O₂ Education

  • SKKN Đề xuất một số giải pháp phát triển năng lực viết cho học sinh trong bối cảnh đổi mới dạy học và kiểm tra đánh giá môn Ngữ văn ở nhà trường Phổ thông hiện nay

    SKKN Đề xuất một số giải pháp phát triển năng lực viết cho học sinh trong bối cảnh đổi mới dạy học và kiểm tra đánh giá môn Ngữ văn ở nhà trường Phổ thông hiện nay

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

    1. Xuất phát từ yêu cầu đổi mới giáo dục Việt Nam
      Theo dòng chuyển động của giáo dục quốc tế, giáo dục Việt Nam đang từng
      ngày bắt nhịp, thích ứng và vươn lên khẳng định sứ mệnh phát triển nhân lực của quốc
      gia. Giữa những biến thiên đổi thay của thời đại mới, dưới những tác động ảnh hưởng
      của Công nghệ số, tất cả mọi lĩnh vực ngành nghề trong đời sống văn hóa xã hội đều
      có sự bứt phá chuyển mình. Đổi mới giáo dục đào tạo là mục tiêu, là trách nhiệm, là
      SỨ MỆNH cần có của bất kỳ một đơn vị trường học và cá nhân mỗi giáo viên đứng
      lớp. Toàn cầu hóa và hội nhập quốc tế về giáo dục đã trở thành xu thế tất yếu, đặt ra
      những yêu cầu đổi mới để nâng cao hơn nữa chất lượng giáo dục, giúp thế hệ trẻ Việt
      Nam có đủ năng lực và bản lĩnh thích ứng với những biến đổi nhanh chóng của thế
      giới cũng như đáp ứng những yêu cầu mới về nguồn lực lao động của đất nước trong
      giai đoạn lịch sử đương thời.
      Xuất phát từ những quan điểm chỉ đạo đổi mới giáo dục trung học phổ thông
      của Đảng, Nhà nước: Nghị quyết số 29/NQ-TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban
      Chấp hành Trung ương Đảng lần thứ 8 khóa XI về đổi mới căn bản toàn diện GD đào
      tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường
      định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế; Nghị quyết số 44/NQ-CP ngày
      09/6/2014 ban hành chương trình hành động của Chính phủ thực hiện Nghị quyết số
      29/NQ-TW; Nghị quyết số 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 của Quốc hội
      về đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông, góp phần đổi mới căn
      bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, Quyết định số 404/QĐ-TT của Thủ tướng chính
      phủ ngày 27 tháng 3 năm 2015 phê duyệt Đề án đổi mới chương trình, sách giáo khoa
      giáo dục phổ thông…, ngành giáo dục nước nhà chính thức đón nhận một dấu mốc bản
      lề mới, mở ra một thời kì mới cho việc dạy – học trong trường phổ thông ở nước ta,
      nhấn mạnh đến việc phát triển năng lực của người học hơn là cung cấp tri thức một
      chiều cho các em. Nền Giáo dục sẽ chuyển từ chương trình định hướng nội dung dạy
      học sang chương trình định hướng năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc
      dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng
      năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con
      người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp theo sở
      trường, nguyện vọng của từng học sinh. Dạy học định hướng phát triển năng lực, hay
      còn gọi là dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ những năm 90
      của thế kỷ XX và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế.
      Chương trình giáo dục phổ thông sẽ cụ thể hoá mục tiêu giáo dục phổ thông,
      “giúp học sinh làm chủ kiến thức phổ thông, biết vận dụng hiệu quả kiến thức, kĩ năng
      đã học vào đời sống và tự học suốt đời, có định hướng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp,
      2
      biết xây dựng và phát triển hài hoà các mối quan hệ xã hội, có cá tính, nhân cách và
      đời sống tâm hồn phong phú, nhờ đó có được cuộc sống có ý nghĩa và đóng góp tích
      cực vào sự phát triển của đất nước và nhân loại”1
      . Theo đó, mục tiêu thực hiện Chương
      trình giáo dục THPT sẽ giúp học sinh tiếp tục phát triển những phẩm chất, năng lực
      cần thiết đối với người lao động, ý thức và nhân cách công dân, khả năng tự học và ý
      thức học tập suốt đời, khả năng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp với năng lực và sở
      thích, điều kiện và hoàn cảnh của bản thân để tiếp tục học lên, học nghề hoặc tham gia
      vào cuộc sống lao động, khả năng thích ứng với những đổi thay trong bối cảnh toàn
      cầu hoá và cách mạng công nghiệp mới. Ngoài những nhóm năng lực chung cần hình
      thành và phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục như năng lực
      tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng
      tạo.., chương trình Giáo dục Phổ thông mới còn xác định mục tiêu hình thành và phát
      triển các nhóm năng lực đặc thù trong từng bộ môn và hoạt động giáo dục, song song
      với việc phát hiện, bồi dưỡng năng khiếu cho học sinh.
    2. Xuất phát từ Thực trạng dạy học và kiểm tra đánh giá bộ môn Ngữ văn
      trong nhà trường Phổ thông hiện nay
      Giáo dục nói chung và dạy học từng bộ môn nói riêng, trong những năm gần
      đây, dù đã có một số những thành tựu tiên tiến, đổi mới nhất định hòa nhập chung với
      xu thế toàn cầu, song thực tế vẫn còn mang màu sắc “bình mới, rượu cũ”. Sự đổi mới
      diễn ra, chủ yếu thể hiện ở những tiết dạy kiểm tra, Hội thi GVG, những giờ dạy mẫu,
      những bài tham luận trong Hội nghị/ Hội thảo chuyên môn… Đổi mới là yêu cầu, là
      lời hô hào, hiệu triệu của tất cả các cơ sở giáo dục, thể hiện trong nhiều văn bản, giấy
      tờ, công văn chỉ đạo chung cho đến giáo án lên lớp giảng dạy từng ngày của giáo viên.
      Song, từ lý thuyết đến thực tế là “cả một đường chân trời”, đòi hỏi rất nhiều sự dũng
      cảm, can trường của GV và đội ngũ lãnh đạo nhà trường. Những chuyên đề Hội thảo,
      những tiết dạy thử nghiệm công phu, hoành tráng chỉ mang tính chất “biểu diễn”, “phô
      trương” kỹ thuật và năng lực thực hành của học sinh, chưa thực sự tạo hiệu quả sâu và
      rộng trong việc thực hiện phong trào “dạy thật, học thật, thi thật”. Những tiết dạy đổi
      mới trình diễn sinh động hấp dẫn, GV và HS đều thích thú thưởng lãm và thể hiện,
      song chưa đảm bảo được mục tiêu “đầu ra” với chất lượng kiểm tra, đánh giá. Và
      ngược lại, nếu GV chú tâm vào dạy học kiến thức cho HS ghi chép, học tập để thi cử
      đạt kết quả cao, sẽ không đòi hỏi sử dụng PPDH và những KTDH tích cực nhằm khơi
      gợi động cơ và hứng thú người học. Kết quả thực tế nhận được sẽ là một bức tranh đổi
      mới “nửa vời”, tùy thuộc vào mục tiêu giáo dục của từng đơn vị, từng cá nhân GV và
      từng giai đoạn học tập của năm học.
      1 Nội dung Chương trình giáo dục Phổ thông tổng thể (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TTBGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo)
      3
      Đổi mới trong dạy học, kiểm tra đánh giá các môn học đã khó, đổi mới trong
      dạy học, kiểm tra đánh giá Ngữ văn còn cần nhiều thử thách và bền bỉ hơn nữa. Vừa
      đảm bảo sử dụng linh hoạt những PPDH, KTDH tích cực, vừa không được “đánh rơi”
      những điểm sáng thẩm mĩ trong văn chương, kéo độc giả đến gần với trang sách của
      nhà văn dù có cách xa nhau vạn dặm về không gian và thời gian tiếp nhận. Đó là yêu
      cầu, nhiệm vụ và chính là thách thức với mỗi người Thầy dạy văn trong bối cảnh đổi
      mới hiện nay.
      Để tiến hành thực hiện SKKN này, nhóm tác giả có thực hiện nghiên cứu khảo
      sát thực trạng đổi mới dạy học Ngữ văn trong nhà trường Phổ thông với một số nhóm
      GV Ngữ văn ở các tổ chuyên môn trên địa bàn thành phố Nam Định (trường THPT
      Trần Hưng Đạo, THPT Nguyễn Khuyến, THPT Nguyễn Huệ, THPT Ngô Quyền,
      THPT Nguyễn Công Trứ…) bằng hai hình thức: phỏng vấn và khảo sát trực tuyến. Đa
      số GV đều chia sẻ chân thành, thẳng thắn về PPDH thường xuyên sử dụng trong các
      tiết dạy học Ngữ văn. Để đảm bảo mục tiêu kiểm tra, đánh giá, GV vẫn thường xuyên
      lựa chọn PPDH truyền thống thiên về truyền thụ kiến thức một chiều, trò thụ động tiếp
      nhận kiến thức, quen nghe, quen chép, ghi nhớ và tái hiện một cách máy móc, dập
      khuôn những gì GV đã giảng. Với HS, thầy cô là” bách khoa” là ‘từ điển”, là “vũ trụ”,
      các em chưa có tư duy sáng tạo, chưa biết cách tự học, thậm chí là lười đọc, trông chờ
      vào văn mẫu. Sự ngại đổi mới, áp lực thành tích thi cử, tâm lý học trò (thế hệ GENZ
      mới hiện nay), khoảng cách thời đại…là những nguyên nhân căn bản dẫn đến lối dạy
      công thức sáo mòn, thực trạng văn mẫu đại chúng đang tồn tại trong dạy học Ngữ văn
      hiện nay.
      Tổng hợp, chọn lọc các phiếu trả lời khảo sát, nhóm tác giả nhận thấy có 03 tồn
      tại thực tiễn đòi hỏi những giải pháp khẩn thiết và kịp thời trong quá trình dạy học
      Ngữ văn trong nhà trường Phổ thông giai đoạn hiện nay.
      Thứ nhất, mục tiêu dạy học trong nhà trường đa số chỉ thể hiện qua Kế hoạch
      bài dạy của Giáo viên, còn thực tế dạy học trên lớp lại là HỌC ĐỂ THI. Việc hình
      thành và phát triển năng lực toàn diện cho học sinh luôn được GV chú trọng trong mỗi
      tiết học nhưng do áp lực thi cử, chỉ tiêu về thành tích nên tiến trình dạy học cũng thay
      đổi nhiều để đảm bảo mục tiêu đầu ra. Các hoạt động dạy học tích cực, mới mẻ GV
      Ngữ văn xây dựng và thực hiện, thường chỉ xuất hiện trong các tiết thanh/ kiểm tra
      hoặc có lãnh đạo, tổ chuyên môn dự giờ. Còn đại đa số các tiết dạy học, GV sẽ hướng
      dẫn HS khai thác văn bản, nhưng chú trọng vào việc ĐỌC – CHÉP, đảm bảo một
      khung kiến thức nhất định để HS có thể viết bài văn nghị luận văn học theo yêu cầu
      của đề thi trong các kỳ kiểm tra đánh giá. Điều này dẫn đến hệ quả: thi văn trong nhà
      trường Phổ thông là thi văn VIẾT của thầy A và cô B, thầy C…, còn chưa đánh giá
      4
      được trung thực, chính xác năng lực ngôn ngữ và cảm thụ văn học của từng đối tượng
      học sinh.
      Thứ hai, từ phương pháp dạy học đến kiểm tra đánh giá trong Ngữ văn, các thầy
      cô GV thường chỉ chú trọng hình thành và phát triển năng lực VIẾT, vì bài kiểm tra
      đánh giá thường chỉ đo lường kỹ năng này (có kiểm tra về năng lực đọc nhưng tham số
      điểm chấm không nhiều). Đây là một thực trạng mất cân bằng so với việc học các
      Ngoại ngữ khác của học sinh Phổ thông. Từ tiếng Anh, tiếng Trung, tiếng Nhật…, các
      em học sinh khi tham gia học tập và trải nghiệm các kỳ kiểm tra đánh giá năng lực
      ngôn ngữ đều phải trải qua 4 phần thi: Nghe, nói, đọc, viết. Còn HS Phổ thông học
      tiếng Việt và Ngữ văn trong nhà trường, nhưng tham gia các kỳ thi kiểm tra đánh giá
      năng lực cũng chỉ làm 1 bài viết đảm bảo kiến thức Đọc hiểu văn bản và kỹ năng viết
      bài luận văn học. Điều này dẫn đến thực trạng: HS được học gì thi nấy, được GV
      “chăm sóc” kỹ thuật dùng từ, đặt câu, viết đoạn như nào thì đi thi sẽ sử dụng như thế,
      còn để HS nói “tròn vành rõ chữ” từng câu trong tiếng Việt, trong những cảnh huống
      giao tiếp nhất định thì các em chưa có nhiều kỹ năng. Tương tự như vậy, với việc hình
      thành và phát triển năng lực Nghe và Đọc.
      Thứ ba, dạy học Ngữ văn trong nhà trường Phổ thông hiện nay chưa tạo sức
      hấp dẫn cho GV và HS, vì lượng văn bản trong SGK chưa nhiều. Việc cập nhật đời
      sống văn học và lượng văn bản thông tin ngoài nhà trường nhiều khi chưa được thức
      thời, dễ dẫn đến sự nhàm chán, đơn điệu trong quá trình tiếp nhận. Hiện nay, đời sống
      văn học nghệ thuật đang sinh sắc mỗi ngày, nhưng GV và HS chủ yếu chỉ tiếp cận với
      VB trong SGK để đảm bảo lượng kiến thức ổn định, an toàn để đi thi. Còn có thực tế
      nhiều GV chỉ dạy các VB xuất hiện trong đề kiểm tra đánh giá các kỳ, còn các VB đọc
      thêm, văn học sử hay lí luận văn học.. các thầy cô chỉ điểm lướt qua mà không liên hệ,
      giới thiệu mở rộng thêm cho HS nhận diện và nắm bắt.
      Những tồn tại nêu trên đã gây ra nhiều trở ngại trong quá trình kiểm định, đánh
      giá chất lượng toàn diện, cụ thể của việc dạy học Ngữ văn trong nhà trường Phổ thông
      ở nhiều năm học. Từ việc không kích thích được nhu cầu khám phá, hiểu biết của HS,
      không tạo được hứng thú cho HS, dẫn đến tâm lý chán chường, uể oải xa cách với mỗi
      tiết học bộ môn, thái độ ơ hời, thiếu lửa, thiếu tình yêu và niềm say mê với môn học.
      Việc học tập bộ môn chỉ đáp ứng được một mục tiêu “thực dụng” duy nhất là đi thi và
      có điểm cao, hoàn toàn chưa chú trọng đến việc phát triển năng lực ngôn ngữ tự thân
      và toàn diện cho học sinh. Đến bao giờ việc tiếp thu và cảm nhận, trau dồi ngôn ngữ là
      nhu cầu, là niềm yêu thích, hứng thú “bên trong” của người học, chừng đó dạy học
      Ngữ văn mới có cơ hội làm tròn sứ mệnh đổi mới của chính mình. Khi người GV Ngữ
      văn biết quan tâm đến việc hình thành và phát triển từng nấc thang năng lực ngôn ngữ
      cho mọi đối tượng HS trong lớp học, tất yếu HS sẽ được khơi nguồn cảm hứng học tập
      và say mê con chữ, trang văn.
      5
    3. Mục tiêu phát triển năng lực ngôn ngữ đặc thù của môn học Ngữ văn
      “Văn học là nhân học”, dạy học văn là dạy làm người. Chương trình GDPT mới
      đặt ra mục tiêu chung là hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất đẹp
      (yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực và trách nhiệm); bồi dưỡng tâm hồn, hình
      thành nhân cách và phát triển cá tính; giúp học sinh khám phá bản thân và thế giới
      xung quanh, thấu hiểu con người, có đời sống tâm hồn phong phú, có quan niệm sống
      và ứng xử nhân văn; có tình yêu đối với tiếng Việt và văn học; có ý thức về cội nguồn
      và bản sắc của dân tộc, góp phần giữ gìn, phát triển các giá trị văn hoá Việt Nam; có
      tinh thần tiếp thu tinh hoa văn hoá nhân loại và khả năng hội nhập quốc tế.
      Bên cạnh yêu cầu phát triển các năng lực chung: năng lực tự chủ và tự học,
      năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, môn Ngữ văn
      hướng tới sự phát triển năng lực ngôn ngữ và năng lực văn học (thẩm mĩ) cho học
      sinh: rèn luyện các kĩ năng đọc, viết, nói và nghe; có hệ thống kiến thức phổ thông nền
      tảng về tiếng Việt và văn học, phát triển tư duy hình tượng và tư duy logic, góp phần
      hình thành học vấn căn bản của một người có văn hoá; biết tạo lập các văn bản thông
      dụng; biết tiếp nhận, đánh giá các văn bản văn học nói riêng, các sản phẩm giao tiếp và
      các giá trị thẩm mĩ nói chung trong cuộc sống. Dạy học Ngữ văn để phát triển năng
      lực là cách dạy – học Ngữ văn tiên tiến, hiện đại, mang ý nghĩa đổi mới – cách mạng so
      với cách dạy – học Ngữ văn truyền thống trước đây, nhằm phát triển năng lực người
      học là chủ yếu: năng lực thẩm mĩ và năng lực ngôn ngữ.
      Ngữ văn là một môn học đặc biệt trong chương trình giáo dục Trung học các
      cấp. Mang trong mình chức năng, nhiệm vụ của một môn Khoa học trong nhà trường,
      đồng thời cũng bao chứa nhiều phẩm chất thẩm mĩ riêng biệt của một môn học Nghệ
      thuật. Người thầy dạy văn và người học trò học văn luôn đòi hỏi quá trình tiếp nhận,
      tích lũy, trau dồi tri thức, kỹ năng bộ môn một thái độ chuyên cần, tỉ mỉ, công phu và
      nghiêm túc. Dạy văn và học văn chính là một quá trình “lao động nghệ thuật”, không
      chỉ làm quen với con chữ, đọc và nhận diện con chữ mà cần phải dành cả tình yêu,
      niềm say mê vào việc cảm hiểu, giải mã con chữ ấy.
      Nếu như giai điệu, âm thanh là ngôn ngữ của âm nhạc; màu sắc, đường nét là
      ngôn ngữ của hội họa; mảng khối là ngôn ngữ của kiến trúc thì bản thân ngôn từ chính
      là chất liệu của tác phẩm văn chương. Macxim Gorki đã nói: “Ngôn ngữ là yếu tố thứ
      nhất của văn học”. Tùy vào đặc trưng thể loại, ngôn ngữ trong mỗi loại thể văn học có
      những đặc điểm riêng. Là nghệ thuật “lấy ngôn ngữ làm cứu cánh” (Jakobson), ngôn
      ngữ giữ một vị trí đặc biệt quan trọng trong mỗi tác phẩm văn học nghệ thuật. Đó là
      thứ ngôn ngữ được chưng cất công phu, biểu hiện tập trung nhất tính hàm súc phong
      phú của ngôn ngữ, vừa giàu hình ảnh, sắc màu (tính họa) vừa giàu nhạc điệu (tính
      nhạc). Các đặc điểm trên hòa quyện với nhau tạo nên hình tượng nghệ thuật lung linh,
      đa nghĩa. Muốn thâm nhập văn chương, người học không thể bỏ quên ngưỡng cửa đầu
      6
      tiên, bậc thềm quan trọng nhất để đến với thế giới nghệ thuật, đó là tri giác hình tượng
      của ngôn ngữ.
      Chương trình GDPT mới lấy việc rèn luyện các kĩ năng giao tiếp (đọc, viết, nói
      và nghe) làm trục chính xuyên suốt cả ba cấp học nhằm đáp ứng yêu cầu của chương
      trình theo định hướng năng lực. HS cấp tiểu học: Giúp học sinh bước đầu hình thành
      các năng lực chung, phát triển năng lực ngôn ngữ ở tất cả các kĩ năng đọc, viết, nói và
      nghe với mức độ căn bản: đọc đúng, trôi chảy văn bản; hiểu được nội dung, thông tin
      chính của văn bản; liên hệ, so sánh ngoài văn bản; viết đúng chính tả, ngữ pháp; viết
      được một số câu, đoạn, bài văn ngắn (chủ yếu là bài văn kể và tả). HS cấp trung học cơ
      sở: Tiếp tục phát triển các năng lực chung, năng lực ngôn ngữ, năng lực văn học đã
      hình thành ở cấp tiểu học với các yêu cầu cần đạt cao hơn. Phát triển năng lực ngôn
      ngữ với yêu cầu: phân biệt được các loại văn bản văn học, văn bản nghị luận và văn
      bản thông tin; đọc hiểu được cả nội dung tường minh và nội dung hàm ẩn của các loại
      văn bản; viết được đoạn và bài văn tự sự, miêu tả, biểu cảm, nghị luận, thuyết minh,
      nhật dụng hoàn chỉnh, mạch lạc, logic, đúng quy trình và có kết hợp các phương thức
      biểu đạt; nói dễ hiểu, mạch lạc; có thái độ tự tin, phù hợp với ngữ cảnh giao tiếp; nghe
      hiểu với thái độ phù hợp.
      Riêng đối với HS cấp trung học phổ thông, chương trình đặt ra mục tiêu tiếp tục
      phát triển các năng lực đã hình thành ở trung học cơ sở với các yêu cầu cần đạt cao
      hơn: đọc hiểu được cả nội dung tường minh và hàm ẩn của các loại văn bản với mức
      độ khó hơn thể hiện qua dung lượng, nội dung và yêu cầu đọc; đọc hiểu với yêu cầu
      phát triển tư duy phản biện; vận dụng được các kiến thức về đặc điểm ngôn từ văn học,
      các xu hướng – trào lưu văn học, phong cách tác giả, tác phẩm, các yếu tố bên trong và
      bên ngoài văn bản để hình thành năng lực đọc độc lập. Viết thành thạo kiểu văn bản
      nghị luận và thuyết minh tổng hợp (kết hợp các phương thức biểu đạt và các thao tác
      nghị luận), đúng quy trình, có chủ kiến, đảm bảo logic và có sức thuyết phục. Nói và
      nghe linh hoạt; có khả năng nghe và đánh giá được nội dung cũng như hình thức biểu
      đạt của bài thuyết trình; biết tham gia và có chủ kiến, cá tính, có thái độ tranh luận phù
      hợp trong tranh luận…
      Chính từ những đặc trưng cơ bản của văn chương nghệ thuật, CBQL và GV có
      thể xác định được những mục tiêu, nhiệm vụ riêng biệt của môn học Ngữ văn. Với
      mục tiêu tổng quát là “Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy
      tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu
      đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả”, việc triển khai dạy học các bộ môn nói
      chung và Ngữ văn nói riêng theo định hướng phát triển năng lực hiện nay là một yêu
      cầu bức thiết. Chuyển quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển
      toàn diện năng lực và phẩm chất người học, trước hết, “cần nhận thức đúng vị trí, vai
      trò của môn Ngữ văn ở trường phổ thông là: hình thành và phát triển các năng lực cốt
      7
      lõi và năng lực đặc thù của môn học; đặc biệt là năng lực giao tiếp (kiến thức Tiếng
      Việt cùng với 4 kĩ năng cơ bản: nghe, nói, đọc, viết và khả năng ứng dụng các kiến
      thức và kĩ năng ấy vào các tình huống giao tiếp khác nhau trong cuộc sống) và năng
      lực cảm thụ, thưởng thức văn học; bồi dưỡng và nâng cao vốn văn hoá cho người học
      thông qua những hiểu biết về ngôn ngữ và văn học, góp phần tích cực vào việc giáo
      dục, hình thành và phát triển cho học sinh những tư tưởng, tình cảm nhân văn, trong
      sáng, cao đẹp”. Như vậy, phát triển năng lực ngôn ngữ là một trong hai nhiệm vụ quan
      trọng của Ngữ văn (bên cạnh năng lực thẩm mĩ). Làm chủ tiếng Việt, biết sử dụng
      tiếng Việt một cách thuần thục để lĩnh hội và tạo lập văn bản (nói và viết) giúp cho
      việc diễn đạt, giao tiếp đạt hiệu quả. Hơn nữa Ngữ văn không chỉ là môn học thực
      hành bình thường mang ý nghĩa tự thân mà nó còn có thêm yêu cầu hỗ trợ cho các
      môn khác trong việc diễn đạt để hoàn thành vai trò của môn học công cụ trong nhà
      trường. Bởi vậy năng lực ngôn ngữ lại càng cần thiết và có vai trò quan trọng.
      Xuất phát từ những thực trạng và yêu cầu đổi mới nêu trên của giáo dục nói
      chung và dạy học Ngữ văn trong nhà trường Phổ thông nói riêng, chúng tôi nhận thấy
      trách nhiệm của người thầy dạy Văn trong việc rèn giũa, trau dồi và phát triển năng lực
      ngôn ngữ toàn diện cho học sinh. Do điều kiện thời gian và năng lực nghiên cứu nhất
      định, nhóm tác giả mạnh dạn thực hiện Đề tài SKKN “Đề xuất một số giải pháp phát
      triển năng lực viết cho học sinh THPT trước bối cảnh đổi mới dạy học và kiểm tra
      đánh giá Ngữ văn trong nhà trường Phổ thông hiện nay”. Các nhóm, vùng năng lực
      nghe, nói, đọc sẽ được nhóm tác giả giới thiệu và đề xuất giải pháp tùy theo điều kiện
      thời gian và đối tượng nghiên cứu trong những năm học tiếp theo.
    4. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
      4.1. Về tên gọi bộ môn
      Cho đến nay trong các văn bản chính thức của Bộ GD-ĐT, môn Văn vẫn gọi là
      môn Ngữ Văn. Tuy nhiên trong thực tế và trên báo chí hầu hết mọi người đều dùng
      chữ môn Văn (qua cách diễn đạt học Văn, dạy Văn, thi Văn…). Ở nước ta, môn học
      này từ lâu đã có những tên gọi khác nhau. Trước Cách mạng tháng Tám và sau đó ở
      miền Nam người ta thường dùng chữ môn Quốc văn hay Việt văn. Ở miền Bắc trước
      đây có khi gọi là môn Văn học, có khi gọi là Tiếng Việt và Văn học và gần đây nhất
      thì gọi là Ngữ văn. Bản thân nhiều chuyên gia giáo dục cũng băn khoăn về cách gọi
      tên môn học trong các tên: Ngữ văn, Tiếng Việt và Văn học, Tiếng Việt.
      Tiếng Việt và Văn học là tên gọi được lấy từ chương trình của Liên Xô cũ có
      tên là “tiếng Nga và Văn học”. Tên gọi này có ưu điểm là đưa Tiếng Việt thành một
      nội dung giảng dạy chủ yếu trong chương trình và từ đó nâng cao hiểu biết và rèn
      luyện kỹ năng sử dụng tiếng Việt cho học sinh. Tuy nhiên việc tách rời tiếng Việt và Văn
      học thành hai thành phần độc lập, sẽ không phản ánh đúng bản chất của mối quan hệ gắn
      bó giữa Văn và Tiếng, mặt khác dễ dẫn đến tình trạng việc dạy tiếng trở thành một bộ
      8
      phận riêng biệt, ít gắn với dạy Văn và phát triển kỹ năng giao tiếp của học sinh mà
      nặng về cung cấp những tri thức mang tính chất ngôn ngữ học.
      Nếu gọi môn học này là Tiếng Việt như Chương trình của một số nước (Anh,
      Pháp, Mỹ), tuy có thuận lợi trong việc đề cao mục tiêu phát triển năng lực giao tiếp
      của học sinh, song lại đối lập với quan niệm ông cha xưa cho rằng trong Văn có Tiếng,
      dạy tiếng là dạy văn.
      Tên gọi Ngữ văn phản ánh được sự thống nhất của Ngữ và Văn, bản chất mối
      quan hệ giữa ngôn ngữ và văn học, giữa việc dạy tiếng Việt và việc dạy văn học, trong
      văn có ngữ và trong văn cũng có văn chương. Theo Từ điển Tiếng Việt, Ngữ văn “chỉ
      một khoa học hay một ngành nghiên cứu về ngôn ngữ”, gọi chung là Philology. Tên
      gọi này phản ánh truyền thống lâu đời của giáo dục Việt Nam vốn coi trọng Văn
      chương, phù hợp với yêu cầu của giáo dục phổ thông, bên cạnh việc cung cấp những
      tri thức về khoa học, còn hình thành ở người học năng lực giao tiếp bằng tiếng mẹ đẻ,
      năng lực thẩm mỹ để phát triển nhân cách toàn diện.
      4.2. Về năng lực
      Trong Tâm lí học, năng lực được định nghĩa: “Là tổ hợp các thuộc tính độc đáo
      của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho
      hoạt động đó có kết quả” 2
      .
      Trong nhiều công trình nghiên cứu, bài báo khoa học, năng lực được hiểu
      chung là sự kết hợp một cách linh hoạt và có tổ chức kiến thức, kĩ năng với thái độ,
      tình cảm, giá trị, động cơ cá nhân,…nhằm đáp ứng hiệu quả một yêu cầu phức hợp của
      hoạt động trong bối cảnh nhất định. Năng lực thể hiện khả năng làm chủ và vận dụng
      hợp lý các kiến thức, kinh nghiệm, thái độ một cách có hứng thú để hành động một
      cách có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống.
      Dạy học Ngữ văn theo hướng phát triển năng lực nghĩa là thông qua bộ môn, học sinh
      có khả năng kết hợp một cách linh hoạt kiến thức, kỹ năng với thái độ, tình cảm, động
      cơ cá nhân… nhằm đáp ứng hiệu quả một số yêu cầu phức hợp của hoạt động trong
      một số hoàn cảnh nhất định.
      4.3. Về năng lực ngôn ngữ
      Là môn học tích hợp, mang trong mình phẩm chất nghệ thuật, đồng thời lại
      là môn học thực hành, trên tổng thể có thể xem Ngữ văn là môn học về Cái Đẹp với
      hai khâu liên hoàn: cảm thụ Cái Đẹp trong văn chương (Văn), ngôn ngữ (Tiếng Việt)
      để tạo lập ra Cái Đẹp trong văn bản nói và viết (Tập làm văn). Đó chính là sợi dây liên
      kết gắn bó giữa môn học nghệ thuật và môn học thực hành trong môn Ngữ văn với hai
      hoạt động chủ yếu: đọc hiểu văn bản và tạo lập văn bản. Với những đặc trưng đó, môn
      2 Nguyễn Quang Uẩn (chủ biên), 2005. Tâm lí học đại cương, trang 178, NXB Đại học Quốc
      gia Hà Nội.
      9
      Ngữ văn sẽ hình thành và phát triển hai năng lực quan trọng cho thế hệ trẻ: năng lực
      thẩm mĩ và năng lực ngôn ngữ. Năng lực thẩm mĩ là năng lực khám phá Cái Đẹp
      trong văn chương và trong tiếng Việt để thưởng thức chúng; còn năng lực ngôn ngữ là
      năng lực làm chủ được tiếng Việt, biết sử dụng tiếng Việt một cách thuần thục để tạo
      lập văn bản (nói và viết) giúp cho việc diễn đạt, giao tiếp đạt hiệu quả. Hai năng lực
      này không tách rời nhau, mà có mối quan hệ gắn bó, tương hỗ với nhau và với các
      nhóm năng lực chung khác (năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, năng
      lực hợp tác, năng lực tự chủ và tự học, năng lực khoa học, ..), đều đóng vai trò quan
      trọng trong việc xác định nội dung dạy học của môn học và phát triển trình độ, phẩm
      chất cho học sinh.
      Năng lực giao tiếp tiếng Việt (sau đây gọi tắt là năng lực ngôn ngữ) là một năng
      lực tổng hợp trên cơ sở biểu hiện của bốn yếu tố đọc, viết, nghe, nói cấu thành. Các
      yếu tố đó có mối quan hệ chặt chẽ, thúc đẩy và tác động, ảnh hưởng lẫn nhau, tạo nên
      tính toàn diện năng lực đặc thù của môn Ngữ văn.
      Năng lực ngôn ngữ của học sinh trung học gồm ba năng lực chủ yếu sau
      đây: năng lực làm chủ ngôn ngữ (tiếng Việt); năng lực sử dụng ngôn ngữ (tiếng
      Việt) để giao tiếp; năng lực sử dụng ngôn ngữ (tiếng Việt) để tạo lập văn bản. Năng
      lực làm chủ ngôn ngữ đòi hỏi học sinh phải có một vốn từ ngữ nhất định, hiểu và cảm
      nhận được sự giàu đẹp của tiếng Việt, nắm được các quy tắc về từ ngữ, ngữ pháp,
      chính tả để sử dụng tốt tiếng Việt. Năng lực giao tiếp ngôn ngữ đòi hỏi học sinh phải
      biết sử dụng thuần thục tiếng mẹ đẻ (tiếng Việt) để giao tiếp trong nhiều tình huống
      khác nhau với những đối tượng khác nhau trong gia đình, nhà trường và xã hội. Năng
      lực sử dụng ngôn ngữ để tạo lập văn bản là một năng lực đặc trưng rất quan trọng của
      năng lực ngôn ngữ học sinh trong nhà trường.
      Chương trình Ngữ văn 2018 tập trung hình thành và phát triển hai năng lực đặc
      thù quan trọng là năng lực ngôn ngữ (NLNN) và năng lực văn học (NLVH). Hai năng
      lực này đều được thể hiện qua các kĩ năng đọc, viết, nói, nghe.
      4.4. Về năng lực viết
      Đối với hoạt động viết, mục tiêu dạy học bộ môn Ngữ văn trong Chương trình
      giáo dục Phổ thông 2018 chỉ rõ mức độ cần đạt ở từng cấp học. Ở cấp tiểu học: yêu
      cầu học sinh viết đúng chính tả, từ vựng, ngữ pháp; viết được một số câu, đoạn văn
      ngắn; bước đầu viết được bài văn ngắn hoàn chỉnh, chủ yếu là bài văn kể, tả và bài
      giới thiệu đơn giản; viết được văn bản kể lại những câu chuyện đã đọc, những sự việc
      đã chứng kiến, tham gia, những câu chuyện do học sinh tưởng tượng; miêu tả những
      sự vật, hiện tượng quen thuộc; giới thiệu về những sự vật và hoạt động gần gũi với
      cuộc sống của học sinh; viết đoạn văn nêu những cảm xúc, suy nghĩ của học sinh khi
      đọc một câu chuyện, bài thơ, khi chứng kiến một sự việc gợi cho học sinh nhiều cảm
      xúc; nêu ý kiến về một vấn đề đơn giản trong học tập và đời sống; viết một số kiểu văn
      10
      bản như: bản tự thuật, tin nhắn, giấy mời, thời gian biểu, đơn từ; bước đầu biết viết
      theo quy trình; bài viết cần có đủ ba phần (mở bài, thân bài, kết bài). Ở cấp trung học
      cơ sở, học sinh cần viết được bài văn tự sự, miêu tả và biểu cảm; bước đầu biết viết bài
      văn nghị luận, thuyết minh, nhật dụng; viết đúng quy trình, biết cách tìm tài liệu để
      đáp ứng yêu cầu viết văn bản; có hiểu biết về quyền sở hữu trí tuệ và biết cách trích
      dẫn văn bản.
      Ở cấp trung học phổ thông, học sinh có thể viết thành thạo kiểu văn bản nghị
      luận và thuyết minh về các đề tài gắn với đời sống và định hướng nghề nghiệp; Viết
      được văn bản nghị luận và văn bản thông tin có đề tài tương đối phức tạp; văn bản
      nghị luận yêu cầu phân tích, đánh giá, so sánh giá trị của tác phẩm văn học; bàn về
      những vấn đề phù hợp với đối tượng gần đến tuổi thành niên, đòi hỏi cấu trúc và kiểu
      lập luận tương đối phức tạp, bằng chứng cần phải tìm kiếm từ nhiều nguồn; văn bản
      thuyết minh viết về những vấn đề có tính khoa học dưới hình thức một báo cáo nghiên
      cứu đúng quy ước; tuân thủ quyền sở hữu trí tuệ và tránh đạo văn; bài viết thể hiện
      được cảm xúc, thái độ, những trải nghiệm và ý tưởng của cá nhân đối với những vấn
      đề đặt ra trong văn bản; thể hiện được một cách nhìn, cách nghĩ, cách sống mang đậm
      cá tính.
    5. Đối tượng, phương pháp nghiên cứu
    • Đối tượng nghiên cứu: Giải pháp phát triển Năng lực viết cho học sinh trong
      bối cảnh đổi mới dạy học và kiểm tra đánh giá môn Ngữ văn ở nhà trường Phổ thông.
    • Đối tượng thực nghiệm và đối chứng: Quá trình nghiên cứu, triển khai đề tài
      sáng kiến được nhóm tác giả áp dụng triển khai cho đối tượng học sinh khối 10 niên
      khóa 2021 – 2024 trường THPT Trần Hưng Đạo trong năm học 2021 – 2022 và tiếp
      tục thực hiện trong năm học 2022 – 2023. Đây là khóa học sinh đặc biệt, được giáo dục
      trong bối cảnh bản lề, vừa thực hiện chương trình SGK cũ, vừa chuẩn bị tinh thần, tâm
      thế đón nhận những đổi mới trong dạy học và kiểm tra đánh giá môn Ngữ văn do ảnh
      hưởng của CT GDPT mới. Trong đó, học sinh lớp 10A7, 10A8, 10A10 là đối tượng
      thực nghiệm, học sinh lớp 10A4 là lớp học đối chứng.
    • Phương pháp nghiên cứu: phương pháp thu thập số liệu, phương pháp định
      tính, phương pháp định lượng, phương pháp thực nghiệm, phương pháp phi thực
      nghiệm (phỏng vấn, điều tra bảng hỏi, hỏi ý kiến chuyên gia,..), phương pháp phân
      tích và tổng hợp, phương pháp thống kê toán học, phương pháp quy nạp và diễn giải…
    1. Phạm vi áp dụng
      Toàn bộ giải pháp sáng kiến đề xuất đã được áp dụng và thực hiện tại đơn vị
      trường THPT Trần Hưng Đạo, một số giải pháp sáng kiến đã được áp dụng và thực
      hiện ở một số đơn vị trường THPT khác trên địa bàn tỉnh (trường THPT Nguyễn
      Khuyến, THPT Lý Tự Trọng, THPT Ngô Quyền, THPT Mỹ Lộc, THPT Nam Trực…)
      và 01 đơn vị trường THPT của thành phố Hà Nội (THPT Ngô Thì Nhậm).
      11
      II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
    2. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
      Để có thêm cơ sở thực tiễn đề xuất giải pháp phát triển năng lực viết cho học
      sinh THPT, nhóm tác giả đã tiến hành khảo sát thực trạng nhận thức và giải pháp sử
      dụng để phát triển năng lực viết của học sinh tại một số đơn vị trường THPT trên địa
      bàn tỉnh Nam Định và các trường THPT khác trên cả nước.
       Đối tượng khảo sát, thăm dò ý kiến: cán bộ quản lý, giáo viên Ngữ văn, giáo
      viên các bộ môn khác trong nhà trường và học sinh của trường THPT Trần Hưng Đạo
      và cán bộ quản lý, giáo viên Ngữ văn, giáo viên các bộ môn khác của các đơn vị
      THPT trên địa bàn tỉnh Nam Định và một số tỉnh thành khác.
       Nội dung khảo sát, thăm dò ý kiến: thực trạng nhận thức và quan niệm, nhu
      cầu của GV, HS về phát triển năng lực viết cho HS trong bối cảnh đổi mới dạy học và
      kiểm tra đánh giá môn Ngữ văn trong nhà trường Phổ thông hiện nay.
       Thời gian khảo sát: bắt đầu từ ngày 24 tháng 03 năm 2021 đến hết ngày 28
      tháng 03 năm 2021.
       Kết quả khảo sát:
    • Số lượng phiếu phản hồi ý kiến: 208.
    • Nội dung phản hồi ý kiến: được hiển thị qua các sơ đồ biểu thị và phần phân
      tích chi tiết trong từng đề mục nội dung.
      1.1. Thực trạng quan niệm và giải pháp của giáo viên về việc phát triển
      năng lực viết cho học sinh
      Để xác lập được giải pháp phát triển năng lực viết cho học sinh, nhóm tác giả
      tiến hành khảo sát quan niệm, thực trạng nhận thức của đội ngũ giáo viên giảng dạy bộ
      môn Ngữ văn tại đơn vị trường THPT Trần Hưng Đạo.
       Đường link khảo sát, thăm dò ý kiến của GV:
      https://forms.gle/FjJutnS57NboonsJ9
      Nội dung khảo sát gồm các câu hỏi hiển thị trong Phụ lục 1 của Sáng kiến.
       Kết quả khảo sát:
      Đối tượng khảo sát,
      thăm dò ý kiến
      Câu hỏi 1: Thái độ của Quý Thầy cô với việc phát triển
      năng lực viết cho học sinh?
      Phương án A:
      Rất quan tâm
      Phương án B:
      Quan tâm
      Phương án C:
      Không quan tâm
      SL % SL % SL %
    1. Cán bộ quản lý, giáo
      viên Ngữ văn trường
      THPT Trần Hưng Đạo
      01 7.7 % 01 7.7 % 11 84,6%
    2. Giáo viên Ngữ văn
      trường THPT khác trên địa
      bàn tỉnh Nam Định
      01 3.2 % 02 6.4 % 28 90.3 %
      12
    3. Giáo viên Ngữ văn các
      trường THPT khác ngoài
      địa bàn tỉnh Nam Định
      0 2.1 % 01 16.6 % 05 83.3 %
      Qua nội dung khảo sát câu hỏi số 1 đã cho thấy, thầy cô có quan tâm đến việc
      phát triển năng lực viết cho học sinh nhưng số đó không nhiều và không đồng đều ở
      các môi trường giáo dục khác nhau. Chúng ta cần đặt ra sự thay đổi trong chính những
      người thầy để đáp ứng mục tiêu phát triển năng lực ngôn ngữ cho HS từ chính những
      bài viết, kết quả của hoạt động DH bộ môn nói riêng và giáo dục nói chung.
      Đối tượng khảo sát,
      thăm dò ý kiến
      Câu hỏi 2: Thầy cô quan niệm như thế nào về việc cho học sinh
      ghi chép và học thuộc theo mẫu Làm văn mà Giáo viên cung cấp
      sẵn?
      Phương án
      A: Đây là
      việc làm
      không khoa
      học, không
      hình thành và
      phát triển
      năng lực viết
      của học sinh
      Phương án
      B: Đây là việc
      làm cần thiết,
      phù hợp với
      mọi đối tượng
      học sinh
      Phương án C:
      Đây là việc
      làm quan trọng
      để giúp cải
      thiện chất
      lượng kiểm tra
      đánh giá môn
      Ngữ văn của cá
      nhân học sinh
      và tập thể lớp
      Phương án D:
      Đây là giải
      pháp khả thi
      nhất để nâng
      cao chất lượng
      dạy học Ngữ
      văn trong nhà
      trường THPT
      SL % SL % SL % SL %
    4. Cán bộ quản lý,
      giáo viên Ngữ văn
      trường THPT Trần
      Hưng Đạo
      01 7.7 % 01 7.7 % 07 53.8% 04 30.7 %
    5. Giáo viên Ngữ
      văn trường THPT
      khác trên địa bàn
      tỉnh Nam Định
      01 6.4% 03 9.6% 19 61.2% 08 25.8 %
    6. Giáo viên Ngữ văn
      các trường THPT
      khác ngoài địa bàn
      tỉnh Nam Định
      0 0% 01 16.6% 04 66.6% 01 16.6%
      Kết quả khảo sát câu hỏi số 2 cho thấy việc cho học sinh ghi chép và học thuộc
      theo mẫu Làm văn mà Giáo viên cung cấp sẵn đã trở thành lối mòn. Đó là lối dạy
      truyền thụ kiến thức một chiều, trò thụ động tiếp nhận kiến thức, quen nghe, quen
      13
      chép, ghi nhớ và tái hiện một cách máy móc, dập khuôn những gì GV đã giảng. Hơn
      một nửa số giáo viên tham gia khảo sát cho rằng đó là việc làm cần thiết, họ đã và
      đang sử dụng phương pháp đó nhằm giải quyết áp lực của việc kiểm tra và đánh giá,
      cải thiện chất lượng học tập của cá nhân học sinh và tập thể lớp.
      Đối tượng khảo sát, thăm
      dò ý kiến
      Câu hỏi 3: Thầy cô có thường xuyên cung cấp tài liệu
      tham khảo cho học sinh tự đọc, tự nghiên cứu và ghi
      chép kiến thức, tư liệu?
      Phương án A:
      Rất thường
      xuyên
      Phương án B:
      Thường xuyên
      Phương án C:
      Không thường
      xuyên
      SL % SL % SL %
    7. Cán bộ quản lý, giáo
      viên Ngữ văn trường
      THPT Trần Hưng Đạo
      02 15.3 % 03 23 % 08 61.5%
    8. Giáo viên Ngữ văn
      trường THPT khác trên địa
      bàn tỉnh Nam Định
      02 6.4 % 05 16.1 % 24 77.4%
    9. Giáo viên Ngữ văn các
      trường THPT khác ngoài
      địa bàn tỉnh Nam Định
      0 % 01 16.6% % 05 83.3%
      Với câu hỏi số 3, đa số GV đều thừa nhận mình không thường xuyên cung cấp
      tài liệu tham khảo cho học sinh tự đọc, tự nghiên cứu và ghi chép kiến thức, tư liệu.
      Dù có thầy cô đã tạo ra hướng tự học cho HS nhưng phần lớn là để HS tự học theo
      cách của cá nhân HS, còn việc định hướng tài liệu và hướng dẫn tự học, tự nghiên cứu
      dưới vai trò định hướng của thầy còn chưa thực sự thường xuyên, chưa trở thành một
      hướng giải quyết, một cách thức DH cụ thể, thức thời.
      Đối tượng khảo sát,
      thăm dò ý kiến
      Câu hỏi 4: Thầy cô ý thức như thế nào về việc tạo lập ngân
      hàng “đề mở” cho học sinh để phát huy năng lực viết sáng
      tạo cho học sinh?
      Phương án A:
      Rất cần thiết
      Phương án B:
      Cần thiết
      Phương án C:
      Không cần thiết
      SL % SL % SL %
    10. Cán bộ quản lý, giáo
      viên Ngữ văn trường
      THPT Trần Hưng Đạo
      01 7.6 % 02 15.3 % 10 76.9 %
    11. Giáo viên Ngữ văn
      trường THPT khác trên địa
      bàn tỉnh Nam Định
      0 0 % 02 6.4 % 29 93.5 %
      14
    12. Giáo viên Ngữ văn các
      trường THPT khác ngoài
      địa bàn tỉnh Nam Định
      0 0 % 01 16.6 % 05 83.3 %
      Câu hỏi khảo sát số 4 cho thấy: từ 76% đến trên 90% các thầy cô không quan
      tâm hoặc quan tâm rất ít đến việc tạo lập ngân hàng “đề mở” cho học sinh để phát huy
      năng lực viết sáng tạo cho học sinh. Vì thực tếcác thầy cô có ngân hàng câu hỏi nhưng
      chưa thực sự “mở” do phải bám sát định hướng đề thi QG và mục tiêu chất lượng của
      tổ nhóm chuyên môn.
      Đối tượng khảo sát, thăm dò
      ý kiến
      Câu hỏi 5: Thầy cô quan niệm như thế nào về việc
      thiết lập hồ sơ văn bản kiểm tra năng lực viết của học
      sinh qua các khóa học?
      Phương án A:
      Rất cần thiết
      Phương án B:
      Cần thiết
      Phương án C:
      Không cần thiết
      SL % SL % SL %
    13. Cán bộ quản lý, giáo viên
      Ngữ văn trường THPT Trần
      Hưng Đạo
      0 0% 02 15.3 % 11 84.6%
    14. Giáo viên Ngữ văn trường
      THPT khác trên địa bàn tỉnh
      Nam Định
      0 0 % 01 3.2 % 30 96.7 %
    15. Giáo viên Ngữ văn các trường
      THPT khác ngoài địa bàn tỉnh
      Nam Định
      0 0 % 01 16.6 % 05 83.3 %
      Câu hỏi khảo sát số 5 cho kết quả trên 80% GV tham gia khảo sát về việc thiết
      lập hồ sơ văn bản kiểm tra năng lực viết của học sinh qua các khóa học không quan
      tâm nhiều đến vấn đề này. Cũng có nghĩa những người làm thầy chúng ta đã bỏ qua
      một giải pháp rèn năng lực viết cho HS qua từng lời nhận xét để từ đó định hướng
      cách khắc phục hạn chế, phát huy điểm mạnh giúp khả năng viết của HS ngày một
      hoàn thiện hơn.
      Đối tượng khảo sát, thăm dò ý
      kiến
      Câu hỏi 6: Các thầy cô có chú trọng rèn luyện tư
      duy phản biện cho học sinh trong quá trình viết
      văn?
      Phương án A: Có Phương án B: Không
      SL % SL %
    16. Cán bộ quản lý, giáo viên
      Ngữ văn trường THPT Trần
      Hưng Đạo
      02 15.3 % 11 84.6 %
    17. Giáo viên Ngữ văn trường
      THPT khác trên địa bàn tỉnh
      Nam Định
      03 9.6 % 28 90.3 %
      15
    18. Giáo viên Ngữ văn các trường
      THPT khác ngoài địa bàn tỉnh
      Nam Định
      01 16.6 % 05 83.3 %
      Kết quả khảo sát đã chỉ ra một thức tế là việc rèn luyện tư duy phản biện cho
      học sinh trong quá trình viết văn chưa được chú trọng đúng mức, trên 80% GV tham
      gia khảo sát cho ý kiến đã không làm được điều đó.
      Đối tượng khảo sát, thăm dò ý
      kiến
      Câu hỏi 7: Các thầy cô có quan tâm đến việc hình
      thành năng lực liên tưởng, tưởng tượng cho học
      sinh trong quá trình dạy học sinh viết Văn tự sự?
      Phương án A: Có Phương án B: Không
      SL % SL %
    19. Cán bộ quản lý, giáo viên
      Ngữ văn trường THPT Trần
      Hưng Đạo
      01 7.6 % 12 92.3 %
    20. Giáo viên Ngữ văn trường
      THPT khác trên địa bàn tỉnh
      Nam Định
      02 6.4% 29 93.5 %
    21. Giáo viên Ngữ văn các
      trường THPT khác ngoài địa
      bàn tỉnh Nam Định
      01 16.6 % 05 83.3 %
      Kết quả khảo sát câu hỏi số 7 cho thấy, rất nhiều thầy cô chưa quan tâm việc
      hình thành tư duy sáng tạo qua liên tưởng, tưởng tượng trong viết Văn tự sự cho HS
      nên hạn chế chất văn, sự sáng tạo của bài viết.
      Đối tượng khảo sát,
      thăm dò ý kiến
      Câu hỏi 8: Các thầy cô quan niệm như thế nào về việc thực
      hành tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình tạo lập văn
      bản viết?
      Phương án A:
      Rất cần thiết
      Phương án B: Cần
      thiết
      Phương án C:
      Không cần thiết
      SL % SL % SL %
    22. Cán bộ quản lý,
      giáo viên Ngữ văn
      trường THPT Trần
      Hưng Đạo
      01 7.6 % 02 15.3 % 10 76.9 %
    23. Giáo viên Ngữ
      văn trường THPT
      khác trên địa bàn
      tỉnh Nam Định
      0 0 % 02 6.4% 29 93.5 %
    24. Giáo viên Ngữ
      văn các trường
      THPT khác ngoài địa
      bàn tỉnh Nam Định
      0 0 % 01 16.6 % 05 83.3 %
      16
      Với câu hỏi số 8, kết quả khảo sát cho thấy, rất nhiều thầy cô chưa chú tâm việc
      thực hành tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình tạo lập văn bản viết thậm chí
      cho rằng không cần thiết, thiên về lí thuyết mà nhẹ bài tập thực hành.
      Với nội dung câu hỏi số 9, dạng Trả lời ngắn: Các thầy cô có thể mạnh dạn đề
      xuất ít nhất 01 giải pháp phát triển năng lực viết cho học sinh mà các thầy cô thấy tâm
      đắc nhất? Nhóm tác giả đã nhận được ý kiến phản hồi về một số giải pháp Giáo viên
      thường sử dụng trong quá trình hướng dẫn HS tạo lập văn bản viết như: phương pháp
      đọc – chép truyền thống, hoàn thiện hệ thống luận điểm theo sơ đồ tư duy, đọc thêm tư
      liệu ngoài SGK, kiểm tra mức độ ghi nhớ – học thuộc văn mẫu của học sinh… Đây đều
      là nhóm giải pháp truyền thống, an toàn, phù hợp triển khai với mọi đối tượng học
      sinh. Những cách thức tiến hành nêu trên được đại đa số giáo viên Ngữ văn ở các
      trường THPT lực chọn thực hiện nhằm góp phần cải thiện và nâng cao điểm số kiểm
      tra đánh giá qua các bài kiểm tra thường xuyên/ định kỳ. Do việc đánh giá năng lực
      học tập bộ môn Ngữ văn hiện nay chủ yếu dừng lại ở việc kiểm t

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Giải hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

    SKKN Giải hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    BÁO CÁO SÁNG KIẾN
    I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
    Chúng ta đã biết rằng: Dạy học Toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ. Năng
    lực này sẽ giúp cho họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên, xã hội, bồi dưỡng thế
    giới quan duy vật biện chứng. Vì vậy dạy Toán không chỉ đơn thuần dạy cho học sinh nắm
    được kiến thức, những định lí Toán học. Điều quan trọng là dạy cho học sinh năng lực trí
    tuệ. Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong học tập.
    Trong quá trình dạy học môn Toán ở bậc THPT các bài toán về góc và khoảng cách
    trong hình học không gian chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình các lớp
    11, 12. Với nhiều bài toán hình học không gian ta phải thành thạo vẽ hình, tư duy hình và
    thậm chí còn phải dựng thêm hình. Đó là một vấn đề vất vả đối với cả giáo viên và học
    sinh. Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi tỉnh cho
    các em học sinh chúng tôi thấy việc giải quyết các bài toán hình học không gian đặc biệt
    là các bài toán tính : Góc và khoảng cách, thậm trí cả một số bài toán tính thể tích rất
    quan trọng đối với học sinh THPT, vì việc tính góc và khoảng cách, bài toán tính thể tích
    giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng vẽ hình, tư duy về hình học không gian, kỹ năng giải
    toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn. Làm tốt các
    bài toán về góc và khoảng cách, các bài toán thể tích trong hình học không gian học sinh
    được nâng cao tư duy và vận dụng để hiểu biết các nội dung khác trong chương trình toán
    THPT và trong thực tiễn cuộc sống.
    Tuy nhiên trong thực tế các bài toán về hình học không gian như : Tính góc giữa
    hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng
    cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hay một
    số bài toán về thể tích có thể dùng phương pháp tọa độ không gian. Để giải guyết bài toán
    này thì chỉ một số ít các em học sinh biết phương pháp này nhưng trình bày còn lúng túng,
    chưa gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn một số học sinh không có hướng giải quyết. Nguyên
    nhân do đâu ? Nguyên nhân chính là do phần góc và khoảng cách được trình bày ở SGK
    lớp 11. Tính góc và khoảng cách chỉ làm bằng phương pháp hình học không gian thuần
    túy. Đối với học sinh phần vẽ hình học không gian đã là một vấn đề. Tưởng tượng hình đã
    khó, tính góc và khoảng cách phần lớn là phải dựng thêm hình, đó là một vấn đề khó đối
    với học sinh. Trong chương trình SGK hình học lớp 12, học sinh biết sử dụng phương pháp
    tọa độ để tính góc, khoảng cách khi đã biết tọa độ điểm, toạ độ véctơ, biết phương trình
    đường thẳng, phương trình mặt phẳng. Tuy nhiên lượng bài tập sử dụng phương pháp tọa
    độ để tính góc và khoảng cách áp dụng cho bài hình học không gian thuần túy thì hầu như
    không có, hạn chế. Mặt khác những bài toán tính góc và khoảng cách sử dụng phương pháp
    tọa độ trong không gian ta thường không phải dựng thêm hình và cách giải độc đáo rễ hiểu.
    Để góp phần vào việc giải quyết các đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn sưu tầm, tập
    hợp, bổ xung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng viết thành
    đề tài: “ Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ không gian ”. Hy vọng
    5
    rằng với đề tài này sẽ giúp học sinh nhận biết, xử lý bài toán hình học không gian nhanh
    và thành thạo hơn.
    II.Mô tả giải pháp:
    1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến. Thực trạng của việc dạy giải bài
    toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ trong trường THPT hiện nay.
    Toán học là một trong những môn học khoa học, cơ bản mang tính trừu tượng,
    nhưng ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội,
    trong khoa học lý thuyết và trong khoa học ứng dụng. Toán học là môn khoa học giữ một
    vai trò quan trọng trong suốt bậc học THPT. Tuy nhiên nó là một môn học khó, khô khan
    và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình.
    Chính vì vậy đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình nội
    dung của SGK, nắm vững các phương pháp dạy học là một việc không thể thiếu. Để từ đó
    tìm ra các biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức toán học cho
    học sinh, công việc đó cần phải làm thường xuyên trong quá trình giảng dạy.
    Chủ đề hình học không gian được đề cập trong SGK hình học lớp 11 với số tiết là
    34 tiết, với thời lượng đó học sinh vừa làm quen với môn hình học không gian, nắm vững
    được các kiến thức cơ bản về hình học không gian. Học sinh tập cách vẽ các hình chóp,
    hình hộp, hình lăng trụ. Học sinh được học về: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc,
    góc và khoảng cách trong không gian. Học sinh đã biết được một số phương pháp giải một
    số bài toán hình học không gian như: Chứng minh song song, chứng minh vuông góc, tính
    góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng,
    tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
    nhau… biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.
    Trong SGK Hình học lớp 12 có giới thiệu chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian
    với số tiết tương đối nhiều, học sinh nắm được khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ điểm, tọa
    độ véc tơ, tích vô hướng của hai véc tơ, tích có hướng của hai véc tơ, phương trình mặt
    phẳng, phương trình đường thẳng, phương trình mặt cầu, các công thức khoảng cách:
    Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau;
    các công thức tính góc: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường
    thẳng và mặt phẳng và một số công thức thể tích.
    Tuy nhiên trong các đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia hiện nay các câu hỏi về góc
    và khoảng cách trong không gian, một số câu tính thể tích là một câu tương đối khó đối
    với học sinh và chủ yếu dùng được phương pháp tọa độ để giải. Thông thường bài tập trong
    SGK đưa ra đơn giản, lượng bài tập đưa ra sau mỗi bài học cũng rất hạn chế. Chính lẽ đó
    mà học sinh sử dụng phương pháp này một các máy móc hoặc chưa biết cách sử dụng.

    • Ưu điểm của phương pháp này:
    • Vì toàn bộ hình đã được số hóa, nên các em học sinh không có khả năng nhìn hình
      tốt vẫn có thể làm được bài.
      6
    • Đối với một số dạng bài rất khó khi giải bằng phương pháp không gian thuần túy
      thì khi được tọa độ hóa, bài toán trở nên vô cùng đơn giản, lời giải ngắn gọn dễ hiểu.
    • Rất hữu ích cho các em học sinh ôn thi trong thời gian ngắn (khoảng 3 đến 4 tháng)
    • Không bao giờ bị trừ điểm trình bày.
    • Nhược điểm:
    • Không phải bải toán nào cũng sử dụng được phương pháp này.
      Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ và so sánh hai phương pháp: Phương pháp tọa độ và
      phương pháp không gian thuần túy .
      Ví dụ 1: Cho hình chóp
      S.ABCD
      có đáy
      ABCD
      là hình thang cân
      AD
      //
      BC, AD 2a  ,
      BC CD a  
      . Biết
      SA ABCD ,SA 3a    
      . Gọi
       góc giữa hai đường thẳng
      SC
      và
      AD
      . Tính
      cos .
      A.
      3
      cos
      4
        . B.
      3
      cos
      3
        . C.
      5
      cos
      4
        . D.
      2
      cos
      3
        .
      Đối với bài này làm theo cách không gian thuần túy thì như sau:
      +) Ta có
      AD
      //
      BC
      nên góc giữa hai đường thẳng
      SC
      và
      AD
      là góc giữa hai
      đường thẳng
      SC
      và
      BC.
      +) Vì
      ABCD
      là hình thang cân nên
      AB CD a  
      . Gọi
      I
      là trung điểm của
      AD .
      Ta có:
      1
      AI BC AD
      2
      AI / / BC

         


      nên tứ giác
      AIBC
      là hình bình hành nên
      CI AB a   .
      7
      Tam giác
      ACD có
      1
      CI AD
      2

      nên tam giác
      ACD
      vuông tại
      C.
      Tam giác
      ACD
      vuông tại
      C
      nên :
       
      2 2 2 2 AC AD CD 2a a a 3      .
      Tam giác
      SAC
      vuông tại
      A
      nên ta có:
         
      2
      2 2 2 SC SA AC 3a a 3 2a 3      .
      Tam giác
      SAB
      vuông tại
      A
      nên:
       
      2 2 2 2 SB SA AB 3a a a 10      .
      +) Áp dụng định lí cosin trong tam giác
      SBC
      :
      2 2 2 SC BC SB 3 cosSCB
      2SC.BC 4
       
        .
      Vậy
      cosin
      góc giữa hai đường thẳng
      SC
      và
      AD bằng
      3
      4
      .
      Chọn đáo án A.
      Nếu làm bằng phương pháp tọa độ thì như sau:
      Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có:
      C 0;0;0 ,A a 3;0;0 ,D 0;a;0 ,S 0;0;3a        
      Suy ra:
       
      a 3 a SC 0;0; 3a ,AB ; ;0
      2 2
       
          
       
      .
      Ta có
       
      SC.AD 3
      cos cos SC,AD
      SC . AD 4
          .
      8
      Vậy
      3
      cos
      4
        .
      Chọn đáp án A.
      Qua ví dụ trên ta thấy nếu học sinh trình bày theo cách thứ hai vẫn đặc sắc và ngắn
      gọn hơn cách thứ nhất . Ưu điểm của cách thứ hai là học sinh không phải dựng thêm
      hình.
      Ví dụ 2: Cho hình chóp
      S.ABCD
      có đáy
      ABCD
      là hình thang cân,
      AD 2AB 2BC 2CD 2a    
      . Hai mặt phẳng
      SAB và
      SAD
      cùng vuông góc với
      mặt phẳng
      ABCD
      . Gọi
      M, N
      lần lượt là trung điểm của
      SB
      và
      CD
      . Tính cosin góc
      giữa
      MN
      và
      SAC
      , biết thể tích khối chóp
      S.ABCD
      bằng
      3
      a 3
      4
      .
      A.
      5
      10
      . B.
      3 310
      20
      . C.
      310
      20
      . D.
      3 5
      10
      .
      Lời giải
      Ví dụ trên nếu làm theo phương pháp hình học không gian thuần túy như sau:
      Gọi
      
      là mp đi qua
      MN và song song với mp
      SAD . Khi đó
      
      cắt
      AB tại
      P
      , cắt
      SC
      tại
      Q
      , cắt
      AC tại
      K
      . Gọi
      I là giao điểm của
      MN và
      QK I SAC   .
      Suy ra:
      P,Q,K
      lần lượt là trung điểm của
      AB,SC
      và
      AC.
      Lại có:
      ABCD
      là hình thang cân có
      AD 2AB 2BC 2a         AD 2a,AB BC CD a .
      3
      ABCD
      a 3 3a 3 CH ;S
      2 4
         .
      Ta có:
      3 2
      S.ABCD ABCD
      1 a 3 1 a 3 V SA.S SA. SA a
      3 4 3 4
           .
      1 a MP SA
      2 2
         và
      3a NP
      2
       .
      9
      Xét tam giác
      MNP
      vuông tại
      P
      :
      2 2 a 3a a 10 MN
      2 2 2
         
                
      .
      MP,KQ
      lần lượt là đường trung bình của các tam giác
      SAB, SAC MP
      //
      KQ
      //
      SA.
      KN
      là đường trung bình của tam giác
      1
      ACD KN AD a
      2
         .
      Xét tam giác
      AHC vuông tại
      H
      :
      2 2
      a 3 3a a 3 AC a 3 KC
      2 2 2
         
                  
      .
      Suy ra tam giác
      KNC
      vuông tại
      C C
      là hình chiếu vuông góc của
      N
      lên
      SAC.

      góc giữa
      MN và
      SAC
      là góc
      NIC .
      Khi đó:
      IN KN 2 2 2 a 10 a 10 IN MN .
      MN NP 3 3 3 2 3
            .
      Xét tam giác
      NIC
      vuông tại :
      2 2
      a a 10 a 10 a a 31 NC ,IN IC
      2 3 3 2 6
         
                   
      .
      IC a 31 a 10 310 cos NIC :
      IN 6 3 20
          .
      Chọn đáp án C.
      Đứng trước ví dụ này học sinh vô cùng lúng túng về phần vẽ hình. Học sinh hầu như
      không xác định được góc như thế nào. Do đó sử dụng phương pháp tọa độ thì bài toán
      sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Cụ thể làm bằng phương pháp tọa độ không gian thì như
      sau:
      Vì
      ABCD
      là hình thang cân có
      AD 2a
      AD 2AB 2BC 2CD 2a
      AB BC CD a
       
           
         
      .
      2
      ABCD
      a 3 a 2a a 3 3a 3 CH ;S .
      2 2 2 4

          .
      Nên
      3 2
      S.ABCD ABCD
      1 a 3 1 a 3 V SA.S SA. SA a
      3 4 3 4
           .
      Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ

      C
      10
           
      a 3 a a 3 a a 3 3a a A 0; a;0 ,B ; ;0 ,C ; ;0 ,D 0;a;0 ,S 0; a;a ,M ; ; ,
      2 2 2 2 4 4 2
           
               
           
      a 3 3a N ; ;0
      4 4
         
       
      .
      Ta có :
      3a a MN 0; ;
      2 2
       
           
      . Chọn
      u 0;3; 1 1
         
      cùng phương với
      MN .

    AS 0;0;a    . Chọn
    u 0;0;1 2
      
    cùng phương với
    AS .

    a 3 3a AC ; ;0
    2 2
     
      
     
    . Chọn
    u 3;3;0 3
      
    cùng phương với
    AC .
    Mặt phẳng
    SAC
    có VTPT là :
    n u ,u 3; 3;0 2 3         
    .
    Gọi
     là góc tạo bởi đường thẳng
    MN
    và mặt phẳng
    SAC .
    Ta có
     
    1
    1
    1
    u .n 3 10 310 sin cos u ,n cos
    u . n 20 20
           .
    Chọn đáp án C.
    Qua hai cách trình bày trên thì cách thứ nhất hầu như học sinh không thể dựng được
    hình do đó phần lớn học sinh không làm được. Nhưng làm theo cách thứ hai thì học
    sinh không phải dựng thêm hình do đó cách thứ hai vẫn đặc sắc hơn, dễ hiểu hơn
    nhiều so với cách thứ nhất.
    11
    Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều
    ABC.A’B’C’
    có độ dài cạnh đáy bằng
    a
    . Góc
    giữa
    A’BC và
    ABC
    bằng
    0
    60
    . Gọi
    M, N
    là trung điểm của
    BC và
    CC’
    . Tính
    khoảng cách giữa
    A ‘M và
    AN .
    A.
    6a 97
    97
    . B.
    3a 97
    97
    C.
    6a 65
    65
    . D.
    a 65
    65
    .
    Lời giải
    Cách giải theo hình học cổ điển:
    Kẻ
    A ‘E
    //
    AN E AC    AN
    //
    A’ME.
        d A’M,AN d AN, A’ME d A, A’ME AK         .
    Có
    2 2 2
    1 1 1
    AK A’A AH
      .

    • Có góc giữa
      A’BC
      và
      ABC
      là
      0 0 3a A’MA 60 A’A AM.tan 60
      2
          .
    • Dễ thấy
      AE A’F 2AC  
      , với
      F A’F AC   .
      AME
      AME
      1 2S S AH.EM AH
      2 EM

         
      ; mà
      2
      AME MEC ABC
      2 2 1 a 3 S S .3. S
      3 3 2 4      
      .
      2 2 0 a 31 a 53 EM AE AM 2AE.AM.cos150 AH
      2 31
            .
      Vậy
      2 2 2 2
      1 1 1 97
      AK A’A AH 9a
         
      3a 97 AK .
      97

      Chọn B
      Đối với ví dụ này thì học sinh giỏi, học sinh khá cứng mới có thể dựng được hình và
      có thể làm được. Vấn đề dựng hình quả là khó đối với học sinh bên cạnh đó lại phải
      hình dựng hình và tính toán. Trong khi đó nếu làm bằng phương pháp tọa độ trong
      không gian thì như sau:
      12
      Do
      CB
      vuông góc với mặt phẳng
      A’MA nên góc giữa 2 mặt phẳng
      ABC
      và
      A’BC là góc
      A’MA bằng
      0
      60 .
      Trong tam giác vuông
      A’MA
      :
      0 AA’ a 3 3a tan 60 AA’ . 3
      AM 2 2
          .
      Trong mặt phẳng
      ABC
      kẻ đường thẳng
      Ay song song với
      BC
      , khi đó 3
      đường
      AM, Ay , A ‘A
      đôi một vuông góc với nhau.
      Xét hệ tọa độ Oxy sao cho:
      O A,AM Ox,Oy  
      //
      BC,AA’ Oz 
      ( hình vẽ).
      Ta có:
       
      3a a 3 a 3 a 3a A 0;0;0 ,A’ 0;0; ,M ;0;0 , N ; ;
      2 2 2 2 4
                       
      .
      Suy ra:
      2 2 2 a 3 3a a 3 a 3a 3a 9a 3 a 3 A’M ;0; ,AN ; ; A’M,AN ; ;
      2 2 2 2 4 4 8 4
           
                           
      .
      Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta có:
       
      A’M,AN .AM 3a 97 d A’M,AN
      A’M,AN 97
         
           
      .
      Chọn B
      Qua hai các trên ta thấy cách thứ hai vẫn dễ làm hơn, không phải dựng thêm hình.
    • Qua các ví dụ trên ta thấy nếu giải quyết bài toán bằng phương pháp tọa độ không
      gian thì bài toán trở nên đơn giản và lời giải ngắn gọn hơn.
      13
      Ví dụ 4: Cho hình lập phương
      ABCD.A’B’C’D’
      có thể tích bằng
      V
      . Gọi
      M, N,P
      lần
      lượt là trung điểm của các cạnh
      AM,A’C’,BB’
      . Tính thể tích khối tứ diện
      CMNP.
      A.
      5
      V
      48
      . B.
      1
      V
      8
      . C.
      7
      V
      48
      . D.
      1
      V
      6
      .
      Lời giải
      Chọn A
      Giả sử hình lập phương đã cho có cạnh bằng
      1
      . Khi đó
      V 1 .
      Chọn hệ trục
      Oxyz
      như hình vẽ, A là gốc toạ độ, các cạnh
      AB, AD, AA’
      nằm
      trên các trục
      Ox,Oy,Oz .
      Khi đó :
               
      1
      C 1;1;0 ,B 1;0;0 ,A’ 0;0;1 ,B’ 1;0;1 ,C 1;1;1 ,M ;0;0 ,
      2
           
      1 1 N ; ;1 ,
      2 2
           
      1
      P 1;0;
      2
           
      ;
      Ta có
      1 1 1 1 CM ; 1;0 ,CN ; ;1 ,CP 0; 1;
      2 2 2 2
           
                         
      .
      Khi đó
      CMNP CMNP
      1 5 5 V CM,CN .CP V V
      6 48 48
             
      .
      Cách khác :
      14
      Goi
      a
      Q PM AA ‘ AQ PB
      2
           .
      Ta có :
      P.NQC NQC NQC NQC   
      1 1 a 2 V d P, NQC .S B’ N.S .S
      3 3 6
        
        
      .

     
    2
    A’C’CQ
    C’C A ‘Q A ‘C’ 5a 2 S
    2 4

      .

    2 2 2 2
    NQC A’C’CQ A’NQ NCC’
    5a 2 3a 2 a 2 5a 2 S S S S
    4 5 4 8   
           .

    2 3
    P.NQC
    a 2 5a 2 5a V .
    6 8 24
       .
    Ta có
    3
    P.MNC
    P.MNC
    P.QNC
    V PM 1 5a 5 V V
    V PQ 2 48 48
         .
    Nếu làm theo cách thứ hai thì chỉ học sinh rất khá về hình học không gian
    mói có thể làm được, còn cách thứ nhất học sinh chỉ cần đọc được toạ độ các
    đỉnh là tính được thể tích. Do đó cách thứ nhất sẽ vận đụng được cho nhiều
    đối tượng học sinh hơn.

    • Từ hai cách trình bày của các ví dụ trên, ta thấy trình bày theo cách 2 vẫn ngắn gọn
      hơn và độc đáo hơn.
      Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề
      cần thiết, giúp các em có kỹ năng, kỹ sảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp tọa độ
      hóa các bài hình học không gian. Đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng
      và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.
      Đứng trước thực tế học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 cần nắm chắc các
      kiến thức về tọa độ không gian và phương pháp giải khi gặp các bài toán về góc, khoảng
      15
      cách , bài toán thể tích . Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến này mục đích hỗ trợ cho các em
      học sinh có được hệ thống các bài tập giải các bài hình không gian bằng phương pháp tọa
      độ không gian, đồng thời giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh
      ôn thi tốt nghiệp THPT và thi học sinh giỏi.
      Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến tôi chỉ đưa ra góc, khoảng cách , thể tích
      giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian.
      2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
      2.1 Cơ sở lý thuyết: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
      KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
      A. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
      A1. Hệ tọa độ
      Trong không gian, xét ba trục
      x Ox ‘
      ;
      y Oy ‘
      ;
      z Oz ‘
      vuông góc với nhau từng đôi một.
      Gọi
      i j k , ,
      lần lượt là các vectơ đơn vị các trục
      x Ox ‘
      ;
      y Oy ‘
      ;
      z Oz ‘
      . Hệ ba trục như vậy
      gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc
      Oxyz
      trong không gian hay hệ tọa độ
      Oxyz .
      Điểm
      O
      được gọi là gốc tọa độ.
      Chú ý:
           
      2 2 2
      i j k  
      và
      i j j k k i . . . 0    .
      A2. Tọa độ của một điểm
      a) Định nghĩa:
      M x y z OM x i y j z k  ; ; . . .     
      (
      x
      : hoành độ,
      y
      : tung độ,
      z
      : cao độ)
      Chú ý: 
      M Oxy z M Oyz x M Ozx y            0, 0, 0.    

      M Ox y z M Oy z x M Oz x y             0, 0, 0. .
      b) Tính chất: Cho
      A x y z B x y z  A A A B B B ; ; , ; ;   

      AB x x y y z z      B A B A B A ; ; .

           
      2 2 2 AB AB x x y y z z        B A B A B A
      .
       Toạ độ trung điểm
      M
      của đoạn thẳng
      AB
      :
      ; ; .
      2 2 2
      A B A B A B x x y y z z M
              
       Toạ độ trọng tâm
      G
      của tam giác
      G
      :
      16
      ; ;
      3 3 3
      A B C A B C A B C x x x y y y z z z G
                 
      .
      A3. Tọa độ vectơ
      Định nghĩa:
      u x y z u x i y j z k       ; ; . . .  .
      Nhận xét:
      M x y z OM x y z  ; ; ; ;     .
      B. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
      Định lý: Trong không gian
      Oxy
      cho
      a a a a   1 2 3 ; ; 
      và
      b b b b   1 2 3 ; ; .
       a b a b a b a b       1 1 2 2 3 3 ; ; .

      ka k a a a ka ka ka    1 2 3 1 2 3 ; ; ; ;   
      ( với
      k
      là hằng số).
      Hệ quả: Trong không gian
      Oxyz
      cho
      a a a a b b b b k R     1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ; ;   

      1 1
      2 2
      3 3
      a b
      a b a b
      a b
       

         

       

      0 0;0;0 ; 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ;       i j k      

      a
      cùng phương
      b b a kb k R      0  
       
      1 1
      1 2 3
      2 2 1 2 3
      1 2 3
      3 3
      , , , 0
      a kb
      a a a a kb b b b
      b b b
      a kb
       
             



       Cho hai điểm
      A x y z x y z  A A A B B B ; ; ; ;  
      thì:

    • AB OB OA x x y y z z        B A B A B A ; ;  .
    • Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
      ; ;
      2 2 2
      A B A B A B x x y y z z M
              
      .
      17
      C. TÍCH VÔ HƯỚNG
      C1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
      Định lý: Trong không gian
      Oxyz
      , tích vô hướng của hai vectơ
      a a a a   1 2 3 , , 
      và
      b b b b   1 2 3 ; ; 
      được xác định bởi:
      1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b . . . .    .
      C2. Ứng dụng

      1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b      . . . 0 .

      222    1 2 3 a a a a .

      2
      222    1 2 3 a a a a .

       
      1 1 2 2 3 3
      2 2 2 2 2 2
      1 2 3 1 2 3
      . . . .
      cos ,
      .
       
       
         
      a b a b a b a b a b
      a b a a a b b b
      (với
      a b, 0 
      ).
      D. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
      D1. Định nghĩa
      Trong không gian
      Oxyz
      cho hai vectơ
      a a a a   1 2 3 , , 
      và
      b b b b   1 2 3 ; ; 
      . Tích có hướng
      của hai vectơ
      a
      và
      b
      kí hiệu là
        ,
        a b
      , được xác định bởi :
       
      2 3 3 1 1 2
      2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
      2 3 3 1 1 2
      , ; ; ; ;
                      
      a a a a a a
      a b a b a b a b a b a b a b
      b b b b b b
      .
      Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
      D2. Tính chất

          , ; ,       a b a a b b .

          , ,
            a b b a .

            , ; , ; ,          i j k j k i i k j .

      , . .sin ,  
        
        a b a b a b
      (Chương trình nâng cao)
      D3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
      18
       Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
      ab,
      và
      c
      đồng phẳng
          , . 0   a b c
      .
       Diện tích hình bình hành
      ABCD
      :    ,
        ABCD S AB AD .
       Diện tích tam giác
      ABC
      :
      1
      ,
      2

           ABC S AB AC .
       Thể tích khối hộp
      ABCD A B C D . ‘ ‘ ‘ ‘
      :
      . ‘ ‘ ‘ ‘
         , . ‘   V AB AD AA ABCD A B C D
      .
       Thể tích tứ diện
      ABCD
      :
      1
      , .
      6
           V AB AC AD ABCD
      .
      Chú ý:
      – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng
      vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
      – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể
      tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không
      đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
      PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
      A. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
      A1. Định nghĩa
      Cho mặt phẳng
      
      . Nếu vectơ
      n  0
      và có giá vuông góc với mặt phẳng
      
      thì
      n
      là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
      .
      A2. Chú ý:
       Nếu
      n
      là một VTPT của mặt phẳng
      
      thì
      kn. ( 0) k 
      cũng là một VTPT
      của mặt phẳng
      .
       Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một
      VTPT của nó.
      19
       Nếu
      uv,
      có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
      
      thì
         ,
        n u v
      là
      một VTPT của
      .
      B. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
      B1. Định nghĩa
      Phương trình:
      Ax By Cz D     0
      với
      2 2 2 A B C    0
      được gọi là phương trình
      tổng quát của mặt phẳng.
      Nhận xét:
       Nếu mặt phẳng
      
      có phương trình
      Ax By Cz D     0
      thì nó có một
      VTPT là n A B C   ; ; .
       Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
      M x y z  0 0 0 ; ; 
      và nhận vectơ
      n A B C   ; ; 
      khác
      0
      là VTPT là:
      A x x B y y C z z        0 0 0      0.
      B2. Các trường hợp riêng
      Xét phương trình mặt phẳng

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

    SKKN Kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến kinh nghiệm
    Trong môn Toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai
    trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng
    giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của
    con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính
    sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh.
    Đề thi học sinh giỏi và đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong những năm
    gần đây thường xuyên có các câu hỏi tính khoảng cách ở loại các cấp độ tư duy,
    đặc biệt có các câu hỏi vận dụng, vận dụng cao thuộc phần kiến thức này nhằm
    phân loại học sinh. Bản thân chúng tôi là một trong các giáo viên thường xuyên
    được nhà trường giao nhiệm vụ dạy ôn thi tốt nghiệp THPT và bồi dưỡng học sinh
    giỏi môn Toán lớp 11, 12 nên chúng tôi suy nghĩ mình cần phải trang bị cho học
    sinh của mình một số các phương pháp nhất định để giúp các em có thể giải quyết
    được các bài toán từ dễ đến khó ở dạng toán đã nêu ở trên. Khi đứng trước một bài
    toán đó học sinh cần phải được cung cấp nhiều phương pháp giải toán khác nhau và
    việc phát hiện, sử dụng phương pháp cụ thể nào là một vấn đề vô cùng quan trọng
    để dẫn tới thành công nhanh. Vì vậy chúng tôi đã đưa ra sáng kiến “KỸ NĂNG
    GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”
    này nhằm mục đích: Góp phần nâng cao chất lượng phân môn hình học không
    gian lớp 11, 12 nói chung và phần khoảng cách nói riêng. Phát huy tính chủ
    động, tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời giúp học sinh giải các bài toán
    tính khoảng cách dễ dàng hơn, nhanh hơn và hiệu quả hơn. Qua đó giúp học
    sinh tự tin và yêu thích môn hình học không gian hơn.
    II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

    1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
      Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về
      tính khoảng cách trong hình học không gian các em học sinh không biết vẽ hình,
      còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách
      giải. Thưc t ̣ ế khi day ch ̣ ủ đề này chúng tôi thấy khi găp c ̣ ác bài toán dạng này đa số
      2
      các em đều chon b ̣ ừa đáp án hoăc ḅ ỏ qua. Môt ph ̣ ần do các em chưa có được cách
      nhìn, phương pháp cụ thể, hơn nữa lai ph ̣ ải có tư duy tổng hợp các phần kiến thức từ
      hình học phẳng đến hình học không gian; từ quan hệ hệ song song đến quan hệ
      vuông góc và phải có khả năng phân tích và tổng hợp các kiến thức với nhau. Từ
      những thưc t ̣ ế đó chúng tôi thấy rằng để các em không cảm thấy sợbài tâp̣ dang̣ này
      chúng tôi đã xây dưng ch ̣ ủ đề day ḥ oc ̣ “Hình học không gian” với trọng tâm là hình
      thành cho các em các kỹ năng, phương pháp giải các bài toán khoảng cách nhằm
      giúp các em từng bước giải quyết tốt các bài tâp ṇ ày trên cơ sở xây dưng ̣ cho các em
      các kiến thức nền tảng cần thiết và góp phần đạt kết quả cao trong các kỳ thi HSG
      và tốt nghiệp THPT.
    2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến
      Xuất phát từ thực tế trên, khi dạy chủ đề này tôi chia thành 9 dạng toán:
      DẠNG 1. TÍNH KHOẢNG CÁCH DỰA VÀO BÀI TOÁN CƠ BẢN
      DẠNG 2. TÍNH KHOẢNG CÁCH DỰA VÀO BÀI TOÁN CƠ BẢN KẾT HỢP
      QUY ĐIỂM
      DẠNG 3. XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐỂ ĐƯA VỀ BÀI TOÁN CƠ
      BẢN
      DẠNG 4. TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO
      NHAU
      DẠNG 5. TẠO RA MÔ HÌNH MỚI KẾT HỢP QUY ĐIỂM ĐƯA VỀ BÀI
      TOÁN CƠ BẢN
      DẠNG 6. TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍCH CHẤT
      CỦA TỨ DIỆN VUÔNG.
      DẠNG 7. TÍNH KHOẢNG CÁCH CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG
      GIAN TỔNG HỢP BẰNG PHÉP TỌA ĐỘ HÓA.
      DẠNG 8. TÍNH KHOẢNG CÁCH CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG
      GIAN TỔNG HỢP BẰNG CÁCH DỰA VÀO CÔNG THỨC TÍNH THỂ
      TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN.
      3
      DẠNG 9. TÍNH KHOẢNG CÁCH CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG
      GIAN TỔNG HỢP BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ
      HOẶC KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ.
      NỘI DUNG SÁNG KIẾN:
      CƠ SỞ LÝ THUYẾT
    3. Các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp bao gồm:
      Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm
      đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; khoảng cách
      giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng
      chéo nhau.
    4. Bài toán trọng tâm và cốt lõi nhất của bài toán khoảng cách của hình học
      không gian tổng hợp mà học sinh cần thành thạo là: Khoảng cách từ một
      điểm đến một mặt phẳng.
    5. Các bài toán tính: ‘‘ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; Khoảng
      cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; Khoảng cách giữa hai
      đường thẳng chéo nhau ” thường được quy về bài toán tính “ Khoảng
      cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.
    6. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm I đến một mặt phẳng (P) nếu thực hiện
      bằng phương pháp trực tiếp thì bao gồm các thao tác sau đây:
      +) Dựng được đường vuông góc IH ( H thuộc mp(P) ).
      +) Dựa vào giả thiết của bài toán tính được độ dài đoạn IH.
      +) Kết quả: d(I,(P)) = IH.
    7. Việc dựng đường vuông góc IH theo lí thuyết thì ta luôn thực hiện được,
      nhưng trong qua trình thực hành thì cần đưa ra cách dựng hợp lí để tạo ra sự
      thuận lợi cho việc tính độ dài đoạn IH sau này. Muốn vậy, học sinh cần phải
      thành thạo việc giải bài toán “cơ bản” của khoảng cách sau đây.
      4
    8. Bài toán cơ bản: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt
      phẳng (ABC). Hãy tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A đến mặt
      phẳng (SBC).
      (khoảng cách từ chân đường cao đến mặt đối diện)
      Ba đặc điểm bài toán cơ bản để học sinh dễ nhận biết và ghi nhớ:
      +) Đặc điểm 1: Là hình chóp có đáy là tam giác.
      +) Đặc điểm 2: Có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC).
      +) Đặc điểm 3: Tính khoảng cách từ A (là chân đường vuông góc) đến mặt
      phẳng đối diện (SBC).
    9. Cho học sinh nhận biết dấu hiệu để giải nhanh chóng bài toán “CƠ
      BẢN” bằng cách quan sát tam giác ABC
       Dấu hiệu 1: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại B thì dựng ngay
      AH SB (H SB),  
      rồi chứng minh
      AH (SBC). 
      Khi đó
      d(A,(SBC)) = AH.

    A
    C
    B
    S
    H
    C
    B
    A
    S
    5
     Dấu hiệu 2: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại C thì dựng
    AH SC (H SC)  
    , rồi chứng minh
    AH (SBC). 
    Khi đó
    d(A,(SBC) = AH.

     Dấu hiệu 3: Nếu phát hiện thấy tam giác không vuông tại B và cũng không
    vuông tại C thì dựng liên tiếp
    AK BC (K BC); AH SK (H SK)    
    rồi
    chứng minh
    AH ( SBC). 
    Khi đó
    d(A,(SBC)) = AH.
    (Các góc B, C nhọn)
    H
    C
    B
    A
    S
    K
    H
    C
    B
    A
    S
    6
    (Góc B tù)

    1. Trong quá trình thực hành giải toán ta lại thường gặp phải bài toán tính
      khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhưng điểm đó lại không
      phải là chân đường vuông góc như “ bài toán cơ bản”.Tức: điểm đó
      không phải là điểm thuận lợi. Khi đó ta hãy thực hiện động tác quy việc
      làm đó về việc tính khoảng cách của một điểm thuận lợi hơn mà ta
      thường nói nó là động tác “quy lạ về quen” với các kết quả quy điểm
      quan trọng như sau:
       Kết quả 1: Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) thì
      d(A,(P)) = d(B,(P)).
      H
      K
      C
      B
      A
      S
      P
      H K
      A B
      7
       Kết quả 2: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng thẳng AB và đoạn thẳng AB
      có đầu mút B thuộc (P) thì
      1
      d(M,(P)) = d(A,(P)) d(A,(P)) = 2d(M,(P)).
      2

       Kết quả 3: Nếu đoạn thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại trung điểm M của AB thì
      d(A,(P)) = d(B,(P)).

     Kết quả 4: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I thì dù hai điểm
    A, B cùng phía (H.1) hay khác phía (H.2) so với mp(P) thì áp dụng định lý
    Ta- lét ta luôn có:
    d(A,(P)) IA
    = .
    d(B,(P)) IB
    Nhấn mạnh rằng đây là trường hợp tổng
    quát của các trường hợp đã xét ở trên.
    K
    P
    H
    M
    B
    A
    P
    H K
    M
    B
    A
    8
    H.1 – A, B cùng phía so với (P) H.2 – A, B khác phía so với (P)
    MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍNH KHOẢNG CÁCH
    DẠNG 1. TÍNH KHOẢNG CÁCH DỰA VÀO BÀI TOÁN CƠ BẢN
     Bài toán cơ bản: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt
    phẳng (ABC). Hãy tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A đến mặt
    phẳng (SBC).
    (khoảng cách từ chân đường cao đến mặt đối diện)
    Ba đặc điểm bài toán cơ bản để học sinh dễ nhận biết và ghi nhớ:
    +) Đặc điểm 1: Là hình chóp có đáy là tam giác.
    +) Đặc điểm 2: Có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). A
    H
    P
    B
    I K
    K I
    B
    P
    H
    A
    A
    C
    B
    S
    9
    +) Đặc điểm 3: Tính khoảng cách từ A (là chân đường vuông góc) đến mặt
    phẳng đối diện (SBC).
     Cho học sinh nhận biết dấu hiệu để giải nhanh chóng bài toán “CƠ
    BẢN” bằng cách quan sát tam giác ABC
     Dấu hiệu 1: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại B thì dựng ngay
    AH SB (H SB),  
    rồi chứng minh
    AH (SBC). 
    Khi đó
    d(A,(SBC)) = AH.

     Dấu hiệu 2: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại C thì dựng
    AH SC (H SC)  
    , rồi chứng minh
    AH (SBC). 
    Khi đó
    d(A,(SBC) = AH.

     Dấu hiệu 3: Nếu phát hiện thấy tam giác không vuông tại B và cũng không
    vuông tại C thì dựng liên tiếp
    AK BC (K BC); AH SK (H SK)    
    rồi
    chứng minh
    AH ( SBC). 
    Khi đó
    d(A,(SBC)) = AH. H
    C
    B
    A
    S
    H
    C
    B
    A
    S
    10
    (Các góc B, C nhọn)
    (Góc B tù)
    Ví dụ 1. (Đề thi THPT QG năm 2018 mã đề 101) Cho hình chóp
    S.ABC
    có đáy là
    tam giác vuông đỉnh
    B, AB a  , SA
    vuông góc với mặt phẳng đáy và
    SA a  2 .
    Khoảng cách từ
    A
    đến mặt phẳng
    SBC
    bằng
    A.
    2 5
    5
    a
    . B.
    5
    3
    a
    . C.
    2 2
    3
    a
    . D.
    5
    5
    a
    .
    Lời giải
    Chọn A
    K
    H
    C
    B
    A
    S
    H
    K
    C
    B
    A
    S
    11
    *) Ta có
     
    BC AB
    BC SAB
    BC SA
     
      
     
    .
    *) Kẻ
    AH SB 
    . Khi đó
    AH BC    AH SBC  
     AH
    là khoảng cách từ
    A
    đến mặt phẳng
    SBC.
    *) Ta có
    2 2 2 2 2 2
    1 1 1 1 1 5
    AH SA AB a a a 4 4
        
    2
    2 4 2 5
    5 5
    a a
        AH AH .
    Ví dụ 2. (Đề thi THPT QG năm 2018 mã đề 103) Cho hình chóp
    S.ABCD
    có đáy
    là hình vuông cạnh
    3a , SA
    vuông góc với mặt phẳng đáy và
    SA a  . Khoảng cách
    từ A đến mặt phẳng
    SBC
    bằng
    A.
    6
    6
    a
    . B.
    3
    3
    a
    . C.
    5
    3
    a
    . D.
    3
    2
    a
    .
    Lời giải
    Chọn D
    A
    C
    B
    S
    H
    12
    *) Ta có:
    BC AB
    BC SA
     

     
     BC SAB   
       
       
    SAB SBC
    SAB SBC SB
     
       
    *) Trong mặt phẳng
    SAB
    : Kẻ
    AH SB   AH d A; SBC    
    2 2 2
    1 1 1
    AH SA AB
      2 2
    1 1
    a a3
      2
    4
    3a
     .
       
    3
    2
    a
    d A; SBC AH   .
    Ví dụ 3. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2019) Cho hình chóp
    S.ABC
    có đáy
    là tam giác vuông tại
    A, AB a  , AC a  3, SA
    vuông góc với mặt phẳng đáy và
    SA a  2
    . Khoảng cách từ điểm
    A
    đến mặt phẳng
    ( SBC )
    bằng
    A.
    57
    19
    a
    . B.
    2 57
    19
    a
    . C.
    2 3
    19
    a
    . D.
    2 38
    19
    a
    .
    Lời giải
    Chọn B
    A B
    D C
    S
    H
    13
    *) Ta có
    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 19
    AK AH AS AB AC AS a a a a 3 4 12
             .
    Suy ra
    2 3
    19
    a
    AK 
    hay
    2 57
    19
    a
    d( A,( SBC ))  .
    Nhận xét. Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:
    Cho tứ diện
    OABC
    có
    OA, OB, OC
    đôi một vuông góc với nhau và
    H
    là
    hình chiếu của
    O
    lên mặt phẳng
     ABC
    . Khi đó
    2 2 2 2
    1 1 1 1
    OH OA OB OC
       .
    Ví dụ 4. (Hùng Vương – Bình Phước năm 2019) Cho hình chóp tứ giác đều
    S.ABCD
    có cạnh đáy bằng
    a
    và chiều cao bằng
    a 2
    . Tính khoảng cách
    d
    từ tâm
    O
    của đáy
    ABCD
    đến một mặt bên theo
    a .
    A.
    2 5
    3
    a
    d  . B.
    3
    2
    a
    d  . C.
    5
    2
    a
    d  . D.
    2
    3
    a
    d  .
    Lời giải
    Chọn D
    A
    C
    B
    S
    H
    K
    14
    *)
    S.ABCD
    là hình chóp tứ giác đều nên
    ABCD
    là hình vuông và
    SO ABCD  .
    *) Vẽ
    OH
    vuông góc với
    CD
    tại
    H
    thì
    H
    là trung điểm
    CD,
    2
    a
    OH  .
    *) Dễ thấy
    CD SOH SCD SOH         
    nên kẻ
    OK
    vuông góc với
    SH
    tại
    K
    thì
    OK SCD    d O, SCD     OK .
    *) Tam giác vuông
    SOH
    có
    OK
    là đường cao nên
    2 2 2
    2
    2
    2 2
    3
    2
    4
    a
    a . OS.OH a OK
    OS OH a
    a
      


    .
    Vậy
      
    2
    3
    a
    d O, SCD . 
    Ví dụ 5. (Chuyên Sơn La năm 2019) Cho hình chóp
    S.ABC
    có đáy
    ABC
    là tam
    giác đều cạnh
    a , SA a 
    và
    SA
    vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm
    A
    đến mặt phẳng
    SBC
    bằng
    A.
    2
    2
    a
    . B.
    3
    7
    a
    . C.
    21
    7
    a
    . D.
    15
    5
    a
    .
    O
    A D
    B C
    S
    H
    K
    15
    Lời giải
    Chọn C
    *) Gọi
    M
    là trung điểm
    BC
    . Kẻ
    AH SM 
    tại
    H .
    *) Ta có
    AM BC 
    và
    SA BC 
    nên
    BC SAM      BC AH 1 .
    Mà
    AH SM  2
    . Từ
    1
    và
    2
    suy ra
    AH SBC  .
    Do đó
    d A, SBC AH     .
    *) Xét tam giác
    SAM
    vuông tại
    A
    , có
    2 2 2
    1 1 1
    AH AM AS
     
    2 2
    1 1
    3
    2
    a a
     
         
    2
    7
    3a

    3
    7
      AH a 21
    7
    a
     .
    DẠNG 2. TÍNH KHOẢNG CÁCH DỰA VÀO BÀI TOÁN CƠ BẢN KẾT
    HỢP QUY ĐIỂM
     Trong quá trình thực hành giải toán ta lại thường gặp phải bài toán tính
    khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhưng điểm đó lại không
    phải là chân đường vuông góc như “ bài toán cơ bản”.Tức: điểm đó
    không phải là điểm thuận lợi. Khi đó ta hãy thực hiện động tác quy việc
    A
    C
    B
    S
    M
    H
    16
    làm đó về việc tính khoảng cách của một điểm thuận lợi hơn mà ta
    thường nói nó là động tác “quy lạ về quen” với các kết quả quy điểm
    quan trọng như sau:
     Kết quả 1: Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) thì
    d(A,(P)) = d(B,(P)).
     Kết quả 2: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng thẳng AB và đoạn thẳng AB
    có đầu mút B thuộc (P) thì
    1
    d(M,(P)) = d(A,(P)) d(A,(P)) = 2d(M,(P)).
    2

     Kết quả 3: Nếu đoạn thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại trung điểm M của AB thì
    d(A,(P)) = d(B,(P)).

    P
    H K
    A B
    K
    P
    H
    M
    B
    A
    17
     Kết quả 4: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I thì dù hai điểm
    A, B cùng phía hay khác phía so với mp(P) thì áp dụng định lý Ta- lét ta luôn
    có:
    d(A,(P)) IA
    = .
    d(B,(P)) IB
    Nhấn mạnh rằng đây là trường hợp tổng quát của các
    trường hợp đã xét ở trên.
    A, B cùng phía so với (P) A, B khác phía so với (P)
    Ví dụ 1. (Đề Tham Khảo năm 2019) Cho hình chóp
    S.ABCD
    có đáy là hình thoi
    cạnh
    a , 60o BAD  , SA a 
    và
    SA
    vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách tứ
    B
    đến
    SCD
    bằng
    P
    H K
    M
    B
    A
    A
    H
    P
    B
    I K
    K I
    B
    P
    H
    A
    18
    A.
    21
    3
    a
    . B.
    15
    3
    a
    . C.
    21
    7
    a
    . D.
    15
    7
    a
    .
    Lời giải
    Chọn C
    *) Ta có
    AB / /CD d B; SCD d A; SCD        .
    *) Kẻ
    AM CD M CD    
    , kẻ
    AH SM AH SCD d A, SCD AH           .
    SA a 
    ;
    2 3
    2
    ACD ABCD S S a AM
    CD CD
      
    ;
    2 2 2
    1 1 1 21
    7
    AH a
    AH SA AM
       
    Nhận xét : Ta có thể làm bằng cách khác như sau:
         
    3 3 21
    2 7
    S .ACD S .ABCD
    SCD SCD
    V V a AB / /CD d B; SCD d A; SCD
    S S
         .
    (
        SCD;SD a ;SC a;CD a 2 2
    )
    Ví dụ 2. (Đề thi THPT QG năm 2019 mã đề 102) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
    là hình vuông cạnh a, mặt bên
    SAB
    là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
    góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ
    C
    đến mặt
    phẳng
    ( SBD )
    bằng
    A
    D
    B
    S
    C
    M
    H
    19
    A.
    21
    14
    a
    . B.
    2
    2
    a
    . C.
    21
    7
    a
    . D.
    21
    28
    a
    .
    Lời giải
    Chọn C
    *) Gọi
    H
    là trung điểm của
    AB SH AB SH ( ABCD ).    
    *) Từ
    H
    kẻ
    HM BD  , M
    là trung điểm của
    BI
    và
    I
    là tâm của hình vuông.
    S
    B C
    A D
    I
    S
    C
    B
    D
    A
    H
    M
    K
    20
    Ta có:
    BD HM
    BD (SHM)
    BD SH
     
      
     
    Từ
    H
    kẻ
    HK SM HK BD   
    ( Vì
    BD (SHM) 
    )
        HK ( SBD ) d( H;( SBD )) HK.
    *) Ta có:
    2
    2 4 4
    AI AC a HM .   
    3
    2
    a
    SH  .
    2 2 2 2
    2 3
    21 4 2
    14 2 3
    4 2
    a a
    . HM .HS a HK .
    HM HS a a
      
             
       
    *)
    21 21 2 2 2
    14 7
    a a d( C;( SBD )) d( A;( SBD )) d( H;( SBD )) HK . .     
    Vậy:
    d(C;( SBD )) 21
    7
    a
     .
    Ví dụ 3. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng năm 2021) Cho khối chóp
    S.ABCD
    có
    đáy
    ABCD
    là hình vuông cạnh
    a , SA ABCD  
    và
    SA a  2
    . Gọi
    M
    là trung
    điểm cạnh
    SC
    . Khoảng cách từ điểm
    M
    đến mặt phẳng
    SBD
    bằng
    A.
    2
    4
    a
    B.
    10
    10
    a
    C.
    2
    2
    a
    D.
    10
    5
    a
    Lời giải
    Chọn B
    21
    *) Do
    M
    là trung điểm
    SC
    nên
            
    1 1
    2 2
    d M ; SBD d C; SBD d A; SBD  
    *) Gọi
    H
    là hình chiếu của
    A
    lên
    mp SBD d A; SBD AH       
    *) Lại có
    AS,AB,AD
    đôi một vuông góc nên
     
    2 2 2 2 2 2 2 2
    1 1 1 1 1 1 1 5
    2 2
    AH AS AB AD a a a a
             
    10 10
    5 10
    a a
        AH d M ; SBD .
    Ví dụ 4. (Chuyên Vĩnh Phúc năm 2022) Cho hình chóp
    S.ABCD
    có đáy là nửa
    luc gi ̣ ác đều
    ABCD
    nôi ti ̣ ếp trong đường tròn đường kính
    AD a  2
    và có canh ̣
    SA
    vuông góc với măt ph ̣ ẳng đáy
    ABCD
    với
    SA a  6
    . Tính khoảng cách từ
    B
    đến măt ph ̣ ẳng
    SCD
    A.
    a 2 . B.
    a 3 . C.
    2
    2
    a
    . D.
    3
    2
    a
    .
    Lời giải
    Chọn C
    M
    O
    S
    D C
    A B
    H
    22
    *) Từ giả thiết suy ra:
    2
    AD AB BC CD a     , AC a  3.
    *) Gọi
    E AB CD  
    , suy ra tam giác
    ADE
    đều.
    Khi đó
    C
    là trung điểm của
    ED
    và
    AC ED  .
    Dựng
    AH SC 
    thì
    AH SCD  
    , suy ra
      d A, SCD AH    .
    *) Xét tam giác
    SAC
    vuông tại
    A
    , có
    AH
    là đường cao
    Suy ra:
    2 2 2
    1 1 1 AH a2
    AH SA AC
       
    Mà
       
       
    1 1 2
    2 2 2
    a
    d B, SCD d A, SCD AH    .
    Ví dụ 5. (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2020) Cho hình chóp
    S.ABCD
    có đáy
    ABCD
    là hình thang vuông tại
    A
    và
    D; AB AD a;   2 DC a 
    . Điểm
    I
    là trung
    điểm đoạn
    AD,
    hai mặt phẳng
    SIB
    và
    SIC
    cùng vuông góc với mặt phẳng
     ABCD
    . Mặt phẳng
    SBC
    tạo với mặt phẳng
     ABCD
    một góc

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Thiết kế và sử dụng các phần mềm vẽ sơ đồ tư duy để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán ở trường THPT

    SKKN Thiết kế và sử dụng các phần mềm vẽ sơ đồ tư duy để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán ở trường THPT

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    PHẦN I: ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

    1. Lí do chọn đề tài
      Chúng ta đã biết rằng Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục chú trọng giúp
      người học hình thành phát triển 10 năng lực và 5 phẩm chất. Trong môn Toán năng
      lực nhìn thấy rõ nhất là năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, sáng tạo,
      ngoài ra rèn luyện tư duy lôgic, phản xạ, … Một trong những phương pháp giúp học
      sinh có thể học tốt môn toán cũng như góp phần hình thành những năng lực và phẩm
      chất là sử dụng sơ đồ tư duy.
      Trong điều 24, mục 2 Luật giáo dục ( do Quốc hội khóa X thông qua) cũng đã
      chỉ rõ: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động ,
      sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, từng môn học; bồi
      dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.
      Nhiệm vụ hàng đầu và quan trọng nhất của nghành Giáo dục và Đào tạo nói chung
      và của mỗi giáo viên nói riêng là nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy. Đổi
      mới phương pháp giảng dạy chính là một biện pháp thiết thực nhằm nâng cao chất
      lượng và hiệu quả dạy học. Đổi mới theo hướng: “ Người học là chủ thể ”, “ Người
      học là trung tâm của quá trình giáo dục ” trong tiếp nhận kiến thức đã được Bộ giáo
      dục – Đào tạo phát động, điều đó có nghĩa: “ Người học không chỉ thu nhận kiến
      thức thụ động mà quan trọng là phải biết phương pháp để thu nhận kiến thức và vận
      dụng được kiến thức đó ” vào trong bài học và trong thực tế cuộc sống.
      Trong thực tế việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay theo hướng phát
      huy tính tích cực chủ động và sáng tạo của học sinh. Bên cạnh việc đổi mới trong
      phương pháp dạy thì việc đổi mới phương pháp học của học sinh cũng rất quan trọng.
      Nó góp phần làm cho tiết học trên lớp đạt hiệu quả hơn. Trên cơ sở đó, việc hướng
      dẫn học sinh định hướng để xây dựng và củng cố, khắc sâu kiến thức một cách hệ
      thống bằng sơ đồ được xem là một hình thức mới trong việc đổi mới phương pháp
      dạy học hiện nay.
      “ Trong thời đại ngày nay, nguồn tài liệu học tập, nghiên cứu như: sách, tạp
      chí, báo, các kỷ yếu,…rất phong phú. Thêm vào đó là sự phát triển mạnh mẽ của
      2
      ngành công nghệ thông tin, chúng ta đang tiếp xúc với nguồn kiến thức mênh mông
      của thế giới. Bên cạnh đó, chúng ta thường xuyên phải ghi nhớ, tổng hợp hay phân
      tích một vấn đề bằng nhiều phương pháp như kẻ bảng, gạch đầu dòng các ý chính,
      vẽ sơ đồ tổng hợp,…nhưng nó chưa bao giờ được hệ thống và được nghiên cứu kỹ
      lưỡng, mà chỉ được dùng tản mạn trong giới sinh viên học sinh trước các mùa thi.
      Vì vậy, trong công tác giáo dục, ngoài vấn đề truyền đạt kiến thức cho sinh viên,
      chúng ta cần hướng sinh viên đến một phương pháp học tập tích cực và tự chủ để
      lĩnh hội tri thức, và giáo viên cũng cần có phương pháp nghiên cứu để luôn cập nhật
      kịp thời tri thức của thế giới. Với “biển thông tin” như thế, để tiếp cận tốt cần có
      phương pháp giúp hệ thống lại những kiến thức đó. Việc xây dựng được một “hình
      ảnh” thể hiện mối liên hệ giữa các kiến thức, sẽ mang lại những lợi ích đáng quan
      tâm về các mặt: ghi nhớ, phát triển nhận thức, tư duy, óc tưởng tượng và khả năng
      sáng tạo…Một trong những công cụ hết sức hữu hiệu để tạo nên các “hình ảnh liên
      kết” là Sơ đồ Tư duy – MindMap. Bài viết này, xin giới thiệu phương pháp Sơ đồ tư
      duy do Tony Buzan đề xuất, được mệnh danh là “công cụ vạn năng cho bộ não” là
      phương pháp ghi chú đầy sáng tạo, hiện đang được ngành giáo dục khuyến khích
      đưa vào thực hiện trong giảng dạy và học tập.
      Trong những năm vừa qua, việc áp dụng phương pháp mới trong giảng dạy ở
      trường THPT nói chung và môn Toán nói riêng đã đem lại những kết quả bước đầu
      đáng khích lệ. Học sinh hoạt động tích cực hơn trong các giờ học, các em nắm vững
      và chủ động tìm tòi, phát hiện tri thức, giáo viên không còn là người làm thay mà
      các em đã phát huy được vai trò thực sự của mình. Đó là thành quả của phong trào
      đổi mới phương pháp dạy học, trong đó sử dụng SĐTD là phương tiện dạy học tương
      đối mới mẻ ở nước ta. Đây là phương pháp mang lại tâm lí thoải mái, vui vẻ, đầy
      tính sáng tạo rất phù hợp với tình hình dạy học của GV và HS hiện nay và các phong
      trào do Bộ giáo dục và đào tạo phát động như phong trào “ trường học thân thiện,
      học sinh tích cực”.
      Tuy nhiên hiện nay còn nhiều HS học tập thụ động, chỉ đơn thuần là nhớ kiến
      thức một cách rời rạc, máy móc hay theo một trình tự áp đặt của thầy cô giáo dẫn
      đến HS chóng quên. Do đó, sử dụng SĐTD để hệ thống kiến thức rất thuận lợi trong
      3
      quá trình học tập, tư duy và ghi nhớ kiến thức. SĐTD là một sơ đồ mở chính do HS
      hình thành, sáng tạo thỏa sức, là sản phẩm của chính tay HS tạo ra nên HS nhớ rất
      lâu. Đồng thời, SĐTD được thể hiện bằng màu sắc, đường nét và dùng những từ
      khóa để ghi chép một cách ngắn gọn, đầy đủ giúp HS quan sát được tổng thể hệ
      thống kiến thức.
      Dạy học bằng những phương pháp tích cực và có sử dụng SĐTD là một
      phương pháp dạy học mới được áp dụng nên cả thầy và trò đều bỡ ngỡ và gặp không
      ít khó khăn. HS chưa quen với việc sử dụng SĐTD để hình thành được phương pháp
      tổng quát hóa nội dung của một tiết học, chưa quen trong quá trình thể hiện các
      nhánh cho khoa học. Đó là chưa kể đến một bộ phận HS lười tư duy và thụ động
      trong học tập. Không ít HS lúng túng không biết học bắt đầu từ đâu, làm sao ghi nhớ
      các kiến thức một cách hệ thống. Không thấy được mối quan hệ giữa các kiến thức
      dẫn đến nhầm lẫn, chán nản trong các giờ học kể cả học ở nhà. Ghi chép một cách
      thụ động bài tập của GV cung cấp nên khi gặp bài toán tương tự vẫn ko biết cách
      giải quyết. Đối với GV, sử dụng SĐTD gặp rất nhiều khó khăn trong khâu soạn,
      giảng. Trong thực tế giảng dạy, qua một thời gian tìm hiểu chúng tôi thấy rằng khi
      dạy tiết lí thuyết, chỉ có một đơn vị kiến thức nên rất khó hình thành SĐTD, các tiết
      lí thuyết là xây dựng kiến thức mà SĐTD thường dùng để hệ thống, củng cố kiến
      thức. Phần khác do một số GV suy nghĩ là dùng SĐTD để củng cố kiến thức nhằm
      mục đích là nhớ kiến thức để vận dụng vào giải bài tập. Khi dạy tiết ôn tập chương,
      GV thường ngại khó, chỉ hướng dẫn HS ôn tập lí thuyết một cách qua loa rồi giành
      thời gian còn lại để hướng dẫn HS giải bài tập hoặc bỏ qua phần ôn tập lí thuyết chỉ
      hướng dẫn giải bài tập, khi nào cần kiến thức nào thì mới yêu cầu HS nhắc lại, hoặc
      ôn tập kĩ lí thuyết thì thời gian hướng dẫn ôn các dạng bài tập trong chương không
      đảm bảo. Trong khi đó, tiết ôn tập chương được phân bố thời lượng tối đa chỉ một
      đến hai tiết, nhưng nội dung ôn tập phải chuyển tải một lượng lớn kiến thức cơ bản
      của chương và bài tập vận dụng. Mặt khác, một số GV còn ngần ngại sử dụng SĐTD
      vì chưa xác định rõ quy trình dạy học và vẽ SĐTD. Đồng thời còn gặp nhiều trở ngại
      trong việc sử dụng các phần mềm vẽ SĐTD. Với thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn
      nghiên cứu đề tài : THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG CÁC PHẦN MỀM VẼ SƠ ĐỒ TƯ
      4
      DUY ĐỂ GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY MÔN TOÁN
      Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG và đã ứng dụng thực tế đề tài này tại
      trường THPT nơi tôi giảng dạy.
      Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức một chiều sang
      cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ. Ý tưởng là “sơ đồ” được xây dựng theo
      quá trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau. Vì đây là một
      hoạt động vừa mang tính phân tích vừa mang tính nghệ thuật, nó làm cho HS gợi
      nhớ các kiến thức vừa mới học hoặc đã được học từ trước. Để thực hiện được điều
      như trên, bản thân tôi xác định phải bám sát các nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức,
      kĩ năng; sách giáo khoa, sách GV và các nguồn sách tham khảo khác. Ngoài ra còn
      luôn chuẩn bị một hệ thống câu hỏi và bài tập dựa trên mục tiêu của từng bài, từng
      chương cụ thể, giúp HS định hướng và nắm được kiến thức trọng tâm của từng bài
      học. Thông qua đó HS nắm được kiến thức cũ và lĩnh hội kiến thức mới nhanh hơn.
      Trong phạm vi bài viết của mình, vì khuôn khổ đề tài nên tôi không thể đi sâu
      vào giải quyết tất cả các bài học mà tôi chỉ tập trung vào việc giúp GV và HS vẽ
      SĐTD và đưa ra cách sử dụng SĐTD trong quá trình tổ chức hoạt động dạy học ở
      một vài tiết dạy trong chương trình sách giáo khoa 11,12. Vì vốn kiến thức còn hạn
      hẹp, vì khuôn khổ đề tài, cộng với kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên đề tài còn
      nhiều thiếu sót rất mong sự trao đổi, đóng góp của các đồng nghiệp để chúng ta tạo
      ra sự đa dạng, phong phú trong cách tạo cảm giác, gây dựng tình yêu toán học của
      HS.
    2. Mục đích nghiên cứu
    • Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với HS, tạo hứng thú học tập cho HS.
      Từ đó, nâng cao chất lượng học tập của HS trong các tiết học.
    • Qua nội dung của đề tài, tôi muốn giúp HS tiếp cận kiến thức một cách đơn
      giản trực quan nhất. Giúp HS biết khắc sâu kiến thức trọng tâm, biết liên tưởng
      kiến thức và giúp HS ghi nhớ kiến thức một cách tốt nhất
    • Giúp GV khai thác tốt SĐTD để hỗ trợ đắc lực trong quá trình dạy học
    1. Đối tượng nghiên cứu
      Đối tượng nghiên cứu của đề tài này tập trung vào việc giúp GV và HS vẽ
      5
      SĐTD và cách sử dụng SĐTD trong quá trình tổ chức hoạt động dạy học
    2. Giới hạn của đề tài
      Trên các cơ sở lí luận, thực tiễn và nhiệm vụ của đề tài tôi đã chọn phạm vi
      nghiên cứu của đề tài là :
    • Sử dụng SĐTD trong dạy học môn toán THPT
    • Các tiết dạy học lí thuyết, ôn tập chương môn Toán ở các lớp 11,12
    • Qua công tác dự giờ trong nhà trường và kết quả khảo sát .
    1. Nhiệm vụ của đề tài
    • Giúp cho GV thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục.
    • Giúp cho HS phát triển tư duy, tiếp cận kiến thức một cách đơn giản nhất và
      ghi nhớ kiến thức một cách tốt nhất.
    • Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
      tượng HS nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
    1. Phương pháp nghiên cứu
      Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
      đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
    • Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài
    • Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của GV và HS)
    • Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình và hồ sơ chuyên môn)
    • Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của GV và HS thông qua trao
      đổi trực tiếp)
    • Phương pháp thực nghiệm.
    • Phương pháp thống kê toán học
    1. Kế hoạch nghiên cứu
      STT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm
      1
      Từ 15/10/2021
      đến
      30/11/2021
      Tìm hiểu thực trạng
      và chọn đề tài, viết
      đề cương nghiên cứu
      Bản đề cương chi tiết của đề
      tài
      6
      2
      Từ 1/12/2021
      đến
      15/12/2021
    • Khảo sát thực trạng, tổng
      hợp số liệu khảo sát thực tế
    • Áp dụng thử nghiệm ở các
      lớp 11,12
    • Tập hợp lí thuyết của đề tài
    • Xử lí số liệu-> kết quả thực
      nghiệm
      3
      Từ 16/01/2022
      đến 31/3/2022
      Đọc tài liệu lí thuyết, viết cơ
      sở lí luận
    • Viết cơ sở lí luận của đề tài
    • Tập hợp lí thuyết
      4
      Từ 1/4/2022
      đến 1/5/2022
      Trao đổi với đồng nghiệp
      và đề xuất các biện pháp,
      các sáng kiến
      Tập hợp ý kiến đóng góp của
      đồng nghiệp
      5
      Từ 2/5/2022
      đến 30/6/2022
    • Viết sơ lược sáng kiến
    • Xin ý kiến đóng góp của
      đồng nghiệp
      Bản nháp sáng kiến
      6
      Từ 1/7/2022
      đến 15/8/2022
      Hoàn thành sáng kiến kinh
      nghiệm
      Sáng kiến kinh nghiệm chính
      7
      PHẦN II: MÔ TẢ GIẢI PHÁP
    1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
      Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn toán là môn học quan trọng, môn
      toán có tiềm năng để khai thác góp phần phát triển trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển
      tư duy. Trường THPT nơi tôi giảng dạy là một tập thể đoàn kết, thương yêu giúp đỡ
      lẫn nhau, nhiệt tình trong công tác, tâm huyết với nghề, có tính cộng đồng cao.
      Những thầy cô lớn tuổi có tay nghề vững, có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy
      cũng như trong cuộc sống, mẫu mực và luôn sẵn sàng giúp đỡ, dìu dắt thế hệ trẻ.
      Lực lượng giáo viên trẻ năng động, kiến thức vững vàng, ham hoạt động, hăng say
      và có chí tiến thủ, có ý thức rèn luyện và trau dồi chuyên môn, say mê học tập nâng
      cao trình độ. Đội ngũ quản lí tâm huyết, năng động, luôn tạo điều kiện tốt nhất cho
      GV và HS phát triển năng lực. Ngay từ khi Bộ giáo dục chủ trương đổi mới phương
      pháp dạy học, nhà trường cũng như các tổ chuyên môn đã nhanh chóng triển khai
      các buổi họp chuyên môn, thảo luận về đổi mới phương pháp, chuần kiến thức, kĩ
      năng. Triển khai và rút kinh nghiệm sau mỗi giai đoạn, tạo điều kiện cho GV và HS
      thích nghi nhanh với việc dạy và học theo phương pháp mới.
      Về bản thân, được nhà trường giao nhiệm vụ dạy học lớp 11,12, được lãnh đạo
      nhà trường tạo điều kiện, góp ý về chuyên môn; được các đồng nghiệp và học trò
      ủng hộ và hưởng ứng trong việc áp dụng phương pháp mới vào dạy học. Được trao
      đổi và đã rút ra nhiều kinh nghiệm trong quá trình hình thành đề tài.
      Bên cạnh đó nhà trường còn gặp nhiều khó khăn về cơ sở vật chất; điều kiện
      kinh tế xã hội khu vực trường đang đóng còn nhiều thiếu thốn, đa số HS là con em
      nông dân có thu nhập thấp còn khó khăn về kinh tế dẫn đến việc đầu tư học tập còn
      nhiều hạn chế.
      Theo quan điểm từ trước đến nay, học toán là những kiến thức mang tính chất
      chân lí, hàn lâm nên con đường để tiếp nhận kiến thức rất cứng nhắc và khô khan.
      Vì vậy trong tâm lí đại đa số HS học toán lúc nào cũng khó và chán. Và lâu nay việc
      dạy học toán cũng nặng về truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, còn
      ít hoạt động thực tế và trải nghiệm. Tuy nhiên, vấn đề được đặt ra là, trên thực tế lớp
      học lúc nào cũng bao gồm đủ các loại HS từ khá giỏi đến yếu kém. Mức độ tiếp thu
      8
      bài của các em không đồng đều nhau gây ra việc khó khăn trong việc lựa chọn các
      hoạt động giảng dạy phù hợp với trình độ của lớp.
      Trong những năm vừa qua việc áp dụng phương pháp dạy học mới- sử dụng
      SĐTD vào giảng dạy môn toán tại trường bản thân tôi nhận thấy được sự lúng túng
      trong việc hình thành SĐTD cho từng tiết dạy, hệ thống kiến thức từng phần, từng
      chương; thiết kế và thực hiện các hoạt động dạy học theo phương pháp dạy học lấy
      học sinh làm trung tâm. Hiện nay, còn nhiều HS học tập một cách thụ động, chưa
      thật sự độc lập suy nghĩ. Nhiều HS không biết đọc và lưu giữ thông tin ( nghe giảng
      thì không ghi được, ghi thì không nghe được; sắp xếp lộn xộn, ghi xong quên
      ngay…). Hầu hết HS chỉ đơn thuần là tìm kiếm kiến thức có sẵn trong sách giáo
      khoa và ghi nhớ một cách rời rạc, chưa có sự ghi nhớ giữa các phần, các bài, các
      chương theo một hệ thống tư duy có logic và nhớ, thuộc kiến thức theo một trình tự
      sắp đặt, bắt buộc của thầy cô giáo và sách giáo khoa,….
      Mặt khác, dạy học có sử dụng SĐTD là một phương pháp dạy học mới do đó
      một số thầy cô giáo còn lúng túng trong quá trình giảng dạy cũng như hình thành
      bản đồ tư duy. Đặc biệt một số thầy cô giáo và HS gặp nhiều khó khăn trong việc
      đưa SĐTD vào tiết học như thế nào, tại thời điểm nào cho thích hợp. Bên cạnh đó,
      việc vẽ SĐTD trên giấy, trên bảng, trên bảng phụ, trên máy tính của thầy cô giáo
      gặp rất nhiều khó khăn. Mặt khác, vì không tuân theo một chuẩn mực nào nên không
      ít GV vi phạm nguyên tắc ghi bảng khi hình thành kiến thức theo dạng SĐTD.
    2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
      2.1. Cơ sở lý luận của việc sử dụng SĐTD
      Việc sử dụng SĐTD như một phương pháp giảng dạy mới. Theo ông Vũ Đình
      Chuẩn vụ trưởng vụ giáo dục trung học: “ngoài tính khoa học ,phương pháp học này
      có nhiều ưu điểm phù hợp với điều kiện kinh tế và cơ sở vật chất của ngành giáo
      dục Việt Nam”; “Sơ đồ tư duy có thể áp dụng cho nhiều vùng khác nhau ,đặc biệt
      tại các vùng nghèo ,giáo viên có khi chỉ cần một tấm bản đồ dùng rồi , một tờ lịch
      dùng rồi,chỉ cần một mặt giấy cũng có thể vẽ được bản đồ tư duy . Chính vì tính linh
      hoạt nên khi áp dụng nó khả thi”; “Việc phát triển tư duy cho học sinh và giảng dạy
      kiến thứcvề thế giới xung quanh luôn là một trong những ưu tiên hàng đầu của những
      9
      người làm công tác giáo dục”. Còn theo tiến sĩ Trần Đình Châu-người đầu tiên tiến
      hành nghiên cứu và tìm cách đưa phương pháp bản đồ tư duy vào giảng dạy ở Việt
      Nam thì “quan trọng là phổ biến phương pháp giảng dạy này đến giáo viên ,thay đổi
      tư duy dạy học của họ”.
      Trong hoạt động dạy học có hai chủ thể thầy và trò. Mối quan hệ giữa thầy và
      trò là quan hệ thầy – người tổ chức, điều khiển quá trình nhận thức và trò, nhằm thực
      hiện mục tiêu các hoạt động dạy học. dạy học chỉ có hiệu quả khi cả thầy và trò tích
      cực hợp tác hoạt động.
      SĐTD là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi, đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ
      thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức… bằng cách kết hợp việc sử dụng
      đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực. Tác giả của
      SĐTD là Tony Buzan, ông là người đã thúc đẩy làn sóng cách mạng học tập bùng
      nổ tại nhiều nước trên thế giới và khu vực, trong đó có Việt Nam. Có thể nói, SĐTD
      là con đường dẫn HS đến với phương pháp “ học cách học”.
      Lí luận dạy học đã chỉ ra rằng, HS vừa là đối tượng, vừa là chủ thể của quá trình
      dạy học. Việc sử dụng kĩ thuật dạy học SĐTD làm cho HS có điều kiện trao đổi với
      thầy với bạn, sẽ phát huy tốt tính tích cực chủ động của HS. Thay đổi phương pháp,
      mô hình dạy học là yêu cầu không thể thiếu trong xã hội hiện đại, nó vừa phát huy
      tốt ưu thế của mỗi môn học, vừa tạo được sự hấp dẫn đối với HS, thông qua đó vừa
      giáo dục và hình thành những kĩ năng sống cơ bản cho HS.
      Tuy nhiên, việc tổ chức bài học sôi động và chuyển đổi các dòng chữ dài và đơn
      điệu trong sách giáo khoa thành các bài học với những hình vẽ, đường cong sinh
      động và dễ hiểu không phải là vấn đề dễ dàng đối với GV và HS hiện nay. Việc thay
      đổi cách nghĩ, cách học đối với lớp học mà HS có mặt bằng nhận thức không đồng
      đều, lại càng khó khăn và phức tạp hơn. Bởi vì, từ lâu HS đã quen với việc chỉ cần
      ghi chép các nội dung mà thầy, cô truyền đạt, khi về nhà chỉ cần học thuộc lòng bài
      cũ, không cần hiểu sâu hay áp dụng vào thực tế, tất cả những điều đó đã ăn mòn
      trong cách học của các em bấy lâu nay. Do vậy, việc vận dụng phương pháp SĐTD
      lại càng trở nên gian nan đối với GV.
      Từ những vấn đề lý luận nêu trên, có thể khẳng định việc sử dụng kĩ thuật dạy
      10
      học SĐTD là một công cụ hữu ích trong giảng dạy và học tập. Bằng phương pháp
      này, GV và HS có thể trình bày ý tưởng và nội dung bài học một cách rõ ràng, sáng
      tạo, thông tin được tóm tắt cô đọng, đưa ra được nhiều ý tưởng mới… Trong đó, GV
      đóng vai trò hướng dẫn, tổ chức, nhận xét, bổ sung và đánh giá trong tiết học; HS
      không phải ghi chép nhiều, thời gian của tiết học được dùng để thảo luận nghiên cứu
      và báo cáo; đồng thời HS được rèn luyện nhiều kỹ năng như làm việc nhóm, hợp tác
      và tự tin trước tập thể, qua đó giúp HS vượt qua rào cản tự ti và

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Phát triển năng lực cho học sinh qua dạy bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn

    SKKN Phát triển năng lực cho học sinh qua dạy bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
    Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị Trung
    ương 8 (khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu
    cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước trong điều kiện kinh tế thị trường định
    hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã chỉ rõ:
    “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
    dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
    sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành;
    lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và
    giáo dục xã hội”;
    “Đổi mới chương trình nhằm phát triển năng lực và phẩm chất người học,
    hài hòa đức, trí, thể, mỹ; dạy người, dạy chữ và dạy nghề. Đổi mới nội dung giáo
    dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và
    ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.
    “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực chủ động tư
    duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng
    phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng
    kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập
    cho học sinh”.
    Tháng 12 năm 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố chương trình giáo
    dục phổ thông môn Toán ban hành kèm thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT đã định
    hướng về nội dung giáo dục phải tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận
    dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa
    toán học với thực tiễn, giữa toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác,
    đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hóa học, Sinh học,
    Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM.
    Điều này cho thấy, giáo dục môn Toán gắn liền với thực tiễn và các môn
    học khác là rất quan trọng trong hệ thống giáo dục phổ thông, giai đoạn giáo dục
    định hướng nghề nghiệp. Trong dạy học Toán, bài toán thực tiễn có vai trò rất
    3
    quan trọng, cụ thể: Thông qua bài toán thực tiễn, học sinh hiểu rõ hơn các khái
    niệm, tính chất; được củng cố kiến thức; mở rộng hiểu biết một cách sinh động,
    phong phú; hiểu rõ mối liên hệ của Toán học với các môn học khác, với thiên
    nhiên, môi trường, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống. Do đó, trong quá
    trình giảng dạy môn Toán 11, tôi đã dành thời gian để nghiên cứu về ứng dụng của
    “Cấp số nhân”, giúp học sinh hiểu được vai trò của Toán học trong các môn học
    khác và trong thực tế cuộc sống, từ đó tạo động cơ học tập tích cực, kích thích trí
    tò mò, quan sát, làm tăng hứng thú học tập môn Toán, say mê nghiên cứu khoa
    học, có những định hướng nghề nghiệp trong tương lai.
    Vì vậy, tôi đã tìm hiểu và đưa ra sáng kiến :“Phát triển năng lực cho học
    sinh qua dạy học bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn”
    II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

    1. Mô tả giải pháp trƣớc khi tạo ra sáng kiến
      Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11 hiện nay, các bài tập về cấp số
      nhân đa phần thiên về tính toán khô khan, rất ít bài toán ứng dụng thực tế. Thực
      hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ
      yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học.
      Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với
      giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” thì những bài toán ứng dụng thực tế của cấp
      số nhân là thực sự cần thiết đối với những học sinh trung học phổ thông.
      Ví dụ: (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang – 2019)
      Khi ký hợp đồng dài hạn (
      10
      năm) với các kỹ sư được tuyển dụng, công
      ty A đề xuất
      4 phương án trả lương để người lao động chọn như sau:
      Phƣơng án 1: Người lao động sẽ nhận
      72000000
      đồng cho năm làm việc đầu tiên
      và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm
      5000000
      đồng mỗi năm.
      Phƣơng án 2: Người lao động sẽ nhận mức lương
      18000000
      đồng cho quý làm
      việc đầu và kể từ quý thứ hai mức lương sẽ tăng thêm
      1000000
      đồng cho mỗi quý.
      Phƣơng án 3: Người lao động sẽ nhận mức lương
      4000000
      đồng cho 1 tháng làm
      việc đầu và kể từ tháng thứ hai mức lương sẽ tăng thêm
      100000
      đồng so với tháng
      trước đó.
      4
      Phƣơng án 4: Người lao động sẽ nhận
      80000000
      đồng cho năm làm việc đầu tiên
      và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm
      10%
      so với năm trước đó.
      Ta nên chọn cách nhận lương theo phương án nào để được hưởng lương cao nhất?
      A. Phương án 2 . B. Phương án 1. C. Phương án 3. D. Phương án 4 .
      Ví dụ : Kết quả Tổng điều tra dân số lần thứ 5 tại Việt Nam cho thấy tính đến 0
      giờ ngày 1/4/2019, tổng dân số của Việt Nam đạt 96,2 triệu người. Với kết quả
      này, Việt Nam là quốc gia đông dân thứ 15 trên thế giới và đứng thứ 3 trong khu
      vực Đông Nam Á (sau Indonesia và Philipines). Tỷ lệ tăng dân số hàng năm là
      1,14%. Giả sử tỷ lệ tăng dân số từ năm 2019 đến năm 2030 không thay đổi thì dân
      số nước ta đầu năm 2030 khoảng bao nhiêu?
      A. 118,98 triệu người B. 106,98 triệu người
      C. 116,98 triệu người D. 108,98 triệu người
      Ví dụ : (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2021)
      Ông A gửi 120 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% /năm. Biết rằng
      nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập
      vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau 10 năm, tổng số tiền mà ông A
      nhận được là bao nhiêu? (Giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay
      đổi và người đó không rút tiền ra)
      A. 214,90 triệu đồng B. 224,10 triệu đồng
      C. 234,90 triệu đồng D. 215,10 triệu đồng.
      Thực tế, học sinh rất lúng túng trong việc giải quyết bài toán có nội dung
      thực tế, rất ngại đọc đề bài vì dài, phức tạp. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, tôi
      đã lồng ghép các kiến thức thực tế, liên môn, tạo cơ hội cho học sinh vận dụng
      kiến thức đã học để giải quyết sẽ khiến học sinh hứng thú hơn nhiều. Các bài toán
      cũng sẽ trở nên thú vị và hấp dẫn với học sinh hơn, có ý nghĩa trong chính thực tế
      cuộc sống của các em, chứ không phải là các bài toán khô khan, cứng nhắc, chỉ
      gồm những con số. Do đó, trong sáng kiến này, tôi có đưa ra những bài toán ứng
      dụng của cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn giúp giáo viên có thể khai thác,
      5
      phát triển những ý tưởng mới đưa vào bài dạy của mình cho sinh động và thu hút
      học sinh.
    2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
      Nội dung sáng kiến có thể giúp cho học sinh lớp 11 và các giáo viên có cái
      nhìn sâu sắc hơn về ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế và các môn học khác.
      Từ đó bản thân người giáo viên sẽ xây dựng được cho mình phương pháp dạy học
      hiệu quả, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục. Đồng thời các em sẽ tự tin hơn khi
      giải quyết các bài toán thực tế, sẽ thấy hứng thú, tích cực, chủ động tìm tòi kiến
      thức mới hơn. Sáng kiến của tôi đưa ra có cấu trúc như sau:
      Phần A: Cơ sở lí luận
      Phần B: Nội dung giải pháp (3 nội dung)
      Nội dung 1: Tóm tắt lí thuyết
      Nội dung 2: Các bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tiễn, liên môn
      Bài toán 1: Ứng dụng cấp số nhân trong các bài toán kinh tế, xã hội;liên hệ giáo
      dục địa phương và môn Lịch sử.
      Bài toán 2: Ứng dụng cấp số nhân trong các môn học: Sinh học, Vật lí, Địa lí, Âm
      nhạc,…
      Với mỗi dạng bài đều có ví dụ minh họa, phân tích và hướng dẫn giải để học sinh
      phát triển năng lực giải quyết bài toán thực tế.
      Nội dung 3: Hệ thống bài tập tự luyện
      6
      Phần A: CƠ SỞ LÍ LUẬN
      I. Khái niệm năng lực, chƣơng trình giáo dục định hƣớng năng lực
      1.Khái niệm năng lực:
      Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức hợp, là điểm hội tụ của nhiều yếu tố
      như tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành động và trách nhiệm.
      Trong quá trình dạy học, năng lực được hiểu là sự kết hợp tri thức, kỹ năng và thái
      độ.

    Có ý kiến cho rằng: “Người có năng lực là người đạt hiệu suất và chất lượng
    hoạt động cao trong các hoàn cảnh khác nhau”. Dưới góc độ giáo dục học, chúng
    ta có thể xem xét năng lực là kết quả của quá trình giáo dục, rèn luyện của cá
    nhân, thể hiện ở những kiến thức, kỹ năng và thái độ phù hợp để cá nhân có thể
    tham gia hiệu quả vào một lĩnh vực hoạt động nhất định.
    Dạy học phát triển năng lực là quá trình thiết kế, tổ chức và phối hợp giữa
    hoạt động dạy và hoạt động học, tập trung vào kết quả đầu ra của quá trình này.
    Trong đó nhấn mạnh người học cần đạt được các mức năng lực như thế nào sau
    khi kết thúc một giai đoạn (hay một quá trình) dạy học.
    Dạy học theo định hướng phát triển năng lực là mô hình dạy học nhằm phát
    triển tối đa năng lực của người học, trong đó, người học tự mình hoàn thành nhiệm
    vụ nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của người dạy. Quá trình giáo dục từ chủ
    yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học
    trên nguyên lý: Học đi đôi với hành; Lý luận gắn với thực tiễn; Giáo dục nhà
    trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.
    7
    2.Chương trình giáo dục định hướng năng lực
    Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực được bàn đến nhiều
    từ những năm 90 của thế kỷ XX và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc
    tế. Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực
    người học.
    Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định
    hướng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đầu ra, có thể coi là
    “sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lượng dạy học
    chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học
    tập của học sinh.
    Bảng so sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình định hướng nội
    dung và chương trình định hướng phát triển năng lực sẽ cho chúng ta thấy ưu điểm
    của chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực.
    Chƣơng trình
    định hƣớng nội dung
    Chƣơng trình định hƣớng
    phát triển năng lực
    Mục tiêu
    giáo dục
    Mục tiêu dạy học được mô tả
    không chi tiết và không nhất
    thiết phải quan sát, đánh giá
    được.
    Kết quả học tập cần đạt được mô tả
    chi tiết và có thể quan sát, đánh giá
    được, thể hiện được mức độ tiến bộ
    của học sinh một cách liên tục
    Nội dung
    giáo dục
    Việc lựa chọn nội dung dựa
    vào các khoa học chuyên môn,
    không gắn với các tình huống
    thực tiễn. Nội dung được quy
    định chi tiết trong chương
    trình.
    Lựa chọn những nội dung nhằm đạt
    được kết quả đầu ra đã quy định,
    gắn với các tình huống thực tiễn.
    Chương trình chỉ quy định những
    nội dung chính, không quy định chi
    tiết.
    Phương
    pháp dạy
    học
    Giáo viên là người truyền thụ
    tri thức, là trung tâm của quá
    trình dạy học. Học sinh tiếp
    thu thụ động những tri thức
    được quy định sẵn.
    Giáo viên chủ yếu là người tổ chức,
    hỗ trợ học sinh tự lực và tích cực
    lĩnh hội tri thức. Chú trọng sự phát
    triển khả năng giải quyết vấn đề,
    khả năng giao tiếp…
    Chú trọng sử dụng các quan điểm,
    phương pháp và kỹ thuật dạy học
    tích cực; các phương pháp dạy học
    thí nghiệm, thực hành.
    8
    Hình thức
    dạy học
    Chủ yếu dạy học lý thuyết trên
    lớp học
    Tổ chức hình thức học tập đa dạng;
    chú ý các hoạt động xã hội, ngoại
    khóa, nghiên cứu khoa học, trải
    nghiệm sáng tạo; đẩy mạnh ứng
    dụng công nghệ thông tin và truyền
    thông trong dạy và học.
    Đánh giá
    kết quả học
    tập của học
    sinh
    Tiêu chí đánh giá được xây
    dựng chủ yếu dựa trên sự ghi
    nhớ và tái hiện nội dung đã
    học.
    Tiêu chí đánh giá dựa vào năng lực
    đầu ra, có tính đến sự tiến bộ trong
    quá trình học tập, chú trọng khả
    năng vận dụng trong các tình
    huống thực tiễn.
    II. Các năng lực cần phát triển cho học sinh trong dạy học nói chung v dạy
    học môn Toán nói riêng.
    Môn Toán là môn học công cụ, là môn học bắt buộc đối với tất cả các học
    sinh. Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, môn Toán được phân chia theo
    hai giai đoạn: Giai đoạn giáo dục cơ bản (lớp 1 đến lớp 9); Giai đoạn giáo dục
    định hướng nghề nghiệp (lớp 10 đến lớp 12).
    Trong giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp, giáo viên cần phải giúp
    học sinh thấy được những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, những
    ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghề
    nghiệp sau này, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự mình tìm hiểu những vấn
    đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời.
    Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi… làm nền
    tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp.
    Dạy học theo định hướng phát triển năng lực nhằm bồi dưỡng và phát huy
    cho học sinh 10 năng lực sau đây: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và
    hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo; năng lực ngôn ngữ, năng lực toán
    học, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mỹ,
    năng lực thể chất. Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học là:

    • Năng lực tư duy và lập luận toán học: là tổng hợp những khả năng ghi
      nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận – giải quyết vấn
      đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào
      thực tiễn. Năng lực tư duy của học sinh tiểu học trong quá trình học toán thể hiện
      9
      qua các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, đặc biệt hóa và khái quát
      hóa…
    • Năng lực giải quyết vấn đề: là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các
      quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xác cảm để giải quyết những
      tình huống có vấn đề mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông
      thường. Đây là một trong những năng lực mà môn toán có nhiều lợi thế để phát
      triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, quy tắc toán học và đặc biệt là
      qua giải toán.
    • Năng lực mô hình hóa toán học (còn gọi là năng lực toán học hóa tình
      huống thực tiễn): là khả năng chuyển hóa một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán
      học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá
      lời giải trong ngữ cảnh thực tế.
    • Năng lực giao tiếp toán học: là khả năng sử dụng ngôn ngữ nói, viết và
      biểu diễn toán học để làm thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học.
      Năng lực giao tiếp liên quan đến việc sử dụng ngôn ngữ toán học kết hợp các ngôn
      ngữ thông thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán
      học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi giải toán…
    • Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán: giúp học sinh làm
      quen với các phương tiện toán học thông thường và bắt đầu làm quen với công
      nghệ thông tin.
      III. Đổi mới phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển năng lực của học sinh
      Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình
      giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ
      quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng
      được cái gì qua việc học.
      Phương pháp dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ chú ý tích
      cực hoá học sinh về hoạt động trí tuệ mà còn chú ý rèn luyện năng lực giải quyết
      vấn đề gắn với những tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp, đồng thời gắn
      hoạt động trí tuệ với hoạt động thực hành, thực tiễn. Tăng cường việc học tập
      trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên – học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa
      10
      quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập những tri thức
      và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề học tập
      phức hợp nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp.
      Những định hướng chung, tổng quát về đổi mới phương pháp dạy học các môn
      học thuộc chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực là:
    • Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và
      phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông
      tin,…), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy.
    • Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp
      đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào
      cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận
      thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.
    • Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy
      học. Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình
      thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài
      lớp… Cần chuẩn bị tốt về phương pháp đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu
      cầu rèn luyện kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng
      thú cho người học.
    • Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học môn học tối thiểu đã qui
      định. Có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm nếu xét thấy cần thiết với nội
      dung học và phù hợp với đối tượng học sinh. Tích cực vận dụng công nghệ thông
      tin trong dạy học.
      IV. Một số biện pháp đổi mới phƣơng pháp dạy học
    1. Cải tiến các phương pháp dạy học truyền thống
      Các phương pháp dạy học truyền thống như thuyết trình, đàm thoại, luyện tập
      luôn là những phương pháp quan trọng trong dạy học. Đổi mới phương pháp dạy
      học không có nghĩa là loại bỏ các phương pháp dạy học truyền thống quen thuộc
      mà cần bắt đầu bằng việc cải tiến để nâng cao hiệu quả và hạn chế nhược điểm của
      chúng. Các phương pháp dạy học truyền thống có những hạn chế tất yếu, vì thế
      11
      bên cạnh các phương pháp dạy học truyền thống cần kết hợp sử dụng các phương
      pháp dạy học mới, đặc biệt là những phương pháp và kỹ thuật dạy học phát huy
      tính tích cực và sáng tạo của học sinh. Chẳng hạn có thể tăng cường tính tích cực
      nhận thức của học sinh trong thuyết trình, đàm thoại theo quan điểm dạy học giải
      quyết vấn đề.
    2. Kết hợp đa dạng các phương pháp dạy học
      Không có một phương pháp dạy học toàn năng phù hợp với mọi mục tiêu và
      nội dung dạy học. Mỗi phương pháp và hình thức dạy học có những ưu, nhựơc
      điểm và giới hạn sử dụng riêng. Vì vậy việc phối hợp đa dạng các phương pháp và
      hình thức dạy học trong toàn bộ quá trình dạy học là phương hướng quan trọng để
      phát huy tính tích cực và nâng cao chất lượng dạy học.
    3. Tích cực sử dụng các phương pháp dạy học tích cực trong môn Toán như:
      +) Dạy học giải quyết vấn đề: là cách thức phù hợp để hình thành và phát triển
      “Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo” (năng lực chung). Trong phạm vi dạy
      học môn Toán (vấn đề được nêu ra có bản chất toán học), dạy học giải quyết vấn
      đề phù hợp để hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học (một
      thành phần của năng lực toán học).
      Dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán giúp cho các tri thức toán (khái
      niệm, định lí, hệ quả, tính chất,…) được hình thành như là kết quả của quá trình
      HS tích cực suy nghĩ để giải quyết một vấn đề toán học, chứ không phải do GV
      tuyên bố.
      +) Dạy học mô hình hoá toán học và dạy học bằng mô hình hoá toán học: là
      dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho
      những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
      Dạy học bằng mô hình hoá toán học là dạy học toán thông qua dạy học mô
      hình hoá. Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải
      quyết các vấn đề thực tiễn, đây, mô hình hóa toán học được hiểu là sự giải thích
      toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà
      người ta đặt ra trên hệ thống này.
      12
      +) Dạy học toán qua tranh luận khoa học: là tổ chức lớp học toán như một
      cộng đồng khoa học, trong đó HS sẽ đóng vai các nhà toán học nhằm thiết lập
      chân lí cho các kiến thức toán học cần dạy dựa vào các quy tắc suy luận logic và
      những tri thức toán học đã biết.
      +) Dạy học toán qua hoạt động trải nghiệm: là dạy học dựa trên mô hình gắn
      với lí thuyết học tập trải nghiệm . Do vậy, thông qua hành động (thực hành, làm
      việc), HS tạo ra tri thức mới trên cơ sở trải nghiệm thực tế, dựa vào đánh giá, phân
      tích những kinh nghiệm, kiến thức sẵn có.
    4. Sử dụng các kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật khăn trải bàn, phòng tranh, sơ đồ tư
      duy, tia chớp, KWL và KWLH,…
      13
      Phần B: NỘI DUNG GIẢI PHÁP
      Nội dung 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN.
    5. Cấp số cộng
      1.1. Khái niệm
      Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,
      mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
      Số d gọi là công sai của cấp số cộng.
      1.2. Số hạng tổng quát
      Nếu cấp số cộng
        n
      u
      có số hạng đầu là
      1 u
      và công sai
      d
      thì số hạng tổng quát
      n u
      được xác định bởi công thức:
      u u n d n
         1  1 .
      với
      n 2
      1.3. Tính chất
      Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung
      bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
      1 1
      2
      k k
      k
      u u
      u
      với
      k 2
      1.4. Tổng n số hạng đầu
      Cho cấp số cộng
       .
      n
      u
      Đặt
      1 2 3 … .
      n n
      S u u u u
      Khi đó
       1 
      2
      n n
      n
      S u u  
      hoặc
      1
      2 1
      2
      n
      n
      S u n d
    6. Cấp số nhân
      2.1. Khái niệm
      Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
      hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi
      q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.
      2.2. Số hạng tổng quát
      Nếu cấp số nhân
        n
      u
      có số hạng đầu là
      1 u
      và công bội
      q
      thì số hạng tổng quát
      n u
      được xác định bởi công thức:
      1
      1
      .
      n
      n
      u u q
      với
      n 2
      2.3. Tính chất
      Trong một cấp số nhận, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
      14
      cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
      2
      1 1 .
      k k k u u u
      với
      k 2
      2.4. Tổng n số hạng đầu
      Cho cấp số nhân
        n
      u
      với công bội
      q 1.
      Đặt
      1 2 3 … .
      n n
      S u u u u
      Khi đó
      1
      1
      .
      1
      n
      n
      q
      S u
      q



      Chú ý: Nếu
      q 1
      thì cấp số nhân là:
      1 1 1 1 u u u u , , ,…, ,…
      Khi đó
      1
      .
      n
      S n u 
      Nội dung 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CẤP SỐ NHÂN TRONG THỰC
      TIỄN, LIÊN MÔN.
      Bài toán 1: Bài toán ứng dụng cấp số nhân trong kinh tế, xây dựng; liên hệ
      giáo dục địa phƣơng v môn Lịch sử.
      Ví dụ 1: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của
      mỗi tầng bằng
      4
      5
      diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt
      trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (đế tháp có diện tích là 40 m
      2
      ). Tính
      diện tích mặt trên cùng.
      Phân tích:
    • Diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp, tức là bằng:
      40 2
      20
      2
      m
    • Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay
      bên dưới, nghĩa là: diện tích bề mặt trên của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một
      cấp số nhân, công bội bằng
      4
      5
    • Tính diện tích mặt trên cùng, tức là tính số hạng thứ 11 của cấp số nhân đó.
      Lời giải:
      15
    • Diện tích mặt trên của tầng 1 là:
      40 2
      20
      2
      m
    • Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có số
      hạng đầu là
      2
      1
      u m 20 ,
      công bội
      4
      5
      q
    • Diện tích mặt trên cùng là:
      10
      10 2
      11 1
      4
      . 20. 2,15
      5
      u u q m
      Chọn A.
      Bình luận: – Để tính diện tích mặt trên cùng của tháp ta cần phân tích các dữ kiện
      để chuyển bài toán thực tế sang bài toán toán học. Qua đó, giáo viên đã bồi
      dưỡng, phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.
    • Khi yêu cầu học sinh giải toán, ta nên đưa vào những hình ảnh minh họa
      để học sinh quan sát, liên tưởng, giúp các em giải quyết vấn đề tốt hơn đồng thời
      bồi dưỡng năng lực thẩm mỹ. Chẳng hạn, khi giải quyết bài toán trong ví dụ 1, ta
      đưa thêm hình ảnh tháp Phổ Minh – di sản văn hóa thời Trần ở Nam Định

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy bài toán Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng

    SKKN Bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy bài toán Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
    Mỗi môn học ở trường phổ thông với đặc trưng của mình đều góp phần thực hiện
    mục tiêu giáo dục trong đó có môn Toán. Môn Toán ở trường phổ thông không chỉ
    trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản của bộ môn mà còn bồi dưỡng tư
    tưởng, tình cảm đúng đắn đồng thời giúp các em phát triển toàn diện. Song để thực
    hiện chức năng đó cần thiết phải đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần: phát
    huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng cho
    học sinh năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.
    Quán triệt sâu sắc quan điểm chỉ đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục –
    Đào tạo Nam Định về đổi mới phương pháp dạy học, giáo viên trường THPT Giao
    Thủy đã từng bước tích cực áp dụng các phương pháp, hình thức dạy học theo
    hướng phát triển phẩm chất, năng lực của học sinh.
    Năm học 2021 – 2022 là năm học thứ sáu Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT Quốc
    Gia môn toán dưới hình thức trắc nghiệm nên một số nội dung giảng dạy theo
    phương pháp truyền thống không còn phù hợp, cần có hướng khai thác mới phát
    huy tư duy học sinh để đạt hiệu quả cao nhất.
    Chuyên đề “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng” là
    một nội dung quan trọng của hình học lớp 11. Nếu hệ thống bài tập được khai thác
    và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy biểu
    hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác
    nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một
    bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra
    bài toán mới trên cơ sở những bài toán quen thuộc.
    Xuất phát từ lí do trên, qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và dự giờ học
    tập đồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm
    BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO
    CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN
    GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;
    GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
    2
    II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

    1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
      Trong các kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG và học sinh giỏi thì bài toán về Góc
      giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng làm cho nhiều học sinh
      lúng túng vì nghĩ rằng nó trừu tượng và thiếu tính thực tế. Có thể nói bài toán về
      Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng có sự phân loại đối
      tượng học sinh rất cao.
    2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
      Trong quá trình học tập, tôi khuyến khích HS sử dụng bất cứ nội lực nào, bất cứ
      phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào có thể, miễn sao phát hiện và giải quyết
      được vấn đề. SKKN hướng đến việc phát triển phẩm chất, năng lực học sinh, rèn
      luyện tính linh hoạt của tư duy, thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư
      duy. Trước hết cần rèn luyện cho HS khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy
      đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm
      xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. Việc chuyển
      hướng quá trình tư duy không chỉ là đảo ngược quá trình này mà còn có thể là
      chuyển từ hướng này sang hướng khác không nhất thiết là ngược với hướng ban
      đầu. Rèn luyện cho học sinh tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả
      năng tự mình phát hiện vấn đề, tự xác định phương hướng và tìm ra cách giải
      quyết, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết
      với tính phê phán của tư duy nó thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc ý nghĩ và
      tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết
      đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?” đúng chỗ, đúng lúc. Như vậy qua việc
      nghiên cứu sâu bài toán có thể giúp HS sáng tạo ra được bài toán mới thể hiện tính
      sáng tạo của tư duy.
      Sau đây tôi trình bày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến.
      BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO
      CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN
      GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;
      GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
      3
      Những điểm mới mà sáng kiến của tôi đề cập đến bao gồm:
    • Phần 1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp
      để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Trang 4)
      Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói
      trên (Trang 8)
    • Phần 2 Góc giữa hai mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp để tính góc
      giữa hai mặt phẳng (Trang 39)
      Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói
      trên (Trang 43)
    • Phần 3 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo:
      tìm ra nhiều cách giải khác nhau; đề xuất bài toán mới từ bài toán đã cho; phát
      hiện những sai lầm trong lời giải, nguyên nhân và cách khắc phục những sai
      lầm đó (Trang 60)
    • Phần 4 Tứ diện vuông: khai thác – ứng dụng các tính chất cơ bản về Góc giữa
      đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng để phát triển thêm một số
      bài toán (Trang 68)
      4
      PHẦN 1. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
      I. Phương pháp
    1. Phương pháp 1. Dựng góc
      SGK định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:
    • Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng d và
      mặt phẳng bằng .
    • Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường
      thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng gọi là góc giữa đường thẳng
      d và mặt phẳng .
      Chú ý: Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      d
      và mặt phẳng
      (P)

    • 0 90     

    • ( )
      ( )
      0

        = 
       
      d P
      d P
    • Để tìm hình chiếu d’ của d trên ta có thể
      làm như sau:
      Tìm giao điểm
      M d P = ( )
      Lấy một điểm tùy ý trên d khác và
      xác định hình chiếu của trên . Khi
      đó d’ là đường thẳng đi qua hai điểm và
      .
      Ta có
       = AMH cos =
      MH
      MA

      sin , = 0 90     AH
      AM
       
      Tuy nhiên việc xác định hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng không phải
      lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc đưa ra thêm một số phương pháp để tính
      góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.
      (P)
      (P) 90
      (P)
      (P)
      (P)
      (P)
      A M
      H A (P)
      H
      M
      P
      A
      M H
      5
    1. Phương pháp 2. Sử dụng quan hệ song song
      a. Hướng 1: Chọn một đường thẳng
       d
      . Khi đó góc giữa đường thẳng
      d
      và mặt
      phẳng
      (P)
      bằng góc giữa đường thẳng

      và mặt phẳng
      (P).
      b. Hướng 2: Chọn một mặt phẳng
      (Q P ) ( )
      . Khi đó góc giữa đường thẳng
      d
      và mặt
      phẳng
      (P)
      bằng góc giữa đường thẳng
      d
      và mặt phẳng
      (Q).
      c. Hướng 3: Chọn một đường thẳng
       d
      . Chọn một mặt phẳng
      (Q P ) ( )
      . Khi đó góc
      giữa đường thẳng
      d
      và mặt phẳng
      (P)
      bằng góc giữa đường thẳng

      và mặt phẳng
      (Q).
      Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh sẽ thay thế một trong hai đối tượng đường thẳng
      và mặt phẳng nhằm mục đích xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng thuận
      lợi.
    2. Phương pháp 3. Sử dụng khoảng cách
      Nhận thấy ở Phương pháp 1 việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng
      không phải lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc sử dụng khoảng cách để tính
      góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.
      Cho đường thẳng
      d
      cắt mặt phẳng
      (P)
      tại M.
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      d
      và mặt phẳng
      (P)
      Khi đó
      ( ,( ))
      sin , = 0 9    0
      d A P
      AM
       
      ( ( ))
      2 2
      ,
      cos

    −

    MA d A P
    MA

    Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh không cần xác định góc mà có thể tính ngay
    được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua khoảng cách, và cách tính khoảng
    cách có thể đơn giản hơn nhiều so với cách xác định góc và tính góc.

    1. Phương pháp 4. Sử dụng dãy tỉ số bằng nhau của khoảng cách (KHÔNG CẦN
      TÌM GIAO ĐIỂM của đường thẳng và mặt phẳng)
      Nhận thấy ở Phương pháp 3 việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
      không phải lúc nào cũng thuận lợi. Khắc phục khó khăn đó bằng cách lấy hai điểm
      phân biệt thuộc đường thẳng và xem vị trí tương đối của hai điểm đó với mặt phẳng
      P
      A
      M H
      6
      Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A, M.
      a. Hai điểm A, M nằm về 2 phía của mặt phẳng
      (P)
      ( , , , , ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
      sin
      d M P d A P d M P d A P
      MO AO MA

      +
      = = =
      b. Hai điểm A, M nằm về cùng một phía của mặt phẳng
      (P)
      ( , , ( )) ( ( )) ( , , ( )) ( ( ))
      sin
      −
      = = =
      d M P d A P d M P d A P
      MO AO MA

      Chú ý: Cách tiếp cận này thích hợp cho học sinh nắm chắc việc tính khoảng cách từ một
      điểm đến một mặt phẳng.
    2. Phương pháp 5. Sử dụng góc phụ
      Cho đường thẳng

      vuông góc với
      mặt phẳng
      (P)
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      d
      và
      mặt phẳng
      (P)
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      d
      và
      đường thẳng

       + =    90
      Ta có
      sin cos ,   = 0 90    

    2
    cos sin 1 cos    = = −
    Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng
    và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai đường thẳng.
    d
    P
    M
    O
    K
    A
    H
    d
    P
    A
    O H
    M
    K

    P
    A
    M H
    7

    1. Phương pháp 6. Sử dụng góc phụ
      Gọi

      là góc giữa hai mặt phẳng
      (P)
      và
      (Q)
      Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
      (P)
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
      (Q)
       + =    90
      Ta có
      2
      cos sin 1 cos    = = − sin cos ,   = 0 90     

    Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng
    và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai mặt phẳng.

    1. Phương pháp 7. Sử dụng phương pháp tọa độ không gian
      Đường thẳng
      d
      có một vectơ chỉ phương
      u
      Mặt phẳng
      (P)
      có một vectơ pháp tuyến
      n
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      d
      và mặt phẳng
      (P)
      Ta có
      .
      sin ,
      .
      = 0 90    
      u n
      u n
       
      a
      8
      Sau đây tôi đưa ra một số bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận
      các phương pháp nói trên
      II. Bài tập minh họa
      Bài 1: Cho hình lập phương
      ABCD A B C D .
         
      có cạnh bằng
      a
      . Tính góc giữa đường thẳng
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Lời giải
      Lời giải 1: Phương pháp 1
      Tìm hình chiếu của
      A
      trên mặt phẳng
      ( A BD ).
      Tìm giao điểm của
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Cụ thể: Ta có
      AI A BD ⊥(  )
      tại
      I
      Giao điểm của
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD )
      chính là giao điểm của
      AD
      và
      AD
      Lời giải 2: Phương pháp 2
      Ta có
      AD BC  
      nên góc giữa đường thẳng
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD )
      bằng góc giữa
      đường thẳng
      BC
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      BC
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Hướng 1: Hình chiếu của
      BC
      trên mặt phẳng
      ( A BD )
      là
      BI C BI  =  
      3 3
      cos arccos
      3 3
       = =  =

      BI
      BC
       
      Hướng 2: Ta có
      ( , 2 , ( )) ( ( ))
      sin
        
      = =
       
      d C A BD d A A BD
      C B C B

      Mà
      ( ( ))
      ( ( )) 2 2 2 2 2
      1 1 1 1 3 3
      ,
      , 3
      = + + =  = 
       
      a
      d A A BD
      d A A BD AA AB AD a
      , C B a 
      = 2
      9
      6 6 sin arcsin
      3 3
       =  =  
      Lời giải 3: Phương pháp 3
      Tìm giao điểm của
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Tính
      d A A BD ( ,(  ))
      Lời giải 4: Phương pháp 4 (KHÔNG CẦN tìm giao điểm của
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD )
      )
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Ta có
      A D,

      nằm hai phía mặt phẳng
      ( A BD )
      ( , , 2 , ( )) ( ( )) ( ( ))
      sin
          +
      = =
       
      d A A BD d D A BD d A A BD
      AD AD

      Mà
      d D A BD d A A BD (   
      , , ( )) = ( ( )),
      ( ( ))
      ( ( )) 2 2 2 2 2
      1 1 1 1 3 3
      ,
      , 3
      = + + =  = 
       
      a
      d A A BD
      d A A BD AA AB AD a
      , A D a 
      = 2
      2 , ( ( )) 6 6 sin arcsin
      3 3

       = =  =

      d A A BD
      AD
       
      Lời giải 5: Phương pháp 5
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Ta có
      AC A BD   ⊥( ). Gọi

      là góc giữa hai đường thẳng
      AD
      và
      AC.
      2 2 2
      sin cos cos
      2 .
          + −
       = = =  
       
      AC AD C D
      C AD
      AC AD
       
      Lời giải 6: Phương pháp 6
      Ta có
      AD A B CD    ⊥( )
      Gọi

      là góc giữa đường thẳng
      AD
      và mặt phẳng
      ( A BD ).
      Gọi

      là góc giữa hai mặt phẳng
      ( A BD )
      và
      ( A B CD   )
       = sin cos  
      Lời giải 7: Phương pháp 7
      10
      Chọn hệ trục tọa độ
      Bài 2: Cho hình chóp
      S ABCD .
      có đáy
      ABCD
      là hình vuông cạnh
      a
      , cạnh bên
      SA
      vuông
      góc với đáy và
      SA a =
      . Gọi
      M N,
      lần lượt là trung điểm của các cạnh
      BC
      và
      SD , 
      là
      góc giữa đường thẳng
      MN
      và mặt phẳng
      (SAC). Tính
      tan .
      Lời giải
      Lời giải 1: Phương pháp 2
      +) Gọi
      I
      là giao điểm của
      DM
      và
      AB
      . Ta có
      1
      ,
      2
      BM AD BM AD BM // = 
      là đường trung
      bình của tam giác
      AID
      nên
      M
      là trung điểm của
      ID
      . Suy ra
      MN SI // .
      +) Ta có tứ giác
      BDCI
      là hình bình hành nên
      BD IC //
      , mà
      BD SAC ⊥ ( )
      nên
      IC SAC ⊥ ( ).
      Suy ra hình chiếu của điểm
      I
      lên mặt phẳng
      (SAC)
      là điểm
      C .
      +) Góc giữa đường thẳng
      MN
      và mặt phẳng
      (SAC)
      bằng góc giữa đường thẳng
      SI
      và
      mặt phẳng
      (SAC)
      cũng bằng góc giữa
      SI
      và
      SC
      hay góc
      ISC = .
      +) Ta có
      SC a IC BD a = = = 3, 2 2 6
      tan
      3 3
      IC a
      SC a
       = = =  .
      Lời giải 2: Phương pháp 7
      11
      Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ
      O
      trùng với
      A
      . Không mất tính tổng quát,
      giả sử
      a =1
      Khi đó
      B(1;0;0), D(0;1;0), C(1;1;0), S (0;0;1)
      1 1 1 1; ;0 , 0; ;
      2 2 2
      M N             
      .
      Mặt phẳng
      (SAC)
      có vectơ pháp tuyến là
      n BD = = −( 1;1;0) .
      Đường thẳng
      MN
      có vectơ chỉ phương là
      1
      1;0;
      2
      u MN  
      = = −   
      .
      Mà

      là góc giữa đường thẳng
      MN
      và mặt phẳng
      (SAC)
      nên
      . 1 2 sin
      . 5 5 2.
      2
      n u
      n u
       = = = .
      Do đó
      2 3
      cos 1 sin
      5
        = − =
      sin 2 6
      tan
      cos 3 3



       = = = .
      Bài 3: Cho hình chóp
      S ABCD .
      có
      SA
      vuông góc với mặt phẳng đáy,
      ABCD
      là hình chữ
      nhật có
      AD a AC a = = 3 , 5
      , góc giữa hai mặt phẳng
      (SCD)
      và
      ( ABCD)
      bằng
      45 . Tính
      cosin của góc giữa đường thẳng
      SD
      và mặt phẳng
      (SBC).
      Lời giải
      Lời giải 1: Phương pháp 1
      12
      Gọi
      H
      là hình chiếu của
      A
      lên
      SB.
      Ta có
      ( )
      BC AB BC SAB BC AH
      BC SA
       ⊥
        ⊥  ⊥
       ⊥
      .
      ( )
      BC AH AH SBC
      SB AH
       ⊥
        ⊥
       ⊥
      .
      Dựng hình chữ nhật
      AHED  AH // DE  ⊥ DE SBC ( ).
      Do đó,
      (SD SBC SD SE DSE , , ( )) = = ( ) .
      Hai mặt phẳng
      (SCD)
      và
      ( ABCD)
      cắt nhau theo giao tuyến
      CD , AD ABCD  ( )
      và
      AD CD ⊥ , SD SCD  ( )
      và
      SD CD ⊥
      nên
      (( ) ( )) SCD ABCD SDA , 45 = =  .
      Tam giác
      SAD
      vuông tại
      A
      , có
      AD a = 3
      nên
      3
      3 2
      cos cos45
      AD a SD a
      SDA
      = = =

      ;
      SA AD a =  = .tan45 3 .
      Đáy
      ABCD
      là hình chữ nhật nên
      ( ) ( )
      2 2 2 2 AB DC AC AD a a a = = − = − = 5 3 4 .
      Tam giác
      SAB
      vuông tại
      A
      có đường cao
      AH
      nên
      ( ) ( )
      2 2 2 2 2 2
      1 1 1 1 1 25
      AH SA AB a 3 4 a a 144
      = + = + = 12
      5
      a
       = AH .
      AHDE
      là hình chữ nhật nên
      12
      5
      a
      AH DE = = .
      13
      Tam giác
      SDE
      vuông tại
      E
      nên
      12
      5 2 2 sin
      3 2 5
      a
      DE DSE
      SD a
      = = =
      Suy ra:
      2 17 cos 1 sin
      5
      DSE DSE = − = .
      Lời giải 2: Phương pháp 3
      Ta có thể không cần xác định chính xác hình chiếu của
      D
      lên mặt phẳng
      (SBC)
      mà vẫn
      tính được góc giữa đường thẳng
      SD
      và mặt phẳng
      (SBC)
      như sau:
      Gọi

      là góc giữa
      SD
      và mặt phẳng
      (SBC).
      Ta có
      ( ,( )) 2 2 sin
      5
      d D SBC AH
      SD SD
       = = = .
      Suy ra:
      2 17 cos 1 sin
      5
        = − = .
      Lời giải 3: Phương pháp 2
      14
      Tam giác
      SAD
      vuông tại
      A
      , có
      AD a = 3
      nên
      3
      3 2
      cos cos45
      AD a SD a
      SDA
      = = =

      ;
      SA AD a =  = .tan45 3 .
      Dựng hình chữ nhật
      SABP
      , khi đó
      SP AB CD SB = = , // AB// CD
      nên
      SDCP
      là hình bình
      hành, mà
      CD SD ⊥
      nên
      SDCP
      là hình chữ nhật. Suy ra
      SD CP SD CP a // , 3 2 = = .
      Từ
      P
      kẻ
      PH SB ⊥
      tại
      H
      , tam giác
      SPB
      vuông tại
      P
      , đường cao
      PH
      nên
      ( ) ( )
      2 2 2 2 2 2 2
      1 1 1 1 1 1 1
      PH SP PB AB SA 4 3 a a
      = + = + = + 12
      5
      a
       = PH
      Ta có
      ( ( )) ( ( )) SD SBC CP SBC PCH , ,
      = = .
      12
      5 2 2 sin
      3 2 5
      a
      PH PCH
      PC a
      = = = .
      Suy ra:
      2 17 cos 1 sin
      5
      PCH PCH = − = .
      15
      Bài 4: Câu 24.3 Đề khảo sát chất lượng học kỳ 2 năm học 2019-2020 của trường THPT
      Giao Thủy
      Đáp án của trường Câu 24.3 làm theo Phương pháp 3
      M
      I
      N O
      C
      B
      D
      A
      S
      H
      P
      E
      16
      Lời giải 1: Phương pháp 3
      Lời giải học sinh lớp tôi dạy

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Một số bài toán về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong ôn thi học sinh giỏi và tốt nghiệp trung học phổ thông

    SKKN Một số bài toán về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong ôn thi học sinh giỏi và tốt nghiệp trung học phổ thông

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
    Trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia từ năm 2017 đến năm 2020 và
    kì thi tốt nghiệp năm 2021, năm 2022 đề thi môn Toán thay đổi từ hình thức tự
    luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự
    chuyển biến lớn trong cả dạy và học. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này,
    học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán
    quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất,
    chọn được cách giải quyết tốt nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn.
    Để làm được điều đó, giáo viên cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức cơ bản,
    kỹ năng tổng hợp phân tích các dạng toán để có thể giải quyết các bài tập ở cả 4
    cấp độ tư duy.
    Với chương trình toán 12, phần kiến thức về chủ đề hàm số luôn luôn chiếm
    tỷ lệ cao trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi học sinh giỏi và đánh giá năng lực của
    Đại học quốc gia hay đề thi tư duy của Đại học Bách khoa. Các kiến thức của từng
    bài trong chương Hàm số luôn có sự lôgic có nhiều dạng bài, trong đó có câu hỏi
    về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuyên xuất hiện trong đề HSG,
    đề thi thử của các trường trong cả nước và có trong đề thi tham khảo năm 2018;
    đề minh họa 2021 và đề thi tốt nghiệp năm 2021; năm 2022 của Bộ giáo dục đều
    ở mức vận dụng, vận dụng cao. Các bài tập về chủ đề này giúp học sinh ôn tập
    kiến thức tổng thể về chương hàm số, trang bị cho học sinh các kĩ năng: tính toán,
    tổng hợp; học sinh được phát triển các năng lực một cách toàn diện: năng lực tính
    toán, năng lực hợp tác, năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh….từ đó học sinh mới
    có thể giải quyết được các bài tập tổng hợp mức vận dụng, vận dụng cao trong đề
    thi. Vì vậy, qua nhiều năm nghiên cứu và giảng dạy lớp 12, tôi xin đưa ra sáng
    kiến “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
    TUYỆT ĐỐI TRONG ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI TỐT NGHIỆP
    TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” để giúp học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi
    3
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    năm học 2022-2023 và các năm tiếp theo. Hy vọng chuyên đề này sẽ đồng hành
    với các em học sinh, hỗ trợ phần nào đó trên con đường tìm hiểu khoa học, tìm
    đến cái hay của Toán học. Tuy nhiên, do nhiều điều kiện khách quan khác nhau
    nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng
    góp của quý Thầy cô để sáng kiến ngày càng được bổ sung và hoàn thiện góp
    phần vào sự nghiệp giáo dục chung của tỉnh nhà.
    II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

    1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
      Các bài toán về chủ đề hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương
      trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong tất cả các kì thi: tốt nghiệp; đánh
      giá năng lực, đánh giá tư duy; thi học sinh giỏi các cấp. Mặc dù học sinh được cọ
      sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình
      tìm ra cách giải trong các bài toán vận dụng và vận dụng cao. Nguyên nhân là:
      Thứ nhất, các bài toán về cực trị, tương giao…trong chủ đề hàm số là mảng
      kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết
      hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
      Thứ hai, sách giáo khoa cơ bản trình bày phần này khá đơn giản, các tài
      liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên
      cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa
      có cái nhìn tổng quát về các dạng toán.
      Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng
      quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi
      do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn
      cho các em.
    2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
      Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề quan trọng trong những năm
      gần đây khi thực hiện thi tốt nghiệp THPT, thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy
      môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm . Cái mới ở đây chính là sự phân loại các
      4
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      dạng bài có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các kĩ thuật
      quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh. Thêm vào đó, với mỗi bài toán đều
      có sự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là cho học sinh tìm ra cái
      gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách
      nào và trang bị cho các em một số kỹ thuật suy luận nhanh khi các em đã hiểu
      được bản chất bài toán.
      Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần thích nghi một
      cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới.
      Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này, rút ngắn được thời gian
      làm một câu trắc nghiệm.
      Sau đây tôi xin trình bày nội dung chính của sáng kiến:
    • Phần 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
    • Phần 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
      DẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
      DẠNG 2: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
      DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁNCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GTTĐ KHÁC
      PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
    1. Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ
      1.1. Định nghĩa
      Hàm số y f x    với tập xác định D và gọi là hàm số chẵn nếu
       x D thì   x D và  x D thì f x f x    .
      Hàm số y f x    với tập xác định D và gọi là hàm số lẻ nếu
       x D thì   x D và  x D thì f x f x      .
      1.2. Nhận xét
      5
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
      Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
    2. Đạo hàm hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
    •     
         
       
      2
      .
      .
      f x f x
      y f x y f x
      f x
       
          
    •      . .  
      x
      y f x y f x f x
      x

           
    1. Khái niệm cực trị của hàm số
      3.1. Khái niệm
      Cho hàm số y f x    xác định và liên tục trên khoảng a b;  (có thể a là ;
      b là ) và điểm x a b 0   ; .
    • Nếu tồn tại số h  0sao cho 0
      f x f x ( ) ( )  với mọi x x h x h     0 0 ; và
      0
      x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại 0
      x và 0
      x gọi là điểm cực đại của
      hàm số; f x 0  gọi là giá trị cực đại của hàm số.
    • Nếu tồn tại số h  0sao cho 0
      f x f x ( ) ( )  với mọi x x h x h     0 0 ; và
      0
      x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại 0
      x và 0
      x gọi là điểm cực tiểu của
      hàm số; f x 0  gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
      3.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
      Nếu hàm số y f x    có đạo hàm tại 0
      x và đạt cực trị tại điểm đó thì f x ‘ 0.  0  
      3.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
      6
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Giả sử hàm số y f x    liên tục trên khoảng K x h x h     0 0 ;  và có đạo
      hàm trên K hoặc trên K x \ ,  0  với h  0.
    • Nếu 0 0 f x x x h x ( ) 0, ( ; )     và 0 0 f x x x x h ( ) 0, ( ; )     thì hàm số đạt
      cực đại tại điểm 0
      x .
    • Nếu 0 0 f x x x h x ( ) 0, ( ; )     và 0 0 f x x x x h ( ) 0, ( ; )     thì hàm số đạt
      cực tiểu tại điểm 0
      x .
      x
      0
      x h  0
      x 0
      x h  x
      0
      x h  0
      x 0
      x h 
      f x  
        f x  
       
      f x 
      CD f

    f x 

    CT f

    1. Giao điểm của hai đồ thị hàm số
      4.1. Định lí
      Cho hàm số y f x    có đồ thị C1 và hàm số y g x    có đồ thị C2 .
      Hoành độ giao điểm củaC1 và C2 là nghiệm của phương trình f x g x     .
      Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị C1 và C2 .
      4.2. Nhận xét
      7
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x    và trục Ox là nghiệm của
      phương trình f x   0.
      Ví dụ: Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) là đường cong
      như hình vẽ bên. Suy ra phương trình f x   0 có 3
      nghiệm phân biệt là x x x     1, 1, 3. 4.3. Chú ý về nghiệm đơn, nghiệm kép với bài toán đồ thị hàm số
      Cho hàm số y f x    có đồ thị ( ) C cho trước. Khi xác định giao điểm của đồ thị
      ( ) C và trục Ox ta cần lưu ý:
    • Đồ thị ( ) C tiếp xúc với trục hoành thì hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C với
      trục Ox là nghiệm bội chẵn (thường là nghiệm kép).
    • Đồ thị ( ) C cắt trục hoành thì:
    • Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox trùng với trục Ox thì hoành
      độ giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox là nghiệm bội lẻ.
    • Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox cắt trục Ox thì hoành độ
      giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox là nghiệm đơn.
      Hình ảnh minh họa
       x  1 là nghiệm đơn.
       x  1 là nghiệm kép.
       x  2 là nghiệm bội lẻ.
      8
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Ví dụ: Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) là đường cong như
      hình vẽ bên. Suy ra phương trình f x   0 có 2 nghiệm x  0
      ( nghiệm kép) và x a a   , 2 (nghiệm đơn).
      4.4. Phương pháp xét dấu biểu thức f x  
    • Nếu hàm y f x  ( ) liên tục trên     a b f x ; , ( ) 0     vô nghiệm trên khoảng a b; 
      thì f x( ) luôn dương hoặc luôn âm trên khoảng a b; .
      Khi đó chọn x a b 0   ; , ta có : Nếu 0
      f x( ) 0  thì f x x a b ( ) 0, ;     .
      Nếu 0
      f x( ) 0  thì f x x a b ( ) 0, ;     .
      *Quy tắc xét dấu bằng phương pháp khoảng: qua nghiệm đơn thì biểu thức đổi
      dấu, qua nghiệm kép thì biểu thức không đổi dấu (nghiệm bội lẻ được xét như
      nghiệm đơn, nghiệm bội chẵn được xét như nghiệm kép).
    1. Phép tịnh tiến đồ thị
      Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) và số thực a  0
    • Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên a đơn vị theo phương song song với trục Oy ta
      được đồ thị hàm số y f x a     .
    • Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới a đơn vị theo phương song song với trục Oy
      ta được đồ thị hàm số y f x a     .
    • Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta
      được đồ thị hàm số y f x a    .
    • Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta
      được đồ thị hàm số y f x a    .
      9
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
      DẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
      1.1. Phương pháp
      Cách 1:
      Để tìm số điểm cực trị của hàm số y f x    ta đi vẽ đồ thị hàm số đó dựa trên
      bảng biến thiên và đồ thị hàm số y f x   như sau:
    • Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x    nằm trên trục hoành ( trục Ox ).
    • Phần đồ thị hàm số y f x    nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó.
      Cách 2:
      Ta có:     
         
       
      2
      .
      .
      f x f x
      y f x y f x
      f x
       
          
      Do đó, số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng tổng số điểm cực trị của hàm
      số y f x    và số nghiệm đơn hay bội lẻ của phương trình f x   0 .
    • Chú ý: Với dạng toán này giả thiết có thể cho biểu thức f x , biểu thức f x  ,
      hoặc đồ thị hàm số y f x   ; đồ thị hàm số y f x   . Căn cứ vào giả thiết để
      sử dụng 1 trong 2 cách giải trên cho phù hợp.
      1.2. Ví dụ
      Ví dụ 1: Cho hàm số y f x    có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau:
      10
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng
      A. . B. 3. C. 4 . D. 5.
      Lời giải
      Cách 1: Từ đồ thị hàm số y f x    suy ra đồ thị hàm số y f x    như sau:
    • Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x    nằm trên trục hoành ( trục Ox ).
    • Phần đồ thị hàm số y f x    nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó
      Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng 5.
      Cách 2:     
         
       
      2
      .
      .
      f x f x
      y f x y f x
      f x
       
          
    • Hàm số có 2 điểm cực trị nên phương trình f x    0 có hai nghiệm phân biệt
      và f x   đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó.
      2
      11
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    • Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x   0
      có 3 nghiệm phân biệt.
      Vậy y đổi dấu qua 5 nghiệm đó nên hàm số y f x    có 5 điểm cực trị.
      Nhận xét: Khi giải loại bài toán trên học sinh đưa về hai bài toán cơ bản: tìm số
      cực trị của hàm số y f x    và số nghiệm của phương trình f x   0 . Do đó
      học sinh có thể giải quyết riêng lẻ 2 bài toán đơn đó dựa trên bảng biến thiên hoặc
      đồ thị hàm số y f x   . Ví dụ 2: Cho hàm số y f x    có bảng biến thiên như sau.
      Đồ thị của hàm số y f x    có bao nhiêu điểm cực trị ?
      A. 4 . B.3 . C. 7 . D. 5. Lời giải
      Từ bảng biến thiên ta thấy:
    • Hàm số có 3 điểm cực trị.
    • Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
      Suy ra đồ thị của hàm số y f x    có tất cả 3 + 4 = 7 điểm cực trị.
      Ví dụ 3: Cho hàm số   2
      y x x    1 2 . Số điểm cực trị của hàm số trên bằng
      A.1. B.2 . C. 3 . D. 4 .
      12
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Lời giải
      Đặt     
      2
      3 2 f x x x x x x        1 2 5 8 4
          2
      2
      3 10 8 0 4
      3
      x
      f x x x f x
      x
         
               
         

      Nên hàm số f x  có hai điểm cực trị.
      Lại có f x   0 có 1 nghiệm đơn x  1 nên số điểm cực trị của hàm số
          
      2
      y f x x x     1 2 bằng 2 + 1 =3 .
      Nhận xét: Thực tế nếu học sinh tư duy tốt có thể biết hàm số bậc 3 không có cực trị
      thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất nên với ví dụ trên f x   0
      có 2 nghiệm x  1 (nghiệm đơn) và x  2 ( nghiệm kép) nên hàm số f x  có
      2 điểm cực trị. Từ đó kết luận luôn hàm số y f x    có 3 điểm cực trị.
      Ví dụ 4: Cho hàm số y f x    có đạo hàm     
      3 2 3 f x x x x x ‘ 2 2    . Hàm
      số y f x    có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
      A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
      Lời giải
      Ta có:       3
      0
      2
      ‘ 2 2 2 0
      2
      2
      x
      x
      f x x x x x
      x
      x
        
        
            
       

         

      Ta lập bảng biến thiên của hàm số y f x   
      13
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x    có 4 điểm cực trị, suy ra f x   0
      có tối đa 5 nghiệm phân biệt.
      Do đó hàm số y f x    có tối đa 4 5 9   điểm cực trị.
      Ví dụ 5: Xét hàm số f x( ) có đạo hàm   
      2 3 f x x x x x ( ) 3    với mọi
      x R  . Hàm số y f x   1 2022  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
      A. 9 . B. 7. C. 8 . D. 6 .
      Lời giải
      Nhận xét: Số điểm cực trị tối đa của hàm số y f x   1 2022  bằng tổng số
      nghiệm của phương trình f x 1 2022 0   và số điểm cực trị của hàm số
      y f x   1 2022 .
      Ta có:    
      2
      f x x x x x ( ) 1 3 3 .    
      Suy ra f x f x 1 2022 2022 (1 2022 ). 

            
          Do đó:
            
      2
      f x x x x 1 2022 0 1 2022 1 2022 1 1 2022 3 0

                    
      1
      2022
      0
      1 3
      2022
      1 3
      2022
      x
      x
      x
      x

        

       
         
       


       
       

      trong đó 1
      2022
      x  là nghiệm kép.
      Bảng biến thiên của y f x   1 2022 
      14
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      x  1 3
      2022
       0
      1
      2022
      1 3
      2022
       
      y – 0 + 0 – 0 – 0 +
      y

    Do đó phương trình f x 1 2022 0   có tối đa 4 nghiệm và hàm số
    y f x   1 2022  có 3 điểm cực trị.
    Vậy hàm số y f x   1 2022  có tối đa 7 điểm cực trị.
    Ví dụ 6: Cho hàm số y g x  ( ) xác định liên tục trên  và có bảng biến thiên
    như sau:

    Hỏi đồ thị hàm số y g x   ( ) 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
    A. 3. B. 7 . C. 5. D. 8 .
    Lời giải
    Từ bảng biến thiên của hàm số y g x  ( )bằng cách tịnh tiến đồ thị xuống dưới 2
    đơn vị ta có bảng biến thiên của hàm số y g x   ( ) 2 như sau:
    Từ đó suy diễn bảng biến thiên hàm số y g x   ( ) 2 như sau:
    15
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số y g x   ( ) 2 là 7 điểm.
    Ví dụ 7: Cho hàm số y f x    là hàm đa thức bậc năm thỏa mãn
    f f     0 0; 2 0   . Biết hàm số y f x    có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
    Hàm số    2 4 2 g x f x x x   2 có bao nhiêu điểm cực trị?
    A. 8 . B. 5. C. 6 . D. 7 . Lời giải
    Xét hàm số         2 4 2 2 3 h x f x x x h x xf x x x        2 2 4 4  
         
    2 2
    2 2
    0
    0 2 2 2 0
    2 2
    x
    h x x f x x
    f x x
                   
    Xét đồ thị hàm số y f t    và y t    2 2
    16
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Từ dồ thị hàm số ta được   1
    2 2
    2
    t
    f t t
    t
           
     Khi đó suy ra  
    2
    2 2
    2
    0 0
    0
    1 1
    2 2
    2 2
    x x
    x
    x x
    f x x
    x x
     

       
                    
    Ta có bảng biến thiên
    Do f f     0 0; 2 0   nên hàm số      2 4 2 g x h x f x x x    2 có 7
    điểm cực trị.
    17
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Ví dụ 8: [Mã 101-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2] Cho hàm số f x  có f   0 0.  Biết y f x    là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số
    điểm cực trị của hàm số  3
    g x f x x ( )   là
    A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
    Lời giải
    Xét  3 h x f x x ( )        2 3 h x x f x ‘ 3 ‘ 1  
              2 3 3
    2
    1
    0 3 1 0 0 1
    3 h x x f x f x x
    x
             
    Đặt 3 2 2 3
    x t x t    phương trình (1) trở thành:
          3 2
    1
    0 2
    3
    f t t
    t
      
    Vẽ đồ thị hàm
    3 2
    1
    3
    y
    x  trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y f x   . Dựa vào đồ thị ta có:
    18
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
     
    3 3
    3
    3 2 3
    1 0 0 0
    3
    0 0 0
    t b x b x b
    f t
    t
    t a x a x a

           

          

            

    Bảng biến thiên
    Dựa vào BBT ta thấy hàm số  3
    g x f x x ( )   có 5 điểm cực trị.
    Nhận xét: Ngoài cách suy ra BBT của hàm h x  ta có thể nhận xét từ BBT của
    hàm số h x  suy ra phương trình h x   0 có 3 nghiệm phân biệt và hàm số
    h x  có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số g x h x      có 5 điểm cực trị.
    Ví dụ 9: [Mã 102-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2] Cho hàm số f x  có f   0 0.  Biết y f x    là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số
    điểm cực trị của hàm số    3
    g x f x x   là
    A. 4. B. 5. C. 3. D. 6.
    Lời giải
    19
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Đặt          
    3 2 3 3
    2
    1
    3 1 0
    3
    h x f x x h x x f x f x
    x
               
    Đặt 3 3
    t x x t    thế vào phương trình trên ta được  
    3 2
    1
    3
    f t
    t
      
    Xét hàm số
    3 3 2 5
    1 2
    3 9
    y y
    t t
        đổi dấu khi qua 0 và đồ thị hàm số có
    tiệm cận ngang y  0 . Khi vẽ đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ với đồ thị
    hàm số y f t    ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc góc phần
    từ thứ 3 và 4, gọi 2 giao điểm lần lượt là 3 3
    1 2 1 1 2 2 t t x t x t      0, 0 , .
    Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số h x  như sau
    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x   0 có 3 nghiệm phân biệt
    và hàm số h x  có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số
    g x h x      có 5 điểm cực trị.
    Ví dụ 10: Cho hàm số y f x    có đồ thị như hình sau. Hàm số
    2 g x f x x ( ) ( 4 )    có bao nhiêu điểm cực trị ?
    20
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    A. 6. B. 4. C. 5. D. 7.
    Lời giải
    Ta có 2 2 h x f x x h x x f x x ( ) ( 4 ) ‘( ) ( 2 4) ‘( 4 )         
    Cho 2
    2
    2
    2
    2
    2 4 0 0
    ‘( ) 0 4 0 ‘( 4 ) 0 4
    4 1
    2 3
    x
    x
    x x
    h x x x
    f x x x
    x x
    x
         
        
           
       
            Phương trình h x'( ) 0  có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy 2 h x f x x ( ) ( 4 )   
    có 5 điểm cực trị.
    Xét phương trình 2 h x f x x ( ) ( 4 ) 0     . Đồ thị hàm số y f x    cắt trục Ox tại điểm x a a    (1 2) nên
    2
    f x x ( 4 ) 0    2 2         x x a x x a 4 4 0 có     ‘ 4 0 a với
      a (1,2), phương trình có hai nghiệm pb x a x a       2 4 ; 2 4 và
    hai nghiệm này khác các nghiệm của phương trình h x ‘ 0    . Vậy hàm số 2
    g x f x x ( ) ( 4 )    có 7 điểm cực trị.
    Ví dụ 11: Cho hàm số y f x    liên tục trên  và có
           2 3
    f x x x x      1 1 3 ; f   3 0  . Số điểm cực trị của hàm số
      3 2 y f x x x     2 5 3 là
    21
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
    Lời giải
    Đặt  
    3 2 g x x x x     2 5 3. Ta có:  
    2
    g x x x x        3 4 5 0,  .
    Suy ra g x  là hàm số đồng biến trên  .
    Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y f g x     bằng số điểm cực trị của
    hàm số y f x   .
    Lại có:  
    3 2 y f x x x     2 5 3 =      
    2
    f g x f g x  ( )
           
       
    2
    g x f g x f g x . .
    y
    f g x
     
      . Khi đó:     
        
    0 *
    0
    0 **
    f g x
    y
    f g x


     
       
     

    • Từ giả thiết:       
      2 3
      f x x x x      1 1 3 suy ra hàm số y f x    có điểm
      cực đại x  1và điểm cực tiểu x  3
      Xét phương trình *: f g x     0
         
         
         
      1 1
      1 2
      3 3
      g x
      g x
      g x

        
         

       
    • Phương trình (1) có 1 nghiệm đơn.
    • Phương trình (2) có 1 nghiệm kép.
    • Phương trình (3) có 1 nghiệm bội 3.
      Nên từ (*) suy ra hàm số  
      3 2 y f x x x     2 5 3 có hai điểm cực trị.
      Xét phương trình (): f g x     0     g x a   1 ( vì x  1 là điểm cực đại, x  3 là điểm cực tiểu và f 3 0   ). Do hàm g x  đồng biến trên  nên phương trình g x a    đúng 1 nghiệm đơn. Nên từ () suy ra hàm số  
      3 2 y f x x x     2 5 3 có một điểm cực trị.
      22
      Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
      Vậy hàm số  
      3 2 y f x x x     2 5 3 có 3 điểm cực trị.
      Ví dụ 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới. Tập các giá trị của
      tham số để hàm số có 7 điểm cực trị là . Tính
      A. . B. . C. . D. .
      Lời giải
    • Số cực trị của hàm số bằng tổng số cực trị của hàm y f x m     và số
      nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình .
    • Hàm số y f x m     có 3 điểm cực trị. Do

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng

    SKKN Một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
    Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ một vị trí quan trọng và phần nội
    dung kiến thức về “Góc và khoảng cách trong hình học không gian ” là một trong
    những nội dung khó không chỉ đối với học sinh mà còn cả không ít giáo viên. Học
    sinh có tư tưởng ngại và sợ bài tập hình không gian. Học sinh thường gặp khó khăn
    khi phải tư duy tưởng tượng không gian, tư duy logic, chưa biết vận dụng lí thuyết
    đã học để giải quyết các bài tập…. Giáo viên thiếu sách tham khảo, tài liệu hướng
    dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy, phương tiện giảng dạy chưa đáp ứng đủ và không
    có quy trình giảng dạy cụ thể mà chủ yếu là do kinh nghiệm giảng dạy của bản thân
    giáo viên.
    Học sinh khó tiếp thu kiến thức đó và vận dụng nó để giải bài tập vì lượng
    bài tập nhiều và rất phong phú nhưng thường nằm trong các bài tập lớn, các cách
    giải đa dạng. Trong các kì thi đề thường hay có nội dung “Các bài toán về góc,
    khoảng cách” trong hình học không gian, dẫn đến nhiều học sinh khi gặp bài tập
    dạng này thường là các em nản chí bỏ qua, còn có một số em làm nhưng không
    hoàn chỉnh, rất ít các em được điểm tối đa ở Ví dụ này. Trong kì thi tốt nghiệp
    THPT dù đề ra dưới dạng hình thức trắc nghiệm nhưng nếu học sinh không nắm
    được bản chất, không hiểu sâu sắc thì khó có thể đưa ra được đáp án đúng bởi lẽ
    riêng nội dung này không có cách nào “mò” hay có một công thức tổng quát nào
    cả. Thực tiễn dạy học cho thấy nếu học sinh không có phương pháp để xác định,
    tính góc giữa hai mặt phẳng thì học sinh khó có thể vận dụng vào giải toán được,
    nhất là những học sinh không tưởng tượng được hình hay cảm thấy khó khăn với
    hình học không gian. Chính vì vậy, việc xây dựng “Một số phương pháp tính góc
    giữa hai mặt phẳng” áp dụng trên các mô hình từ các mô hình cơ bản thường gặp
    đến một số mô hình phức tạp hơn sẽ giúp học sinh hiểu, nắm chắc các phương pháp
    là điều rất cần thiết. Từ đó khi gặp những bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt
    phẳng học sinh cũng không quá lo ngại, dè dặt, gạt bỏ được tư tưởng ngại và sợ
    hình học không gian làm cho hình học không gian trở thành một môn học gần gũi
    và thiết thực đối với học sinh.
    II. Mô tả giải pháp

    1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
      Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường phổ thông, tôi nhận thấy kiến
      thức về góc và khoảng cách, thể tích khối đa diện là các bài toán thường gặp trong
      các kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia . Trong đó, rèn luyện cho học sinh có kỹ năng
      xác định góc và tính góc giữa hai mặt phẳng là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng.
      Trong quá trình dạy học hình học không gian nói chung và dạy bài tập về tính góc
      giữa hai mặt phẳng trong chương trình toán 11 nói riêng học sinh thường lúng túng,
      3
      dễ nhầm lẫn và mất thời gian khi xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng. Vì vậy,
      để giúp các em tự tin hơn, tôi có rút ra “Một số phương pháp tính góc giữa hai
      mặt phẳng” áp dụng trong một số trường hợp từ những mô hình cơ bản đến một
      số mô hình phức tạp hơn nhằm giúp các em học sinh lớp 11 xác định góc và tính
      góc giữa hai mặt phẳng dễ dàng và nhanh chóng hơn. Đồng thời là nền tảng cho
      việc tính thể tích khối đa diện trong chương trình toán 12 ở một số bài toán thường
      gặp. Vì nếu các em không xác định được góc giữa hai mặt phẳng thì có thể dẫn tới
      không giải quyết được bài toán thể tích khối đa diện trong một số trường hợp.
    2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
      2.1. Vấn đề cần giải quyết
      Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp một số phương pháp xác định
      và tính góc giữa hai mặt phẳng giúp học sinh nắm vững một số phương pháp tính
      góc giữa hai mặt phẳng từ các mô hình cơ bản và một số mô hình phức tạp hơn.
      2.2. Biện pháp thực hiện
      2.2.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và ghi nhớ kiến thức cơ bản
    • Học sinh vẽ được các mô hình cơ bản và một số mô hình phức tạp.
    • Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng từ các mô
      hình cụ thể.
    • Giáo viên đưa ra các bài toán áp dụng cho mỗi phương pháp.
    • Học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán liên quan đến
      góc giữa hai mặt phẳng.
    • Giúp đỡ, hướng dẫn cho học sinh khi học sinh gặp khó khăn trong khi vận
      dụng giải quyết bài toán.
      2.2.2. Rèn cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp tự học
    • Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh,…
    • Kỹ năng:
    • Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng.
    • Sau mỗi phương pháp, giáo viên cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài
      toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và
      sáng tạo cho các bài toán khác.
      4
    • Học sinh nắm vững các phương pháp để giải toán và tự tập hợp thêm các
      bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng để củng cố kiến thức.
      2.2.3. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
    • Ra đề với 4 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng
      cao, trong đó có sử dụng các bài toán về xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng.
    • Giáo viên đánh giá học sinh.
    • Học sinh đánh giá học sinh.
      2.3. Nội dung giải pháp
      Sau đây tôi xin đề xuất một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng tôi đã tổng
      hợp, sưu tầm được và đã áp dụng cho học sinh có hiệu quả.
      2.3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
      Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông
      góc với hai mặt phẳng đó.
      Chú ý:
    • Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
      bằng 0 0 .
    • Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì góc giữa chúng bằng 0 90 .
      2.3.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
      2.3.2.1. Sử dụng định nghĩa
      Muốn sử dụng phương pháp này thì ta phải xét xem hai mặt phẳng có rơi vào
      trường hợp song song hay vuông góc hay không? Nếu không rơi vào hai trường
      hợp đó ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm đã cho của bài toán thì ta
      có thể xác định được hoặc dựng được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
      mặt phẳng mà bài toán yêu cầu tính góc giữa chúng hay không?
      Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D .     . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
      a,  ABCD và  A B C D    ;
      b,  ABCD và  ACC A .
      Hướng dẫn:
      5
      a, Ta thấy hai mặt phẳng  ABCD và ( ) A B C D     là
      hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song
      song với nhau.
      Vậy góc giữa  ABCD và ( ) A B C D     bằng 0 0 .
      b, Do AA ABCD ACC A ABCD             nên
      góc giữa  ABCD và  ACC A  bằng 90.
      Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D .     . Tính góc giữa hai mặt phẳng
       A B CD    và  ABC D .
      Hướng dẫn:
      Ta có CD ADD A CD A D        
        A D AD
      AD A B CD
      CD AD
         
          
        
      Mà AD ABC D          ABC D A B CD       
      Do đó, góc giữa ( ) A B CD   và ( ) ABC D  bằng 90.
      Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có các mặt bên là các tam giác đều có
      diện tích bằng
      2 3 3
      4
      a
      . Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC . Tính
      góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) ABCD .
      Hướng dẫn:

    Gọi O AC BD   , ta có: SO ABCD ( ).
    D’ B’ C’ A’ D
    B C
    A
    C’ B’ A’ D’ C
    A B D
    SO
    D
    B C
    A
    6
    Giả thiết ( ) P SC  nên góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) ABCD là góc giữa SC
    và SO là góc CSO .
    Vì các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng
    2 3 3
    4
    a
    nên các cạnh của hình
    chóp có độ dài bằng a 3 .
    Trong SCO , ta có:  2  0
    sin 45 .
    2
    OC CSO CSO
    SC
        

    • Nhận xét: Việc đi dựng mặt phẳng ( ) P khá phức tạp và mất thời gian, học sinh
      chỉ cần chú ý phân tích kĩ giả thiết của bài toán và từ việc cho hình chóp tứ giác
      đều ta dễ tìm được đường thẳng vuông góc với mặt đáy. Từ đó áp dụng định nghĩa
      có thể giải quyết nhanh bài toán.
      Ví dụ 4. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
      SA ABCD   , SA x  . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với
      nhau một góc 0 60 .
      Hướng dẫn:

    Ta có SCD SAD    , kẻ AN SD  tại N   AN SCD  .
    SAB SBC    , kẻ AM SB  tại M   AM SBC  .
    Suy ra góc giữa SBC và SDClà góc giữa AM và AN .
    Ta có SB SD 
    2 2   x a , AM AN 
    2 2
    ax
    x a


    ,
    SM MN
    SB BD

    SM BD . MN
    SB
     
    2
    2 2
    x
    SM
    x a


    2
    2 2
    2 2
    . 2 x
    a
    x a MN
    x a
      

    2
    2 2
    x a 2 MN
    x a
     

    .
    a
    x N M
    D
    C
    B A
    S
    7
    Từ giả thiết ta có AMN đều, suy ra MN AM 
    2
    2 2 2 2
    xa x a 2
    x a x a
     
     
    2 2    x a x 2  x a . *Nhận xét: Trong bài toán trên, ta dễ dàng dựng được hai đường thẳng lần lượt
    vuông góc với hai mặt phẳng SBC và SDC nên việc sử dụng định nghĩa để
    vận dụng giải quyết bài toán này là hợp lý.
    Ví dụ 5. Cho hình chóp S ABC . có cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA BC a  
    và  0 BAC  60 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và
    SC . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( ) AHK và ( ) ABC . Hướng dẫn:
    Ta có SA ABC ( ) (1)
    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , kẻ đường kính AD.
    ( )
    BD SA
    BD SAB BD AH
    BD AB
     
        
     

    ( )
    AH SB
    AH SBD AH SD
    AH BD
     
        
     
    Chứng minh tương tự, ta có AK SD  . Từ đó suy ra SD AHK ( ) (2)
    Từ (1) và (2), suy ra góc giữa ( ) AHK và ( ) ABC là góc giữa SA và SD là DSA 
    8
    Trong ABC , ta có: 0
    2
    2
    60 3
    BC a a AD R
    sinA sin     Trong SAD, ta có: 2 2 21
    3
    a
    SD SA AD    . Từ đó suy ra  21
    cos .
    7
    SA DSA
    SD
      *Nhận xét: Trong bài toán trên việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
    ( ) AHK và ( ) ABC , từ đó dựng mặt phẳng với giao tuyến là phức tạp. Mặt khác, ta
    đã có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và việc dựng đường thẳng vuông góc với
    ( ) AHK đơn giản hơn.
    Ví dụ 6. Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông
    góc với ( ), , 2 . ABC SA AB a AC a    Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên
    SB SC , . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ) AHK và ( ) ABC (tương tự như Ví
    dụ 5).
    2.3.2.2. Tính góc giữa hai mặt phẳng theo phương pháp gián tiếp
    Phương pháp này gồm một số cách sau
    Cách 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc cụ thể giữa hai
    mặt phẳng.
    Cách này thường sử dụng khi việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
    dễ dàng và có các yếu tố vuông góc, cụ thể có các bước sau
    Bước 1. Xác định ( ) ( ) P Q   
    Bước 2. Dựng ( ) R  . Tìm
    ( ) ( ) , ( ) ( ) R P p R Q q    
    Bước 3. Góc giữa ( ) P và ( ) Q là góc giữa p
    và q . Việc tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian ta thường gặp hai loại cơ bản
    sau
    LOẠI 1. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp, hình lăng trụ
    9
    Phân tích: Giao tuyến của mặt bên và mặt đáy là cạnh đáy. Khi đó có ít nhất
    một đường thẳng vuông góc với cạnh đáy. Dễ dựng được mặt phẳng vuông góc với
    giao tuyến.
    Bài toán gốc: Cho hình chóp 1 2 . … n S A A A có đường cao SH . Xác định góc
    giữa mặt bên ( ) i j SA A và mặt đáy.
    Hướng dẫn

    • Bước 1: Xác định giao tuyến: 1 2 ( ) ( … ) i j n i j SA A A A A A A  
    • Bước 2: Ta có:
      Trong 1 2 ( … ) A A An
      kẻ HK A A  i j . Chứng minh được ( ) A A SHK i j 
    • Bước 3: Tìm các giao tuyến của mặt phẳng ( ) SHK với các mặt phẳng
      ( ) i j SA A và 1 2 ( … ). A A An
    • Bước 4: Tính góc giữa hai giao tuyến, từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng.
      Mô hình 1: Hình chóp đều
      Đối với mô hình này, học sinh phải nắm vững định nghĩa hình chóp đều là
      hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của
      đa giác đáy.
      Ví dụ 7. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a , chiều cao
      hình chóp bằng 3
      2
      a
      . Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
      Hướng dẫn:

    Vì S ABCD . là hình chóp đều nên góc giữa mặt các mặt bên với mặt đáy bằng
    nhau.
    Tính góc  là giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và  ABCD.
    HD:
    O I
    D
    B C
    A
    S
    10
     ABCD SCD CD     
    Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của CD
    Tam giác có I O, lần lượt là trung điểm của CD BD , nên IO là đường trung
    bình của tam giác BCD
    / /
    1
    2 2
    IO BC
    a
    IO BC

      
      

    Mà BC CD IO CD   
    Lại có ( )
    , ( )
    CD SO
    CD OI CD SIO
    SO OI SIO
     

       

     
    Ta có    
       
    SIO ABCD IO
    SIO SCD SI
      

       
    Suy ra góc giữa ( ) SCD và ( ) ABCD là góc giữa IO và SI là góc nhọn SIO
    Xét SIO vuông tại O, ta có:   0
    3
    2 tan 3 60 .
    2
    a
    SI SIO SIO
    IO a
        
    Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 .
    Mô hình 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
    Tương tự như trong hình chóp đều, trong hình chóp có cạnh bên vuông góc
    với mặt đáy khi tính góc giữa mặt bên và mặt đáy ta dễ dàng dựng được mặt
    phẳng vuông góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ đường thẳng
    vuông góc với giao tuyến.
    Ví dụ 8. Cho hình chóp S ABC . có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại B,
    BA BC a   , SA vuông góc với mặt phẳng ( ), ABC SA a  . Tính góc giữa các
    mặt bên và mặt đáy.
    Hướng dẫn:
    11

    • TH mặt bên chứa SA
       
            SA ABC
      SAB ABC
      SA SAB
       
        
       
       
            SA ABC
      SAC ABC
      SA SAC
       
        
       
      Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng 0 90 .
    • Trường hợp mặt bên không chứa SA
      Ta có SBC ABC BC     
       
       
      ,
      BC BA
      BC SA BC SAB
      SA BA SAB
       

         

       
      Mà    
         
      SAB ABC AB
      SAB SBC SB
        

         
      Suy ra góc giữa ( ) SBC và ( ) ABC là góc giữa AB và SB là góc nhọn SBA 
      (SAB vuông tại A)
      Lại có AB SA SAB    vuông cân tại  0 A SBA   45 .
      Vậy góc giữa ( ) SBC và ( ) ABC bằng 0 45 .
      Ví dụ 9. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA  2 và
      SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD, biết AC  2 2 . Tính tan góc giữa mặt
      phẳng SOD và mặt phẳng BCO.
      Hướng dẫn:
      C
      B
      A
      S
      12
          SOD BCO BD   , BD SAC   . Góc giữa   SOD và   BCO là góc nhọn SOA ( SAO vuông tại O )
      Ta có tan 2  SA SOA
      AO
        . Ví dụ 10. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thoi,  0 AB a BAD   2 , 120 , SA
      vuông góc với đáy. Biết góc giữa đường thẳng SC và ( ) ABCD bằng 0
      45 . Tính góc
      giữa các mặt bên và mặt đáy.
      Hướng dẫn
    • TH mặt bên chứa SA
       
            SA ABCD
      SAB ABCD
      SA SAB
       
        
       
      J
      I
      D
      B C
      A
      S
      13
       
            SA ABCD
      SAD ABCD
      SA SAD
       
        
       
      Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng
    • Trường hợp mặt bên không chứa SA
    • Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD
      Vì ABCD là hình thoi có  0 BAD 120 nên  0
      2
      60
      BC BA a
      ABC
      ABC
         
        
       
      đều
      Gọi I là trung điểm của BC   AI BC
      Mà
       
       
      ,
      BC SA
      BC AI BC SIA
      SA AI SIA
       

         

       
      ( ) ( )
      ( ) ( )
      SIA SBC SI
      SIA ABCD AI
         
        
      nên góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là góc nhọn SIA
      Từ giả thiết ta có  0 SCA  45 nên SAC vuông cân tại A SA a   2 .
      Xét ABC đều có trung tuyến AI AI a   3
      Xét SIA vuông tại  2 3
      , tan
      3
      SA I SIA
      AI
       
      Vậy góc giữa ( ) SBC và ( ) ABCD là góc  sao cho 2 3
      tan .
      3
       
      Tương tự góc giữa ( ) SCD và ( ) ABCD là góc  sao cho 2 3
      tan .
      3
       
      Ví dụ 11. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thang vuông tại A và B,
      AB BC a   , AD a  2 ; SA ABCD    và SA a  2 .Tính tan của góc giữa hai mặt
      phẳng SCD và  ABCD.
      Hướng dẫn:
      0 90
      14

    Ta có SCD ABCD CD     
    Gọi M là trung điểm của AD. Từ giả thiết ta có ABCM là hình vuông
    Xét ACD có CM là trung tuyến,
    2
    AD CM  nên tam giác ACD vuông tại C. Do
    đó CD AD  .   CD AD
    CD SAC
    CD SA
     
      
     
       
       
    SAC SCD SC
    SAC ABCD AC
      

       
    Suy ra góc giữa SCD và  ABCD là góc giữa SC và AC là góc nhọn SCA 
    Ta có t  2
    2
    an
    2
    SA a SCA
    AC a
       .
    Mô hình 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy – Hình chiếu vuông góc
    Trong mô hình này, học sinh phải nắm vững nội dung kiến thức sau
    “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
    mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia”( Hệ
    quả 1 của Định lý 1 bài Hai mặt phẳng vuông góc)

    M D
    C
    B
    A
    S
    15
    Như vậy, từ giả thiết mặt bên vuông góc với mặt đáy ta dễ dàng dựng được
    hình chiếu của đỉnh xuống mặt phẳng đáy, từ đó ta dựng được mặt phẳng vuông
    góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến.
    Ví dụ 12. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuô

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

  • SKKN Ứng dụng của một số phép biến hình nhằm đáp ứng kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp

    SKKN Ứng dụng của một số phép biến hình nhằm đáp ứng kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
    Từ năm học 2016–2017, việc đổi mới phương pháp thi THPT Quốc gia và
    bây giờ là thi Tốt nghiệp THPT trong đó có sự đổi mới hình thức thi Đại học môn
    Toán từ tự luận 180 phút sang trắc nghiệm 100% (gồm 50 câu hỏi với thời gian 90
    phút), hầu hết các giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn. Với thi trắc
    nghiệm, đòi hỏi học sinh phải hiểu cặn kẽ về mặt lý thuyết; biết tư duy linh hoạt
    làm thế nào để đưa ra đáp án nhanh và chính xác. Để làm được điều đó, giáo viên
    cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức cơ bản, kỹ năng tổng hợp phân tích các
    dạng toán để có thể giải quyết các bài tập ở cả 4 cấp độ tư duy.
    Trong quá trình dạy học môn Toán, đối với học sinh Trung học phổ thông
    thường chúng ta phải phân tích, phán đoán các hướng giải quyết bài toán, liên hệ
    giữa bài toán đó với các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn đặc biệt là mối quan
    quan hệ và ứng dụng của các chủ đề kiến thức để có hướng giải quyết tương tự và
    ngược lại từ một bài toán đơn giản ta có thể đi sâu phân tích, mở rộng, phát triển
    thành những bài toán mới.
    Khi dạy phần phép biến hình trong mặt phẳng và trong không gian tôi thấy
    hầu như học sinh rất “sợ”. Đặc biệt là việc ứng dụng nó trong giải quyết các bài
    toán liên quan là một nội dung khó đòi hỏi học sinh vừa phải nắm chắc kiến thức
    về phép biến hình vừa phải biết tư duy hình học và biết kết hợp sử dụng các
    phương pháp trong từng nội dung tương ứng.
    Đồng thời hiện nay trên quan điểm cải cách giáo dục, người ta nghiên cứu và
    cải tiến nội dung chương trình toán học bằng cách bỏ bớt nhũng lý luận dài dòng
    không cần thiết. Mục tiêu cuối cùng cần đạt tới là làm thế nào cho học sinh nắm
    được mối quan hệ biện chứng giữa các khái niệm, tính chất và nhớ các kiến thức cơ
    bản của môn học để tính toán, suy luận nhanh gọn để giải quyết vấn đề đặt ra.
    Trên tinh thần đó, chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức
    vào nhiều tình huống, kiến thức khác nhau thông qua hệ thống các ví dụ, bài tập đa
    dạng, phong phú để giúp rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh. Khi đó học sinh
    biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. Không những vậy mà
    thông qua việc giải các ví dụ trong chủ đề còn giúp học sinh hình thành thế giới
    quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo. Sự say mê
    khoa học thường được bắt nguồn từ sự hiểu biết. Giúp học sinh hiểu biết sâu hơn về
    phép biến hình nói riêng và các ứng dụng của nội dung cho các đơn vị kiến thức
    3

    liên quan nói chung là góp phần làm cho các em say mê môn toán và các môn khoa
    học khác.
    Để nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo
    dục ở nước ta hiện nay trong dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông tôi nghiên
    cứu đề tài: “ Ứng dụng của một số phép biến hình nhằm đáp ứng kỳ thi tốt
    nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp”.
    II. Mô tả giải pháp

    1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
      Chủ đề về phép biến hình nói riêng và hình học nói chung là rất quan trọng
      trong chương trình toán THPT. Đã có rất nhiều các phương pháp để tiếp cận và giải
      quyết các bài toán trong chủ đề. Tuy nhiên với việc đã quen với không quan tâm
      đúng của cả giáo viên và học sinh do trước đây các câu hỏi chỉ dừng lại ở mức độ
      nhẹ nhàng cũng như “ngại” phần hình học đến khi gần đây đã xuất hiện các khai
      thác ứng dụng của nó trong các câu hỏi vận dụng và cũng đã xuất hiện trong các đề
      thi tốt nghiệp THPT cũng như trong kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp. Đặc biệt là
      các ứng dụng không còn đơn thuần trong hình học tổng hợp nữa mà còn xuất hiện
      trong hình học toạ độ cũng như trong giải tích dẫn tới rất nhiều khó khăn cho giáo
      viên và học sinh. Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải là chưa khai thác
      hết tính chất về phép biến hình đặc biệt là việc áp dụng nó với phần kiến thức trong
      hình học toạ độ và giải tích.
      Trong quá trình dạy học của mình, tôi nhận thấy nếu cung cấp cho học sinh đầy
      đủ kiến thức nêu trên và cách nhìn nhận bài toán cũng như việc liên hệ các kiến thức
      để chuyển hoá bài toán lạ về bài toán quen thuộc, đơn giản hơn thì học sinh hoàn toàn
      có thể giải quyết được vấn đề mà không quá khó khăn để từ đó đam mê với nội dung
      và môn học.
      Một số phương pháp quen thuộc với loại toán này mà các em học sinh được
      biết ở các tài liệu đã đề cập ở mức độ nhận biết, thông hiểu. Trong sáng kiến này, tôi
      xin trình bày chủ yếu các ứng dụng của một số phép biến hình trong mặt phẳng và
      không gian như: Phép đối xứng tâm; Phép đối xứng trục; Phép tịnh tiến; Phép quay và
      Phép vị tự nhằm giải quyết các bài toán ở mức độ vận dụng trong chủ đề cũng như
      không chỉ bó hẹp trong hình học mà còn trong cả giải tích.
    2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến
      Vấn đề đặt ra trong sáng kiến là tôi không đưa ra các bài toán mức độ nhẹ
      nhàng liên quan trực tiếp tới các phép biến hình đó hay các phương pháp giải như
      4

      đã biết đối với các nội dung liên quan mà ở đây tôi chỉ đưa ra các phân tích và một
      số ứng dụng đối với các phép biến hình nói trên trong việc giải quyết các bài toán ở
      mức độ vận dụng không chỉ trong lĩnh vực hình học mà còn tìm hiểu sâu rộng trong
      cả lĩnh vực giải tích.
      2.1. Phép đối xứng: Đối xứng trục, đối xứng tâm và đối xứng qua mặt phẳng
      2.1.1. Khái niệm và tính chất liên quan
      Phép biến hình và phép dời hình trong không gian được định nghĩa tương tự
      như trong mặt phẳng nên các khái niệm sau ta chỉ trình bày trong mặt phẳng:
      Trước tiên chúng ta tìm hiểu về phép biến hình:
      Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy
      nhất M  của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
      Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết F M M     hay M F M    
      và gọi điểm M  là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.
      Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H H   F   là tập
      các điểm M F M    , với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H
      thành hình H  , hay hình H  là ảnh của hình H qua phép biến hình F.
      2.1.1.1. Phép đối xứng trục
    • Định nghĩa: Cho đường thẳng d. Phép biến hình
      biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến
      mỗi điểm M không thuộc d thành M  sao cho d
      là đường trung trực của đoạn thẳng MM  được gọi
      là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối
      xứng trục d.
      Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.
      Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là . Ñd
      Nếu hình H  là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H
      đối xứng với H 
      qua d , hay H và H  đối xứng với nhau qua d.
    • Nhận xét
       Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M0
      là hình chiếu vuông góc của M
      trên đường thẳng d. Khi đó M   Ñ Md   0 0    M M M M  .
       
       M   Ñ Md     M  . Ñ Md
    • Biểu thức toạ độ
      5

       Nếu d Ox  , gọi M x y     ;    
            ; Ñ M x y d
      thì .
      x x
      y y
      

       

          
       Nếu d Oy  , gọi M x y     ;    
            ; Ñ M x y d
      thì .
      x x
      y y
      

        

         
    • Tính chất
      Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
      Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến
      đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
      đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
    • Trục đối xứng của một hình
      Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến
      hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
      2.1.1.2. Phép đối xứng tâm
    • Định nghĩa
      Cho điểm I . Phép biến hình biến
      điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm
      M khác I thành M  sao cho I là trung
      điểm của MM  được gọi là phép đối
      xứng tâm I .
      Điểm I được gọi là tâm đối xứng.
      Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là . ÑI
      Nếu hình H  là ảnh của hình H qua ÑI
      thì ta còn nói H đối xứng với H 
      qua tâm I , hay H và H  đối xứng với nhau qua I.
      Từ đinh nghĩa suy ra M Ñ M    I  IM IM    .
       
    • Biểu thức toạ độ
      R
      R
      O’
      O
      B’ C’
      A’
      B C
      A
      a’
      a
      I
      M’
      M
      6

      N’
      N
      I
      M’
      M
       Với O0;0, ta có M x y     ;    
            ; Ñ M x y I
      thì .
      x x
      y y
      

        

          
       Với I a b  ; , ta có M x y     ;    
            ; Ñ M x y I
      thì
      2
      .
      2
      x a x
      y b y
      

        

          
    • Tính chất
      Tính chất 1: Nếu    Ñ M M I
      và    Ñ N N I
      thì M N MN    
       
      , từ đó suy
      ra M N MN    .
      Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song
      song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác
      thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
    • Tâm đối xứng của một hình
      Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến
      hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.
      2.1.1.3. Phép đối xứng qua mặt phẳng
      Phép đối xứng qua mặt phẳng P là phép
      biến hình biến mỗi điểm thuộc P thành
      chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc P
      thành điểm M sao cho P là mặt phẳng
      trung trực của MM .
      Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P
      biến hình H thành chính nó thì P được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình H.
      2.1.2. Ví dụ áp dụng
      A’
      A
      O’
      O
      C’
      B’
      A’
      C
      B
      A
      B’
      A’
      B
      A
      I I I
      7

      Ví dụ 1: Gọi m0
      là số thực sao cho phương trình  
      3
      0
      x x m 12 có ba nghiệm
      dương phân biệt 1
      x ,
      2
      x ,
      3
      x thỏa mãn 1 2 3 x x x    1 4 3. Biết rằng m0
      có
      dạng a b 3  với a b, là các số hữu tỷ. Tính 2
      4 8 . a b 
      A. 106. B. 115. C. 113. D. 101.
      Hướng dẫn:
      x
      y
      16
      1
      Từ đồ thị của hàm số  
      3
      y x x 12 ta có phương trình    
      3
      0
      x x m 12 1 có ba
      nghiệm dương phân biệt 1
      x ,
      2
      x ,
      3
      x khi và chỉ khi m0
       0;16 .
      Ta có hàm số  
      3
      y x x 12 là hàm số chẵn
      (vì               
      3
      3
      y x x x x x y x 12. 12 ).
      Từ đó, ta thấy rằng nếu 1
      x ; 2
      x ; 3
      x là ba nghiệm dương của phương trình 1 thì
       1
      x ;  2
      x ;  3
      x cũng là ba nghiệm của phương trình 1. Không mất tính tổng quát,
      giả sử 1
      x  2
      x  3
      x . Khi đó ta có 1 x ,
      2 x ,
      3
      x là nghiệm của phương trình
      3
      0
      x x m   12 . Theo định lí Viet ta có: 
           1 2 3 0
      b
      x x x
      a
      .
      Theo bài ra, x x x 1 2 3    1 4 3 nên 
      3 
      1 4 3
      2
      x .
      Khi đó,
           
           
       
          
      3
      0
      1 4 3 1 4 3 3 97 12. 3
      2 2 2 8
      m
      8
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
        
      3 97
      ,
      2 8
      a b    2
      4 8 106. a b
      Chọn đáp án A.
      Nhận xét: Bằng việc sử dụng phép đối xứng trục và phối hợp các tính chất khác
      của hàm số ta có nhận xét sau:
    • Biết đồ thị C y f x  :    ta suy ra đồ thị C1 của hàm số y f x    như sau:
    • Giữ lại đồ thị C y f x  :    trên trục hoành.
    • Lấy phần đồ thị C y f x  :    dưới trục hoành đối xứng qua trục hoành.
    • Biết đồ thị C y f x  :    ta suy ra đồ thị C y f x 2  :    như sau:
    • Giữ lại đồ thị C y f x  :    bên phải trục tung.
    • Lấy phần đồ thị C  vừa giữ lại đối xứng qua trục tung.
      Ví dụ 2: Cho hàm số  



      2 1
      1
      x
      f x
      x
      có đồ thị C . Gọi M 2;3 thuộc C ,
      đường tròn tâm M bán kính R cắt nhánh đồ thị C  không chứa M tại hai điểm
      phân biệt A B, sao cho tam giác MAB có diện tích bằng
      2
      3
      .
      4
      R
      Khi đó bán kính
      R của đường tròn đó bằng
      A. 2 6. B. 3
      .
      2
      C. 2 2. D. 6.
      Hướng dẫn:
      9
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      Nhận xét điểm M C d     , với d y x : 1   là trục đối xứng của C  nên
                
       0 AMB MAB ABM d MA d MB 60 , , 30 .
      Suy ra        45 75 .
      Phương trình đường thẳng MB qua M 2,3và có hệ số góc tan 2 3    là:
      MB y x : 2 3 1 2 3       .
      Suy ra B M MB C , ,     gọi B có hoành độ x x x , 2   là nghiệm của
      phương trình:
       

                    
      2( ) 2 1 2 3 1 2 3
      1 1 3
      x l x
      x
      x x
      .
                 x y B 1 3 3 1 3, 3  .
      Giả thiết
      2
      3
      ,
      4
      MAB
      R
      S MAB   đều.
      Khi đó: R MB MA AB     2 6.
      Nhận xét: Thực tế khi học sinh làm bài trên mà không nhận xét được đường thẳng
      d y x : 1   là trục đối xứng của đồ thị hàm số để từ đó lập được phương trình
      đường thẳng MB thì việc vượt qua bài toán trên thực sự là một khó khăn rất lớn
      với các em.
      Chọn đáp án A.
      Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó, điểm B
      thuộc cạnh Ox (B khác O ). Tìm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ
      nhất.
      A. C là hình chiếu của A trên Oy.
      B. C là hình chiếu của B trên Oy.
      C. C là hình chiếu trung điểm I của AB trên Oy.
      D. C là giao điểm của BA A ‘; ‘ đối xứng với A qua Oy.
      Hướng dẫn:
      Gọi M là điểm đối xứng với A qua Ox. Vì B Ox  nên BA BM  .
      Gọi N là điểm đối xứng với A qua Oy. Vì C Oy  nên CA CN  .
      Chu vi tam giác:        .
      ABC P AB BC CA BM BC CN *
      10
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có
      MB BC MC   và MC CN MN   .
      Kết hợp với , suy ra
               .
      ABC P MB BC CN MC CN MN
      Dấu ” ”  xảy ra khi và chỉ khi B C M N , , , thẳng
      hàng hay C là giao điểm của BM với trục Oy .
      Chọn đáp án D.
      Nhận xét: Ví dụ trên có sử dụng bài toán tổng quát sau: Cho đường thẳng d và hai
      điểm A B, . Xét điểm M thay đổi trên d, tìm vị trí của M để tổng T MA MB  
      đạt giá trị nhỏ nhất.
      TH1: Khi A hay B thuộc d thì T AB min  khi M trùng A hoặc B.
      TH2: Khi A B, khác phía với min d T MA MB AB T AB       khi M là
      giao điểm của đường thẳng d và AB.
      TH3: Khi A B, cùng phía với đường thẳng d ta gọi A1
      là đối xứng của A qua d.
      Theo tính chất phép đối xứng trục ta có:
      T MA MB MA MB AB      1 1
        T AB min 1 khi M là giao điểm của đường thẳng d và 1 AB.
      Ta xét tiếp các ví dụ sau:
      Ví dụ 4: Cho hai số phức 1 2 z z, thỏa mãn các đẳng thức sau
      z i z i 1 1      5 3 1 3 , z i z i 2 2      4 3 2 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu
      thức         1 2 1 2 P z z z i z i 6 6 là
      A. 2 10. B. 6. C. 16
      .
      13
      D.
      18
      .
      13
      Hướng dẫn:
      Đặt z x yi 1   thì z i z i x y d 1 1 1          5 3 1 3 2 3 6 0 .  
      Đặt
      2
      z x y i    thì z i z i x y d 2 2 2          4 3 2 3 3 3 0 .    
      Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn của 1 2 z z, thì   1 2 A d B d ; . Gọi C 6;1.
      N
      M
      C
      B
      A
      O y
      x
      11
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      d2
      d1
      α
      D
      E
      C2
      C1
      C
      A
      B
      1 2 1 2 1 2 1 2
      1 2
      6 6 6 6
      .
      P z z z i z i z z z i z i
      AB AC BC C C
                     
         
      Với 1 2 C C, lần lượt đối xứng với C qua 1 2 d d, .
      Phương trình CC1
      : 1
      66 31 3 2 20 0 ; .
      13 13
      x y C
               
       
         
      Phương trình CC2
      : 2
      24 13 3 – 17 0 ; .
      5 5
      x y C
          
          
       
         
      Vậy 1 2 
      18
      .
      13
      C C
      Chọn đáp án D.
      Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng x y, cố định. Hai điểm M N, thay đổi trên x và hai
      điểm P Q, thay đổi trên y sao cho MN a PQ b   , trong đó a b, là các độ dài
      cho trước. Hãy xác định vị trí của M N P Q , , , sao cho bán kính hình cầu nội tiếp tứ
      diện MNPQ là lớn nhất.
      Hướng dẫn:
      Gọi V S r , , lần lượt là thể tích, diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ
      diện MNPPQ XY ; là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng x y, ; điểm X
      trên x Y, trên y sao cho XY d x y   , , .   
      Ta có       
      3 1 1 , . .sin , sin .
      6 6
      V
      r V MN PQ x y abd const
      S
      12
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      Nên r max khi và chỉ khi S min.
      Hạ MM y M NN y N PP x P QQ x Q 1 1 1 1 1 1 1 1         ; ; ; ta có
      2 2 2 S MN PP QQ PQ MM NN S S        1 1 1 1 1 2    ta chứng minh S min
      khi và chỉ khi 1
      S min và 2
      S min.
      Thật vậy, chiếu toàn bộ hình vẽ lên P nào đó vuông góc với x tại điểm O.
      Gọi y là hình chiếu của y lên P trong đó O H P Q , , ,  lần lượt là hình chiếu của
      X Y P Q , , , lên P. Dễ thấy OH XY d P Q PQ b b // , sin sin          
      (hằng số), cũng vậy 1 1 PP OP QQ QQ // , // .    
      Từ đó ta được 2 min S a OP OQ S OP OQ 1 1            min.
      Vì OH P Q H OH d P Q b b           , , sin nên tam giác OP Q  có diện
      tích không đổi. Từ đó dễ thấy tam giác OP Q  có chu vi nhỏ nhất tức OP OQ   
      min khi và chỉ khi nó là tam giác cân đỉnh O P Q    , đối xứng nhau qua H, do
      đó P Q, đối xứng nhau qua Y.
      Chứng minh tương tự S M N 2 min ,  đối xứng nhau qua X.
      Tóm lại r max khi và chỉ khi đường vuông góc chung XY của hai đường chéo
      nhau x y, là trục đối xứng của tứ diện MNPQ (có cạnh MN a  trân x và cạnh
      PQ b  trên y ) nghĩa là     , .
      2 2
      a b XM XN YP YQ
      13
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      Tương tự như các ví dụ trên, trong không gian ta xét các ví dụ sau:
      Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A2;3;3
      đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B là   
       
       
      3 3 2
      ,
      1 2 1
      x y z phương trình đường
      phân giác trong góc C là   
       
       
      2 4 2
      .
      2 1 1
      x y z Đường thẳng AB có một véctơ
      chỉ phương là:
      A. 1
      u   (0;1; 1).
      
      B. 2
      u   (2;1; 1).
      
      C. 3
      u  (1;2;1).
      
      D. 4
      u   (1; 1;0).
      
      Hướng dẫn:
      Gọi M t t t (3 ;3 2 ;2 )    là trung điểm cạnh AC, khi đó
      C t t t (4 2 ;3 4 ;1 2 ).   
      Mặt khác C thuộc đường phân giác trong góc C là  nên
           
          
       
      (4 2 ) 2 (3 4 ) 4 (1 2 ) 2 0 (4;3;1).
      2 1 1
      t t t t C
      Gọi A đối xứng với A qua phân giác trong góc C A CB   .
      Mặt phẳng  qua A và vuông góc với đường phân giác trong góc C :
      : 2( 2) ( 3) ( 3) 0 x y z       .
      Gọi H H      2;4;2 .
      Mặt khác H là trung điểm AA nên A2;5;1 .
      Phương trình BC qua A C, là:
         
      
        


              


        
      
      4 2
      3 2 2;5;1 0;2; 2
      1
      x t
      y t BC BM B AB
      z
      Chọn đáp án A.
      Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;0 và
      B 3;0;1 . Điểm I a b c  ; ;  nằm trên mặt phẳng P x y z  : 2 2 0     sao cho
      IA IB  là nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a b c   bằng
      A. 2. B. 3. C. 2. D. 3.
      14

      Hướng dẫn:
      Xét vị trí tương đối của A và B so với mặt phẳng P:
      Ta có: 2 2.1 0 2 3 2.0 1 2 6.4 24 0             A B, nằm cùng phía
      so với P.
      Gọi A là điểm đối xứng của A qua P. Khi đó: IA IB IA IB    nhỏ nhất
      khi A I B , , thẳng hàng.
      Gọi M là hình chiếu của A lên P.
      Ta có:       
       
      1;2; 1 MA P
      u n (do AM P   ), MA đi qua A2;1;0 .
      Phương trình đường thẳng
      
        


        


         
      2
      : 2 1
      x t
      MA y t
      z t
          M t t t  2;2 1; .
      Lại có M P t t t t t                  2 2 2 1 2 0 6 6 0 1    
        M 1; 1;1 .
      Do M là trung điểm AA A     0; 3;2 .
      Ta có: u A B A B     3;3; 1 ,
       
      A B đi qua B 3;0;1 .
      Phương trình đường thẳng  
      3 3
      : 3 3 3;3 ; 1 .
      1
      x t
      A B y t I t t t
      z t
      
        

             


          
      15

      Mà    
      2
      3 3 2.3 1 2 0 10 4 0 .
      5
      I P t t t t t               
      9 6 7 9 6 7 ; ; 2.
      5 5 5 5 5 5
      I T a b c
                     
       
         
      Chọn đáp án A.
      Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho A1;1;1 và hai đường thẳng
      1
      2 2
      : 1 ,
      2
      x t
      d y
      z t
      
        


       


          
      2
      5 3
      : 1 .
      3
      x s
      d y
      z s
      
        


       


         
      Gọi B C, là các điểm lần lượt di động trên 1
      d ,
      2
      d . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AB BC CA    là
      A. 2 29. B. 29. C. 30. D. 2 30.
      Hướng dẫn:
    • Giả thiết suy ra hai đường thẳng 1 2 d d, cùng nằm trong : 1 y  và A  .
    • 1
      d có một véc tơ chỉ phương u1   2;0;1 ,

      2
      d có một véc tơ chỉ phương
      u2   3;0; 1 .

      Do  
             
        
      1 2 u u, 0;1;0 0 nên 1
      d cắt 2
      d .
    • Gọi 1 2 A A, lần lượt là điểm đối xứng của A qua 1
      d và 2
      d .
    • Gọi  là mặt phẳng qua A và vuông góc với 1
      d       : 2 1 0. x z
    • Gọi   1
      I d    , thì tọa độ của I là nghiệm của hệ
      16
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
       
      
        


        
        
          


          
      2 2
      1
      0;1; 1
      2
      2 1 0
      x t
      y
      I
      z t
      x z
         A1  1;1; 3 .
    • Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với 2
      d      : 3 2 0. x z
    • Gọi   2
      J d    , thì tọa độ của J là nghiệm của hệ
       
      
        


        
       
         


          
      5 3
      1
      2;1;4
      3
      3 2 0
      x s
      y
      J
      z s
      x z
       A2 3;1;7 .
    • Ta có:        1 2 1 2 P AB BC CA AB BC CA AA
      P đạt GTNN khi  1 2 P AA min 1 2    P AA 2 29.
      Chọn đáp án A.
      Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu      
      2 2 2
      S x y z : 1 1 4,     
      đường thẳng 2 1 6
      : ,
      2 2 1
      x y z d
        
        điểm A   1; 1; 1 . Lấy điểm M thay
      đổi trên d, điểm N bất kỳ trên mặt cầu S. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
      T AM MN   .
      A. 1493 2.
      3
       B. 1493
      .
      3
      C. 2 1493
      .
      3
      D. 1493 6
      .
      3

      Hướng dẫn:
      (S)’
      (S)
      d
      N’
      N’1
      H
      N1
      M1
      I’
      A I
      M
      N
      17

      Giả thiết S có tâm I1;1;0 , bán kính R  2.
      Và d qua điểm E 2; 1;6 ,   có vtcp ud  2;2;1 .

      Vì AI  2;2;1 ,
      
      A d  nên AI d // .
      Gọi mặt cầu S có tâm I đối xứng với mặt cầu S qua d.
      Gọi 1 M AI d   , N AI S 1
           , N M I S 1 1   , N  đối xứng với N qua
      d (như hình vẽ trên). Khi đó dễ thấy N S     .
      T AM MN     AM MN      AM MN N I N I      
        AI N I   
      1 1 AI I N AN .
            
      Dễ thấy 
           AN AM M N AM M N 1 1 1 1 1 1 1 và 1 AN AI R.
        
      Vậy suy ra     minT AN AI R 1
      khi 1 M M ,
      1 N N  .
      Ta có: EI     1;2; 6 ,
      
       
             
      


      ,
      ,
      d
      d
      EI u
      IH d I d
      u
      353
      ,
      3
       AI  3 và
      2 353
      .
      3
      II  Nên 2 2 1493
      .
      3
      AI AI II     
      Vậy GTNN của T là 1493 2.
      3

      Nhận xét: Bài này mấu chốt là nhìn ra được A, tâm I của mặt cầu và đường
      thẳng d đồng phẳng. Bài này sẽ khó nếu các đối tượng trên không đồng phẳng.
      Ví dụ 10: Cho hàm số bậc ba y f x    có
      đồ thị là đường cong C  trong hình bên.
      Hàm số y f x    đạt cực trị tại hai điểm
      1 2 x x , thỏa f x f x  1 2      0. Gọi A B, là
      hai điểm cực trị của đồ thị C ; M N K , , là
      giao điểm của C  với trục hoành; S là diện
      18
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      tích của hình phẳng được gạch trong hình, 2
      S là diện tích tam giác NBK. Biết tứ
      giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số 1
      2
      S
      S
      bằng
      A. 2 6
      .
      3
      B. 6
      .
      2
      C. 5 3
      .
      6
      D. 3 3
      .
      4
      Hướng dẫn:
      Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị C  sang trái sao cho
      điểm uốn trùng với gốc tọa độ O (như hình dưới)
      Do f x  là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng O N  .
      Đặt x a x a 1 2    , , với a  0       
      2 2 f x k x a ‘ với k  0
       
         
          
       
         
      1 3 2
      3
      f x k x a x     3, 3 M K x a x a
      Có MAKB nội tiếp đường tròn tâm O    OA OM a 3
         
                      
       
         
      2 2 3 3
      1 1 2
      1 3 2 2 2
      3 2
      f x OA x f a a k a a a k
      a
       
         
          
       
         
      3 2
      2
      3 2 1
      2 3
      f x x a x
      a
       
       
               
       
         

      0
      0 2
      4 2 2
      1 2
      3 3
      3 2 1 9 2
      2 12 2 8
      a a
      a
      S f x dx x x a
      a
             
      2
      2
      1 1 6 . 2. 3
      2 2 2 AMO S S f a MO a a a
      19
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      Vậy 1 
      2
      3 3
      4
      S
      S
      .
      Chọn đáp án D.
      Nhận xét: Bằng việc nắm chắc về tính chất của tâm đối xứng của một hình hay
      một đồ thị ta giải quyết được bài toán trên nhanh gọn nhất. Ta nghiên cứu tiếp ví dụ
      sau:
      Ví dụ 11: Đồ thị hàm số 


      2 1
      1
      x
      y
      x
      có tâm đối xứng là điểm I có tọa độ
      A. I1; 1 .   B. 1
      ;1 .
      2
      I
         
       
       
         
      C. I1;2 . D. I2;1 .
      Hướng dẫn:
      Cách 1. (Trắc nghiệm)
      Ta có:

    •    

        
      1 1 
      2 1 lim lim
      x x 1
      x
      y
      x
      , suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường
      thẳng x  1.

    •  

       

      2 1 lim lim 2
      x x 1
      x
      y
      x
      , suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường
      thẳng y  2.
    • Giao điểm hai đường tiệm cận là I1;2.
      Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số 


      2 1
      1
      x
      y
      x
      là I1;2.
      Cách 2. (Tự luận)
    • Xét hàm số 


      2 1
      1
      x
      y
      x
       

      3
      2
      x 1
        

      3
      2
      1
      y
      x
      .
    • Chuyển hệ trục tọa độ Oxy về trục tọa độ IXY gốc I1;2 , sao cho trục IX cùng
      hướng với Ox , trục IY cùng hướng với Oy ta được hàm số trong hệ trục tọa độ
      XIY là:  
      3
      Y f X .
      X
       
    • Xét hàm số   
      3
      f X
      X
      .
      Tập xác định: D   \ 0 .
      20
      Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang
      Ta có      X D X D và        
      3
      f X f X
      X
      .
      Suy ra hàm số   
      3
      f X
      X
      là hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ I1;2 làm tâm đối
      xứng.
      Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số 


      2 1
      1
      x
      y
      x
      là I1;2 .
      Chọn đáp án C.
      Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
      3 2 2
      x x x m      3 1 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
      A. m  16. B. m  2. C. m  2. D. m  2.
      Hướng dẫn:
      Xét hàm số 3 2 2 y x x x m      3 1 là hàm số bậc ba nên có đồ thị nhận điểm
      uốn  
      2
      I m1; 4  làm tâm đối xứng.
      Nên bài toán thoả mãn khi đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
      có hoành độ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó điểm uốn  
      2
      I m1; 4 
      thuộc trục hoành.
      Do vậy 2
      m m      4 0 2. Thử lại thấy thoả mãn.
      Chọn đáp án D.
      Ví dụ 13: Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị 1 2 3 m m m , , của tham số m để phương
      trình 3 2 3 2
      x x x m m m        9 23 4 9 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một
      cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức 3 3 3
      1 2 3 P m m m    .
      A. P  34. B. P  36. C. P  64. D. P  34.
      Hướng dẫn:
      Lý luận làm tương tự như ví dụ 8. Chọn đáp án A.
      Ví dụ 14: [Thi thử THPT QG trường THPT Xuân Trường B_2018] Cho hàm
      số       
       
         
      2018
      1
      y log
      x
      có đồ thị C1 và hàm số y f x    có đồ thị C2 . Biết C1 và
      C2  đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Hỏi hàm số y f x    nghịch biến trên
      khoảng nào sau đây?
      A. 0;1 . B. 1;0 . C.  ; 1 . D. 1;.
      Hướng dẫn:

    Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

    Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

    Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

    Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

    Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT