SKKN Giải hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

SKKN Giải hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Chúng ta đã biết rằng: Dạy học Toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ. Năng
lực này sẽ giúp cho họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên, xã hội, bồi dưỡng thế
giới quan duy vật biện chứng. Vì vậy dạy Toán không chỉ đơn thuần dạy cho học sinh nắm
được kiến thức, những định lí Toán học. Điều quan trọng là dạy cho học sinh năng lực trí
tuệ. Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong học tập.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở bậc THPT các bài toán về góc và khoảng cách
trong hình học không gian chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình các lớp
11, 12. Với nhiều bài toán hình học không gian ta phải thành thạo vẽ hình, tư duy hình và
thậm chí còn phải dựng thêm hình. Đó là một vấn đề vất vả đối với cả giáo viên và học
sinh. Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi tỉnh cho
các em học sinh chúng tôi thấy việc giải quyết các bài toán hình học không gian đặc biệt
là các bài toán tính : Góc và khoảng cách, thậm trí cả một số bài toán tính thể tích rất
quan trọng đối với học sinh THPT, vì việc tính góc và khoảng cách, bài toán tính thể tích
giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng vẽ hình, tư duy về hình học không gian, kỹ năng giải
toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn. Làm tốt các
bài toán về góc và khoảng cách, các bài toán thể tích trong hình học không gian học sinh
được nâng cao tư duy và vận dụng để hiểu biết các nội dung khác trong chương trình toán
THPT và trong thực tiễn cuộc sống.
Tuy nhiên trong thực tế các bài toán về hình học không gian như : Tính góc giữa
hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng
cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hay một
số bài toán về thể tích có thể dùng phương pháp tọa độ không gian. Để giải guyết bài toán
này thì chỉ một số ít các em học sinh biết phương pháp này nhưng trình bày còn lúng túng,
chưa gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn một số học sinh không có hướng giải quyết. Nguyên
nhân do đâu ? Nguyên nhân chính là do phần góc và khoảng cách được trình bày ở SGK
lớp 11. Tính góc và khoảng cách chỉ làm bằng phương pháp hình học không gian thuần
túy. Đối với học sinh phần vẽ hình học không gian đã là một vấn đề. Tưởng tượng hình đã
khó, tính góc và khoảng cách phần lớn là phải dựng thêm hình, đó là một vấn đề khó đối
với học sinh. Trong chương trình SGK hình học lớp 12, học sinh biết sử dụng phương pháp
tọa độ để tính góc, khoảng cách khi đã biết tọa độ điểm, toạ độ véctơ, biết phương trình
đường thẳng, phương trình mặt phẳng. Tuy nhiên lượng bài tập sử dụng phương pháp tọa
độ để tính góc và khoảng cách áp dụng cho bài hình học không gian thuần túy thì hầu như
không có, hạn chế. Mặt khác những bài toán tính góc và khoảng cách sử dụng phương pháp
tọa độ trong không gian ta thường không phải dựng thêm hình và cách giải độc đáo rễ hiểu.
Để góp phần vào việc giải quyết các đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn sưu tầm, tập
hợp, bổ xung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng viết thành
đề tài: “ Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ không gian ”. Hy vọng
5
rằng với đề tài này sẽ giúp học sinh nhận biết, xử lý bài toán hình học không gian nhanh
và thành thạo hơn.
II.Mô tả giải pháp:
1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến. Thực trạng của việc dạy giải bài
toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ trong trường THPT hiện nay.
Toán học là một trong những môn học khoa học, cơ bản mang tính trừu tượng,
nhưng ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội,
trong khoa học lý thuyết và trong khoa học ứng dụng. Toán học là môn khoa học giữ một
vai trò quan trọng trong suốt bậc học THPT. Tuy nhiên nó là một môn học khó, khô khan
và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình.
Chính vì vậy đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình nội
dung của SGK, nắm vững các phương pháp dạy học là một việc không thể thiếu. Để từ đó
tìm ra các biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức toán học cho
học sinh, công việc đó cần phải làm thường xuyên trong quá trình giảng dạy.
Chủ đề hình học không gian được đề cập trong SGK hình học lớp 11 với số tiết là
34 tiết, với thời lượng đó học sinh vừa làm quen với môn hình học không gian, nắm vững
được các kiến thức cơ bản về hình học không gian. Học sinh tập cách vẽ các hình chóp,
hình hộp, hình lăng trụ. Học sinh được học về: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc,
góc và khoảng cách trong không gian. Học sinh đã biết được một số phương pháp giải một
số bài toán hình học không gian như: Chứng minh song song, chứng minh vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng,
tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau… biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.
Trong SGK Hình học lớp 12 có giới thiệu chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian
với số tiết tương đối nhiều, học sinh nắm được khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ điểm, tọa
độ véc tơ, tích vô hướng của hai véc tơ, tích có hướng của hai véc tơ, phương trình mặt
phẳng, phương trình đường thẳng, phương trình mặt cầu, các công thức khoảng cách:
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau;
các công thức tính góc: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng và một số công thức thể tích.
Tuy nhiên trong các đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia hiện nay các câu hỏi về góc
và khoảng cách trong không gian, một số câu tính thể tích là một câu tương đối khó đối
với học sinh và chủ yếu dùng được phương pháp tọa độ để giải. Thông thường bài tập trong
SGK đưa ra đơn giản, lượng bài tập đưa ra sau mỗi bài học cũng rất hạn chế. Chính lẽ đó
mà học sinh sử dụng phương pháp này một các máy móc hoặc chưa biết cách sử dụng.

• Ưu điểm của phương pháp này:
• Vì toàn bộ hình đã được số hóa, nên các em học sinh không có khả năng nhìn hình
  tốt vẫn có thể làm được bài.
  6
• Đối với một số dạng bài rất khó khi giải bằng phương pháp không gian thuần túy
  thì khi được tọa độ hóa, bài toán trở nên vô cùng đơn giản, lời giải ngắn gọn dễ hiểu.
• Rất hữu ích cho các em học sinh ôn thi trong thời gian ngắn (khoảng 3 đến 4 tháng)
• Không bao giờ bị trừ điểm trình bày.
• Nhược điểm:
• Không phải bải toán nào cũng sử dụng được phương pháp này.
  Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ và so sánh hai phương pháp: Phương pháp tọa độ và
  phương pháp không gian thuần túy .
  Ví dụ 1: Cho hình chóp
  S.ABCD
  có đáy
  ABCD
  là hình thang cân
  AD
  //
  BC, AD 2a  ,
  BC CD a  
  . Biết
  SA ABCD ,SA 3a    
  . Gọi
   góc giữa hai đường thẳng
  SC
  và
  AD
  . Tính
  cos .
  A.
  3
  cos
  4
    . B.
  3
  cos
  3
    . C.
  5
  cos
  4
    . D.
  2
  cos
  3
    .
  Đối với bài này làm theo cách không gian thuần túy thì như sau:
  +) Ta có
  AD
  //
  BC
  nên góc giữa hai đường thẳng
  SC
  và
  AD
  là góc giữa hai
  đường thẳng
  SC
  và
  BC.
  +) Vì
  ABCD
  là hình thang cân nên
  AB CD a  
  . Gọi
  I
  là trung điểm của
  AD .
  Ta có:
  1
  AI BC AD
  2
  AI / / BC
  
     
  
  
  nên tứ giác
  AIBC
  là hình bình hành nên
  CI AB a   .
  7
  Tam giác
  ACD có
  1
  CI AD
  2
  
  nên tam giác
  ACD
  vuông tại
  C.
  Tam giác
  ACD
  vuông tại
  C
  nên :
   
  2 2 2 2 AC AD CD 2a a a 3      .
  Tam giác
  SAC
  vuông tại
  A
  nên ta có:
     
  2
  2 2 2 SC SA AC 3a a 3 2a 3      .
  Tam giác
  SAB
  vuông tại
  A
  nên:
   
  2 2 2 2 SB SA AB 3a a a 10      .
  +) Áp dụng định lí cosin trong tam giác
  SBC
  :
  2 2 2 SC BC SB 3 cosSCB
  2SC.BC 4
   
    .
  Vậy
  cosin
  góc giữa hai đường thẳng
  SC
  và
  AD bằng
  3
  4
  .
  Chọn đáo án A.
  Nếu làm bằng phương pháp tọa độ thì như sau:
  Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có:
  C 0;0;0 ,A a 3;0;0 ,D 0;a;0 ,S 0;0;3a        
  Suy ra:
   
  a 3 a SC 0;0; 3a ,AB ; ;0
  2 2
   
      
   
  .
  Ta có
   
  SC.AD 3
  cos cos SC,AD
  SC . AD 4
      .
  8
  Vậy
  3
  cos
  4
    .
  Chọn đáp án A.
  Qua ví dụ trên ta thấy nếu học sinh trình bày theo cách thứ hai vẫn đặc sắc và ngắn
  gọn hơn cách thứ nhất . Ưu điểm của cách thứ hai là học sinh không phải dựng thêm
  hình.
  Ví dụ 2: Cho hình chóp
  S.ABCD
  có đáy
  ABCD
  là hình thang cân,
  AD 2AB 2BC 2CD 2a    
  . Hai mặt phẳng
  SAB và
  SAD
  cùng vuông góc với
  mặt phẳng
  ABCD
  . Gọi
  M, N
  lần lượt là trung điểm của
  SB
  và
  CD
  . Tính cosin góc
  giữa
  MN
  và
  SAC
  , biết thể tích khối chóp
  S.ABCD
  bằng
  3
  a 3
  4
  .
  A.
  5
  10
  . B.
  3 310
  20
  . C.
  310
  20
  . D.
  3 5
  10
  .
  Lời giải
  Ví dụ trên nếu làm theo phương pháp hình học không gian thuần túy như sau:
  Gọi
  
  là mp đi qua
  MN và song song với mp
  SAD . Khi đó
  
  cắt
  AB tại
  P
  , cắt
  SC
  tại
  Q
  , cắt
  AC tại
  K
  . Gọi
  I là giao điểm của
  MN và
  QK I SAC   .
  Suy ra:
  P,Q,K
  lần lượt là trung điểm của
  AB,SC
  và
  AC.
  Lại có:
  ABCD
  là hình thang cân có
  AD 2AB 2BC 2a         AD 2a,AB BC CD a .
  3
  ABCD
  a 3 3a 3 CH ;S
  2 4
     .
  Ta có:
  3 2
  S.ABCD ABCD
  1 a 3 1 a 3 V SA.S SA. SA a
  3 4 3 4
       .
  1 a MP SA
  2 2
     và
  3a NP
  2
   .
  9
  Xét tam giác
  MNP
  vuông tại
  P
  :
  2 2 a 3a a 10 MN
  2 2 2
     
            
  .
  MP,KQ
  lần lượt là đường trung bình của các tam giác
  SAB, SAC MP
  //
  KQ
  //
  SA.
  KN
  là đường trung bình của tam giác
  1
  ACD KN AD a
  2
     .
  Xét tam giác
  AHC vuông tại
  H
  :
  2 2
  a 3 3a a 3 AC a 3 KC
  2 2 2
     
              
  .
  Suy ra tam giác
  KNC
  vuông tại
  C C
  là hình chiếu vuông góc của
  N
  lên
  SAC.
  
  góc giữa
  MN và
  SAC
  là góc
  NIC .
  Khi đó:
  IN KN 2 2 2 a 10 a 10 IN MN .
  MN NP 3 3 3 2 3
        .
  Xét tam giác
  NIC
  vuông tại :
  2 2
  a a 10 a 10 a a 31 NC ,IN IC
  2 3 3 2 6
     
               
  .
  IC a 31 a 10 310 cos NIC :
  IN 6 3 20
      .
  Chọn đáp án C.
  Đứng trước ví dụ này học sinh vô cùng lúng túng về phần vẽ hình. Học sinh hầu như
  không xác định được góc như thế nào. Do đó sử dụng phương pháp tọa độ thì bài toán
  sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Cụ thể làm bằng phương pháp tọa độ không gian thì như
  sau:
  Vì
  ABCD
  là hình thang cân có
  AD 2a
  AD 2AB 2BC 2CD 2a
  AB BC CD a
   
       
     
  .
  2
  ABCD
  a 3 a 2a a 3 3a 3 CH ;S .
  2 2 2 4
  
      .
  Nên
  3 2
  S.ABCD ABCD
  1 a 3 1 a 3 V SA.S SA. SA a
  3 4 3 4
       .
  Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ
  
  C
  10
       
  a 3 a a 3 a a 3 3a a A 0; a;0 ,B ; ;0 ,C ; ;0 ,D 0;a;0 ,S 0; a;a ,M ; ; ,
  2 2 2 2 4 4 2
       
           
       
  a 3 3a N ; ;0
  4 4
     
   
  .
  Ta có :
  3a a MN 0; ;
  2 2
   
       
  . Chọn
  u 0;3; 1 1
     
  cùng phương với
  MN .

AS 0;0;a    . Chọn
u 0;0;1 2
  
cùng phương với
AS .

a 3 3a AC ; ;0
2 2
 
  
 
. Chọn
u 3;3;0 3
  
cùng phương với
AC .
Mặt phẳng
SAC
có VTPT là :
n u ,u 3; 3;0 2 3         
.
Gọi
 là góc tạo bởi đường thẳng
MN
và mặt phẳng
SAC .
Ta có
 
1
1
1
u .n 3 10 310 sin cos u ,n cos
u . n 20 20
       .
Chọn đáp án C.
Qua hai cách trình bày trên thì cách thứ nhất hầu như học sinh không thể dựng được
hình do đó phần lớn học sinh không làm được. Nhưng làm theo cách thứ hai thì học
sinh không phải dựng thêm hình do đó cách thứ hai vẫn đặc sắc hơn, dễ hiểu hơn
nhiều so với cách thứ nhất.
11
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC.A’B’C’
có độ dài cạnh đáy bằng
a
. Góc
giữa
A’BC và
ABC
bằng
0
60
. Gọi
M, N
là trung điểm của
BC và
CC’
. Tính
khoảng cách giữa
A ‘M và
AN .
A.
6a 97
97
. B.
3a 97
97
C.
6a 65
65
. D.
a 65
65
.
Lời giải
Cách giải theo hình học cổ điển:
Kẻ
A ‘E
//
AN E AC    AN
//
A’ME.
    d A’M,AN d AN, A’ME d A, A’ME AK         .
Có
2 2 2
1 1 1
AK A’A AH
  .

• Có góc giữa
  A’BC
  và
  ABC
  là
  0 0 3a A’MA 60 A’A AM.tan 60
  2
      .
• Dễ thấy
  AE A’F 2AC  
  , với
  F A’F AC   .
  AME
  AME
  1 2S S AH.EM AH
  2 EM
  
     
  ; mà
  2
  AME MEC ABC
  2 2 1 a 3 S S .3. S
  3 3 2 4      
  .
  2 2 0 a 31 a 53 EM AE AM 2AE.AM.cos150 AH
  2 31
        .
  Vậy
  2 2 2 2
  1 1 1 97
  AK A’A AH 9a
     
  3a 97 AK .
  97
  
  Chọn B
  Đối với ví dụ này thì học sinh giỏi, học sinh khá cứng mới có thể dựng được hình và
  có thể làm được. Vấn đề dựng hình quả là khó đối với học sinh bên cạnh đó lại phải
  hình dựng hình và tính toán. Trong khi đó nếu làm bằng phương pháp tọa độ trong
  không gian thì như sau:
  12
  Do
  CB
  vuông góc với mặt phẳng
  A’MA nên góc giữa 2 mặt phẳng
  ABC
  và
  A’BC là góc
  A’MA bằng
  0
  60 .
  Trong tam giác vuông
  A’MA
  :
  0 AA’ a 3 3a tan 60 AA’ . 3
  AM 2 2
      .
  Trong mặt phẳng
  ABC
  kẻ đường thẳng
  Ay song song với
  BC
  , khi đó 3
  đường
  AM, Ay , A ‘A
  đôi một vuông góc với nhau.
  Xét hệ tọa độ Oxy sao cho:
  O A,AM Ox,Oy  
  //
  BC,AA’ Oz 
  ( hình vẽ).
  Ta có:
   
  3a a 3 a 3 a 3a A 0;0;0 ,A’ 0;0; ,M ;0;0 , N ; ;
  2 2 2 2 4
                   
  .
  Suy ra:
  2 2 2 a 3 3a a 3 a 3a 3a 9a 3 a 3 A’M ;0; ,AN ; ; A’M,AN ; ;
  2 2 2 2 4 4 8 4
       
                       
  .
  Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta có:
   
  A’M,AN .AM 3a 97 d A’M,AN
  A’M,AN 97
     
       
  .
  Chọn B
  Qua hai các trên ta thấy cách thứ hai vẫn dễ làm hơn, không phải dựng thêm hình.
• Qua các ví dụ trên ta thấy nếu giải quyết bài toán bằng phương pháp tọa độ không
  gian thì bài toán trở nên đơn giản và lời giải ngắn gọn hơn.
  13
  Ví dụ 4: Cho hình lập phương
  ABCD.A’B’C’D’
  có thể tích bằng
  V
  . Gọi
  M, N,P
  lần
  lượt là trung điểm của các cạnh
  AM,A’C’,BB’
  . Tính thể tích khối tứ diện
  CMNP.
  A.
  5
  V
  48
  . B.
  1
  V
  8
  . C.
  7
  V
  48
  . D.
  1
  V
  6
  .
  Lời giải
  Chọn A
  Giả sử hình lập phương đã cho có cạnh bằng
  1
  . Khi đó
  V 1 .
  Chọn hệ trục
  Oxyz
  như hình vẽ, A là gốc toạ độ, các cạnh
  AB, AD, AA’
  nằm
  trên các trục
  Ox,Oy,Oz .
  Khi đó :
           
  1
  C 1;1;0 ,B 1;0;0 ,A’ 0;0;1 ,B’ 1;0;1 ,C 1;1;1 ,M ;0;0 ,
  2
       
  1 1 N ; ;1 ,
  2 2
       
  1
  P 1;0;
  2
       
  ;
  Ta có
  1 1 1 1 CM ; 1;0 ,CN ; ;1 ,CP 0; 1;
  2 2 2 2
       
                     
  .
  Khi đó
  CMNP CMNP
  1 5 5 V CM,CN .CP V V
  6 48 48
         
  .
  Cách khác :
  14
  Goi
  a
  Q PM AA ‘ AQ PB
  2
       .
  Ta có :
  P.NQC NQC NQC NQC   
  1 1 a 2 V d P, NQC .S B’ N.S .S
  3 3 6
    
    
  .

 
2
A’C’CQ
C’C A ‘Q A ‘C’ 5a 2 S
2 4

  .

2 2 2 2
NQC A’C’CQ A’NQ NCC’
5a 2 3a 2 a 2 5a 2 S S S S
4 5 4 8   
       .

2 3
P.NQC
a 2 5a 2 5a V .
6 8 24
   .
Ta có
3
P.MNC
P.MNC
P.QNC
V PM 1 5a 5 V V
V PQ 2 48 48
     .
Nếu làm theo cách thứ hai thì chỉ học sinh rất khá về hình học không gian
mói có thể làm được, còn cách thứ nhất học sinh chỉ cần đọc được toạ độ các
đỉnh là tính được thể tích. Do đó cách thứ nhất sẽ vận đụng được cho nhiều
đối tượng học sinh hơn.

• Từ hai cách trình bày của các ví dụ trên, ta thấy trình bày theo cách 2 vẫn ngắn gọn
  hơn và độc đáo hơn.
  Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề
  cần thiết, giúp các em có kỹ năng, kỹ sảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp tọa độ
  hóa các bài hình học không gian. Đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng
  và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.
  Đứng trước thực tế học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 cần nắm chắc các
  kiến thức về tọa độ không gian và phương pháp giải khi gặp các bài toán về góc, khoảng
  15
  cách , bài toán thể tích . Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến này mục đích hỗ trợ cho các em
  học sinh có được hệ thống các bài tập giải các bài hình không gian bằng phương pháp tọa
  độ không gian, đồng thời giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh
  ôn thi tốt nghiệp THPT và thi học sinh giỏi.
  Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến tôi chỉ đưa ra góc, khoảng cách , thể tích
  giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian.
  2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
  2.1 Cơ sở lý thuyết: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
  KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
  A. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
  A1. Hệ tọa độ
  Trong không gian, xét ba trục
  x Ox ‘
  ;
  y Oy ‘
  ;
  z Oz ‘
  vuông góc với nhau từng đôi một.
  Gọi
  i j k , ,
  lần lượt là các vectơ đơn vị các trục
  x Ox ‘
  ;
  y Oy ‘
  ;
  z Oz ‘
  . Hệ ba trục như vậy
  gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc
  Oxyz
  trong không gian hay hệ tọa độ
  Oxyz .
  Điểm
  O
  được gọi là gốc tọa độ.
  Chú ý:
       
  2 2 2
  i j k  
  và
  i j j k k i . . . 0    .
  A2. Tọa độ của một điểm
  a) Định nghĩa:
  M x y z OM x i y j z k  ; ; . . .     
  (
  x
  : hoành độ,
  y
  : tung độ,
  z
  : cao độ)
  Chú ý: 
  M Oxy z M Oyz x M Ozx y            0, 0, 0.    
  
  M Ox y z M Oy z x M Oz x y             0, 0, 0. .
  b) Tính chất: Cho
  A x y z B x y z  A A A B B B ; ; , ; ;   
  
  AB x x y y z z      B A B A B A ; ; .
  
       
  2 2 2 AB AB x x y y z z        B A B A B A
  .
   Toạ độ trung điểm
  M
  của đoạn thẳng
  AB
  :
  ; ; .
  2 2 2
  A B A B A B x x y y z z M
          
   Toạ độ trọng tâm
  G
  của tam giác
  G
  :
  16
  ; ;
  3 3 3
  A B C A B C A B C x x x y y y z z z G
             
  .
  A3. Tọa độ vectơ
  Định nghĩa:
  u x y z u x i y j z k       ; ; . . .  .
  Nhận xét:
  M x y z OM x y z  ; ; ; ;     .
  B. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
  Định lý: Trong không gian
  Oxy
  cho
  a a a a   1 2 3 ; ; 
  và
  b b b b   1 2 3 ; ; .
   a b a b a b a b       1 1 2 2 3 3 ; ; .
  
  ka k a a a ka ka ka    1 2 3 1 2 3 ; ; ; ;   
  ( với
  k
  là hằng số).
  Hệ quả: Trong không gian
  Oxyz
  cho
  a a a a b b b b k R     1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ; ;   
  
  1 1
  2 2
  3 3
  a b
  a b a b
  a b
   
  
     
  
   
  
  0 0;0;0 ; 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ;       i j k      
  
  a
  cùng phương
  b b a kb k R      0  
   
  1 1
  1 2 3
  2 2 1 2 3
  1 2 3
  3 3
  , , , 0
  a kb
  a a a a kb b b b
  b b b
  a kb
   
         
  
  
  
   Cho hai điểm
  A x y z x y z  A A A B B B ; ; ; ;  
  thì:
• 
  AB OB OA x x y y z z        B A B A B A ; ;  .
• Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
  ; ;
  2 2 2
  A B A B A B x x y y z z M
          
  .
  17
  C. TÍCH VÔ HƯỚNG
  C1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
  Định lý: Trong không gian
  Oxyz
  , tích vô hướng của hai vectơ
  a a a a   1 2 3 , , 
  và
  b b b b   1 2 3 ; ; 
  được xác định bởi:
  1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b . . . .    .
  C2. Ứng dụng
  
  1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b      . . . 0 .
  
  222    1 2 3 a a a a .
  
  2
  222    1 2 3 a a a a .
  
   
  1 1 2 2 3 3
  2 2 2 2 2 2
  1 2 3 1 2 3
  . . . .
  cos ,
  .
   
   
     
  a b a b a b a b a b
  a b a a a b b b
  (với
  a b, 0 
  ).
  D. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
  D1. Định nghĩa
  Trong không gian
  Oxyz
  cho hai vectơ
  a a a a   1 2 3 , , 
  và
  b b b b   1 2 3 ; ; 
  . Tích có hướng
  của hai vectơ
  a
  và
  b
  kí hiệu là
    ,
    a b
  , được xác định bởi :
   
  2 3 3 1 1 2
  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
  2 3 3 1 1 2
  , ; ; ; ;
                  
  a a a a a a
  a b a b a b a b a b a b a b
  b b b b b b
  .
  Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
  D2. Tính chất
  
      , ; ,       a b a a b b .
  
      , ,
        a b b a .
  
        , ; , ; ,          i j k j k i i k j .
  
  , . .sin ,  
    
    a b a b a b
  (Chương trình nâng cao)
  D3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
  18
   Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
  ab,
  và
  c
  đồng phẳng
      , . 0   a b c
  .
   Diện tích hình bình hành
  ABCD
  :    ,
    ABCD S AB AD .
   Diện tích tam giác
  ABC
  :
  1
  ,
  2
  
       ABC S AB AC .
   Thể tích khối hộp
  ABCD A B C D . ‘ ‘ ‘ ‘
  :
  . ‘ ‘ ‘ ‘
     , . ‘   V AB AD AA ABCD A B C D
  .
   Thể tích tứ diện
  ABCD
  :
  1
  , .
  6
       V AB AC AD ABCD
  .
  Chú ý:
  – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng
  vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
  – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể
  tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không
  đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
  PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
  A. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
  A1. Định nghĩa
  Cho mặt phẳng
  
  . Nếu vectơ
  n  0
  và có giá vuông góc với mặt phẳng
  
  thì
  n
  là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
  .
  A2. Chú ý:
   Nếu
  n
  là một VTPT của mặt phẳng
  
  thì
  kn. ( 0) k 
  cũng là một VTPT
  của mặt phẳng
  .
   Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một
  VTPT của nó.
  19
   Nếu
  uv,
  có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
  
  thì
     ,
    n u v
  là
  một VTPT của
  .
  B. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
  B1. Định nghĩa
  Phương trình:
  Ax By Cz D     0
  với
  2 2 2 A B C    0
  được gọi là phương trình
  tổng quát của mặt phẳng.
  Nhận xét:
   Nếu mặt phẳng
  
  có phương trình
  Ax By Cz D     0
  thì nó có một
  VTPT là n A B C   ; ; .
   Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
  M x y z  0 0 0 ; ; 
  và nhận vectơ
  n A B C   ; ; 
  khác
  0
  là VTPT là:
  A x x B y y C z z        0 0 0      0.
  B2. Các trường hợp riêng
  Xét phương trình mặt phẳng
  

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT