Tỉ lệ nghịch là gì?
Tỉ lệ nghịch là mối tương quan giữa hai đại lượng, mà nếu tăng đại lượng này bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm bấy nhiêu lần.
Nói cách khác, nếu $a$ là đại lượng thứ nhất, thì đại lượng tỉ lệ nghịch với $a$ là nghịch đảo – có hệ số – của $a$ (tức là $k/a$), và $k$ là một hằng số dương nào đó.
Khi giá trị của một đại lượng tăng lên so với sự giảm của đại lượng khác hoặc ngược lại, thì chúng được cho là tỷ lệ nghịch. Nó có nghĩa là hai đại lượng hoạt động trái ngược nhau về bản chất. Ví dụ, tốc độ và thời gian tỷ lệ nghịch với nhau. Khi bạn tăng tốc độ, thời gian sẽ giảm xuống. Các thuật ngữ khác được sử dụng ở đây cho loại tỷ lệ này là tỷ lệ nghịch hoặc thay đổi tỷ lệ nghịch hoặc biến thiên nghịch đảo hoặc tỷ lệ tương hỗ.
Hai đại lượng tỉ lệ nghịch $x$ và $y$ liên hệ với nhau bởi công thức $y=\frac{a}{x}$ hay $xy=a$ (với $a$ là một số khác $0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.
Ví dụ: Nếu $y=\frac{4}{x}$ thì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ là $4$.
Chú ý: Khi $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, ta cũng nói $x$ tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a$.
Tính chất của tỉ lệ nghịch
Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia luôn là một hằng số (bằng hệ số tỉ lệ) $$x_1 y_1=x_2 y_2=x_3 y_3 = … = a$$
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}, \frac{x_1}{x_3} = \frac{y_3}{y_1},…$$
Ví dụ tỉ lệ nghịch
Ví dụ 1. Hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau hay không, nếu:
| $x$ | 1 | 2 | 4 | 5 | 8 |
| $y$ | 120 | 60 | 30 | 24 | 15 |
Hướng dẫn.
Để kiểm tra hai số $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau hay không, chúng ta kiểm tra xem tích $xy$ có luôn là một hằng số hay không.
Ta có: $$x y = 1 \times 120 = 2 \times 60 = 4 \times 30 = 5 \times 24 = 8 \times 15 = 120$$
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch thì $x$ và $y$ trong trường hợp này là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Ví dụ 2. Hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau hay không, nếu:
| $x$ | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $y$ | 30 | 20 | 15 | 12,5 | 10 |
Hướng dẫn. Ta có $$x y = 1 \times 30 \ne 3 \times 60$$ Suy ra $x$ và $y$ trong trường hợp này không là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Các bài toán tỉ lệ nghịch
Đối với các bài tập tỉ lệ thuận, mời các em xem trong bài viết Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?
Bài 1. Để làm xong một công việc thì 21 công nhân cần làm trong 15 ngày. Do cải tiến kĩ thuật nên năng suất lao động của mỗi công nhân tăng thêm 25%. Hỏi 18 công nhân phải cần bao nhiêu ngày để làm xong công việc trên.
Bài 2. Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ 1 sang tủ 3 thì số sách tủ 1, tủ 2, tủ 3 tỉ lệ với 16, 15 và 14. Hỏi trước khi chuyển mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách.
Bài 3. Một bể nước hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 4 và 5, chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 5 và 4, thể tích của bể là 64m3. Tính chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể.
Bài 4. Một trường có ba lớp 7 biết rằng $\displaystyle \frac{2}{3}$ học sinh lớp 7A bằng số học sinh lớp 7B và bằng $\displaystyle \frac{4}{5}$ số học sinh lớp 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh hai lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 5. Ba bạn A, B, C theo thứ tự học lớp 8, 7, 6 và có điểm tổng kết học kì I là 8,0; 8,4; 7,2. Nhà trường dùng 85 cái bút để phát thưởng cho ba bạn trên, biết rằng số bút được thưởng tỉ lệ nghịch với lớp học và tỉ lệ thuận với điểm trung bình. Tính số bút mà mỗi bạn được thưởng ?
Bài 6. Nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác thì tỉ lệ các kết quả là 5:7:8. Tính tỉ lệ ba cạnh của tam giác đó.
Bài 7. Nhờ thi đua một nhà máy đó hoàn thành kế hoạch cả năm. Khối lượng sản phẩm thực hiện của ba quý đầu tỉ lệ với $\displaystyle 2\frac{1}{10}$; $2\frac{1}{4}$; $2\frac{2}{5}$. Còn quý IV thực hiện được 28% kế hoạch cả năm. Hỏi cả năm nhà máy sản xuất được bao nhiêu tấn hàng nếu quý IV hơn quý I là 84 tấn.
Bài 8. Gạo được chứa trong ba kho theo tỉ lệ \displaystyle 1,3 : 2\frac{1}{2} : 1\frac{1}{5}. Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn trong kho thứ nhất là 43,2 tấn. Sau một tháng người ta tiêu thụ hết ở kho thứ nhất 40%, ở kho thứ hai 30% và kho thứ ba 25% của số gạo trong kho. Hỏi trong một tháng đó tiêu thụ hết bao nhiêu tấn gạo?
Bài 9. Một nhà máy chia 1500kg thóc cho ba đội sản xuất tỉ lệ với số người của mỗi đội. Biết rằng số người của đội thứ hai bằng trung bình cộng số người của đội thứ nhất và đội thứ ba. Đội thứ nhất lĩnh nhiều hơn đội thứ ba là 300kg. Hỏi mỗi đội được lĩnh bao nhiêu kg thóc?
Bài 10. Cùng một lúc: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h, một ô tô khác đi từ B về A với vận tốc 50 km/h, một xe đạp đi C về B với vận tốc 15 km/h ( C nằm giữa A và B ). Hỏi sau bao lâu thì xe đạp ở chính giữa hai ô tô. Biết rằng quãng đường AB là 102 km, quãng đường AC là 41 km.
