Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II

Bài toán. Đối với bài toán tìm nguyên hàm, tích phân có dạng
\[ \int f(u(x))\cdot u'(x)\,\mathrm{d}x \]
chúng ta thường sử dụng phương pháp đổi biến số [hoặc biến đổi vi phân] thành
\[ \int f(u) \,\mathrm{d}u \]
và sử dụng bảng các nguyên hàm mở rộng. Thường ta chọn những phần phức tạp của biểu thức để đổi biến, chẳng hạn

• Đặt $ u $ là mẫu thức, căn thức, cơ số, số mũ hoặc biểu thức dưới dấu căn.
• Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ f\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x} $ thì đặt $ u= \ln x.$
• Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ \sin^n x\cdot \cos^m x $, và $ n $ lẻ thì ta đặt $ u= \cos x$, nếu $ m $ lẻ thì đặt $ u=\sin x $, nếu không thì hạ bậc cho đến khi xuất hiện số mũ lẻ.
• Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì ta chia tử cho mẫu, sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tách thành các phân thức đơn giản.

Bài giảng phương pháp biến đổi vi phân, phương pháp đổi biến số loại 2

Một số bài tập trắc nghiệm phương pháp biến đổi vi phân, đổi biến số loại 2:

1. 1. Kết quả của $ I= \int \left(2x(x-1)+2^x\right)\,\mathrm{d}x $ là
      1. $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+\frac{2^x}{\ln 2} +C$}
      2. $ I=x^3-x^2+2^x +C$
      3. $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
      4. $ I=x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
   2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
      1. $ \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C $.
      2. $ \int e^{2x}\,\mathrm{d}x=e^{2x}+C $.
      3. $ \int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C $.
      4. $ \int \,\mathrm{d}x=x+C $.
   3. Cho $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x $ và $ t=\sqrt{x^2+1} $. Khẳng định nào sau đây là sai?
      1. $ x\,\mathrm{d}x=t\,\mathrm{d}t $.
      2. $ I=\int_{1}^{2}t^2\,\mathrm{d}t $.
      3. $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}t^2\,\mathrm{d}t $.
      4. $ I=\frac{7}{3} $.
   4. Biết $ \int f(u)du=F(u)+C $. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
      1. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(x)-3+C $.
      2. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=F(2x-3)+C $.
      3. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}F(2x-3)+C $.
      4. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(2x-3)+C $.
   5. Nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\sqrt{4x+2} $ là
      1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
      2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\sqrt{4x+2} +C$.
      3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
      4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
   6. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x+2}$.
      1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = e^{3x+2}+C$.
      2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
      3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
      4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}e^{3x+2}+C$.
   7. Cho $ I= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin^nx\cos x \,\mathrm{d}x=\frac{1}{64} $. Khi đó giá trị của $ n $ bằng bao nhiêu?
      1. $ n=3 $.
      2. $ n=6 $.
      3. $ n=5 $.
      4. $ n=4 $.
   8. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\cos2x. $
      1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sin2x +C. $
      2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{2} \sin2x +C. $
      3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=2\sin2x +C. $
      4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-2\sin2x +C. $
   9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos^2x$.
      1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\cos 2x}{4}+C$.
      2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$.
      3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}+C$.
      4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$.
   10. Biết $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$ và $ F(2)=1. $ Tính $ F(3). $
       1. $ F(3)=\ln 2-1. $
       2. $ F(3)=\ln 2+1. $
       3. $ F(3)=\frac{1}{2}. $
       4. $ F(3)=\frac{7}{4}. $
   11. Tính tích phân $I =\int\limits_0^1 {\frac{x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1}} $.
       1. $I = – 1 +\ln 2$.
       2. $I =\frac{1}{2}\ln 2$.
       3. $I =\ln 2$.
       4. $I =\frac{1}{2}\left( – 1 +\ln 2\right)$.
   12. Biết $ \int\limits_0^1 {\frac{{5x + 18}}{{{x^2} + 7x + 12}}\,\mathrm{d}x} = \ln a$. Tính $a$.
       1. $a=\frac{27}{100}$.
       2. $a=\frac{100}{3}$.
       3. $a=\frac{100}{27}$.
       4. $a=\frac{100}{7}$.
   13. Tìm nguyên hàm $\int\frac{x + 3}{x^2 + 3x + 2}\,\mathrm{d}x $.
       1. $2\ln |x + 2| -\ln |x + 1| + C$.
       2. $\ln |x + 1| + 2\ln |x + 2| + C$.
       3. $2\ln |x + 1| +\ln |x + 2| + C$.
       4. $\ln |x + 1| – 2\ln |x + 2| + C$.
   14. Biết $ \int_{3}^{4}\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+x}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5 $ với $ a,b,c $ là các số nguyên. Tính giá trị $ S=a+b+c. $
       1. $ S=6. $
       2. $ S=2. $
       3. $ S=-2. $
       4. $ S=0. $
   15. Tìm nguyên hàm
       \[ \int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x \]
   16. Cho tích phân $ I=\int_0^4\frac{\,\mathrm{d}x}{3+\sqrt{2x+1}} =a+b\ln\frac{2}{3}$, với $ a,b $ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
       1. $ a+b=5 $.
       2. $ a-b=3 $.
       3. $ a-b=5 $.
       4. $ a+b=3 $.
   17. Tính tích phân
       $$ I=\int_0^1 x(x^2+1)^9\,\mathrm{d}x.$$
   18. Tính tích phân
       \[ I=\int_{0}^{1}x^3\cdot\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x \]
   19. Tính $I = \int\limits_{0}^{1} \frac{2x^2+5x-2}{x^3+2x^2-4x-8}\,\mathrm{d}x$.
       1. $I=\frac{1}{6}+\ln12$.
       2. $I=\frac{1}{6}+\ln \frac{3}{4}$.
       3. $I=\frac{1}{6}-\ln3+2\ln2$.
       4. $I=\frac{1}{6}- \ln \frac{3}{4}$.
   20. Tính tích phân $ I = \int_0^{\pi/6}\frac{\sin 3x}{4\cos^3 x – 3\cos x + 2}\,\mathrm{d}x$
       1. $I=\frac{1}{3}\ln 3 – \ln 2$.
       2. $I=\ln 3 – \ln 2$.
       3. $I=\frac{1}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln 3$.
       4. $I=\frac{1}{3}\ln3 – \frac{1}{3}\ln 2$.
   21. [Đề tham khảo 2018]
       Cho hàm số $ f(x) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{1}{2}\right\}$ và thỏa mãn
       \[ f'(x)=\frac{2}{2x-1},\quad f(0)=1,\quad f(1)=2. \]
   22. Tính giá trị của biểu thức $ f(-1)+f(3). $
       1. $ 4+\ln 15. $
       2. $ 2+\ln 15. $
       3. $ 3+\ln 15. $
       4. $ \ln 15. $
   23. [Đề tham khảo 2018]
       Biết $ \int_1^2\frac{\,\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c $, với $ a,b,c $ là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức $ P=a+b+c. $
       1. $ P=24. $
       2. $ P=12. $
       3. $ P=18. $
       4. $ P=46. $