đường thẳng
  
    
  
  
    
  
  
     
  2
  : 2 1
  x t
  MA y t
  z t
      M t t t  2;2 1; .
  Lại có M P t t t t t                  2 2 2 1 2 0 6 6 0 1    
    M 1; 1;1 .
  Do M là trung điểm AA A     0; 3;2 .
  Ta có: u A B A B     3;3; 1 ,
   
  A B đi qua B 3;0;1 .
  Phương trình đường thẳng  
  3 3
  : 3 3 3;3 ; 1 .
  1
  x t
  A B y t I t t t
  z t
  
    
  
         
  
  
      
  15
  
  Mà    
  2
  3 3 2.3 1 2 0 10 4 0 .
  5
  I P t t t t t               
  9 6 7 9 6 7 ; ; 2.
  5 5 5 5 5 5
  I T a b c
                 
   
     
  Chọn đáp án A.
  Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho A1;1;1 và hai đường thẳng
  1
  2 2
  : 1 ,
  2
  x t
  d y
  z t
  
    
  
  
   
  
  
      
  2
  5 3
  : 1 .
  3
  x s
  d y
  z s
  
    
  
  
   
  
  
     
  Gọi B C, là các điểm lần lượt di động trên 1
  d ,
  2
  d . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AB BC CA    là
  A. 2 29. B. 29. C. 30. D. 2 30.
  Hướng dẫn:
• Giả thiết suy ra hai đường thẳng 1 2 d d, cùng nằm trong : 1 y  và A  .
• 1
  d có một véc tơ chỉ phương u1   2;0;1 ,
  
  2
  d có một véc tơ chỉ phương
  u2   3;0; 1 .
  
  Do  
         
    
  1 2 u u, 0;1;0 0 nên 1
  d cắt 2
  d .
• Gọi 1 2 A A, lần lượt là điểm đối xứng của A qua 1
  d và 2
  d .
• Gọi  là mặt phẳng qua A và vuông góc với 1
  d       : 2 1 0. x z
• Gọi   1
  I d    , thì tọa độ của I là nghiệm của hệ
  16
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
   
  
    
  
  
    
    
      
  
  
      
  2 2
  1
  0;1; 1
  2
  2 1 0
  x t
  y
  I
  z t
  x z
     A1  1;1; 3 .
• Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với 2
  d      : 3 2 0. x z
• Gọi   2
  J d    , thì tọa độ của J là nghiệm của hệ
   
  
    
  
  
    
   
     
  
  
      
  5 3
  1
  2;1;4
  3
  3 2 0
  x s
  y
  J
  z s
  x z
   A2 3;1;7 .
• Ta có:        1 2 1 2 P AB BC CA AB BC CA AA
  P đạt GTNN khi  1 2 P AA min 1 2    P AA 2 29.
  Chọn đáp án A.
  Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu      
  2 2 2
  S x y z : 1 1 4,     
  đường thẳng 2 1 6
  : ,
  2 2 1
  x y z d
    
    điểm A   1; 1; 1 . Lấy điểm M thay
  đổi trên d, điểm N bất kỳ trên mặt cầu S. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
  T AM MN   .
  A. 1493 2.
  3
   B. 1493
  .
  3
  C. 2 1493
  .
  3
  D. 1493 6
  .
  3
  
  Hướng dẫn:
  (S)’
  (S)
  d
  N’
  N’1
  H
  N1
  M1
  I’
  A I
  M
  N
  17
  
  Giả thiết S có tâm I1;1;0 , bán kính R  2.
  Và d qua điểm E 2; 1;6 ,   có vtcp ud  2;2;1 .
  
  Vì AI  2;2;1 ,
  
  A d  nên AI d // .
  Gọi mặt cầu S có tâm I đối xứng với mặt cầu S qua d.
  Gọi 1 M AI d   , N AI S 1
       , N M I S 1 1   , N  đối xứng với N qua
  d (như hình vẽ trên). Khi đó dễ thấy N S     .
  T AM MN     AM MN      AM MN N I N I      
    AI N I   
  1 1 AI I N AN .
        
  Dễ thấy 
       AN AM M N AM M N 1 1 1 1 1 1 1 và 1 AN AI R.
    
  Vậy suy ra     minT AN AI R 1
  khi 1 M M ,
  1 N N  .
  Ta có: EI     1;2; 6 ,
  
   
         
  
  
  
  ,
  ,
  d
  d
  EI u
  IH d I d
  u
  353
  ,
  3
   AI  3 và
  2 353
  .
  3
  II  Nên 2 2 1493
  .
  3
  AI AI II     
  Vậy GTNN của T là 1493 2.
  3
  
  Nhận xét: Bài này mấu chốt là nhìn ra được A, tâm I của mặt cầu và đường
  thẳng d đồng phẳng. Bài này sẽ khó nếu các đối tượng trên không đồng phẳng.
  Ví dụ 10: Cho hàm số bậc ba y f x    có
  đồ thị là đường cong C  trong hình bên.
  Hàm số y f x    đạt cực trị tại hai điểm
  1 2 x x , thỏa f x f x  1 2      0. Gọi A B, là
  hai điểm cực trị của đồ thị C ; M N K , , là
  giao điểm của C  với trục hoành; S là diện
  18
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  tích của hình phẳng được gạch trong hình, 2
  S là diện tích tam giác NBK. Biết tứ
  giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số 1
  2
  S
  S
  bằng
  A. 2 6
  .
  3
  B. 6
  .
  2
  C. 5 3
  .
  6
  D. 3 3
  .
  4
  Hướng dẫn:
  Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị C  sang trái sao cho
  điểm uốn trùng với gốc tọa độ O (như hình dưới)
  Do f x  là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng O N  .
  Đặt x a x a 1 2    , , với a  0       
  2 2 f x k x a ‘ với k  0
   
     
      
   
     
  1 3 2
  3
  f x k x a x     3, 3 M K x a x a
  Có MAKB nội tiếp đường tròn tâm O    OA OM a 3
     
                  
   
     
  2 2 3 3
  1 1 2
  1 3 2 2 2
  3 2
  f x OA x f a a k a a a k
  a
   
     
      
   
     
  3 2
  2
  3 2 1
  2 3
  f x x a x
  a
   
   
           
   
     
  
  0
  0 2
  4 2 2
  1 2
  3 3
  3 2 1 9 2
  2 12 2 8
  a a
  a
  S f x dx x x a
  a
         
  2
  2
  1 1 6 . 2. 3
  2 2 2 AMO S S f a MO a a a
  19
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  Vậy 1 
  2
  3 3
  4
  S
  S
  .
  Chọn đáp án D.
  Nhận xét: Bằng việc nắm chắc về tính chất của tâm đối xứng của một hình hay
  một đồ thị ta giải quyết được bài toán trên nhanh gọn nhất. Ta nghiên cứu tiếp ví dụ
  sau:
  Ví dụ 11: Đồ thị hàm số 
  
  
  2 1
  1
  x
  y
  x
  có tâm đối xứng là điểm I có tọa độ
  A. I1; 1 .   B. 1
  ;1 .
  2
  I
     
   
   
     
  C. I1;2 . D. I2;1 .
  Hướng dẫn:
  Cách 1. (Trắc nghiệm)
  Ta có:
• 
     
  
    
  1 1 
  2 1 lim lim
  x x 1
  x
  y
  x
  , suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường
  thẳng x  1.
• 
   
  
   
  
  2 1 lim lim 2
  x x 1
  x
  y
  x
  , suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường
  thẳng y  2.
• Giao điểm hai đường tiệm cận là I1;2.
  Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
  
  
  2 1
  1
  x
  y
  x
  là I1;2.
  Cách 2. (Tự luận)
• Xét hàm số 
  
  
  2 1
  1
  x
  y
  x
   
  
  3
  2
  x 1
    
  
  3
  2
  1
  y
  x
  .
• Chuyển hệ trục tọa độ Oxy về trục tọa độ IXY gốc I1;2 , sao cho trục IX cùng
  hướng với Ox , trục IY cùng hướng với Oy ta được hàm số trong hệ trục tọa độ
  XIY là:  
  3
  Y f X .
  X
   
• Xét hàm số   
  3
  f X
  X
  .
  Tập xác định: D   \ 0 .
  20
  Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
  Ta có      X D X D và        
  3
  f X f X
  X
  .
  Suy ra hàm số   
  3
  f X
  X
  là hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ I1;2 làm tâm đối
  xứng.
  Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
  
  
  2 1
  1
  x
  y
  x
  là I1;2 .
  Chọn đáp án C.
  Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
  3 2 2
  x x x m      3 1 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
  A. m  16. B. m  2. C. m  2. D. m  2.
  Hướng dẫn:
  Xét hàm số 3 2 2 y x x x m      3 1 là hàm số bậc ba nên có đồ thị nhận điểm
  uốn  
  2
  I m1; 4  làm tâm đối xứng.
  Nên bài toán thoả mãn khi đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
  có hoành độ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó điểm uốn  
  2
  I m1; 4 
  thuộc trục hoành.
  Do vậy 2
  m m      4 0 2. Thử lại thấy thoả mãn.
  Chọn đáp án D.
  Ví dụ 13: Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị 1 2 3 m m m , , của tham số m để phương
  trình 3 2 3 2
  x x x m m m        9 23 4 9 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một
  cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức 3 3 3
  1 2 3 P m m m    .
  A. P  34. B. P  36. C. P  64. D. P  34.
  Hướng dẫn:
  Lý luận làm tương tự như ví dụ 8. Chọn đáp án A.
  Ví dụ 14: [Thi thử THPT QG trường THPT Xuân Trường B_2018] Cho hàm
  số       
   
     
  2018
  1
  y log
  x
  có đồ thị C1 và hàm số y f x    có đồ thị C2 . Biết C1 và
  C2  đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Hỏi hàm số y f x    nghịch biến trên
  khoảng nào sau đây?
  A. 0;1 . B. 1;0 . C.  ; 1 . D. 1;.
  Hướng dẫn:

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11,12 giải quyết bài toán góc, khoảng cách từ 2, 3 nét vẽ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Trong môn toán ở trường THPT phần hình học không gian giữ một vai
trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ
năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm
chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính
sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Trong chương trình toán lớp 11, 12, các bài toán về góc, khoảng cách
trong không gian xuất hiện ở hầu hết các đề thi định kì, đề thi học sinh giỏi, đề
thi THPTQG. Đối với học sinh đại trà, phần khoảng cách là mảng kiến thức khó
và thường để mất điểm trong các kì thi trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể
làm tốt phần này, tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và
thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập loại bài tập này khá nhiều song chỉ
dừng ở các bài tập đơn giản. Các tài liệu tham khảo ít có tài liệu phân loại một
cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian.
Đối với các giáo viên, do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần
mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề sắc nét,
có tính hệ thống về phần này còn gặp khó khăn.
Bản thân tôi đã dạy môn Toán 11, 12, giảng dạy các đối tượng học sinh
khác nhau, tôi thấy nếu chỉ giới thiệu đơn giản như sách giáo khoa, sách bài tập,
thậm chí theo một số tài liệu tham khảo thì nhiều học sinh Khá, Giỏi cũng chưa
tích cực giải quyết các bài toán khoảng cách ở mức độ vận dụng, vận dụng cao;
học sinh trung bình, yếu thì thường có tư tưởng bỏ qua các câu đó. Tuy nhiên
khi giới thiệu cách làm như trong sáng kiến tôi trình bày thì tôi thấy các ưu điểm
như:

• Nhiều học sinh giải quyết được dễ dàng, nhanh chóng các bài toán về
  góc, khoảng cách, kể cả các bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học. Với
  học sinh Khá, Giỏi, ý thức học tốt thì giải quyết càng nhanh và trơn tru. Với học
  sinh trung bình đòi hỏi các em phải luyện tập nghiêm túc thì cũng giải quyết tốt.
• Do nắm được hướng giải quyết nên các học sinh đều tích cực, sẵn sàng
  tiếp nhận các bài toán khoảng cách, mà khi nói đến bài toán khoảng cách trong
  các đề thi đại học thì học sinh càng hào hứng.
• Thay đổi được tư tưởng bỏ qua bài toán góc, khoảng cách ở một số học
  sinh.
• Làm cho học sinh trở nên yêu thích phần Hình học không gian nói riêng
  và bộ môn Toán nói chung, bởi từ một phần học được học sinh coi là khó thì nay
  trở nên giải quyết một cách dễ dàng.
  2
• Rèn tư duy, phát triển tư duy cho học sinh, điều đó sẽ giúp các em có
  hướng giải quyết tốt các vấn đề khó khăn trong cuộc sống, phát huy tính sáng
  tạo trong công việc.
  Những lí do đó là nguồn cảm hứng, là động lực thúc đẩy tôi viết ra sáng
  kiến kinh nghiệm này. Tài liệu cũng có thể giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên
  môn, nâng cao khả năng bản thân.
  II. Mô tả giải pháp kỹ thuật
  II.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
  Tôi xin nhắc lại các dạng toán chính về góc và khoảng cách đó là góc giữa
  hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng;
  khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng
  chéo nhau mà sách Bài tập Hình học 11 và một số tài liệu tham khảo hướng dẫn:
  1) Góc giữa hai đường thẳng:
  Góc giữa hai đường thẳng
  a
  và
  b
  trong không gian là góc giữa hai đường
  thẳng
  a ‘
  và
  b’
  cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với
  a
  và
  b .
  2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
  Cho đường thẳng
  d
  và mặt phẳng
  ( ) P .
  +) Nếu đường thẳng
  d
  vuông góc với mặt phẳng
  ( ) P
  thì góc giữa đường
  thẳng
  d
  và mặt phẳng
  ( ) P
  bằng
  0
  90 .
  +) Nếu đường thẳng
  d
  không vuông góc với mặt phẳng
  ( ) P
  thì góc giữa
  đường thẳng
  d
  và hình chiếu
  d ‘
  của nó trên
  ( ) P
  được gọi là góc giữa đường
  thẳng
  d
  và mặt phẳng
  ( ) P .
  a
  b
  b’
  a’
  O
  d’
  d
  P
  O
  A
  H
  3
  3) Góc giữa hai mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
  hai mặt phẳng đó.
  Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
  đó bằng
  0
  0 .
• Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
  Cho hai mặt phẳng
  ( ) P
  và
  ( ) Q
  cắt nhau theo giao tuyến
  c
  . Từ một điểm
  I
  bất kì trên
  c
  ta dựng đường thẳng
  a
  trong
  ( ) P
  vuông góc với
  c
  và dựng đường
  thẳng
  b
  trong
  ( ) Q
  vuông góc với
  c
  . Khi đó góc giữa
  ( ) P
  và
  ( ) Q
  là góc giữa hai
  đường thẳng
  a
  và
  b .
  4) Tìm khoảng cách từ điểm
  M đến
  mp P( )
• Tìm hình chiếu
  H
  của
  M
  trên
  mp P( )
• Tính
  MH
• Phương pháp tìm hình chiếu
  H
  của
  M
  trên
  mp P( )
  :
  n
  Q m
  P
  c
  b
  a
  Q
  P
  I
  4
• Tìm
  mp Q( )
  chứa
  M
  và vuông góc với
  mp P( )
  theo giao tuyến
  d
• Từ
  M
  hạ
  MH
  vuông góc với
  d
  (
  H d 
  )
• Vì
  ( ) ( )
  ( ) ( )
  ( )
  ( )
  P Q
  P Q d MH P
  MH Q
  MH d
   ⊥
  
    =   ⊥
   
  
   ⊥
   = d M P MH ( ,( ))
  5) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Trường hợp 1:
  a b,
  chéo nhau và
  a b,
  vuông góc với nhau
• Chọn
  mp( ) 
  chứa
  a
  vuông góc với
  b
  tại
  B
• Trong
  mp( ) 
  kẻ
  BA
  vuông góc với
  a
  tại
  A.
  Suy ra
  AB
  là đoạn vuông góc chung của
  a b, .
• Trường hợp 2:
  a b,
  chéo nhau và
  a b,
  không vuông góc với nhau.
  Cách 1:
• Dựng mặt phẳng
  ( ) 
  chứa
  a
  và song song với
  b .
  d
  mp(Q)
  P
  M
  H
  a
  α
  b
  B
  A
  a
  b
  α
  b’
  B
  A
  M
  M’
  5
• Chọn
  M b 
  , dựng
  MM ‘ ( ) ⊥ 
  tại
  M ‘.
• Từ
  M ‘
  dựng đường thẳng
  b b ‘/ /
  , cắt
  a
  tại
  A.
• Từ
  A
  dựng
  AB MM / / ‘
  , cắt
  b
  tại
  B.
  
  AB
  là đoạn vuông góc chung của
  a b, .
  Chú ý:
  d a b AB MM d b ( , ) ‘ ( ,( )) = = = 
  Cách 2:
• Dựng mặt phẳng
  ( )  ⊥ a
  tại O,
  ( ) 
  cắt
  b
  tại
  I .
• Dựng hình chiếu vuông góc
  b’
  của
  b
  trên
  ( )  .
• Trong mp
  ( ) 
  , dựng
  OH b ⊥ ‘
  tại
  H .
• Từ
  H
  dựng đường thẳng song song với
  a
  , cắt
  b
  tại B.
• Từ
  B
  dựng đường thẳng song song với
  OH
  , cắt
  a
  tại
  A.
  
  AB
  là đoạn vuông góc chung của
  a
  và
  b .
  Chú ý:
  d a b AB OH ( , ) = =
  Nếu triển khai như sách giáo khoa, sách bài tập Hình học và một số tài liệu
  tham khảo thì cách làm đó là tổng quát, học sinh áp dụng được với các bài toán
  đơn giản, tuy nhiên thao tác phức tạp, khó nhớ nên các bài toán ở mức độ vận
  dụng cao hơn thì đa số học sinh gặp khó khăn trong việc xác định khoảng cách
  và tính toán.
  II.2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
  a) Từ 2 nét vẽ xác định được góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường
  thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, cụ thể:
• Xác định góc giữa hai đường thẳng và ta lấy điểm bất kì và thực hiện:
  b’
  b
  a
  α
  A
  I H
  O
  B
  a b O
  a
  b
  b’
  a’
  (2)
  (1)
  O
  6
  +) Nét 1: Vẽ
  a a ‘/ /
  +) Nét 2: Vẽ
  b b ‘/ /
  Khi đó
  (a b a b , ‘; ‘ ) = ( )
• Xác định góc giữa đường thẳng
  d
  và mặt phẳng
  ( P)
  , ta thực hiện theo các
  bước sau:
  +) Tìm giao điểm
  O
  của
  d
  với
  ( P)
  (thường có sẵn giao điểm hoặc xác
  định giao điểm dễ dàng).
  +) Nét 1: Từ điểm
  A
  bất kì trên
  d
  (không trùng
  O
  ) vẽ
  AH P ⊥ ( )
  tại
  H
  +) Nét 2: Nối
  OH
  . Đường thẳng
  d ‘
  chính là đường thẳng
  OH .
  Khi đó
  (d P d d AOH , , ( )) = = ( ) .
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng:
  Giả sử
  (P Q c )  = ( ) .
• Nét 1: Từ điểm
  I c 
  , vẽ
  a P a c  ⊥ ( ),
• Nét 2: Từ điểm
  I c 
  , vẽ
  b Q b c  ⊥ ( ),
  Khi đó
  ((P Q a b ); ; ( )) = ( )
  b) Từ 3 nét vẽ xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
  Từ ba đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng có các loại khoảng cách:
  d’
  d
  (2)
  (1)
  P
  O
  A
  H
  c
  a
  b
  (2)
  (1)
  Q
  P
  I
  7

Như vậy từ ba đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng có các loại khoảng
cách trên, trong đó hai loại khoảng cách quan trọng nhất là khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Hai loại
khoảng cách này thường xuất hiện trong các đề thi, nhiều câu là câu hỏi dùng để
phân loại học sinh.
Trong các loại khoảng cách trên thì vấn đề trọng tâm là khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, trong đó mấu chốt là khoảng cách từ chân đường cao
đến một mặt phẳng chứa đỉnh. Tài liệu này tôi giúp học sinh giải quyết dễ dàng
bài toán mấu chốt đó từ 3 nét vẽ cơ bản.
Chẳng hạn tính khoảng cách từ chân đường cao
H
đến mặt phẳng
( ) P
như
hình:
Đường thẳng Mặt phẳng
Điểm
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Mặt phẳng
Đường thẳng
Khoảng cách từ điểm→ mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm→ đường thẳng
Khoảng cách từ điểm→ điểm (là bài toán cơ bản xuyên suốt trong mọi bài
toán tính khoảng cách, thường tính bằng hệ thức lượng trong tam giác) Điểm
Các đối tượng
8
3 nét cơ bản đó là:

• Nét 1: Kẻ
  HI a ⊥
  tại
  I
  (
  a
  là giao tuyến của mp(P) và mp đáy)
• Nét 2: Nối
  SI
• Nét 3: Kẻ
  HK SI ⊥
  tại
  K
  Khi đó:
  d H P HK ( ,( )) =
  Có thể nói đây là 3 nét vẽ vi diệu, vì nó đơn giản nhưng giúp ta giải quyết
  hầu hết các bài toán khoảng cách ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
  Các loại khoảng cách: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,
  khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai
  mặt phẳng song song đều được chuyển về bài toán khoảng cách từ một điểm đến
  một mặt phẳng.
  So với giải pháp cũ thì cách làm này đơn giản, dễ nhớ lại giải quyết dễ dàng
  bài toán. Vì vậy nắm được 3 nét vẽ cơ bản trên ta sẽ giải quyết được dễ dàng bài
  toán mấu chốt: Khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng chứa đỉnh,
  từ đó giải quyết được hầu hết các bài toán khoảng cách.
  Trong lời giải tự luận bài toán tính khoảng cách, thường yêu cầu học sinh
  trình bày được 3 ý chính:
• Dựng hình
• Chứng minh
• Tính
  Sáng kiến đi sâu vào hai loại khoảng cách quan trọng nhất là khoảng cách
  từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
  với nhiều ví dụ minh họa từ dễ đến khó, nhiều mô hình chóp như chóp tam giác
  (tam giác vuông, tam giác đều,…), chóp tứ giác (đáy là hình vuông, hình thoi,
  hình chữ nhật, hình thang vuông,…) , chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy,
  một mặt bên vuông góc với đáy, hai mặt bên vuông góc với đáy,…; mô hình
  hình lăng trụ. Sáng kiến cũng cập nhật nhiều bài toán khoảng cách trong các đề
  thi Đại học, đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây. Từ đó học sinh được
  thực hành, trải nghiệm với nhiều mô hình, được tiếp xúc với các đề thi Đại học,
  đề thi THPT Quốc gia, tăng thêm kĩ năng, tư duy, kinh nghiệm cho bản thân.
  a (3)
  (2)
  (1)
  mp đáy
  mp(P)
  H I
  S
  K
  9
  NỘI DUNG SÁNG KIẾN
  A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
  I. Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng:
   Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng
   a
   và
   b
   trong không gian là góc
   giữa hai đường thẳng
   a ‘
   và
   b’
   cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song
   với
   a
   và
   b .
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
   Định nghĩa: Cho đường thẳng
   d
   và mặt phẳng
   ( ) P .
   +) Nếu đường thẳng
   d
   vuông góc với mặt phẳng
   ( ) P
   thì góc giữa đường
   thẳng
   d
   và mặt phẳng
   ( ) P
   bằng
   0
   90 .
   +) Nếu đường thẳng
   d
   không vuông góc với mặt phẳng
   ( ) P
   thì góc giữa
   đường thẳng
   d
   và hình chiếu
   d ‘
   của nó trên
   ( ) P
   được gọi là góc giữa đường
   thẳng
   d
   và mặt phẳng
   ( ) P .
3. Góc giữa hai mặt phẳng

• Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
  vuông góc với hai mặt phẳng đó.
  Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
  đó bằng
  0
  0 .
  a
  b
  b’
  a’
  O
  d’
  d
  P
  O
  A
  H
  10
• Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
  Cho hai mặt phẳng
  ( ) P
  và
  ( ) Q
  cắt nhau theo giao tuyến
  c
  . Từ một điểm
  I
  bất kì trên
  c
  ta dựng đường thẳng
  a
  trong
  ( ) P
  vuông góc với
  c
  và dựng đường
  thẳng
  b
  trong
  ( ) Q
  vuông góc với
  c
  . Khi đó góc giữa
  ( ) P
  và
  ( ) Q
  là góc giữa hai
  đường thẳng
  a
  và
  b .
  II. Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
   Cho điểm
   M
   và một đường thẳng
   
   . Trong
   mp M( ,)
   gọi
   H
   là hình chiếu
   vuông góc của
   M
   trên
   
   . Khi đó khoảng cách
   MH
   được gọi là khoảng cách từ
   điểm
   M
   đến
   .
   Kí hiệu là
   d M MH ( , =)
2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
   n
   Q m
   P
   c
   b
   a
   Q
   P
   I
   α
   M
   H
   11
   Cho mặt phẳng
   ( )
   và một điểm
   M
   , gọi
   H
   là hình chiếu của điểm
   M
   trên
   mặt phẳng
   ( )
   . Khi đó khoảng cách
   MH
   được gọi là khoảng cách từ điểm
   M
   đến mặt phẳng
   ( ).
   Kí hiệu là
   d M MH ( ,( )) =
3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song.
   Cho đường thẳng
   
   và mặt phẳng
   ( )
   song song với nhau. Khi đó khoảng
   cách từ một điểm bất kì trên
   
   đến mặt phẳng
   ( )
   được gọi là khoảng cách
   giữa đường thẳng
   
   và mặt phẳng
   ( ).
   d d M M ( =  , , , (  )) ( ( )) .

• Nếu
  
  cắt
  ( ) 
  hoặc
  
  nằm trong
  ( ) 
  thì
  d( ,( )) 0  =  .

1. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
   Cho hai mặt phẳng
   ( )
   và
   ( )
   song song với nhau, khoảng cách từ một
   điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa
   hai mặt phẳng
   ( )
   và
   ( ).
   α
   H
   M
   α
   H
   M
   β
   α
   H
   M
   12
   d d M d H ((    ), , , ( )) = = ( ( )) ( ( ))
   với
   M H   (  ), ( ) .
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

• Đường thẳng
  a
  cắt cả
   , ‘
  và cùng vuông góc với
   , ‘
  được gọi là đường
  vuông góc chung của
   , ‘
  .
• Nếu
  a
  cắt
   , ‘
  tại M, N thì MN được gọi là đoạn vuông góc chung của
   , ‘ .
  Độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa
   , ‘ .
• Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
  +) Bước 1: Chọn mặt phẳng
  ( ) 
  chứa
  ’
  và song song với
   .
  +) Bước 2: Dựng
  d
  là hình chiếu vuông góc của
  
  xuống
  ( ) 
  bằng cách
  lấy điểm
  M 
  dựng đoạn
  MN ⊥ ( )
  , lúc đó
  d
  là đường thẳng đi qua
  N
  và
  song song với
  .
  +) Bước 3: Gọi
  H d =  ’
  , dựng
  HK MN / /
  Khi đó
  HK
  là đoạn vuông góc chung của
  
  và
  ’
  d HK MN ( , ‘)   = = .
• Nhận xét:
  +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
  một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song
  với nó.
  +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
  hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
  ‘
  a
  M
  N
  d
  α ‘
  K
  H
  M
  N
  13
  B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
  I. GÓC

1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
   Phương pháp giải:

• Cách 1
  Để xác định góc giữa hai đường thẳng
  a và
  b
  ta lấy điểm
  O
  bất kì và
  thực hiện:
  +) Nét 1: Vẽ
  a a ‘/ /
  +) Nét 2: Vẽ
  b b ‘/ /
  Khi đó
  (a b a b , ‘, ‘ ) = ( )
• Cách 2 (Ít sử dụng)
  Tìm hai vectơ chỉ phương lần lượt của hai đường thẳng . Khi
  đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi .
  Chú ý:
  +) Để tính ta chọn ba vec tơ không đồng phẳng mà có
  thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vec tơ qua các
  vec tơ rồi thực hiện các tính toán.
  +) Ta thường chọn điểm O là điểm có sẵn trê

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Sử dụng phương pháp ghép trục để giải các bài toán hàm hợp

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Trong chương trình toán THPT, hàm số được đưa vào giảng dạy từ cấp 2 và
đến lớp 10 được ôn lại, ở đầu chương trình lớp 12 các em được nhắc lại để kết hợp
với kiến thức đạo hàm. Đây là một nội dung khó đối với học sinh 12 bởi đó là sự
tổng hợp các kiến thức các em đã được học ở các lớp dưới, mạch kiến thức khá là
trừu tượng và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế: sách giáo khoa hay sách bài tập
thì các bài tập về hàm số đưa ra chủ yếu là các bài toán đơn giản hay các bài tập nâng
cao không nói rõ cơ sở của phương pháp gây khó khăn cho các em khi học. Với xu
hướng thi trắc nghiệm hiện nay, các bài toán về hàm số, đặc biệt là hàm hợp xuất
hiện trong các đề thi trong những năm gần đây ngày càng nhiều và chủ yếu ở mức
độ VD-VDC, không theo một khuôn mẫu nào cả. Để giải được các bài toán này đòi
hỏi các em phải có một kiến thức cơ bản thật vững về hàm số.
Với mong muốn giúp các em giải được các bài toán về hàm số, cụ thể là các
bài toán hàm hợp tôi đã nghiên cứu các bài toán hàm số trong các đề thi học sinh
giỏi, TN THPT qua mấy năm gần đây và có chia dạng chúng nhằm giúp các em tiếp
cận cách giải các bài toán này đồng thời giúp các em có cái nhìn tổng quát về dạng
toán. Vì vậy tôi đã chọn đề tài: Sử dụng phương pháp ghép trục để giải các bài
toán hàm hợp. Đề tài nghiên cứu, khái quát phương pháp chung để giải các bài toán
hàm hợp . Từ phương pháp chung đó HS tự sắp xếp, hệ thống kiến thức liên quan và
tự chiếm lĩnh phương pháp giải, thực hiện giải tốt bài toán hàm hợp, từ đó HS được
phát triển các năng lực chung và năng lực toán học.
II. Mô tả giải pháp kỹ thuật
II.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải
quyết một vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của
một lớp bài toán tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và
2
điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với
những nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến
thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công. Do vậy việc trang bị
về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo viên.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nam
Định những năm gần đây thường xuyên xuất hiện bài toán hàm hợp, ví dụ như xét
khoảng đơn điệu, tìm điểm cực trị của hàm số, tìm số nghiệm của phương trình. Các
bài toán về hàm hợp thường xuất hiện khá hay, thể hiện khả năng tư duy của học
sinh. Tuy nhiên nếu làm theo cách truyền thống thì lời giải khá cồng kềnh và thường
xét khá nhiều trường hợp gây ra nhiều khó khăn nhất định cho học sinh trong việc
tìm hướng giải quyết. Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải là chưa hiểu
rõ phương pháp chung cho dạng toán dẫn đến khó khăn trong quá trình học tập. Bằng
cách sử dụng phương pháp ghép trục học sinh thấy được bản chất của bài toán và lời
giải trở nên đơn giản, dễ hiểu hơn.
Bên cạnh đó, khó khăn lớn nhất của giáo viên khi dạy phần này là làm sao để
học sinh hứng thú học và có khả năng vận dụng kiến thức về hàm số vào giải các bài
toán hàm hợp, cần trang bị cho các em những kiến thức gì? Cần phân dạng các bài
tập và áp dụng những dấu hiệu của các bài toán như thế nào thì dùng phương pháp
ghép trục? Với tất cả những khó khăn trên tôi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp
ghép trục để giải các bài toán hàm hợp”.
II.2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến
2.1. Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề mới trong những năm gần
đây khi thực hiện thi Tốt nghiệp THPT môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm và
các kì thi chọn học sinh giỏi, khi chương trình giáo dục phổ thông mới đòi hỏi phải
phát triển tư duy, năng lực người học. Cái mới ở đây chính là các dạng bài có tính
chất xuyên suốt, phát triển được tư duy năng lực người học. Thêm vào đó, mỗi bài
3
toán đều có sự phân tích logic, có sự tổng quát và trang bị thêm cho các em một số
kỹ thuật suy luận nhanh khi các em đã có năng lực tư duy, tổng hợp tốt.
Thông qua việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một
cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới.
Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này, rút ngắn được thời gian
làm một câu trắc nghiệm ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
Những điểm mới trong sáng kiến được đề cập đến:

• Các hướng xây dựng bài toán dựa trên
• Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
• Sự tương giao của các đồ thị.
• Các hướng sáng tạo các bài toán mới dựa vào bài toán gốc: Trong mỗi nội
  dung trình bày các bài toán gốc tôi định hướng cho học sinh cách tư duy và các hướng
  phát triển của bài toán đó từ dễ đến khó để học sinh dễ dạng nhận ra bài toán gốc. Qua
  đó cũng định hướng cho giáo viên cách phát triển các dạng toán đa dạng và linh hoạt
  hơn
  4
  NỘI DUNG SÁNG KIẾN
  A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Sự biến thiên của hàm số.
   a. Hàm số đơn điệu.
   Cho hàm số
   y f x = ( )
   xác định trên
   K
   , trong đó
   K
   là một khoảng, đoạn hoặc nửa
   khoảng.

• Hàm số
  y f x = ( )
  đồng biến trên
  K
  nếu với
  1 2 x x K ,  ,
  1 2 x x    f x f x ( 1 2 ) ( ).
• Hàm số
  y f x = ( )
  nghịch biến trên
  K
  nếu với
  1 2 x x K ,  ,
  1 2 x x    f x f x ( 1 2 ) ( )
  b. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.
  Giả sử hàm số
  y f x = ( )
  có đạo hàm trên khoảng
  I
  . Khi đó:
• Nếu hàm số
  y f x = ( )
  đồng biến trên
  I
  thì
  f x ( )  0
  với mọi
  x I  .
• Nếu hàm số
  y f x = ( )
  nghịch biến trên
  I
  thì
  f x ( )  0
  với mọi
  x I  .
  c. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
  i) Giả sử hàm số
  y f x = ( )
  có đạo hàm trên khoảng
  I .
• Nếu
  f x ( )  0
  với mọi
  x I 
  và
  f x ( ) = 0
  chỉ tại một số hữu hạn điểm của
  I
  thì
  hàm số
  y f x = ( )
  đồng biến trên
  I .
• Nếu
  f x ( )  0
  với mọi
  x I 
  và
  f x ( ) = 0
  chỉ tại một số hữu hạn điểm của
  I
  thì
  hàm số
  y f x = ( )
  nghịch biến trên
  I .
• Nếu
  f x ( ) = 0
  với mọi
  x I 
  thì hàm số
  y f x = ( )
  không đổi trên
  I .
  ii) Giả sử hàm số
  y f x = ( )
  liên tục trên nửa khoảng
  a b; )
  và có đạo hàm trên
  (a b; )
• Nếu
  f x ( )  0
  (hoặc
  f x ( )  0
  ) với mọi
  x a b ( ; )
  thì hàm số
  y f x = ( )
  đồng biến
  trên (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng
  a b; ).
  5
• Nếu
  f x ( ) = 0
  với mọi
  x a b ( ; )
  thì hàm số
  y f x = ( )
  không đổi trên nửa khoảng
  a b; ).

1. Cực trị của hàm số.
   a. Điểm cực trị.
   Giả sử hàm số
   y f x = ( )
   xác định trên tập hợp
   D (D  )
   và
   0
   x D .

• Điểm
  0
  x
  được gọi là điểm cực đại của hàm số
  y f x = ( )
  nếu tồn tại một khoảng
  (a b; )
  sao cho
  x a b D 0   ( ; )
  và
  f x f x ( )  ( 0 )
  với mọi
  x a b x ( ; \ )  0.
• Điểm
  0
  x
  được gọi là điểm cực tiểu của hàm số
  y f x = ( )
  nếu tồn tại một khoảng
  (a b; )
  sao cho
  x a b D 0   ( ; )
  và
  f x f x ( )  ( 0 )
  với mọi
  x a b x ( ; \ )  0.
  b. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị.
  Nếu hàm số
  y f x = ( )
  đạt cực trị tại điểm
  0
  x
  và hàm số có đạo hàm tại điểm
  0
  x
  thì
  f x ( 0 ) = 0 .
  Chú ý: Hàm số
  y f x = ( )
  có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo
  hàm, chẳng hạn hàm số
  y x =
  đạt cực trị tại điểm
  0
  x = 0
  mặc dù hàm số này không
  có đạo hàm tại
  x = 0.
  c. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.
  i) Giả sử hàm số
  y f x = ( )
  liên tục trên khoảng
  (a b; )
  chứa điểm
  0
  x
  và có đạo hàm
  trên các khoảng
  (a x;
  0 )
  và
  ( x b 0
  ; )
  . Khi đó
• Nếu
  f x ( )  0
  với mọi
  x a x ( ;
  0 )
  và
  f x ( )  0
  với mọi
  x x b ( 0
  ; )
  thì hàm số đạt
  cực tiểu tại điểm
  0
  x .
• Nếu
  f x ( )  0
  với mọi
  x a x ( ;
  0 )
  và
  f x ( )  0
  với mọi
  x x b ( 0
  ; )
  thì hàm số đạt
  cực đại tại điểm
  0
  x .
  6
  ii) Giả sử hàm số
  y f x = ( )
  có đạo hàm cấp một trên
  (a b; )
  chứa điểm
  0
  x , f x ( 0 ) = 0
  và
  f x( )
  có đạo hàm cấp hai khác
  0
  tại điểm
  0
  x
  . Khi đó:
• Nếu
  f x ( 0 )  0
  thì hàm số
  y f x = ( )
  đạt cực đại tại điểm
  0
  x .
• Nếu
  f x ( 0 )  0
  thì hàm số
  y f x = ( )
  đạt cực tiểu tại điểm
  0
  x .

1. Sự tương giao của các đồ thị
   Cho hàm số
   y f x = ( )
   có đồ thị là
   (C1 )
   và
   y g x = ( )
   có đồ thị là
   (C2 )
   . Số
   nghiệm của phương trình
   f x g x ( ) = ( )
   chính là số giao điểm của hai đồ thị
   (C1 )
   và
   (C2 ).
2. Phép suy đồ thị
   a. Đồ thị hàm số
   y f x = ( )
    Phần đồ thị nằm trên trục
   Ox
   → giữ nguyên.
    Phần đồ thị nằm dưới trục
   Ox
   → lấy đối xứng với nó qua trục
   Ox .
    Bỏ toàn bộ phần đồ thị nằm dưới trục
   Ox .
    Nhận xét: Đồ thị hàm số
   y f x = ( )
   nằm hoàn toàn phía trên trục
   Ox .
   b. Đồ thị hàm số y f x = ( ).
   7
    Phần đồ thị nằm bên phải trục
   Oy
   → giữ nguyên.
    Phần đồ thị nằm bên phải trục
   Oy
   → lấy đối xứng với nó qua
   Oy .
   Bỏ toàn bộ phần đồ thị nằm bên trái trục
   Oy .
    Nhận xét: Đồ thị hàm số
   y f x = ( )
   đối xứng qua trục
   Oy .
   c. Đồ thị hàm số
   y f x a = + ( )
   với
   a  0.
    Nhận xét: Đồ thị hàm số
   y f x a = + ( )
   nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
   số
   y f x = ( )
   sang trái
   a
   đơn vị.
   d. Đồ thị hàm số
   y f x a = − ( )
   với
   a  0.
   8
    Nhận xét: Đồ thị hàm số
   y f x a = − ( )
   nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
   số
   y f x = ( )
   sang phải
   a
   đơn vị.
   e. Đồ thị hàm số
   y f x a = + ( )
   với
   a  0
    Nhận xét: Đồ thị hàm số
   y f x a = + ( )
   nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
   số
   y f x = ( )
   lên trên
   a
   đơn vị
   f. Đồ thị hàm số
   y f x a = − ( )
   với
   a  0
    Nhận xét: Đồ thị hàm số
   y f x a = − ( )
   nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
   số
   y f x = ( )
   xuống dưới
   a
   đơn vị.
   9
   B. NỘI DUNG
   Trong thực tế, ta gặp nhiều bài toán có dạng: Cho hàm số
   y f x = ( )
   đã biết
   thông tin đồ thị (hoặc đã biết các khoảng đơn điệu ), yêu cầu tìm
   m
   để phương trình
   f u x m ( ( )) =
   có đúng
   k
   nghiệm (
   k 
   ). Những bài toán này thường là những bài
   toán khó ở mức độ VD-VDC với lời giải khá cồng kềnh và thường xét khá nhiều
   trường hợp.
   Để cho dễ hiểu, ta xét bài toán mở đầu sau.
   Bài toán mở đầu: Cho hàm số
   f x( )
   có đồ thị như hình vẽ sau
   Biết
   lim ( )
   x
   f x
   →+
   = − , lim ( )
   x
   f x
   →−
   = +
   . Tìm
   m
   để phương trình
   ( )
   3
   f x x m − = 3
   có đúng
   5
   nghiệm?
    Lời giải
   Cách giải 1. Phương pháp truyền thống.
   Đặt
   3
   u x x = − 3
   , ta có
   2
   1
   ‘ 3 3 ‘ 0
   1
   x
   u x u
   x
    =
   = −  =  
    = −
   .
   Từ đó ta có bảng biến thiên
   u x( )
   như sau:
   10
   Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
   +) Với
   2
   2
   u
   u
     −
   
    
   thì phương trình
   3
   x x u − = 3
   có đúng 1 nghiệm
   x
   +) Với
   2
   2
   u
   u
    = −
   
    =
   thì phương trình
   3
   x x u − = 3
   có đúng 2 nghiệm
   x
   +) Với
   −   2 2 u
   thì phương trình
   3
   x x u − = 3
   có đúng 3 nghiệm
   x
   Xét hệ trục tọa độ Ouy, đồ thị hàm số
   y f u = ( )
   như hình vẽ:
   +) Với
   m − − ( ; 2)
   , phương trình
   1
   f u m u u ( ) =  = 1
   ( (2; )) u  + 3
   1  − = x x u 3
   , phương trình này có đúng 1 nghiệm
   x .
   +) Với
   m = −2
   , phương trình
   f u m u ( ) 2 =  =
   3  − = x x3 2
   , phương trình này
   có đúng 2 nghiệm
   x .
   +) Với
   −   − 2 1 m
   , phương trình
   2
   f u m u u ( ) =  = 2
   ( ( 2;2)) u  − 3
   2  − = x x u 3 ,
   phương trình này có đúng 3 nghiệm
   x .
   11
   +) Với
   m = −1
   , phương trình
   3
   2
   ( )
   ( 2;2)
   u
   f u m
   u u
    = −
   =  
    =  −
   3
   3
   3
   3 2
   3
   x x
   x x u
    − = −
    
    − =
   , do đó
   trường hợp này có 5 nghiệm
   x .
   +) Với
   −   1 1 m
   , phương trình
   3
   4 4
   3
   5 5
   3
   6 6
   ( 2;2) 3
   ( ) ( 2;2) 3
   ( ; 2) 3
   u u x x u
   f u m u u x x u
   u u x x u
    =  −  − =  
   =  =  −  − =  
    
    =  − − − = 
   , do
   đó trường hợp này có 7 nghiệm
   x .
   +) Với
   m =1
   , phương trình
   6
   0
   ( )
   ( ; 2)
   u
   f u m
   u u
    =
   =  
    =  − −
   , do đó trường hợp này có
   4 nghiệm
   x .
   +) Với
   m 1
   , phương trình
   7
   f u m u u ( ) ( ; 2) =  =  − −
   , do đó trường hợp này có
   1 nghiệm
   x .
   Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi
   m = −1.
   ✓
   Nhận xét 1.
   Cách làm này khá cồng kềnh, hướng giải quyết là đối chiếu từ nghiệm
   của phương trình
   f u m ( ) =
   theo
   u
   chuyển sang nghiệm của phương
   trình
   3
   x x u − = 3
   theo
   x
   . Mặc dù cách này trình bày tự luận khá tốt tuy
   nhiên nếu làm không cẩn thận, hoặc làm tắt sẽ rất dễ dẫn đến sai sót.
   Ta vẫn tìm được
   m
   trong trường hợp bài toán bỏ bớt giả thiết
   lim ( )
   x
   f x
   →+
   = + , lim ( )
   x
   f x
   →−
   = −
   . Tuy nhiên khi bỏ giả thiết này thì sẽ
   không biện luận được tất cả các trường hợp có thể có của
   m
   , ví dụ khi
   m 1
   thì ta chưa thể khẳng định được phương trình
   f u m ( ) =
   có đúng
   một nghiệm, vì có thể không có nghiệm.
   Cách 2. Phương pháp ghép trục.
   12
   ✓ Nhận xét 2.
   Ta sẽ thiết lập bảng biến thiên của hàm số
   3
   y f x x = − ( 3 )
   khi biết các
   thông tin của bài toán. Bản chất của phương pháp này là ta gộp sự biến
   thiên của
   3
   x u x x → = − 3
   và sự biến thiên của
   u f u → ( ).
   Đặt
   3
   x x u − = 3
   , hàm số
   u x( )
   có hai điểm cực trị là
   x =1
   và
   x =−1
   , từ đó ta có bảng
   biến thiên hàm số
   3
   f x x ( 3 ) − theo phương pháp ghép trục như sau:
   Từ bảng biến thiên, ta suy ra đường thẳng
   y m=
   cắt đồ thị hàm số
   ( )
   3
   y f x x = − 3
   tại đúng
   5
   điểm khi và chỉ khi
   m = −1.
   Với phương pháp này giáo viên đã giúp học sinh giảm bớt rất nhiều thời gian làm
   bài toán trên, học sinh dễ hiểu, dễ ghi nhớ cách làm hơn phương pháp truyền thống.
   Từ đó học sinh chủ động, tích cực hơn trong quá trình học các dạng toán này.
   Từ đây, ta có thể hình thành phương pháp ghép trục cho bài toán tổng quát như sau
3. Phương pháp chung
   Phương pháp chung:
   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
   g x f u x ( ) = ( ( ))
   , giả sử rằng tập xác định
   D a a a a a a =   ( 1 2 3 4 1 ; ; ; ) ( ) ( n n − )
   . Ở đây, có thể
   1
   a  −
   ;
   n
   a  + .
   Bước 2. Xét sự biến thiên của
   u u x = ( )
   và hàm số
   y f x = ( )
   (bước 2, có thể
   làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).
   13
   Bước 3. Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa
     x u u x ; = ( )  
   và
     u g f u ; = ( )  
   . Bảng biến thiên này thường có
   3
   dòng, giả sử như sau
   Cụ thể, các thành phần trong bảng biến thiên như sau

• Dòng 1. Xác định các điểm kỳ dị của hàm
  u u x = ( )
  , sắp xếp các điểm này
  theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử ta có được như sau
  1 2 1 n n
  a a a a      −
• Dòng 2. Điền các giá trị
  u u a i i
  = ( )
  với
  (i n =1, ).
  Trên mỗi khoảng
  (u ui i ;
  +1 ), i n = − 1, 1
  cần bổ sung các điểm kỳ dị
  1 2 ; ; ; k
  b b b 
  của hàm số
  y f x = ( ).
  Trên mỗi khoảng
  (u ui i ;
  +1 ), i n = − 1, 1
  cần sắp xếp các điểm
  ;
  i k u b
  theo thứ tự,
  chẳng hạn ta có như sau
  i k i 1 2 1 u b b b u       +
  hoặc
  i k i 1 2 1 u b b b u       +
  .
• Dòng 3. Xét chiều biến thiên của hàm số
  g f u x = ( ( ))
  dựa vào bảng biến
  thiên của hàm số
  y f x = ( )
  bằng cách hoán đổi
  u
  đóng vai trò của
  x
  ;
  f u( )
  đóng vai trò của
  f x( )
  . Sau khi hoàn thiện được bảng biến thiên của hàm hợp
  g f u x = ( ( ))
  ta thấy được hình dạng đồ thị hàm số này.
  14
• Bước 4. Dùng bảng biến thiên hàm hợp
  g f u x = ( ( ))
  giải quyết yêu cầu đặt
  ra trong bài toán và kết luận.
  Chú ý 1
   Các điểm kỳ dị của hàm số
  u u x = ( )
  gồm: Điểm biên của tập xác định
  D ,
  các điểm cực trị của hàm số
  u u x = ( ).
   Nếu xét hàm số
  u u x = ( )
  thì trong dòng
  1
  các điểm kỳ dị còn có nghiệm
  của phương trình
  u x( ) = 0
  (là hoành độ giao điểm của
  u x( )
  với trục
  Ox
  ).
   Nếu xét hàm số
  u u x = ( )
  thì trong dòng
  1
  các điểm kỳ dị còn có số
  0
  (là
  hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
  u u x = ( )
  với trục
  Oy
  ).
  Chú ý 2
  Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của
  u u x = ( ).
   Điểm kỳ dị của
  y f x = ( )
  gồm: các điểm tại đó
  f x( ), f x ( )
  không xác
  định; các điểm cực trị của hàm số
  y f x = ( ).
   Nếu xét hàm số
  g f u x = ( ( ))
  thì trong dòng
  2
  các điểm kỳ dị còn có
  nghiệm của phương trình
  f x( ) = 0
  (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
  y f x = ( )
  với trục
  Ox
  ).
   Nếu xét hàm số
  g f u x = ( ( ))
  thì trong dòng
  2
  các điểm kỳ dị còn có số
  0
  (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
  y f x = ( )
  với trục
  Oy
  ).

1. Ghép trục trong bài toán không có tham số.
   Ví dụ 1: Cho hàm số bậc bốn
   ( ) ( )
   4 3 2 f x ax bx cx dx e a b c d e = + + + +  , , , ,
   , biết
   ( )
   1
   1
   2
   f = −
   và đồ thị hàm số
   y f x =
   ‘( )
   như hình vẽ.
   15
   Hàm số
   ( ) ( )
   2
   g x f x x x = − + 2 2
   đồng biến trên khoảng
   A.
   (2;+). B.
   (−1;1) C.
   (1;2). D.
   (− −; 1).
   Phân tích: Để tìm khoảng đồng biến của hàm số
   g x( )
   ta lập bảng biến thiên của
   hàm số
   ( ) ( )
   2
   h x f x x x = − + 2 2
   . Sau đó ghép bảng biến thiên của hàm số
   ( ) ( )
   2
   g x f x x x = − + 2 2
   vào cùng bảng biến thiên của hàm số
   h x( ).
    Lời giải
   Xét
   ( ) ( )
   2
   h x f x x x = − + 2 2  = − + h x f x x ‘ 2 ‘ 2 2 ( ) ( )
   h x f x x f x x ‘ 0 2 ‘ 2 2 0 ‘ 1 ( ) =  − + =  = − ( ) ( )
   Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số
   y f x =
   ‘( )
   và đường thẳng
   y x = −1
   cắt nhau
   tại 3 điểm có hoành độ là
   x x x = − = = 1; 1; 2
   16
   Do đó phương trình
   ( )
   1
   ‘ 1 1
   2
   x
   f x x x
   x
    = −
   
   = −  = 
   
    =
   Bảng biến thiên
   Bảng biến thiên của hàm số
   g x h x ( ) = ( )
   Vậy hàm số
   ( ) ( )
   2
   g x f x x x = − + 2 2
   đồng biến trên khoảng
   (1;2).
   Ví dụ 2: Cho hàm số
   y f x = ( )
   có đồ thị hàm số
   y f x =
   ‘( )
   như hình vẽ dưới
   đây.
   Hàm số
   ( ) ( )
   2
   g x f x x = + −1
   có bao nhiêu điểm cực đại ?
   A.
2. B.
   4 . C.
3. D.
   7 .
   17
   Phân tích: Ta có
   ( )
   ( )
   ( )
   ( )
   2
   2
   2 2 2
   2 4 1
   ‘ ‘ 1
   2 2 1
   x x x
   g x f x x
   x x
    
   −  
   = + + −     −
    
   Nếu sử dụng phương pháp truyền thống để giải ta thấy việc giải phương trình
   g x ‘ 0 ( ) =
   rất khó khăn và có những trường hợp học sinh không thể giải được.
   Nhưng nếu sử dụng phương pháp ghép trục đã nêu ở trên thì bài

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SKKN Dạy học bằng mô hình hóa và mô hình hóa toán học qua một số chủ đề trong chương trình toán THPT

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Mô hình hoá toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán
học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải
trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận. Việc dạy
học toán gắn với giải quyết các vấn đề của thực tiễn mang lại nhiều lợi ích, góp phần giúp học
sinh hiểu được ý nghĩa của tri thức học được, lý do tồn tại và lợi ích cho cuộc sống xã hội. Từ
đó, tạo động cơ, gây hứng thú học tập, rèn luyện tư duy cho học sinh.
Dạy học mô hình hoá toán học là dạy học cách thức xây dựng mô hình hoá toán học của
thực tiễn, hướng tới trả lời cho những câu hỏi vấn đề từ thực tiễn. Dạy học bằng mô hình toán
học là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hoá. Như vậy tri thức cần giảng dạy sẽ nảy
sinh qua quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn.
Mô hình hoá toán họcgiúp rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học cần thiết, kĩ
năng hợp tác nghiên cứu, kĩ năng giải quyết vấn đề, phát triển tư duy logic và nhận thức. Với
mục tiêu dạy học cho học sinh cách sử dụng toán học trong cuộc sống hàng ngày, trong quá
trình học tập chúng ta nên tăng cường dạy học hình thành năng lực toán học cho học sinh
thông qua thực tiễn và hoạt động học tập.
Định hướng dạy học hướng vào sự phát triển năng lực của người học, bám sát mục tiêu
năng lực mô hình hoá của chương trình giáo dục phổ thông mới và cấp độ cách học toán học
của học sinh. Hoạt động này giúp tăng cường sự gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn
đề của thế giới bên ngoài. Từ đó, học sinh hiểu sâu và nắm chắc kiến thức toán học trong nhà
trường, đồng thời giúp học sinh thấy được vẻ đẹp, cấu trúc và ứng dụng của toán học trong
thực tiễn cuộc sống.
Năng lực mô hình hoá toán học là một trong những năng lực đặc thù của toán học, thực
sự cần thiết phát triển ở học sinh. Việc học sinh tiếp cận một tri thức như thế nào, thao tác tri
thức đó ra sao, điều đó phụ thuộc rất nhiều vào cách tiếp cận tri thức đó của học sinh thông
qua cách tổ chức dạy học trong quá trình học tập. Là giáo viên dạy toán, điều mà tôi mong
muốn là có bài giảng chất lượng, tạo động cơ học tập, giúp học sinh thấy được ý nghĩa của tri
3
thức. Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài: “Dạy học bằng mô hình hoá và mô hình hoá toán học qua
một số chủ đề trong chương trình toán THPT”.
II. Mô tả giải pháp

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
   Quan điểm dạy học hình thành năng lực toán học cho học sinh thông qua thực tiễn và
   hoạt động học tập có được sự quan tâm rất lớn từ các nhà giáo dục. Đổi mới phương pháp dạy
   học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm đã được triển khai ở các nhà trường. Tuy nhiên,
   cho đến nay có thể nói học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong khi liên hệ thực tiễn và trình
   bày các nội dung toán học.
   Một số bài toán có liên quan tới các vấn đề trong thực tế cuộc sống cũng như liên quan
   đến các môn học khác, học sinh không biết xử lý hoặc không đủ tự tin để giải quyết. Trong
   quá trình học tập, học sinh chưa có nhiều cơ hội hoạt động tích cực, phân tích, bình luận, trao
   đổi. Học sinh còn lúng túng khi sử dụng và vận dụng cách biểu diễn hình ảnh, biểu đồ, công
   thức trong suy luận nên gặp khó khăn trong khi tìm kiếm các giải pháp toán học trong học tập
   và thực tiễn. Vì thế, các em chưa hiểu rõ kiến thức toán học với cuộc sống nên hứng thú học
   tập môn Toán của các em chưa cao.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến.
   Phần 1. Cơ sở lý thuyết.
   1.1. Dạy học bằng mô hình hoá
   Dạy học bằng mô hình toán học là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hoá. Như
   vậy tri thức cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn. Để nâng cao
   năng lực hiểu biết toán học cho học sinh, cần dạy cho học sinh cách thức xây dựng mô hình
   hoá toán học để trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. Trong dạy học toán,
   có thể tổ chức hình thành tri thức cho học sinh theo hai tiến trình sau đây:
   Thứ nhất là trình bày tri thức toán học (dạng lý thuyết hoặc mô hình toán có sẵn), sau đó
   giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng tri thức toán học đó vào giải quyết các bài toán thực
   tiễn cuộc sống.
   4
   Thứ hai là xuất phát từ một vấn đề thực tiễn, xây dựng mô hình toán học, đối chiếu lại
   vấn đề thực tiễn, thể chế hoá tri thức toán học cần truyền thụ cho học sinh và vận dụng vào
   giải bài toán ở những ngữ cảnh khác nhau.
   Với tiến trình dạy học thứ nhất, giáo viên có thể tiết kiệm được thời gian nhưng lại làm
   mất đi nguồn gốc thực tiễn của tri thức toán học và vai trò động cơ của các bài toán thực tiễn
   và do đó cũng làm mất ý nghĩa của tri thức. Với tiến trình dạy học thứ hai, bản chất là dạy học
   bằng mô hình hoá, cho phép khắc phục những hạn chế của tiến trình thứ nhất, qua đó tri thức
   toán học sẽ được hình thành qua hoạt động khám phá vấn đề thực tiễn với tư cách là kết quả
   hay phương tiện để giải quyết vấn đề.
   Như vậy, dạy học thông qua dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn;
   tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn. Bài
   toán thực tiễn có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài toán thực tiễn, học
   sinh có thể thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng, thể hiện những định
   nghĩa, định lý, quy tắc, những hoạt động toán học phức tạp hơn, những hoạt động trí tuệ phổ
   biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Quy trình
   dạy học bằng mô hình hoá tương ứng có thể là:

• Xuất phát từ bài toán thực tiễn;
• Xây dựng mô hình toán học tạm thời;
• Tìm câu trả lời cho bài toán toán học (làm xuất hiện nhu cầu hình thành tri thức mới để giải
  quyết khó khăn);
• Tri thức cần giảng dạy; hoàn thiện mô hình toán học; câu trả lời chính thức cho bài toán thực
  tiễn; vận dụng tri thức này vào giải các bài toán khác.
  Hình vẽ 1: Hình vẽ mô tả quá trình dạy học bằng mô hình hoá
  Nêu vấn đề
  ngoài toán học
  Xây dựng mô
  hình toán học
  Tìm kiếm câu
  trả lời cho vấn
  đề ngoài toán
  học
  Thể chế
  hoá tri thức
  cần giảng
  dạy
  5
  1.2. Khái niệm mô hình, mô hình hoá
  1.2.1. Mô hình, mô hình hoá
  Mô hình là một hình mẫu dùng để minh hoạ, mô tả hình dáng, cấu trúc, phương thức
  hoạt động của sự vật, hiện tượng hay một khái niệm. Thông qua mô hình, ta có thể khám phá
  đối tượng mà không cần dùng đến vật thật. Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá
  trình tư duy, ra đời nhờ quá trình trừu tượng hoá các đối tượng cụ thể hay có thể hiểu là đối
  tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hoá.
  Mô hình hoá được biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học sinh hiểu
  khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên
  tình huống thực tế. Đây chính là môi trường để học sinh khám phá các kiến thức toán học.
  1.2.2. Mô hình hoá toán học
  Mô hình hoá toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học (các đồ
  thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số, các kí hiệu toán học) để biểu diễn, mô tả đặc điểm
  một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu.
  Mô hình toán học là sự giải thích ngôn ngữ toán học cho một hệ thống ngoài toán học
  với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Quá trình mô hình hoá toán
  học là quá trình xây dựng một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề
  bằng ngôn ngữ toán học trong mô hình đó, rồi kiểm tra và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh
  thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận.
  Mô hình hoá toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó người học được yêu
  cầu khám phá tri thức thông qua môn Toán hoặc các tình huống thực tế có tính chất liên môn
  khác. Như vậy, có thể nói mô hình hoá toán học được hiểu là sử dụng các công cụ toán học để
  mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ toán học.
  Hình 2: Hình vẽ mô tả quá trình mô hình hoá
  Dạy học tri thức toán học
  Vận dụng tri thức vào
  giải quyết những vấn đề
  ngoài toán học
  6
  1.3. Quy trình mô hình hoá
  1.3.1. Quy trình mô hình hoá
  Quy trình mô hình hoá bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:
  Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có
  ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.
  Giai đoạn 2: Lập giả thiết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán học. Dựa vào
  đó, xây dựng mô hình toán học tương ứng.
  Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình huống thực
  tiễn để mô hình hoá bài toán và phân tích mô hình.
  Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận.
  1.3.2. Quy trình mô hình hoá toán học
  Quy trình mô hình hoá toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các
  thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hoá các tình huống thực tiễn.
• Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực tiễn, xây dựng giả
  thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Đây là quá trình
  chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương
  ứng.
• Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán đã được
  toán học hoá. Để giải bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học
  tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả.
• Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống thực tiễn ban
  đầu. Học sinh cần phát hiện được ưu, nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực
  tiễn.
• Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm hiểu những
  hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán xem xét lại các công cụ và phương pháp
  7
  toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới. Sau đây là một ví
  dụ minh hoạ cho quy trình mô hình hoá qua bài toán thực tiễn:
  Ví dụ 1.3.1. Hai công nhân An và Hà làm việc trong một xưởng cơ khí. Xưởng sản xuất sản
  phẩm loại A và loại B . Mỗi sản phẩm loại A bán lãi
  600
  nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại B
  bán lãi
  400
  nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm loại A thì An phải làm việc trong 3
  giờ, Hà phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được sản phẩm loại B thì An phải làm việc
  trong 2 giờ, Hà phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản
  phẩm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá 180 giờ và Hà không thể làm việc
  quá 220 giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng?
  Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn):
  Giáo viên tổ chức cho học sinh suy nghĩ và thảo luận để tìm những số liệu cần thiết. Giáo
  viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ từ các yếu tố và các dữ liệu từ bài toán đã cho: Với
  x y ,
  lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B được sản xuất ra. Thời gian để An làm sản phẩm
  loại A và B trong một tháng là
  3 2 x y 
  (giờ) và thời gian để Hà làm sản phẩm loại A và B
  trong một tháng là
  x y  6
  (giờ). Theo giả thiết
  x y ,
  phải thoả mãn các điều kiện:
  x y x y x y       0; 0; 3 2 180; 6 220. Tổng số tiền lãi thu được trong một tháng của
  xưởng là
  T x y   0,5 0,4
  (triệu đồng). Bài toán đưa về: “ Tìm các số nguyên dương
  x y ,
  là
  nghiệm của hệ bất phương trình:
  3 2 180
  6 220
  0
  0
  x y
  x y
  x
  y
    
  
     
   
  
   
  sao cho
  T x y   0,5 0,4
  đạt giá trị lớn nhất”.
  Bước 2 (Giải bài toán, xây dựng mô hình toán học cho vấn đề thực tiễn đã nêu trên):
  Gọi
  x y ,
  lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B được sản xuất ra. Điều kiện
  x y ,
  nguyên
  dương.
  8
  Theo bài ra ta có hệ bất phương trình
  3 2 180
  6 220
  0
  0
  x y
  x y
  x
  y
    
  
     
   
  
   
  Vẽ đường thẳng
  1
  d x y :3 2 180  
  và đường thẳng
  2
  d x y : 6 220  
  Hình 3: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
  Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác
  OMNP
  được tô màu.
  Tiền lãi trong một tháng của xưởng là
  T x y   0,5 0,4
  (triệu đồng). Ta có
  T
  đạt giá trị lớn
  nhất chỉ có thể tại các điểm
  M N P , ,
  . Vì
  P
  có toạ độ không nguyên nên bị loại.
  Tại
  M 60;0
  thì
  T  30
  triệu đồng.
  Tại
  N 40;30
  thì
  T  32
  triệu đồng.
  Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là
  32
  triệu đồng.
  Bước 3 (Thông hiểu): Học sinh hiểu được ý nghĩa của bài toán là với năng suất làm việc của
  mỗi người công nhân và thời gian làm việc trong một tháng đã quy định giới hạn thì sẽ tính
  9
  toán tìm được số sản phẩm loại A và loại Bđược sản xuất ra để đảm bảo lợi nhuận trong tháng
  thu được là lớn nhất.
  Những ưu điểm của mô hình trên:
• Đưa bài toán thực tế về mô hình toán học.
• Giải quyết được bài toán thực tế phức tạp trở về bài toán toán học quen thuộc được giải
  quyết đơn giản và dễ hiểu.
• Phát triển được năng lực ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.
  Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Trên thực tế, các cơ sở sản xuất muốn tăng khả năng
  cạnh tranh thì cần đa dạng hoá các hoạt động ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Vì vậy phần lợi
  nhuận phụ thuộc vào nhiều hoạt động khác nhau, kết quả của bài toán là phần lợi nhuận từ
  hoạt động sản xuất kinh doanh phù hợp với thực tế. Một số yếu tố tác động đến lợi nhuận:
• Yếu tố chủ quan: Nguồn nhân lực, năng lực quản lí, chất lượng cùng giá thành sản phẩm.
• Yếu tố khách quan: Các đối thủ cạnh tranh, thị trường yếu tố đầu vào, sự phát triển của khoa
  học kĩ thuật, chính sách do nhà nước đề ra.
  Ngoài ra, để tạo được lợi nhuận cao, các cơ sở sản xuất, doanh nghiệp cần thực hiện nâng
  cao chất lượng sản phẩm của mình. Đồng thời, kết hợp tăng danh mục sản phẩm, các dịch vụ
  chất lượng, nhiệt tình chăm sóc khách hàng, giữ uy tín.
  Ví dụ 1.3.2. Xét bài toán thực tiễn: Một mảnh vườn hình tròn tâm
  O
  bán kính
  6m
  . Người ta
  cần trồng cây trên dải đất
  6m
  nhận
  O
  làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là
  70.000
  đồng trên
  2
  1m
  . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó? (số tiền được làm tròn
  đến hàng đơn vị).
  Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn):
  Giáo viên tổ chức cho học sinh suy nghĩ và thảo luận để tìm những số liệu cần thiết. Giáo
  viên hướng dẫn học sinh liệt kê các từ khoá: Đường tròn, bán kính đường tròn, phương trình
  đường tròn, phương trình cung tròn, công thức tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện
  tích hình phẳng.
  10
  Bước 2 (Giải bài toán, xây dựng mô hình toán học cho vấn đề thực tiễn đã nêu trên):
  Chuyển bài toán thực tế về bài toán toán học: “Cho đường tròn tâm
  O
  , bán kính
  6m .
  Gọi
  M
  là điểm cách
  O
  một đoạn bằng
  3m
  và
  N
  là điểm đối xứng của
  M
  qua
  O
  . Tại
  M N,
  lần lượt kẻ hai dây cung vuông góc với đường thẳng
  MN
  cắt đường tròn lần lượt tại bốn điểm
  A B C D , , ,
  . Tính diện tích hình đa giác
  AMBCND
  .”
  Hình 4: Hình vẽ mô phỏng cho ví dụ 1.3.2
  Xác định hệ trục toạ độ
  Oxy
  với gốc toạ độ là tâm đường tròn
  O
  .Xác định phương trình
  đường tròn gắn với hệ trục toạ độ mới xây dựng từ đó suy ra phương trình nửa cung tròn trục
  Ox
  .Tìm mối liên hệ diện tích hình phẳng cần tính với hệ trục toạ độ.
  Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
  y f x   
  ; trục
  hoành và hai đường thẳng
  x a x b   ;
  . Ta có công thức tính diện tích:
  3
  2
  3
  S x dx 2 36
  
    
  .
  Căn cứ vào mô hình toán học đã xây dựng ở trên, chúng ta có thể giải bài toán như sau:
  Xét hệ trục toạ độ
  Oxy
  đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm
  O
  là
  2 2
  x y   36
  . Khi đó, nửa cung tròn phía trên trục
  Ox
  có phương trình
   
  2
  f x x   36
  . Diện
  tích
  S
  của dải đất sẽ được tính theo công thức
  3
  2
  3
  S x dx 2 36
  
    
  .
  11
  Đặt
  x t dx tdt    6sin 6cos
  . Đổi cận
  3 ; 3 .
  6 6
  x t x t
   
         
  Suy ra diện
  tích
  S
  được tính bằng
   
  6
  2 6
  6
  6
  2 36cos 18 sin 2 2 18 3 12 4821322. tdt t t
  
  
  
  
  
  
  
       
  Vậy số tiền cần dùng là
  4821322
  đồng.
  Bước 3 (Thông hiểu): Học sinh hiểu được để tính được diện tích dải đất cần dựa vào công thức
  tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành trong đó đồ thị
  f x 
  là
  một cung tròn trên đường tròn.
  Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Từ bài toán trên, học sinh phát triển được năng lực
  ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cuộc sống. Qua đó kiểm chứng được kết quả tìm
  được phù hợp với thực tế: Tính chất của đường tròn, phương trình đường tròn, công thức tính
  diện tích hình phẳng.
  Ví dụ 1.3.3 (Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình). Ông An cần sản suất một cái thang
  để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn cái thang phải luôn đặt ở vị trí E (cột chống đỡ),
  biết rằng điểm E cao 2m so với nền nhà và điểm E cách tường là 1m.
  Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 300.000 đồng trên 1m dài. Hỏi ông An cần ít nhất
  bao nhiêu tiền để sản xuất thang ?(Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).
  A.
  2.350.000
  đồng. B.
  3.125.000
  đồng. C.
  1.249.000
  đồng. D.
  600.000
  đồng.
  Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn):
  Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán, việc ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền
  để sản xuất thang, tức làphải tính chi phí để sản xuất thang, dẫn tới việc học sinh xác định
  được chiều dài của thang. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa bài toán thực tế về bài toán tính
  toán của toán học, có thể mô phỏng bài toán bằng hình vẽ như sau:
  12
  Hình 5: Hình ảnh mô phỏng trong ví dụ 1.3.3
  Bước 2 (Giải bài toán, xây dựng mô hình toán học cho vấn đề thực tiễn đã nêu trên):
  Gọi
  AE x  , x 1
  . Ta có
  AED
  đồng dạng với
  ECF
  , suy ra
  DE AE
  FC EC
   .
  Ta có đẳng thức tương đương
  2
  1
  4
  x
  EC EC
  
  
  . Rút gọn ta được
  2
  2
  1
  x
  EC
  x
  
  
  . Vậy chi phí
  sản xuất thang là
  5
  2
  2
  .3.10
  1
  x
  x
  x
      
    
  , với
  x 1.
  Xét hàm số
   
  5
  2
  2
  .3.10
  1
  x
  f x x
  x
   
        
  , với
  x 1.
  Ta có
   
   
  2
  2
  2
  5 5
  2 3
  2
  2
  2 1
  1 2
  ‘ 3.10 . 1 3.10 . 1
  1
  1
  x
  x
  x
  f x
  x
  x
   
       
     
            
    
       
  .
  Xét phương trình
       
  3 3 2 2 2 3
  f x x x x ‘ 0 1 2 1 4 4 1.          
  Vậy
  3
  x   4 1 .
  13
  Do đó, chi phí sản xuất thang là
  1.249.000
  đồng.
  Bước 3 (Thông hiểu): Qua bài toán, sau khi xây dựng được hàm số
  f x , học sinh hiểu được
  giá trị của hàm số
  f x 
  chính là chi phí sản xuất thang. Giá trị sản xuất ít nhất tương ứng với
  kết quả hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
  Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Trên thực tế, ngoài việc xác định độ dài của thang để
  tính được chi phí sản xuất, chúng ta cần chú ý đến tiêu chuẩn thiết kế, tương ứng với độ
  dốc.Việc xác định chiều dài của thang cũng có nhiều hướng khác nhau, có thể có một số khó
  khăn nhất định khi thực hiện.
  Quy trình mô hình hoá được lặp đi lặp lại, được coi là khép kín và được dùng để mô tả
  các vấn đề thực tiễn và kết quả của bài toán mô hình hoá được dùng để giải thích và cải thiện
  các vấn đề trong thực tiễn.
  Hình 6: Sơ đồ Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hoá
  Một số chủ đề gắn với tình huống mô hình hoá:
  Chủ đề Tình huống Tri thức toán học
  Hàm số bậc nhất – Mô hình về giá cả, doanh thu và
  lợi nhuận.
• Hàm số bậc nhất được biểu diễn
  bằng bảng và đồ thị.
  Xác định rõ vấn
  đề thực
  Lập giả thiết về
  mô hình
  Xây dựng vấn đề
  toán học
  Hiểu lời giải bài Giải bài toán
  toán
  Sử dụng mô hình
  để thông báo, giải
  thích, dự đoán và
  điều chỉnh
  Cơ chế điều chỉnh
  14
• Bài toán tính số vé cần in, số
  lượng người được mời cho sự
  kiện.
• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
  Hàm số bậc hai – Quỹ đạo ném bóng, đài phun
  nước, chuyển động phóng ra, quỹ
  đạo vệ tinh, đèn pha rọi, hoạt
  động của thiết bị nghe lén, bếp
  năng lượng mặt trời.
• Hàm số bậc hai, phương trình
  bậc hai.
  Hàm số mũ – Tốc độ gia tăng dân số (người,
  động vật, vi khuẩn, bệnh tật )
  hoặc tiền tệ (lợi nhuận kép).
• Hàm số mũ biểu diễn dưới dạng
  bảng và đồ thị.
• Phương trình mũ.
• Hàm số logarit.
  Xác suất – Xác định giá để kiểm nghiệm
  mẫu thuốc, kiểm tra máu.
• Bài toán xổ số, lô tô, đánh bạc.
• Xác suất, thống kê
  Lượng giác – Xác định chiều cao toà nhà, dãy
  núi sử dụng thiết bị đo góc.
• Hệ thức lượng trong tam giác.
• Tỉ số lượng giác, định lý cosin,
  định lý sin.
  Diện tích và thể
  tích
• Diện tích khu vườn, tối ưu hoá
  thể tích và diện tích bề mặt nhỏ
  nhất.
• Ứng dụng tích phân để tính diện
  tích và thể tích.
• Hình lăng trụ, hình nón, hình
  cầu.
  1.4. Năng lực mô hình hoá toán học
• Về đặc điểm: Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động, năng lực gắn với hoạt
  động cụ thể.
• Về mối quan hệ với tri thức, kĩ năng: Tri thức, kĩ năng là điều kiện cần thiết để hình thành
  năng lực, năng lực góp phần cho lĩnh hội tri thức, kĩ năng trong lĩnh vực hoạt động nhất định
  15
  được nhanh chóng, thuận lợi, dễ dàng; có năng lực hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng trong
  lĩnh vực đó.
• Năng lực toán học là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và
  giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng
  các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng.
  Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định
  của con người biết góp ý, tham gia và suy ngẫm.
• Sử dụng những tình huống học tập để hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hoá toán học của
  học sinh là cần thiết. Để giải quyết các vấn đề thực tiễn, học sinh cần phải trải qua quá trình
  mô hình hoá, từ đó bộc lộ những biểu hiện của năng lực này. Năng lực mô hình hoá toán học
  là khả năng quan sát tình huống thực tiễn, lựa chọn, xác định các giả

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT