O₂ Education

Category: THCS

  • Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

    Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

    Trong cuộc sống, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp các đại lượng có mối liên hệ với nhau, chẳng hạn:

    Đại lượng tỉ lệ thuận là gì? 1

    • Giữa quãng đường đi được $s$ (km) theo thời gian $t$ (h) của một vật chuyển động đều với vận tốc $15$ (km/h) luôn có hệ thức$$s=v×t=15t$$
    • Khối lượng $m$ (kg) theo thể tích $V$ (m3) của thanh kim loại đồng chất có khối lượng riêng $D$ (kg/m3) luôn có hệ thức$$m=D×V$$

    Các công thức trên đều có điểm giống nhau: Đại lượng này bằng đại lượng kia nhân với một hằng số khác $0$. Khi đó, ta nói chúng là hai đại lượng tỉ lệ thuận (proportionality) với nhau.

    Trái ngược với tỉ lệ thuận là tỉ lệ nghịch, mời các bạn xem chi tiết trong bài Tỉ lệ nghịch là gì?

    Tỉ lệ thuận là gì?

    • Tỉ lệ thuận là mối tương quan giữa hai đại lượng $x$ và $y$ mà trong đó sự gia tăng về giá trị của đại lượng thứ nhất bao nhiêu lần luôn kéo theo sự gia tăng tương ứng về giá trị của đại lượng thứ hai bấy nhiêu lần, và ngược lại.
    • Nói một cách dễ hiểu, hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau nếu đại lượng này tăng thì đại lượng kia cũng tăng và ngược lại nếu giảm thì cùng giảm.
    • Hai đại lượng tỷ lệ thuận $x$ và $y$ liên hệ với nhau bởi công thức $y=kx$, (với $k$ là một hằng số khác $0$), thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$.
    • Khi đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ thì $x$ cũng tỉ lệ thuận với $y$ và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ thuận với nhau. Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ k (khác $0$) thì $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{k}$.
    • Ví dụ: Nếu $y=2x$ thì $y$ tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2, hay x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $1/2$.

    Tính chất của tỉ lệ thuận

    Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

    • Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi.
    • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

    Nếu hai đại lượng $y$ và $x$  tỉ lệ thuận với nhau theo tỉ số \(k\) thì \(y = kx\) và \[\dfrac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{x_3}}} = … = k\]

    Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận

    Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng là tỉ lệ thuận

    Phương pháp để thực hiện dạng toán này đó chính là phải dựa vào bảng giá trị để nhận biết chúng có tỉ lệ thuận với nhau hay không ta tính tỉ số $y/x$, nếu cho cùng một kết quả thì chúng tỉ lệ thuận với nhau.

    Ví dụ. Cho bảng sau và cho biết $x$, $y$ có tỉ lệ thuận với nhau hay không?

    $x$ $x_1= -2$ $x_2=8$ $x_3=10$
    $y$ $y_1= -4$ $y_2=16$ $y_3=20$

    Bằng cách lập tỉ lệ chúng ta có \[\frac{x_1}{y_1} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}; \frac{x_2}{y_2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}; \frac{x_3}{y_3} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\] Ta thấy \[\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_3}{y_3} = \frac{1}{2}\]

    Vậy $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau.

    Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn x theo y, tìm x khi biết y và ngược lại

    Đối với dạng toán này, chúng ta sử dụng các phương pháp sau:

    Để biết được mối quan hệ giữa $x$ và $y$ ta tính $k=y/x$, sau khi tìm được $k$, ta thay vào biểu thức $y=kx$, và ngược lại.

    Ví dụ. Cho $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết khi $x=4$ thì $y=8$.

    1. Tìm hệ số tỉ lệ $y$ với $x$.
    2. Hãy biểu diễn $y$ theo $x$.
    3. Tính $x$ khi $y=32$.

    Lời giải.

    1. Hệ số tỉ lệ $y$ với $x$ là $$k=\frac{y}{x}=\frac{6}{3}=2$$
    2. Vì $k=2$ nên $y=2x$.
    3. Với $y=32$ thì ta có $$32=2x$$ Suy ra $x=32÷2=16$.

    Dạng 3: Hoàn thành bảng số liệu khi cho y và x là hai đại lượng tỉ lệ thuận

    Đối với dạng toán này chúng ta áp dụng phương pháp sau:

    • Tính $k$ và biểu diễn $x$ theo $y$ hoặc ngược lại;
    • Thay các giá trị tương ứng.

    Ví dụ. Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp và chỗ trống sau:

    $x$ 3 5 7 9
    $y$ 15

    Vì $x$ và $y$ là tỉ lệ thuận nên $$y=k\times x$$

    Dựa theo bảng số liệu đã cho khi $x=5$ thì $y=15$, nên ta có $$k=y:x=15:5=3$$ Vì $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau và có tỉ lệ là $3$ nên ta có bảng sau:

    $x$ 3 5 7 9
    $y$ 9 15 21 27

    Dạng 4: Cho x tỉ lệ thuận với y, y tỉ lệ thuận với z, tính hệ số tỉ lệ và mối quan hệ giữa x và z

    Đối với dạng toán này chúng ta biểu diễn $x$ theo $y$, $y$ theo $z$, rồi thay $y$ vào biểu thức để tìm mối quan hệ giữa $x$ và $z$.

    Ví dụ. Cho $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau với tỉ số $5$, $y$ tỉ lệ thuận với $z$ có tỉ số là $7$. Hỏi $x$ có tỉ lệ thuận với $z$ không? Tỉ số của chúng bằng bao nhiêu?

    Lời giải.

    Theo đề bài, ta có:

    • $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo tỉ số $5$ nên suy ra $$x = 5y$$
    • $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo tỉ lệ $7$ nên suy ra $$y= 7z$$

    Như vậy, ta thay thế $y$ ở phương trình thứ hai vào phương trình đầu tiên thì được $$x= 5y =5\times (7z)=35z$$

    Suy ra, $x$ tỉ lệ thuận với $z$ theo tỉ số bằng $35$.

    Dạng 5: Toán đố về đại lượng tỉ lệ thuận

    Chúng ta sẽ dùng phương pháp sau để thực hiện

    • Ta lập tỉ số đối với bài toán có hai đại lượng
    • Ta gọi các giá trị cần tìm rồi đưa về dãy tỉ số bằng nhau để giải nếu bài toán chia số phần.

    Ví dụ. Thay cho việc đo chiều dài các cuộn dây thép thì người ta thường cân chúng. Cho biết mỗi mét dây thép nặng 25 gam. Giả sử $x$ mét dây nặng $y$ gam, hãy biểu diễn $y$ theo $x$.

    Bài giải

    Vì chiều dài của cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài của cuộn dây nên $$y=k\times x$$ Theo đề bài ta có cứ 1 mét dây thì sẽ nặng 25 gam. Thay vào công thức trên, ta được: $$25=k\times 1$$ Suy ra $k=25$. Vậy $y=25x$.

  • Số chính phương là gì?

    Số chính phương là gì?

    Số chính phương là gì?

    Số chính phương là số có giá trị bằng bình phương đúng (lũy thừa bậc hai) của một số nguyên. Hay nói cách khác, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên.

    Ví dụ, $100$ là số chính phương vì $100=10^2$, $36$ là số chính phương vì $36=6^2$,…

    Nhận xét, số $m$ là một số chính phương khi và chỉ khi có thể sắp xếp $m$ điểm thành một hình vuông:

    số chính phương là gì

    Do đó, số chính phương còn được gọi là số hình vuông bởi số chính phương là lũy thừa bậc hai của một số tự nhiên mà diện tích hình vuông cũng có giá trị bằng bình phương của 1 cạnh.

    Xem thêm Hình vuông số chính phương kì diệu của Vianney

    Phân loại số chính phương

    Có hai loại số chính phương là: số chẵn và số lẻ. Trong đó, số chính phương chẵn là bình phương của một số chẵn. Ngược lại, số chính phương lẻ lại là lũy thừa bậc hai của một số lẻ.

    Ví dụ: 9 (= 3²), 81 (= 9²), 121 (= 11²),… là các số chính phương lẻ. 4 (= 2²), 16 (= 4²), 100 (= 10²),… là các số chính phương chẵn.

    Tính chất của số chính phương

    • Những số có chữ số tận cùng là 9, 6, 5, 4, 1, 0 có thể là số chính phương. Các số có tận cùng là 8, 7, 3, 2 không thể là số chính phương.
    • Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
    • Số chính phương chia hết cho số nguyên tố $p$ thì cũng chia hết cho $p^2$. Ví dụ, nếu số chính phương chia hết được cho 2 thì cũng chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì cũng sẽ chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì cũng sẽ chia hết 25.Số chính phương chia hết cho 8 thì cũng sẽ chia hết cho 16.
    • Số chính phương chỉ có thể tồn tại dưới các dạng $4n$, $4n + 1$, $3n$ và $3n + 1$, với $n$ là số tự nhiên. Không có bất kỳ số chính phương nào tồn tại dưới dạng $4n + 2$, $4n + 3$ hoặc $3n + 2$. Nói cách khác:
      • Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
      • Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ chia 4 dư 1 hoặc 3.
      • Số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là 0, 1 hoặc là -1 (hay dư 4).
    • Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1:

    \begin{align} 1&=1\\
    4&=1 + 3\\
    9&=1 + 3 + 5\\
    16&=1 + 3 + 5 + 7\\
    25&=1 + 3 + 5 + 7 + 9\\
    &… \end{align}

    Bài tập số chính phương

    Bài 1. Chứng minh số $n = 2004^2 + 2003^2 +2002^2 – 2001^2$ không phải là số chính phương

    Hướng dẫn. Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của của các số $2004^2 $, $2003^2$, $2002^2$, $2001^2$ lần lượt là $6 ; 9 ; 4 ; 1$. Do đó số n có chữ số tận cùng là $6+9+4-1=8$ nên $n$ không phải là số chính phương.

    Bài 2. Chứng minh số $1234567890$ không phải là số chính phương.

    Hướng dẫn. Thấy ngay số $1234567890$ chia hết cho $5$ ( vì chữ số tận cùng của số này là $0$) nhưng không chia hết cho $25$ (vì hai chữ số tận cùng của nó là $90$). Do đó số $1234567890$ không phải là số chính phương.

    Bài 3. Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là $2004$ thì số đó không phải là số chính phưuong.

    Hướng dẫn. Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 do đó số này không phải là số chính phương.

    Bài 4. Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương

    Hướng dẫn. Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải số chính phương.

    Bài 5. Chứng minh rằng số $333^{333} + 555^{555} + 777^{777}$ không phải là một số chính phương.

    Bài 6. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không?

  • Câu đố hình học của thủ tướng Nga

    Câu đố hình học của thủ tướng Nga

    Câu đố hình học của thủ tướng Nga

    Đầu năm 2020 Tổng cục trưởng Cục thuế Nga Mikhail Mishustin “đánh đùng một cái” được Putin chỉ định lên thay Thủ tướng Medvedev.

    1/9/2021 nhân khai giảng Thủ tướng Nga Mikhail Mishustin đi thăm trường học – đây là trường chuyên lý mang tên viện sỹ Kapitsa, ở ngoại ô Moscow, dạy từ lớp 5 đến 12. Mỗi năm trường này cũng đem về vài chục huân chương từ các cuộc thi trong nước và quốc tế.
    Vào thăm một lớp 11, ông thấy thày giáo và học sinh đang bàn về một đề án kinh doanh, Thủ tướng xin phát biểu, đại ý rằng kinh doanh thì rất tốt, nhưng theo tôi ở tuổi này các em nên học kiến thức khoa học cơ bản (toán, lý, hóa) cho giỏi, còn sau này ứng dụng tốt thì làm gì cũng được, kể cả kinh doanh.
    cau do hinh hoc cua thu tuong nuoc nga
    Thủ tướng Nga Mikhail Mishustin viết trên bảng đen khi thăm Lyceum Vật lý và Công nghệ Kapitsa (Ảnh: Dmitry Astakhov/TASS)
    Thế rồi Mishustin ra một đề toán, bảo các học sinh giải đi, ông đi thăm trường tiếp rồi chốc nữa quay lại xem thế nào. Khi quay lại các học sinh (không biết vô tình hay cố ý) vẫn chưa giải được bài toán ấy, các bạn thử sức xem, cũng đơn giản mà rất hay:
    “Có một đường thẳng chạy qua tâm hình tròn, trên đường tròn có một điểm. Chỉ dùng thước kẻ hãy kẻ đường vuông góc từ điểm đó xuống đường thẳng kia”.
    câu đố hình học của thủ tướng Nga
    Điểm thú vị của bài toán này là việc chỉ sử dụng một chiếc thước kẻ không có chia độ, cũng không được phép được đánh dấu để đo khoảng cách, chỉ được sử dụng để vẽ các đường thẳng.

    Lời giải Câu đố hình học của thủ tướng Nga

    Đầu tiên, chúng ta hãy tìm cách dựng một đường thẳng vuông góc với đường kính trước. Giả sử đường kính là $AB$, điểm cần dựng đường vuông góc xuống là $C$.

    Câu đố hình học của thủ tướng Nga 2

    Lấy một điểm $D$ bất kì thuộc nửa đường tròn chứa điểm $C$, không trùng với $C$. Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$. Tam giác $ABE$ có hai đường cao là $AC$ và $BD$. Gao điểm của hai đường cao này chính là trực tâm $H$ của tam giác $ABE$ và ta có ngay $EH$ vuông góc với đường kính $AB$.

    Tiếp theo, chúng ta đi dựng một đường thẳng đi quá $C$ và song song với $EH$ thì đó chính là đường thẳng mà đề bài yêu cầu.

    Giả sử $EH$ cắt đường tròn tại hai điểm $I,J$ như hình vẽ. Nối $CI$ cắt đường kính $AB$ tại $K$. Nối $JK$ cắt đường tròn tại $M$ thì $CM$ chính là đường thẳng cần tìm. (Bạn đọc tự chỉ ra $CMIJ$ là hình thang để từ đó có $CM$ song song với $IJ$).

    lời giải câu đố của thủ tướng nga

  • 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    O2 Education xin giới thiệu các bài toán Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 qua các năm trên cả nước. Hiện tại chúng tôi đã sưu tầm được các đề thi từ năm 2011 đến nay và đang cập nhật dần đề thi cùng lời giải lên website. Quý Thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm dạng toán Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2022

    Bài 1. (KHTN HN 2022) Cho \(a,b,c\) là những số thực dương. Chứng minh rằng: \[\frac{2 a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{6 a+2 c}{3 b+c}+\frac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \frac{32 a}{2 a+b+c}.\]

    Bài 2. (Chuyên Tin Lam Sơn Thanh Hóa) Xét ba số thực dưong \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 14\). Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=2 x+y+48\left(\frac{1}{\sqrt{x+z}}+\frac{1}{\sqrt{y+2}}\right).\]

    Bài 3. (Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét hai số thực \(x, y\) thay đổi luôn thoả mân điều kiện \(x+y \geq 2\). Timm giá trị nhó nhất của biếu thức \[P=4 \sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}+\frac{8}{x+y}+1.\]

    Bài 4. (Chuyên Toán Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét các số thực không âm \(x, y, z\) thoả mãn \(x+y+z \geq 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=\frac{x^{2}}{y z+\sqrt{1+x^{3}}}+\frac{y^{2}}{z x+\sqrt{1+y^{3}}}+\frac{z^{2}}{x y+\sqrt{1+z^{3}}}.\]

    Bài 5. (SGD Hải Dương) Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thay đối thỏa mãn \(\sqrt{\frac{a b}{c}}+\sqrt{\frac{b c}{a}}+\sqrt{\frac{c a}{b}}=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[T=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\frac{2022}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.\]

    Bài 6. (SGD Vĩnh Phúc)Cho \(x, y, z\) là các số thực ḍương thỏa mẫn điều kiện \(x+y+z=1\). Chứng minh rằng \[
    \frac{y z}{x^{2}+x y z}+\frac{z x}{y^{2}+x y z}+\frac{x y}{z^{2}+x y z} \geq \frac{1}{4 x}+\frac{1}{4 y}+\frac{1}{4 z} .\]

    Bài 7. (SGD Hà Tĩnh) 7. (1,0 điểm) Cho \(a, b\) là các số thực thỏa mãn \(a \geq 1, b \geq 1\) và \(a+b+3=ab\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[\mathrm{F}=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{1}{a^2+b^2}.\]

    Bài 8. (SGD Hoà Bình)

    1. Cho các số thực không âm \(x, y, z\) thỏa mãn: \[\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-8 z=-9 \\ 4 x+y+12 z=17\end{array}\right.\] Chứng minh rằng: \[25 \leq 5 x+2 y+26 z \leq 35.\]
    2. Cho các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn: \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=2022\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P=a b+2 b c+a c.\]

    Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2021

    Bài 1. (Hà Nội 2021) Với các số thực \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( a^2+b^2=2, \) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=3(a+b)+ab.\] Hướng dẫn.
    Đặt \( x=a+b, y=ab \) thì ta có \( x^2-2y=2 \). Suy ra \( y=\frac{x^2-2}{2} \). Biểu thức đã cho trở thành \[ P=3x+\frac{x^2-2}{2}=\frac{x^2+6x-2}{2} \]
    Chúng ta lại luôn có bất đẳng thức sau \[ a^2+b^2 \geqslant \frac{(a+b)^2}{2} \] nên suy ra \( (a+b)^2 \leqslant 4 \) hay \( x\in [-2;2] \).Chúng ta đi chứng minh \( P \geqslant -5 \).
    Thật vậy, có \( P \geqslant -5 \) tương đương với \[ x^2+6x-2 \geqslant -10 \Leftrightarrow (x+2)(x+4) \geqslant 0 \] Bất đẳng thức cuối cùng này luôn đúng do \( x\in [-2;2] \).Như vậy, \( P \geqslant -5 \) và dấu bằng xảy ra tại \( x=-2,y=1 \) hay \( a=b=-1 \).Tóm lại, giá trị nhỏ nhất cần tìm là \( -5 \) khi \( a=b=-1 \).

    Bài 2. (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2021) Cho \( x, y \) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \( x + y = 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = (5x^2+7y)(5y^2+7x) + 151xy. \] Hướng dẫn. Đặt \( t=xy \) và sử dụng điều kiện  \( x+y=2 \) ta tính được \( P \) theo \( t \) là \[ P=25t^2-10t+280=(5t-1)^2+279. \]

    Bài 3. (Quảng Bình 2021) Cho \( x, y, z \in [5, 7] \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{xy+1} + \sqrt{yz+1} + \sqrt{zx+1} > x + y + z. \] Hướng dẫn. Vì \( x,y\in [5;7] \) nên \( \big|x-y\big| \leqslant 5\). Từ đó suy ra \[ 1+xy \geqslant \frac{(x-y)^2}{4}+xy=\frac{(x+y)^2}{4} \]

    Bài 4. (Tây Ninh 2021) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \( 0 \leqslant x, y, z \leqslant 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ T = 2(x^3 + y^3 + z^3) – (x^2y + y^2z + z^2x) \]

    Bài 5. (Bình Dương 2021) Cho \( x, y, z > 0 \) thỏa mãn \( xy + yz + zx = 1 \). Chứng minh rằng: \[ 10x^2 + 10y^2 + z^2 \geqslant 4 \] Dấu bằng xảy ra khi nào?

    Bài 6. (Cần Thơ 2021) Cho \( x, y, z \) là các số thực dương. Chứng minh rằng \[ \frac{(x+2)^2}{y+z}+ \frac{(y+2)^2}{z+x}+ \frac{(z+2)^2}{x+y} \geqslant 12.\]

    Bài 7. (Quảng Trị 2021) Cho \( a,b,c \) là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

    1. \( a^2-ab+b^2 \geqslant \frac{1}{4}(a+b)^2\)
    2. \( 4(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \)

    Bài 8. (Thanh Hóa 2021) Cho ba số thực \( x,y,z \) thay đổi thỏa mãn \( x>\frac{1}{4},y>\frac{1}{3},z>\frac{1}{2} \) và \[ \frac{4}{4x+3}+\frac{3}{3y+2}+\frac{z}{2z+1} \geqslant 2 \] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1). \]

    Bài 9. (Quốc học Huế 2021) Cho \( x,y,z \) là các số thực dương thỏa mãn \( x+y+z=3. \) Chứng minh rằng \[ \frac{1}{\sqrt{x(2 y+3 z)}}+\frac{1}{\sqrt{y(2 z+3 x)}}+\frac{1}{\sqrt{z(2 x+3 y)}} geeq \frac{3 \sqrt{5}}{5} \]

    Bài 10. (Tiền Giang 2021) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \( abc = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ M = \frac{1}{(a^2+2b^2+3)} + \frac{1}{b^2+2c^2+3} + \frac{1}{c^2+2a^2+3} \]

    Bài 11. (Quảng Nam) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( xy + yz + zx = xyz \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ H = \frac{x^2}{9z+zx^2} + \frac{y^2}{9x+xy^2} + \frac{z^2}{9y+yz^2} \]

    Bài 12. (Ninh Thuận) Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( xyz = \frac{1}{8}\). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{xy+yz+zx} – \frac{1}{x+y+z} \leqslant \frac{2}{3}.\]

    Bài 13. (Nghệ An) Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \( ab + bc + ca \leqslant 3abc \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P = \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} – \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2a+2b}} – \sqrt{\frac{b^2+c^2}{2b+2c}} – \sqrt{\frac{c^2+a^2}{2c+2a}} \]

    Bài 14. (Chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu) Xét các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ S = \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab}. \]

    Bài 15. (Quảng Trị) Cho \( a, b, c \) là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

    1. \( a^2 – ab + b^2 \geqslant \dfrac{(a+b)^2}{4} \);
    2. \( 4(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \).

    Bài 16. (Thái Bình) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 3abc \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ T = \frac{a}{3a^2+2b^2+c^2} + \frac{b}{3b^2+2c^2+a^2} + \frac{c}{3c^2 + 2a^2 + b^2}\]

    Bài 17. (Quảng Ninh) Cho hai số thực \( x, y \) thỏa mãn \( 0 < x < y \leqslant 8 \) và \( xy \leqslant 4x + 3y \). Chứng minh \( x^2 + y^2 \leqslant 100 \).

    Bài 18. (Lào Cai)

    1. Cho hai số thực dương \( x, y \) thỏa mãn \( x + y \leqslant 2/3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \[ A = 53x + 53y + 1/x^2 + 1/y^2.\]
    2. Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 3 \). Chứng minh rằng \[ x^4 + y^4 + z^4 + x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3 + x + y + z. \]

    Bài 19. (Khánh Hòa) Cho các số thực \( x_1, x_2, …, x_{21} \) thỏa mãn \( x_1, x_2, …, x_{21} \geqslant – 2 \) và \( x_1^3+ x_2^3+ … x_{21}^3= 12 \). Chứng minh rằng \[ x_1 + x_2 + … + x_{21} \leqslant 18. \]

    Bài 20. (PTNK, ĐHQG TP HCM) Cho dãy \( n \) số thực \( x_1, x_2, …, x_n (n \geqslant 5) \) thỏa mãn điều kiện \( x_1 \leqslant x_2 \leqslant … \leqslant x_n \) và \( x_1 + x_2 + … + x_n = 1 \).

    1. Chứng minh rằng nếu \( x_n \geqslant \frac{1}{3} \) thì \( x_1 + x_2 \leqslant x_n \).
    2. Chứng minh rằng nếu thì tồn tại số nguyên dương \( k < n \) sao cho \[ \frac{1}{3} \leqslant x_1 + … + x_k \leqslant \frac{2}{3}.\]

    Bài 21. (Lâm Đồng) Cho \( a, b, c \) là các số dương và \( a + b + c = 6 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \frac{a^3}{a^2+4ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+4bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+4ca+a^2} \]

    Bài 22. (Hà Nam) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z \leqslant 1 \). Chứng minh rằng \[ \left(\frac{1}{x^2} – 1\right)\left(\frac{1}{y^2} – 1\right)\left(\frac{1}{x^2} – 1\right) \geqslant 512. \]

    Bài 23. (Daklak) Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \( a + b + c \leqslant 2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P = \frac{b(a^2+1)^2}{a^2(b^2+1)} + \frac{c(b^2+1)^2}{b^2(c^2+1)} + \frac{a(c^2+1)^2}{c^2(a^2+1)} \]

    Bài 24. (Bình Phước) Cho \( a, b, c \) là các số dương. Chứng minh rằng:

    1. \( \dfrac{a^3}{a^2+b^2} \geqslant a – \dfrac{b}{2} \)
    2. \( \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geqslant \dfrac{a+b+c}{3} \)

    Bài 25. (Quảng Ngãi) Cho các số thực \( a, b, c \) đôi một khác nhau và thỏa mãn \( (c+a)(c+b) = 4 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(c+a)^2} + \frac{1}{(c+b)^2} \geqslant 1. \]

    Bài 26. (Daknong) Cho hai số thực \( a, b \) thỏa mãn \( 2021 \leqslant a \leqslant 2022\), \(2021 \leqslant b \leqslant 2022 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ A = (a+b)(\frac{2021}{a} + \frac{2021}{b}). \]

    Bài 27. (Hòa Bình) Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z = 4 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} \geqslant 1. \]

    Bài 28. (Vĩnh Long) Cho số thực x thỏa mãn \( 1 \leqslant x \leqslant 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ T = \frac{3+x}{x} + \frac{6 – x}{3-x}. \]

    Bài 29. (Kiên Giang) Cho \(x, y, z\) là các số thực lớn hơn \( 2021 \) và thỏa mãn \[ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} = \frac{2}{2021}.\]Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức sau
    \[ \sqrt{x+y+z} \geqslant \sqrt{x-2021} + \sqrt{y-2021} + \sqrt{z-2021} \]

    Bài 30. (Bình Định) Cho các số thực \( x, y \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ T = \frac{x – y}{x^4+y^4+6} \]

    Bài 31. (Bình Định) Cho \(x, y, z\) là ba số dương thỏa \( x + y + z = 1 \). Chứng minh rằng \[ P = \frac{1-x^2}{x+yz} + \frac{1-y^2}{y+zx} + \frac{1-z^2}{z+xy} \geqslant 6. \]

    Bài 32. (Cà Mau) Cho \( a, b \) là hai số thực dương sao cho \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 1 \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{3a+b} + \sqrt{3b+a} \leqslant 2\sqrt{3a+b}\sqrt{3b+a} \]

    Bài 33. (Bình Định, chuyên Tin) Cho \( a, b \) là các số dương thỏa mãn \( a + 2b \geqslant 3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P = \frac{3a^2 + a^2b + \frac{9ab^2}{2} + (8+a)b^3}{ab} \]

    Bài 34. (Thanh Hóa, chuyên tin) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z = 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = 15\sqrt{3(x^4+y^4+z^4)} + \frac{xy+yz+zx}{x^2y+y^2z+z^2x} \]

    Bài 35. (Hải Phòng) Cho các số thực dương \(x, y, z\). Chứng minh rằng \[ \frac{x\sqrt{xy}}{\sqrt{2x+y}} + \frac{y\sqrt{yz}}{\sqrt{2y+z}} + \frac{z\sqrt{zx}}{\sqrt{2z+x}} \geqslant \sqrt{3xyz} \]

    Bài 36. (Yên Bái) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( 18abc = a + 2b + 3c \). Chứng minh \[ (1+a^2)(1+4b^2)(1+9c^2) \geqslant 8. \]

    Bài 37. (Ninh Bình) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \[ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x}= 12 \] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P = \frac{1}{2x+3y+3z} + \frac{1}{3x+2y+3z} + \frac{1}{3x+3y+2z} \]

    Bài 38. (Phú Thọ) Cho ba số dương \(x, y, z\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \frac{xz}{y^2+yz}+ \frac{y^2}{xz+yz} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{2\sqrt{x}} \]

    Bài 39. (Bình Thuận) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \( x + y + z = 3 \). Chứng minh rằng \[ \frac{2xz}{x^2+2yz+3} + \frac{2yx}{y^2+2zx+3} + \frac{2zy}{z^2+2xy+3} \leqslant 1. \]

    Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2017

    Bài 1. (Hòa Bình 2017) Cho các số dương \( a,b,c\) thỏa mãn \( a+b+c=1 \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{\frac{a}{1-a}} +\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}>2.\]

    Bài 2. (Lạng Sơn 2017) Cho \( x,y,z \) là các số thực dương và thỏa mãn \( xy+yz+zx=xyz \). Chứng minh rằng \[ \frac{xy}{z^3(1+x)(1+y)}+\frac{yz}{x^3(1+y)(1+z)}+\frac{zx}{y^3(1+z)(1+x)} \geqslant \frac{1}{16} \]

    Bài 3. (Bắc Giang 2017) Cho hai số thực dương \( a, b \) thỏa mãn \( 2a + 3b \leqslant 4 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ Q=\frac{2002}{den}a +\frac{2017}{b}+2996a-5501b.\]

    Bài 4. (Hà Nội 2017) Cho các số thực dương \( a,b,c \) thay đổi luôn thỏa mãn \( a \geqslant 1, b \geqslant 1, c \geqslant 1 \) và \( ab+bc+ca=9 \). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=a^2+b^2+c^2. \]

    Bài 5. (Hải Dương 2017) Cho các số thực dương \( x,y,z \) thỏa mãn \( x+y+z=3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2} \]

    Bài 6. (Vĩnh Phúc 2017) Cho các số thực \( x,y \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=\frac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \]

    Bài 7. (Bắc Ninh 2017) Cho bốn số thực dương \( x,y,z,t \) thỏa mãn \( x+y+z+t=2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt} \]

    Bài 8. (Hưng Yên 2017) Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn \( x+y \leqslant 4 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy. \]

    Bài 9. (Hà Nam 2017) Cho các số thực \( a,b,c \) thỏa mãn điều kiện \( ab+bc+ca=3 \) và \( a \geqslant c \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=\frac{1}{(a+1)^2)}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}. \]

    Bài 10. (Hải Phòng 2017)

    1. Cho hai số dương \( x,y \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{x+y} \geqslant \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \]
    2. Cho ba số \( a,b,c \) thỏa mãn \( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\leqslant \frac{8}{3} \]

    Bài 11. (Hải Phòng 2017)

    1. Cho hai số thực \( x \geqslant 1, y \geqslant 1 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geqslant \frac{2}{1+xy} \]
    2. Cho hai số thực \( x \geqslant 1, y \geqslant 0 \) và \( 6xy+2x-3y \leqslant 2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ A=\frac{1}{x^2-4x+2}+\frac{1}{9y^2+6y+2} \]
  • Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    1. Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Bài I. (2,0 điểm)

    Cho hai biểu thức \( A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} \) và \( B=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} -\dfrac{3x+9}{x-9}\) với \( x \geqslant 0, x\ne 9 \).

    1. Tính giá trị biểu thức \( A \) khi \( x=16 \).
    2. Chứng minh \( A+B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3} \).

    Bài II. (2,5 điểm)

    1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

    Một tổ sản xuất phải làm xong \( 4800 \) bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được nhiều hơn \( 100 \) bộ so với số bộ đồ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong \( 4800 \) bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.)

    2. Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao \( 1,6 \) m và bán kính đáy \( 0,5 \) m. Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy \( \pi \approx 3,14\)).

    Bài III (2,0 điểm)

    1. Giải hệ phương trình \[ \begin{cases} \dfrac{3}{x+1}-2y=-1\\ \dfrac{5}{x+1}+3y=11 \end{cases} \]
    2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol \( (P):y=x^2 \) và đường thẳng \( (d): y=2x+m-2\). Tìm tất cả các giá trị của \( m \) để \( (d) \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x_1,x_2 \) sao cho \( \big|x_1-x_2\big|=2\).

    Bài IV (3,0 điểm)

    Cho tam giác $ABC$ vuông tại \( A \). Vẽ đường tròn tâm \( C \), bán kính \( CA \). Từ điểm \( B \) kẻ tiếp tuyến \( BM \) với đường tròn \( (C;CA) \) (\( M \) là tiếp điểm, \( M \) và \( A \) nằm khác phía đối với đường thẳng \( BC \)).

    1. Chứng minh bốn điểm \( A,C,M , B \) cùng thuộc một đường tròn.
    2. Lấy điểm \( N \) thuộc đoạn thẳng \( AB \) (\( N \) khác \( A,N \) khác \( B \)). Lấy điểm \( P \) thuộc tia đối của tia \( MB \) sao cho \( MP=AN \). Chứng minh tam giác \( CPN \) là tam giác cân và đường thẳng \( AM \) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( NP \).

    Bài V (0,5 điểm)

    Với các số thực \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( a^2+b^2=2, \) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=3(a+b)+ab \).

    2. Lời giải Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Quý thầy cô và các em học sinh có thể tải file PDF lời giải tại đây.

     

  • Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên KHTN HN năm 2014

    Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên KHTN HN năm 2014

    SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI

    ĐỀ CHÍNH THỨC

    (Đề thi gồm 01 trang)

    THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    NĂM HỌC 2014

    MÔN: TOÁN ( VÒNG 1 )

    (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

    Bài 1. 

    1. Giả sử \(x,y\) là những số thực dương thỏa mãn \[\frac{y}{x+y}+\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}+\frac{8{{y}^{4}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{4}}}=4\] Chứng minh rằng: \(5y=4x\).
    1. Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+xy=12  \\ 6x+{{x}^{2}}y=12+6y+{{y}^{2}}x  \\ \end{array} \right.\]

    Bài 2.

    1. Cho \(x,y\) là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho \(4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-7x+7y\) là số chính phương. Chứng minh rằng: \(x=y.\)
    2. Giả sử \(x,y\) là những số thực không âm thỏa mãn: \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \[P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\]

    Bài 3. Cho tam giác \(ABC\) nhọn với \(AB<BC\). Gọi \(D\) là điểm thuộc cạnh BC sao cho  \(AD\) là phân giác của \(\widehat{BAC}\). Đường thẳng qua \(C\) song song với \(AD\) cắt trung trực của \(AC\) tại \(E\). Đường thẳng qua \(B\) song song với \(AD\) cắt trung trực của \(AB\) tại \(F\).

    1. Chứng minh tam giác \(AFB\) đồng dạng với tam giác \(AEC\).
    2. Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là \(G\).
    3. Đường thẳng qua \(G\) song song với \(AE\) cắt đường thẳng \(BF\) tại \(Q\). Đường thẳng \(QE\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) tại \(P\) khác \(E\). Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

    Bài 4. Giả sử \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(ab+bc+ca=1\). Chứng minh rằng \[2abc(a+b+c)\le \frac{5}{9}+{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}\]

    —HẾT —

  • Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    1. Phương trình bậc hai là gì?

    Phương trình bậc hai (ẩn $x$) là phương trình có dạng $$ax^2+bx=0$$ trong đó $a\ne 0$.

    Cách giải phương trình bậc 2. Chúng ta tính đại lượng sau (đặt là $\Delta$) $$\Delta=b^2-4ac$$ Khi đó, tùy vào giá trị dương, âm, bằng không của $\Delta$ mà chúng ta có kết luận về nghiệm của phương trình bậc 2.

    • $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
    • $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
    • $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$

    Xem thêm:

    Ví dụ 1. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$ nên tính được $$ \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=40 $$ Vì $ 40>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-4)+\sqrt{40}}{2}$ và $ \frac{-(-4)-\sqrt{40}}{2}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$.

    Ví dụ 2. Giải phương trình $x^2-3x+6=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=3,c=6$ nên tính được $$ \Delta=3^2-4\cdot 1\cdot 6=-15 $$ Vì $ -15<0$ nên phương trình vô nghiệm.

    Ví dụ 3. Giải phương trình $x^2-2x+1=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-2,c=1$ nên tính được $$ \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1=0 $$ nên phương trình có một nghiệm là $x=\frac{-(-2)}{2}=1$.

    Lưu ý, nếu hệ số $b$ chẵn, tức là có dạng $b=2b’$ thì có thể tính $\Delta’=b’^2-ac$ thay cho $\Delta$. Lúc đó, công thức nghiệm là $\frac{-b’\pm\sqrt{\Delta’}}{a}$.

    Ví dụ 4. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

    Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$. Nhận thấy $b=2\cdot(-2)$ nên tính $$ \Delta’=(-2)^2-\cdot 1\cdot (-6)=10 $$ Vì $ 10>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \frac{-(-2)+\sqrt{10}}{1}$ và $ \frac{-(-2)-\sqrt{10}}{1}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+\sqrt{10}$ và $ 2-\sqrt{10}$, chính là hai nghiệm ở ví dụ 1.

    2. Phương trình bậc hai có nghiệm khi nào?

    Như vậy, phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $$\Delta \geqslant 0$$

    Lúc đó, chúng ta có định lý Viète như sau $$ \begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{cases} $$

    Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m \geqslant 0\\ \Leftrightarrow & m \leqslant \frac{29}{4} \end{align}

    3. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi nào?

    Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta >0.$$

    Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) > 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m > 0\\ \Leftrightarrow & m <\frac{29}{4} \end{align}

    4. Phương trình bậc hai vô nghiệm khi nào?

    Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$\Delta <0.$$

    Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \begin{align}&\Delta=(-3)^2-4(m-5) < 0\\ \Leftrightarrow & 29-4m < 0\\ \Leftrightarrow & m >\frac{29}{4} \end{align}

    5. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương khi nào?

    Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) dương khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
    x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$

    6. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm âm khi nào?

    Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) âm khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\
    x_1+x_2=\frac{-b}{a}<0\\ x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}>0 \end{cases} $$

    7. Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu?

    Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) trái dấu khi và chỉ khi $$  x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}<0 $$ hoặc đơn giản hơn là $$ac<0.$$

    8. Phương trình bậc hai có hai nghiệm lớn hơn một số, nhỏ hơn một số cho trước (định lý đảo)

    Phương trình bậc hai $f(x)=ax^2+bx=0$ với $a\ne 0$ có hai nghiệm (phân biệt) $ x_1,x_2$ (giả sử $ x_1<x_2$) và thỏa mãn yêu cầu

    • $ x_1<\alpha <x_2$: điều kiện cần và đủ là $ a\cdot f(\alpha) <0$
    • $ x_1< x_2<\alpha $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} <\alpha
      \end{cases}$
    • $ \alpha <x_1< x_2 $: điều kiện cần và đủ là $ \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha) >0\\ \frac{x_1+x_2}{2} >\alpha \end{cases}$
  • Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9

    Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 là một dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kì, bài kiểm tra, đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải được dạng toán lập hệ phương trình ở lớp 9, học sinh cần nắm được 2 cách giải hệ phương trình bậc nhất là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế. Ngoài ra, kỹ năng quan trọng là cách đặt ẩn và biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn để có được một hệ phương trình.

    1. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Cách giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

    • Bước 1: Lập hệ phương trình.
      • Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số $x$ và $y$ (thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt $x$ là chiều dải mảnh vườn, $y$ là chiều rộng mảnh vườn…). Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…).
      • Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
      • Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
    • Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
    • Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

    2. Các dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thường gặp:

    Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy)

    Đối với dạng toán này, cần chú ý đến điều kiện của ẩn:

    • Nếu gọi $x$ là vận tốc của chuyển động thì điều kiện là $x>0$.
    • Đặt thời gian chuyển động là $y$ thì điều kiện là $y \ge 0$.
    • Một số công thức:
      • Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, s=v.t;
      • Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng;
      • Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước;
      • Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước.
    • Nếu hai xe đi ngược chiều nhau cùng xuất phát khi gặp nhau lần đầu:
      • Thời gian hai xe đi được là như nhau,
      • Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
    • Cách đổi đơn vị thời gian, vận tốc:
      • 1 h (1 giờ) = 60 phút.
      • 1 (m/s) = 3,6 (km/h), vì 1 m = 1/1000 km và 1 s = 1/3600 giờ.
      • 1 (km/h) = 5/18 (m/s).

    Ví dụ 1. Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô-tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ô-tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

    Hướng dẫn. Gọi vận tốc của ô-tô và xe máy lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị km/h, điều kiện $x > 0, y > 0$). Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ô-tô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (bằng 0,5 giờ) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

    • Quãng đường AC dài $2y$ (km), quãng đường BC dài $0,5x$ (km).
    • Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là $\frac{2y}{x}$ (km/h).
    • Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là $0,5\frac{x}{y}$ (km/h).
    • Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {\frac{{0,5x}}{y} = \frac{{2y}}{x}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {{x^2} = 4{y^2}} \end{array}} \right. \end{array}\] Vì \( x,y>0 \) nên từ phương trình \( {{x^2} = 4{y^2}} \) suy ra $x = 2y$. Thay vào phương trình còn lại của hệ, ta được $$3y = 90 \Leftrightarrow y = 30$$ Suy ra, $x = 60$ (thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$).
    • Vậy, vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

    Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng (Bài toán vòi nước)

    Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy đầy một bẻ không có nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 h.

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x (điều kiện x > 0 , x tính bằng giờ)
    • Gọi thời gian vòi sau chảy chảy một mình đầy bể là  y (điều kiện y > 4 , y tính bằng giờ)
    • Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể.
    • Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

    • Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = 15/4 h, nên trong 1 giờ thì cả hai vòi chảy được

    $1 : \frac{15}{4} = \frac{4}{15} $ bể.

    • Suy ra, ta có phương trình

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}$

    • Mặt khác, nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là $y – x = 4$ nên ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}\\ y – x = 4 \end{cases}$$
    • Giải hệ phương trình này tìm được $x=6,y=10$.
    • Vậy, vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h; vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h.

    Ví dụ 2.  Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ). Điều kiện x, y>5.
    • Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

    • Mà theo đề bài, cả hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{5}$ bể. Do đó ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$$
    • Mặt khác, nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nên ta
      có phương trình $$3.\frac{1}{x}+4.\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$$
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3} \end{cases}.$$
    • Giải hệ phương trình này tìm được $x=7,5$ và $y=15$ (thỏa mãn điều kiện).
    • Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ.

    Ví dụ 3. Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc?

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian lớp 9A, 9B hoàn thành xong công việc là $x$ (giờ) và $y$ (giờ), điều kiện $x>5,y>0$.
    • Trong 1 giờ, lớp 9A làm được: $\frac{1}{x}$ (công việc), lớp 9B làm được $\frac{1}{y}$ (công việc). Nên trong 1 giờ, cả 2 lớp làm được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ công việc.

    • Mà theo đề bài, cả hai lớp cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc nên ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$$
    • Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Tức là $x-y=5$.
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\ x-y=5 \end{cases}$$
    • Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế, tìm được $y=-3$ (loại) hoặc $y=10$ (thỏa mãn). Từ đó tìm được $x=15$.

    Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.

    Chú ý cách tính tỉ lệ phần trăm.

    Ví dụ 1.  Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm
    được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Hướng dẫn. 

    • Gọi $x,y$ là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch, điều kiện x, y nguyên dương và x < 600; y < 600.
    • Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $$x+y=600.$$
    • Số sản phẩm tăng thêm của tổ I là: $ \frac{18}{100} x$ sản phẩm. Số sản phẩm tăng của tổ II là: $ \frac{18}{100} y$ sản phẩm.
    • Do số sản phẩm của hai tổ vượt mức 120 (sản phẩm) nên ta có phương trình $$\frac{18}{100}x + \frac{21}{100}y = 120. $$
    • Từ đó ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} x+y=600 \\ \frac{18}{100} x+\frac{21}{100} y=120 \end{array}\right.$$
    • Giải hệ này tìm được $x=200, y=400$ (thỏa mãn điều kiện).

    Ví dụ 3. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

    Hướng dẫn. 

    Ví dụ 4. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?

    Hướng dẫn. 

    Dạng 4: Toán có nội dung hình học.

    • Khi đặt ẩn là độ dài các đoạn thẳng, độ dài các cạnh thì điều kiện của ẩn là không âm.
    • Diện tích hình chữ nhật $S = x.y$, với $ x$ là chiều rộng; $y$ là chiều dài.
    • Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}a.h_a$ với $a$ là độ dài một cạnh tam giác và $h_a$ là chiều cao ứng với cạnh đó.
    • Định lý Pitago trong tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là $c$, độ dài hai cạnh góc vuông là $a,b$ thì $$a^2+b^2=c^2.$$

    Ví dụ 1.  Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

    Hướng dẫn.

    • Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị m, điều kiện $x > 0, y > 0$).
    • Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là: $$2(x + y) = 34$$
    • Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài $(y + 3)$ m, chiều rộng $(x +2)$ m nên có diện tích là $(x + 2)(y + 3)$.
    • Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình: $$(x+2)(y+3)= xy + 45 $$ Từ đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}34\\ \left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = {\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}45 \end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này tìm được $x=5$ và $y=12$.
    • Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài $12$ m và chiều rộng $5$ m.

    Ví dụ 2. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

    Hướng dẫn. 

    Ví dụ 3. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh góc vuông.

    Hướng dẫn. 

    Dạng 5: Toán về tìm số.

      • Số có hai, chữ số được ký hiệu là $\overline{ab} $, điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b \le 9; a,b \in \mathbb{N}$.
      • Giá trị của số: $\overline{ab} = 10a+b$.
      • Số có ba, chữ số được ký hiệu là $\overline{abc}$ thì $\overline{abc} = 100a +10b + c$,  điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b,c \le 9; a,b,c \in \mathbb{N}$.
      • Tổng hai số $x; y$ là: $x+ y$.
      • Tổng bình phương hai số $x, y$ là: $x^2+y^2$.
      • Bình phương của tổng hai số $x, y$ là: $(x+y)^2$.
      • Tổng nghịch đảo hai số $x, y$ là: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

    Ví dụ 1.  Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được sốmới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

    Hướng dẫn.

    • Gọi chữ số số cần tìm là $\overline{xy}$, điều kiện $x ,y\in \mathbb{N}, 0 < x \le  9, 0 \le y \le 9$.
    • Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình: $$x+y=14.$$
    • Đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình: $\overline{yx}-\overline{xy}=18$ hay  chính là $$10y+x-(10x+y)=18$$
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} x+y=14 \\ 10y+x-(10x+y)=18 \end{cases}$$
    • Giải hệ này, tìm được $x=6,y=8$ (thỏa mãn điều kiện) nên số cần tìm là $68$.

    Ví dụ 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị .

    Hướng dẫn.

    • Gọi chữ số hàng chục là $a$, chữ số hàng đơn vị là $b$, điều kiện $a,b\in \mathbb{N}; 1\le a\le 9; 0\le b\le 9$.
    • Số cần tìm là $\overline{ab}$ có giá trị $\overline{ab}=10a+b$.
    • Ta có chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình: $$ b-a=5$$
    • Lại có, khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là $\overline{a1b}$ có giá trị $\overline{a1b}=100a+10+b$.
    • Do số mới lớn hơn số ban đầu là 280 đơn vị nên ta có phương trình: $$100a+10+b-(10a+b)=280$$
    • Ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} -a+b=5 \\ (100 a+10+b)-(10 a+b)=280\end{array}\right.$$
    • Giải hệ này, tìm được $a=3,b=8$ đều thỏa mãn điều kiện nên số cần tìm là $38$.

    Ví dụ 3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.

    Hướng dẫn.

    Ví dụ 4.  Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.

    Hướng dẫn.

    3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Bài 1. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng $\frac{1}{4}$. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng $\frac{5}{24}$. Tìm phân số đó.

    Bài 2. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng $\frac{3}{2}$. Tìm phân số đó.

    Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng $31$ và có hiệu bằng $9$.

    Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp bảy lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $4$ và dư là $3$.

    Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20 phút, thời gian về BA là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h. Tính AC, CB.

    Bài 6: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

    Bài 7: Lúc 7 h, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8h30’ một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

    Bài 8: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

    Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

    Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 11: Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 4 giờ,xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu ô tô tằng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h thì sẽ đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.

    Bài 13: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

    Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Bài 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?

    Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

    Bài 17: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 lit dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại?

    Bài 18: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {3x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right) = \left( {2x – 1} \right)\left( {3y + 4} \right)\\ {x^2} – {y^2} = 2x – 5 \end{array} \right.$$

    Bài 19: Giải phương trình: $\left| {x + 1} \right| + 2\left| {x – 1} \right| = x + 2 + \left| x \right| + 2\left| {x – 2} \right|$.

    Bài 20: Với giá trị nào của $k$, hệ phương trình sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left( {1 + k} \right)y = 0\\ \left( {1 – k} \right)x + ky = 1 + k \end{array} \right.$$

  • 100 đề thi HSG Toán 9 các tỉnh trong cả nước

    100 đề thi HSG Toán 9 các tỉnh trong cả nước

    100 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TRONG CẢ NƯỚC

    O2 Education xin giới thiệu với thầy cô và các em học sinh tuyển tập 100 đề thi HSG Toán 9 của các tỉnh trong cả nước.

    Xem thêm 100 đề thi HSG Toán 9 và thi vào 10 chuyên Toán

    1. Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013

    Câu 1: (5,0 điểm)

    1. Cho $A=\sqrt{2012}-\sqrt{2011};\text{ B=}\sqrt{2013}-\sqrt{2012}$. So sánh $ A$ và $ B$?
    2. Tính giá trị biểu thức: $C=\sqrt[3]{15\sqrt{3}+26}-\sqrt[3]{15\sqrt{3}-26}$.
    3. Cho $2{{x}^{3}}=3{{y}^{3}}=4{{z}^{3}}$. Chứng minh rằng: $$\frac{\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=1$$

    Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: $$\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}=\frac{5}{4}$$

    Câu 3: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{matrix} 8{{\left( 2x+y \right)}^{2}}-10\left( 4{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)-3{{\left( 2x-y \right)}^{2}}=0  \\  2x+y-\frac{2}{2x-y}=2  \\
    \end{matrix} \right.$$

    Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác $ ABC$. Gọi $ Q$ là điểm trên cạnh $ BC$ ($ Q$ khác $ B; C$). Trên $ AQ$ lấy điểm $ P$ ($ P$ khác $ A; Q$). Hai đường thẳng qua $ P$ song song với $ AC, AB$ lần lượt cắt $ AB; AC$ tại $ M, N.$

    1. Chứng minh rằng: $\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1$
    2. Xác định vị trí điểm $ Q$ để $\frac{AM\cdot AN\cdot PQ}{AB\cdot AC\cdot AQ}=\frac{1}{27}$

    Câu 5: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm $ O$, đường kính $ AB$. Điểm $ C$ thuộc bán kính $ OA$. Đường vuông góc với $ AB$ tại $ C$ cắt nửa đường tròn $ (O)$ tại $ D$. Đường tròn tâm $ I$ tiếp xúc với nửa đường tròn $ (O)$ và tiếp xúc với các đoạn thẳng $ CA, CD$. Gọi $ E$ là tiếp điểm của $ AC$ với đường tròn $ (I) $. Chứng minh: $BD = BE$.

    Câu 6: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = 1 – xy$, trong đó $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $${{x}^{2013}}+{{y}^{2013}}=2{{x}^{1006}}{{y}^{1006}}$$

    2. Đề thi học sinh giỏi Toán 9 SGD Bình Định năm học 2016 – 2017

    Bài 1:  1) Cho biểu thức  $$P=\frac{2m+\sqrt{16m}+6}{m+2\sqrt{m}-3}+\frac{\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}-1}+\frac{3}{\sqrt{m}+3}-2$$ a) Rút gọn $P$.
    b) Tìm giá trị tự nhiên của $m$ để $P$ là số tự nhiên.

    2) Cho biểu thức $P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a + b + c$ chia hết cho 4 thì $P$ chia hết cho 4.

    Bài 2: a) Chứng minh rằng: Với mọi số thực $x, y$ dương, ta luôn có $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$$

    b) Cho phương trình $2{{x}^{2}}+3mx-\sqrt{2}=0$ (m là tham số) có hai nghiệm${{x}_{1}};{{x}_{2}}$.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1+x_{1}^{2}}{{{x}_{1}}}-\frac{1+x_{2}^{2}}{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}.$$

    Bài 3: Cho $x, y, z$ là ba số dương. Chứng minh rằng $$\frac{1}{{{x}^{2}}+yz}+\frac{1}{{{y}^{2}}+zx}+\frac{1}{{{z}^{2}}+xy}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right)$$

    Bài 4: 1) Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Giả sử $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn đó.

    a) Chứng minh $MB + MC = MA$.

    b) Gọi $H, I, K$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $ $M xuống $ AB, BC, CA$. Gọi $ S, S’$ lần lượt là diện tích của tam giác $ ABC$, $ MBC$. Chứng minh rằng: Khi $ M$ di động ta luôn có đẳng thức $MH+MI+MK=\frac{2\sqrt{3}(S+2{S}’)}{3R}$.

    2) Cho tam giác $ ABC$ có ba góc nhọn. $ AD, BE, CF$ là các đường cao. Lấy $ M$ trên đoạn $ FD$, lấy $ N$ trên tia $ DE$ sao cho$\widehat{MAN}=\widehat{BAC}.$ Chứng minh $ MA$ là tia phân giác của góc $\widehat{NMF}$.

    3. Đề thi HSG Toán lớp 9 Bắc Ninh 2012 – 2013

    Câu 1. (4,0 điểm)  Cho biểu thức: $P=\frac{{{a}^{2}}-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}$

    1. Rút gọn biểu thức $P$.
    2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.

    Câu 2. (4,0 điểm)                                                                         

    1. Trong mặt phẳng tọa độ $ (Oxy)$, cho parabol $ (P)$ có phương trình $y = x^2$ và đường thẳng $ d$ có phương trình $ y = kx+1$ ($ k$ là tham số). Tìm $ k$ để đường thẳng $ d$ cắt parabol $ (P)$ tại hai điểm phân biệt $ M, N$ sao cho $MN=2\sqrt{10}$.
    2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}  \left( x+y \right)\left( x+z \right)=12 \\ \left( y+x \right)\left( y+z \right)=15 \\ \left( z+x \right)\left( z+y \right)=20 \\ \end{align} \right.$   (Với $ x, y, z$ là các số thực dương).

    Câu 3. (3,0 điểm)

    1. Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{4}}-2{{y}^{4}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}-7{{y}^{2}}-5=0$.
    2. Cho ba số $ a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$; ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$; ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=1$

    Chứng minh rằng: ${{a}^{2013}}+{{b}^{2013}}+{{c}^{2013}}=1$.

    Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn $ (O; R)$, đường thẳng $ d$ không đi qua $ O$ cắt đường tròn tại hai điểm $ A$, $ B$. Từ một điểm $ M$ tùy ý trên đường thẳng $ d$ và nằm ngoài đường tròn $ (O)$, vẽ hai tiếp tuyến $ MN, MP$ của đường tròn $ (O)$ ($ N$, $P$ là hai tiếp điểm).

    1. Dựng điểm $ M$ trên đường thẳng $ d$ sao cho tứ giác $ MNOP$ là hình vuông.
    2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm $M, N, P$ luôn thuộc đường thẳng cố định khi $ M$ di động trên đường thẳng $ d$.

    Câu 5. (3,0 điểm)

    1. Tìm hai số nguyên dương $ a$ và $ b$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\left[ a,b \right]+7\left( a,b \right)$ (với $ [a,b]$ là BCNN của $ a$ và $ b$, $ (a,b)$ là ƯCLN của $ a$ và $ b$).
    2. Cho tam giác $ ABC$ thay đổi có $ AB = 6$, $ AC = 2BC$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $ ABC$.

    4. Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 SGD Hải Dương năm 2012 – 2013

    Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: ${A=}\left( \sqrt{{x}-\sqrt{{50}}}-\sqrt{{x+}\sqrt{{50}}} \right)\sqrt{{x+}\sqrt{{{{x}}^{{2}}}-{50}}}$ với ${x}\ge \sqrt{50}$

    b) Cho ${x+}\sqrt{{3}}{=2}$. Tính giá trị của biểu thức: $$ B = x^5 – 3x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 20x + 2018 $$

    Câu 2: Giải phương trình $$\frac{{4x}}{{{{x}}^{{2}}}-{5x+6}}{+}\frac{{3x}}{{{{x}}^{{2}}}-{7x+6}}{=6}$$

    b) Giải phương trình sau: $$\left\{ \begin{align}
    \sqrt{{x}}{+}\sqrt{{y}}{+4}\sqrt{{xy}}{=16} \\
    {x+y=10} \\
    \end{align} \right.$$

    Câu 3:

    a) Với $ a, b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu ${4}{{{a}}^{{2}}}{+3ab}-{11}{{{b}}^{{2}}}$ chia hết cho 5 thì ${{a}^{4}}-{{b}^{4}}$ chia hết cho 5.

    b) Cho phương trình $\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{+bx+1}\,=0\,$ với $ a, b$ là các số hữu tỉ. Tìm $ a, b$ biết ${x=}\frac{\sqrt{{5}}-\sqrt{{3}}}{\sqrt{{5}}{+}\sqrt{{3}}}$ là nghiệm của phương trình.

    Câu 4:   Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm $P$ và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

    a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.

    b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.

    c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh $P$ là trung điểm ME.

    Câu 5:

    Cho ${{{A}}_{{n}}}{=}\frac{{1}}{{(2n+1)}\sqrt{{2n}-{1}}}$ với n$\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

    Chứng minh rằng: ${{{A}}_{{1}}}{+}{{{A}}_{{2}}}{+}{{{A}}_{{3}}}{+}…{+}{{{A}}_{{n}}}={1}\,$.

    5. Đề HSG Toán 9 SGD Kon Tum năm 2016 – 2017

    Bài 1:

    a. Cho $ x \ge 0$ và $ x \ne 9$. Rút gọn biểu thức $$P=\frac{2\sqrt{x}+3\sqrt{2}}{\sqrt{2x}+2\sqrt{x}-3\sqrt{2}-6}+\frac{\sqrt{2x}-6}{\sqrt{2x}+2\sqrt{x}+3\sqrt{2}+6}$$

    b. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $y = x + 2m – 2$ cắt đường thẳng $y = 2x + m – 13$ tại một điểm trên trục hoành. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $ O$ đến đường thẳng $y = 2x + m – 13$ ứng với $ m$ vừa tìm được (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet)

    Bài 2:

    a) Cho $ x \ge 2; y \ge 0$ thỏa mãn${{y}^{2}}\sqrt{x-2}+\sqrt{x-2}=2y$. Chứng minh rằng ${{x}^{3}}\le 27$

    b) Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm và CA = 5cm. Gọi H, D, $P$ lần lượt là chân đường cao, phân giác, trung tuyến kẻ từ B xuống cạnh AC. Tính diện tích của các tam giác CBD, BDP,  HBD

    Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa điểm A) của đường tròn đó. Gọi H, K, I lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D xuống các đường thẳng BC, AB, CA

    1. Chứng minh rằng K, H, I thẳng hàng
    2. Chứng minh rằng $\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}$

    Bài 4:

    a) Giải hệ phương trình       $\left\{ \begin{matrix}   2{{x}^{3}}y+3{{x}^{2}}=5y   \\   1+6xy=7{{y}^{3}}   \\ \end{matrix} \right.$

    b) Tìm các cặp số nguyên $ (x; y)$ thỏa mãn $$x{{y}^{2}}+2xy-243y+x=0$$

    6. Đề HSG Toán 9 SGD Đồng Tháp 2016 – 2017

    Bài 1:

    a) Tính giá trị của $A=\frac{4\sqrt{3-2\sqrt{2}}+10}{(1+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})+1}$

    b) Cho $B={{n}^{4}}+{{n}^{3}}-{{n}^{2}}-n$. Chứng minh rằng $ B$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $ n$.

    Bài 2: Cho biểu thức $$P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-1}+\frac{5-2x}{x-1}$$

    a) Tìm điều kiện của $x$ để $P$ xác định và rút gọn $P$.

    b) Tìm $x$ để $P= 7$.

    Bài 3:

    1. Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng  $(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9$.
    2. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của $$P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$$

    Bài 4:

    a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}   \frac{3}{\sqrt{x}+y}+\frac{5}{\sqrt{x}-y}=6   \\   \frac{3}{\sqrt{x}+y}-\frac{4}{\sqrt{x}-y}=-3   \\\end{matrix} \right.$

    b) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì mới được nửa quảng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quảng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn dự định 1 giờ. Tính quãng đường AB

    Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C và B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC

    a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD

    b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB

    Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho EC là phân giác của góc BEF. Trên tia AB lấy K sao cho BK = DF

    a) Chứng minh rằng CK = CF

    b) Chứng minh rằng EF = EK và EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

    c) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.

    7. Đề học sinh giỏi Toán 9 Nghệ An 2016 – 2017

    Câu 1: (4,0 điểm)

    a. Tìm các hệ số $b, c$ của đa thức $P(x)={{x}^{2}}+bx+c$ biết $P(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ khi $x=2$.

    b. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-xy-{{y}^{3}}=0   \\2\sqrt{y}-2({{x}^{2}}+1)-3\sqrt{x}(y+1)-y=0   \\\end{array} \right.$

    Câu 2: (4,0 điểm)

    1. Giải phương trình $x+2=3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\sqrt{1+x}$
    2. Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{2a}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{b}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}+\frac{c}{\sqrt{1+{{c}^{2}}}}.$$

    Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}={{135}^{^\circ }}$, BC=5 cm và đường cao AH=1 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

    Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung DC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE; P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng BC, AB và I là giao điểm của EK với AC.

    a) Chứng minh rằng 3 điểm P, I, Q thẳng hàng.

    b) Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK.

    Câu 5: (4,0 điểm).

    1. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau $m,n,p,q$ thoả mãn $$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}=1$$
    2. Trên một hàng có ghi 2 số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo nguyên tắc. Nếu có 2 số $ x, y$ phân biệt trên bảng thì ghi thêm số$z=xy+x+y$. Chứng minh rằng các số được ghi trên bảng (trừ số 1 ra) có dạng $ 3k+2$ (với $ k$ là số tự nhiên).

    8. Đề thi HSG Toán 9 SGD Thái Bình năm học 2016 – 2017

    Câu 1.(3,0 điểm) Cho  $2x=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}+1}$. Tính   $$P=\sqrt{\frac{{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-12x-11}{2{{x}^{2}}-6x+2}}$$

    Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số:$y=({{m}^{2}}+2)x-{{m}^{3}}-3m+1$ và $ y=x-2m+1$ có đồ thị lần lượt là ${{d}_{1}},{{d}_{2}}.$Gọi$A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)~$ là giao điểm của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}.$

    a) Tìm tọa độ điểm $ A$.

    b) Tìm $ m$ nguyên để biểu thức $T=\frac{x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+3}{y_{0}^{2}-3{{y}_{0}}+3}$ nhận giá trị nguyên.

    Câu 3.(4,0 điểm)

    1) Giải phương trình: $2{{x}^{2}}-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

    2) Giải hệ phương trình sau $$:\left\{ \begin{matrix}   2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y-xy-x-1=0  \\   {{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y+6{{x}^{2}}-x-1=0  \\ \end{matrix} \right.$$

    Câu 4. (2,0 điểm)  Cho tam giác $ MNP$ cân tại $P$ . Gọi $ H$ là trung điểm của $ MN, K $là hình chiếu vuông góc của $ H$ trên $ PM$. Dựng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $ NK$ và cắt $ HK$ tại $ I$. Chứng minh rằng $ I$ là trung điểm của $ HK$.

    Câu 5.(4,0 điểm) Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tai $ A$. Trên tia đối tia $ AC$ lấy điểm $ M$ sao cho 0<AM<AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BCM$, $ K$ là hình chiếu vuông góc của $ M$ trên $ BC, MK$ cắt $ AB$ tại $ H$. Gọi $ E,F$ lần lượt là trung điểm của $ CH$ và $ BM$.

    a) Chứng minh rằng tứ giác $ AFKE$ là hình vuông.

    b) Chứng minh rằng $ AK,EF,OH$ đồng quy.

    Câu 6.(2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương $ (x;y)$ của phương trình $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{100.110}^{2n}}$$ với $ n$ là số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương.

    Câu 7.(2,0 điểm) Cho các số thực dương $ a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$P=\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{ab({{a}^{3}}+{{b}^{3}})}+\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{bc({{b}^{3}}+{{c}^{3}})}+\frac{{{c}^{4}}+{{a}^{4}}}{ac({{a}^{3}}+{{b}^{3}})}$$

    9.