Category: SKKN Luận Văn Luận Án

SKKN Một số hình thức khai thác và phát triển bài toán hình học lớp 8 trong tiết luyện tập

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong những năm gần đây ngành Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện việc đổi
mới một cách mạnh mẽ, đồng bộ cả mục tiêu, nội dung, phương pháp và phương
tiện dạy học, cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá học sinh để có thể đào tạo
ra những sản phẩm, những lớp người lao động mới mà xã hội đang cần. Đặc biệt là
việc đổi mới chương trình GDPT tổng thể đang đòi hỏi người học hình thành và
phát triển được các năng lực và phẩm chất, có kiến thức, kĩ năng cơ bản, thiết yếu,
phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và
các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Lịch sử, Tin học, Công
nghệ, Giáo dục thể chất, Nghệ thuật,… tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm
cũng như việc áp dụng toán học vào thực tiễn. Trong đó, việc đổi mới phương
pháp và phương tiện dạy học phải được đặc biệt chú ý.
Cốt lõi của phương pháp dạy học là phát huy tính tích cực nhận thức trong
học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho
học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập một cách
tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là hướng tới học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh được suy nghĩ nhiều hơn,
thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn và phát huy khả năng tư duy, sáng tạo
nhiều hơn khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực
tiễn của cuộc sống. Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương
pháp dạy học.
Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị
cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to lớn còn
ở chỗ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc lập sáng tạo
trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn
thiện tri thức trong các hoạt động thực tiễn, hoạt động trải nghiệm sau này. Do đó,
việc thiết kế những nội dung dạy học cụ thể, nhằm tạo môi trường để tư duy nhận
thức của học sinh được hoạt động tích cực là rất cần thiết, từ đó phát triển năng lực
và phẩm chất cho học sinh.
2
Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ
thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm
chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ
để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo
thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
Ở trường THCS, trong dạy học Toán, song song với việc hình thành cho học
sinh một hệ thống các khái niệm, các định lí thì việc dạy học giải các bài toán có
tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp
dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài
toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các kiến
thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì việc bồi dưỡng học
sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng trong quá trình giảng dạy. Do đó việc hướng
dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết và
không thể thiếu được.
Trong chương trình Toán cấp THCS nói chung và môn hình học nói riêng là
một trong những môn học xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những
bài toán liên quan đến điểm, đoạn thẳng, góc,… dành cho học sinh lớp 6 đến các
bài toán chứng minh ở lớp 7, 8, 9. Đây là một nội dung quan trọng trong môn toán
THCS và chiếm thời lượng lớn trong từng năm học. Để giải được các bài toán hình
là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và lúng
túng đặc biệt là các bài tập mang tính chất đòi hỏi học sinh phải có năng lực suy
luận và tư duy tốt. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, khi
các em học sinh khi tham gia làm bài kiểm tra, đánh giá giữa kỳ, cuối kỳ, thi học
sinh giỏi, thi tuyển vào lớp 10 để đạt được điểm số cao thì đây là một trong những
vấn đề quan trọng mà học sinh phải vượt qua.
Là một giáo viên giảng dạy Toán cấp THCS, bản thân tôi lại được trường
trực tiếp giao trách nhiệm dạy môn toán lớp 8, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các bài tập
hình học và khi gặp bất cứ một dạng toán hình nào thì các em cũng có thể tìm ra
3
cách giải một cách tốt nhất. Theo tôi nếu như giáo viên có sự dẫn dắt học sinh cẩn
thận, tỉ mỉ, trau dồi tư duy, sáng tạo cho học sinh từ việc nắm vững kiến thức đến
cách thức phân tích và giải từng dạng toán thì chắc rằng các em sẽ dễ dàng hơn khi
gặp dạng toán đó. Qua đó cũng bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú
trong học môn Toán. Tuy nhiên không phải bất cứ dạng bài tập hình nào cũng có
một nguyên tắc giải cụ thể. Đối với mỗi bài tập hình ít nhất người giáo viên cũng
cần mở ra cho học sinh kỹ năng nhận biết và phán đoán, khả năng áp dụng với
những bài tương tự mà học sinh đã làm được.
Trên cơ sở nhận thức được tầm quan trọng của việc nghiên cứu khoa học
giáo dục và nhiệm vụ của người làm công tác giáo dục cùng với năng lực và điều
kiện của bản thân cũng như để đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học
trong nhà trường, là một giáo viên THCS nhiều năm giảng dạy môn Toán đặc biệt
là môn Hình học, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Một số hình thức khai thác và
phát triển bài toán Hình học lớp 8 trong tiết luyện tập”
Để có được bản báo cáo về sáng kiến trên, tôi đã tiến hành khảo sát và kiểm
tra kết quả học tập của học sinh trên lớp bằng cách hướng dẫn cho học sinh cách
thức phân tích, phát triển, tìm tòi mở rộng và tổng hợp kiển thức khi giải bài tập
hình học. Kết quả cho thấy việc áp dụng sáng kiến đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kỹ
năng làm bài tập, chứng minh hình học của học sinh có nghĩa là có sự khác biệt lớn
giữa điểm khá giỏi của lớp so với trước khi áp dụng sáng kiến. Điều đó chứng tỏ
rằng việc khai thác và phát triển một số bài tập hình lớp 8 trong tiết luyện tập có
nâng cao khả năng suy luận hình học cho học sinh trường THCS Hải Phương nơi
tôi công tác.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Khi giải bài tập hình học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích và
chứng minh và khi học sinh giải xong bài toán thì thường các em đã bằng lòng với
kết quả của mình kể cả những em có lực học khá, giỏi. Từ những lý do đó nếu thay
đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng và có thể sẽ rất khó khăn để hoàn thành
được bài tập mà giáo viên giao cho.
4
Để giải một bài toán đòi hỏi người giải phải biết phân tích để khai thác hết
giả thiết của bài toán, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán,… để từ đó
liên hệ đến các kiến thức liên quan và định hướng cách giải. Đại bộ phận học sinh
không hiểu rõ sự quan trọng cần thiết của việc phân tích và nhận định hướng giải,
nhiều học sinh không học lý thuyết đã vận dụng ngay, không giải được thì chán
nản, bỏ không giải, giải cho xong hoặc tham khảo cách giải bài trong sách giải bài
tập, trên mạng Internet,…
Thực tế qua việc thăm lớp, dự giờ, khảo sát, kiểm tra đánh giá, chấm trả các
bài kiểm tra, tôi nhận thấy hầu hết các em học sinh rất lúng túng trong việc chứng
minh hình học, khả năng tư duy và suy luận hình học của một số em còn yếu. Để
thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức, khi kiểm tra
miệng nhiều em học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt,
trong quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra
một số ví dụ thì đa số học sinh lúng túng trong việc đi phân tích tìm lời giải, các
em làm được cũng chỉ là đối tượng học sinh khá giỏi mà cũng chỉ làm được các
dạng cơ bản.
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra và tổng hợp kết quả điểm khảo sát học
kỳ II môn Toán của lớp 8A và điểm Toán qua các kỳ khảo sát của khối 8 trường
THCS Hải Phương so với toàn huyện trong 2 năm học 2017 – 2018 và năm học
2018 – 2019 như sau:
* Năm học 2017 – 2018
+ Điểm khảo sát HKII lớp 8A

Lớp	Sĩ số	Điểm từ 8 – 10	Điểm từ 7 –7,75	Điểm từ 5 – 6,75	Điểm từ 3 – 4,75	Điểm từ 0 – 2,75
SL	%	SL	%	SL %	SL	%	SL	%
8A	44	9	20,45%	13	29,55%	17 38,64%	4	9,09%	1	2,27%

+ Xếp thứ các kỳ khảo sát môn Toán khối 8 trong toàn huyện
5

Môn Toán khối 8	Điểm TB toàn khối	Điểm TB 70% điểm cao	Điểm TB 10% điểm cao	Cộng XT	Xếp thứ Huyện (39 trường)
Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ
Học kỳ I	6,13	10	7,16	10	9,38	7	47	8/39
Giữa HK2	5,66	7	6,81	9	9,0	8	40	9/39
Học kỳ II	6,45	4	7,12	5	9,1	5	23	6/39

* Năm học 2018 – 2019
+ Điểm khảo sát HKII lớp 8A

Lớp	Sĩ số	Điểm từ 8 – 10	Điểm từ 7 –7,75	Điểm từ 5 – 6,75	Điểm từ 3 – 4,75	Điểm từ 0 – 2,75
SL	%	SL	%	SL %	SL	%	SL	%
8A	45	10	22,22%	14	31,11%	15 33,34%	5	11,11%	1	2,22%

+ Xếp thứ các kỳ khảo sát môn Toán khối 8 trong toàn huyện

Môn Toán khối 8	Điểm TB toàn khối	Điểm TB 70% điểm cao	Điểm TB 10% điểm cao	Cộng XT	Xếp thứ Huyện (38 trường)
Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ
Học kỳ I	4,86	13	6,03	6	7,7	7	45	9/38
Giữa HK2	5,72	9	6,94	6	9,1	8	38	7/38
Học kỳ II	6,07	8	7,16	7	9,0	7	37	6/38

6
Sau khi khảo sát và phân tích chất lượng qua 2 năm học trên tôi thấy rằng số
học sinh đạt điểm khá, giỏi còn hạn chế điều này chứng tỏ khả năng học sinh vận
dụng và vận dụng cao kiến thức để giải toán với số lượng chưa nhiều. Bên cạnh đó
số lượng điểm trung bình còn chiếm tỉ lệ cao chứng tỏ vẫn còn nhiều học sinh nắm
kiến thức chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết và thông hiểu. Đi sâu vào thực tế kiểm
tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm bài tập hình còn rất lúng túng, một số học
sinh làm được là học sinh khá, giỏi. Số còn lại chủ yếu là học sinh trung bình, yếu
chưa hình thành tư duy và kỹ năng chứng minh hình học, không biết giải và trình
bày bài toán như thế nào.
Thực tế một số học sinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý
thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Học sinh còn nhầm lẫn và chưa biết cách giải
các bài toán hình học trong SGK và SBT còn nhiều, do thời lượng làm bài tập ít
nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao. Do đó với những câu hỏi
mang tính mở rộng thì số học sinh hoàn thành là rất ít nên kết quả học tập còn hạn
chế, nguyên nhân chủ yếu là:
* Về phía học sinh:
+ Học sinh thường có thói quen làm xong bài tập, trả lời đầy đủ các câu hỏi
tương ứng với mỗi bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập là xong, không suy
nghĩ được câu hỏi đó liên quan đến dạng câu hỏi nào khác và đã sử dụng các kiến
thức nào để giải để giải quyết bài tập đó.
+ Với học sinh trung bình, yếu khi giáo viên thay đổi cách hỏi thì cho là vấn
đề mới, khó nên không tự giác suy nghĩ, chưa biết quy bài toán lạ về quen.
+ Với học sinh khá, giỏi chưa có thói quen phân tích để tìm ra cách hỏi khác
của bài toán, chưa có thói quen tìm câu hỏi mở rộng cho từng câu đã làm, chưa tự
sâu chuỗi các kiến thức đã biết thành một hệ thống cùng dạng, cùng loại.
Đối với học sinh THCS thì Hình học là một môn học khó, trừu tượng, thực
tế cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn còn tình trạng thụ động tiếp thu kiến
thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến thức, chưa có tính sáng tạo, chưa phát
huy được năng lực tự học, tự nghiên cứu của bản thân, chỉ có một bộ phận học
sinh, những học sinh có khả năng suy luận, có tư duy nhạy bén là tỏ ra thích thú
7
khi học hình, số còn lại thường rơi vào tình trạng né tránh. Thường thì các em tỏ ra
lo sợ điều đó dẫn đến nhiều em chỉ tập trung học môn Đại số mà xa rời môn Hình
học.
* Về phía giáo viên:
+ Chưa chủ động đưa ra các dạng câu hỏi khác, chưa chủ động đào sâu, khai
thác thêm các dữ kiện của bài toán để phát triển bài toán vì cho rằng việc làm
đó mất nhiều công sức và ảnh hưởng đến thời gian học tập của lớp.
+ Chưa khai thác và phát triển bài toán một cách thường xuyên trong các tiết
học đặc biệt là các tiết luyện tập và ôn tập chương, chưa tạo thói quen cho học sinh
tiếp cận với cách phát triển bài tập hình học.
+ Việc ứng dụng, khai thác công nghệ thông tin, các trang thiết bị dạy học
hiện đại vào giảng dạy chưa thường xuyên hoặc áp dụng nhưng với hiệu quả chưa
cao.
Trong giảng dạy thực tế việc khai thác, nhìn nhận, phát triển một bài toán cơ
bản dưới nhiều góc độ khác nhau giúp học sinh hiểu được sâu sắc bài toán, kích
thích được sự tìm tòi khám phá và tổng hợp kiến thức đã học, đặc biệt rèn khả
năng suy luận, kỹ năng chứng minh hình học của học sinh, giúp các em phát hiện
và chứng minh các bài tập hình học một cách có căn cứ. Hơn nữa người giáo viên
phải xác định được việc dạy học sinh làm toán không chỉ dạy các em giải các bài
toán mà còn dạy học sinh hướng suy nghĩ, cách để giải bài toán. Chỉ có như vậy
học sinh mới có được phương pháp, có kỹ năng, kinh nghiệm và củng cố, khắc sâu
kiến thức. Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh một số hình thức khai
thác và phát triển bài toán hình học từ những bài toán cơ bản dựa trên những kiến
thức mà các em đã được học, qua đó có thể giúp các em hình thành con đường và
cách thức cho việc giải dạng toán này đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ,
lòng say mê toán học.
Nhận thức được điều này tôi đã trao đổi và tìm hiểu với các giáo viên trong
tổ Toán đặc biệt là nhóm Toán 8 của một số trường bạn trên địa bàn là THCS Hải
Anh, THCS Hải Long, THCS Thị Trấn Yên Định về tình hình nhận thức của học
sinh đối với bộ môn Hình học nói chung và môn Hình học lớp 8 nói riêng và được
8
các giáo viên nhóm Toán các trường bạn rất đồng tình. Từ đây tôi đã đi nghiên cứu
tìm hiểu và đưa ra sáng kiến và được áp dụng vào giảng dạy tại nhà trường nơi tôi
công tác và một số trường bạn trong 2 năm học 2019 – 2020 và 2020 – 2021 vừa
qua.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Mục tiêu của sáng kiến
Để thay đổi dần hiện trạng trên, tôi đưa ra giải pháp: “Một số hình thức
khai thác và phát triển bài toán Hình học lớp 8 trong tiết luyện tập “
Với giải pháp trên thì sáng kiến kinh nghiệm này góp phần hình thành và
phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt như: Nêu và trả lời được câu hỏi
khi lập luận, giải quyết vấn đề, thực hiện được việc lập luận hợp lí khi giải quyết
vấn đề, chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp, sử dụng được các
mô hình toán học để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn, sử
dụng ngôn ngữ để mô tả (mô hình hoá) một số quá trình, giải quyết một số vấn đề
thực tiễn đơn giản gắn với Hình học đáp ứng với mục tiêu chương trình Giáo dục
phổ thông mới.
Cụ thể khai thác và phát triển các kiến thức từ một số bài hình trong sách
giáo khoa và sách bài tập trong tiết luyện tập bằng các hình thức sau:
* Hình thức 1: Khai thác và phát triển bài toán tổng quát.
* Hình thức 2: Khai thác và phát triển bài toán tương tự.
* Hình thức 3: Khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu.
* Hình thức 4: Khai thác và phát triển một số cách giải khác của bài toán.
* Hình thức 5: Khai thác và phát triển một số ứng dụng thực tiễn.
Ứng với mỗi hình thức trên, học sinh được hình thành và phát triển các năng
lực tư duy toán học và hình thành các phẩm chất thông qua phương pháp khai thác
và phát triển các bài tập cụ thể như:
+ Tìm các cách hỏi khác cho câu hỏi trong bài tập.
+ Cho thêm dữ kiện để phát triển các câu hỏi khác của bài toán
+ Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho một
bài toán.
9
+ Thay đổi dữ kiện để chuyển hóa bài toán thành bài toán mới.
+ Thêm bớt câu hỏi của bài toán để chuyển hóa từ bài toán khó thành bài
toán dễ hơn và ngược lại.
+ Phát hiện những khó khăn, vướng mắc, những sai lầm học sinh mắc phải
và tìm hướng khắc phục chúng khi giải bài tập.
+ Từng bước hình thành cho học sinh tự tìm ra cách hỏi, cách giải khác, xây
dựng câu hỏi khác của bài toán, đề xuất bài toán tương tự.
+ Tìm các ứng dụng thực tiễn để học sinh được trải nghiệm thông qua việc
vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tiễn đó.
Với việc khai thác các kiến thức bằng các hình thức như trên nhằm giúp học
sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, sự liên kết giữa các đơn vị kiến thức của môn học của
nhiều dạng bài tập và việc vận dụng các kiến thức vào chứng minh hình học giúp
tiết kiệm thời gian hơn trong các tiết luyện tập đồng thời thúc đẩy ý thức tự học
của học sinh.
2.2. Nội dung sáng kiến
Hình học là một môn học lý thú, là loại bài toán khó tuy nhiên nó lôi cuốn
được nhiều đối tượng học sinh. Trong khi giải bài tập có nhiều phương pháp để
giải. Mỗi bài toán khi giải cần vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan sao
cho phù hợp với đặc điểm của bài toán đó nhằm rèn luyện tư duy toán học một
cách linh hoạt, sáng tạo. Vì vậy, các bài toán về hình học luôn có mặt trong các kỳ
khảo sát chất lượng học kỳ, các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, chọn đội tuyển, học
sinh giỏi cấp tỉnh, các bài toán thi Olympic… là môn học có độ phân hóa cao.
Trước khi dạy bồi dưỡng các em bản thân tôi đã tìm hiểu qua các sách tham
khảo, sách nâng cao về hình học, các tài liệu có liên quan đến các kiến thức hình
học trong sách giáo khoa, tìm tòi trên mạng Internet những chuyên đề, hay thu thập
một số đề khảo sát chất lượng học kỳ, đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và
một số bài toán trong phần tự luyện Olympic.
Thật vậy, trong từng tiết dạy luyện tập hay ôn tập chương ta có thể tổng hợp
các kiến thức thông qua các hình thức khai thác và phát triển các kiến thức từ một
số bài tập cụ thể như: Khai thác và phát triển bài toán tổng quát, khai thác và phát
10
triển bài toán tương tự, khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu,
khai thác và phát triển một số cách giải khác của bài toán, khai thác và phát triển
một số ứng dụng thực tiễn để tăng khả năng suy luận, khả năng khái quát hóa vấn
đề cho học sinh và đặc biệt là giảm thiểu thời gian trên lớp trong các tiết luyện tập.
2.3. Tổ chức thực hiện các giải pháp
Một số hình thức khai thác và phát triển bài toán Hình học lớp 8 trong tiết
luyện tập.
2.3.1. Hình thức 1: Khai thác và phát triển bài toán tổng quát
Từ một số bài toán cơ bản trong sách giáo khoa, ta có thể hướng dẫn học
sinh tìm hiểu những cách hỏi khác nhau có liên quan đến yêu cầu của bài toán
đồng thời khai thác thêm về giả thiết hoặc thêm và thay đổi một số yếu tố của đề
bài để phát triển các câu hỏi mang tính chất mở rộng, khái quát hóa.
Việc khái quát hoá bài toán là một vấn đề quan trọng, đó là thể hiện năng lực
tư duy, sáng tạo của học sinh. Để bồi dưỡng cho các em năng lực khái quát hoá
đúng đắn phải bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức
liên quan để biết tìm ra cách giải quyết vấn đề trong các trường hợp cụ thể.
Chẳng hạn bài tập 44 Sgk Toán 8 tập 1 trang 92, ngoài việc học sinh vận
dụng kiến thức về hình bình hành thì học sinh còn được vận dụng nhiều kiến thức
cũ đã học để chứng minh như kiến thức về đường trung bình của tam giác ở câu b,
e. Chứng minh ba điểm thẳng hàng ở câu c, tính chất đường ba trung tuyến và tính
chất trọng tâm của tam giác ở câu f,…
Bài toán 1.1: (Bài 44 trang 92- Sgk Toán 8 tập 1):
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm
của BC. Chứng minh rằng BE = DF.
Khai thác và phát triển:
b) Giả sử ta nối AC cắt BE, DF tại M và N. Hãy so sánh độ dài các đoạn
thẳng AM, MN, NC ?
11
c) Nếu gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AC. Chứng minh 3 điểm B, O, D
thẳng hàng?
d) Chứng minh rằng BD, AC, EF đồng quy.
e) Giả sử AF cắt BE tại P, CE cắt DF tại Q. Chứng minh rằng: PQ// AD và
PQ = 1
2 AD.
f) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng IN.BE = IB.ME
(Câu f trích đề khảo sát Giữa HKI năm học 2015 – 2016/PGD&ĐT huyện
Hải Hậu)
Từ bài tập 44 (trang 92- Sgk Toán 8 tập 1) ở trên trong bài “Luyện tập: Hình
bình hành” ta đã khai thác và phát triển nhiều kiến thức thông qua các câu hỏi phụ
đã củng cố, tái hiện và khắc sâu kiến thức về hình bình hành và kiến thức về đường
trung bình của tam giác ở câu b, e, chứng minh ba điểm thẳng hàng ở câu c, tính
chất ba đường trung tuyến trong tam giác ở câu f,… nếu chỉ dừng lại ở bài 44/sgk thì
học sinh mới chỉ củng cố kiến thức về hình bình hành mà chưa vận dụng kiến thức
về hình bình hành để giải các bài toán có liên quan và ngược lại, từ đó sẽ không
phát huy được khả năng suy luận hình học và tư duy sáng tạo ở học sinh khi học
môn hình học.
Cụ thể hướng phát triển bài toán như sau:
Trước hết giáo viên cùng học sinh thực hiện yêu cầu bài tập 44 (trang 92- Sgk
Toán 8 tập 1) đó là đi chứng minh BE = DF.
M
N
O
P Q
B
A
C
D
E
F
I
12
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành (GT)
Suy ra AD // BC
và AD = BC (tính chất hình bình hành)
Ta có E là trung điểm của AD  EA = ED = 1
2 AD
và F là trung điểm của BC  FB = FC = 1
2 BC
Mà AD = BC
Do đó BF = ED
Xét tứ giác BEDF có BF = ED (Cmt)
BF // ED (vì AD // BC)
Suy ra BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Suy ra BE = DF (2 cạnh đối hình bình hành)
* Từ bài toán trên nếu gọi M, N là giao điểm của AC với BE và DF.
Xét BCM ta dễ thấy F là trung điểm của BC và FN // BM
 N là trung điểm của CM
 NC = MN
Xét AND ta dễ thấy E là trung điểm của AD và EM // DN
 M là trung điểm của AN
 AM = MN
Do đó ta suy ra được AM = MN = NC
Từ những phân tích trên cho ta bài toán phát triển ở câu b:
Giả sử ta nối AC cắt BE, DF tại M và N. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng
AM, MN, NC ?
B
A
C
D
E
F
13
Từ câu b, GV đã củng cố cho HS về tính chất hình bình hành (hai cạnh đối
song song BE // DF) bên cạnh đó củng cố cho HS kiến thức về đường trung bình
của tam giác để chứng minh, so sánh các đoạn thẳng giúp HS thấy được mối liên hệ
giữa kiến thức về hình bình hành với các kiến thức đã học và đây cũng chính là
hướng để khai thác và phát triển bài toán ở câu c.
Sau khi HS đã so sánh độ dài AM, MN, NC và chỉ ra được AM = MN = NC.
GV: Ngoài cách hỏi trên ta còn có những cách hỏi khác của câu này là:
1) Chứng minh rằng: AM = MN = NC
2) Chứng minh rằng: AN = CM; CN = 1
3 AC; CN = 12 AN; …
Từ đây HS có thể tự đưa ra các yêu cầu tương tự:
3) Tính các tỉ số CN
AC = ? ; AN CN = ? ; CM AN = ? …
Đây là thuận lợi giúp HS giải bài tập trắc nghiệm chọn đáp án đúng
trong đề kiểm tra và đề thi sau này.
4) Nếu cho biết độ dài đoạn thẳng AC. Hãy tính độ dài AM, MN, NC,
AN, CM ?
Từ câu b và những điều được mở rộng, liên hệ móc nối với nhau. HS củng cố
về tính chất hình bình hành, bên cạnh đó củng cố cho HS về đường trung bình của
tam giác để chứng minh, so sánh các đoạn thẳng đồng thời HS được tìm tòi các kiến
thức liên quan xoay quanh vấn đề đã được chứng tỏ.
*Nếu gọi O là trung điểm của AC
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành
 BD cắt AC tại trung điểm mỗi đường
M
N
B
A
C
D
E
F
14
Mà O là trung điểm của AC
 O cũng là trung điểm của BD
 B, O, D thẳng hàng
Ta có bài toán phát triển ở câu c: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AC. Hãy
chứng minh 3 điểm B, O, D thẳng hàng?
Với câu c, GV đã củng cố cho HS về tính chất hai đường chéo cắt nhau tại
trung điểm mỗi đường hình bình hành và từ đây HS có thêm một cách mới để
chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Thông qua hình thức hỏi mở rộng tương tự như ở câu b thì ở câu c này HS có
thể tự đặt ra câu hỏi xoay quanh O là trung điểm của BD:
1) Chứng minh rằng: BD đi qua O
2) Chứng minh rằng: BO = 1
2 BD;
GV đưa ra: Tìm xem O là trung điểm của đoạn nào nữa?
HS tự tìm ra: O là trung điểm của EF (Yêu cầu HS chứng minh)
Như vậy HS có thể tự phát triển trên cơ sở tương tự câu mà GV đã hướng
dẫn.
? Có nhận xét gì về vị trí của 3 đường thẳng BD, AC, EF ?
HS: Đồng quy tại điểm O  GV phát triển câu d
Dưới sự gợi ý của GV: HS hoàn toàn có thể tự nêu câu hỏi được
*Từ câu c ta có O là trung điểm của AC, BD, ta còn nhận thấy O là trung điểm của
EF
Từ đây ta có bài toán phát triển ở câu d:
Chứng minh rằng BD, AC, EF đồng quy.
M
N
O
B
A
C
D
E
F
15
Ở câu d là dạng bài tập mới, vận dụng tính chất hình bình hành (hai đường
chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) để chứng minh O là trung điểm của ba
đoạn thẳng AC, BD, EF. Tức là AC, BD, EF đồng quy tại O. Và đây cũng là kiến
thức có liên quan đến đối xứng tâm mà HS sẽ được nghiên cứu trong tiết học tiếp
theo.
GV(nêu vấn đề): Nếu gọi P là giao điểm của AF và BE, Q là giao điểm CE và DF.
? PQ có đi qua điểm O không ?
HS: PQ có đi qua điểm O
GV: Như vậy ở hình vẽ trên ngoài ba đoạn thẳng AC, BD, EF đi qua điểm O
còn có PQ cũng đi qua điểm O.
? PQ có quan hệ gì với AD
HS: PQ // AD và PQ = 1
2 AD
GV(chiếu lên màn hình nội dung câu e):
Qua những phân tích trên ta có bài toán phát triển câu e:
Giả sử AF cắt BE tại điểm P, CE cắt DF tại điểm Q. Chứng minh rằng: PQ //
AD và PQ = 1
2 AD.
M
N
O
B
A
C
D
E
F
M
N
O
P Q
B
A
C
D
E
F
16
*Từ hình vẽ có nhận xét gì về vị trí của điểm N trong tam giác BCD
HS: N là giao điểm hai đường trung tuyến CO và DF nên N là trọng tâm tam
giác BCD
? Nếu I là trung điểm của CD thì ba điểm B, N, I có thẳng hàng không?
HS: B, N, I thẳng hàng (củng cố cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng thông
qua các đường đồng quy trong tam giác)
? Hãy tính tỉ số IN
IB = ? HS: IN 1 IB 3 
GV nêu vấn đề: Tương tự tính tỉ số ME
BE = ?
HS: ME 1
BE 3 
GV: Từ 2 tỉ số trên ta chứng minh được IN.BE = IB.ME
Từ đây GV phát triển câu f
Ta phát triển thành bài toán ở câu f: Gọi I là trung điểm của CD.
Chứng minh rằng IN.BE = IB.ME
Từ câu f, GV đã củng cố cho HS về tính ba đường trung tuyến, trọng tâm tam
giác và dần làm quen với việc so sánh tỉ số của hai đoạn thẳng. Với câu trên đã phát
huy được khả năng suy luận, sự sáng tạo của HS đặc biệt là HS khá giỏi.
Với bài tập 55/sgk Toán 8 tập 1 trang 96, ngoài việc học sinh vận dụng kiến
thức về đối xứng tâm thì học sinh còn được vận dụng nhiều kiến thức cũ đã học để
chứng minh như kiến thức về hình bình hành ở câu b, đối xứng trục ở câu d, hình
thang cân ở câu e, tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ở câu e,…
M
N
O
P Q
B
A
C
D
E
F
I
17
Bài toán 1.2: (Bài 55 trang 96 – Sgk Toán 8 tập 1):
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một
đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự tại M và N. Chứng minh
rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm O.
Khai thác và phát triển:
b) Chứng minh rằng: Hình bình hành ABCD và hình bình hành AMCN có
cùng tâm đối xứng ?
c) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D.
Chứng minh rằng: Điểm E và điểm F đối xứng nhau qua điểm C ?
d) Từ F kẻ FH vuông góc với AB tại H. Chứng minh rằng: F và H đối
xứng với nhau qua CD.
e) Chứng minh rằng: BCDH là hình thang cân.
Khai thác và phát triển kiến thức Bài 55 (trang 96- Sgk Toán 8 tập 1) ở trên
trong bài “Luyện tập: Đối xứng tâm” nhằm củng cố, tái hiện và khắc sâu kiến thức
về đối xứng tâm và các kiến thức về hình bình hành ở câu b, đối xứng trục ở câu d,
hình thang cân ở câu e,… nếu chỉ dừng lại ở bài 55/sgk thì học sinh mới chỉ củng
cố kiến thức về đối xứng tâm mà chưa vận dụng kiến thức tổng hợp để giải toán sẽ
không phát huy được khả năng suy luận hình học và tư duy sáng tạo ở học sinh.
Cụ thể hướng phát triển bài toán như sau:
Trước hết giáo viên cùng học sinh thực hiện yêu cầu bài tập 55 (trang 96- Sgk
Toán 8 tập 1) đó là đi chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O
O
A B
D C
E
H F
M
N
I
18
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành (GT)
Suy ra AB // DC và O là trung điểm của AC (tính chất hình bình hành)
Suy ra OAM OCN   (2 góc so le trong bằng nhau)
và OA = OC
Xét OAM và OCN có
OAM OCN  (Cmt)
OA = OC (cmt)
AOM CON  (2 góc đối đỉnh bằng nhau)
Do đó OAM = OCN (g-c-g)
Suy ra OM = ON (2 cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)
Mà O  MN. Suy ra O là trung điểm của MN
Suy ra M đối xứng với điểm N qua O (tính chất đối xứng tâm)
*Từ bài toán trên ta đã chứng minh được O là trung điểm của AC và MN
hay O là tâm đối xứng của hình bình hành AMCN
Mà ta cũng đã có ABCD là hình bình hành
Ta suy ra được O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD
Do đó ta suy ra được hình bình hành ABCD và hình bình hành AMCN có
cùng tâm đối xứng
Từ đó ta có bài toán phát triển ở câu b.
Chứng minh rằng: Hình bình hành ABCD và hình bình hành AMCN có
cùng tâm đối xứng ?
O
A B
D C
M
N
O
A B
D C
M
N
19
Với câu b, GV đã củng cố cho HS về kiến thức về hình có tâm đối xứng.
“Giao điểm hai đường chéo hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó”
đồng thời củng cố cho HS các dấu hiệu nhận biết hình bình hành đã học ở bài trước.
GV (đặt câu hỏi nêu vấn đề): Những hình bình hành nào trong hình vẽ nhận
O là tâm đối xứng ?
HS: Liệt kê được 3 hình bình hành ABCD, AMCN và BMDN. Nghĩa là các
em đã tự đặt ra cho mình một yêu cầu chứng minh O là tâm đối xứng của hình bình
hành BMDN nữa.
GV: Khái quát O là tâm đối xứng của 3 hình bình hành.
*Giả sử lấy E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D
Gợi ý để HS chứng minh C là trung điểm của EF
Ta dễ thấy tứ giác BCFD và BDCE là hình bình hành
Nên ta có CF // BD; CF = BD
Và CE // BD ; CE = BD
 CE = CF
và E, C, F thẳng hàng
 C là trung điểm của EF
 Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm C
Ta có bài toán phát triển ở câu c:
Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D.
Chứng minh rằng: Điểm E và điểm F đối xứng nhau qua điểm C ?
O
A B
D
C
E
F
M
N
20
Khi phát triển bài toán ở câu c thì HS được củng cố các kiến thức về tính
chất hình bình hành để chỉ ra các cặp cạnh đối song song và bằng nhau và để
chứng minh điểm C là trung điểm của EF thì HS cần nhắc lại các cách chứng minh
hai đoạn thẳng bằng nhau và các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ngoài ra HS cũng có thể chứng minh dựa vào đường trung bình của tam giác
để chứng minh đó là:
DO là đường trung bình của AFC
 CF // DO, CF = 2DO (Tính chất đường trung bình của tam giác)
BO là đường trung bình của AEC
 CE // BO, CE = 2BO (Tính chất đường trung bình của tam giác)
Do đó E, C, F thẳng hàng và CE = CF
 C là trung điểm của EF
 Điểm E và điểm F đối xứng nhau qua điểm C
GV(Lưu ý HS): Ở câu này HS thường mắc sai lầm khi chỉ chứng minh xong
CE = CF đã suy ra C là trung điểm của EF mà đã ngộ nhận 3 điểm E, C, F đã thẳng
hàng.
GV: Ở đây nếu thay đổi dữ kiện ở câu c bằng cách: Qua C kẻ đường thẳng
song song với BD cắt AB, AD tại E và F.
1) Chứng minh rằng: E đối xứng với A qua B và F đối xứng với A qua D
2) Có nhận xét gì về mối quan hệ BD và EF
3) Hình bình hành ABCD cần có điều kiện gì để AC vuông góc với EF.
HS: Tìm ra được điều kiện hình bình hành ABCD có hai cạnh kề bằng nhau thì
AC  EF
GV: Khi hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau thì hình bình hành có tên gọi
khác là hình thoi mà các em sẽ được học trong các giờ học sau.
*Nếu từ F ta kẻ FH vuông góc với AB tại H.
Gọi I là giao điểm của CD và FH
Cách 1:
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành (GT)
 AB // CD (tính chất hình bình hành)
21
Mà H  AB, I  CD.
hay DI // AH
Xét AFH có D là trung điểm của AF
và DI // AH (Cmt)

 I là trung điểm của FH Ta có DI //AH mà AH  FH  DI  EH tại I	(1)
(2)

Từ (1) (2)  DI là đường trung trực của đoạn FH
 CD là đường trung trực của FH
 F và H đối xứng với nhau qua CD. (Đpcm)
Ngoài cách chứng minh trên, học sinh cũng có thể chứng minh CD là
đường trung trực của FH dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng đó là
chứng minh 2 điểm cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng.
Cách 2:
Xét AHF vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
AF.
Suy ra DH = DF = DA = 1
2 AF (định lý áp dụng vào tam giác)

Suy ra D thuộc đường trung trực của đoạn HF Xét EHF vuông tại H

(3)

có HC là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EF
Suy ra CH = CE = CF = 1
2 EF
Suy ra C thuộc đường trung trực của đoạn HF (4)
Từ (3) và (4) suy ra CD là đường trung trực của HF
 F và H đối xứng với nhau qua CD. (Đpcm)
Từ những phân tích trên ta có bài toán phát triển ở câu d:
Từ F kẻ FH vuông góc với AB tại H. Chứng minh rằng: F và H đối xứng với
nhau qua CD.
22
Ở câu d là dạng bài tập vận dụng kiến thức về đối xứng trục để chứng minh
hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng, từ đây HS được củng cố kiến thức về
đối xứng trục đồng thời so sánh các kiến thức cũng như cách chứng minh bài tập về
đối xứng tâm và đối xứng trục.
Từ câu d, GV yêu cầu HS nhận xét hình dạng tứ giác BCDH và rút ra được tứ
giác BCDH là hình thang có hai đường chéo BD = HC nên là hình thang BCDH là
hình thang cân.
Ta phát triển thành bài toán ở câu e. Chứng minh rằng: BCDH là hình thang
cân.
Từ câu e, GV đã củng cố cho HS về các dấu hiệu nhận biết hình thang cân,
tính chất đường trung bình của tam giác. Ngoài ra HS cũng có thể chứng minh theo
cách 2 đó là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (BHD CBH    vì cùng
bằng DAH ) nên hình thang BCDH là hình thang cân.
O
A B
D C
E
H F
M
N
I
O
A B
D C
E
H F
M
N
I
23
Bài toán 1.3: (Bài 46 trang 84- Sgk Toán 8 tập 2)
Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo
thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng ?
Khai thác và phát triển:
b) Nối A với C và D với F. Chứng minh BDF đồng dạng với BAC.
c) Kéo dài BH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: AEF đồng dạng với
ABC và DEC đồng dạng với ABC
d) Chứng minh rằng: H là điểm cách đều 3 cạnh của DEF
e) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, CF, AC lần lượt tại M,
N, P. Chứng minh rằng: SMFD = 1
2 SMFN
f) Gọi K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng: AH AK 1
DH HK  
(Trích đề khảo sát Giữa HKII năm học 2018 – 2019 / PGD&ĐT huyện Hải Hậu)
g) Vẽ EI song song với BC (I thuộc AD). Đường thẳng d qua A song song
với BC cắt CI tại J. Chứng minh 3 điểm J, F, D thẳng hàng.
(Trích đề khảo sát HKII năm học 2018 – 2019 / PGD&ĐT Quận Tân Phú)
Xét bài tập 46 (trang 84- Sgk Toán 8 tập 2) ở trên bên cạnh việc học sinh
vận dụng các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để chứng minh yêu cầu của bài toán

N H E I P

K F

A
B C
d
M
D
J
G
24
thì học sinh còn khai thác và phát triển một số câu hỏi dựa theo giả thiết ban đầu
đó là vận dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, các tỉ số của hai tam
giác đồng dạng, tính chất đường phân giác trong tam giác, tỉ số diện tích của hai
tam giác đồng dạng, chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh các tỉ số bằng
nhau cũng như chứng minh các hệ thức hình học có liên quan đến các tỉ số bằng
nhau, …
Trước hết ta đi thực hiện yêu cầu của bài 46 (trang 84- Sgk Toán 8 tập 2) (có
thể gọi yêu cầu trên là câu a của bài toán 1.3)
? Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này
theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng ?
* Các cặp tam giác đồng dạng từ hình vẽ trên:
+ Ta có: AFH đồng dạng với CDH (g-g)
Vì AFH CDH 90    0
và IDK IEC    (2 góc đối đỉnh)
+ Ta có: AFH đồng dạng với ADB (g-g)
Vì B là góc chung
và AFH ADB 90    0
+ Ta có: AFH đồng dạng với CFB (g-g)
Vì FAH DCH  ( do AFH đồng dạng với CDH )
và AFH CFB 90    0

H

F

A
B D C

25
+ Ta có: CHD đồng dạng với ADB (g-g)
Vì FAH DCH  ( do AFH đồng dạng với CDH )
Hay BAD DCH   và CDH ADB 90    0
(Ngoài cách trên HS có thể giải thích CHD đồng dạng với ADB
vì cùng đồng dạng với AFH )
+ Ta có: CHD đồng dạng với CFB
(vì cùng đồng dạng với AFH)
+ Ta có: ABD đồng dạng với ACF
(vì cùng đồng dạng với AFH)
Nhận xét:
Ở bài toán trên ta đã chỉ ra được các cặp tam giác đồng dang, từ đây củng
cố cho học sinh các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông cũng như trường
hợp góc – góc đặc biệt là khắc sâu các tính chất về tam giác đồng dạng và cách
viết các đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
Từ kết quả bài toán trên đó là ABD đồng dạng với CBF

BA BD
BC BF  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Nếu kết hợp với B là góc chung
Ta suy ra được BDF đồng dạng với BAC (c-g-c)
Từ những phân tích trên đây ta có bài toán phát triển ở câu b: Nối A với C
và D với F. Chứng minh BDF đồng dạng với BAC ?

H

F

A
B D C

26
Chứng minh:
Áp dụng kết quả câu a
Ta có ABD đồng dạng với CBF

BA BD
BC BF  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Xét BDF và BAC có
BA BD
BC BF  (Cmt)
B là góc chung
Do đó BDF đồng dạng với BAC (c-g-c)
Nhận xét:
Từ câu b, bên cạnh việc chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp
góc – góc, giáo viên đã củng cố cho HS phương pháp chứng minh 2 tam giác đồng
dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, cách viết các tỉ số tương ứng của hai tam
giác đồng dạng.
Sau khi HS đã chứng minh BDF đồng dạng với BAC.
GV: Ngoài cách hỏi trên ta còn có những cách hỏi khác của câu này là:
1) Chứng minh rằng: BD BF DF
BA BC AC  
2) Chứng minh rằng: BDF BAC    và BFD BCA   
3) Chứng minh tứ giác ACDF có tổng 2 góc đối bằng 1800
Từ đây GV có thể khuyến khích HS tự đưa ra các yêu cầu của bài toán nếu
biết chu vi hay diện tích của một trong hai tam giác và biết tỉ số đồng dạng của
chúng:
4) Tính chu vi của BDF biết chu vi của BAC là 18 cm và tỉ số đồng dạng
của BDF và BAC là k = 1
3 .
(HS sử dụng kiến thức về tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số
đồng dạng)
5) Tính diện tích của BDF biết diện tích của BAC là 24 cm2 và tỉ số đồng
dạng của BDF và BAC là k = 3
4 .
27
(HS sử dụng kiến thức về tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng
bình phương tỉ số đồng dạng)
GV: Nếu từ hình vẽ trên ta kéo dài BH cắt AC tại E ta có BE là đường cao
của ABC, tương tự câu b ta cũng chứng minh được các tam giác AEF và
DEC cùng đồng dạng với ABC
Từ đây ta có bài toán phát triển ở câu c:
Kéo dài BH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: AEF đồng dạng với ABC
và DEC đồng dạng với ABC
Chứng minh:
Xét ABC có AD và CF là hai đường cao cắt nhau tại H
Suy ra H là trực tâm của ABC
Do đó BH là đường cao của ABC
+ Xét AEB và AFC có
A là góc chung
AEB AFC    (= 900)
Do đó AEB đồng dạng với AFC (g-g)
Suy ra AE AB
AF AC  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Xét AEF và ABC có
AE AB
AF AC  (Cmt)
Mà A là góc chung

H E

F

A
B D C

28
Do đó AEF đồng dạng với ABC (c-g-c)
+ Xét ACD và BCE có
C là góc chung
ADC BEC    (= 900)
Do đó ACD đồng dạng với BCE (g-g)
Suy ra CD CA
CE CB  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Xét DEC và ABC có
CD CA
CE CB  (Cmt)
Mà C là góc chung.
Do đó DEC đồng dạng với ABC (c-g-c) (Đpcm)
Nhận xét:
Như vậy ở câu c ta đã chứng minh được AEF và DEC cùng đồng dạng
với ABC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Kết hợp với câu b ta cũng có BDF đồng dạng với ABC.
Từ đây ta suy ra các tam giác AEF, DEC, BDF, ABC đồng dạng
với nhau.
+ Nếu ta xét AEF đồng dạng với ABC
Suy ra AEF ABC    (1)
+ Nếu xét DEC đồng dạng với ABC
Suy ra CED ABC    (2)
Từ (1), (2) suy ra AEF CED    (vì = ABC  )
Do đó BEF BED    (vì cùng bù với 2 góc bằng nhau)
Hay EH là tia phân giác của DE F
Phân tích tương tự như trên ta cũng có FH là tia phân giác của EFD 
và DH là tia phân giác của EDF 
Hay H là giao điểm của ba đường phân giác của DEF
Suy ra H là điểm cách đều ba cạnh của DEF
29
Từ những phân tích trên ta có bài toán phát triển ở câu d: Chứng minh H
là điểm cách đều ba cạnh của DEF ?
Chứng minh:
+ Áp dụng kết quả câu c ta có AEF đồng dạng với ABC.
 AEF ABC  (2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng) (1)
Theo câu c ta có DEC đồng dạng với ABC.
 CED ABC  (2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng) (2)
Từ (1), (2) suy ra AEF CED    (vì = ABC  )
Mà AEF BEF BEA 90      0
CED BED BEC 90      0
Do đó BEF BED  
Hay EB là tia phân giác của DEF 
+ Chứng minh tương tự ta cũng có:
+ CFD CFE  
 FC là tia phân giác của EFD 
+ ADE ADF  
 DA là tia phân giác của EDF 
Xét DEF có EB, FC, DA là 3 đường phân giác DEF cắt nhau tại H
Suy ra H là giao điểm của ba đường phân giác của DEF
Suy ra H là điểm cách đều ba cạnh của DEF (Đpcm)

H E

F

A
B D C

30
Nhận xét:
Ở câu d ta đã chứng minh được H là điểm cách đều ba cạnh của DEF hay
ta có thể nói H là tâm đường tròn nội tiếp DEF và điều này chúng ta sẽ được
nghiên cứu sâu hơn trong chương trình môn hình học lớp 9.
Áp dụng kết quả câu d ta có AFE DFB  
Do đó nếu qua điểm D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, FC,
AC lần lượt tại M, N, P
Khi đó ta có AFE FMD   (2 góc ở vị trí đồng vị)
Kết hợp với AFE DFM   (vì M thuộc FB)
Suy ra được FMD DFM  
Nên MDF cân tại D
Suy ra DM = DF (tính chất tam giác cân)
Cũng áp dụng kết quả câu d có EFC DFC 
Kết hợp với EFC DNF  (2 góc ở vị trí so le trong)
Suy ra DFC DNF 
Hay DFN DNF   (vì N thuộc FC)
Nên DNF cân tại D
suy ra DN = DF (tính chất tam giác cân)
Từ đây ta có DM = DN (vì cùng bằng DF)
Do đó ta chỉ ra được  DNF và  DMF có chung đường cao hạ từ F
xuống MN.
Kết hợp với DM = DN
Suy ra SMFD = SMFN
Hay SMFD = 1
2 SMFN
Từ những phân tích trên cho ta bài toán phát triển ở câu e:
Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, FC, AC lần lượt tại M,
N, P. Chứng minh: SMFD = 1
2 SMFN
31
Chứng minh:
Áp dụng kết quả câu d ta có AFE DFB  
Hay AFE DFM   (vì B thuộc MF)
mà AFE FMD   (2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau do MN // FE)
Suy ra được FMD DFM  
Suy ra MDF cân tại D

suy ra DM = DF (tính chất tam giác cân) Ta có EFC DFC  (theo câu d)

(3)

Mà EFC DNF  (2 góc ở vị trí so le trong do MN // FE)
Suy ra DFC DNF 
hay DFN DNF 
Do đó DNF cân tại D

suy ra DN = DF (tính chất tam giác cân) Từ (3) (4) suy ra DM = DN (vì cùng bằng DF)

(4)

Ta có DNF và DMF có chung đường cao hạ từ F xuống MN.
Mà DM = DN (Cmt)
Suy ra SMFD = SMFN
Hay SMFD = 1
2 SMFN (Đpcm)

N H E P

K F

A
B C
M
D

32
Nhận xét:
Như vậy thông qua câu e, chúng ta đã đi so sánh diện tích của hai tam giác
thông qua việc vận dụng kết quả câu d để chứng minh DM = DN hay FD là đường
trung tuyến ứng với cạnh MN của MFN đồng thời củng cố cho học sinh tính
chất diện tích của tam giác (đường trung tuyến trong tam giác chia ta

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Một số mẹo nhỏ giúp HS học tốt môn hình học lớp 6

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
1.Cơ sở lí luận:
-Hình học lớp 6 là phần chuyển tiếp từ giai đoạn học hình học bằng quan sát,
thực nghiệm ở bậc Tiểu học sang giai đoạn tiếp thu kiến thức bằng suy diễn,lập
luận chặt chẽ lô gic ở cấp THCS.
-Ở lớp 6.Về kiến thức, kỹ năng, thái độ theo yêu cầu của Bộ giáo dục: Học sinh
nhận thức các hình và các mối quan hệ hình học bằng mô tả trực quan với sự hỗ
trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Từ trực quan, học sinh phải đi đến
khái niệm hình hình học. Từ quan hệ trực quan đo đạc, quan sát, thực nghiệm, đo
đoạn thẳng, đo góc… học sinh phải hiểu được các quan hệ trừu tượng xây dựng
được khái niệm các hình hình học trong hình học.
-Môn Hình học lớp 6 có hai chương :
+Chương I: Đoạn thẳng;
+Chương II:Góc
-Tổng số tiết : 29t
Mục đích của môn hình học 6 nhằm trang bị cho học sinh chuân kiến thức
về điểm, đường thẳng; ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đi qua hai điểm; tia, đoạn
thẳng; độ dài đoạn thẳng; trung điểm của đoạn thẳng; nửa mặt phẳng; góc; số đo
góc; tia phân giác của một góc; đường tron; tam giác. Cung với các nội dung
chuân kiến thức nêu trên, trong chương trình con đưa ra một số dạng bài tập để
ren kĩ năng , yêu cầu mức độ chuân học sinh cần đạt được.
Do đó, việc ren luyện kĩ năng tìm lời giải các bài toán hình học là rất cần
thiết cho việc học tập bộ môn; đồng thời cũng là để chuân bị các kĩ năng cần thiết
cho việc tiếp thu kiến thức hình học ở các lớp trên. Đây là kĩ năng cơ bản, rất cần
thiết khi học bộ môn hình học THCS nói chung và môn hình học 6 nói riêng, kĩ
năng này giúp học sinh biết dựa vào yêu cầu của đề bài, chuân kiến thức đã được
học, vận dụng các thao tác tư duy để tìm ra lời giải của bài toán….; đây cũng là nội
dung chính trong các tiết luyện tập và thực hành.
Mặt khác, với học sinh lớp 6, bước đầu làm quen với môn hình học phẳng,
việc tiếp thu chuân kiến thức môn hình học bước đầu cũng con nhiều khó khăn. Đa
số các em học sinh có kĩ năng tìm lời giải các bài toán hình học chưa thành thạo từ
việc đọc ky đề bài, sử dụng dụng cụ vẽ hình đúng theo đề bài, khả năng phân tích,
suy luận yếu…, học sinh thường lúng túng không biết để tìm lời giải của bài toán
phải băt đầu từ đâu và làm như thế nào ?. Mỗi lần như vậy, giáo viên lại phải
2
hướng dân HS từng bước tỉ mỉ, điều đó vừa chiếm nhiều thời gian của tiết học; học
sinh lại không có sự độc lập, chủ động, sáng tạo trong giải toán; thường là hết giờ
học sinh phải về nhà hoàn thiện lời giải.Là giáo viên được phân công dạy môn
toán 6 trong nhiều năm tôi nhận thấy học sinh con nhiều khó khăn khi học môn
Hình học lớp 6 bởi học sinh con bỡ ngỡ khi mới vừa từ tiểu học chuyển lên.Cụ
thể tôi nhận thấy học sinh con nhiều khó khăn như :
– Việc năm các khái niệm, tính chất hình học ban đầu đối với các em con chậm
(các em mới được học môn hình học ở đầu năm lớp 6 ).
– Khâu vẽ hình, ghi các kí hiệu toán học con tuy tiện chưa hiểu bản chất; nhiều em
không biết vẽ hình, chưa biết sử dụng thước thẳng com pa.
– Số đông HS đọc các thuật ngữ toán học chưa được, chưa chính xác, chưa biết
trình bày bài làm.
– Hầu hết các tiết trong phân phối chương trình là tiết lí thuyết.Việc luyện tập, vận
dụng kiến thức được ghép trong 1 tiết với lí thuyết nên cần có biện pháp giúp HS
hiểu nhanh nội dung bài mới để có thời gian luyện tập,ren kĩ năng làm bài.
2.Cơ sở thực tế
a,Cơ sở khoa học:
Để đáp ứng được những đoi hỏi mới được đặt ra cho sự bung nổ kiến thức
và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết
vấn đề và tính sáng tạo … Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyết
vấn đề. Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập
chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động.
Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư
duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích ,tổng hợp, so sánh, dự đoán, chứng minh và bác
bỏ. Nó con có vai tro ren luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận,…
Với bộ môn hình học ở bậc trung học cơ sở càng có ý nghĩa quan trọng: là
môn khoa học ren luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc,
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh; luyện tính độc lập, sáng tạo linh hoạt
trong cách tìm lời giải bài tập toán. Do đó, việc ren ky năng tìm lời giải bài toán
hình học và một số mẹo nhỏ giúp học sinh ghi nhớ khi làm một bài toán hình học
là rất cần thiết, nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên.
b,Cơ sở pháp lí:
-Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng Sản
Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra:
3
-Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tự
chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp
phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội
công bằng văn minh.
-Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản
Việt Nam (khóa VIII, 1996) khẳng định rõ hơn. Cuộc cách mạng về phương pháp
giáo dục phải hướng vào người học, ren luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả
năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình
học tập ở nhà trường phổ thông…. Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại
để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
-Nghị quyết TW2 khoá VIII tiếp tục khẳng định phải: “Đổi mới phương
pháp giáo dục đào tạo, khăc phục lối truyền thụ một chiều, ren luyện thành nếp tư
duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học,
tự nghiên cứu cho học sinh”.
– Căn cứ vào (Điều 29 luật GD năm 2020)
+Giáo dục phổ thông nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức,
trí tuệ, thể chất, thâm my, ky năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng
động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và
trách nhiệm công dân; chuân bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục
đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc.
+ Giáo dục trung học cơ sở nhằm củng cố và phát triển kết quả của giáo dục
tiểu học; bảo đảm cho học sinh có học vấn phổ thông nền tảng, hiểu biết cần thiết
tối thiểu về ky thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ thông hoặc
chương trình giáo dục nghề nghiệp.
-Căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2020-2021
+ Đồng thời, thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển
phâm chất, năng lực của học sinh; tinh giản nội dung dạy học; đây mạnh giáo dục
STEM trong bậc phổ thông; đổi mới kiểm tra, đánh giá găn với lộ trình thực hiện
chương trình giáo dục phổ thông mới.
Điểu 23.2. Luật giáo dục viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phu hợp với đặc điểm
của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, ren luyện ky năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú
học tập cho học sinh”.
– Căn cứ vào chỉ thị số 3004/CT-BGD&ĐT về thực hiện nhiệm vụ năm học
trong đó có nội dung: “Tiếp tục nâng cao chất lượng, hiệu quả giáo dục, nâng cao
4
chất lượng dạy và học”, thực hiện phong trào thi đua: “Mỗi thầy giáo, cô giáo là
một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo”.
Vì vậy tôi xin trình bày bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm về “Một số biện
pháp giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 6”
II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
*Về phía học sinh :
Qua cả hai chương của môn hình học 6 học sinh cần:
– Năm được các khái niệm ban đầu của hình học: Điểm, đường thẳng,tia ,đoạn
thẳng, trung điểm của đoạn thẳng. Nửa mặt phẳng; góc; số đo góc; tia phân giác
của một góc; đường tron; tam giác.
– Năm được một số tính chất: Độ dài đoạn thẳng,bất kì điểm nào nằm trên mặt
phẳng cũng là gốc chung của hai tia đối nhau,bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt
phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau,tính chất của hai góc kề
bù…
– Năm các quan hệ: Điểm thuộc, không thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa hai
điểm, hai đoạn thẳng bằng nhau.Tia nằm giữa hai tia,tia nằm trong góc,tia căt đoạn
thẳng ,tia căt đường thẳng,điểm thuộc đường tron,điểm không thuộc đường tron.
Quan hệ giữa hai góc :hai góc phụ nhau , hai góc kề nhau,hai góc bu nhau ,hai góc
kề bu.
– Sử dụng được các dụng cụ đo, vẽ: Thước thẳng, thước có chia khoảng, compa.
– Kĩ năng vẽ: Điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng,vẽ tia
phân giác của một góc,vẽ tam giác…
– Kĩ năng đo đoạn thẳng,đo góc biết đọc và gọi ,góc,tia chính xác.
-Vận dụng kiến thức của cả hai chương để giải quyết các bài tập nâng cao.
*Về phía giáo viên:
– Khi dạy khái niệm các hình hình học như điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng,
góc…
Dạy các tính chất hình học mặc du GV đã cho HS quan sát, thử nghiệm, đo đạc,
vẽ, nêu nhận xét đi đến kiến thức mới nhưng việc năm các kiến thức vân con
chậm, chưa chăc chăn, chưa hiểu rõ vấn đề.Cần có biện pháp cho HS được thực
hành nhiều hơn để các em có điều kiện tiếp cận với các hình hình học.
– Trong các tiết học, không có nhiều thời gian để củng cố luyện tập du giáo viên
đã cố găng chọn lọc các bài tập từ sách giáo khoa và không để HS giải tràn lan.
– Với học sinh khối 6, tuy cảm nhận được kiến thức nhưng không chăc, ky năng
ghi lời giải chưa có hoặc khó khăn khi ghi lời giải, bởi các em quen hiểu đơn giản
5
như ở tiểu học chỉ cần nhận biết không lập luận hoặc chỉ cần đếm số lượng không
giải thích.
– Nhiều học sinh dung kí hiệu hình học tuy tiện không chính xác chẳng hạn như
giữa chữ cái in thường và in hoa.
– Nhiều học sinh đọc góc con sai chưa đúng đỉnh,
-Nhiều học sinh vẽ hình chưa chính xác.
– Ky năng đọc hình con yếu,con nhầm lân
2.Giải pháp sau khi có sáng kiến
Về nội dung và phương pháp giảng dạy sách giáo viên, sách giáo khoa và sách bài
tập cũng có một số định hướng về phương pháp và nội dung các bài tập. Tuy nhiên
do thực tế từng lớp mà GV chọn lọc phương pháp giảng dạy hợp lí để giúp HS
hiểu và vận dụng tốt hơn thông qua một số biện pháp.
– Cho học sinh quan sát các hình với sự trợ giúp của thầy để nhận biết các khái
niệm hình.
– Cho học sinh thực hiện các thao tác cụ thể như vẽ hình, đo đạc để nhận biết các
tính chất hình học.
– Thực hiện các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập để củng cố, khăc sâu
kiến thức.
– Giao thêm bài tập nâng cao ở các buổi bồi giỏi.
-Dựa trên cơ sở chỉ đạo dạy học theo chương trình sách giáo khoa.
-Dựa vào thực trạng đã nêu trên.
-Xét tình hình thực tế của lớp 6A năm học 2020-2021 là lớp chọn của khối với sĩ
số là 38 học sinh tôi nhận thấy lớp có số học sinh khá trở lên nhiều nhưng trong số
đó cũng không mấy học sinh giỏi bộ môn toán, ngoài ra vân con nhiều học sinh
nhận thức chậm bộ môn toán học chưa đồng đều giữa các bộ môn.
Cần tăng cường sự tích cực của học sinh hơn qua một số biện pháp
2.1, Biện pháp 1: Giáo viên tổ chức cho học sinh tự hoạt động để nắm chắc kiến
thức:
Quan điểm dạy học mới là giáo viên tổ chức cho học sinh tự hoạt động ở từng
tiết học sinh đều tự hoạt động. Riêng với học sinh khối 6, việc năm các khái niệm,
tính chất có khó khăn: mới mẻ, tưởng tượng con chậm. Giáo viên cần chờ học
sinh, cho học sinh từng bước được vẽ các “sản phẩm hình học của mình” tự tay đo
đạc, thực hành gấp giấy…
Ví dụ:Dạy khái niệm về điểm, đường thẳng,
Sau khi giáo viên giới thiệu các khái niệm cơ bản của chương, về phương pháp
có thể thực hiện:
1.Điểm:
6
HS:
– Cho tất cả các học sinh dung đầu mực chấm vào trang giấy.
– Cho HS lên bảng chấm đầu phấn lên bảng.
GV: Giới thiệu hình ảnh của điểm.
HS:
– Cho HS chấm nhiều điểm lên trang giấy để có nhu cầu đặt tên cho điểm.
– Cho HS tự nghiên cứu cách đặt tên cho điểm, tự đặt tên cho các điểm trên trang
giấy của mình, lên bảng đặt tên cho các điểm ở bảng.HS nhận xét.
GV giới thiệu các khái niệm khác: Hai điểm trung nhau, hai điểm phân biệt, tập
hợp điểm, điểm cũng là một hình…
2. Đường thẳng:
HS:
– Cho tất cả các học sinh dung đầu mực vạch theo mép thước.
– Cho HS lên bảng dung đầu phấn vạch theo mép thước.
GV: Giới thiệu hình ảnh của đường thẳng
HS:
– Cho HS vẽ nhiều đường thẳng lên trang giấy để có nhu cầu đặt tên cho đường
thẳng
– Cho HS tự nghiên cứu cách đặt tên cho đường thẳng, tự đặt tên cho các đường
thẳng trên trang giấy của mình, lên bảng đặt tên cho các đường thẳng ở bảng.HS
nhận xét.
*Ví dụ : Dạy tính chất công nhận:“Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm A
và B”
Giáo viên đặt vấn đề: Qua một điểm vẽ được bao nhiêu đường thẳng, qua hai
điểm vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
GV: giới thiệu cách vẽ đường thẳng qua hai điểm A và B
HS: Cho HS hoạt động nhóm đôi
+ Nhóm đôi tự vẽ đường thẳng qua hai điểm A,B cho trước ở vở nhiều lần.
+ Gọi HS lên bảng vẽ đường thẳng qua hai điểm A và B cho trước:
– Một HS lên bảng
– Cho HS vẽ lần thứ hai lên bảng
– Cho HS vẽ lần thứ ba
– HS trả lời câu hỏi của thầy: Qua hai điểm cho trước vẽ được mấy đường thẳng?
– 100% HS có nhận xét và không thể nào quên tính chất công nhận: “Có một và
chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B”.Và để cho học sinh khăc sâu hơn
giáo viên có thể hỏi khi xếp hàng vào lớp để cho thẳng chúng ta phải làm gì?
Hs : Trả lời bạn đứng sau phải nhìn vào gáy của bạn đứng trước hoặc đặt tay lên
vai của người đứng trước.
3.Góc:
7
– Học sinh tự vẽ hình nêu rõ các yếu tố của góc như đỉnh, cạnh.
– Giáo viên lưu ý học sinh cách đọc góc chính xác, các cách đọc
4. Tia phân giác của một góc
Gv: Có thể hướng dân cho học sinh nhận biết tia phân giác bằng gấp giấy , vẽ tia
phân giác bằng thước đo góc, bằng thước hai lề, bằng com pa .Mặc du vẽ tia phân
giác bằng thước hai lề, bằng com pa lớp 7 học sinh mới được học và chứng minh
nhưng giáo viên có thể mạnh dạn đưa xuống lớp 6 nhưng không chứng minh cách
vẽ để học sinh có thể vẽ tia phân giác của một góc chưa biết số đo cho trước một
cách nhanh và chính xác.
-Hs : Thao tác vẽ theo sự hướng dân của giáo viên .
Kết quả:
Với biện pháp Tổ chức cho học sinh tự hoạt động để nắm chắc kiến thức như
đã nêu tôi nhận thấy có chuyển biến
– GV đỡ thuyết giảng, HS đỡ phải nghe nhiều
– HS năm các khái niệm, tính chất nhanh, chăc
– Đỡ tốn thời gian năm lí thuyết ở mỗi tiết để tăng thời gian thực hành, luyện tập
2.2,Biện pháp2: Chú trọng củng cố kiến thức thông qua việc dùng ngôn ngữ.
*Ví dụ minh họa:
Bài 1: Điền vào chỗ trống các phát biểu sau để được một câu đúng :
a) Hình gồm hai tia chung gốc Ox, Oy là ……..Điểm O là …….Hai tia Ox, Oy
là ……………….
b) Góc RST có đỉnh là ………………… có hai cạnh là ……………………………..
c) Góc bẹt là góc có …………………………………………………………………………..
d) Nếu tia OI nằm giữa hai tia OM và ON thì ……………………………………….
e) Nếu
 2
 
 
xOy
xOt t Oy

thì ……………………………………………………….

Bài 2: Các câu sau đúng hay sai, nếu sai sửa lại cho đúng :
a) Góc là hình tạo bởi hai tia căt nhau.
b) Góc bẹt là góc có số đo lớn hơn 900.

c) Nếu Oz là tia phân giác của góc xOy thì

x O z  z Oy 
d) Nếu x O z  z Oy  thì Oz là tia phân giác của góc xOy.
e) Góc vuông là góc có số đo bằng 900.
f) Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung .
g) Hai góc phụ nhau nếu tổng của chúng bằng 900.
Kết quả: Qua việc chú trọng củng cố kiến thức thông qua việc dung ngôn ngữ đã
giúp học sinh được làm quen và sử dụng thành thạo các ngôn ngữ hình học có liên
quan, củng cố kiến thức hình học đã học,tự tin khi giao tiếp.
8
2.3,Biện pháp 3: Dùng màu sắc giúp HS tiếp thu kiến thức dễ dàng
Sách hướng dân đã có gợi ý là dung phấn màu để giúp HS phân biệt các hình.
Trong giảng dạy GV có thể sử dụng phấn màu hợp lí hoặc tô đậm,tô màu khi dạy
học trình chiếu để giúp HS thấy nhanh các hình hình học.Có thể sử dụng phấn màu
khi dạy ở một số nội dung:
* Ví dụ: Dạy khái niệm về điểm, đường thẳng,tia , đoạn thẳng.:
Khi giáo viên cho học sinh vẽ các điểm phân biệt, các đường thẳng phân biệt trên
giấy có thể cho các em vẽ mỗi điểm một màu, mỗi đường thẳng một màu.
* Ví dụ: Dạy tính chất :“Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm A và B”
GV cho HS dung 3 màu mực để vẽ 3 lần, cho HS hợp tác nhóm (nhóm đôi hoặc
nhóm ba )
HS 1 vẽ bằng một màu mực đường thẳng qua hai điểm A và B.
HS 2 vẽ đường thẳng qua hai điểm A và B bằng một màu mực khác màu với màu
mà HS 1 đã vẽ.
HS 3 vẽ bằng một màu mực khác màu với màu HS1,HS2 đã vẽ đường thẳng qua
hai điểm A và B.
Qua ba lần vẽ đường thẳng qua hai điểm A và B cho trước bằng ba màu mực
khác nhau HS dễ nhận ra tính chất “Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm
A và B”
* Ví dụ: Dạy khái niệm tia,tia đối nhau,tia trùng nhau.
GV dung phấn trăng vẽ đường thẳng xy, lấy điểm O trên đường thẳng xy với màu
trăng.
GV dung phấn màu vẽ hai phần đường thẳng bị chia bởi điểm O bằng hai màu
khác nhau, khác màu của đường thẳng xy và điểm O để giúp HS năm khái niệm
tia, hai tia đối nhau một cách nhanh chóng.
-Nếu dung trình chiếu cũng tô màu tương tự
* Ví dụ: Dạy khái niệm đoạn thẳng
GV dung phấn trăng chấm hai điểm A, B
GV đặt cạnh thước qua hai điểm A và B
GV dung phấn màu vạch theo cạnh thước từ A đến B để biểu diễn tất cả các điểm
nằm giữa hai điểm A và B.
* Ví dụ: Dạy khái niệm trung điểm của đoạn thẳng:
Dung hai màu phấn khác nhau để vẽ hai đoạn thẳng MA, MB khi môt tả điểm
M là trung điểm của đoạn thẳng AB
* Ví dụ: Khi dạy về đoạn thẳng căt đoạn thẳng ,căt tia,căt đường thẳng giáo viên tô
đậm các giao điểm để học sinh nhận biết rõ điểm chung.
* Ví dụ: Khi dạy sang chương II giáo viên có thể dung phấn màu tô đậm các vong
cung chỉ góc để học sinh dễ nhận biết ,tô đậm tia phân giác của một góc ,tô đậm
9
đường tron và hình tron để học sinh phân biệt rõ hình tron và đường tron tránh sự
hiểu nhầm đường tron và hình tron là một.
Kết quả:
-Với các màu khác nhau trong hình giúp HS dễ nhận thấy các khái niệm hình, tính
chất giúp giảm phần thuyết giảng của thầy, tiết kiệm được thời gian.
– Mặt khác với biện pháp Dùng màu sắc giúp HS tiếp thu kiến thức dễ dàng như
đã nêu tôi nhận thấy có hiệu quả cụ thể:
+ GV đỡ thuyết giảng, HS đỡ phải nghe nhiều
+HS năm các khái niệm một cách trực quan hơn,
2.4 ,Biện pháp 4: Chú trọng rèn kỹ năng sử dụng kí hiệu hình học chính xác
-Khi học chương này học sinh hay dung kí hiệu sai chẳng hạn như kí hiệu điểm
bằng chữ cái in thường hoặc dung các kí hiệu chứa “  ” hoặc không chứa “ ”
trong để chỉ mối quan hệ giữa điểm thuộc ““hay không thuộc “” đường thẳng.
*Ví dụ: -Khi dạy về chủ đề điểm, đường thẳng
Giáo viên cần lưu ý cho học sinh:
-Dung chữ cái in hoa như A,B,C…để đạt tên cho điểm.
-Dung chữ cái in thường và in hoa đặt tên cho đường thẳng(có 3 cách)
+Dung một chữ cái in thường như a,b,c…
+Dung hai chữ cái in thường chẳng hạn như xy,uv…
+Dung hai chữ cái in hoa như
AB,CD…
-Khi dạy về mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng cần lưu ý cho học sinh phân
biệt rõ kí hiệu điểm thuộc hay không thuộc đường thẳng.
-Khi dạy về bài :Trung điểm của đoạn thẳng giáo viên lưu ý kí hiệu những đoạn
thẳng bằng nhau bởi những kí hiệu giống nhau.
– Khi dạy về góc giáo viên lưu ý các góc bằng nhau được kí hiệu bởi những vong
cung giống nhau.
Kết quả : Khi chú trọngren kĩ năng sử dụng kí hiệu hình học chính xác thì bước
đầu giúp học sinh nhìn hình thấy ngay những điều đã biết đã cho từ đó tìm hướng
giải cho bài toán.
2.5,Biện pháp 5: Rèn kĩ năng đọc vẽ hình chính xác
Thực tế học sinh con rất yếu khi vẽ hình theo diễn đạt bằng lời . Mặc du các em đã
được hướng dân các hình vẽ cơ bản nhưng khi vẽ hình vân chưa tốt. Bởi các em
con măc một số các sai lầm sau :
+ Đọc đề bài sai
+Đọc đề bài không đầy đủ
+ Không phân tích được các mối liên của đề bài
10
+ Thường làm theo kiểu hiểu sao vẽ vậy
+ Không nhớ các hình vẽ cơ bản
– Việc vẽ hình theo diễn đạt bằng lời đoi hỏi ở học sinh phải biết tư duy sáng tạo
cân thận tỉ mỉ thì sẽ dễ dàng thực hiện được
– Cái khó của việc vẽ hình ở học sinh không phải là không biết vẽ hình mà là
không hiểu các yêu cầu các mối liên hệ của đề bài.
– Bởi vậy giáo viên cần lưu ý cho học sinh:
*Đọc đúng ,đầy đủ nội dung đề bài
– Đây là yêu cầu không khó đối với học sinh nhưng giáo viên cần chú ý lăng nghe
và nhăc nhở kịp thời khi học sinh đọc sai không đầy đủ ,cần nhấn mạnh các thuật
ngữ mới để học sinh đọc đúng và nhớ lâu.
* Đi sâu phân tích các mối liên hệ
-Cái gì vẽ trước, cái gì vẽ sau ,những bộ phận nào có liên quan .
– Phân tích các mối liên hệ là một bước rất quan trọng để giúp học sinh vẽ hình
theo cách diễn đạt tốt. Chỉ cần học sinh năm vững bước này thì việc vẽ hình không
con là khó khăn đối với các em
* Ví dụ minh họa
Bài 1:
Vẽ 4 tia chung gốc OA, OB, OC, OD. Hãy kể tên các góc có trong hình vẽ. Có tất
cả bao nhiêu góc?
Hướng dẫn:
Các góc trong hình vẽ :
Góc aOb, góc bOc, góc cOd, góc aOc, góc aOd,
góc bOd.
Có tất cả 6 góc.
Bài 2 : Vẽ góc vuông BAC.

Hướng dân :

Cách 1 : Dung thước đo góc (cách vẽ tương tự bài 1) Cách 2 : Dùng êke.

Bài 3: Vẽ hình theo diễn đạt sau
a) M là giao điểm của hai đường thẳng p và q
b) Hai dường thẳng m và n căt nhau tại A , đường thẳng p căt đường thẳng n tại B
và căt m tại C
c) Đường thẳng MN và đường thẳng PQ căt nhau tại O
B
A C
11
Giải:
a) Yêu cầu học sinh đọc ky đề bài và phân tích cần vẽ trước cái gì ?Theo quán tính
học sinh thấy cái gì ghi trước thì vẽ trước và chỉ vẽ được điểm M đến khi vẽ hai
đường thẳng p và q thì lúng túng .Lúc đó giáo viên cần định hướng cho học sinh
giao điểm của hai đường thẳng là gì ? “Hai đường thẳng căt nhau tại một điểm
điểm đó gọi là giao điểmcủa hai đường thẳng”.khi đó học sinh sẽ vẽ được hình dễ
dàng
b) Với nội dung đầu thì tương tự như câu a ,nhưng với nội dung thứ 2 thì cần phân
tích rõ không yêu cầu vẽ trên cung một hình do đó đường thẳng p trong nội dung
này không phải là đường thẳng p trong câu a, cần chỉ mối quan hệ giữa p và m,n
từ đó học sinh vẽ được.
12
c) Cách vẽ tương tự câu a vân là hai đường thẳng căt nhau nhưng chỉ khác ở tên
gọi của các đường thẳng .Lưu ý cho học sinh là đường thẳng kéo dài được về hai
phía.
Bài 4: Lấy ba điểm A,B ,C không thẳng hàng. Vẽ hai tia AB,AC
a) Vẽ tia Ax căt đường thẳng BC tại điểm M nằm giữa B và C
b) Vẽ Tia Ay căt đường thẳng BC tại điểm N không nằm giữa B và C
Giải :
Trước khi vẽ giáo viên nhăc lại về ba điểm không thẳng hàng,cách vẽ tia giới
hạn bởi gốc và kéo dài về phía con lại .
a) Nội dung bài yêu cầu học sinh vẽ trên cung một hình .Nhưng để học sinh vẽ
chính xác cũng cần phân tích: “ Vẽ tia Ax căt đường thẳng BC…”nếu học
sinh chỉ đọc đến đây và thực hiện vẽ tia Ax căt đường thẳng BC thì sẽ có
trường hợp sai vì giao điểm M có thể không nằm giữa B và C vì vậy giáo
viên cấn lưu ý cho học sinh
13
b) Khi học sinh đã phân tích ky ở câu a thì câu b học sinh sẽ chú ý điểm N
không nằm giưa B và C
Bài 5: Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng .Vẽ đường thẳng a căt các đoạn
thẳng AB,AC và không đi qua A,B,C
Giải :
Cũng giống như yêu cầu đầu tiên của bài tập 2 học sinh sẽ thực hiện lấy ba
điểm không thẳng hàng A,B,C được nhưng với yêu cầu tiếp theo học sinh có
thể nhầm lân giữa đoạn thẳng với đường thẳng hoặc không thực hiện được việc
vẽ đường thẳng a căt AB,AC.Lưu ý đoạn thẳng được giới hạn bởi hai đầu
mút,và đường thẳng a căt các đoạn thẳng AB,BC không đi qua A,B,C tức là
không căt tại các đầu mút.Như vậy học sinh sẽ vẽ được chính xác.
Bài 6.Vẽ hình theo diễn đạt:
Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm M nằm giữa hai điểm A và B, vẽ đường thẳng
xy qua điểm M; A; B không thuộc xy, trên tia Mx lấy điểm C, vẽ đường thẳng uv
qua điểm C sao cho uv căt đoạn thẳng AB tại điểm D nằm giữa hai điểm M và B.
14
-Kết quả: Khi chútrọng ren kĩ năng đọc vẽ hình chính xác sẽ giúp học sinh có ý
thức đọc kĩ đề bài sau đó vẽ hình theo trình tự ,không băt trước hình vẽ trên bảng
của giáo viên một cách thụ động.
2.6, Biện pháp 6:Giao bài tập trắc nghiệm để củng cố được nhiều kiến thức
-Trong điều kiện phân phối chương trình không bố trí tiết luyện tập sau mỗi tiết
học lí thuyết, ngoài việc tinh gọn nội dung phương pháp để dành thời gian luyện
tập giáo viên cần chọn bài tập để việc củng cố kiến thức được nhiều.
-Bài tập giúp giải quyết củng cố được nhiều kiến thức là bài tập trăc nghiệm sau
mỗi bài học.
-Ngoài việc chọn các bài tập ở sách giáo khoa ( theo dạng ) để củng cố giáo viên
có thể cho học sinhgiải thêm bài tập trăc nghiệm
-Thời gian để thực hiện các Bài tập trăc nghiệm là khả thi, có hiệu quả vì :
– GV soạn đề trước trên bảng phụ
– HS trả lời nhanh
– Ôn được nhiều kiến thức.
Một số bài tập được thực hiện sau mỗi tiết học trên lớp như sau:
Bài 1) cho hình vẽ: Ghi chữ Đ, S sau mỗi câu
1) A  b
2) Đường thẳng c đi qua điểm B
3) Đường thẳng c chứa điểm B
4) Điểm C thuộc đường thẳng c
5) Điểm B nằm trên ba đường thẳng b,c,d
6) B  a
7) C  a
8) Điểm C nằm ngoài đường thẳng b
9) Đường thẳng c không đi qua điểm B
10) Đường thẳng c không chứa điểm A
11) Điểm C không thuộc đường thẳng b
Bài 2) cho hình vẽ: Ghi chữ Đ, S sau mỗi câu:

1) Ba điểm A, B, C thẳng hàng 2) Ba điểm D, C, B thẳng hàng

d

3) Ba điểm D, C, A không thẳng hàng

4) Điểm C nằm giữa hai điểm D và B 5) Điểm B nằm giữa hai điểm C và A 6) Hai điểm B và C nằm cung phía đối với điểm D

b

A

D

C
a ∙
c
A B d
∙ B
a
c
C
15
7) Hai điểm B và D nằm cung phía đối với điểm C
8) Hai điểm B và D nằm cung phía đối với điểm A
9) Hai điểm B và C nằm khác phía đối với điểm A
10) Hai điểm B và D nằm khác phía đối với điểm C.
Bài 3) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng

Trên hình có mấy đường thẳng?

1) Ba 2) Sáu

3) Hai
4) Một
Bài 4) Cho A, B, C cung thuộc đường thẳng xy.
Trên hình có bao nhiêu tia?
1) 12 ; 2) 10; 3) 6; 4) 3.
Bài 5) Cho A,B,C cung thuộc đường thẳng xy.
Trên hình có bao nhiêu đoạn thẳng ?
1) 12 ; 2) 10 ; 3) 6 ; 4) 3.
Bài 6) Dung mũi tên nối từ trái sang phải để có khẳng định đúng
Tia AB
Đoạn thẳng AB
Đường thẳng AB
Bài 7) Chọn câu đúng : Đoạn thẳng MN là hình có :

A. Hai điểm;	B. Ba điểm;	C. Một điểm;	D. Vô số điểm.
Bài 8) Chọn câu đúng : Cho điểm E nằm giữa hai điểm A và B, AE = 3 cm;
AB = 5 cm. Tính được EB = ?	∙ ∙ ∙ A E B

A. 8cm; B. 2cm; C. 3cm; D. Một đáp số khác .
Bài 9)
Cho ba điểm A, E, F cung nằm trên một đường thẳng nếu AE = 7cm,
AF = 2cm, EF = 5cm thì:
A. Điểm E nằm giữa hai điểm A và F;
∙ . .
∙ . .
∙ . .
A B C
∙ . .
∙ . .
∙ . .
x A B C y
∙ . .
∙ . .
∙ . .
x A B C y
A
A B
B
A B
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙

16
B. Điểm A nằm giữa hai điểm E và F;
C. Điểm F nằm giữa hai điểm A và E;
D. Không có điểm nào nằm giữa hai điểm con lại.
Bài 10) Cho hai điểm M và N cung thuộc tia Ox có OM = 2cm; ON = 5cm, ta có:
A. Điểm M nằm giữa hai điểm O và N;
B. Điểm N nằm giữa hai điểm O và M;
C. Điểm O nằm giữa hai điểm M và N.
Bài 11) Ghi chữ Đ hoặc S sau mỗi câu:
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
A. Nếu điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì AM = 3cm;
B. Nếu AM = 3cm thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB;
C. Nếu AM = MB = 3cm thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB;
D. Nếu AM = MB thì M nằm giữa hai điểm A và B.
* GV có thể giao Bài tập trăc nghiệm sau sau khi học hết nội dung chương I.
Bài 12) Cho điểm E nằm giữa hai điểm F và D. Ghi chữ Đ hoặc S sau mỗi câu:
A. Ba điểm D, E, F thẳng hàng;
B. Hai điểm D và F nằm khác phía đối với điểm E;
C. Hai điểm D và E nằm khác phía đối với điểm F;
D.Hai điểm D và E nằm cung phía đối với điểm F;
E. DE < DF;
F.Điểm E nằm giữa hai điểm D và F;
G.Điểm E là trung điểm của đoạn thẳng DE nếu ED = EF;
H. ED = EF.
Kết quả : Qua biện pháp: Giao bài tập trắc nghiệm để củng cố được nhiều kiến
thức, tôi nhận thấy các em giải quyết bài tập rất nhanh không mất thời gian.Vận
dụng tổng hợp các kiến thức đã học , khăc sâu được các đơn vị kiến thức đã học.:
2.7, Biện pháp7 :Rèn kĩ năng đọc hình để củng cố kiến thức.
Ví dụ minh họa:
17
z
Bài 1: Quan sát các hình sau rồi điền vào bảng :
b)

Hình	Tên góc (cách viết thông thường)	Tên đỉnh	Tên cạnh	Tên góc (cách viết ký hiệu)
a	Góc yAz, …………	……….	……………	……………………
b	…………	……….	……………	……………………
c	…………	……….	……………	……………………

Bài 2:
Đọc tên và viết ký hiệu các góc ở hình sau?
Có tất cả bao nhiêu góc ?
Hướng dân:

Đọc tên	góc AOB	góc BOC	góc OBA	……….
Ký hiệu	……….

AOB · BOC · OBA · P
A
T
y x
z
a) x y x c)
z x
A I
 C

B
 A
 O
18
s
.
Bài 3: Quan sát hình vẽ.
a) Ước lượng bằng măt số đo mỗi góc rồi ghi vào bảng.
b) Dung thước đo góc tìm số đo mỗi góc rồi ghi vào bảng.
c) Săp xếp các góc theo thứ tự lớn dần.

Tên góc	Số đo góc
Ước lượng bằng mắt	Đo bằng thước đo góc
xAy	……………………	……………………….
zBt	……………………	……………………….
………………	……………………	……………………….

Bài 4:
a) Đo các góc ở hình a, hình b, hình c, hình d.
b) Viết tên các cặp góc phụ nhau ở hình b.
c) Viết tên các cặp góc kề nhau, các cặp góc bu nhau ở hình d.
A
x
y
z B t
m
C
n
r D
O
y
z
x
a)
N d
a
b
c
b)
19
Hướng dẫn:
+Các cặp góc phụ nhau : Góc aOb và góc bOd, góc aOc và góc cOd.
+Các cặp góc kề nhau là: Góc xAb và góc bAc, góc bAc và góc cAy, …
+Các cặp góc bu nhau là: Góc xAc và góc cAy, góc xAb và góc bAy
Kết quả :
– Thông qua hình vẽ học sinh được tái hiện hình ảnh về góc.
– Học sinh biết phân biệt đỉnh, cạnh của góc.
– Học sinh biết viết ký hiệu góc, đọc số đo một góc.
– Học sinh biết sử dụng thước đo góc để đo góc.
– Học sinh biết nhận biết một góc vuông, góc bẹt, góc tu, góc nhọn bằng
trực quan và bằng sử dụng thước đo góc.
– Học sinh biết được hai góc kề nhau, hai góc phụ nhau, hai góc bu nhau,
hai góc kề bu.
2.8, Biện pháp 8
Chú trọng rèn luyện cho học sinh cách sử dụng đúng các dụng cụ vẽ
hình như: thước thăng có chia khoang,thước đo góc; com pa; (ê-ke khi cần
thiết) theo yêu câu của đề bài cụ thể:
-Ngay từ tiết học đầu tiên của năm học, giáo viên yêu cầu tới 100% HS phải
chuân bị đầy đủ các dụng cụ vẽ hình khi tới lớp, có hộp đựng hoặc túi để săn trong
cặp. Các dụng cụ gồm:thước thẳng có chia khoảng; thước đo góc; com pa; ê- ke;
bút chì, tây, máy tính bỏ túi (nếu có, vì điều kiện gia đình nhiều HS con khó khăn).
-Giáo viên kiểm tra dụng cụ chuân bị của HS và nhăc nhở những em con thiếu.
-Giáo viên hướng dân cụ thể cho HS ky năng cầm thước để vẽ hình, để đo góc như
thế nào cho chính xác… vì nếu HS không vẽ được hình đúng thì thông thường sẽ
không giải được bài tập hình, nhất là lại với đối tượng HS lớp 6 mới được làm quen
với môn Hình học ở cấp THCS.
x B z
y
c)
x A
b
c
y
d)
20
3
2,5 2
I R
T
-Khi ren ky năng vẽ hình cho HS, GV nhăc các em phải đọc kĩ và vẽ hình đúng, chính
xác theo yêu cầu của đề bài; hình vẽ ra nháp nên vẽ lớn một chút, nhất là cần phải rõ
ràng.
Ví dụ : Bài 47/Sgk Toán 6 tập 2-trang 95
Vẽ đoạn thẳng IR dài 3cm. Xác định một điểm T sao cho TI = 2,5 cm; TR =
2cm. Vẽ tam giác TIR.
GV ren ky năng qua việc hướng dân HS tìm lời giải như sau:
Yêu cầu học sinh đọc ky đề bài. Đề cho gì ? Đề hỏi gì ?
Hướng dân HS: vẽ đoạn thẳng IR = 3cm bằng cách như thế nào ?
Theo một trong hai cách:
Cách 1: dung thước có chia khoảng, (tương tự như đo đoạn thẳng)
Cách 2: dung com pa.
Bước tiếp theo, xác định điểm T sao cho TI = 2,5 cm; TR = 2cm như thế nào ?.
Vẽ cung tron (I; 2,5cm) và cung tron (R; 2cm), hai cung tron này căt nhau tại T
Hướng dân HS: Vẽ đoạn thẳng TI và TR ta có tam giác TIR.
Bài toán này thuộc dạng toán dựng hình: vẽ một tam giác khi cho biết độ dài
ba cạnh của tam giác ấy, ta tiến hành như sau:
-Vẽ một cạnh trước (nghĩa là vẽ được hai đỉnh của tam giác).
-Sau đó, vẽ hai cung tron có tâm lần lượt là hai đầu mút của đoạn thẳng đã
vẽ, hai bán kính lần lượt bằng độ dài hai cạnh con lại. Hai cung tron đó căt nhau tại
một điểm (nghĩa là vẽ được đỉnh thứ ba của tam giác)
-Nối điểm vừa mới vẽ với hai điểm mút của đoạn thẳng đã vẽ. Đó chính là
tam giác cần vẽ.
-Khi đã quen với bài toán dựng hình này, GV cho HS luyện tập các bài toán
tương tự như :
Bài 8 (trang 96- Sgk Toán 6 tập 2).
-Vẽ đoạn thẳng BC = 3,5cm. Vẽ một điểm A sao cho AB = 3cm, AC =
2,5cm. Vẽ tam giác ABC. Đo các góc của tam giác ABC.
-Mặc du, đây là bài toán dựng hình đơn giản nhất nhưng yêu cầu HS ngay từ
lớp 6 đã phải năm vững cách dựng; biết sử dụng thước có chia khoảng và compa
để vẽ tam giác theo các bước dựng trên; biết sử dụng thước đo góc để đo các góc
của tam giác…
21
4
O 2 A B x
Kết quả: Qua biện pháp này, giáo viên đã ren cho HS ky năng sử dụng dụng cụ
vẽ hình; “ngầm” ren cho HS biết cách dựng hình bằng phương pháp tương giao, là
phương pháp dựng hình được sử dụng trong chương trình hình học cấp THCS.
2.9, Biện pháp 9
Chú trọng rèn kĩ năng cho học sinh có phương pháp chung để giai một
bài toán hình học (theo 4 bước giải):
– Với mỗi bài toán đưa ra: giáo viên đưa ra đề bài, yêu cầu HS đọc ky đề bài, (đọc
nhâm ít nhất 2-3 lần), sau đó hướng dân HS tóm tăt đề, phân tích bài toán: phân
biệt rõ đề cho gì ? đề hỏi gì ?. Hình vẽ minh học ra sao? Sử dụng kí hiệu như thế
nào ? dung công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài ra sao ?
-Xác định bài toán thuộc dạng toán nào ? (toán chứng minh hay toán tìm toi).
-Cần vận dung kiến thức gì đã được học để giải bài toán này?
+ Hướng dân HS phân tích, tìm toi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính
chất tìm đoán: dựa vào các dữ kiện đề bài cho, từ đó suy ra được điều gì ? nghĩ
xem có tính chất hình học nào đã được học giống hoặc gần giống nội dung đề bài
không, (ở lớp 6 thông thường nhiều bài có nội dung cụ thể của tính chất HS được
học). Liên hệ bài toán đang cần giải với một bài toán tương tự đã biết cách giải; sử
dụng phương pháp phân tích ngược để tìm lời giải của bài toán.
+ Hướng dân HS trình bày lời giải bài toán bằng phương pháp tổng hợp.
+ Hướng dân HS tìm toi những cách giải khác, so sánh và chọn cách ngăn
gọn, hợp lý nhất
Ví dụ : Bài 60/Sgk Toán 6 tập 1-trang 125.
Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm; OB = 4cm.
a/ Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không ?
b/ So sánh OA và AB.
c/ Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao ?
GV ren ky năng qua việc hướng dân HS tìm lời giải:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Yêu cầu học sinh đọc đề. Đề cho gì ?
Đề hỏi gì ?
Yêu cầu học sinh vẽ hình theo đề bài cho.
Bước 2: Tìm toi lời giải
22
a/ Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không ?
Trên tia Ox, có hai điểm A, B; OA = 2cm < OB = 4cm, từ đó ta suy ra điều gì ?
b/ Muốn so sánh OA và AB ta làm như thế nào ? biết OA = 2cm.
Hãy tính AB ?
. Điểm A nằm giữa O và B thì ta suy ra điều gì ?
. OA + AB = OB, mà OB = 4cm, OA = 2cm, nên A B= ?
. Vậy OB như thế nào với AB ?
c/ Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao ?
Điểm A nằm giữa hai điểm O và B và OA = AB, từ đó ta suy ra điều gì ?
Bước 3: Trình bày lời giải
GV yêu cầu một HS lên bảng trình bày bảng lời giải, sau đó GV cho HS
dưới lớp nhận xét lời giải trên bảng; tiếp theo GV nhận xét sửa sai cho HS (nếu
có), chuân hóa lời giải, từ đó giúp học sinh tự đánh giá kết quả bài giải của mình;
biết cách trình bày lời giải và năm được quá trình suy luận khi giải bài toán.
Qua bài toán, GV con ren luyện cho HS ky năng lập luận để tìm lời giải bài
toán; có căn cứ để khẳng định một điểm nằm giữa hai điểm và từ có điểm nằm
giữa hai điểm suy ra đẳng thức, từ đẳng thức tìm được độ dài đoạn thẳng để so
sánh…Chẳng hạn:
Lời giải: a/ Trên tia Ox, ta có OA < OB, (2cm< 4cm). Suy ra điểm A nằm
giữa O và B, (1).
b/ Điểm A nằm giữa O và B nên: OA + AB = OB  2 + AB = 4
 AB = 4 – 2 = 2 (cm)
Vậy, OA = AB, (2)
c/ Từ (1) và (2) suy ra điểm A là trung điểm của OB.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Lấy điểm C trên tia Ox sao cho OC = 6cm. Trong ba điểm A,B, C điểm nào
nằm giữa hai điểm con lại ? Vì sao ?
Lấy một điểm D trên tia Ox’ là tia đối của tia Ox sao cho OD = 2cm.Điểm D
là trung điểm của đoạn thẳng? Vì sao ?…
GV cho HS luyện tập thêm để ren ky năng bằng cách giải các bài toán tương tự
như bài 61, 64 (Toán 6 tập 1)
23
Kết quả: Qua biện pháp này học sinh tự tin hơn khi giải quyết một bài toán hình
học.
2.10, Biện pháp 10:
Chú trọng rèn luyện cho học sinh có kỹ năng tìm toi lơi giai bài toán hình
học ơ lớp 6 băng phương pháp phân tich ngược tư cuối:
-Theo tôi, việc ren ky năng tìm toi lời giải của bài toán hình học bằng sử
dụng phương pháp phân tích ngược từ cuối cho HS là rất quan trọng; không chỉ
với HS các khối lớp 7,8,9 mà con cả với HS lớp 6.
-Thật vậy, khi năm vững phương pháp này HS sẽ rất thuận lợi trong việc
giải bài tập hình, các em sẽ biết lần ra “đâu mối” để tìm toi lời giải của bài toán,
các em biết khi tìm lời giải bài toán phải băt đầu từ đâu và kết thúc khi nào ?
-Do đó, ngoài việcbước đầu ren, luyện cho học sinh có phương pháp chung
để giải một bài toán hình học; khi dạy HS giải bài toán môn Hình học 6 GV rất
cần ren luyện cho HS phương pháp phân tích ngược từ cuối.
Cụ thể là:
-Bài toán yêu cầu phải tìm, phải chứng minh điều gì? ( kết luận A)
-Để chứng được kết luận A ta phải tìm, phải chứng minh được điều gì? ( kết
luận B)
-Để chứng minh được kết luận B ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều
gì?…..
( kết luận Z)
-Quá trình phân tích kết thúc khi đã sử dụng được các dữ kiện của bài toán
cho và các kiến thức đã học trước đó.
* Sơ đồ phân tích ngược từ cuối bài toán hình học ,nói chung như sau:
Chứng minh được từ đề bài cho

Phải chứng minh Z

….

Phải tìm; chứng minh B

24
3 2
3 2
C D
A
K
B
I
Để tìm hoặc chứng minh A
-Khi trình bày lời giải, học sinh phải tiến hành bằng phương pháp tổng hợp,
theo hướng từ trên xuống dưới.
Ví dụ : Bài 39/Sgk Toán 6 tập 2- trang 91.
Trên hình 58, ta có hai đường tron (A; 3cm) và (B; 2cm) căt nhau tại C, D.
AB = 4cm. Đường tron tâm A và B lần lượt căt đoạn thẳng AB tại K, I.
a/ Tính CA,CB,DA ,DB.
b/ I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không ?
c/ Tính IK.
-GV ren ky năng qua việc hướng dân HS tìm lời giải:
-Yêu cầu học sinh đọc ky đề bài. Đề cho gì ? Đề hỏi gì ?
-GV hướng dân học sinh vẽ lại hình 58 vào vở và tóm tăt bài toán.
a). Muốn tính CA,CB,DA ,DB ta dựa vào đâu?
. Trên hình vẽ, hai đường tron (A; 3cm) và (B; 2cm) căt nhau tại C, D thì ta suy ra
được điều gì ?
. Điểm C có thuộc đường tron (A; 3cm) không ?
. Điểm C thuộc đường tron (A; 3cm) thì ta suy ra điều gì ? CA = ?
GV hướng dân yêu cầu HS tính CB,DA ,DB bằng suy luận tương tự.
b) GV yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau:
. Dự đoán I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không ?
. Muốn chứng tỏ I có là trung điểm của đoạn thẳng AB không ta làm như thế nào?
. Dựa vào định nghĩa trung điểm của một đoạn thẳng, ta phải chứng tỏ điều gì?
. Trên hình vẽ, điểm I đã nằm giữa A và B chưa ?
. Vậy, cần chứng tỏ IA = IB như thế nào ?
Hãy tính và so sánh độ dài IA,IB .
. Điểm I thuộc đường tron (B; 2cm) thì ta suy ra IB= ?
. Điểm I đã nằm giữa A và B thì ta suy ra điều gì ?
.IA + IB = AB, mà AB = 4cm, IB = 2cm, nên IA = ?
*Sơ đồ phân tích ngược:
25
Hình vẽ

I nằm giữa A và B?

IA + IB = AB ? Hình vẽ

IA= 2= AB – IB? I thuộc đường tron(B; 2cm)?

Hình vẽ IA = 2cm; IB = 2cm ?

I nằm giữa A và B ?, IA =IB ?

DĐ: I là trung điểm của đoạn thẳng AB?
-Sau đó học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại.
c) Tính IK như thế nào ?
. Điểm I có nằm giữa A và K không ?
. Điểm I nằm giữa A và K thì ta suy ra điều gì ?
. IA + IK = AK, AK = ?cm, vì sao ?
. Điểm K thuộc đường tron (A; 3cm) thì ta suy ra điều gì ? AK = ?
. Mà IA = 2cm, nên IK = ?
GV hướng dân HS trình bày lời giải:
a) Ta có: C thuộc đường tron (A; 3cm) nên CA = 3cm.
C thuộc đường tron (B; 2cm) nên CB = 2cm.
D thuộc đường tron (A; 3cm) nên DA = 3cm.
D thuộc đường tron (B; 2cm) nên DB = 2cm.
b) . I thuộc đường tron (B; 2cm)  IB = 2cm
. Điểm I nằm giữa A và B nên IA + IB = AB, mà AB = 4cm, IB = 2cm
 IA + 2 = 4  IA = 4-2 =2 (cm)
.Vậy, IA =IB (=2cm) suy ra I là trung điểm của AB.
26
c). Điểm K thuộc đường tron (A; 3cm)  AK = 3cm.
. Điểm I nằm giữa A và K  IA + IK = AK, mà AK = 3cm, IA = 2cm.
 2 + IK = 3 IK = 3 – 2 =1 (cm)
Khi đã quen với cách suy luận để tìm lời giải bài toán dạng này, học sinh có
thể chủ động tự luyện tập các bài toán tương tự, chẳng hạn như bài toán sau:
Cho AB= 5cm. Vẽ hai đường tron hai đường tron (A; 4cm) và (B; 2cm) lần
lượt căt AB tại C và D. Hỏi C có là trung điểm của DB không ? vì sao ?
-Các bài toán dạng này cũng được coi như dạng toán tổng hợp ở lớp 6, trong
đó vận dụng khái niệm đường tron tâm O bán kính R, tính chất của điểm thuộc
đường tron; định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, tính chất cộng đoạn thẳng khi
có một điểm nằm giữa hai điểm khác để tính độ dài đoạn thẳng; chứng minh một
điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Với dạng toán này HS cần dựa vào đề bài,
nhận xét, lập luận từng bước để đưa về bài toán có liên quan đến đường tron. Các
bài toán hình học có liên quan đến đường tron HS sẽ được học tiếp trong chương
trình hình học lớp 9, nhưng ngay ở lớp 6, HS cũng cần năm vững dạng bài toán cơ
bản nêu trên.
2.11, Biện pháp 11:
Chú trọng rèn luyện cho học sinh kỹ năng lập luận có căn cứ khi trình
bày giai bài toán hình học ơ lớp 6:
-Đây là ky năng quan trọng trong quá trình giảng dạy giải bài tập hình, là cơ
sở tốt cho việc học hình học ở cả bậc THCS; thực tế dạy học cho thấy rất rõ HS
lớp 6 thường yếu về ky năng này. Thông qua các giờ dạy lý thuyết, các ví dụ cụ
thể, các giờ luyện tập và chấm chữa bài cho học sinh. Tôi đã sửa chữa cho học sinh
những sai sót học sinh thường măc phải trong quá trình lập luận, từ đó hướng các
em hình thành cách lập luận có căn khi trình bày lời giải các bài toán hình học,
tuyên dương học sinh có lời giải hay, chặt chẽ trong giải toán, sửa chữa cho các
học sinh con yếu trong lập luận. Từ đó phát hiện và bồi dưỡng được các học sinh
có năng khiếu bộ môn toán; giúp đỡ, phụ đạo học sinh yếu kém để các em có thể
cải thiện được kết quả học tập của mình.
Ví dụ :Bài 30/Sgk Toán 6 tập 2-trang 87.
Trên cung một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Ot, Oy sao cho
xOt  250; xOy 500 .
a) Tia Ot có nằm giữa hai tia Ox và Oy không ?
b) So sánh góc tOy và góc xOt .
27
x
y
t
0
25
O
c) Tia Ot có là tia phân giác của góc xOy không ? vì sao ?
* GV ren ky năng qua việc hướng dân HS tìm lời giải như sau:
Yêu cầu học sinh đọc đề. Đề cho gì ? Đề hỏi gì ?
Yêu cầu học sinh vẽ hình theo đề bài cho.
Tổ chức cho HS trao đổi nhóm nhỏ, thảo luận để tìm lời giải bài toán; sau đó
viết lời giải ra giấy. Giáo viên thu bài làm của các nhóm.
GV tổ chức cho HS thảo luận, nêu ra cách lập luận của nhóm mình để tìm
lời giải bài toán bài toán.
GV trình bày lời giải “mâu” lên bảng. Từ đó, giúp HS năm vững cách lập
luận và căn cứ kem theo, đó là từ các dữ kiện đề đã cho  khẳng định tia nằm
giữa hai tia  viết hệ thức cộng góc  tìm số đo góc; biết lập luận có căn cứ để
khẳng định một tia là tia phân giác một góc. Học sinh tự đánh giá bài làm của
mình và rút kinh nghiệm cho việc giải các bài tập về sau. Chẳng hạn:
Lời giải
a/ Trên cung một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có xOt xOy  , (250  500
). Suy ra tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy, (1).
b/ Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy nên:
0 0
0 0 0
25 50
50 25 25
xOt tOy xOy tOy
tOy tOy
    
    

Vậy, ,(2).

xOt tOy  c/ Từ (1) và (2) suy ra tia Ot là tia phân giác của xOy .
GV cho HS luyện tập thêm để ren ky năng bằng cách giải các bài toán bài
toán tương tự như bài 33, 34, 35, 36, 37 (trang 87- Sgk Toán 6 tập 2)
2.12, Biện pháp 12:
Giao bài tập mơ để nâng cao kiến thứccho HS khá giỏi
Ngoài các bài tập trăc nghiệm đã chọn ở mỗi tiết giáo viên có thể biên soạn biên
soạn các bài tập có mức độ khó hơn để tạo điều kiện cho các học sinh khá, giỏi
được ren luyện (Dạng bài tập này chủ yếu hướng dân cho học sinh khá, giỏi giải ở
các buổi bồi giỏi)
*Dạng bài: Tính số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng.
-Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng trong nhiều trường hợp ta không
thể đếm trực tiếp mà phải dung lập luận.
* Ví dụ 1:
28
a. Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hang.Cứ qua hai điểm ta vẽ
được một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng
b. Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm có đúng ba điểm thẳng hàng?
Giải:
a. Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm con lại, ta vẽ được 99
đường thẳng .Làm như vậy với 100 điểm đó ta được 99.100 đường thẳng.Nhưng
mỗi đường thẳng đã được tính hai lần do đó tất cả chỉ có 99.100:2=4950 đường
thẳng.
Chú ý: Tổng quát, nếu có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số
đường thẳng có là: n (n-1):2
b.Cách 1: Giả sử không có ba điểm nào thẳng hàng thì theo câu a có 4950 đường
thẳng.Nhưng vì có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi: 3-1=2(nếu ba
điểm không thẳng hàng thì vẽ được ba đường thẳng, nếu ba điểm thẳng hàng chỉ
vẽ được một đường thẳng).Vậy có: 4950-2=4948(đường thẳng)
Cách 2: Chia 100 điểm làm hai tập hợp: tập hợp A gồm ba điểm thẳng hàng, tập
hợp B gồm 97 điểm con lại.
Số đường thẳng trong tập hợp A là 1,số đường thẳng trong tập hợp B là 97.96:2,số
đường thẳng đi qua một điểm thuộc tập hợp A và một điểm thuộc tập hợp B là
97.3.
Cộng lại ta được: 1+4656+291=4948(đường thẳng).
* Ví dụ 2:
Cho n điểm (n ≥2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng .
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng
hàng ?
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng ?
c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng .
Giải :
a) Chọn một điểm . Nối điểm đó với từng điểm trong n-1 điểm con lại, ta vẽ được
n-1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm , ta được n (n-1) đoạn thẳng .Nhưng mỗi
đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n (n-1) : 2 đoạn thẳng.
b) Tuy trong hình vẽ chỉ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số đoạn thẳng phải đếm
vân không thay đổi, do đó vân có n (n-1) : 2 đoạn thẳng.
c) Ta có n (n-1) : 2 = 1770. Do đó :
n (n-1) = 2.1770 =22.3.5.59
n (n-1) = 60.59
Suy ra n =60 .
Kết quả:
Qua biện pháp: Giao bài tập mở để nâng cao kiến thứccho HS khá giỏi
29
tôi nhận thấy có hiệu quả bởi khi học sinh đã năm chăc kiến thức cơ bản các em có
nhu cầu muốn khám phá những kiến thức mới lạ từ đó giáo viên kích thích niềm
say mê học toán của các em .
III.HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI :
1. Hiệu quả kinh tế
2.Hiệu quả về mặt xã hội
Qua thực hiện 12 giải pháp đã nêu ở trên và thực hiện trong năm học 2020-2021,
tôi nhận thấy có một số kết quả nhất định:
– Nhờ sự quan tâm tổ chức của thầy học sinh tự mình thao tác, học sinh được ren
luyện, được củng cố kiến thức nhiều sau khi học lý thuyết. Bản thân tôi nhận thấy
học sinh từ chỗ con bỡ ngỡ, khó khăn tiếp cận với các khái niệm mới, các em thích
thú khi vừa vẽ các hình hình học vừa làm quen với các khái niệm mới nhẹ nhàng,
từ việc năm các khái niệm mới một cách nhẹ nhàng các em không nản chí, thụ
động vận dụng các kiến thức vào giải bài tập.
– Học sinh năm các khái niệm tính chất nhanh có thời gian để học , học sinh được
luyện tập nhiều hơn.
– Kĩ năng vẽ hình tiến bộ rõ rệt, học sinh hết lúng túng khi sử dụng các dụng cụ
vẽ hình.
– HS năm vững kiến thức, bước đầu làm quen với trình bày bài giải.HS giỏi năm
rất vững các kiến thức ban đầu về hình học, đã giúp thầy chấm chữa các sai sót các
bài giải ở bảng của các bạn rất nhiều.
-Kết quả phiếu khảo sát sở thích học bộ môn hình ở đầu năm và cuối năm học:

Thích	Không Thích	Ghi chú
Đầu năm	15/38= 39,5%	23/38=60,5%
Cuối năm	37/38=97,36%	1/38=2,64%

– Kết quả ở hai bài kiểm tra môn hình ở đầu năm và cuối năm được ghi lại (Tuy
chỉ mang tính tương đối)

Lần KT	0-2	3-4	5-6	7-8	9-10	TB
Đầu năm	1/38 =2,63%	6/38 =15,78%	14/38 =36,84%	12/38 =31,57%	5/38 =13,15%	31/38 =81,57%
Cuối năm	0	1/38 =2,63%	2/38 =5,26%	15/38 =39,47%	20/38 =52,63%	37/38 =97,37%



30
Sáng kiến kinh nghiệm đã cải thiện rõ rệt chất lượng dạy học bộ môn hình
học 6 và đặc biệt là kết quả thi các giai đoạn của lớp 6A Trường THCS Hoàng
Ngân đạt kết quả cao
3.Khả năng áp dụng và nhân rộng
– Được áp dụng với mọi đối tượng học sinh khối 6.
IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
Tôi xin cam kết, sáng kiến này do bản thân tự nghiên cứu có chỉnh lí và bổ sung
hàng năm cho phu hợp với điều kiện thực tế của quá trình giảng dạy môn học
Tuyệt đối không sao chép hoặc vi phạm bản quyền của cá nhân nào.
V.BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
-Để thực hiện được những biện pháp trên có hiệu quả người thầy phải năm vững
đối tượng HS lớp mình .Là những học sinh lớp 6, mới từ tiểu học lên.Trong tiết
học thầy phải kiên trì, phải chờ học sinh, cho học sinh được tự làm qua đó các em
mới năm vững các khái niệm.
– Giáo viên phải soạn săn các bài tập trăc nghiệm và dạy học qua trình chiếu mới
đủ thời gian tổ chức củng cố, phải in hoặc ghi săn các bài tập làm thêm, bài tập
nâng cao để các em chép trong lúc rỗi hoặc trong những lần sinh hoạt 15 phút đầu
giờ.
– Trong từng tiết giáo viên cần có biểu hiện thân thiện, tổ chức cho các em vừa
chơi vừa học để việc tiếp thu được nhẹ nhàng

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Hình thức kiểm tra đánh giá theo hướng tiếp cận năng lực

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Kiến thức Toán học phổ thông nói chung và những kiến thức của bộ môn Toán
6 nói riêng có vai trò rất cần thiết đối với học sinh, cụ thể như: việc đo lường, tính
toán, phục vụ việc tính toán trong thực tế, việc học nghề, học các môn học khác cũng
như học lên các cấp học cao hơn…
Qua thực tế một số năm giảng dạy môn Toán lớp 6, tôi nhận thấy đa số học
sinh chưa có được những niềm vui trong học tập bộ môn Toán do đó hiển nhiên là
kết quả học tập của các em học sinh thể hiện qua các bài kiểm tra còn nhiều điểm
yếu, điểm kém; nhiều em có kết quả xếp loại môn Toán học kì và cả năm dưới 5.0,
một bộ phận học sinh sợ kiểm tra, chưa có hứng thú với các bài kiểm tra, chưa coi
việc kiểm tra là để xác định sự tiếp thu, vận dụng, năng lực của mình ở mức độ nào.
Hầu hết học sinh còn lúng túng, thiếu ý tưởng trong hoạt động thuyết trình, hoạt
động nhóm, hoặc trong việc tiếp nhận nhiệm vụ, hợp tác trong một số hoạt động diễn
ra trong tiết học như báo cáo nhóm, làm các sản phẩm nhóm.
Vấn đề trên đặt ra yêu cầu với giáo viên giảng dạy bộ môn Toán 6 là: phải
làm thế nào, tổ chức, hướng dẫn học sinh học tập ra sao để tạo được cho học sinh có
sự hứng thú, yêu thích học tập bộ môn Toán và đặc biệt là phát huy được tính chủ
động, tích cực cho các em học sinh trong quá trình học tập, nhất là với đối tượng học
sinh yếu kém, giúp các em học tập môn Toán trong niềm vui và đạt được kết quả
cao hơn đồng thời giảm áp lực của việc kiểm tra đánh giá. Mục đích cuối cùng là
nâng cao được chất lượng dạy – học, giúp các em có sự tự tin khi học Toán cũng như
tự tin khi tham gia các bài kiểm tra đánh giá, các bài thi, chủ động và có kĩ năng thiết
kế các sản phẩm học tập đối với bộ môn Toán nói riêng và các môn học khác nói
chung.
Chính vì vậy tôi đã mạnh dạn áp dụng một số biện pháp nâng cao chất lượng
công tác giảng dạy bộ môn Toán 6 với mong muốn dần cải thiện chất lượng môn
Toán 6 nói riêng và chất lượng bộ môn Toán nói chung của trường THCS thị trấn
Cát Thành. Sau hai năm học thực hiện nhiệm vụ chuyên môn của mình, tôi mạnh
dạn và tự tin viết nên giải pháp “Đổi mới hình thức kiểm tra đánh giá theo hướng
tiếp cận năng lực học sinh”.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Phân tích thực trạng công tác dạy và học trong nhà trường
a) Ưu điểm
* Về phía giáo viên:
– Phòng giáo dục và nhà trường luôn tạo điều kiện mọi mặt cho giáo viên trau
dồi kiến thức, học hỏi phương pháp nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ
(như tập huấn, hội thảo, dự giờ thăm lớp, tổ chức các đợt thao giảng, dự các chuyên
đề, hội thảo miền, hội thi giáo viên giỏi cấp huyện, cấp tỉnh …).
5
– Giáo viên được đào tạo chính quy, được phân công giảng dạy đúng chuyên
môn của mình, được bồi dưỡng chuyên môn thường xuyên, có nhiều năm giảng dạy
bộ môn Toán 6.
* Về phía học sinh:
– Đa số học sinh nhận thức được tầm quan trọng và ứng dụng thực tế của bộ
môn Toán.
– Nhiều em rất yêu thích, hứng thú học tập môn Toán, chuẩn bị bài tốt và tạo
không khí sôi nổi trong tiết học.
b) Hạn chế và nguyên nhân hạn chế
* Về phía giáo viên:
– Đa số giáo viên sử dụng hình thức kiểm tra đánh giá chưa phong phú, chưa
hấp dẫn sinh động, hầu như không kiểm tra được học sinh toàn lớp (trừ những bài
kiểm tra in hoặc viết trên giấy).
– Với những trò chơi nhằm mục đích kiểm tra đánh giá hoặc kiểm tra kiến
thức nền, thì việc kiểm tra gặp một số khó khăn sau:
+ Chỉ thực hiện được trên một số ít học sinh.
+ Phần lớn phụ thuộc vào thiết bị công nghệ thông tin như máy chiếu,
máy tính…..
– Giáo viên chưa mạnh dạn đổi mới phương pháp dạy học. Sử dụng phương
pháp dạy học truyền thống, hình thức và phương pháp kiểm tra đánh giá chưa phù
hợp, chưa hấp dẫn, sinh động, chưa lôi cuốn, chưa phát triển được năng lực và phẩm
chất cho học sinh.
– Việc kiểm tra, đánh giá của giáo viên theo hướng tiếp cận nội dung nên chưa
động viên, khuyến khích kịp thời sự tiến bộ của học sinh, chưa đánh giá được năng
lực của học sinh thông qua các hoạt động học của học sinh.
* Về phía học sinh:
– Là năm đầu làm quen với cách học bậc THCS và do sự phát triển tâm sinh
lý độ tuổi lớp 6 nên sự tập trung của học sinh trong giờ học chưa cao, phương pháp
học chưa phù hợp, chưa tích cực học tập, việc học, việc làm bài tập còn thụ động,
trông chờ vào thầy cô, dựa dẫm bạn bè hoặc xem lời giải sẵn trong sách . Vì vậy
giáo viên mất thời gian trong việc định hướng, hướng dẫn học sinh.
– Sĩ số học sinh/lớp đông, trình độ học sinh không đồng đều gây khó khăn
trong việc tổ chức các hoạt động dạy và học.
– Một số học sinh bị mất kiến thức cơ bản, hổng kiến thức lớp dưới, kĩ năng
tính toán còn yếu nên không theo kịp các bạn vì vậy học sinh dễ chán nản và không
thích học Toán, có tâm lí sợ môn Toán, kết quả học tập bị giảm sút.
* Về cơ sở vật chất:
6
– Chưa có phòng học bộ môn, phương tiện, thiết bị dạy học đã cũ chưa đáp
ứng được yêu cầu đổi mới.
– Sách giáo khoa màu sắc, kênh hình còn hạn chế, hệ thống bài tập thiếu tính
thực tế chưa gây được hứng thú cho học sinh.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Các biện pháp nâng cao chất lượng giảng dạy
a) Phân loại đối tượng học sinh
– Đầu năm học giáo viên tổ chức khảo sát chất lượng, phân loại học sinh thành
các đối tượng: Giỏi, Khá, Trung bình, Yếu, Kém để có biện pháp giảng dạy phù hợp
(dạy học phân hóa đối tượng), phân công học sinh khá giỏi kèm cặp học sinh yếu
kém (“đào tạo nội bộ”).
– Tìm hiểu năng lực, phong cách học tập của học sinh bằng bài test phong cách
học tập, nắm bắt tâm lý từng đối tượng học sinh để giao nhiệm vụ phù hợp, tránh
quá tải; tăng cường hỗ trợ học sinh yếu kém; đào tạo các em học sinh giỏi (đội ngũ
cố vấn, chuyên gia) để tham gia các cuộc thi cấp huyện và để có một nhóm học sinh
nòng cốt từ đó lan tỏa tinh thần học tập tới các học sinh khác.
– Giúp học sinh xóa bỏ cảm giác tự ti, lo lắng, thể hiện sự tự tin, phát huy được
thế mạnh của mình, tạo cơ hội trao đổi giữa các nhóm đối tượng với nhau các hoạt
động học tập trên lớp của các em cũng như trong quá trình học tập.
b) Tích cực đổi mới phương pháp dạy học
– Đa dạng hóa các hình thức học tập, lồng ghép các hoạt động trải nghiệm,
hoạt động giáo dục STEM, liên hệ thực tế góp phần phát triển năng lực học sinh, vận
dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.
– Vận dụng linh hoạt hiệu quả các PPDH truyền thống với các PPDH tích cực
và hiện đại phù hợp với đặc thù bài học, phù hợp với từng đối tượng HS ở những
lớp mình giảng dạy. Chú trọng phương pháp và kỹ thuật dạy học tích cực, khuyến
khích học sinh tham gia vào các hoạt động học nhằm phát triển năng lực giao tiếp,
năng lực thuyết trình, năng lực đặt câu hỏi, nhận xét, phản biện, rèn luyện sự tự tin
cho học sinh…
– Giáo viên linh hoạt tổ chức các hoạt động dạy học, không cứng nhắc hỏi –
đáp theo các câu hỏi, bài tập có sẵn trong sách giáo khoa; mạnh dạn thay thế các câu
hỏi và bài tập cho phù hợp với năng lực học sinh trong tổ chức các hoạt động dạy
học.
– Hướng dẫn học sinh phương pháp học tập môn Toán. Tăng cường hoạt động
hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu để chủ động tìm tòi, chiếm lĩnh và vận
dụng kiến thức; dành nhiều thời gian trên lớp để tổ chức cho học sinh luyện tập, thực
hành, thảo luận, báo cáo, thuyết trình kết quả tự học của mình, của nhóm…..
– Đa dạng các hình thức chuyển giao nhiệm vụ học tập. Giao nhiệm vụ học
tập ở nhà đảm bảo không mất quá nhiều thời gian, không gây áp lực, quá tải cho học
sinh.
7
c) Đổi mới hình thức kiểm tra đánh giá theo hướng tiếp cận năng lực học sinh.
– Đa dạng hóa các hình thức kiểm tra, đánh giá. Chú trọng đánh giá sản phẩm
của học sinh như: các hoạt động trên lớp, hồ sơ học tập, vở học tập; kết quả thực
hiện một dự án học tập, nghiên cứu khoa học- kỹ thuật, qua bài thuyết trình về kết
quả thực hiện nhiệm vụ học tập. Giáo viên và học sinh chủ động trong đánh giá,
khuyến khích tự đánh giá, đưa phản hồi và đánh giá chéo lẫn nhau.
– Nghiêm túc thực hiện việc ra đề, coi kiểm tra đến việc chấm, chữa bài cho
học sinh; khi chấm chú ý chỉ ra những lỗi sai và hướng dẫn cho học sinh tự sửa;
không nên lấy điểm số làm áp lực với các em; tạo điều kiện thuận lợi để học sinh
mạnh dạn thể hiện bản thân, sửa chữa, khắc phục điểm yếu; chấm và công bố điểm
phải khách quan, công bằng tạo không khí thi đua trong học tập với học sinh.
d) Sử dụng hiệu quả phương tiện, thiết bị, phần mềm dạy học.
– Sử dụng hiệu quả các phương tiện dạy học, công cụ hỗ trợ hiện có trong nhà
trường. Làm đồ dùng dạy học đáp ứng yêu cầu bài giảng phù hợp với tình hình thực
tế giảng dạy trong nhà trường để nâng cao hiệu quả giờ dạy
– Ứng dụng có hiệu quả các phần mềm Toán: Kahoot, Quizizz, Padlet, Maple,
Sketchpad, Geogebra,… trong tổ chức các hoạt động dạy học; các công cụ như Zalo,
Messenger vào tổ chức hướng dẫn học sinh tự học, hướng dẫn học sinh thực hiện tự
kiểm tra đánh giá chấm điểm online trên một số trang web. Tăng cường dạy học
bằng giáo án điện tử, thiết kế phiếu học tập cũng như hình thức tổ chức các hoạt
động trên lớp sao cho sinh động, hấp dẫn nhằm giúp giáo viên tiết kiệm thời gian, tổ
chức các hoạt động học của học sinh được thuận lợi, có hiệu suất cao, giúp học sinh
dễ hiểu bài, hiểu sâu và nhớ lâu; tạo sự sinh động, hấp dẫn cho tiết học, nâng cao
hứng thú học tập, tự tin và yêu thích môn Toán. Giúp phát triển năng lực, nhận thức,
đặc biệt là năng lực quan sát, tư duy toán học.
– Sử dụng một số công cụ đánh giá online, một số trang web kiểm tra đánh giá
trực tuyến hoàn toàn miễn phí và chủ động như:
+ https://vndoc.com/test-mon-toan-lop6
+ https://www.luyenthi123.com/toan-lop-6/kiem-tra-hinh-chuong-i-lop-
6/834-kiem-tra-hinh-chuong-i-lop-6-lv3.html
+ https://vio.edu.vn/on-board/5d538a1b0b6bee2878a58436
2.2. Thực nghiệm sư phạm
Từ việc hiểu rõ một số biện pháp nâng cao chất lượng giáo dục cũng như dạy
học theo hướng tiếp cận năng lực người học, căn cứ nội dung kiến thức từng bài học,
tôi đã sử dụng linh hoạt các biện pháp nêu trên để xây dựng kế hoạch dạy học. Và
tôi đã mạnh dạn áp dụng “Biện pháp đổi mới hình thức kiểm tra đánh giá theo
hướng tiếp cận năng lực học sinh” nhằm “hấp dẫn và đa dạng hóa” hình thức kiểm
tra đánh giá, giúp học sinh có cái nhìn tích cực, hiểu rõ mục đích của kiểm tra đánh
giá, không còn tâm lí e ngại, sợ hoặc chống đối với các bài kiểm tra trên giấy đơn
thuần như trước đây.
8
Tôi cũng hiểu rõ việc đổi mới hình thức kiểm tra đánh giá theo hướng tiếp cận
năng lực học sinh không chỉ nhằm nâng cao chất lượng dạy học mà còn giúp học
sinh đạt được các mục tiêu cơ bản:
+ Giúp học sinh ôn tập, củng cố, tóm tắt, hệ thống và suy ngẫm lại những kiến
thức đã học.
+ Là công cụ giúp học sinh có thể thể hiện được mức độ nắm kiến thức và vận
dụng những điều đã học vào các tình huống khác nhau.
+ Kiểm chứng lại các mục tiêu đã đặt ra từ đầu tiết học, từ đó có sự điều chỉnh
nhịp độ dạy học trong bài học và điều chỉnh ở các tiết học sau đó.
+ Bên cạnh đó nó còn giúp giáo viên có thể đưa ra các nhận xét, phản hồi đúng
lúc, đúng chỗ, đúng mức và đến từng cá nhân để từ đó học sinh nhận ra những điểm
cần sửa chữa.
Do đó kiểm tra đánh giá cần được tiến hành dưới dạng một hoạt động,
để luôn lôi cuốn sự tham gia của học sinh. Khi giáo viên thực sự làm chủ được các
hoạt động đánh giá, nghĩa là đã đáp ứng đầy đủ các yếu tố của một “tam giác dạy
học” bắt đầu từ việc đặt mục tiêu, cho đến việc thiết kế các hoạt động và cuối cùng
là đánh giá hiệu quả.
Việc tổ chức các hoạt động đánh giá thường xuyên và hiệu quả không những
giúp tôi có suy ngẫm, điều chỉnh công việc giảng dạy của mình mà còn nhằm giảm
áp lực của việc kiểm tra đánh giá, đảm bảo sự công bằng, tạo hứng thú, niềm yêu
thích môn học cho học sinh, giúp học sinh đạt được các năng lực và kĩ năng sau:

+ Tự chủ và tự học + Giao tiếp và hợp tác + Giải quyết vấn đề và sáng tạo + Có trách nhiệm + Chăm học + Phát triển ngôn ngữ + Kĩ năng tính toán

+ Dự đoán + Kết nối + Đặt câu hỏi + Siêu nhận thức + Tổng hợp + Trực quan hóa + Xác định tầm quan trọng

2.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm trong khi áp dụng sáng kiến
Năm học 2019-2020: Tôi áp dụng tại lớp 6A, lớp đối chứng 6B

Lớp	Sĩ số	Hình thức khảo sát
Bài kiểm tra 45’	Thiết kế poster chương, sơ đồ tư duy
6A	40	90% trên TB – Hứng thú khi làm bài KT.	– Hào hứng khi nhận nhiệm vụ. – Có kĩ năng, thành thạo. – Phân công công việc hợp lý. – Hợp tác thực hiện nhiệm vụ.

9

6B

41

65% trên TB – Nhiều học sinh ngại làm bài kiểm tra. – Việc làm bài kiểm tra còn mang tính chống đối.

– Hầu hết học sinh còn lúng túng, bị động khi được giao nhiệm vụ. – Việc huyết trình còn phụ thuộc vào các bạn học khá giỏi cùng nhóm. – Đa số học sinh chưa mạnh dạn, tự tin trong học toán. -Một bộ phận hoc sinh có tâm lý e sợ và không hứng thú với môn học.

Năm học 2020-2021: Tôi áp dụng tại lớp 6A, 6B, lớp đối chứng 6C

Lớp	Sĩ số	Hình thức khảo sát
Bài kiểm tra 45’	Thiết kế sách, truyện tranh, poster chương, sơ đồ tư duy
6A	37	95% trên TB Hứng thú khi làm bài kiểm tra. Đặc biệt là các bài kiểm tra có tích hợp liên môn, lồng ghép bài học giáo dục.	– Hào hứng, tự tin và sẵn sàng nhận nhiệm vụ. – Có kĩ năng, thành thạo khi phân công công việc trong hoạt động. – Phân công công việc hợp lý. – Chủ động với công việc được giao, hợp tác tốt khi thực hiện nhiệm vụ. – Kĩ năng đào tạo nội bộ và thuyết trình tốt. – Sáng tạo từ khâu lên ý tưởng đến sản phẩm nhóm, sản phẩm cá nhân. – Khá sáng tạo khi thiết kế sách.
6B	41	85% trên TB – Hứng thú khi làm bài kiểm tra. Đặc biệt là các bài kiểm tra có tích hợp liên môn, lồng ghép bài học giáo dục.	– Hào hứng, tự tin khi nhận nhiệm vụ. – Có kĩ năng, thành thạo khi phân công công việc. – Hợp tác tốt khi thực hiện nhiệm vụ. – Kĩ năng đào tạo nội bộ và thuyết trình tốt. – Sáng tạo từ khâu lên ý tưởng đến sản phẩm nhóm, sản phẩm cá nhân. – Khá sáng tạo khi thiết kế sách, game
6C	39	82%	– Một bộ phận học sinh còn lúng túng, bị động khi được giao nhiệm vụ.

10

– Chưa thực sự thích khi được tham gia kiể tra đánh giá, còn coi đó là việc bắt buộc phải thực hiện.

– Thuyết trình còn phụ thuộc vào các bạn học khá giỏi cùng nhóm. – Nhiều học sinh chưa mạnh dạn, tự tin trong học toán.

2.4. Một số hình thức đổi mới kiểm tra đánh giá tôi đã áp dụng trong các tiết dạy
2.4.1. Chuyển phát nhanh
a) Mục đích:
– Kiểm tra, đánh giá việc nắm bắt cũng như giúp học sinh ôn lại những kiến
thức nền.
– Rèn luyện khả năng phản ứng nhanh.
– Tăng tính bất ngờ và ngẫu nhiên.
– Buộc tất cả học sinh đều phải tập trung suy nghĩ đồng thời nhằm khuyến
khích học sinh suy nghĩ sâu hơn về nội dung của bài học.
– Tất cả các học sinh đều có cơ hội được kiểm tra đánh giá như nhau.
b) Chuẩn bị:
1 chiếc hộp nhỏ có 2 ngăn, 1 ngăn đựng bộ câu hỏi, một ngăn chứa các hình
thức nhận quà.
10 – 20 câu hỏi là kiến thức nền của bài học, được viết hoặc in trên các thẻ
màu (có thể bắt hot tren như: in trên nền những quân bài uno hoặc picachu hay những
nhân vật hoạt hình mà các em yêu thích).
3 – 5 bài hát/ đoạn nhạc mà học sinh yêu thích (hoặc một số món quà phù hợp
với lứa tuổi….)
c) Các bước thực hiện:
1. Cho các câu hỏi liên quan đến chủ đề bài học vào trong hộp (ngăn câu hỏi)
2. Giáo viên mở to một đoạn nhạc, hoặc một bài hát đồng thời học sinh phải
luân chuyển chiếc hộp đó theo thứ tự. (HS tự tin, nắm chắc kiến thức, muốn tự kiểm
tra đánh giá chính mình hoặc thích những món qùa bất ngờ sẽ rất mong ngóng chiếc
hộp nhanh đến tay mình, HS nào chưa tự tin về chủ đề bài học sẽ chuyển nhanh chiếc
hộp đi, vì thế hoạt động được đặt tên là chuyển phát nhanh)
3. Giáo viên có thể cho nhạc dừng lại ở một thời điểm bất kỳ hoặc cho nhạc
dừng lại khi muốn kiểm tra, đánh giá 1 học sinh nào đó, chiếc hộp ở vị trí của học
sinh nào thì học sinh đó phải chọn một câu hỏi trong hộp và đưa ra câu trả lời.
4. Nếu học sinh không trả lời được, có thể nhờ sự trợ giúp.
5. HS trả lời được sẽ được chọn phần quà trong ô quà tặng của chiếc hộp:
+ Một tràng vỗ tay.
+ Một chiếc kẹo, một cái bút……..
11
+ Một ngôi sao may mắn (các con sẽ dán trong vở của mình, cuối tháng tổng
kết bạn nào được nhiều sao sẽ được cô giáo tặng một món quà đặc biệt hoặc có thể
dùng hình thức tích sao đổi điểm, như thế học sinh có thể tích nhiều sao khi tham
gia các hoạt động kiểm tra đánh giá để đổi điểm cao như mong muốn, tích hợp giáo
dục học sinh trong thực tế về việc tích lũy kiến thức để đổi lấy trình độ, tích lũy thời
gian hoặc sản phẩm làm việc để đổi về ngày giờ công và được trả lương cao……).
+ Có quyền chỉ định một bạn bất kì hát một bài hát….
(Biến thể của trò chơi: Có thể chia nhóm 4 đến 8 học sinh cho các nhóm tự
làm bộ thẻ trò chơi, nội dung các câu hỏi trên thẻ của nhóm mình, đưa ra luật chơi,
thực hiện chơi trò chơi của chính nhóm mình, cử thư kí ghi nhật kí quá trình làm
game và quá trình chơi game, ý thức tham gia, trả lời đúng sai….. trên cơ sở đó,
nhóm tự đưa ra đánh giá cho các thành viên, sau đó nộp bản đánh giá về cho giáo
viên, giáo viên đánh giá và cho điểm trên rubic đánh giá nhóm).
Sau đó giáo viên tổ chức cho HS thực hiện theo trạm: các nhóm chuyển trò
chơi của nhóm mình cho nhóm khác, nhận trò chơi của nhóm bạn, thực hiện chơi,
sau đó ngoài việc chấm điểm, thưởng quà, thưởng sao…. Các thành viên cần thực
hiện nhận xét, đánh giá về trò chơi của nhóm bạn mà mình vừa chơi theo hình thức
3-2-1 (3 điều học được qua trò chơi này, 2 điều góp ý để nhóm bạn hoàn thiện trò
chơi sao cho hấp dẫn hơn, tăng tính khó và sáng tạo, 1 điều cần hỏi nhóm bạn)
d) Kết quả đạt được sau hoạt động:
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá được:
– Việc nắm bắt kiến thức cũ của học sinh.
– Kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức.
– Khả năng phản xạ, sự tự tin, hợp tác.
– Sự sáng tạo khi thiết kế game.
* Học sinh:
– Kiểm tra, đánh giá hiểu biết của chính mình.
– Rèn luyện khả năng phản xạ, sự tự tin, hợp tác.
– Có được tâm lý thoải mái và hứng thú khi tham gia trả lời câu hỏi cũng như
được nghe những bản nhạc mà mình yêu thích trước khi học chủ đề mới.
– Chủ động, tự giác học bài, nắm chắc kiến thức để tham gia hoạt động này.
– Khả năng sáng tạo khi được trực tiếp làm trò chơi (bộ câu hỏi, luật chơi, các
tấm thẻ để viết hoặc in bộ câu hỏi…… (sử dụng lâu dài, có thể tái sử dụng hoặc dùng
cho bộ môn khác thì phải ép plasstic hoặc dán băng dính trong….))
– Điểm số và năng lực của HS được cải thiện rõ rệt. HS cũng dần hứng thú
hơn với việc kiểm tra đánh giá trong môn học.
e) Minh chứng:
12
Tiết 5 tiết luyện tập về tập hợp. Tôi cùng nhóm học sinh cố vấn đã xây dựng
bộ câu hỏi chuyển phát nhanh để tổ chức hoạt động khởi động như sau:
Câu 1: Nêu cách viết và đặt tên cho tập hợp?
Câu 2: Có mấy cách viết một tập hợp? Là những cách nào?
Câu 3: Một tập hợp có thể có bao nhiêu phần tử? Cho ví dụ?
Câu 4: Nêu mối quan hệ giữa phần tử với tập hợp? Giữa tập hợp với tập hợp?
Câu 5: Thế nào là tập hợp rỗng? Cho ví dụ thực tế?
Câu 6: Tập hợp học sinh khối 6 trường mình có bao nhiêu phần tử?
Câu 7: Một bạn khẳng định: Nếu một phần tử của tập hợp A thuộc tập hợp B
thì ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B? Em hãy cho biết ý kiến của mình?
Câu 8: Có bạn chia các dạng toán về tập hợp như sau:
– Dạng 1: Biểu diễn một tập hợp cho trước
– Dạng 2: Quan hệ giữa phần tử và tập hợp
– Dạng 3: Phần tử của tập hợp
Em có đồng ý hay phản đối? Vì sao? Em hãy chỉ định một vài bạn nêu phương
pháp giải từng dạng toán về tập hợp?
Câu 9: Tập hợp các số chẵn nhỏ hơn 100 có bao nhiêu phần tử? Nêu cách tính
số phần tử của tập hợp này? Với các tập hợp có quy luật thì cách tính số phần tử như
thế nào? Em đã học điều này ở đâu?
Câu 10: Trường mình (khu A) có 12 lớp, với 4 khối, mỗi khối có 3 lớp, mỗi
lớp được chia thành 4 tổ. Hỏi mỗi tổ là tập con của những tập hợp nào? Vì sao?
Kết quả đạt được sau hoạt động:
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá được:
– Việc nắm bắt kiến thức cũ của học sinh về tập hợp, kĩ năng tính số phần tử
của một tập hợp, quan hệ giữa phần tử với tập hợp, tập hợp với tập hợp.
– Kĩ năng tổng hợp, phân tích khi phân loại các dạng toán liên quan đến tập
hợp.
– Khả năng phản xạ, sự tự tin, hợp tác.
* Học sinh:
– Kiểm tra, đánh giá hiểu biết của chính mình về tập hợp.
– Rèn luyện khả năng phản xạ, sự tự tin, hợp tác.
– Có được tâm lý thoải mái và hứng thú khi tham gia trả lời câu hỏi cũng như
được nghe những bản nhạc mà mình yêu thích trước khi học chủ đề mới.
– Chủ động, tự giác học bài, nắm chắc kiến thức để tham gia hoạt động này.
Hình ảnh minh chứng:
13
Biến thể của trò chơi: Với bộ thẻ đó giáo viên có thể tổ chức cho học sinh
thực hiện và sáng tạo game đường đua kì thú (đua xe công thức 1, giải cứu công
chúa, giải cứu Trái Đất, truy vết bệnh nhân covid, nhanh như chớp,……..) bằng hình
thức đường đua như sau:
2.4.2. Cỏ 4 lá:
a) Mục đích:
– Kiểm tra, đánh giá việc nắm bắt cũng như giúp học sinh ôn lại những kiến
thức cũ.
– Rèn luyện các kĩ năng: đọc, nhận xét, đánh giá cá nhân, đánh giá nhóm, sự
tự tin, mạnh dạn, hợp tác.
14
– Buộc tất cả học sinh đều phải làm việc: điều khiển hoạt động, đọc câu hỏi,
trả lời, nhận xét, đánh giá câu trả lời của bạn, trợ giúp khi bạn chưa trả lời được hoặc
trả lời chưa đúng.
b) Chuẩn bị:
– Bộ thẻ gồm 5 đến 10 câu hỏi (cho mỗi bài) hoặc 10 – 20 câu hỏi khác nhau
trở lên (cho từng chủ đề bài học)
c) Các bước thực hiện:
– Học sinh ghép 4HS/ nhóm, đánh số 1, 2, 3, 4 (theo trình độ G-K-TB-Y hoặc
ghép nhóm theo sở thích….).
– Bạn thứ nhất cầm bộ thẻ câu hỏi úp xuống (không để các bạn nhìn thấy câu
hỏi) và nói: “Mời bạn chọn thẻ”.
– Học sinh 2 sẽ rút một thẻ, đọc to câu hỏi trên thẻ và nói: “Mời bạn trả lời”.
– Khi đó học sinh 3 sẽ trả lời. Khi trả lời xong sẽ nói: Mời bạn nhận xét.
– Học sinh 4 sẽ nhận xét câu trả lời của bạn.
– Sau đó bộ thẻ được chuyển sang cho bạn thứ 2 và lặp lại quá trình: rút thẻ –
đọc câu hỏi – trả lời câu hỏi – nhận xét. Đi hết 1 vòng cỏ 4 lá thì dừng lại, hoặc có
thể tiếp tục vòng 2, 3 (nếu sử dụng nhiều thẻ câu hỏi).
– Báo cáo nhóm: kết quả đạt được, bao nhiêu bạn trả lời đúng, bao nhiêu bạn
trả lời sai, nguyên nhân, cách khắc phục. Ý thức, thời gian làm việc nhóm.
– Nâng cao: mỗi nhóm chuẩn bị từ đầu năm một bộ thẻ trắng, khi tham gia trò
chơi ở bất kì tiết học nào, môn học nào, mỗi thành viên của nhóm ghi lên thẻ một
câu hỏi. Sau đó đổi bộ câu hỏi cho nhóm bạn để trả lời.
d) Kết quả đạt được:
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá học sinh về kiến thức của bài học trước:
– Các kĩ năng liên quan đến kiến thức được kiểm tra.
– Khả năng dự đoán.
– Ý thức, thái độ, sự hợp tác khi làm việc nhóm.
* Học sinh:
– Kiểm tra, đánh giá được việc nắm bắt kiến thức cũ của mình và của bạn.
– Đánh giá được khả năng: đọc, nhận xét, đánh giá câu trả lời của bạn, đánh
giá nhóm, sự tự tin, mạnh dạn, hợp tác.
– Buộc phải học chắc chắn bài cũ để tham gia hoạt động.
– Kĩ năng đặt câu hỏi khi thiết kế bộ câu hỏi cho mỗi bài học cụ thể.
e) Minh chứng:
15
Ví dụ: tiết 10: “Khi nào AM + MB = AB” Tôi đã xây dựng bộ thẻ câu hỏi để
tổ chức hoạt động khởi động tạo tình huống có vấn đề hình thành kiến thức mới như
sau:
1. Đoạn thẳng EF là gì?
2. Nêu cách đo độ dài đoạn thẳng AB?
3. Vẽ đoạn thẳng MN. Thực hành đo đoạn thẳng ấy?
4. Với thước kẻ học sinh có GHĐ là 30cm, hãy nêu phương án của em để đo
độ dài một đoạn thẳng dài hơn thước (hoặc đo chiều rộng, chiều dài của bàn học sinh
em đang ngồi?)
Câu hỏi tạo tình huống là câu số 4. Các nhóm trả lời xong sẽ báo cáo kết quả
và nêu phương án của nhóm mình.
Giáo viên căn cứ vào kết quả các nhóm để tạo tình huống vào bài mới:
Chẳng hạn HS trả lời chia nhỏ đoạn thẳng ra thành nhiều đoạn ngắn hơn thước,
đo các đoạn ấy, rồi cộng các đoạn lại với nhau ta sẽ được độ dài đoạn thẳng ban
đầu……
GV nêu tình huống: khẳng định của em có đúng không? Khi nào thì vận dụng
được điều đó? Chúng ta cùng tìm hiểu qua bài học: “Khi nào AM + MB = AB”
Hình ảnh minh chứng:
16
2.4.3. Đấu trường 100:
a) Mục đích:
– Kiểm tra đánh giá được nhiều đơn vị kiến thức và kiểm tra được tất cả các
học sinh trong lớp.
– Học sinh tham gia tích cực hơn vào việc trả lời các câu hỏi.
– Học sinh rèn luyện phản xạ nhanh khi thi đấu.
– Buộc tất cả học sinh đều phải trả lời tất cả các câu hỏi để tham gia hoạt động.
– Ứng dụng hoạt động này trong bài dạy khi mỗi HS không có 1 bảng chọn
thông minh.
– Tồn tại: việc thống kê tỉ lệ chọn các phương án sẽ mất nhiều thời gian hơn.
b) Chuẩn bị:
– Powerpoint các câu hỏi, bài tập trắc nghiệm và 4 đáp án A, B, C, D tương
ứng.
– Các bộ thẻ A, B, C, D được mỗi học sinh chuẩn bị ngay từ đầu năm học (học
sinh có thể sáng tạo màu sắc, hình dạng của bộ thẻ chọn).
c) Các bước thực hiện:
Học sinh có thể hoạt động cá nhân (đấu với cả lớp), theo nhóm hoặc toàn lớp
(tất cả các HS đều trả lời, không thi đấu).
* Thi đấu 1 với cả lớp hoặc giữa các nhóm
1. Bắt đầu trò chơi và nhấp vào các câu hỏi theo thứ tự.
2. Yêu cầu học sinh (các nhóm) trả lời câu hỏi bằng cách đưa ra 1 trong các
thẻ A, B, C, D.
3. Nếu trả lời đúng học sinh (nhóm) sẽ được trả lời các câu hỏi tiếp theo và
phần thưởng sẽ tăng lên. Nếu trả lời sai, học sinh (nhóm) phải dừng lại.
4. Khi câu trả lời đúng được chọn, một slide mới xuất hiện, và chuyển tiếp
sang câu hỏi mới.
* Cả lớp cùng tham gia hoạt động
1. Bắt đầu trò chơi và nhấp vào các câu hỏi theo thứ tự.
17
2. Yêu cầu học sinh toàn lớp trả lời câu hỏi bằng cách giơ lên 1 trong các thẻ
A, B, C, D.
3. Giáo viên tổng hợp kết qủa bằng cách đếm số thẻ đúng xuất hiện, hoặc theo
số thẻ A, B, C, D.
4. Khi câu trả lời đúng được chọn, một slide mới xuất hiện, và chuyển tiếp
sang câu hỏi mới.
– Cá nhân hoặc nhóm HS chọn phương án với đáp án, giáo viên sẽ yêu cầu
học sinh giải thích tại sao lại chọn phương án đó, cho học sinh nhận xét lời giải thích
của bạn, tranh biện và chốt kiến thức cơ bản.
d) Kết quả đạt được:
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá học sinh về kiến thức được đưa ra:
– Các kĩ năng liên quan đến kiến thức được kiểm tra.
– Tự tin, mạnh dạn.
* Học sinh:
– Kiểm tra, đánh giá được việc nắm bắt kiến thức cũ của mình.
– Buộc phải học chắc chắn bài cũ để tham gia hoạt động.
e) Minh chứng:
Tiết 4 bài 4: “Số phần tử của một tập hợp, tập hợp con” hoạt động luyện tập,
ứng dụng tôi đã thiết kế như sau:
Bộ bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} và tập hợp B = {3; 4; 5}. Kết luận
nào sau đây đúng?
A. A ⊂ B B. B ∈ A C. B ⊂ A D. A ∈ B
Câu 2: Cho tập hợp M = {0; 2; 4; 6; 8}. Kết luận nào sau đây sai?
A. 0 ⊂ M B. {2; 4} ⊂ M C. 2 ∈ M D. 7 ∉ M
Câu 3: Cho tập hợp A = {x ∈ N|2 < x ≤ 7}. Kết luận nào sau đây không
đúng?
A. 2 ∈ A
B. Tập hợp B gồm có 5 phần tử.
C. 7 ∈ A
D. Tập hợp A gồm các số tự nhiên lớn hơn 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 7
Câu 4: Viết tập hợp con khác tập hợp rỗng của tập hợp A = {3; 5}
A. {3}; {3; 5} B. {3}; {5} C. {3}; {5}; {3; 5} D. {3; 5}
Câu 5: Dùng ba chữ số 0; 4; 6 để viết tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau. Tập hợp này có bao nhiêu phần tử?
18
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5
Câu 6: Cho tập hợp A = {x ∈ N|1990 ≤ x ≤ 2009}. Số phần tử của tập hợp
A là?
A. 20 B. 21 C. 19 D. 22
Câu 7: Tập hợp C là số tự nhiên x thỏa mãn x – 10 = 15 có số phần tử là?
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 8: Số phần tử của tập hợp P gồm các chữ cái của cụm từ “CORONA”
A. 8 B. 9 C. 6 D. 7
Bộ thẻ:
Kết quả đạt được
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá được:
– Sự nhận biết của HS về một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần
tử, có thể có vô số phần tử cũng có thể không có phần tử nào. Hiểu được khái niệm
tập hợp con.
– Kỹ năng tìm số phần tử của một tập hợp, biết kiểm tra một tập hợp là tập
hợp con hoặc không là tập hợp con của một tập hợp cho trước, biết viết một vài tập
con của một tập hợp cho trước, biết sử dụng đúng các ký hiệu , ∈
– Đánh giá ý thức, thái độ sự hợp tác khi làm việc nhóm.
– Giáo viên kiểm tra, đánh giá việc nắm vững kiến thức cũ của tất cả học sinh
toàn lớp chỉ trong một thời gian ngắn. Đánh giá ý thức, thái độ sự hợp tác khi làm
việc nhóm.
* Học sinh:
– Học sinh kiểm tra, đánh giá được việc nắm bắt kiến thức của chính mình.
– Học sinh sự tự tin, mạnh dạn, hợp tác (với hình thức nhóm).
– Học sinh tích cực ôn tập và củng cố vững chắc các kiến thức đã được học để
tự tin hơn khi tham gia hoạt động.
19
Hình ảnh minh chứng:
20
21
Thống kê kết quả chọn đúng sai
22
2.4.4. Thảo luận
a) Mục đích:
– Thảo luận là một hoạt động hiệu quả trong việc giúp học sinh thu thập thông
tin, đưa ra quan điểm dưới nhiều góc nhìn và biết cách trình này quan điểm của bản
thân, thuyết phục người khác.
b) Chuẩn bị
– Giáo viên cần chuẩn bị các nội dung thảo luận theo bài học hoặc chủ đề.
– Lớp học được chia thành những nhóm từ 2 đến 6 người ngẫu nhiên hoặc có
chủ định, được duy trì ổn định trong cả tiết học hoặc thay đổi theo từng hoạt động,
từng phần của tiết học, các nhóm được giao nhiệm vụ giống nhau hoặc mỗi nhóm
nhận một nhiệm vụ khác nhau, là các phần trong một chủ đề chung.
c) Các bước thực hiện
Bước 1. Làm việc chung cả lớp
GV giới thiệu nội dung thảo luận, xác định nhiệm vụ nhận thức.
– Tổ chức các nhóm thảo luận, giao nhiệm vụ cho các nhóm, quy định thời
gian và phân công vị trí làm việc cho các nhóm.
– Hướng dẫn cách làm việc (nếu cần).
Bước 2. Thảo luận theo nhóm
– Lập kế hoạch làm việc.
– Thỏa thuận quy tắc làm việc.
– Phân công trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập.
– Trao đổi ý kiến, thảo luận trong nhóm.
– Đào tạo nội bộ, bất kì thành viên nào của nhóm cũng sẵn sàng báo cáo,
thuyết trình kết quả làm việc của nhóm trước lớp.
Bước 3. Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp
– Thành viên từng nhóm (được gọi ngẫu nhiên) báo cáo, thuyết trình kết quả
thảo luận của nhóm.
– Các nhóm khác quan sát, lắng nghe, tham gia thảo luận theo nguyên tắc 3-
2- 1.
– GV tổng kết và nhận xét, đặt vấn đề cho bài tiếp theo hoặc vấn đề tiếp theo.
d) Kết quả đạt được:
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá học sinh về
– Kĩ năng nghiên cứu tài liệu, diễn giải, đưa quan điểm, đánh giá và phản hồi.
– Khả năng đưa ra các lập luận.
– Kĩ năng phân công công việc, quản lý tiến độ, quản lý tiếng ồn khi hoạt động
23
nhóm.
– Sự tham gia vào hoạt động và ghi chép.
e) Minh chứng:
Trong bài: “Đoạn thẳng” tiết 7 hình học 6.
Tôi cho HS thảo luận để làm bài tập sau:
Bài toán: Thảo luận để hoàn thành bảng sau và trả lời câu hỏi: Qua bài tập này
em rút ra được điều gì?

Tên đoạn thẳng	Hình vẽ	Hai mút
Đoạn thẳng MN
P . . Q
Hai mút E, F

Kết quả đạt được
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá được:
– Sự nhận biết của học sinh về đoạn thẳng, kĩ năng vẽ hình, đọc hình của học
sinh.
– Đánh giá ý thức, thái độ sự hợp tác khi làm việc nhóm.
* Học sinh:
– Học sinh kiểm tra, đánh giá được việc nắm bắt kiến thức của chính mình:
Biết tên đoạn thẳng -> vẽ được hình, nêu được 2 mút của đoạn thẳng.
Cho biết hình vẽ -> đọc tên đoạn thẳng, nêu được 2 mút của đoạn thẳng.
Cho biết 2 mút -> vẽ được hình và đọc được tên đoạn thẳng.
– Học sinh sự tự tin, mạnh dạn, hợp tác (với hình thức nhóm).
2.4.5. Sơ đồ tư duy
Sơ đồ tư duy còn gọi là bản đồ tư duy, lược đồ tư duy,… là hình thức ghi chép
nhằm tìm tòi, đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch
kiến thức,… bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu
sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực.
a) Mục đích:
24
– Kiểm tra, đánh giá khả năng liên kết xâu chuỗi kiến thức, kĩ năng lập bản đồ
tư duy, sự hợp tác và làm việc nhóm.
– Có thể vận dụng để hỗ trợ dạy học kiến thức mới, củng cố kiến thức sau mỗi
tiết học, ôn tập hệ thống hóa kiến thức sau mỗi chương, mỗi học kỳ…
– Giúp học sinh xác định các thuật ngữ, từ khóa, chỉ ra được mối quan hệ tầng
bậc giữa các nội dung kiến thức.
– Học sinh thể hiện năng lực tư duy của bản thân mình thông qua khả năng
liên kết giữa các hình ảnh, ý tưởng, thể hiện năng khiếu hội họa…
b) Chuẩn bị:
– Giấy khổ A0, A1, A2 hoặc A3, bìa các tông hoặc vỏ hộp các loại hộp giấy….
– Bút màu, chì màu, bút dạ.
– Giấy note.
– Nam châm bảng.
c) Các bước thực hiện:
1. Hướng dẫn học sinh về cách vẽ sơ đồ tư duy, cách thể hiện các ý chính, ý
nhánh và ý phụ thuộc.
2. Yêu cầu học sinh đọc nội dung sách giáo khoa/ tài liệu/ văn bản.
3. Chia học sinh thành các nhóm/ làm việc cá nhân, tóm tắt lại nội dung bằng
sơ đồ tư duy theo các cách khác nhau.
4. Giáo viên có thể cho học sinh thuyết trình hoặc dùng kỹ thuật phòng tranh,
trạm, lẩu băng truyền….. để học sinh di chuyển, đánh giá đồng đẳng các nhóm (bằng
sticker mặt mếu, mặt cười), không đánh giá nhóm mình.
d) Kết quả đạt được:
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá học sinh về:
– Thao tác tư duy của việc lập sơ đồ.
– Kĩ năng ghi chép thông minh.
– Việc nhận ra mối quan hệ giữa ý chính và ý phụ thuộc.
– Sự tham gia vào hoạt động và ghi chép.
– Kĩ năng phân công công việc, quản lý tiến độ, quản lý tiếng ồn khi hoạt động
nhóm.
e) Minh chứng:
Ví dụ về một mẫu sơ đồ tư duy của bài lũy thừa với số mũ tự nhiên
25
Bài thứ tự thực hiện các phép tính, tôi cho HS hoạt động nhóm 4 HS, yêu cầu
hoạt động nhóm: phân loại biểu thức và vẽ sơ đồ tư duy quy ước thực hiện các phép
tính với mỗi loại biểu thức.
Trong bài lũy thừa với số mũ tự nhiên, nhân 2 chia lũy thừa cùng cơ số, hoạt
động luyện tập ứng dụng, tôi cho học sinh làm việc cá nhân hoàn thành sơ đồ tư duy
theo mẫu.
26
Kết quả đạt được
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá được:
– Kĩ năng tổng hợp kiến thức đã học của HS về quy ước thứ tự thực hiện các
phép tính.
– Kĩ năng khái quát kiến thức về lũy thừa, nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số.
– Đánh giá ý thức, thái độ sự hợp tác khi làm việc nhóm.
* Học sinh:
– Học sinh kiểm tra, đánh giá được việc nắm bắt kiến thức của chính mình:
– Học sinh tổng hợp được kiến thức đã học về quy ước thứ tự thực hiện các
phép tính.
– Kĩ năng khái quát được kiến thức về lũy thừa, nhân, chia hai lũy thừa cùng
cơ số.
– Rèn luyện ý thức, thái độ sự hợp tác khi làm việc nhóm.
Hoặc trước mỗi bài học, tôi giao nhiệm vụ về nhà cho học sinh làm sơ đồ tư
duy của mỗi bài, cho các con báo cáo trước lớp và chấm chéo cho nhau:
27
28
Hoặc poster tóm tắt kiến thức của chương
29
Một số học sinh đã thực hiện làm sách, sách song ngữ Việt – Anh, sáng tác
truyện tranh để tóm tắt kiến thức toàn chương. Sản phẩm này không những thể
hiện sự sáng tạo của các em mà còn có thể mang lại lợi nhuận về mặt kinh tế.
30
31
32
Sách truyện song ngữ
33
34
Kết quả đạt được
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá được:
– Kĩ năng tổng hợp kiến thức đã học của HS.
– Đánh giá ý thức, thái độ việc chuẩn bị bài trước khi học bài tiếp theo.
– Năng lực hợp tác, sáng tạo, làm việc nhóm, đánh giá và phản hồi của học
sinh
* Học sinh:
– Học sinh tóm tắt các kiến thức chính của bài học, của chương.
– Có cơ hội sáng tạo những sơ đồ tư duy, những sản phẩm mang tính thẩm mĩ
và kinh tế.
2.4.6. Mảnh ghép
a) Mục đích:
– Kiểm tra mức độ hiểu bài và ghi nhớ kiến thức của học sinh
– Ôn lại kiến thức nền.
b) Chuẩn bị:
Các mảnh ghép
c) Các bước thực hiện:
35
Bước 1: Phát các bộ mảnh ghép cho học sinh.
Bước 2: Thực hiện ghép các mảnh ghép theo luật chơi.
Bước 3: Thực hiện đào tạo nội bộ, báo cáo trước lớp (giáo viên gọi ngẫu nhiên
theo vòng quay hoặc dùng https://www.online-stopwatch.com/).
d) Kết quả đạt được:
– Thông qua hoạt động này giáo viên có thể kiểm tra được tất cả các học sinh
trong lớp (2 học sinh/1 bộ mảnh ghép).
– Lồng ghép các thông điệp sau mỗi trò chơi, ví dụ trò chơi mảnh ghép “ong
xây tổ”, thông điệp là bài học từ những chú ong: trên con đường dẫn tới thành công,
không có dấu chân của kẻ lười biếng, hoặc trò chơi mảnh ghép “trái tim yêu thương”
bài học: không ai yêu bằng nửa trái tim: học tập cũng vậy không có một nửa của sự
học, nên: hãy học tập bằng tất cả tình yêu từ trái tim mình.
e) Minh chứng:
Học sinh thực hiện ôn lại kiến thức nền thông qua trò chơi “Ong xây tổ” và
trò chơi “Trái tim yêu thương”
36
37
38
Biến thể của trò chơi: chia nhóm 4 học sinh (gồm HS giỏi, khá, trung bình
và yếu, có cả học sinh ngoan và cá biệt) yêu cầu các nhóm tự làm bộ trò chơi của
nhóm mình, đưa ra luật chơi, thực hiện chơi trò chơi của chính nhóm mình.
Sau đó giáo viên tổ chức cho HS thực hiện theo trạm: các nhóm chuyển trò
chơi của nhóm mình cho nhóm khác, nhận trò chơi của nhóm bạn, thực hiện chơi,
sau đó ngoài việc chấm điểm, thưởng quà, thưởng sao…. Các thành viên cần thực
hiện nhận xét, đánh giá về trò chơi của nhóm bạn mà mình vừa chơi theo hình thức
3-2-1 (3 điều học được qua trò chơi này, 2 điều góp ý để nhóm bạn hoàn thiện trò
chơi sao cho hấp dẫn hơn, tăng tính khó và sáng tạo, 1 điều cần hỏi nhóm bạn)
2.4.7. Bài kiểm tra tích hợp liên môn
a) Mục đích:
– Kiểm tra mức độ hiểu bài và ghi nhớ kiến thức của học sinh
– Tích hợp kiến thức các môn học như: Địa lý, Mĩ thuật, Giáo dục công dân,
Sinh học, Vật lý, Ngoại ngữ……..
– Phát triển phẩm chất yêu nước, yêu hòa bình, ý thức giữ gìn và bảo vệ môi
trường.
b) Chuẩn bị:
Phiếu học tập hoặc các bài kiểm tra.
Ví dụ: Trong tiết luyện tập tính chất phép nhân các số nguyên, tôi đã thiết kế
mẫu phiếu học tập tích hợp mỹ thuật, địa lý và giáo dục công dân như sau:
39
c) Các bước thực hiện:
Bước 1: Phát phiếu học tập cho học sinh.
Bước 2: Thực hiện các nội dung được ghi sẵn trên phiếu học tập hoặc bài kiểm
tra.
Bước 3: Tô màu theo kết quả vừa thực hiện.
Bước 4: Viết bài học bản thân hiểu được qua bức vẽ vừa hoàn thành.
d) Kết quả đạt được:
Thông qua hoạt động này giáo viên vừa kiểm tra được mức độ vận dụng kiến
thức của học sinh, vừa tích hợp được với một số môn học khác, vừa giáo dục cho
các em ý thức đoàn kết bảo vệ Trái Đất hòa bình, không rác thải.
e) Minh chứng:
40
41
2.4.8. Kim tự tháp 3-2-1
a) Mục đích: Trò chơi được thiết kế vào cuối giờ trong hoạt động củng cố
nhằm:
– Kiểm tra mức độ hiểu bài và ghi nhớ kiến thức của học sinh.
– Thu được phản hồi từ phía học sinh để giáo viên có sự điều chỉnh cho phù
hợp.
– Giúp học sinh có cơ hội nhìn lại kiến thức của toàn bài, thêm ghi nhớ kiến
thức.
– Biết lựa chọn kiến thức trọng tâm, và đưa ra ý kiến/ quan điểm cá nhân.
b) Chuẩn bị:
Phiếu học tập theo mẫu 3 – 2 – 1, kim tự tháp 3 – 2 – 1
c) Các bước thực hiện:
Bước 1: Sau bài học giáo viên phát phiếu học tập cho học sinh.
Bước 2: Điền phiếu. Yêu cầu học sinh ghi lại 3 điều mà học sinh đã học được
từ bài học ngày hôm nay vào mục có số 3. Ghi lại 2 điều mà học sinh thấy thú vị và
muốn tìm hiểu thêm vào mục số 2. Và viết ra 1 câu hỏi mà HS còn băn khoăn vào
mục số 1 hoặc một câu hỏi bất kì về bài học mà học sinh có.
Bước 3: Tổng kết cuối cùng, bước quan trọng nhất là xem xét các câu trả lời
của học sinh. Tôi đã sử dụng thông tin này để giúp phát triển các bài học tiếp theo
và xác định xem một số vấn đề nào cần phải được nhắc lại.
Hoặc đối với mẫu phiếu kim tự tháp 3-2-1 theo thứ tự từ đáy lên đỉnh, em hãy
viết ra 3 điều mà em học được sau bài học hôm nay? 2 câu hỏi em có về bài học? Và
1 điều từ bài học hôm nay mà em có thể áp dụng được vào thực tế cuộc sống?
d) Kết quả đạt được:
– Thông qua hoạt động này giáo viên cung cấp cho học sinh một form mẫu
ghi lại và tóm tắt kiến thức trong bài học. Đồng thời thông qua đó giáo viên cũng
biết được nên điều chỉnh việc giảng dạy theo hướng nào cho phù hợp với học sinh
của mình.
– Mục đích hoạt động được tổ chức vào cuối giờ trong hoạt động củng cố
nhằm: Kiểm tra mức độ hiểu bài và ghi nhớ kiến thức của học sinh. Thu được phản
hồi từ phía học sinh để có sự điều chỉnh cho phù hợp. Giúp học sinh có cơ hội nhìn
lại kiến thức của toàn bài, thêm ghi nhớ kiến thức. Biết lựa chọn kiến thức trọng tâm,
và đưa ra ý kiến/ quan điểm cá nhân.
e) Minh chứng:
Mẫu phiếu:
42

Hãy viết 3 điều mà em đã học được sau bài học ngày hôm nay: 1.______________________________________________________________ _________________________________________________________________ 2._______________________________________________________________ _________________________________________________________________ 3._______________________________________________________________ _________________________________________________________________ Hãy viết 2 điều mà em thấy thú vị nhất trong bài học ngày hôm nay: 1._______________________________________________________________ _________________________________________________________________ 2._______________________________________________________________ _________________________________________________________________ Hãy viết 1 câu hỏi mà em có đối với bài học ngày hôm nay: 1._______________________________________________________________ _________________________________________________________________

43
Minh chứng: Sau bài ước và bội, tôi kiểm tra đánh giá HS bằng hình thức 3-
2-1. Lớp 6B không có phiếu sẵn, lớp 6C không phát phiếu (do đó tại lớp 6C, tôi
không kiểm tra được chắc chắn mức độ tiếp thu bài của học sinh đồng thời cũng
không nắm bắt được phản hồi từ phía các em).
44
45
Kết quả đạt được
* Giáo viên kiểm tra, đánh giá được:
– Kĩ năng tổng hợp kiến thức đã học của HS về khái niệm ước, bội, cách tình
ước, bội của một số tự nhiên bất kì.
– Kĩ năng khái quát kiến thức về lũy thừa, nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số.
– Đánh giá ý thức, thái độ sự hợp tác khi làm việc nhóm.
* Học sinh:
– Học sinh kiểm tra, đánh giá được việc nắm bắt kiến thức: khái niệm ước,
bội, cách tình ước, bội của một số tự nhiên bất kì, kiến thức về lũy thừa, nhân, chia
hai lũy thừa cùng cơ số.
2.4.9 Vé ra cửa:
a) Mục đích: Trò chơi được thiết kế vào cuối giờ trong hoạt động củng cố
nhằm:
– Kiểm tra mức độ hiểu bài và ghi nhớ kiến thức của học sinh
– Giúp học sinh có cơ hội nhìn lại kiến thức của toàn bài, thêm ghi nhớ kiến
thức
b) Chuẩn bị: Các tấm vé để học sinh điền thông tin.
c) Các bước thực hiện:
– Bước 1: Phát vé: Giáo viên có thể lựa chọn nội dung, câu hỏi, ý kiến để in
trên vé và yêu cầu học sinh bình luận, trả lời, phản hồi vào vé.
– Bước 2: Thu vé: Yêu cầu học sinh trong thời gian nhất định phải hoàn thành
vé và nộp lại cho giáo viên tại cửa trước khi ra hoặc để vào một vị trí quy định trước.
– Bước 3: Tổng hợp vé Kiểm tra vé cẩn thận. Tùy thuộc vào mục đích của
giáo viên, có thể sắp xếp vé thành các nhóm – ví dụ: Vé chứng minh học sinh đã nắm
được nội dung, vé cho thấy học sinh không hiểu và vé thể hiện sự không chắc chắn.
46
Giáo viên có thể bắt đầu bài học tiếp theo với các vé phản hồi thú vị hoặc với một
biểu đồ cho thấy số lượng và mức độ nắm kiến thức của học sinh thông qua các phản
hồi.
d) Kết quả đạt được:
– Thông qua hoạt động này giáo viên có thể biết được những điều học sinh
đang nghĩ và mức độ hiểu bài của học sinh. Trước khi học sinh rời khỏi lớp (để giải
lao, cuối ngày hoặc đang chuyển sang một môn học khác), học sinh phải trao lại cho
giáo viên một tấm vé có viết một câu trả lời cho một câu hỏi, một giải pháp cho một
vấn đề, hoặc với những gì đã học được. Tấm vé này giúp giáo viên đánh giá mức độ
nắm kiến thức của học sinh và có thể dựa vào đó để lên kế hoạch cho bài học tiếp
theo. Mục đích hoạt động này được thực hiện vào cuối giờ học nhằm mục đích: Giúp
học sinh có cơ hội suy ngẫm và thể hiện những gì mình đã học được trong bài học.
Giúp giáo viên thu được phản hồi trên toàn lớp học, nhận ra những vấn đề/lỗi sai mà
học sinh mắc phải để khắc phục trong tiết học tiếp theo. Giáo viên có thể sử dụng
các tấm vé này để bắt đầu hoạt động khởi động cho tiết học tiếp theo. Là bằng chứng
về mức độ nắm kiến thức của học sinh so với mục tiêu bài học mà giáo viên đưa ra
đầu giờ.
e) Minh chứng:
Mẫu vé:
Hoạt động luyện tập ứng dụng của bài nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số
47
48
Một số hình thức kiểm tra đánh giá trên đây không chỉ áp dụng đối với môn
Toán 6 mà có thể áp dụng đối với các môn học khác ở cấp THCS, các khối lớp và
các cấp học Tiểu học, THPT.
Ngoài việc dạy thực nghiệm ở ba lớp 6A, 6B, 6C do tôi trực tiếp dạy toán, tôi
còn thực nghiệm dạy ở lớp 7A với kế hoạch bài dạy như sau:
KẾ HOẠCH BÀI HỌC MÔN TOÁN 7
Họ và tên giáo viên: Đoàn Thị Phương
Đơn vị công tác: Trường THCS TT Cát Thành
CHƯƠNG II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
TIẾT 22 – §1: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
I. Mục tiêu
1. Kiến thức
– Hình thành những mô hình thực tế dẫn đến định nghĩa đ

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Toán học là một môn khoa học rất quan trọng trong tất cả các lĩnh vực.
Trong bất kì hoàn cảnh nào chúng ta cũng không thể thiếu kiến thức về Toán.
Nghiên cứu về Toán cũng là nghiên cứu một phần của thế giới.
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng, tính
logíc cao. Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp Giáo dục và Đào tạo
cũng đổi mới không ngừng. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 đã
được Hội nghị trung ương 8 (khoá XI) thông qua, đề ra quan điểm chỉ đạo về
đổi mới căn bản toàn diện Giáo dục và Đào tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệp
hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ
nghĩa.
Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện
cho các em học sinh học tốt các môn học khác.
Với phân môn Hình học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả
năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Đặc biệt là rèn luyện cho học sinh khá, giỏi nâng cao được năng lực tư duy,
tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài toán. Vì vậy bộ môn
Hình học càng có ý nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em học sinh một số kiến thức cơ bản
thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải
biết rèn luyện khả năng sáng tạo, khả năng nghiên cứu sâu bài toán, khả năng
biết sử dụng kết quả những bài toán đã làm được để giải quyết các bài toán
khác. Với bộ môn Hình học việc rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và
phán đoán lôgíc là rất quan trọng. Một trong những nội dung khó của phân môn
Hình học lớp 9 đó là các bài toán liên quan đến các đường đặc biệt. Đây là dạng
toán thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh.
Trong các đường thẳng đặc biệt đó thì đường thẳng Simson có nhiều
ứng dụng không chỉ trong việc giải toán mà còn giúp giáo viên và học sinh
sáng tạo trong việc ra đề bài theo mức độ khó dễ khác nhau, giúp nâng cao
năng lực tư duy cho học sinh không chỉ ở cấp THCS mà còn ở các cấp học
cao hơn.
Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tế, đặc biệt là qua nhiều năm làm
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh tiếp cận các bài toán
dạng này chưa hiệu quả, thiếu định hướng. Chính vì các lí do đó, tôi chọn đề
3
tài “Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson trong bồi dưỡng
học sinh giỏi môn Toán lớp 9” để nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khái niệm, các tính chất
hình học của đường thẳng Simson. Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải
quyết các bài tập hình học lớp 9.
Thông qua việc nghiên cứu để góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả
dạy và học môn hình học trong nhà trường, nâng cao hơn nữa chất lượng bồi
dưỡng học sinh giỏi.
B. Mô tả giải pháp kỹ thuật:
I. Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến:
– Trước khi áp dụng sáng kiến ” Một số kinh nghiệm ứng dụng đường
thẳng Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9” tôi thường
chỉ chú trọng cho học sinh giải các bài tập một cách đơn lẻ, chưa có nhiều sự
liên hệ giữa các bài tập với nhau.
– Chưa quan tâm nhiều đến những đường đặc biệt trong hình vẽ, chưa tạo
ra được nhiều tình huống có vấn đề, chưa tạo ra được nhiều hứng thú trong
học tập cho học sinh.
II. Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi có sáng kiến:
1. Giải pháp thực hiện:
– Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến đường thẳng
Simson.
– Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát, dự đoán tiếp cận lời giải.
– Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản, vận
dụng những kết quả đã chứng minh được vào giải quyết các vấn đề có liên
quan.
2. Kiến thức cần truyền đạt:
Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện được khả năng sáng tạo, biết
phát hiện ra những đường đặc biệt trong hình vẽ, biết sử dụng kết quả bài toán
đã làm được vào việc giải quyết các bài toán khác. Trong đề tài này do khuôn
khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản và một số bài tập
điển hình cho dạng toán.
3. Tổ chức thực hiện:
3.1. Đường thẳng Simson:
4
Bài toán 1. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm tuỳ ý trên
đường trong (O). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên BC, AC,
AB. Chứng minh rằng: Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
O
M
F
E
D
B C
A
Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc cung BC không chứa A.
Xét tứ giác BFMD có MDB MFB       90 90 180 0 0 0
Dó đó tứ giác BFMD nội tiếp đường tròn
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFMD có MDF  và MBF  là 2 góc nội tiếp
cùng chắn MF  nên MDF MBF    (1)
Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O). Suy ra  ABM ACM    1800
Ta có MBF ABM     1800 (Tổng hai góc kề bù)
Suy ra MBF ACM    hay MBF ECM   (2)
Từ (1) và (2) suy ra MDF ECM    (3)
Ta có MDC MEC     900
Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC
Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn
5
Suy ra ECM MDE     1800 (4)
Từ (3) và (4) suy ra MDE MDF     1800
Suy ra 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
* Đường thẳng đi qua 3 điểm D, E, F gọi là đường thẳng Simson của
ABC ứng với điểm M.
* Vấn đề đặt ra là: Cho ABC , M là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa
tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB và
D, E, F thẳng hàng thì điểm M có nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC hay không?
O
M
F
E
D
B C
A
Ta có MD BC ME AC MF AB    ; ; (gt)
Suy ra MDB MFB MDC MEC      90 ; 90 ; 90 ; 90 0 0 0 0   
Xét tứ giác MDBF có MDB MFB       90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác MDBF nội tiếp đường tròn.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDBF có BMF  và BDF  là 2 góc nội tiếp
cùng chắn BF  .
Suy ra BMF  = BDF  (1)
Ta có MDC MEC     900
6
Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC
Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDEC có EDC  và EMC  là 2 góc nội tiếp
cùng chắn CE .
Suy ra EDC  = EMC  (2)
Ta có 3 điểm D, E, F thẳng hàng nên EDC BDF   
Suy ra EMC BMF   
Suy ra EMC BME BMF BME       
Suy ra BMC EMF   
Xét tứ giác AEMF có  AEM AFM      90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác AEMF nội tiếp đường tròn
Suy ra  A EMF    1800
Mà BMC EMF    (cmt)
Suy ra  A BMC    1800
Suy ra tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn.
Suy ra M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ đó ta có bài toán 2 như sau:
Bài toán 2. Cho ABC , M là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác
ABC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB và D, E, F
thẳng hàng. Chứng minh điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Từ hai bài toán trên ta có kết quả:
Cho tam giác ABC , M là điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác
và không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi D E F , , lần lượt là hình
chiếu của M trên ba cạnh của tam giác ABC . Điều kiện cần và đủ để
7
điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3 điểm D E F , ,
thẳng hàng.
Như vậy với mỗi điểm M ta có một đường thẳng Simson đối với tam giác
ABC
– Ở bài toán 1: Trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì
đường thẳng Simson của ABC ứng với điểm M có gì đặc biệt?
Trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì AM là đường kính
của đường tròn (O) và điểm M thuộc đường tròn (O).
Áp dụng hệ quả góc nội tiếp ta có ABM ACM   90 ; 90 0 0 
Suy ra MB AB MC AC   ;
Suy ra E trùng với B; F trùng với C
Khi đó 3 điểm D, E, F cùng nằm trên đường thẳng BC
Vậy trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì đường thẳng
Simson của ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng BC
Tương tự trong trường hợp điểm M đối xứng với B qua O thì đường
thẳng Simson của ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng AC.
8
Trong trường hợp điểm M đối xứng với C qua O thì đường thẳng Simson
của ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng AB
– Ở bài toán 1: Trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC
không chứa A và ABC vuông tại A thì đường thẳng Simson của ABC
ứng với điểm M và tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC có mối qua hệ
đặc đặc biệt gì?
Trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A và
ABC vuông tại A thì BC là đường kính của đường tròn (O) và MO vuông
góc với BC tại O.
Suy ra D trùng với O
Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm D, E, F thẳng hàng
Vậy trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A
và ABC vuông tại A thì đường thẳng Simson của ABC ứng với điểm M
đi qua tâm của đường trong ngoại tiếp ABC
3.2. Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải các bài toán hình học lớp 9
a. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh 3
điểm thẳng hàng
9
Bài 3.2.1. Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường kính
AD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB và AD . Lấy
M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm E, M, F thẳng hàng.
Phân tích: Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên AB và AD
nên ta sẽ nghĩ đến đường thẳng Simson của ABD ứng với điểm C. Việc còn
thiếu chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng BD gợi ý cho
chúng ta vẽ thêm đường phụ để sử dụng đường thẳng Simson
Cách 1: G
F
E
D
O
B M C
A
Gọi G là hình chiếu vuông góc của C trên BD
Nên E, F, G thẳng hàng (đường thẳng Simson)
Xét tứ giác BECG có CEB EBG BGC       900
Do đó tứ giác BECG là hình chữ nhật
Do đó 2 đường chéo EG và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra EG đi qua M
Suy ra 3 điểm E, M, F thẳng hàng.
Cách 2:
10
F
E
D
O
B M C
A
Tứ giác FEAC nội tiếp đường tròn
Suy ra FEC FAC    (1)
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
Suy ra FAC CBD    (2)
CE BD / / . Suy ra CBD BCE    (3)
Ta dễ dàng chứng minh được ME = MC. Suy ra MEC cân tại M
Suy ra BCE MEC    (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra FEC MEC   
Suy ra 2 tia FE và ME trùng nhau
Suy ra 3 điểm E, M, F thẳng hàng.
* Qua 2 cách làm trên ta thấy việc kẻ thêm đường phụ để ứng dụng
đường thẳng Simson vào giải toán giúp cho chúng ta dễ dàng tìm ra cách
chứng minh hơn.
Bài 3.2.2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm nằm trên đường
tròn. Đường phân giác của  ACB cắt đường tròn (O) tại M. Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của M trên BC và CA. Chứng minh 3 điểm O, D, E thẳng
hàng.
11
D
M
E
O
C
B
A
Phân tích: Vì D và E lần lượt là hình chiếu của M trên BC và CA nên chỉ
việc chứng minh MO vuông góc với AB ta sẽ có đường thẳng Simson của
ABC ứng với điểm M
Giải:
Xét đường tròn (O) có CM là phân giác của  ACB suy ra  ACM BCM  
Suy ra MA MB   
Suy ra MO AB 
Ta có MD BC ME AC   ; (gt)
Theo kết quả bài toán 1 ta có 3 điểm D, O, E thẳng hàng (Đường thẳng
Simson của điểm M đối với tam giác ABC)
Bài 3.2.3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm
trên cung BC không chứa A. Đường tròn (I) đường kính MB và đường tròn
(J) đường kính MC cắt nhau ở K. Đường tròn (I) đường kính MB cắt AB tại P
(P khác B). Đường tròn (J) đường kính MC cắt AC tại Q (Q khác C). Chứng
minh 3 điểm P, K, Q thẳng hàng.
12
K
O
J
I
P
Q
M
B C
A
Phân tích: Sử dụng hệ quả góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được P, K, Q
lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, BC, CA. Từ đó ta sẽ nghĩ
đến đường thẳng Simson của tam giác ABC ứng với điểm M.
Giải
Xét đường tròn đường kính MB có MKB  ; MPB  là những góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn
Suy ra MKB   900 ; MPB   900
Xét đường tròn đường kính MC có MKC  ; MQC  là những góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn
Suy ra MKC   900 ; MQC   900
Ta có MKB MKC       90 90 180 0 0 0
Nên 3 điểm B, K, C thẳng hàng
Ta có MKB   900 ; MPB   900; MQC   900 (cmt)
Suy ra MP AB MQ AC MK BC    ; ;
Suy ra 3 diểm P, K, Q thẳng hàng (Đường thẳng Simson của tam giác ABC
ứng với điểm M).
13
Bài 3.2.4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác
trong của góc A (D thuộc BC). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của
D lên AB, AC. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt trung tuyến AM
của tam giác ABC tại K. Chứng minh 3 điểm P, K, Q thẳng hàng

K D O

M
V
E
U
Q
P
C
B
A
Phân tích: Ở bài toán này việc nhận biết đường thẳng Simson không dễ dàng
như những bài trước vì điểm M nằm trên BC. Gọi E là giao điểm của AD với
đường tròn (O). Vì AD là phân giác của góc A nên E là điểm chính giữa của
cung nhỏ BC. Suy ra EM vuông góc với BC. Từ đó ta sẽ kẻ EU vuông góc
với AB tại U và EV vuông góc với AC tại V ta sẽ có đường thẳng Simson của
tam giác ABC ứng với điểm E. Khi đó ta chỉ việc chứng minh PK và QK
cùng song song với UV thì sẽ suy ra điều phải chứng minh.
Giải
Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn (O). Vì AD là phân giác của góc
A. Suy ra BAE CAE   
Suy ra EB EC   
Suy ra E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC
Suy ra OE BC  tại trung điểm của BC. Mà M là trung điểm của BC
Suy ra OE BC  tại M
Gọi U, V lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên AB, AC
14
Khi đó ta có 3 điểm U, M, V thẳng hàng (Đường thẳng Simson của tam giác
ABC ứng với điểm E).
Ta có DP AB EU AB   ; . Suy ra DP EU / / AP AD
AU AE
 
DQ AC EV AC   ; . Suy ra DQ EV / / AQ AD
AV AE
 
Suy ra AP AQ PQ UV / /
AU AV
 
Ta có DK BC EM BC   ; . Suy ra DK EM / / AK AD
AM AE
 
Suy ra AP AK
AU AM

Suy ra PK UM / / . Suy ra PK UV / /
Ta có PQ UV / / (cmt)
Suy ra P, K, Q thẳng hàng
b. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh đẳng
thức hình học:
Bài 3.3.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, M là điểm thuộc cung BC
không chứa A. Gọi D, E, H lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BC,
CA, AB. Chứng minh BC AC AB
MD ME MH
 

I

O
H M
E
D
B C
A
15
Phân tích : Dễ dàng nhận thấy đường thẳng Simson là đường thẳng đi qua 3
điểm H, D, E, các bài toán về tỉ số thường liên quan đến tỉ số đồng dạng, diện
tích hoặc tỉ số lượng giác. Từ việc phân tích bài toán, sử dụng tính chất các tứ
giác nội tiếp để có các góc bằng nhau, có thể nghĩ đến việc chứng minh tam
giác đồng dạng hoặc tỉ số lượng giác đều giải quyết được bài toán
Áp dụng kết quả bài toán 1 ta có 3 điểm H, D, E thẳng hàng
Xét tứ giác MHBD có MDB MHB       90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác MHBD nội tiếp đường tròn
Suy ra MHE MBC   
Xét tứ giác MDEC có MDC MEC     900
Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC
Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn
Suy ra MEH MCB   
Xét MEH và MCB có MEH MCB    (cmt)
MHE MBC   (cmt)
Do đó MEH đồng dạng với MCB
Kẻ MI HE 
Suy ra BC HE
MD MI

MHD MBC MAC     
MDH MBH MCA     
Suy ra MHD đồng dạng với MAC
Suy ra AC HD
ME MI

Tương tự ta chứng minh được MED đồng dạng với MAB
16
Suy ra AB DE
MH MI

Suy ra AC AB HD DE HE
ME MH MI MI

  
Mà BC HE
MD MI
 (cmt)
Suy ra BC AC AB
MD ME MH
 
– Ở bài toán trên nếu tam giác ABC đều thì AB = AC = BC. Từ kết quả bài
toán trên ta sẽ có 1 1 1
MD ME MH
  . Từ đó ta có bài toán mới như sau
Bài toán 3.3.2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm
trên cung nhỏ BC. Gọi D, E, H lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BC,
CA, AB. Chứng minh rằng 1 1 1
MD ME MH
 
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng các đường thẳng đặc
biệt để biến đổi về tam giác đồng dạng hoặc dùng tỉ số lượng giác sẽ giúp
học sinh có định hướng dễ dàng hơn khi gặp các bài toán tương tự
c. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh
đường thẳng đi qua điểm cố:
Bài 3.4.1. Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA,
AB. Chứng minh rằng 3 điểm P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng và
đường thẳng này luôn đi qua một điểm cố định.
17
Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của MK, MP, MQ với BC, CA, AB
Suy ra MD BC ME AC MF AB    ; ;
Suy ra D, E, F thẳng hàng
Suy ra ED là đường trung bình của MKP
DF là đường trung bình của MKQ
Suy ra Q, K, P thẳng hàng và EF // PQ
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , I, J là các điểm đối xứng của H qua
AC, AB. Suy ra I, J thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Suy ra QHJ MJH MAC     
Tương tự PHI MIH MAB     
Suy ra QHJ PHI IHJ MAC MAB IHJ A IHJ                 1800
Suy ra P, Q, H thẳng hàng
Suy ra đường thẳng PQ luôn đi qua trực tâm H của ABC
(Đường thẳng này có tên là đường thẳng Steiner)
Bài 3.4.2. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không cắt đường trong
(O; R). Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên đường thẳng d. Từ M kẻ hai tiếp
tuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K là hình
chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d, E và F lần lượt là hình chiếu vuông
18
góc của K lên MA, MB. Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường
thẳng d thì đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
Phân tích: Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên MA và MB
nên ta sẽ nghĩ đến đường thẳng Simson của MAB ứng với điểm K. Điều này
gợi ý cho chúng ta vẽ thêm đường phụ để sử dụng đường thẳng Simson
Giải:
Từ K kẻ KD vuông góc với AB tại D.
Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm E, F, D thẳng hàng
(đường thẳng Simson của MAB ứng với điểm K)
Gọi J là giao điểm của AB và OK; I là giao điểm của OK và DF; H là giao
điểm của AB và OM
Xét đường tròn (O; R) có MA, MB là hai tiếp tuyến; A, B là hai tiếp điểm
Suy ra MA = MB
Ta có OA = OB = R
19
Suy ra MO là đường trung trực của đoạn AB
Suy ra MO  AB tại H
Ta có KD AB 
Suy ra MO // KD
Suy ra KOM OKD    hay KOM IKD    (1)
Xét tứ giác KDAE có KDA KEA       90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác KDAE nội tiếp đường tròn
Suy ra KDE KAE    hay KDI KAM   
Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác KAOM nội tiếp đường tròn
Suy ra KOM KAM   
Suy ra KDI KOM  (2)
Từ (1) và (2) suy ra KDI IKD   
Suy ra IKD cân tại I
Suy ra ID = IK
Ta có KDI IDJ     900
IKD IJD     900 (vì KDJ vuông tại D)
Ta có KDI IKD    (cmt)
Suy ra IDJ IJD   
Suy ra IDJ cân tại I
Suy ra IJ = ID. Mà ID = IK (cmt)
Suy ra IK = IJ
Suy ra I là trung điểm của đoạn KJ
Xét OHJ và OKM có OHJ OKM     900 ; chung HOJ
Do đó OHJ đồng dạng với OKM (gg)
20
Suy ra OH OJ
OK OM

Suy ra OJ OH OM .
OK

Ta dễ dàng chứng minh được OH OM R .  2
Suy ra
2
OJ R
OK
 (không đổi)
Suy ra J cố định
Ta có K, J cố định. Mà I là trung điểm của KJ
Suy ra I cố định
Suy ra EF đi qua điểm I cố định
d. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán cực trị hình học
Bài toán 3.5.1 Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, M là một
điểm thuộc cung BC không chứa A. Gọi E, F là hình chiếu của M lên các
cạnh AC và AB. Xác định vị trí của M để EF lớn nhất.
Phân tích : Ta dễ dàng nhận ra EF là đường thẳng Simson của tam giác ABC
ứng với điểm M Từ đó dẫn đến ý thưởng vẽ thêm điểm D là hình chiếu của M
trên BC và tìm lời giải của bài toán
Giải
D
E
B F
A
C
M
21
Gọi D là hình chiếu của M trên BC. Ta có D, E, F thẳng hàng
(đường thẳng Simson)
Bốn điểm F, D, B, M cùng thuộc một đường tròn nên MBD MFD   
Bốn điểm E, D, C, M cùng thuộc một đường tròn nên MCD MED   
Từ đó ta có  MBC đồng dạng với  MFE (g.g)
EF MF ME
1 EF BC
BC MB MC
     
Đẳng thức xảy ra khi F trùng với B và E trùng với C, khi đó
MBA MCA 90     0
Suy ra AM là đường kính của đường tròn tâm O
Suy ra M là điểm đối xứng với A qua O.
– Trở lại bài 3.4.1.
Ta dễ dàng chứng minh được EF là đường trung bình của MPQ
Suy ra EF
2
PQ

Suy ra PQ = 2. EF
Vậy PQ lớn nhất  EF lớn nhất M là điểm đối xứng với A qua O.
Từ đó ta có bài toán mới
Bài toán 3.5.2. Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC,
CA, AB. Chứng minh rằng 3 điểm P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng.
Xác định vị trí của M để độ dài đoạn PQ đạt giá trị lớn nhất.
22
e. Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải các bài toán quan hệ hình học
Bài 3.6.1. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M và N là các điểm thuộc
đường tròn (O) sao cho CM và CN đối xứng với nhau qua phân giác của C .
Gọi D, E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BC.
Chứng minh rằng 3 điểm D, E, F thẳng hàng và đường thẳng đi qua 3 điểm D,
E, F vuông góc với CN.
Áp dụng kết quả bài 1 ta chứng minh được 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
Gọi K là giao điểm của của EF và CN
Từ giả thiết suy ra CEM CFM     900
Suy ra E và F cùng thuộc đường tròn đường kính CM
Suy ra tứ giác CFEM nội tiếp đường tròn
Suy ra CME CFE     1800
Ta có CFK CFE     1800
Suy ra CME CFK   
Từ giả thiết dễ chứng minh được MCE FCK   
23
Suy ra CFK KCF CME MCE         900 (vì CME vuông tại E)
Suy ra FKC   900
Suy ra đường thẳng đi qua 3 điểm D, E, F vuông góc với CN
– Trở lại bài toán 3.1.4. ta dễ dàng chứng minh được EF là đường trung
bình của PKLnên suy ra đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn
PH. Từ đó ta có bài toán mới như sau:
Bài 3.6.2. Cho ABC , trực tâm H, điểm P thuộc đường tròn ngoại tiếp
ABC . Chứng minh rằng đường thẳng Simson của ABC ứng với điểm P đi
qua trung điểm của HP.
Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của P trên BC, AB, AC
Suy ra 3 điểm D, E, F thẳng hàng (Đường thẳng Simson của ABC ứng với
điểm P)
Gọi K và L theo thứ tự là các điểm đối xứng của P qua AB, AC.
Theo kết quả bài 3.4.1 ta có 3 điểm K, H, L thẳng hàng
24
PKL có EF là đường trung bình nên suy ra đường thẳng EF đi qua trung
điểm của đoạn PH.
Bài toán 3.6.3. Cho hai đường tròn cùng bán kính (O) và (O’) cắt nhau tại
hai điểm A, B (O, O’ khác phía nhau đối với đường thẳng AB). Qua A vẽ cát
tuyến cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D (C, D khác A và CD không vuông góc với
AB). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên hai tiếp tuyến tại C
của (O) và tại D của (O’). Chứng minh EF đi qua trung điểm M của CD.
Phân tích
Nhận thấy: Điểm B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD và có hình
chiếu vuông góc lần lượt xuống các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác
PCD là E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simso

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Kinh nghiệm phát triển các bài hình trong sách giáo khoa Toán 7 theo hướng dạy học phân hóa

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Chúng ta đang sống trong thời đại Cách mạng Công nghiệp lần thứ tư đã
và đang diễn ra một cách nhanh chóng, mạnh mẽ, gây tác động sâu sắc đến mọi
lĩnh vực của đời sống xã hội. Trong kỷ nguyên số hóa, giáo dục đang có sự thay
đổi sâu rộng từ môi trường giáo dục, vai trò của người dạy, người học đến
phương pháp dạy học. Giáo dục phổ thông trong bối cảnh Cách mạng công
nghiệp 4.0 cũng đang thay đổi lớn trong mục tiêu và cách thức dạy học, chuyển
từ truyền thụ kiến thức sang khai phóng tiềm năng, đồng thời trao quyền sáng
tạo cho từng học sinh. Người dạy sẽ chuyển sang vai trò mới là người thiết kế,
xúc tác, cố vấn và tạo môi trường học tập. Mục tiêu chương trình được thay đổi
từ chỗ chủ yếu yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi “Biết cái gì?” thành luôn đặt ra
câu hỏi “Biết làm gì từ những điều đã biết?”. Mục tiêu cuối cùng của dạy học
không phải là biết thật nhiều mà là năng lực cần có để sống tốt hơn, làm việc
hiệu quả hơn, đáp ứng được những yêu cầu của xã hội đang thay đổi từng ngày.
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển
năng lực chuyên môn bao gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn, phát triển năng lực
phương pháp, năng lực xã hội và năng lực cá thể, hình thành các phẩm chất của
người lao động trong thời đại mới.
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực chính là hướng tới phân hóa
các đối tượng học sinh. Theo đó, giáo viên cần nắm bắt đầy đủ các đặc điểm về
khả năng tư duy, phong cách và sở thích học tập của học sinh để thực hiện các
tác động phù hợp nhằm phát triển năng lực tư duy dựa trên khả năng đã có của
các em. Trong quá trình đó, toán học đóng góp một phần quan trọng, đặc biệt là
phân môn hình học. Bởi vì khả năng tư duy của học sinh được bộc lộ khá rõ nét
trong quá trình học hình. Thực tế cho thấy, nhiều học sinh chưa có phương pháp
học hình, không biết cách sử dụng hiệu quả tài liệu học tập và thường gặp nhiều
khó khăn khi giải các bài tập hình. Do đó tỉ lệ học sinh đạt mức khá giỏi hình
còn thấp. Thực hiện đổi mới phương pháp, với mục tiêu là đảm bảo những yêu
cầu cơ bản đối với đối tượng đại trà đồng thời phát triển được năng lực tư duy
hình học của đối tượng khá giỏi trong môi trường lớp học có nhiều đối tượng
học sinh trình độ khác nhau, cũng như rèn luyện cho học sinh thói quen và
phương pháp tự học, tôi chú trọng tới việc khai thác, phát triển các bài tập hình
học đặc biệt là các bài trong sách giáo khoa. Hầu hết các bài tập trong sách giáo
khoa đều ở mức độ cơ bản. Chúng được tôi phát triển thêm theo hướng mà các
kiến thức trọng tâm được nhắc lại, phương pháp chứng minh được tái hiện trong
một hình vẽ mới gồm các yêu cầu phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Với
học sinh lớp 7, hình học là một phần vẫn còn khá mới mẻ và trừu tượng cả về
mặt kiến thức lẫn phương pháp. Vì vậy, tôi nghĩ rằng, cần phải làm thường
xuyên để hình thành thói quen và phương pháp học tập cho các em ngay từ lớp
7.
3
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
1.1. Vài nét về dạy học phân hóa
Dạy học phân hóa chính là cách dạy học tích cực, dạy học chú trọng rèn
luyện phương pháp tự học. Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp,
kĩ năng, thói quen, ý chí tự học, biết linh hoạt ứng dụng những điều đã học vào
những tình huống mới, biết tự lực phát hiện và giải quyết những vấn đề đặt ra thì
sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi con người, kết
quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội, người học sẽ không chỉ “học một biết
mười” như cha ông ta thường nói mà người học còn chuẩn bị để tiếp tục tự học
khi đã vào đời, dễ dàng thích ứng với cuộc sống lao động, công tác trong xã hội.
Dạy học phân hóa đáp ứng yêu cầu cá thế hoá hoạt động học tập theo nhu
cầu và khả năng của mỗi học sinh, đáp ứng với sở thích, phong cách học tập
khác nhau của cá nhân học sinh. Nhờ có các phương tiện dạy học hiện đại, yêu
cầu phân hóa dễ dàng được triển khai hơn. Thực hiện dạy học tích cực, vai trò
của giáo viên không hề bị hạ thấp mà trái lại có yêu cầu cao hơn nhiều.
1.2. Các bước dạy giải bài tập hình
Khi dạy học sinh giải một bài tập hình tôi thường thực hiện theo các bước:
Bước 1: Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận
Những lưu ý ở bước này đó là: không vẽ hình trong trường hợp đặc biệt
của bài toán nếu không cho đặc biệt (vì dễ bị ngộ nhận tính chất), đôi khi phải
vẽ hình xuất phát từ kết luận (ví dụ cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến
BM và CN. Biết BM = CN. Chứng minh tam giác ABC cân), cần chú ý các bài
toán có giả thiết riêng.
Bước 2: Hướng dẫn phân tích, tìm hướng giải
Tôi thường hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích đi lên và
tổng hợp, dự đoán nhờ nhận xét trực quan, thực hành hoặc hoạt động thực tiễn,
chú ý xem xét yếu tố đã có, tương tự cái đã có.
Bước 3: Hướng dẫn trình bày lời giải.
Bước 4: Kiểm tra lời giải
Bước 5: Khai thác, phát triển bài toán
Tuy vậy tôi chưa thực sự chú trọng tới bước khai thác, phát triển bài toán
nhất là từ tài liệu mà học sinh nào cũng có là sách giáo khoa để rèn cho học sinh
phương pháp tự học cũng như hứng thú từ những bài tập đơn giản trong sách.
1.3. Thực trạng dạy và học hình
Thực tế trong nhiều trường THCS cho thấy, tổ chức lớp hiện nay vẫn có
số lượng học sinh khá đông, chênh lệch nhiều về trình độ. Trong khi đó, giáo
viên dạy trên lớp hay giao bài đồng loạt không sát khả năng, yêu cầu quá sức
hay yêu cầu quá dễ và việc dạy giải bài tập hình hầu hết mới chỉ dừng lại ở bước
4. Tất cả đều không tạo được động lực học tập, không có tác dụng phát triển
năng lực ở nhiều đối tượng học sinh thậm chí còn gây tâm lí chán nản.
4
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Chuẩn bị các điều kiện áp dụng
Để hoạt động phát triển các bài toán có hiệu quả trong việc nâng cao năng
lực nhất là với đối tượng khá giỏi thì cần
– Khảo sát để nắm được trình độ, khả năng học tập, sở thích, phong cách học tập,
kinh nghiệm của học sinh, phân chia học sinh thành các nhóm trình độ khác
nhau.
– Tư vấn, hướng dẫn phương pháp học tập học sinh để nắm vững các định nghĩa,
định lí hình học. Học sinh hiểu được vai trò và những lợi ích của học tập tích
cực và chủ động.
2.2. Các giải pháp
– Trong quá trình giảng dạy, khi dạy khái niệm tôi chú ý làm tốt khâu dạy học
sinh thể hiện khái niệm (vẽ hình), hướng dẫn học sinh bổ sung, tổng kết phương
pháp chứng minh hình sau khi học một khái niệm hoặc định lí hình học mới. Đối
với học sinh khá giỏi, tôi cung cấp cho học sinh những hiểu biết về: đặc biệt
hóa, tổng quát hóa, tương tự, phương pháp phản chứng, các loại mệnh đề thuận,
đảo, phản, phản đảo ngay khi có cơ hội trong các tiết lí thuyết để bồi dưỡng cho
học sinh khả năng tự học, thói quen xem xét một vấn đề, mở rộng, phát hiện đề
xuất các vấn đề mới.
– Trong quá trình dạy giải các bài tập, tôi khai thác, phát triển thêm các bài tập,
đặc biệt là các bài tập trong sách giáo khoa, qua đó rèn cho học sinh phương
pháp tự học cũng như hứng thú học tập bộ môn.
Ở bước này tùy thuộc đối tượng học sinh hay nội dung bài mà tôi có thể
sử dụng hoặc hướng dẫn học sinh các kĩ thuật để có bài toán mới như: đặc biệt
hóa, tổng quát hóa, tương tự, thiết lập mệnh đề đảo (đổi chỗ giả thiết và kết luận
cho nhau, hoặc giữ lại một phần giả thiết của mệnh đề thuận làm giả thiết
chung), bổ sung yếu tố mới, thay đổi một yếu tố hoặc nêu một bài toán mà việc
giải quyết sẽ cho một kết quả mới.
– Đối với đa số các bài toán, yêu cầu đối với học sinh đại trà thường là dừng lại
ở ý thứ nhất hoặc thứ hai của bài toán, còn đối tượng khá giỏi thì yêu cầu sẽ cao
hơn. Sau đây là một số ví dụ mà tôi đã thực hiện:
Chủ đề “Tổng 3 góc của một tam giác”
* Hình 57 của bài tập 6 trang 109 SGK Toán 7 tập 1

Tìm số đo x trên hình

Thông thường học sinh sẽ đề xuất cách giải như sau: Tính số đo của hoặc rồi từ đó tính số đo x.

x
600
N I P
M NMI NPM
5
Phát triển:
? Nếu thay đổi số đo của INM không phải là 600 nữa mà là 350. Vậy x bằng bao
nhiêu? Hoặc thay bằng 470 thì số đo x bằng bao nhiêu?
? So sánh số đo x với INM trong từng trường hợp
? Nếu không cho số đo INM thì có thể chứng minh số đo x bằng INM như thế
nào?
Từ đó học sinh có thể lựa chọn một trong 2 cách trình bày:
Có MI ⊥ NP tại I (gt)
 = MIN 900 (đ/n 2 đường thẳng vuông góc)
 IMN vuông ở I (đ/n tam giác vuông)
 + = INM IMN 900 (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Thay số ta được 60 90 0 0 + = IMN  = IMN 300
Có MNP vuông ở M (gt)
 = PMN 900 (đ/n tam giác vuông)
 + = IMN IMP 900
Thay số ta được  + = 30 90 0 0 IMP  = IMP 600
Hoặc: Có MI ⊥ NP tại I (gt)
 = MIN 900 (đ/n 2 đường thẳng vuông góc)
 IMN vuông ở I (đ/n tam giác vuông)
 + = INM IMN 900 (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau) (1)
Có MNP vuông ở M (gt)  = PMN 900 (đ/n tam giác vuông)
 + = IMN IMP 900 (2)
Từ (1) và (2)  = IMP INM (cùng phụ với IMN )
Mà INM = 600 (gt)  = IMP 600
Lưu ý: Một phương pháp chứng minh 2 góc thường sử dụng đó là chứng minh 2
góc cùng phụ với góc thứ 3 (hoặc phụ với 2 góc bằng nhau)
* Tương tự như trên học sinh có thể giải quyết ngay được các yêu cầu của
bài tập 7 trang 109 SGK Toán 7 tập 1
B H C
A

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC). a) Tìm các cặp góc phụ nhau trong hình vẽ. b) Tìm các cặp góc nhọn bằng nhau trong hình vẽ.

 Phát triển (dành cho đối tượng khá giỏi trong lớp):
6
Q
P
H
B
A
C

c) Các tia phân giác của các góc và cắt nhau ở P. Chứng minh và là 2 góc phụ nhau. d) Tia phân giác của cắt CP tại Q. Tính

BAH
ACH PAC PCA CAH AQC
Hướng dẫn:
c) Có AP là tia phân giác của BAH 1
2
 = BAP BAH
Có CP là tia phân giác của ACH 1
2
 = PCA ACH
Lại có BAH = ACH  = BAP PCA
Mà BAP PAC BAC + = = 900  + = PCA PAC 900 (đpcm)
d) Có AQ là tia phân giác của CAH 1
2
 = QAH CAH
Có AP là tia phân giác của BAH 1
2
 = HAP BAH
Do đó QAH PAH CAH BAH + = + 12( )  = = QAP BAC 12 450
Xét  PAC có PCA PAC APC + + =1800
Mà PCA PAC + = 900 (cmt)  = APC 900
Có AQC là góc ngoài của  APQ nên
AQC APQ PAQ = + = 900 + 450 = 1350
Hoặc: Có AQ là tia phân giác của CAH 1
2
 = QAC CAH
CP là tia phân giác của 1
2
 = PCA ACH hay 1
2
QCA ACH =
Do đó QAC QCA HAC ACH + = + 12( )
Lại có  HAC vuông ở H  + = HAC ACH 900
Do đó QAC QCA + = 450
Mà QAC QCA AQC + + =1800
 = AQC 1350
Song song với đó, các đối tượng học sinh còn lại sẽ thực hiện giải bài tập sau:
Cho tam giác ABC, các tia phân giác của các góc B và C của tam giác cắt
nhau ở điểm I.
7
I
B C
A

a) Chứng minh b) Cho . Tính

IBC ICB ABC ACB + = + 12( )
BAC = 600 BIC
*Bài tập 8 trang 109 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
x
y
B C
A

Cho tam giác ABC có . Gọi Ax là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Hãy chứng tỏ Ax // BC.

B C = = 400Phát triển: Yêu cầu học sinh tổng quát bài toán ta được bài toán
y
x
B C
A

Cho tam giác ABC có . Gọi Ax là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Hãy chứng tỏ Ax // BC. Hướng dẫn: Có là góc ngoài của tam giác ABC Mà Có Ax là tia phân giác của Do đó Ax // BC

B C = CAy  = + CAy B C
B C =  = CAy C 2 1
2
 = C CAy
CAy
1 2
 = xAC CAy
1
2
C xAC CAy = =    
  Chủ đề “Ba trường hợp bằng nhau của tam giác”
*Bài tập 26 trang 118 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng AB // CE.
Bổ sung: Trên cạnh AB lấy điểm P. Trên tia đối của tia MP lấy Q sao cho MQ =
MP. Chứng minh 3 điểm C, Q, E thẳng hàng.
8
Q
P
E
B M C
A

Hướng dẫn: Chứng minh tương tự AB // CE ta có BP // CQ hay BA // CQ Mà BA // CE nên suy ra 2 đường thẳng CE và CQ trùng nhau (tiên đề Ơclit), ta có đpcm.

Phát triển:
Q
P
E
B M C
A

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. a) Chứng minh rằng AB // CE. b) Trên các đoạn thẳng AB, CE lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho BP = CQ. Chứng minh M là trung điểm của PQ.

Hướng dẫn:
b) Có AB // CE
 = PBM QCM (2 góc so le trong)
Chứng minh được  =  MBP MCQ (BM = CM, BP = CQ, PBM QCM = )
 = PMB QMC và MP = MQ (1)
Có PMB QMC =
Lại có PMB PMC + =1800
 + = QMC PMC 1800
3 điểm P, M, Q thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của PQ
*Bài tập 35 trang 123 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
Cho góc xOy khác góc bẹt, Ot là tia phân giác của góc đó. Qua điểm H thuộc
tia Ot, kẻ đường thẳng vuông góc với Ot, nó cắt Ox và Oy theo thứ tự ở A và B.
9
H
C
t
B
A
O y
x

a) Chứng minh OA = OB b) Lấy điểm C thuộc tia Ot, chứng minh rằng CA = CB và

OAC OBC =
Phát triển:
Bài 1.
H
B
A
C
O y
x

Cho góc xOy khác góc bẹt, OC là tia phân giác của góc xOy. Kẻ CA Ox (A Ox), CB Oy (B Oy). a) Chứng minh OA = OB và CO là tia phân giác của góc ACB. b) Chứng minh OC là đường trung trực của AB. Hướng dẫn: b) Gọi H là giao điểm của OC và AB. Chứng minh H là trung điểm của AB và OC vuông góc với OC tại H.

⊥
 ⊥  Bài 2.
H
B
A
C
O y
x

Cho góc xOy khác góc bẹt, OC là tia phân giác của góc xOy. Kẻ CA Ox (A Ox), CB Oy (B Oy). a) Chứng minh OA = OB và CO là tia phân giác của góc ACB. b) Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh 3 điểm O, H, C thẳng hàng.

⊥
 ⊥  Các em học sinh không thuộc nhóm khá giỏi thì không bắt buộc thực hiện yêu
cầu chứng minh 3 điểm O, H, C thẳng hàng.
Hướng dẫn:
10
b) Chứng minh OH là tia phân giác của góc xOy kết hợp với OC là tia phân giác
của góc xOy ta có đpcm.
Bài 3.
Q
P
I
B
A
C
O y
x

Cho góc xOy khác góc bẹt, OC là tia phân giác của góc xOy. Kẻ CA Ox (A Ox), CB Oy (B Oy). a) Chứng minh OA = OB và CO là tia phân giác của góc ACB. b) Trên đoạn thẳng OA lấy P, trên tia By lấy Q sao cho BQ = AP, gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh CI PQ.

⊥
 ⊥  ⊥ *Bài tập 36 trang 123 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
H

Trên hình 100 SGK ta có OA = OB, Chứng minh AC = BD Bổ sung: Gọi giao điểm của AC và BD là I. Chứng minh và OI là đường trung trực của CD. Hướng dẫn: +) ( ; AD = BC; )

OAC OBD =  =  IAD IBC  =  IAD IBC IAD IBC = IDA ICB = +) Gọi H là giao điểm của OI và CD. Có thể c/m  =  IAO IBO(c.g.c)
 = AOI BOI hay DOH COH =   =  DOH COH (c.g.c).
Từ đó c/m được OH vuông góc với CD và H là trung điểm của CD suy ra đpcm
Phát triển: Đặc biệt OAC OBD = = 900 , thêm yếu tố mới và thay đổi yêu cầu
chứng minh để học sinh có cơ hội ôn tập lại kiến thức cũ, tôi có bài toán sau:
K
I
D
C
A B
O

Cho hình vẽ trong đó OA = OB, AC OD; BD OC, K là trung điểm của CD. Chứng minh: a) AC = BD b) OI là tia phân giác của c) d) Ba điểm O, I, K thẳng hàng Hướng dẫn: c) (2 cạnh góc vuông)

⊥
⊥ AOC
 =  ADC BCD
 =  ADC BCDd) Chứng minh OI và OK cùng là tia phân giác của góc DOC
11
*Bài tập 43 trang 125 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
E
y
x
C D
B
A
O

Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) AD = BC b) c) OE là tia phân giác của góc xOy. Bổ sung: Chứng minh AC // BD

 =  EAB ECD
Hướng dẫn:
Chứng minh AC // BD có thể chứng minh AC và BD cùng vuông góc với OE.
Phát triển: Đặc biệt hóa vị trí của điểm A với A là trung điểm của OB, bổ sung
thêm yếu tố mới tôi có bài toán.
Bài 1.
M
y
E
C D
B
A
x
O

Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm B, D lầ lượt thuộc các tia Ox, Oy sao cho OD = OB. Gọi A, C lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB và OD. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) và EB = ED b) c) Trên tia đối của tia CE lấy điểm M sao cho CM = CE. Chứng minh BD DM.

 =  OAD OCB EBD EDB =
⊥ Hướng dẫn: c) Chứng minh OE ⊥ BD và MD // OE ta suy ra BD ⊥ DM
Đặc biệt hóa góc xOy với xOy là góc vuông, bổ sung thêm yếu tố mới tôi có bài
toán
Bài 2.
Cho góc xOy vuông. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy
các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm
của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) OBC ODA =
b) EB = ED
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
12
d) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OE, lấy trên đường thẳng đó điểm F
sao cho F và A nằm khác phía so với OE và OF = OE. Chứng minh BE ⊥ DF.
H

Hướng dẫn: d) Gọi H là giao điểm của BC và DF Chứng minh Lại có và Mà BE DF.

 =  OBE ODF
 = OBE ODF
OCB HCD = OCB OBE + = 900
 HCD HDC + = 900
CHD HCD HDC + + = 1800  CHD = 900 
⊥ Chủ đề “Tam giác cân”
*Bài tập 51 trang 128 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
H

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. a) So sánh và b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Tam giác IBC là tam giác gì? Vì sao? Bổ sung: Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm A, I, H thẳng hàng. Hướng dẫn: Chứng minh IH và AH cùng vuông góc hoặc AI và AH cùng là tia phân giác của với BC suy ra 3 điểm A, I, H thẳng hàng.

ABD ACE
CAB Phát triển: Đặc biệt hóa vị trí các điểm D và E ví dụ như BD, CE là các đường
trung tuyến, các đường cao, đường phân giác, bổ sung thêm yếu tố mới vào ta sẽ
có nhiều bài tập cho các đối tượng học sinh khác nhau. Chẳng hạn như một số
bài toán sau:
Bài 1.
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi BD là tia phân giác của ABC (D AC),
CE là tia phân giác của ACB (E AB).
a) Chứng minh  =  ABD ACE
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AI ⊥ DE
13
c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia BD ở điểm K, cắt tia CE ở
điểm P. Chứng minh AC = AK và  CPK vuông.
P K
I
E D
B C
A
Hướng dẫn:
b) Chứng minh  IBC cân tại I  IB = IC
Chứng minh  IAB =  IAC (c.c.c)  EAI DAI =
Từ đó gọi H là giao điểm của AI và DE ta có thể chứng minh được AI ⊥ DE
theo đ/n 2 đường thẳng vuông góc.
c) Chứng minh  ABK cân ở A AK = AB
Kết hợp với AB = AC ta được AC = AK
 ACK cân ở A  ACK AKC =
Chứng minh  ACP cân ở A  ACP APC =
Lại có ACK AKC ACP APC + + + =1800
Do đó ACK ACP + = 900  = PCK 900
  CPK vuông tại C.
Bài 2.
M
I
E D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. Gọi I là trung điểm của DE. a) Chứng minh AI là tia phân giác của b) Trên tia đối của tia IB lấy điểm M sao cho I là trung điểm của BM. Chứng minh DMC cân. c) Chứng minh và MC BC

BAC
 BAC DMC = 2 ⊥ Hướng dẫn:
b) Chứng minh DM = BE kết hợp DC = BE ta có DM = DC
  DMC cân ở D
c) Chứng minh DM // BE  = BAC ADM
14
Chứng minh ADM DMC = 2 . Từ đó ta được BAC DMC = 2
+ Chứng minh MC // AI ( 1
2
IAD DCM BAC = = ) kết hợp chứng minh AI ⊥ BC
suy ra MC ⊥ BC
Hoặc Có BAC ABC ACB + + =1800
Mà BAC DMC = 2 ; ABC ACB =
 + = 2 2 180 DMC ACB 0
 + = DMC ACB 900 Lại có DCM DMC =
 + = DCM ACB 900
 = BCM 900  MC ⊥ BC
Bài 3.
Q P
I
E D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB. a) So sánh và b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Tam giác IBC là tam giác gì? Vì sao? c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm P sao cho DP = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho EQ = EC. Chứng minh A là trung điểm của PQ.

ABD ACE
Hướng dẫn:
c) Chứng minh AP // BC và AP = BC
và AQ // BC và AQ = BC
AP = AQ (= BC) và A, P, Q thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
 A là trung điểm của PQ.
Bài 4.
F
E D
I
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A ( nhọn). Kẻ BD AC (D AC), CE AB (E AB) a) Chứng minh b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AI là tia phân giác của . c) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng đó cắt tia BD tại điểm F. Chứng minh FAI cân.

BAC ⊥  ⊥   =  EBC DCB
BAC  Hướng dẫn:
15
c) Có FAI IAB FAB + = = 900 (1)
Có DAI vuông ở D  + = FIA IAD 900 (2)
Lại có AI là tia phân giác của BAC
 = IAD IAB (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được FIA FAI =   FAI cân ở F
Bài 5.
K
Q
P
I
E
D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A ( nhọn). Kẻ BD AC (D AC), CE AB (E AB) a) Chứng minh AD = AE b) Gọi I là giao điểm của BD và CE.Chứng minh IA BC. c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng đó cắt tia AC tại điểm P. Trên tia BD lấy điểm Q sao cho BQ = BP. Chứng minh PQ // AI

BAC ⊥  ⊥  ⊥ Hướng dẫn:
b) Chứng minh  IBC cân tại I (2 góc bằng nhau)  IB = IC
Chứng minh  IAB =  IAC (c.c.c)  BAI CAI =
Từ đó gọi H là giao điểm của AI và BC ta có thể chứng minh được AI ⊥ BC
theo đ/n 2 đường thẳng vuông góc.
c) Gọi K là giao điểm của BC và PQ.
Chứng minh QBK PBK = (phụ với 2 góc bằng nhau ACB và ABC )
Từ đó chứng minh được  =  QBK PBK (c.g.c)
Suy ra được BK ⊥ PQ
Lại có IA ⊥ BC ta được PQ // AI
Bài 6.
Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm D, E lần lượt là trung điểm của AC,
AB.
a) So sánh BD và CE
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh tam giác IBC cân
c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm P sao cho DP = DB. Trên tia đối của tia CA
lấy điểm Q sao cho CQ = CA. Chứng minh BC là tia phân giác của PBQ
d) Gọi K là trung điểm của BQ. Chứng minh 3 điểm P, C, K thẳng hàng.
16
(Có thể biến đổi câu d: Chứng minh PC đi qua trung điểm K của BQ)
K
P Q
I
E D
B C
A

Hướng dẫn: c) Chứng minh được CP = BA và CP // BA Mà BA = AC = CQ nên CP = CQ Có CP // BA Lại có và Do đó ta có (c.g.c) , ta có đpcm. d) Chứng minh BD = BK ( ) Từ đó c/m được (c.g.c)

 + = BCP ABC 1800
BCQ ACB + =1800 ACB ABC =
 = BCP BCQ
 =  BCP BCQ  = CBP CBQ1 1
2 2
= = BP BQ  =  BCD BCK  = BCD BCK Mà BCD ABC =  = ABC BCK
CK // AB. Kết hợp với CP // AB ta được 3 điểm P, C, K thẳng hàng.
Bài 7.
P Q
I
E D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB. a) So sánh BD và CE b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh IB = IC. c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm P sao cho DP = DB. Chứng minh tam giác ACP cân. d) Trên tia đối của tia CA lấy điểm Q sao cho CQ = CA. Chứng minh BQ = 2CE

Hướng dẫn:
c) Chứng minh CP = CA (= AB)
d) Tương tự như bài trên ta chứng minh được  =  BCP BCQ suy ra BP = BQ
Mặt khác BP = 2BD = 2CE
Do đó ta được BQ = 2CE
17
Bài 8.
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AB và điểm D thuộc
tia đối của tia CA sao cho CD = BE. Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm
của DE.
F I
D
E
C
B
A

Hình a

Hình b

N
M I
D
E
C
B
A
Hướng dẫn:
Gọi giao điểm của DE và BC là I. Ta cần chứng minh ID = IE. Dựa trên
các phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ta sẽ tìm cách gắn chúng
vào các cặp tam giác bằng nhau. Có thể làm như sau:
– Từ E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC ở F (Hình a). Ta chứng minh
tam giác IEF bằng tam giác ICD từ đó suy ra đpcm
– Hoặc kẻ EM và DN vuông góc với BC (Hình b). Ta chứng minh được tam giác
IEM bằng tam giác IDN từ đó suy ra đpcm.
Chủ đề “Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông”
*Bài tập 63 trang 136 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
B H C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC). Chứng minh rằng: a) HB = HC b)

 BAH CAH =
Phát triển: Lập mệnh đề đảo ta có hai bài toán
Bài 1.
18
Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC). Biết HB = HC .
Chứng minh rằng tam giác ABC cân ở A.
Bài 2.
Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC). Cho biết
BAH CAH = . Chứng minh rằng tam giác ABC cân ở A.
B H C
A
B H C
A
*Bài tập 65 trang 137 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
P
I
K H
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A ( ). Vẽ BH AC ( H AC), CK AB (KAB). a) Chứng minh rằng: AH = AK. b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. Bổ sung: Đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau ở P. Chứng minh 3 điểm A, I, P thẳng hàng. Hướng dẫn: Chứng minh 3 điểm A, I, P thẳng hàng có thể chứng minh AP và AI cùng là tia phân giác của .

A  900 ⊥ ⊥ BAC Phát triển:
I
P
K B D
C
A

Cho tam giác ABC cân tại A ( ), CK AB (KAB). Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, cắt tia AB ở điểm D. a) Chứng minh CB là tia phân giác của . b) Tia phân giác của cắt CD ở P. Chứng minh PB = PC. c) Gọi giao điểm của AP và CK là I. Chứng minh BI AC.

A  900 ⊥ KCD CAB ⊥ Hướng dẫn:
19

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Hướng dẫn học sinh tư duy giải quyết các bài tập kết hợp diện tích đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
1. Lý do chọn sáng kiến :
1.1. Vài nét về dạy học tiếp cận phát triển năng lực học sinh
+ Về mục tiêu: Kết quả học tập cần đạt được mô tả chi tiết và có thể quan
sát, đánh giá được; thể hiện được mưc độ tiến bộ của học sinh
+ Về nội dung dạy học: Lựa chọn những nội dung nhằm đạt được kết quả
đầu ra đã quy định, gắn với các tình huống thực tiễn. Chương trình chỉ quy định
những nội dung chính, không quy định chi tiết.
+ Phương pháp dạy học:
Giáo viên chủ yếu là người tổ chức hỗ trợ học sinh tự lực và tích cực lĩnh
hội tri thức. Chú trọng sự phát triển khả năng giải quyết vấn đề, khả năng giao
tiếp… Chú trọng sử dụng các quan điểm, phương pháp và kỹ thuật dạy học tích
cực; các phương pháp dạy học thí nghiệm, thực hành.
+ Hình thức dạy học: Tổ chức học tập đa dạng; chú ý các hoạt động xã hội,
ngoại khóa, nghiên cứu khoa học, trải nghiệm sáng tạo; đẩy mạnh ứng dụng
công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy học.
+ Đánh giá kết quả học tập của học sinh: Tiêu chí đánh giá dựa vào năng
lực đầu ra, có tính đến sự tiến bộ trong quá trình học tập, chú trọng khả năng
vận dụng các tình huống trên thực tiễn
Trong nhiều năm liền, tôi được phân công dạy môn toán lớp 8 và lớp 9.
Trong quá trình dạy học, khi nghiên cứu nội dung của các bài học về tính diện
tích các đa giác, diện tích có liên quan đến hình tròn, tôi nhận thấy rằng trí tuệ
của học sinh THCS được phát triển thể hiện qua khả năng phân tích tổng hợp.
Việc giải toán diện tích cũng là một trong những hình thức tốt nhất để học sinh
tự đánh giá mình và để thầy cô đánh giá học sinh về năng lực, mức độ tiếp thu
và sự vận dụng các kiến thức đã học. Mặt khác, giải toán diện tích còn gây hứng
thú học tập cho học sinh, phát triển tốt các đức tính như: kiên trì, chịu khó tìm
tòi, quyết đoán, thông minh.
3
Nội dung phần diện tích hình học ở lớp 8, 9 có sự kế thừa, bổ sung và phát
triển các kiến thức đã học ở cấp tiểu học. Các bài toán có nội dung liên quan đến
diện tích các hình trong SGK được giáo viên giải quyết thông qua việc dạy kiến
thức, kỹ năng mà học sinh vừa học. Tuy nhiên, mục tiêu cuối cùng của dạy học
không phải là biết thật nhiều mà là năng lực cần có để sống tốt hơn, làm việc
hiệu quả hơn, đáp ứng được những yêu cầu của xã hội đang thay đổi từng ngày.
Một trong các hình thức tổ chức dạy học được quan tâm đó là trải nghiệm
sáng tạo, hay dạy học tích hợp các kiến thức liên môn giải quyết các tình huống
trong thực tiễn, dạy học theo định hướng phát triển năng lực, giáo dục STEM…
đối với môn toán thì các kiến thức, bài tập liên quan đến diện tích là dễ gắn liền
với thực tế, gần gũi với đời sống thực, đời sống hằng ngày của học sinh. Sự gắn
liền đó giúp tổ chức các hoạt động học toán cho học sinh, tạo nên không khí học
tập thoải mái, xây dựng môi trường học toán tự nhiên.
Quan điểm giáo dục mới không chú trọng vào những nội dung “được học”
mà tập trung vào những gì học sinh “học được”. Quan điểm này không nhấn
mạnh vào những nội dung khoa học bộ môn, mà chú trọng vào việc học sinh có
năng lực làm được gì trong thực tiễn nhưng nội dung học được.
Từ đó đề tài này tập trung vào việc xây dựng một số bài toán thực tiễn gắn
liền với chương trình toán lớp 9 theo định hướng tiếp cận các năng lực của
người học.
Như vậy, liên hệ với mục tiêu dạy học toán, ta thấy quan điểm này hoàn
toàn phù hợp với thực tế là đại đa số học sinh mà chúng ta đào tạo sau này sẽ là
người sử dụng toán chứ không phải là người nghiên cứu toán. Do đó xu hướng
đổi mới hiện nay không nặng về mức độ nắm kiến thức đã học vào thực tiễn và
năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống sau khi rời
ghế nhà trường.
Có thể nói, giáo dục hiện nay không hướng đến mục tiêu đào tạo để học
sinh trở thành những nhà toán học, nhà khoa học, kỹ sư hay những kỹ thuật viên
mà chủ yếu là trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ năng để làm việc và phát triển
trong thế giới công nghệ hiện đại ngày nay.
4
Các em đã vận dụng đúng công thức để giải các bài tập trong sách giáo
khoa nhưng giải bài nào biết bài đó, chưa có phương pháp chung để giải những
bài toán liên quan đến diện tích đa giác, diện tích hình tròn; chưa đọc kĩ đề, thiếu
suy nghĩ cặn kẽ.
Trong dạy học giáo viên mới chỉ quan tâm tới kết quả làm bài của học sinh
mà chưa quan tâm tới phương phám tìm tòi, khám phá để đi đến kết quả đó.
– Các kiến thức kỹ năng của môn Toán ở cấp THCS có nhiều ứng dụng
trong đời sống, chúng rất cần thiết cho người lao động, rất cần thiết để học các
môn học khác ở cấp THCS và chuẩn bị cho việc học tốt môn Toán ở bậc Trung
học phổ thông.
– Môn Toán giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng và
hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có được
phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt
động có hiệu quả trong học tập và trong đời sống .
– Môn Toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp
suy nghĩ, phương pháp giải quyết vấn đề; góp phần bước đầu phát triển năng lực
tư duy, khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt đúng cách phát hiện và cách giải
quyết các vấn đề đơn giản, gần gũi trong cuộc sống; kích thích trí tưởng tượng,
gây hứng thú học tập Toán; góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ
độc lập, linh hoạt; khả năng ứng xử và giải quyết những tình huống nảy sinh
trong học tập và trong cuộc sống; nhờ đó mà hình thành và phát triển cho học
sinh các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động mới trong xã hội
hiện đại
Ở Tiểu học toán về diện tích hình tròn, hình quạt tròn học sinh đã được
làm quen, ở đó cũng có khá nhiều các bài tập liên quan, tuy nhiên nó thường
dừng lại là các bài tập cơ bản, không đa dạng, phong phú về dạng bài. Khi lên
trung học cơ sở vấn đề này lại tiếp tục được đề cập nhưng với sự mở rộng, đa
dạng hơn về diện đa giác, diện tích hình tròn, hình quạt tròn ở chương trình
lớp 8, 9 chiếm một vị trí rất quan trọng, lượng bài tập nâng cao rất phong phú.
5
Với các bài tập cơ bản thì học sinh không gặp nhiều khó khăn khi tư duy để
tìm ra bản chất cũng như phương hướng để giải quyết, nhưng vấn đề là ở những
bài toán nâng cao ở vấn đề này, theo đó rất nhiều học sinh khi gặp các bài toán
nâng cao liên quan đến về diện tích hình tròn, hình quạt tròn thường rất lúng
túng, không định hình được bản chất vấn đề khi tư duy dẫn đến là giải quyết vấn
đề chậm, thậm chí là không giải quyết được vấn đề.
Những bài toán kiểu này thường có bản chất là sẽ sử dụng các công thức về
diện tích đa giác học ở lớp 8 và về diện tích hình tròn, hình quạt tròn học ở
lớp 9 học sinh phải nắm chắc kiến thức và có kỹ năng tư duy để vận dụng, tìm
tòi để tìm ra phương án giải quyết hợp lý nhất. Thực trạng hiện nay, học sinh
còn rất lúng túng, chưa có kỹ năng để thực hiện những điều trên dẫn đến hiệu
quả học tập không cao, trực tiếp làm cho học sinh không còn nhiều hứng thú với
những bài toán trên
Đặc thù lớn nhất của học sinh trường Trung học cơ sở Nghĩa Hưng là luôn
có tinh thần học tập, nghiên cứu rất cao, khả năng tư duy tốt và làm thế nào để
thầy, cô có thể định hướng, để học sinh có thể phát huy tối đa những phẩm chất
đó.Từ những vấn đề trên tôi đã chọn vấn đề “Hướng dẫn học sinh tư duy giải
quyết các bài tập kết hợp diện tích đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt
tròn” để hệ thống lại các dạng bài và cách để tìm ra phương án giải quyết nhanh
chóng và hiệu quả nhất.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
a) Thực trạng trước khi áp dụng giải pháp:
– Về phía học sinh
Đối với bài tập kết hợp diện tích đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt
tròn các em sẽ gặp những bài toán đòi hỏi sự tư duy, suy luận và định hướng rõ
ràng thì mới có thể giải quyết được. Vì đây là dạng toán tổng hợp nên sự tư duy,
định hướng đó gặp rất nhiều khó khăn. Các bài toán liên quan đến các bài tập kết
hợp diện tích đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt tròn đòi hỏi học sinh phải
nắm chắc kiến thức, biết vận dụng một cách linh hoạt phương pháp và các công
6
thức tính diện tích liên quan, đặc biệt với những bài nâng cao dạng này học sinh
cần có sự tư duy ghép nối một cách chính xác, rõ ràng mới giải quyết được. Tại
trường trung học cơ sở Nghĩa Hưng, học sinh đã được lựa chọn có tư duy tương
đối tốt song khi gặp những bài toán liên quan đến các bài tập kết hợp diện tích
đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt tròn khó học sinh thường không biết bắt
đầu từ đâu, định hướng như thế nào để tìm ra phương pháp giải quyết nhanh và
hiệu quả nhất, thậm chí là không giải quyết được. Dẫn đến học sinh ngại học
hoặc sợ những bài toán dạng trên. Thực tiễn cho thấy giáo viên mới chỉ dừng lại
ở việc yêu cầu học sinh nắm vũng kiến thức mà chưa làm rõ được định hướng
ngay từ đầu nhằm hỗ trợ học sinh giải quyết vấn đề.
– Về phía giáo viên:
Khi dạy bài toán có liên quan đến diện tích chỉ quan tâm đến kết quả làm
bài của học sinh mà chưa quan tâm đến phương pháp tìm tòi, khám phá để đi
đến kết quả đó. Mặc dù đề thi vào trường THPT tỉnh Nam Định mấy năm gần
đây thường có các bài tập liên quan đến thực tế nhưng nội dung này cũng chưa
nhiều nên đối với giáo viên lớp 9 thường có suy nghĩ “Học để thi/ Học gì thi
nấy” bởi đây là lớp cuối cấp, ngoài việc cung cấp các kiến thức cho các em thì
còn phải ôn luyện cho học sinh thi vào THPT. Chính vì thế ít quan tâm đến con
đường tư duy giải quyết bài toán, phát triển năng lực mà chủ yếu là luyện các
bài tập theo đường mòn để học sinh thi đạt kết quả cao hơn.
b) Mục đích:
Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9, khi đưa ra các bài tập liên quan
đến các bài tập kết hợp diện tích đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt tròn thì
nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc tư duy tìm ra phương án giải quyết hoặc
không mấy hứng thú với dạng bài tập này. Chính vì thế với việc đưa ra sáng
kiến kinh nghiệm này nhằm hệ thống lại các dạng bài liên quan đến các bài tập
kết hợp diện tích đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt tròn ở chương trình
Toán lớp 8, 9, cùng với đó là những nhận xét, hướng dẫn gợi mở, phân tích cho
từng dạng giúp học sinh giải quyết các bài toán đó một cách nhẹ nhàng, nhanh
chóng hơn, Với các hình thức tổ chức dạy học đa dạng trong đó chú trọng đến
7
hoạt động trải nghiệm sáng tạo từ đó làm tăng hứng thú học tập cho học sinh.
Quan tâm đặc biệt đến đổi mới phương pháp dạy học tiếp cận chương trình giáo
dục phổ thông 2018 theo định hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh,
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Chuẩn bị các điều kiện áp dụng
Để hoạt động phát triển các bài toán có hiệu quả trong việc nâng cao năng
lực nhất là với đối tượng khá giỏi thì cần
– Khảo sát để nắm được trình độ, khả năng học tập, sở thích, phong cách
học tập, kinh nghiệm của học sinh, phân chia học sinh thành các nhóm trình độ
khác nhau.
– Tư vấn, hướng dẫn phương pháp học tập học sinh để nắm vững các định
nghĩa, định lí hình học. Học sinh hiểu được vai trò và những lợi ích của học tập
tích cực và chủ động.
– Giáo viên nghiên cứu kỹ và hiểu sâu về: các hình thức, phương pháp dạy
học nhằm phát triển tư duy và hứng thú khi gặp các dạng toán liên quan đến diện
tích đa giác và diện tích hình tròn, hình quạt tròn.
– Giáo viên điều chỉnh, đổi mới phương pháp, hình thức tổ chức hoạt động
dạy học, hoạt động trải nghiệm ngay trong quá trình và kết thúc mỗi giai đoạn
dạy học, giáo dục; kịp thời phát hiện những cố gắng, tiến bộ của học sinh để
động viên, khích lệ và phát hiện những khó khăn chưa thể tự vượt qua của học
sinh để hướng dẫn, giúp đỡ; đưa ra nhận định đúng những ưu điểm nổi bật và
những hạn chế của mỗi học sinh để có giải pháp kịp thời nhằm nâng cao chất
lượng, hiệu quả hoạt động học tập, rèn luyện của học sinh; góp phần thực hiện
mục tiêu giáo dục tổng thể 2018 của Bộ giáo dục.
– Tổ chức dạy học nhằm giúp học sinh hình thành và phát triển năng, phẩm
chất cũng không phải là mới tuy nhiên quá trình tổ chức dạy học để thể hiện
được rõ nét việc phát huy năng lực cá nhân, tạo điều kiện cho học sinh phát huy
được tính sáng tạo và phối hợp, tương trợ lẫn nhau trong học tập trong mỗi đơn
vị kiến thức, mỗi tiết học, hoạt động giáo dục vẫn cần sự thay đổi và thay đổi cụ
thể trong mỗi giáo viên. Một thay đổi cần làm cụ thể, thiết thực và quan trọng để
8
dạy học hình thành, phát triển phẩm chất, năng lực của cá nhân là lập kế hoạch,
tổ chức một số tiết học.
2.2. Phương pháp nghiên cứu
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
Nhóm phương pháp này nhằm thu thập các thông tin lý luận để xây dựng
cơ sở lý luận của đề tài như:
– Phương pháp khái quát hóa các nhận định độc lập.
b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
– Phương pháp điều tra;
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm GD;
– Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động;
– Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm, thực hành.
2.3. Các hình thức tổ chức dạy học
+ Dạy học cá nhân
+ Dạy học theo nhóm
+ Dạy học cả lớp
+ HĐ trải nghiệm sáng tạo
2.4 Cách thức thực hiện:
a) Cung cấp lý thuyết
b) Lựa chọn các bài tập phù hợp:
– Theo mức độ từ dễ đến khó,
– Từ những bài áp dụng công thức đến vận dụng để giải quyết những vấn
đề trong thực tiễn.
– Chuyển từ bài tập chú trọng kết quả chuyển sang trải nghiệm sáng tạo,
phát triển tư duy, năng lực cho học sinh.
9
* CÁC BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ TỪ DỄ ĐẾN KHÓ
Hình ảnh học sinh tìm hiểu bài toán
Học sinh sử dụng các công thức đã học về diện tích đa giác và diện tích có
liên quan đến hình tròn, hình quạt tròn… trong đó độ khó của bài toàn tăng lên
thì việc tư duy của học sinh để làm bài tập cũng tăng lên
10
Ví dụ 1: Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 36o.
Nhận xét: Bài này học sinh chỉ cần áp dụng công thức tính diện tích hình
quạt tròn.
Khi đó diện tích hình quạt tròn đã cho là:
2
.6 .36 2
11,3( )
q 360
S cm =  
Ví dụ 2: Tính diện tích hình tròn biết chu vi của nó là C
Gọi R và S lần lượt là bán kính và diện tích của hình tròn
Ta có:
2
4


=  =
C
C R R Vậy
2
2
2
 

 
= =  
 
C
S R
Ví dụ 3: Bài 85 – SGK toán 9 tập 2/T100
Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung
ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm AOB = 60o và bán
kính đường tròn là 5,1cm (h.64).
Nhận xét: Bài toán này HS cần nắm được công thức tính diện tích tam
giác và diện tích hình quạt tròn, Các kiến thức khác về đường tròn trong đó:
Mấu chốt:
Tam giác OAB là tam giác đều có cạnh R = 5,1cm
Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là:
2 3
4
a
S =
Diện tích hình viên phân = Dt hình quạt tròn cungAmB – Dt tam giác AOB
11
Do đó, diện tích tam giác đều OAB cạnh OA = R = 5,1cm là
5,1 3 2
(1)
4
S =
Diện tích hình quạt tròn AOB là:
.5,1 .60 867 2
(2)
360 200
 
=
Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là:
2
867 5,1 3 2
2,4( )
200 4
cm

– 
Ví dụ 4: Hình vành khăn là phần hình tròn giữa hai đường tròn đồng tâm
(h.65).
a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 ( giả sử R1 > R2).
b) Tính diện tích hình vành khăn theo R1 =10,5cm, R2 =7,8cm.
a) Diện tích hình tròn (O; R1) là S R 1 1 =  2.
Diện tích hình tròn (O; R2) là S R 1 2 =  2.
Diện tích hình vành khăn là S S S R R = – = – 1 2 1 2  ( 2 2).
b) Thay số:
S = – 3,14 10,5 7,8 . ( 2 2 )
Ví dụ 5: Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4cm.
Nhận xét: Từ hình vuông suy ra bán kính của đường tròn
HD:
Diện tích hình vành khăn = Dt hình tròn R1 – Dt hình tròn R2
12
Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4cm thì có R = 2cm
Vậy diện tích hình tròn là:   .2 4 . 2 2 = (cm )
Ví dụ 6: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với 4 cạnh hình vuông ABCD, biết cạnh
hình vuông bằng 4cm. Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài hình tròn.
Nhận xét: Diện tích phần cần tính = Diện tích hình vuông – DT hình tròn
O
B C
A D
Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc với BC AD , lần lượt tại K H ,
Suy ra OK BC OH AD ⊥ ⊥ ,
Mà BC AD K O H // , ,  thẳng hàng,
Do đó KH là đường kính của (O)
Tứ giác ABKH có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Suy ra KH AB cm = = 4
Suy ra bán kính của đường tròn (O) là 2cm
Gọi diện tích hình vuông, diện tích hình tròn lần lượt là S S 1 2 ;
Ta có:
( )
( )
2 2
1
2 2 2
2
4 16
.2 4
S cm
S R cm   
= =
= = =
13
Vậy diện tích cần tìm là: S S S cm = – = – 1 2 16 4 ( 2)
Ví dụ 7: Cho điểm H thuộc đoạn BC . Vẽ các nửa đường tròn đường kính
HB HC BC , , , đường thẳng vuông góc với BC tại H , cắt đường tròn đường kính
BC tại điểm A , (như hình vẽ). Biết AH cm = 3 , tính diện tích phần hình giới hạn
bởi 3 đường tròn ( phần hình tô đậm).
Mấu chốt:
A
B C
H
HD:
Gọi: các đường tròn đường kính BC HB HC , , có diện tích lần lượt là S S S 1 2 3 ; ; và
có bán kính tương ứng R R R 1 2 3 , , . Khi đó diện tích giới hạn bởi 3 đường tròn là:
( )
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
2
2 2
2 3 2 3 2
2 3
2 2
S S S S S S S
R R R R
R R cm
  

= – – = – +
+   +
= – =  
 

Mặt khác	vuông tại có đường cao , nên áp dụng hệ thức
lượng có:

ABC A AH ( )
2
2
2 3 2 3
2
9
. 4
4 4
9 4
AH
AH HB HC R R R R
S cm 
= =  = =
 =
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm O
đường kính AB.Biết BH = 2cm và HC = 6cm.Tính:
a. Diện tích hình tròn (O)
Diện tích cần tính = Dt hình tròn đường kính AB – Dt hình tròn (ĐK BH+ĐK HC)
14
b. Tổng diện tích hai hình viên phân AmH và BnH (ứng với các cung nhỏ)
c. Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với các cung nhỏ AH
a) Trong tam giác ABC vuông tại A ta có:
AB HB BC AB cm 2 = = + =  = . 2.(2 6) 16 4
Diện tích hình tròn tâm (O) là
2
4 ( ). 2
2
AB
S cm = =      
 
b) Trong tam giác vuông ABC ta có
AH HB HC AH cm 2 = = =  = . 2.6 12 2 3

Diện tích tam giác AHB:

S AH BH cm AHB = = = 1 1 2 2 . . .2.2 3 2 3( 2)
Tổng diện tích hai hình viên phân AmH và BnH bằng diện tích nửa hình
tròn tâm O đường kính AB trừ đi diện tích tam giác AHB, ta có:
S cm AHB = – = – 12 .4 2 3 2 3   ( )( 2 )
c) Ta có AB = 4cm, suy ra OB = 2cm
Tam giác OBH có OB = OH = HB = 2cm nên tam giác OBH đều
  ( )
 =  =
 = =
0 0
2
2
qu¹t
60 120
.2 .120 4
AOH 360 3
OBH sd AmH
S cm
Ví dụ 9: Một miếng gạch hình vuông có các đỉnh là A B C D , , , ;độ dài cạnh là
20cm (xem hình vẽ). Cung BD là một cung tròn của đường tròn tâm C, bán kính
là CD . Em hãy tính diện tích hình được giới hạn bởi AB, AD và cung BD . ( làm
tròn tới chữ số thập phân thứ hai)
15
Mấu chốt:
HD:
Diện tích hình vuông ABCD là: 20.20 400 = (cm2)
Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi CB CD , và cung BD là
( .20 ) : 4 100   2 2 = (cm )
Diện tích hình được giới hạn bởi AB CD , và cung BD là:
400 100 –  = – 100 4 (  ) (cm2)
Ví dụ 10: So sánh diện tích phần tô màu và phần để trắng trong hình sau:
Phần tô màu là nửa hình tròn có đường kính 4cm nên bán kính bằng 2cm
Diện tích phần tô màu: 1 1 . .2 2 ( ). 2 2 2
2 2
S R cm = = =   
Diện tích phần để trắng: S S S cm 2 1 = – = – = 4 2 2 ( ).    2
Vậy diện tích hai phần bằng nhau.
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài các cạnh
AB cm AC cm = = 8 , 6 . Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Tính diện tích
Diện tích cần tính = Dt hình vuông – Dt hình quạt tròn
16
hình tô đậm phía ngoài tam giác ( kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ
nhất)
Mấu chốt:
8 6
A
B O C
HD:
sin ACB AB
BC
=  sin 300
6
AB
=  AB = = 6.sin 30 3 0

(cm)

Xét ABC vuông tại A có:
Xét ABC vuông tại A có:
BC AB AC 2 2 2 = + ( Định lý Py-ta-go)
 AC2 2 2 = – = 6 3 27  = AC 3 3 (cm)
Diện tích nửa hình tròn (O) là:
.32
4,5
2

=  (cm2)
Diện tích ABC là: . 3.3 3 4,5 3
2 2
AB AC
= = (cm2)
Diện tích phần tô đậm là: 4,5 4,5 3 4,5. 3   – = – ( )(cm2)
Ví dụ 12: Cho hình thang vuông (như hình vẽ) có AD = 4cm, BC = 10cm,cạnh
CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O) đường kính AB tại M. Tính diện tích phần
hình thang vuông nằm ngoài nửa đường tròn (O) (phần hình tô đậm).
Kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất
10cm
4cm
C
D
A O B
M
Diện tích hình cần tính = Dt nửa hình tròn R1 – Dt tam giác ABC
17
HD: Diện tích phần tô đậm bằng:
Diện tích hình thang ABCD – Diện tích nửa đường tròn (O)
C/m OM AD BC OM cm AB cm 2 =  = = . 2 10( ); 4 10( )
Diện tích phần hình thang vuông nằm ngoài nửa đường tròn (O) bằng:
( ) . 2
2 2
AD BC AB +  OM
–
Ví dụ 13: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) . Tiếp tuyến
tại C với đường tròn (O) cắt AB AD , kéo dài lần lượt tại E F ; biết độ dài các
cạnh AB cm AD cm = = 6 , 6 3 .Tính diện tích phần tam giác EAF nằm ngoài nửa
hình tròn (O) (phần tô đậm trong hình vẽ bên , kết quả làm tròn đến chữ số thập
phân thứ nhất)
Mấu chốt:
F
E
O
B
A D
C
Diện tích tam giác vuông ADB là 1 . 18 3(cm ) 2
S AB AD ADB = = 2
Ta có: AC AB BC AB AD AC cm 2 2 2 2 2 2 = + = +  =144( )
FE là tiếp tuyến của đương tròn (O) tại C AC FE  ⊥
ACF vuông tại C có đường cao 2 . 24( ) 144
6
CB AC AB AE AE cm  =  = =
Tương tự ta có 144 8 3(cm)
6 3
FA = =
Diện tích hình bôi đen = Diện tích tam giác AEF – Dt tam giác ABD – DT
nửa đường tròn
18

Diện tích tam giác vuông là

Diện tích của nửa đường tròn là

FEA 1 . 96 3(cm ) 2
S FA EA FEA = = 2
(O) S R cm 1 = = = = 1 1 1 144 2 2 2 2 4     2 2 2 ( ) 18 AC ( )
Diện tích của hình tô đậm cần tính là
Ví dụ 14: Cho ABC đều có độ dài mỗi cạnh là a . Lấy A B C , , làm tâm lần lượt
dựng ba đường tròn cùng bán kính là a . Hãy tính diện tích phần chung của ba
hình tròn nói trên.
Nhận xét: Diện tích phần cần tính = 3. DT hình quạt tròn – 2.Dt tam giác
Vì ABC đều nên ABC ACB BAC = = = 600 .
Diện tích hình quạt tròn ABC là
2 2 .60
360 6
  a a
=
Kẻ đường cao AH của ABC ta có .sin 600 3
2
a
AH AB = =
2 3
ABC 4
a
 = S .
Các đường tròn tâm A B C , , có cùng bán kính a nên diện tích các hình
quạt tròn ABC ACB BAC , , bằng nhau.
Do đó diện tích phần chung của ba hình tròn là:
2 2 3 2 ( 3)
.3 .2
6 4 2
a
a a  –
– =
19
Ví dụ 15: Cho đường tròn (O cm ;6 )và điểm E trên nửa đường tròn sao cho
AOE = 60o. Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt tiếp tuyến tại A và B của
nửa đườn tròn lần lượt tại D và C.
Tính diện tích phần VOCD ở ngoài nửa đường tròn (tổng diện tích của hai
phần được tô đậm trong hình, làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )
Mấu chốt:
HD: Ta có AD AE , là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D CB CE ; , là hai tếp tuyến cắt
nhau tại C suy ra OC OD , là hai tia phân giác của hai góc kề bù suy ra
DOC = 90o

Diện tích quạt là:

MON ( )
2 2
2
1
.90 .6
9
360 4
R
S cm = = =   

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Lồng ghép trò chơi vào dạy học Toán ở trường THCS

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Ngành giáo dục nước ta trong những năm gần đây thực hiện theo chỉ thị
của Bộ GD&ĐT về “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”. Mục
tiêu chủ yếu của việc “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực” là làm
sao tạo nên một môi trường giáo dục an toàn, bình đẳng, lành mạnh, đảm bảo sự
gần gũi, gắn bó với nhân dân, xã hội, phụ huynh, học sinh, luôn tạo được sự
thỏa mái, bình yên, hứng khởi cho từng học sinh, phát huy được tính chủ động,
tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập và trong các hoạt động tập thể, hoạt
động xã hội một cách phù hợp và có hiệu quả cao,…
Ở góc độ là những giáo viên dạy học bộ môn Toán bậc THCS, chúng ta
suy nghĩ, nhận thức và đóng góp gì cho phong trào “Xây dựng trường học thân
thiện, học sinh tích cực” mà Bộ GD&ĐT đã phát động? Theo tôi, trước hết
chúng ta cần nhận thấy rõ rằng : Nếu trong từng tiết dạy học bộ môn Toán, mỗi
giáo viên bộ môn đầu tư xây dựng được “Lớp học thân thiện, học sinh tích cực”
thì có nghĩa là chúng ta đã đóng góp được một phần “nguyên liệu” để xây dựng
nên: “Trường học thân thiện, học sinh tích cực”.
Vậy làm sao để xây dựng được “Lớp học thân thiện, học sinh tích cực”?
Tôi thiết nghĩ rằng : Việc đưa các trò chơi vui nhộn, trí tuệ trên tinh thần “Học
mà chơi, chơi mà học” vào các tiết dạy học nói chung và tiết dạy học môn Toán
nói riêng, sẽ là một trong những yếu tố rất quan trọng để xây dựng nên một lớp
học như thế. Bởi vì, vui chơi vừa là nhu cầu, vừa là quyền lợi của các em học
sinh, nó giúp các em cân bằng được trạng thái tâm lí, tinh thần khi phải học hoài
những bài toán, những con số khô cứng, những tiết học căng thẳng,…
Sử dụng trò chơi trong dạy học Toán sẽ tạo ra được không khí học tập vui
tươi, hồn nhiên và hết sức sinh động trong từng tiết học, kích thích được tính tò
mò, ham học, trí tưởng tượng và tư duy sáng tạo, năng động của các em. Các trò
chơi có nội dung toán học lý thú và bổ ích phù hợp với việc nhận thức của các
em, thông qua các trò chơi các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách
dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm
say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm.
Từ những cơ sở, nhận thức nêu trên, cộng thêm những kinh nghiệm nhỏ
mà bản thân đã tích lũy được trong những năm học qua. Tôi xin được đóng góp
một Sáng kiến kinh nghiệm có tựa đề : “Lồng ghép trò chơi vào dạy học Toán ở
trường THCS”.
5
II. Mô tả giải pháp
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Toán học là bộ môn đòi hỏi học sinh phải tư duy và thực hành giải toán
nhiều… nếu như giáo viên không có phương pháp sư phạm tốt thì giờ học trở
nên quá tải, nặng nề, học sinh ít được tham gia hoạt động. Khó khăn lớn nhất đối
với học sinh khi học môn Toán đó là năng lực nhận thức, năng lực tư duy của
các em rất hạn chế. Các em dần chán nản, và đối với học sinh yếu kém sẽ không
thích môn học vì không tiếp thu nổi những kiến thức Toán đã vốn khó và khô
khan.
Để góp phần đổi mới phương pháp dạy học bộ môn Toán ở trường THCS
theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh, tăng cường hoạt động
cá thể với học tập giao lưu giải trí, hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn thì việc thiết kế và tổ chức trò chơi trong giờ học Toán là điều giáo
viên nên làm.
Như chúng ta đã biết thời gian một tiết học chỉ 45 phút dành cho các hoạt
động, cho nên việc ổn định và vận dụng trò chơi vào tiết dạy phải hết sức khẩn
trương, hợp lí và dễ hiểu thì mới mong tạo ra một tiết dạy đảm bảo về nội dung
và thời gian cũng như tính thú vị của trò chơi. Do đó giáo viên và học sinh
thường tỏ ra lúng túng nếu như các trò chơi không phù hợp, chơi không rõ ràng,
nội dung bài dạy không được chọn lọc cho phù hợp.
Trong các tiết dạy môn Toán nói chung, đa phần giáo viên dạy có thiết kế
và có tổ chức các hoạt động trò chơi và mang lại những hiệu quả ban đầu. Tuy
nhiên vẫn còn một số hạn chế như sau:
Giáo viên thường chỉ áp dụng các trò chơi đúng như sách giáo khoa trình
bày, chưa phong phú, chưa phát triển đa dạng các hình thức tổ chức và áp dụng
vào thực tế của tiết dạy, của đối tượng học sinh.
Công tác chuẩn bị cho các hoạt động này thường chỉ sơ sài do mất nhiều
thời gian và chưa thực hiện thường xuyên, chưa gây được hứng thú học tập cho
học sinh. Đa phần học sinh chỉ thực hiện theo kiểu gượng ép do cách thức tổ
chức chưa phù hợp, dẫn tới hiệu quả giờ học chưa cao.
Xem xét, so sánh hiệu quả về mặt tư tưởng, tâm lí học sinh và chất lượng
giờ dạy giữa tiết dạy có tổ chức trò chơi và cũng tiết dạy đó ở lớp khác nhưng
không tổ chức trò chơi, tôi thấy rằng thông qua các bài học đa dạng, giáo viên có
thể giúp các em lĩnh hội kiến thức một cách tự nhiên, sinh động và hiệu quả.
Bên cạnh đó còn làm mới lạ nội dung bài học, giúp học sinh có hứng thú tìm tòi
kiến thức mới, tránh tình trạng khô khan, nhàm chán do đặc thù của bộ môn.
6
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Những nhận định về trò chơi trong dạy học toán
Trò chơi trong dạy học toán có hai khía cạnh quan trọng:
– Một là, nội dung trò chơi là nội dung toán hoặc có liên quan trực tiếp,
giúp mở rộng, nâng cao kiến thức, kĩ năng toán đã học trong nhà trường.
– Hai là, mang đầy đủ tính chất của một trò chơi: có luật chơi, cách chơi,
gây hứng thú và sự thi đua giữa các học sinh, giữa các tổ nhóm.
a. Chọn lựa trò chơi:
– Giáo viên nên sàng lọc kiến thức kỹ trong tiết dạy sao cho phù hợp với
đối tượng học sinh của mình và tiết nào hay phần nào nên áp dụng trò chơi vào
cho cụ thể. Giáo viên phải biết chọn lựa trò chơi mang ý nghĩa giáo dục, sao cho
phù hợp với bài dạy về cả nội dung với thời lượng.
– Xác định được mục tiêu của trò chơi đưa ra là gì? (Giáo dục kĩ năng gì?
Phẩm chất gì? Khắc sâu nội dung gì của bài học?)
– Trò chơi đưa ra phải đa dạng, phong phú, phù hợp với tâm lí học sinh,
có tác dụng khích lệ tinh thần học tập cho tất cả các đối tượng học sinh trong
lớp, tránh bỏ rơi học sinh yếu kém ngoài cuộc.
– Trò chơi phải được chuẩn bị chu đáo, phải gây được hứng thú đối với
học sinh, không nên chọn những trò chơi chỉ được mặt vui nhộn, nhưng lại thiếu
tác dụng giáo dục về phẩm chất cũng như kĩ năng học tập.
b. Cấu trúc của Trò chơi học tập:
– Tên trò chơi
– Mục đích: Nêu rõ mục đích của trò chơi nhằm ôn luyện, củng cố kiến
thức, kỹ năng nào. Mục đích của trò chơi sẽ quy định hành động chơi được thiết
kế trong trò chơi.
– Đồ dùng, đồ chơi : Mô tả đồ dùng, đồ chơi được sử dụng trong Trò chơi
học tập.
– Nêu lên luật chơi: Chỉ rõ quy tắc của hành động chơi quy định đối với
người chơi, quy định thắng thua của trò chơi.
– Số người tham gia chơi: Cần chỉ rõ số người tham gia trò chơi
– Nêu cách chơi.
c. Cách tổ chức trò chơi:
– Thời gian tiến hành: thường từ 5 – 7 phút
7
– Đầu tiên là giới thiệu trò chơi: Nêu tên trò chơi, hướng dẫn cách chơi
bằng cách vừa mô tả vừa thực hành, nêu rõ quy định chơi.
– Bắt đầu chơi trò chơi.
– Nhận xét kết quả chơi, thái độ của người tham dự, giáo viên có thể nêu
thêm những tri thức được học tập qua trò chơi, những sai lầm cần tránh.
– Thưởng – phạt: Phân minh, đúng luật chơi, sao cho người chơi chấp
nhận thoải mái và tự giác làm trò chơi thêm hấp dẫn, kích thích học tập của học
sinh. Phạt những học sinh phạm luật chơi bằng những hình thức đơn giản, vui
(như chào các bạn thắng cuộc, hát một bài, nhảy lò cò…).
d. Phân loại trò chơi:
Có thể phân làm ba loại :
+ Trò chơi “Khởi động”.
+ Trò chơi “Làm cho tiết học sôi nổi”.
+ Trò chơi “Đánh giá và khuyến khích ”.
2.2. Một số trò chơi điển hình trong tiết dạy học Toán
2.2.1. Loại trò chơi “Khởi động”
Loại trò chơi này thường được dùng ở phần khởi động của bài hoặc trong
các tiết ôn tập khi ôn lại kiến thức cũ.
1- Trò chơi “Ai nhanh hơn?”
a. Yêu cầu:
– Chuẩn bị câu hỏi trước ra bảng phụ hoặc bằng máy tính dùng phần mềm
đa phương tiện Microsoft power point.
– Thời gian tiến hành: 5 – 7 phút đối với kiểm tra bài cũ, 7 – 10 phút đối
với kiểm tra bài cũ của ôn tập chương.
– Để tăng tính thú vị của trò chơi mỗi đội chơi cần đặt tên cho đội của
mình.
b. Cách tổ chức:
– Mỗi dãy bàn cử ra từ 4 – 6 bạn tạo thành hai đội chơi thi đấu với nhau
và xếp thành hai hàng .
– GV dùng bảng phụ ghi nội dung cần thực hiện ra yêu cầu mỗi đội chơi
cần thực hiện công việc.
8
* Cách ghi 1:
Ví dụ bảng phụ phần lý thuyết của bài ôn tập chương III đại số 8 như sau:
(mỗi đội chơi một bảng)
Hãy điền vào chỗ trống để được một câu trả lời đúng.
1. Phương trình bậc nhất một ẩn ………………………………………………….
2. Hai Phương trình tương đương nhau nếu ………………………………………
3. Hai quy tắc biến đổi phương trình là…………………………………………..
4. Số nghiệm của phương trình bậc nhất là ………………………………………
5. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu………………………………………………
6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình………………………………………
Trong thời gian 5 phút mỗi thành viên trong mỗi tổ chạy lên điền vào chỗ
trống ( mỗi thành viên chỉ được ghi một câu bất kỳ ) khi người nào ghi xong về
tới hàng thì thành viên tiếp theo mới được chạy lên hoàn thành tiếp công việc.
* Cách ghi 2:
Ghi thành hai bảng, yêu cầu ghép các câu ở bảng 2 vào bảng 1 để được
câu trả lời đúng:
Bảng 1

1. Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng 2. Hai phương trình tương đương là 3. Hai quy tắc biến đổi phương trình là 4. Số nghiệm của phương trình bậc nhất là: 5. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có các bước là: 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình có các bước là:

Bảng 2:

a. chuyển vế và nhân với một số khác 0 (chia cho 1 số khác 0) b. có cùng tập nghiệm. c. điều kiện, quy đồng + khử mẫu, giải, kết luận. d. có thể vô nghiệm, có một nghiệm duy nhất, hoặc có vô số nghiệm. e. lập phương trình (3 ý nhỏ), giải phương trình, trả lời. f. ax + b = 0 (a 0)


9
– Trong thời gian 5 phút mỗi thành viên trong mỗi tổ chạy lên ghép 1 câu
ở bảng 1 với một câu ở bảng 2 (mỗi thành viên chỉ được ghi một câu bất kỳ) khi
người nào ghi xong về tới hàng thì thành viên tiếp theo mới được chạy lên hoàn
thành tiếp công việc.
– Sau đó giáo viên cho học sinh nhận xét, đánh giá, tuyên dương.
2- Trò chơi “Đối đáp”
a. Yêu cầu:
– Chuẩn bị câu hỏi trước ra bảng phụ hoặc bằng máy vi tính với phần
mềm đa phương tiện Microsoft power point.
– Thời gian tiến hành: 5 – 7 phút đối với kiểm tra bài cũ, 7 – 10 phút đối
với kiểm tra bài cũ của ôn tập chương.
b. Cách tổ chức:
– Giáo viên nêu phạm vi giới hạn câu hỏi.
– Chia mỗi dãy thành một đội, mỗi đội chọn lấy một số bạn bằng nhau
tùy theo lượng câu hỏi xếp thành hai hàng dọc đứng quay mặt vào nhau và điểm
danh từ 1 đến hết để nhớ số.
– Em thứ nhất ở hàng 1 đặt câu hỏi, em thứ nhất ở hàng 2 trả lời. Lần sau
đổi lại em hàng 2 đặt câu hỏi trước cứ như thế đến hết.
– Sau mỗi lượt chơi, có thể kiểm tra em nào đúng. Nếu đúng được ghi 1
điểm. Sau một số lần chơi, hàng nào có số điểm cao hơn, hàng đó thắng cuộc.
2.2.2. Loại trò chơi “Làm tiết học sôi nổi”
– Trò chơi có tác dụng làm “ nóng” tiết học. Các trò chơi ở phần này
thường áp dụng vào giải quyết nội dung trong tiết học.
1- Trò chơi “Chung sức”
– Thay vì dùng phương pháp thảo luận nhóm bình thường mà chúng ta
thường hay sử dụng, thì trò chơi “Chung sức” sẽ giúp học sinh thảo luận nhóm
một cách nhẹ nhàng, hiệu quả, không bị gò ép, rập khuôn.
– Nhờ sự “Chung sức” của mỗi đội chơi, nhất là sự đóng góp, diễn giải
của những học sinh tích cực, học sinh khá – giỏi, các em học sinh trung bình,
yếu, kém sẽ có thêm cơ hội để nắm bắt kiến thức đã học, có cơ hội để lấy điểm
về mình nếu các em thực hiện đạt yêu cầu.
a. Yêu cầu:
– Giáo viên chuẩn bị sẵn ở nhà một số bài toán và đáp án có nội dung liên
10
quan đến tiết dạy.
– Học sinh chuẩn bị bảng nhóm, bút lông. Mọi thành viên phải tập trung
cao và phải có trách nhiệm “mình vì mọi người” thì mới mong thành công.
b. Cách tổ chức:
– Bốc thăm chọn ra 2 đội chơi. Quy định thời gian thảo luận.
– Giáo viên đưa bài tập trò chơi. Học sinh thực hiện nhóm, trong quá trình
thực hiện tìm ra đáp án, các thành viên phải đảm bảo hiểu hết bài.
– Khi có hiệu lệnh của giáo viên, lần lượt từng thành viên của 2 đội lên
bảng ghép đề bài và đáp án tương ứng vào phần bảng của đội mình (Cứ em này
về chỗ thì em khác mới được lên bảng).
– Sau thời gian quy định, giáo viên ra hiệu lệnh dừng cuộc chơi. Giáo viên
và cả lớp cùng chấm, khi chọn đáp án đúng cho đội, giáo viên có thể phỏng vấn
bất kì thành viên nào trong nhóm giải thích kết quả. Đội nào có cặp đề bài và
đáp án chính xác và nhiều hơn thì đội đó sẽ chiến thắng.
Ví dụ: – Khi dạy bài: “Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai”
(Tiết 8 – Đại số lớp 9), giáo viên có thể vận dụng kiến thức vào bài tập với nội
dung chơi gồm các bài tập sau:
Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.
5 5 1 2 2 2 3 2 .
; ; ; ; ; ; ;
10 2 5 3 20 5 2 3 1 3 1
2 3 2 3
; ; ; ; ;
2 3 3 2 1 6 5 10 7
y b y
b y
b p
b p
 
 

    
Với các đáp án tương ứng là:
10 5 5 2 2 3( 3 1) (3 ) (2 1)
; ; ; ; ; ; 3 1;7 4 3; ; ;
2 2 30 5 2 9 4 1
2( 6 5); 10 7
y b p p b b
b b p
    
 
 
 
– Trò chơi có thể nâng cao hơn bằng cách tìm ra tên của Nhà khoa học
hoặc một vị anh hùng, …: đặt các đáp án cho trước vào đúng chỗ cùng với các
chữ cái đi kèm tạo ra tên cần tìm.
2- Trò chơi “Thử tài trí nhớ”
Rèn luyện trí nhớ, tạo niềm vui thích , hăng say, tích cực học tập cho các
em học sinh.
11
a. Yêu cầu
– Giáo viên chuẩn bị một số nội dung cần thiết liên quan đến trò chơi (Ghi
sẵn lên bảng phụ hoặc dùng máy tính sử dụng phần mềm Microsoft Word hay
Microsoft Paint hoặc phần mềm đa phương tiện Microsoft power point ).
b. Cách tổ chức
– Giáo viên cho bốc thăm chọn 2 đội chơi.
– Mời cả hai đội lên bảng (đứng hai góc hướng về bảng).
– Giáo viên gắn nội dung cần thử trí nhớ lên bảng, cho 2 đội quan sát từ
30 giây đến 1 phút, sau đó giáo viên lấy bảng phụ xuống, yêu cầu 2 đội ghi lại
những nội dung mà mình đã nhìn thấy.
– Đội có nội dung ghi lại đúng và nhiều hơn là đội chiến thắng.
Ví dụ: Khi dạy bài “Ôn tập chương I” (Tiết 17 – Hình học 9), giáo viên
có thể ghi sẵn các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, một số
tính chất của các tỉ số lượng giác lên bảng phụ. Cho học sinh chơi theo luật.
3- Trò chơi “Cùng nhau leo núi”
– Mục đích trò chơi rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh. Thực hiện
các mục tiêu đã đưa ra trong Trò chơi “chung sức”.
a. Yêu cầu:
– Giáo viên chuẩn bị trước một số bài tập liên quan đến bài học theo cấp độ
từ dễ đến khó.
b. Cách tổ chức:
– Giáo viên sắp xếp các bài tập theo dạng hình tháp, càng lên cao càng
khó dần (Hình vẽ ở ví dụ dưới đây)
– Làm thủ tục bốc thăm chọn 2 đội chơi.
– Mỗi thành viên của mỗi đội lên giải một bài tập (Giải từ dưới lên trên),
sau đó về chỗ để thành viên khác của đội mình lên giải tiếp.
– Đội nào “Leo” lên đỉnh sớm hơn và có số câu trả lời đúng nhiều hơn, đội
đó thắng cuộc.
Ví dụ: Khi dạy bài: “Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai, số thực” (Tiết
17 – Đại số 7), giáo viên có thể cho các đội thực hiện trò chơi “Cùng leo núi”
với các bài toán có nội dung được sắp xếp như sau:
12
Có thể thực hiện trò chơi này để củng cố tất cả các bài học có sự tính toán.
4- Trò chơi “Đua xe về đích”
a. Yêu cầu:
– Nội dung bài tập phải từ dễ đến khó thì mới tạo sự hấp dẫn của trò chơi.
– Thời gian có thể là 10 phút – 15 phút.
– Phải giải bài tập theo thứ tự từ câu đầu đến câu cuối.
b. Cách tổ chức:
– Cho 4 tổ đua với nhau (nội dung bài tập của 4 nhóm là như nhau)
– Dùng máy tính sử dụng phần mềm Microsoft Word hay Microsoft Paint
hoặc phần mềm đa phương tiện Microsoft power point để tạo “đường đua” cho
4 tổ, ví dụ đường đua có 4 chướng ngại vật là:

Xuất phát

-x

-5/2

-1

10

Đích

Xuất phát

-x

-5/2

-1

10

Đích

Xuất phát

-x

-5/2

-1

10

Đích

Xuất phát

-x

-5/2

-1

10

Đích

– Mỗi ô coi như một chướng ngại vật, trên mỗi ô là kết quả của câu 1; 2;
3; 4.
– xe này có thể dễ dàng thay đổi vị trí để khi học sinh giải xong
chiếc xe sẽ được chuyển đến vị trí cần thiết.
13
– Nhóm nào giải xong câu nào đúng với kết quả thì xe của nhóm ấy
vượt qua chướng ngại vật đó (học sinh giải bài ra phiếu học tập hoặc bảng
nhóm).
– Sau thời gian quy định xe của nhóm nào tiến lên cao nhất thì nhóm đó
chiến thắng (trường hợp chưa hết thời gian mà nhóm nào tới đích thì cuộc chơi
coi như dừng lại tại thời điểm đó và nhóm đó chiến thắng).
– Sau đó giáo viên cho sửa bài và công nhận các vượt chướng ngại vật
của các tổ là đúng. Giáo viên nhận xét cuộc thi.
4- Trò chơi “Lật ô tìm hình”
a. Yêu cầu:
– Dùng máy tính sử dụng phần mềm hỗ trợ chuẩn bị trò chơi.
– Chọn nội dung cho người chơi phải phù hợp. Mọi học sinh phải tập
trung, có tinh thần tích cực, tự giác.
b. Cách tổ chức:
– GV chọn một hình ảnh có thể là một địa danh, một nhà toán học, một
chủ đề tháng …Hình ảnh này bị che bởi một số câu hỏi về toán học.
– Học sinh làm việc theo nhóm có thể chọn câu hỏi tùy ý theo sự thống
nhất của cả tổ. Nếu HS trả lời đúng thì bức tranh sẽ dần lộ ra, trả lời sai tại vị trí
đó sẽ bị che.
Ví dụ: Dạy học trong tháng 11, giáo viên chọn hình như sau:
14
Sau đó che bằng 6 gói câu hỏi có màu sắc khác nhau
Chẳng hạn học sinh chọn gói câu hỏi 5 và trả lời đúng thì tấm thứ 5 sẽ được
lấy đi

1	2	3
4	5	6

1	2	3
4	6

15
Và cứ như vậy đến khi học sinh đoán ra bức tranh hoặc trả lời hết các câu
hỏi…Thông qua bức tranh giáo viên có thể giới thiệu qua ngày 20/11 và truyền
thống tôn sư trọng đạo của dân tộc…
5- Trò chơi “Ô chữ”
– Rèn luyện tính nhanh nhẹn, khả năng quan sát và hợp tác tốt cho học
sinh. Học sinh củng cố kiến thức một cách nhẹ nhàng, tự chủ, vui tươi.
a. Yêu cầu:
– Giáo viên dùng máy tính sử dụng phần mềm Microsoft Word hay
Microsoft Paint hoặc phần mềm đa phương tiện Microsoft power point để hỗ trợ
trò chơi trong tiết dạy.
b. Cách tổ chức:
– Có thể cho học sinh toàn lớp chơi. Học sinh được tổ chức chơi như các
trò chơi ô chữ.
Ví dụ: Khi củng cố bài: “Số nguyên tố. Hợp số” (Tiết 25 – Toán 6)
– GV: Chia lớp thành ba nhóm. Mỗi nhóm chọn một hàng ngang và trả lời
câu hỏi để mở hàng ngang đó, lần lượt đến khi mở hết 9 hàng ngang thì các
nhóm rung chuông dành quyền trả lời hàng dọc.
+ Trả lời đúng mỗi từ hàng ngang được 10 điểm, nếu trả lời sai thì bị trừ
đi 2 điểm và dành quyền trả lời cho đội khác.
+ Giải được từ hàng dọc được 30 điểm.
+ Sau khi kết thúc trò chơi đội có số điểm cao nhất đội đó dành chiến
thắng.

1	H	Ơ	P	S	Ô
2	T	Â	P	R	Ô	N	G
3	G	I	A	O	H	O	A	N
4	K	Ê	T	H	Ơ	P
5	S	Ô	N	G	U	Y	Ê	N	T	Ô
6	X
7	S	Ô	T	Ư	N	H	I	Ê	N
8	V	E	N
9	N

16
– Câu hỏi các từ hàng ngang:

1	Tên gọi chung của tất cả các số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
2	Tên gọi của tập hợp không có phần tử nào cả
3	Công thức a + b = b + a thể hiện tính chất này
4	Công thức ( a . b ) . c = a . ( b . c) thể hiện tính chất này
5	Tên gọi của tất cả các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó
6	Cái được dùng làm kí hiệu cho một phép toán
7	Tên gọi chung cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
8	Đây là một loại biểu đồ để biểu diễn tập hợp
9	Đây là kí hiệu của tập hợp số tự nhiên

Từ hàng dọc: Ơ-ra-tô-xten. Ông là nhà toán học cổ Hi Lạp, là người đã
phát minh ra một loại sàng không phải để sàng lúa, gạo mà là để sàng số nguyên
tố được gọi là sàng Ơ-ra-tô-xten.
6- Trò chơi “Ai sai chỉ giúp”
– Củng cố nội dung sau mỗi đơn vị kiến thức được học, thông qua việc
suy nghĩ và lập luận để tìm ra chỗ sai của bài toán đã được giải sẵn. Rèn cho học
sinh kỹ năng trình bày, lý luận học sinh hiểu chắc, hiểu sâu kiến thức. Khơi dậy
mạnh mẽ khả năng tư duy tích cực của học sinh.
a. Yêu cầu:
– Giáo viên chuẩn bị nội dung bài toán có lời giải sai trên máy chiếu hoặc
bảng phụ, bảng phụ cho học sinh trình bày, bút viết bảng phụ.
b. Cách tổ chức:
– Chia làm 6 đội chơi mỗi đội 5 học sinh, các đội có 3 phút hội ý trình bày
lại lời giải của đội mình trên bảng phụ của nhóm. Đội nào nhanh nhất lên nộp
bài , hết thời gian giáo viên gia hiệu lệnh các nhóm lên nộp bài treo bảng nhóm
lên bảng giáo viên và học sinh cùng nhận xét.
– Đội thắng cuộc là đội tìm ra chỗ sai và giải lại nhanh và chính xác nhất.
* Lưu ý: Giáo viên tổ chức nhóm và các thành viên trong nhóm tùy thuộc
vào sĩ số của lớp và phân chia một cách hợp lý khoa học để phát huy hết
khả năng của tất cả các đối tượng học sinh của lớp mình.
17
Ví dụ: Cho bài toán : ∆ABC có AB = 8cm; AC = 17cm; BC = 15cm.
∆ABC có phải là tam giác vuông hay không ?
Bạn An giải như sau.
AB2 + AC2 = 82 + 172 = 64 + 289 = 353
BC2 = 155 = 225
Do 353 ≠225 nên AB2 + AC2 ≠ BC2
Vậy ∆ABC không phải là tam giác vuông.
Bạn Lan giải như sau.
BC2 + AC2 = 152 + 172 = 225 + 289 = 514
AB2 = 85 = 64
Do 514 ≠ 64 nên BC2 + AC2 ≠ AB2
Vậy ∆ABC không phải là tam giác vuông.
Ai giải đúng, ai giải sai ? Nếu sai giải lại cho đúng.
2.2.3. Loại trò chơi “Đánh giá và khuyến khích”
Thường áp dụng vào cuối tiết học nhằm đánh giá việc tiếp thu kiến thức
của học sinh.
1- Trò chơi “Ai nhanh tay nhanh mắt”
– Rèn luyện tính nhanh nhẹn, khả năng quan sát tốt, phản xạ nhanh cho
học sinh. Học sinh củng cố kiến thức một cách nhẹ nhàng, tự chủ, vui tươi.
a. Yêu cầu:
– Giáo viên ghi sẵn một số kiến thức cần thiết lên bảng phụ hoặc màn hình
chiếu máy tính.
– Học sinh chuẩn bị phiếu học tập cá nhân, phải có tinh thần tự giác, tích
cực.
b. Cách tổ chức:
– Giáo viên đưa ra nội dung trò chơi lên bảng, yêu cầu học sinh tìm và liệt
kê những hình, những số, những vấn đề liên quan đến bài học.
– Trong 3 – 5 phút, giáo viên thu bài và chấm xem học sinh nào nắm bắt
vấn đề nhiều nhất, thực hiện nhanh nhất, chính xác nhất hơn thì học sinh đó sẽ
giành chiến thắng.
18
Ví dụ: – Khi dạy xong bài: “Đơn thức đồng dạng” (Tiết 54 – Đại số 7),
giáo viên ghi sẵn lên máy chiếu (bảng phụ) hàng loạt đơn thức, yêu cầu học
sinh ghi ra những đơn thức đồng dạng vào phiếu học tập của mình, học sinh nào
thực hiện nhanh hơn và tìm ra được nhiều đơn thức đồng dạng hơn thì sẽ chiến
thắng.
– Khi dạy xong bài: “Tứ giác nội tiếp” (Tiết 48 – Hình học 9), giáo viên
cho học sinh tìm ra những tứ giác nội tiếp được đường tròn trong các hình như:
Hình thang, hình thang vuông, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình
chữ nhật, hình vuông, tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, tứ giác có hai
đường chéo vuông góc,….HS chiến thắng là HS tìm ra nhiều và chính xác hơn
các tứ giác nội tiếp đường tròn.
2- Trò chơi “Đuổi hình bắt chữ”
– Qua trò chơi này học sinh được ôn lại các định lí, kiến thức đã học. Từ
các hình vẽ các em phát hiện được ra các định lí đã học, rèn luyện tính nhanh
nhẹn, khả năng quan sát tốt và tư duy tốt cho học sinh.
a. Yêu cầu:
– Giáo viên chuẩn bị nội dung trò chơi trên màn hình: vẽ các hình vẽ tùy
theo nội dung bài và kiến thức mà giáo viên cần học sinh phát hiện ra.
b. Cách tổ chức:
– Lớp chia thành 3 – 4 nhóm.
– Học sinh nhìn hình đoán nội dung và giành quyền trả lời. Trả lời đúng
giành điểm, trả lời sai nhường quyền cho đội còn lại.
– Đội thắng cuộc là đội giành nhiều điểm nhất.
Ví dụ: Dạy bài Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường
xiên và hình chiếu ( Hình học 7) tôi đã đưa ra một số hình ảnh sau để học sinh
đoán:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường
thẳng đến một đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
19
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường
thẳng đó, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường
thẳng đó, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường
thẳng đó, nếu hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau …
3- Trò chơi “Tiếp sức”
Trò chơi nhằm củng cố kiến thức toàn bài mà không gây nhàm chán, tạo
hứng thú trong học tập ở học sinh, nêu cao tinh thần hợp tác nhóm.
a. Yêu cầu:
– Giáo viên: Bảng phụ ghi cách chơi trò chơi
– Học sinh: Giấy nháp, máy tính bỏ túi
b. Cách tổ chức:
– Hai đội xếp thành 2 hàng dọc, mỗi đội 5 HS.
– GV nêu luật chơi: Mỗi HS làm một bước sau đó quay về trao phấn cho
người đứng sau và di chuyển xuống cuối hàng, cứ như thế cho đến khi hoàn
thành bài giải. Người sau có thể sửa lời giải người làm trước nhưng khi đó
không được làm tiếp mà phải trở về vị trí cho bạn khác lên làm tiếp.
– Đội nào xong trước và đúng nhiều hơn coi như thắng cuộc
Ví dụ: Sau khi đã hoàn thành nội dung bài học “Tổng ba góc trong một
20
tam giác” giáo viên giành thời gian 3 phút còn lại tổ chức cho học sinh chơi trò
chơi.
– GV yêu cầu tính số đo ở các cánh hoa còn lại, sao cho tổng số đo 2 cánh
đối diện và tâm là số đo ba góc của một tam giác. Hai nhóm chơi, bạn trước tính
xong, mới đến bạn tiếp sau, thời gian 3 phút.
– Đội nào xong trước và đúng nhiều hơn là đội thắng cuộc.
4 – Trò chơi “Hộp quà may mắn”
a. Yêu cầu:
– Giáo viên: Dùng máy tính sử dụng phần hỗ trợ trò chơi hoặc có thể
chuẩn bị thủ công 4 hộp quà với 4 màu khác nhau, trong mỗi hộp quà chứa một
câu hỏi và một phần quà hấp dẫn. Nếu trả lời đúng câu hỏi thì món quà sẽ hiện
ra. Nếu trả lời sai thì món quà không hiện ra. Thời gian suy nghĩ cho mỗi câu là
10 giây.
– Học sinh: Giấy nháp
b. Cách tổ chức:
– Có 4 hộp quà khác nhau, trong mỗi hộp quà chứa một câu hỏi và một
phần quà hấp dẫn. Nếu trả lời đúng câu hỏi thì món quà sẽ hiện ra. Nếu trả lời
sai thì món quà không hiện ra. Thời gian suy nghĩ cho mỗi câu là 10 giây.
65
Nhãm 1 90
Nhãm 2
55
90
45
80 10
25
50
55
21
– Mỗi tổ cử ra một bạn chơi trò chơi, lần lượt mỗi người chọn một ô màu,
4 người cùng trả lời, ai trả lời đúng và nhanh nhất giành được điểm cho tổ mình.
Ví dụ: Củng cố tính chất “Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác”
cho học sinh giáo viên tổ chức trò chơi gồm 4 hộp quà và nội dung 4 câu hỏi
tương ứng 4 hộp quà, học sinh các nhóm tham gia chọn hộp quà và giành điểm
và quà về cho đội:
Vàng Xanh Tím Đỏ

Hộp quà màu vàng: Trên hình vẽ, khẳng định sau đây đúng hay sai: Hộp quà màu xanh: Trên hình vẽ, khẳng định sau đây đúng hay sai:

Hộp quà màu tím: Trên hình vẽ, khẳng định sau đây đúng hay sai:

Hộp quà màu đỏ: Trên hình vẽ, khẳng định sau đây đúng hay sai:

III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại
1. Hiệu quả về mặt kinh tế
Đề tài trên được thực hiện tại trường THCS Kim Thái trong những năm
học qua kết quả đạt được như sau:
+ Các tiết học trở nên vui hơn, sôi nổi hơn. Nhờ đó, tôi cảm thấy tự tin
hơn trong mỗi tiết dạy, cảm thấy yêu nghề, yêu học sinh hơn.
+ Đối với đơn vị trường THCS, đa số các giáo viên đã thành công trong
việc tổ chức một tiết học có kết hợp trò chơi, góp phần đẩy mạnh phong trào thi
đua đổi mới phương pháp dạy học.
+ Học sinh đã có hứng thú hơn với môn học và kết quả đạt được cao hơn
sau mỗi tiết học. Các em thích được thể hiện mình, thích được trình bày kết quả
mình làm được, thích được giúp những bạn yếu hơn.
+ Những học sinh yếu kém nhờ đó mà mạnh dạn hơn, bớt tự ti, bớt ngại
với
DG 1
=
DH 2
DG
= 3
GH
GH 1
=
DH 3
GH 2
=
DG 3
G
D
E H F
K
22
Toán. Do đó các em cũng đi học chuyên cần hơn, góp phần cùng nhà trường
trong công tác vận động học sinh đến trường và đi học chuyên cần.
Chính vì vậy, sáng kiến giúp ích cho giáo viên trong quá trình giảng dạy,
giúp học sinh phát triển năng lực toàn diện, hiệu suất công việc sẽ tăng do đó
hiệu quả, lợi ích kinh tế sẽ tăng.
2. Hiệu quả về mặt xã hội
Qua thực tế giảng dạy tiếp xúc với học sinh, thông qua kết quả khảo sát về
sự hứng thú học tập môn Toán của học sinh trường THCS Kim Thái, tôi thấy
việc áp dụng lồng ghép các trò chơi vào dạy học thật sự đã tác động mạnh mẽ
vào sự hứng thú học tập của học sinh.
Vào mỗi giờ học có sử dụng trò chơi học sinh hứng thú, hăng hái phát
biểu, thể hiện sự hiểu biết một cách rõ rệt. Sự hưng phấn của các em còn thể
hiện ở nhiều câu hỏi rất lý thú, đầy ngạc nhiên và vô tư của lứa tuổi học trò.
Thực sự tôi thấy khai thác và sử dụng trò chơi vào giảng dạy đã làm thay
đổi cách nhìn, cách nghĩ và cách học của học sinh một cách rõ rệt. Sự hứng thú
trong học tập bộ môn đã tăng lên thể hiện qua bảng khảo sát dưới đây:
Bảng 1: Kết quả khảo sát sự hứng thú học tập môn Toán của một số lớp
khi chưa lồng ghép trò chơi vào tiết học (Khảo sát vào đầu năm học 2019-2020)

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Kỹ thuật dạy các dạng về so sánh trong chương trình toán 6

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỂU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
❖ Điều kiện khách quan:
– Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục hiện nay, do nhu cầu của việc đổi
mới nội dung, phương pháp giáo dục.
Hiện nay, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn nữa công tác giáo dục và coi
đây là một trong những yếu tố quan trọng góp phần phát triển kinh tế xã hội. Giáo
dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp
cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến
việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì
qua việc học.
Mục đích của đổi mới giáo dục hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể
chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu,
định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện,
chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học,
năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả
năng sáng tạo, tự học của người học.
Năm học 2020-2021 là năm tiếp tục tích cực triển khai chương trình hành
động thực hiện nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 hội nghị Ban chấp
hành Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và đào tạo:
“Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát
huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người
học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy
cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và
đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp
sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa,
nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông
trong dạy và học”. Để thực hiện tốt mục tiêu về đổi mới căn bản, toàn diện
2
GD&ĐT theo Nghị quyết số 29-NQ/TW, cần có nhận thức đúng về bản chất của
đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học và
một số biện pháp đổi mới phương pháp dạy học theo hướng này. Bộ Giáo dục và
Đào tạo đã ban hành chương trình GDPT mới với yêu cầu phát triển 5 phẩm chất
chủ yếu và 10 năng lực cốt lõi cho học sinh.
– Do tri thức ngày càng nhiều nên việc hướng dẫn học sinh tiếp thu tri thức cần
chủ động và có phương pháp.
3
Để đảm bảo được các yêu cầu trên phải thực hiện chuyển từ phương pháp
dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến
thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Tăng cường việc học
tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên – học sinh theo hướng cộng tác có ý
nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập những
tri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề
học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức
hợp.
Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và
phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông
tin…), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư
duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp
đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào
cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận
thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.
4
Theo tinh thần đó, các yếu tố của quá trình giáo dục trong nhà trường phổ
thông cần được tiếp cận theo định hướng mới. Việc xây dựng các chủ đề dạy học
một cách hợp lý, khiến cho kiến thức môn học trở nên sinh động, hấp dẫn, có ưu
thế tạo ra động cơ, hứng thú học tập cho học sinh.
❖ Điều kiện chủ quan:
– Lợi ích của môn Toán:
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một
vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng
phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có
hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,
mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả
năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất
đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra
đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và
hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong
5
muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước,
ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm
tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện
toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ
năng:
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ
nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến
thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc
trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. Để có một lời
giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến
thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán.
– Vị trí của bài toán so sánh số trong chương trình trung học cơ sở:
Trong môn Toán, mảng kiến thức về so sánh số chiếm một vị trí hết sức quan
trọng. Nó là cơ sở, nền tảng vững chắc cho các mức độ tiếp theo như: so sánh hai
biểu thức, bất đẳng thức…
Thực tế cho thấy ở chương trình toán học THCS học sinh được tiếp cận với
dạng toán này nhưng ở mức độ đơn giản và riêng lẻ. Tuy nhiên trong hầu hết các
đề thi đều có sử dụng mảng kiến thức này. Cấp độ mà các đề thi sử dụng lại thường
6
là ở mức vận dụng cao. Để giải các bài toán ở dạng này luôn đòi hỏi học sinh phải
có khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa … Vì thế
khi dạy học về dạng toán này giáo viên phải rất vất vả trong việc hướng dẫn, tuyển
chọn những bài tập sao cho phù hợp.
Để giải quyết được những vấn đề đó tôi đã tự biên soạn cho mình nội dung
về chuyên đề “So sánh” trong chương trình toán 6 cho phù hợp với đối tượng học
sinh, phát triển được các năng lực, phẩm chất của học sinh. Nếu học sinh biết giải
và giải thành thạo loại toán này thì việc học bộ môn Toán, đặc biệt là các chuyên
đề khó sẽ không còn là rào cản hay thách thức đối với học sinh, giúp học sinh đam
mê học toán, các bài giảng như những con đường giúp học sinh có thể tự đi tiếp
để khám phá những kiến thức sâu hơn và nâng cao hơn nữa của Toán học.
Đặc biệt, trong các tiết dạy khi tôi có câu hỏi hoặc bài tập khó dành cho các đối
tượng học sinh giỏi các em rất phấn khởi thi đua nhau giải, rồi cũng có lúc cả lớp
mặt buồn thiu vì không ai làm được. Đến lúc tôi chữa bài những ánh mắt của các
em nhìn tôi không chớp và miệng như nuốt từng lời của tôi. Động lực đó thôi thúc
tôi, càng làm tôi trăn trở hơn trong mỗi tiết dạy. Tôi đã tìm tòi và tự biên soạn cho
mình nhiều chuyên đề phù hợp với tất cả các đối tượng học sinh trong lớp để giúp
các em học sinh có nền tảng kiến thức vững chắc, dễ dàng mở rộng và nâng cao
kiến thức sau này. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc nhất là “ Phát triển
năng lực giải toán của học sinh thông qua các bài toán về so sánh trong chương
trình toán 6”.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP KỸ THUẬT
1. Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến
❖ Về phía giáo viên:
Khi chưa có sáng kiến tôi đã tiến hành giảng dạy nội dung, các dạng toán về so
sánh như sau: Tôi cung cấp cho học sinh đầy đủ phần lý thuyết trong sách giáo
khoa và có bổ sung một số các ví dụ về so sánh hai phân số, các cách so sánh các
luỹ thừa. Các bài tập tôi hướng dẫn học sinh cũng từ sách giáo khoa, sách bài tập
7
và đến từ các loại sách tham khảo nhưng không chia theo dạng . Đến các kì kiểm
tra khảo sát chất lượng, tôi sưu tầm bộ đề kiểm tra, dành một phần thời lượng để
chữa các bài tập khó trong bộ đề, tìm thêm các bài tương tự cho học sinh luyện
tập.
❖ Về phía học sinh:
Học sinh chưa nắm được các phương pháp giải bài toán về so sánh, chưa nhận
biết được các dạng toán cơ bản nên khi vận dụng chưa linh hoạt. Khi chữa theo
bộ đề các em tiếp cận các bài so sánh ở dạng phức tạp theo kiểu riêng lẻ, chính vì
vậy không có sự liên kết logic giữa các bài tập hoặc không hình thành được tính
đặc trưng của từng dạng toán. Đôi khi học sinh cảm thấy bất ngờ với lời giải của
giáo viên và chỉ tiếp thu theo kiểu bị động, bắt chước. Như vậy sẽ dẫn tới tâm lí
“sợ bài khó” không còn hứng thú học tập bộ môn và lòng say mê khám phá với
các kiến thức mới lạ.
❖ Về sách giáo khoa và sách bài tập:
– Các bài tập thuộc dạng toán so sánh trong sgk đều là các bài tập cơ bản
– Các bài tập trong sách bài tập có sự mở rộng nâng cao ở nhiều dạng:
• Bài 60/Tr13/SBT Toán 6 tập 1: So sánh a và b mà không tính cụ thể giá trị
của chúng a = 2002.2002 và b = 2000.2004
• Bài 65/Tr29/ Toán 6 tập 1: Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn
trong hai số sau
3 2 4 2
5 2 10
a ) 2 và 3 b ) 2 và 4
c ) 2 và 5 d )2 và 100
• Bài 6.7/SBT Toán 6 tập 2 -Tr17: So sánh: = = + +
+ +
18 17
19 18
17 1 17 1
A và B
17 1 17 1
• Bài 6.8/SBT Toán 6 tập 2 -Tr17: So sánh: = = + +
+ +
99 98
89 88
98 1 98 1
C và D
98 1 98 1
• Bài 73/SBT Toán 6 tập 2 – Tr20: Cho
S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + +
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Hãy so sánh S và 1
2
8
• Bài 8.4/SBT Toán 6 tập 2 – Tr21:
Cho tổng A = 1 1 1 1 1 + + + + + …
10 11 12 99 100
Chứng tỏ rằng A > 1
• Bài 9.7/SBT Toán 6 tập 2 – Tr24 :

Chứng tỏ rằng:

D … 1 = + + + +  1 1 1 1 2 2 2 2
2 3 4 10
• Bài 11.4/SBT Toán 6 tập 2 – Tr28:
Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 2 + + + +  …
101 102 299 300 3
• Bài 11.6/SBT Toán 6 tập 2 – Tr28:
Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 + + + +  … 2
5 6 7 17
• Bài III.5/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41:
Chứng minh rằng: S … 1 = + + + +  1 1 1 1 2 3 20
2 2 2 2
• Bài III.6/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41: Có bao nhiêu cách viết phân số 1
5
dưới
dạng tổng của hai phân số 1 1 +
a b
với 0 < a < b?
• Bài III.7/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho
tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất.
• Bài III.8/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41:Có thể tìm được hai chữ số a và b sao
cho phân số a
b
bằng số thập phân a,b hay không?
Như vậy: SBT đưa ra khá nhiều bài tập khó nhưng không phân chia theo dạng,
các phương pháp giải chưa cụ thể, chia có tính logic dẫn đến việc khó khăn trong
tiếp thu kiến thức của học sinh .
❖ Về sách tham khảo:
Hiện nay có quá nhiều các loại sách tham khảo bán tràn lan trên thị trường.
9
Tôi đã mua nhiều sách tham khảo và tìm đọc nội dung về so sánh số. Tôi nhận
thấy các sách tham khảo thường viết rất nhiều nội dung, nên việc đề cập đến nội
dung so sánh thường rất sơ lược, hoặc không bao quát hết tất cả các kỹ thuật về
so sánh .
Đặc biệt: Một số bài có hướng dẫn giải chưa hay.
Ví dụ: Bài 477 NC&PT trang 35 như sau:
Cho biểu thức
Chứng minh rằng 0,2 < A < 0,4
Hướng dẫn giải trong sách NC & PT trang 35

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 – + – + – + … + –
2 3 4 5 6 7 98 99
=
     
     
     
A
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất bằng 13
60
nên lớn hơn 12
60
, tức là lớn hơn 0,2,
còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A > 0,2

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – + – + – – – … – – –
2 3 4 5 6 7 8 97 98 99
=
     
     
     
A
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất nhỏ hơn 2
5
, còn các dấu ngoặc sau đều dương,
dó đó A < 0,4. Như vậy: 0,2 < A < 0,4
Nhận xét: Nhiều học sinh khá bất ngờ với cách giải này. Cách làm này chưa giúp
học sinh khai thác hết quy luật của bài toán, khó gắn kết với các dạng đã biết từ
trước, dẫn đến sự gò ép trong lời giải.
2. Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi tạo ra sáng kiến:
Trong quá trình giảng dạy với sự cố gắng của bản thân, lòng yêu nghề và sự
giúp đỡ tận tình của BGH nhà trường, của đồng nghiệp. Tôi đã tự biên soạn cho
mình nội dung kiến thức về các dạng toán về so sánh trong chương trình toán 6,
đặc biệt chú trọng đến việc phát triển các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp,
1 1 1 1 1 1
…
2 3 4 5 98 99
A = – + – + + –
10
so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa…. thông qua các bài toán với cách thức
như sau:
Nội dung cụ thể :
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ta đã biết rằng với hai số a và b bất kỳ, chỉ có một trong ba quan hệ:
a = b, a > b, a < b
Ta gọi a > b, a < b là các bất đẳng thức.
Ta đã biết các tính chất sau của bất đẳng thức:
1) Tính chất bắc cầu:
Nếu a > b, b > c thì a > c
2) Tính chất đơn điệu của phép cộng
Nếu a > b thì a+c > b+c
3) Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì ac > bc ( với c > 0)
11
4) Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a+c > b+d
5) Nếu a b a c b c c     : : ( 0)
6) Nếu a b a c b c c     : : ( 0)
7) Nếu 0
0
a b
ac bd
c d
  
  
  
PHẦN 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH LUỸ THỪA
2.1: Hình thành giải pháp: Xây dựng các cách về so sánh hai luỹ thừa
Bài toán 1: So sánh hai luỹ thừa sau:
và và 1 và 11
➢ Kết luận:
+Tất cả các luỹ thừa có cơ số bằng 0 ( số mũ khác 0) đều bằng nhau và bằng 0
+ Tất cả các luỹ thừa có cơ số bằng 1 đều bằng nhau và bằng 1
+ Tất cả các luỹ thừa có số mũ bằng 0 (cơ số khác 0) đều bằng nhau và bằng 1
? Với hai lũy thừa có cơ số và số mũ đều khác 0 và 1thì sao?
Bài toán 2: Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?
a) 23 và 32 b) 24 và 42 c) 25 và 52 d) 210 và 100
Học sinh tự làm bài tập 2, Gv uốn nắn sửa chữa cách trình bày.
Ɂ Vấn đề đặt ra: Nếu hai luỹ thừa không tính ( giá trị quá lớn) được liệu có so
sánh được không bằng cách trên không?
Bài toán 3: So sánh
a) 168và 325 b) 3200 và 2300
GV gợi ý : Để so sánh hai luỹ thừa ta có thể đưa chúng về cùng cơ số hoặc cùng
số mũ
➢ Kết luận:
Với a, b, m, n là các số tự nhiên ( a,b khác 0)
– Nếu m n  Thì a a m n  (a 1)
a)050 099 b)11000 2011 c)20110 0
12
– Nếu a b  Thì a b m m  (m  0)
Ɂ Phát triển vấn đề:
Đến đây có thể học sinh thắc mắc, nếu có hai luỹ thừa không tính được gia trị cụ
thể, cũng không đưa được về cùng cơ số hoặc cũng không đưa được về cùng số
mũ liệu có so sánh được không?
Bài toán 4: So sánh
a) 178và b) và
? Có đưa hai lũy thừa này về cùng cơ số hoặc cùng số mũ được không?
GV: Giới thiệu cách so sánh với số trung gian
Lời giải :
a) Ta có: 17 16 8 8 
8 4 8 32
5 5 5 25
32 25
16 (2 ) 2
32 (2 ) 2
2 2
= =
= =

Mà 17 16 32 8 8 5  
Vậy 17 32 8 5 
➢ Chốt lại vấn đề: so sánh hai lũy thừa
+ Cách 1: Tính giá trị (chỉ dùng cho những luỹ thừa có giá trị nhỏ)
+ Cách 2: Đưa hai lũy thừa về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ
+ Cách 3: So sánh với số trung gian
Mở rộng:
GV: Khi học về số nguyên âm ta lại được bổ sung luỹ thừa với cơ số là số nguyên
âm. Phần phân số ta lại bổ sung lũy thừa với cơ số là phân số
VD: Hãy so sánh a) và
b) và
❖ Kết luận chung:
➢Với hai luỹ thừa có cơ số là số tự nhiên ta phát biểu như sau:
– TH1: chúng có cùng cơ số là a, số mũ m > n
325 3200 1674
(-8)100 (-16)74
(-8)101 (-16)75
13
+Nếu a = 0,m n ; 0  thì a a m n = = 0
+ Nếu a = 1 thì a a m n =
+ Nếu a > 1 thì a a m n 
+ Nếu 0 < a < 1 thì a a m n 
– TH2: chúng có cùng số mũ là m
+ Nếu m = 0; thì a b m m = (a b 0 ,  )
+ Nếu m 0  , 0 a b   thì a b m m 
➢ Để so sánh hai luỹ thừa có cơ số nguyên âm ta đưa về so sánh hai lũy thừa có
cơ số là số tự nhiên, chú ý tính chất : Nếu a b  thì –  – a b .
❖ Đặt vấn đề:
Bài toán so sánh hai lũy thừa giúp ta có thể giải quyết tốt các dạng bài toán khác
như thế nào?
2.2: Ứng dụng của so sánh hai luỹ thừa
Bài toán 5: Chứng minh rằng số 2100 là số có 31 chữ số khi viết kết quả của
nó trong hệ thập phân
Hướng dẫn:
GV: Nếu số 2100 có 31 chữ số thì nó lớn hơn bao nhiêu và nhỏ hơn số nào?
Lời giải:
Ta có:
100 10 10 10
30 3 10 10
2 (2 ) 1024
10 (10 ) 1000
= =
= =
Vì 1024 1000 10 10  Nên 2 10 (1) 100 30 
Lại có:
100 31 63 6 31 7
31 31 31 31 31 28 3 31 7
2 2 .2 .2 2 .512 .64
10 (2.5) 2 .5 2 .5 .5 2 .625 .125
= =
= = = =
Vì 2 .512 .64 2 .625 .125 31 7 31 7  Nên 2 10 (2) 100 31 
14
Từ (1) và (2) suy ra: 10 2 10 30 31 31   do đó 231 là số có 31 chữ số khi viết kết quả
của nó trong hệ thập phân .
2.3: Bài tập luyện
Bài tập 1: So sánh
a) 1255 và 257 b) 920 và 2713
c) 354 và 281 d) 1030 và 2100
e) 540 và 62010 f) 3500 và 7300
Bài tập 2: So sánh
a) 9920 và 999910 b) 202303 và 303202
c) 528 và 2614 d) 530 và 12410
e) 1020 và 9010 f) 530 và 350
Bài tập 3: So sánh
a) 85 và 3.47 b) 321 và 231
c) 111979 và 371320 d) 1010 và 48.505
e) 199010+ 19909 và 199110 f) 5299 và 3501
g) 323 và 515 h) 12723 và 51318
i) 3111 và 1714 k) 637 và 1612
n) 1340 và 2161 m) 5217 và 11972
o) 220 và 7.217 p) 521 và 4.520
q) 5300 và 3453 r) 12580 và 25118

s) 1512 và 813.1255 Bài tập 4: So sánh hai số và

t) 2435 và 3.278

Lời giải
GV: Chỉ ra bài toán tương tự của bài toán này?
Bài toán tổng quát
a = (202000 +112000)2001 b = (202001 +112001)2000
2000 2000 2000 2001 2001 2000
2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
(20 .20 11 .20) (20 11 )
(20 11 ) .(20 11 ) (20 11 ) .20
= +  +
a = + +  +
15
A a b B a b = + = + ( ) ( ) n n m m m n ( với a >b và m > n )
Hãy so sánh A và B
Bài tập 5: So sánh A và B biết:
a) A = + + + + + + 1 2 2 2 … 2 2 2 3 49 50 và B =1613
b) A = + + + + + 1 2 2 2 … 2 2 3 9 và B = 5.28
c) A = – + – + + – + 1 2 2 2 … 2 2 2 2 3 198 199 200 và 1.3240
3
B =
Hướng dẫn: Tính gọn biểu thức A rồi so sánh kết quả với biểu thức B
Bài tập 6:
Số 22 và 52 viết liền nhau được số 425 có 3 chữ số, số 23 và 53 viết liền nhau được
số 8125 có 4 chữ số, số 24 và 54 viết liền nhau được số 16625 có 5 chữ số. Chứng
minh rằng số 21991 và 51991 viết liền nhau được số có 1992 chữ số
Bài tập 7:
Viết liền nhau các kết quả của các lũy thừa 450 và 2550 ta được một số tự nhiên có
bao nhiêu chữ số.
PHẦN 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH PHÂN SỐ
3.1: So sánh hai phân số cơ bản
Bài toán 6: So sánh các phân số sau:
a) 5
9
và 7
8
12
;
24
–
và 15
-42
b) 25
88
–
và 50
-157
45
;
125
và 7
72
c) 21
49
–
và
74
46
–
2021
;
2020
và 2019
2021
;
351
572
và 350
573
d) 877
876
và 884
883
;
142
143
và 358
359
;
21
52
và 213
523
16
❖ Kết luận:
➢ So sánh hai phân số có tử số và mẫu số là các số nguyên dương:
Cách 1: Đưa về cùng mẫu số
Cách 2: Đưa về cùng tử số :
Cách 3: So sánh với số trung gian
Cách 4: So sánh bằng cách so sánh phần bù đến 1 hoặc phần thừa so với 1
➢ So sánh hai phân số có tử số và mẫu số khác nhau về dấu
Cần chú ý: Nếu a c
b d
 Thì a c
b d
– –

Bài tập luyện:
Bài tập 6.1: So sánh
2020.2021 1
a)
2020.2021
– và 2021.2022 1
2021.2022
–
2019.2020
b)
2019.2020 1 +
và 2020.2021
2020.2021 1 +
Bài tập 6.2: So sánh M N ? 2020 2021 2020 2021
2021 2022 2021 2022
+
= + =
+
và
Ta có :
2020 2020
2021 2021 2022
2021 2021
2022 2021 2022

 + 

 +  
Cộng theo từng vế ta có kết quả M > N.
Bài tập 6.3: So sánh
( ) 2
2
5 11.13 22.26 138 690
?
22.26 44.54 137 548
– –
= =
– –
M và N
Gợi ý: Rút gọn 5 1 138 1 1 1 .
4 4 137 137
M và N M N = = + = = +  
Bài tập 6.4: So sánh
8 8
8 8
10 2 10
?
10 1 10 3
+
= =
– –
A và B
Giải :

Ta có

8 8
3 3
1 1
10 1 10 3
= =
– –
A và B
17
Mà
Bài tập 6.5: So sánh A và B biết rằng
15 16
16 17
10 1 10 1
A ; B
10 1 10 1
+ +
= =
+ +
Gợi ý:
Trước hết ta so sánh 10A với 10B
Ta có:
+
= = +
+ +
+
= = +
+ +
16
16 16
17
17 17
10 10 9
10A 1
10 1 10 1
10 10 9
10B 1
10 1 10 1
Do đó 10A > 10B, suy ra A > B
Phát triển bài tập 6.5 :
Yêu cầu HS thay đổi các dữ kiện về cơ số, số mũ, phép tính để được các bài
toán mới
1) Thay cơ số 10 thành cơ số 3
2) Thay đổi số mũ
3) Thay đổi số 1
4) Thay đổi mẫu số thành tử số
5) Thay đổi phép tính
10 10
10 10
20 1 20 1
A và B
20 1 20 3
+ –
= =
– –
8 8
3 3
10 1 10 3
   A B
– –
16
18
10 1
10 1
A = +
+
18
20
10 1
10 1
B = +
+
16
18
10 2
10 2
A = +
+
18
20
10 2
10 2
B = +
+
16
15
10 1
10 1
A = +
+
17
16
10 1
10 1
B = +
+
18
3.2: Sử dụng các bài toán phụ để so sánh
Bài toán phụ số 1: Cho hai phân số a
b
và c ( , , , ; , 0) a b c d Z b d  
d
Chứng tỏ rằng a c < khi ad < bc
b d
và ngược lại
? Em hiểu yêu cầu đề bài trên như thế nào?
HS: Ta phải giải hai bài toán

Bài toán số 1: Cho chứng tỏ

ad <bc
Bài toán số 2: Cho ad <bc chứng tỏ
? Điều kiện chung của bài toán là gì? Nêu cách làm?
HS: điều kiện chung là a,b,c,d Z;b,d >0  .
Cách làm: Bài 1: nhân cả hai vế với b.d > 0 .
Bài 2: chia cả 2 vế cho b.d > 0
GV: Từ kết qủa của bài toán em rút ra cách so sánh hai phân số như thế nào?
❖ Kết luận:
Trong hai phân số có mẫu số đều dương, phân số nào có tử nằm trong tích chéo
lớn hơn thì phân số đó lớn hơn .
Ứng dụng BTP số 1:
Bài toán 7: So sánh hai phân số sau:
12 13 64 73 19 17
a) ; b) ; c) ;
49 47 85 81 31 35
67 73 456 123 149 449
d) ; e) ; g) ;
77 83 461 128 157 457

Bài toán phụ số 2: Với a,b,n

 N*
– Nếu a = b thì a a + n =
b b+ n
– Nếu a < b thì 0 < < <1 a a + n
b b+ n
a c
b d

a c
b d

19
– Nếu a > b thì a a + n > >1
b b+ n
HS: Nêu các cách chứng minh bài toán trên
Trường hợp 1: nhân 2 vế với n rồi cộng hai vế với ab
Trường hợp 2,3: sử dụng phần bù hoặc đưa về cùng tử hoặc cùng mẫu
❖ Kết luận:
Một phân số có tử và mẫu đều là số nguyên dương. Nếu cộng tử và mẫu của
phân số đó với cùng một số tự nhiên n khác 0 thì
– Giá trị phân số không đồi nếu tử bằng mẫu
– Giá trị của phân số tăng lên nếu tử nhỏ hơn mẫu
– Giá trị của phân số giảm đi nếu tử lớn hơn mẫu
Ứng dụng BTP số 2:
Bài toán 8: Chứng minh < 2
Hướng dẫn
? Phân số nhỏ hơn phân số nào? Vận dụng kết luận nào?

HS: Dựa vào kết luận thứ 3 ta có

Vì là phân số lớn hơn 1, có tử và mẫu đều dương do đó khi cộng cả tử và mẫu
của phân số đó với 1 số lớn hơn 1 ta được phân số mới có giá trị nhỏ hơn phân số
ban đầu
? Phân số cũng nhỏ hơn phân số nào?

? Hãy so sánh và ?

? Hãy so sánh và ?
? Tương tự nhỏ hơn biểu thức nào?
8
20
19
 
 
 
20
19
20 19
19 18

19
18
20
19
2
20
19
 
 
 
20 19
.
19 18
3
20
19
 
 
 
20 19 18
. .
19 18 17
8
20
19
 
 
 
20
HS:
? nhỏ hơn số tự nhiên gần nhất là số nào?
GV: Ta đó chứng minh được < 2

Bài toán 9: Cho A =

Chứng minh:

1 3 5 199 . . ….
2 4 6 200
2 1
201
A 
Gợi ý:

Ta có : A =

1 3 5 199
. . ….
2 4 6 200
(1)
Và A < 2 4 6 200 . . ….
3 201 5 7 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1
201

2
A
Khai thác bài toán 9:

vận dụng kết luận nào

………….
Nếu
Thì A > B (với B là biểu thức nào?)
HS:
? Hãy tính tích A.B ?
? Ta chứng minh được A2 lớn hơn số nào? Tại sao?
Gợi ý : Có nhận xét gì về hai biểu thức :

và

Từ đó suy ra A2 101
8
20 20 19 13 20
. ….
19 19 18 12 12
 
   =
 
20
12
8
20
19
 
 
 
2 3
?
1 2
 
  
 
4
?
3

6
?
5

100
?
99

2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
A =
3 5 7 101
. . …
2 4 6 100
B =
2
2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
 
 
 
2 4 6 100 3 5 7 101
. . …. . . . …
1 3 5 99 2 4 6 100
   
   
   
21
? Với kết quả A2 101, mà A là số dương thì ta có thể chứng minh được A lớn
hơn số tự nhiên nào?
? Tại sao khẳng định được A dương và khẳng định A dương để làm gì?
? Nếu A âm mà A2 101 thì kết luận gì về A?
Từ đó ta có bài toán sau:
Bài toán 9.1:
Cho A = . Chứng minh rằng A > 10
Giải: Nhận xét:
; ; ; …………. ;
Khai thác tiếp bài 9.1:
Tương tự ta có thể chứng minh A<C,C là biểu thức nào?
HS:
Ta có thể chứng minh
Ta có thể chứng minh
? Hãy chứng minh A < 15
GV: Cả hai yêu cầu của bài toán này ta có thể viết gộp lại như thế nào?
Bài tập 9.2:
Cho A = . Chứng minh rằng 10 < A < 15
Bài toán phụ số 3:
Cho dãy số tự nhiên liên tiếp có n+1 số (n+1 là số chẵn ) gồm
a; a+1; a+2; a+3; …; a+n-1; a+n (n+1  4)
2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
2 3
1 2

4 5
3 4

6 7
5 6

100 101
99 100

2
2 2 2
2 4 6 100 3 5 7 101
. . …. . . ….
1 3 5 99 2 4 6 100
2 4 6 100 2 4 6 100 3 5 7 101
. . …. . . …. . . . ….
1 3 5 99 1 3 5 99 2 4 6 100
101
100 10
A
A A
A A
= 
     
 =       
     
 
   
2 3 5 7 99
. . . ….
1 2 4 6 98
C =
A2  ?
A  ?
2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
22
Chứng minh : a(a+n) < (a+1)(a+n-1) < ….< (a+ 1
2
n+
)(a+ 1
2
n+
+1)
Đặt vấn đề:
Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1; 2; 3; …; 2012
? Hãy so sánh các tích sau: 1.2012; 2.2011; 3.2010;…; 1006.1007?
(Ghép các số trên thành từng cặp số ở đầu và hai số cách đều hai số ở đầu)
? Em có kết luận gì về các tích đó
HS: Tích hai số ở đầu là nhỏ nhất và tích hai số thuộc cặp trong cùng lớn nhất
GV: Từ đó em hãy nêu dự đoán về bài toán tổng quát?
HS: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp có n+1 số, n+1 là số chẵn là:
a; a+1; a+2; a+3; …; a+n-1; a+n (n+1 )
Ta chứng minh được: a(a+n) < (a+1)(a+n-1) < ….< (a+ )(a+ )
Hướng dẫn chứng minh:
? Hãy chứng minh a(a+n) < (a+1)(a+n-1)?
GV: Ta chỉ cần chứng minh BĐT đầu tiên còn tất cả các BĐT tiếp theo được suy
ra từ BĐT đầu tiên đó .
GV: Ví dụ BĐT tiếp theo là (a+1)(a+n-1) < (a+2)(a+n-2)
Đặt a+1 = b; n-1 = m ta có BĐT mới là b(b+m) < (b+1)(b+m-1) quay lại BĐT
có dạng a(a+n) < (a+1)(a+n-1) và BĐT này đã chứng minh .
Kết luận: hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất, hai số thuộc cặp trong
cùng có tích lớn nhất.
Ứng dụng BTP số 3:
Bài toán 10: Chứng minh rằng :
Lời giải:
Gọi C = + + … + + 1 1 1 1
101 102 199 200
Ta ghép các phân số ở hai đầu và các phân số cách đều hai đầu thành 50 cặp
 4
1
2
n + 1
1
2
n +
+
5 1 1 1 1 3
…
8 101 102 103 200 4
 + + + + 
23
1 1 1 1 1 1
…
101 200 102 199 150 151
301 301 301
…
101.200 102.199 150.151
1 1 1
301. …
101.200 102.199 150.151
     
= + + + + + +      
     
= + + +
= + + +
 
 
 
C C C
Xét mẫu của 50 phân số trong dấu ngoặc, theo BTP số 3 thì 101.200 có giá trị nhỏ
nhất, 150.200 có giá trị lớn nhất.
Suy ra, trong 50 phân số trong dấu ngoặc thì 1
101.200
lớn nhất, còn 1
150.151
có giá
trị nhỏ nhất.
Do đó
1 301 303 3
301. .50
101.200 404 404 4
1 301 300 300 5
301. .50
150.151 453 453 480 8
 =  =
 =   =

C C
Bài tập 10.1: Chứng minh: 101 1 1 1 1 … 51
51 1 2 3 100
 + + + + 
3.3: So sánh một tổng với một số bằng cách chia đoạn
Bài toán 11: a) Cho tổng : .Chứng minh:
b) Cho . Chứng minh rằng
Giải:
a) Tổng S có 30 số hạng, cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm.
Giữ nguyên tử, nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số
sẽ giảm đi. Ngược lại, nếu thay mẫu bằng mộ mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của
phân số sẽ tăng lên.

Ta có :

1 1 1
…
31 32 60
S = + + + 3 4
5 5
  S
1 1 1 1
…
16 17 18 75
B = + + + + 3 1 2
4 40
  B
1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S = + + + + + + + + + + +            
     

1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S  + + + + + + + + + + +            
     
24
hay tức là:
Suy ra (1)

Mặt khác:

tức là :
Suy ra (2).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
b) Cho . Chứng minh rằng
Gợi ý:
Phát triển bài toán 11: Dạng chưa có sẵn tổng để chia đoạn
Bài tập 11.1: Cho . So sánh A với và

Bài tập 11.2: Cho

. Chứng minh rằng:

A 1 … 1 1 1 1 100
2 3 4 2 1
= + + + + +
–
a) A < 100
b) A > 50
Gợi ý:
a) Để chứng tỏ A < 100, ta chia A thành 100 nhóm
2 3 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 … … … …
2 3 7 15 2 2 2 2 1
       
= + + + + + + + + + + + +        
        –
10 10 10
30 40 50
S  + + 47 48
60 60
 
4 5
S 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S  + + + + + + + + + + +            
     

10 10 10
40 50 60
S  + + 37 36
60 60
 
3 5
S 
1 1 1 1
…
16 17 18 75
B = + + + + 3 1 2
4 40
  B
1 1 1 1
…
16 17 18 75
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … … 20.
16 17 18 35 36 37 38 55 56 57 58 75 35 55 75
1 1 1 1
…
16 17 18 75
1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
16 17 30 31 32 45 46 47
B B
= + + + + =
       
= + + + + + + + + + + + + + +  + +        
       
= + + + + =
   
= + + + + + + + + + + +    
   
1 1 1 1
…
60 61 32 75
1 1 1 1
15.
15 30 45 60
   
    + + + +
   
 
 + + +  
 
1 1 1
…
1.2 3.4 199.200
A = + + + 5
8
3 4
25
Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số lớn nhất trong dâu ngoặc đó,
ta được:
99
99
1 1 1 1
A 1 .2 .4 .8 … .2 100
2 4 8 2
 + + + + + =
b) Để chứng tỏ rằng A > 50, ta thêm và bớt 1100
2
rồi viết A dưới dạng:
2 3 4 99 100 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 … … … …
2 3 5 9 2 2 2 2 1 2 2
       
= + + + + + + + + + + + + + –        
        +
Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong dấu ngoặc đó,
ta được:
2 99
2 3 100 100
100
1 1 1 1 1
A 1 . .2 .2 … .2
2 2 2 2 2
1 1
1 .100 50
2 2
 + + + + + –
= + – 
Bài tập 11.3: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n để
Hướng dẫn:
Chỉ ra có giá trị của n và chứng minh giá trị đó thoả mãn
Ví dụ chọn n 2 = 4027, rồi giải tương tự như bài 11.2
Ta được 1 … 1 .4027 2014,5 2014 1 1 1 4027 1
2 3 2 2
+ + + +  + = 
Bài tập 11.4: Cho
Chứng minh rằng: a) 100 5
8
A 
b) 100 6
7
A 
Bài tập 11.5: Cho
Chứng minh rằng: a)
1 1 1 1
1 … 2014
2 3 4 n
+ + + + + 
102 103 104 201
…
101 102 103 200
A = + + + +
100 101 102 199
…
101 102 103 200
A = + + + +
3
99
8
A 
1
) 99
7
b A 
26
Bài tập 11.6: Cho
Chứng minh rằng A > 50
Bài tập 11.7: Cho
Chứng minh rằng: A > 40 ; A < 92
Bài tập 11.8: Cho
Chứng minh rằng: A > 65 ; A < 92
3.4: So sánh một tổng với một số bằng cách so sánh tổng đó với một tổng
trung gian tính được.

Bài toán 12: Cho A=

2 2 2 2
1 1 1 1
…
2 3 4 100
+ + + +
Chứng minh rằng A 1
Hướng dẫn:
So sánh tổng A với một tổng mà ta đó biết cách tính như sau:
Nhận xét: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ; ;…..;
2 3 100 1.2 2.3 99.100
  
Do đó A < 1 1 1
100
– 
GV: Tương tự như trên, em hãy tìm xem ta có thể chứng minh tổng A lớn hơn
bao nhiêu?
HS: Nhận xét: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ; ;…..;
2 3 100 2.3 3.4 100.101
  
Do đó A > 1 1 99
2 101 202
– =
GV: Ghi lại
A 1
99
99 A 1
A 202
202
 

   
  
(Giới thiệu BĐT kép)
Kết luận: Qua bài tập trên, với số hạng tổng quát ta có:
139 138 137 40
…
101 102 103 200
A = + + + +
123 124 125 24
…
101 102 103 200
A = + + + +
45 46 47 144
…
101 102 103 200
A = + + + +
2
1 1 1
n n n n n ( 1) ( 1)
 
+ –
27
Khai thác bài toán 12:
GV: Nếu giữa lại không đánh giá phân số đầu tiên, và đánh giá các phân số còn
lại như trên ta được kết quả thế nào?
HS: Ta chứng minh được A nhỏ hơn 3
4
GV: Phân số 3
4
nhỏ hơn 1, nếu cứ làm như thế thì ta có kết quả như thế nào?
HS: Ta còn chứng minh được A nhỏ hơn số khác nữa.
GV: Tuy nhiên người ta chỉ dừng lại ở số 3
4
vì các con số khác có mẫu số to,
(gọi là các con số không đẹp). Tương tự như vậy ta cũng có thể so sánh tổng A
lớn hơn số khác.
Phát triển bài toán 12 :

Bài tập 12.1: Cho

Chứng minh B <
Bài tập 12.2: Hãy so sánh
với
Bài tập 12.3: Hãy so sánh
với
Bài tập 12.4: Hãy so sánh
với
Bài tập 12.5: Chứng minh rằng:
Bài tập 12.6: Chứng minh rằng
không là số tự nhiên
2 2 2 2
1 1 1 1
…
3 5 7 99
B = + + + +
49
200
2 2 2 2
1 1 1 1
1 …
2 3 4 100
B = – – – – – 1
4
2 2 2 2
1 1 1 1
1 …
2 3 4 100
B = – – – – – 3
5
2 2 2 2
1 1 1 1
1 …
2 3 4 100
B = – – – – – 1
2
1 1 1 1
… 1
2! 3! 4! 100!
+ + + + 
1 1 1 1
…
2! 3! 4! 100!
+ + + +
28
Bài toán 13: Cho biểu thức
.
Chứng minh rằng 0,2 < A < 0,4
Hướng dẫn giải
* Cách 1 : ( theo bài 477 NC&PT trang 35)

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 …
2 3 4 5 6 7 98 99
A = – + – + – + + –
     
     
     
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất bằng 13
60
nên lớn hơn 12
60
, tức là lớn hơn 0,2,
còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A > 0,2
Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
2 3 4 5 6 7 8 97 98 99
A = – + – + – – – – – –
     
     
     
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất nhỏ hơn 2
5
, còn các dấu ngoặc sau đều dương,
dó đó A < 0,4
* Cách 2: Cách giải của tôi như sau:
Ta có: A =                 – + – + – + + –
       
1 1 1 1 1 1 1 1
…
2 3 4 5 6 7 98 99
Tương tự, ta có:
Phát triển bài toán 13 :
1 1 1 1 1 1
…
2 3 4 5 98 99
A = – + – + + –
1 1 1
…
2.3 4.5 98.99
A = + + +
1 1 1 1 1 1
; ;…;
2.3 2.4 4.5 4.6 98.99 98.100
1 1 1
…
2.4 4.6 98.100
1 1 1 1 1 1 1
. …
2 2 4 4 6 98 100
1 1 1 49
. 0,2
2 2 100 200
A A A
  
  + + +
 
  – + – + + –  
 
 
  – =   
 
1 1 1 1
. 0,4
6 2 3 99
A  + –     
 
29
Bài tập 13.1: Cho .
Chứng minh rằng: < A <
Bài tập 13.2: Cho . Chứng minh rằng: A <
Bài tập 13.3: Cho .
Chứng minh ( sử dụng tính chất : n(n-1) < n2 < n(n+1))
Bài tập 13.4: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất 🙁 n+1)(n-1) < n2 )
Bài tập 13.5: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất 🙁 n+1)(n-1) < n2)
Bài tập 13.6: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất : ( n+2)(n-2 ) < n 2)
Bài tập 13.7: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất : (n+3)(n-3) < n2 )

Bài tập 13.8: Cho

.

1 1 1 1 1 1
…
4 6 8 10 100 102
A = – + – + –
3
52
1 8
1 1 1 1 1 1
…
4 6 8 10 2012 2014
A = – + – + – 1
8
2 2 2 92
1
…
1 4
1 3
1 2
A = + + + +
8 9
2 5
 A 
2 2 2 20072
2
…
2 7
2 5
2 3
A = + + + +
2008
1003
A 
2 2 2 20062
1
…
1 8
1 6
1 4
B = + + + +
2007
334
B 
2 2 4092
1
…
1 9
1 5
S = + + +
12
1
S 
2 2 2 3052
9
…
17
9
11
9
9 5
A = + + + +
3 4
A 
2012
200.202
…
49
48
25
24
8 9
B = + + + +
30
Chứng minh: ( sử dụng tính chất : ( n+1)n > n2)
PHẦN 4: MỞ RỘNG, PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SO
SÁNH:
4.1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Bài toán 14 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số của hai số đó và tổng
các chữ số của nó là:
a) Lớn nhất
b) Nhỏ nhất
Giải: Gọi tỉ số giữa và a+b là k
Ta có:
a) k lớn nhất lớn nhất nhỏ nhất
nhỏ nhất b=0 và a bất kỳ từ 1 đến 9
Có chín số 10, 20, 30, …, 90 thoả mãn bài toán có tỉ số giữa số đó với tổng các
chữ số của nó bằng 10
b) k nhỏ nhất nhỏ nhất lớn nhất
lớn nhất blớn nhất và anhỏ nhất b=9, a=1
Số phải tìm là 19, tỉ số của số đó và tổng các chữ số của nó bằng:
Bài toán 15: Tìm số nguyên x sao cho biểu thức 14
4
x
A
x
–
=
–
đạt giá trị lớn nhất
Giải: Ta có: (4 10 ) 1 10
4 4
x
A
x x
– +
= = +
– –
Để
max
10
4
A
x

–
đạt giá trị lớn nhất
+ –  TH x 1: 4 0 thì 10 0
4 x

–
( loại)
B  99,75
ab
10 9 9
1 1
1
ab a b a
k
a b a b a b b
a
+
= = = + = +
+ + +
+

9
1 b
a
+
 1 b
a
+
b a
 

9
1 b
a
+
 1 b
a
+
b a
 
19
1,9
1 9
=
+
31
+ –    TH x x 2: 4 0 4 thì 10
4- x
đạt giá trị lớn nhất
 – 4 x đạt giá trị nhỏ nhất  x lớn nhất  = x 3
Vậy x = 3 thì giá trị lớn nhất của a là 11
Bài tập luyện:
Bài tập 14.1: Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số
đó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 14.2: Tìm giá trị lớn nhất của thương của một số tự nhiên có ba chữ số và
tổng các chữ số của nó.
Bài tập 14.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của thương của một số tự nhiên có ba chữ số
và tổng các chữ số của nó.
Bài tập 15.1: Tìm số nguyên x sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
5 19 7
) )
4 5
x x
a A b B
x x
– –
= =
– –
Bài tập 15.2: Tìm số nguyên x sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
3 7 10 25
) )
1 2 4
x x
a A b B
x x
+ +
= =
– +
4.2: Dùng bất đẳng thức để tìm khoảng giá trị của số phải tìm
Đặt vấn đề: Khi giải một số bài toán có xuất hiện các chữ, để giải quyết bài toán
được thuận lợi người ta thường sắp xếp các chữ. Khi nào ta sắp xếp được các chữ
và sắp xếp như thế nào?
Bài toán 16: Tìm số nguyên dương x và y sao cho:

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SKKN Một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 học tốt dạng toán Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong giai đoạn đổi mới của đất nước, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn
nữa công tác giáo dục và coi đây là một trong những yếu tố quan trọng góp phần
phát triển kinh tế xã hội. Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước
chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của
người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ
quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học.
Mục đích của đổi mới giáo dục hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể
chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu,
định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú
trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng
lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng
sáng tạo, tự học.
Năm học 2017 – 2018 là năm học tích cực triển khai chương trình hành
động thực hiện Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 hội nghị Ban chấp
hành Trung ương 8 khóa XI về Đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và Đào tạo.
Năm học tiếp tục nâng cao hiệu lực và hiệu quả công tác quản lí, tăng quyền chủ
động của các nhà trường trong việc thực hiện kế hoạch giáo dục. Đổi mới mạnh
mẽ phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học, kiểm tra đánh giá nhằm
nâng cao chất lượng và hiệu quả hoạt động giáo dục. Mục tiêu của giáo dục là
“Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài”.
Theo tinh thần đó, các yếu tố của quá trình giáo dục trong nhà trường phổ
thông cần được tiếp cận theo định hướng đổi mới. Việc xây dựng các chủ đề dạy
học một cách hợp lý, khiến cho kiến thức môn học trở nên sinh động, hấp dẫn,
có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập cho học sinh. Trong
chương trình THCS thì Toán lớp 7 rất quan trọng và tương đối khó. Qua thực tế
7
giảng dạy kết hợp với dự giờ, trao đổi với các đồng nghiệp bản thân tôi nhận
thấy các em học sinh còn nhiều lúng túng, mơ hồ khi chứng minh một bài Toán
Hình Học hay còn nhầm lẫn sai sót khi làm Toán Đại số, bởi trong sách giáo
khoa không đưa ra một phương pháp cụ thể nào, và không có một khuôn mẫu
chung nào cho cách trình bày theo từng phân môn học. Vì lẽ đó cách trình bày
lời giải của các em rất đa dạng, còn nhiều khi sai sót, ngộ nhận. Do đó việc giúp
các em nhận biết và hiểu được bản chất của từng bài Toán là rất quan trọng, từ
đó giúp các em có một lời giải chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao.
Đồng thời tạo cho các em có hứng thú trong việc học bộ môn Toán, nhất là với
các em học sinh của trường THCS Trần Đăng Ninh, thành phố Nam Định.
Trong những năm gần đây, ngành Giáo dục thành phố Nam Định
nói chung, trường THCS Trần Đăng Ninh nói riêng đã luôn chú trọng đến công
tác dạy học, bồi dưỡng HSG môn Toán và đã đạt được một số thành tích đáng
kể. Qua nhiều năm công tác và trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS
Trần Đăng Ninh, bản thân tôi luôn tự trau dồi kiến thức, học hỏi đồng nghiệp và
mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 học tốt
dạng toán tỉ lệ thức – dãy tỉ số bằng nhau “.
.
8
PHẦN II: MÔ TẢ GIẢI PHÁP KỸ THUẬT:
II.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

1.1 Thực trạng:

Khi mới giảng dạy môn Toán lớp 7 ở trường THCS Trần Đăng Ninh, với
học sinh đại trà tôi chỉ dạy học sinh như sách giáo khoa, hướng dẫn học sinh các
ví dụ cơ bản để học sinh có thể làm được bài tập của sách giáo khoa, cũng như
các bài tập đơn giản trong sách bài tập. Do đó trong các kì kiểm tra cuối kì và
cuối năm học khi gặp những bài tập nâng cao hay các bài tập tổng hợp, nhiều
học sinh bắt đầu lúng túng, khó khăn để tìm ra hướng giải, thậm chí các em còn
mắc phải những sai lầm không đáng có, dẫn đến việc các em lo lắng không còn
hứng thú trong các tiết học Toán, hoặc chỉ chờ để giáo viên chữa bài và chép
vào vở, hiệu quả của các tiết học vì thế bị ảnh hưởng nhiều. Vì vậy không phát
huy hết được năng lực học Toán của học sinh, làm giảm sự hứng thú của các em
dẫn đến học sinh ngày càng thấy học Toán đã khó lại khô khan, phức tạp và làm
mất đi ở các em tình yêu, sự đam mê với môn Toán.
Tôi đã suy nghĩ, trăn trở rất nhiều, và đặt ra câu hỏi cho bản thân: làm thế
nào để giúp học sinh tiếp thu bài giảng dễ dàng hơn, các em hiểu bài hơn và thấy
hứng thú hơn trong giờ học Toán. Tôi cũng đã tìm tòi, tham khảo sách, báo, học
hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp, để tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với
các em. Bản thân tôi trong quá trình soạn bài, chuẩn bị bài cho một tiết dạy cũng
phải tìm nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến phức tạp, suy nghĩ mọi
tình huống có thể xảy ra, để hướng dẫn học sinh sao cho các em hiểu bài, và để
tiết dạy đạt hiệu quả cao nhất.
Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy:
trước một bài Toán nhiều em học sinh đã rất lúng túng hoặc vội vã, không đọc kĩ
đề, chưa hiểu rõ yêu cầu của đề dẫn đến xác định sai hướng giải, mắc sai lầm
trong bài giải hoặc có bài giải không hoàn chỉnh. Nguyên nhân có thể do các em
chưa chăm học nên quên kiến thức, cũng có những em chưa biết vận dụng kiến
thức một cách hợp lý vào làm Toán, hoặc đôi khi do bài quá khó so với lực học
của các em. Phần lớn các em mới chỉ biết vận dụng kiến thức vào các bài toán
9
đơn giản với yêu cầu vừa phải, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải các
bài toán tổng hợp, các bài toán khó với yêu cầu cao hơn.

1.2 Đối tượng nghiên cứu:

Là các em học sinh lớp 7 trường THCS Trần Đăng Ninh.
1.3. Phạm vi áp dụng:
Đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 học tốt dạng toán tỉ lệ
thức – dãy tỉ số bằng nhau ” được áp dụng ở trường THCS Trần Đăng Ninh
trong thời gian từ năm học 2017-2018 đến nay và tiếp tục trong các năm học sau
trên tinh thần kế thừa và phát huy bài học kinh nghiệm vừa sửa chữa, bổ sung
cho phù hợp với các đối tượng học sinh và tình hình cụ thể từng lớp học.
1.4. Mục đích nghiên cứu:
Cá nhân tôi viết đề tài với mục đích trao đổi kinh nghiệm với đồng
nghiệp, để đề tài được áp dụng cho các khối lớp khác, môn khác trong trường
THCS Trần Đăng Ninh và các trường trung học cơ sở khác.
1.5 Phương pháp nghiên cứu:
– Phương pháp quan sát: Quan sát thực tế, thực trạng về công tác dạy và
học môn Toán lớp 7, quá trình học tập rèn luyện và ý thức phấn đấu cũng như
kết quả chất lượng đạt được của học sinh đối với môn Toán.
– Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu sách giáo khoa, báo Toán,
giáo trình có liên quan đến công tác dạy và học môn Toán lớp 7.
– Phương pháp học hỏi, kế thừa và phát huy: Nghiên cứu chất lượng bộ
môn Toán của những năm trước; nghiên cứu công tác chỉ đạo của nhà trường,
của tổ nhóm chuyên môn đối với công tác dạy và học môn Toán lớp 7.
II.2. Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến:
Từ thực trạng đó, qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu tài liệu cũng như
dự giờ các đồng nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đề xuất một số giải pháp
nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán lớp 7 áp dụng đối với các em
học sinh khối lớp 7 của trường THCS Trần Đăng Ninh trong dạy Toán, cụ thể
như sau:
10
2.1. Hệ thống các vấn đề lý thuyết cần cung cấp cho học sinh.
* Đối với học sinh đại trà: Cung cấp cho các em học sinh đầy đủ kiến thức
lý thuyết theo hệ thống rõ ràng: định nghĩa( khái niệm), các tính chất, các nhận
xét, chú ý …. Cung cấp cho các em các phương pháp giải từ đơn giản để giải
quyết bài Toán.
* Đối với học sinh khá, giỏi: Yêu cầu các em học sinh phải có lời giải rõ
ràng, chính xác mà ngắn gọn nhất bằng lập luận chặt chẽ, lôgic hơn, thậm chí
bằng nhiều phương pháp khác nhau. Cho các em so sánh ưu điểm của các cách
làm đó. Từ đó các em biết đặt đề toán tương tự và giải quyết bài toán bằng
phương pháp hợp lý nhất.
Để giúp học sinh học tốt bộ môn Toán lớp 7, tôi đưa ra các giải pháp về
kiến thức, kỹ năng và những gợi ý (biện pháp, kỹ thuật) để tháo gỡ (quy lạ về
quen) khi gặp phải những bài Toán phức tạp hơn. Sau khi dạy xong theo kế
hoạch, tôi tiến hành kiểm tra ở mỗi lớp thực nghiệm trong ba năm học liên tiếp
và đã đạt được kết quả rất tốt như sau:
*/ Lần thứ nhất: Năm học 2017 – 2018:

Biểu đồ %	Sau khi áp dụng sáng kiến tại Lớp 7A2 (Năm học 2017 – 2018)
Tổng số HSĐiểm 10Điểm 8 → dưới 10Điểm 5 → dưới 830SL % SL % SL %7 23,3 14 46,7 9 30

11
*/ Lần thứ hai: Năm học 2018 – 2019:

Biểu đồ %	Sau khi áp dụng sáng kiến tại Lớp 7A1 Năm học 2018- 2019
Tổng số HS Điểm 10Điểm 8 → dưới 10Điểm 5 → dưới 830SL % SL % SL %11 36,7 14 46,7 5 16,6

*/ Lần thứ ba: Năm học 2019 – 2020:

Biểu đồ %	Sau khi áp dụng sáng kiến tại Lớp 7A1 Năm học 2019 – 2020
Tổng số HS Điểm 10Điểm 8 → dưới 10Điểm 5 → dưới 831SL % SL % SL %15 48,4 13 41,9 3 9,7

* Nhận xét chung: Kết quả học tập bộ môn Toán 7 ở lớp thực nghiệm ba năm
liên tiếp đều có tỷ lệ điểm 10 cao hơn, tỷ lệ điểm giỏi tăng hơn so với kết quả
học tập bộ môn Toán 7 ở tất cả các năm học trước đó.
12
2.2. Các giải pháp cụ thể
Tục ngữ có câu: ” Không thầy đố mày làm nên”, nếu học sinh có kiến thức
Toán cơ bản tốt, có tố chất thông minh mà không được bồi dưỡng rèn luyện tốt
thì sẽ không phát huy hết khả năng của mình, dẫn đến lãng phí nhân tài và
nguyên khí của đất nước. Vì thế giáo viên Toán phải phát huy năng lực bản thân
để phát hiện và bồi dưỡng tốt cho các em học sinh, phải tự biên soạn chương
trình bồi dưỡng môn Toán lớp 7 một cách hợp lí, khoa học, sáng tạo. Ngoài ra
giáo viên cần hướng dẫn cho các em phương pháp tự học, tự đọc, tự nghiên cứu
tài liệu ở nhà, hướng cho các em có ý chí quyết tâm, biết đặt ra mục tiêu của
mình cần vươn tới, đạt được cái đích mà mình đặt ra. Do đó:
2.2-1. Bồi dưỡng và có phương pháp phù hợp đến từng đối tượng học sinh.
– Trên cơ sở kế thừa và phát huy kết quả học tập bộ môn Toán của các em
từ những năm học trước và kết quả đạt được của môn Toán năm lớp 6, đồng thời
tham khảo ý kiến của các giáo viên đã từng dạy các em để nắm bắt khả năng, tố
chất, trí tuệ, niềm đam mê học Toán của từng học sinh để có phương pháp dạy
học phù hợp cho từng đối tượng học sinh ở năm học lớp 7.
– Giao nhiệm vụ cụ thể cho các em học sinh thực hiện trong hè, có thể
động viên các em học sinh tự đọc và nghiên cứu SGK Toán 7 để giải được cơ
bản các bài tập trong SGK, SBT Toán 7, bài nào chưa giải được thì đánh dấu lại
sau này thầy cô hướng dẫn.
– Trong năm học, bản thân tôi chú trọng việc dạy Toán theo nhóm đối
tượng có cùng năng lực hoặc cùng khả năng tiếp thu bài hoặc cùng ý thức quyết
tâm phấn đấu nhằm tiếp tục phát hiện thêm những em học sinh có tố chất môn
Toán tránh bỏ sót học sinh giỏi .
2.2-2. Lên kế hoạch và xây dựng chương trình bồi dưỡng
– Hiện nay có rất nhiều loại sách nâng cao của nhiều nhà xuất bản và các
tài liệu tham khảo trên mạng Internet thì vô cùng phong phú song chương trình
bồi dưỡng học sinh giỏi thì chưa có sách hướng dẫn chi tiết cho từng tiết, từng
buổi như trong chương trình chính khóa. Vì vậy việc lên kế hoạch và viết nội
13
dung dạy học Bồi dưỡng môn Toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là việc
làm hết sức quan trọng, cần thiết và rất khó khăn.
Với cá nhân tôi, ngay sau khi nhận phân công chuyên môn là tôi bắt tay
ngay vào việc lập kế hoạch và biên soạn nội dung bồi dưỡng bao gồm cả học
sinh đại trà và học sinh khá giỏi theo hệ thống . Để tránh việc tiện đâu ôn đó
cho học sinh, tôi xây dựng chương trình bồi dưỡng theo từng chủ đề trên cơ sở
bám sát chương trình sách giáo khoa, sách bài tập, chuẩn kiến thức kĩ năng, kế
hoạch dạy học môn Toán 7, khung chương trình học môn Toán 7 và cấu trúc đề
thi các năm.
Chủ đề: “Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau” được tôi xây dựng theo
trình tự sau:
I. Mục tiêu
II. Nội dung kiến thức, kĩ năng cần bồi dưỡng
III. Các dạng bài tập thường gặp
*) Dạng 1; 2; 3.
1) Phương pháp giải (có chú ý đến những phương pháp giải khác nhau)
2) Ví dụ (Các ví dụ mẫu có thể được phân tích cách làm, chỉ ra một số
sai lầm hay mắc phải hoặc lưu ý khi làm bài.)
3) Bài tập vận dụng (Sau khi trình bày các phương pháp tôi đưa ra một
số bài tập với mức độ vận dụng từ thấp đến cao nhằm củng cố các phương pháp
đã học cũng như sự linh hoạt khi làm bài của học sinh).
3.1 Bài tập cơ bản
3.2 Bài tập nâng cao
4) Bài học rút ra
IV. Đề kiểm tra hết chủ đề
V. Rút kinh nghiệm:
Cần lưu ý rằng: Tùy thuộc vào thời gian bồi dưỡng và khả năng tiếp thu
của học sinh mà lựa chọn mức độ bài khó và số lượng bài luyện tập nhiều hay ít.
14
2.2-3. Quá trình dạy Toán và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7
Bồi dưỡng Toán lớp 7 và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 là một quá trình
lâu dài. Cần phải giúp học sinh thấy hứng thú và tính tích cực học tập , khơi
được ý thức độc lập nghiên cứu của học sinh.
– Thứ nhất là làm cho học sinh yêu thích môn học, khơi dậy trong các em
lòng hăng say học tập, ý chí phấn đấu dành kết quả cao nhất trong học tập, tạo ra
được khí thế thi đua học tập sôi nổi. Có như vậy các em mới tự giác học tập mà
không cần thầy cô hay cha mẹ thúc giục. Cách tốt nhất bồi dưỡng hứng thú cho
học sinh là hướng dẫn dìu dắt cho các em đạt được những thành công từ thấp lên
cao. Nhiều học sinh lúc đầu chưa bộc lộ rõ năng khiếu nhưng sau quá trình được
dìu dắt đã trưởng thành rất vững chắc và đạt thành tích cao. Để các em có thái
độ tích cực tôi thường tranh thủ giờ ra chơi, giờ sinh hoạt lớp phân tích, tâm sự,
chia sẻ cho các em hiểu về lợi ích sau này của việc học Toán chứ không đơn
thuần là ôn để thi là xong. Môn Toán sẽ còn theo các em rất lâu trong quá trình
học tập, nó hỗ trợ các em học tốt các môn học khác cũng như lợi ích của nó
trong công việc tương lai của các em, trong cuộc sống của các em sau này. Từ
đó các em thấy được tầm quan trọng của môn học và có thái độ tích cực hơn khi
học tập.
– Thứ hai là hướng dẫn học sinh phương pháp tự học ở nhà, biết độc lập
suy nghĩ, sáng tạo khi giải quyết vấn đề.
Trước khi dạy mỗi chủ đề tôi thường giao nhiệm vụ cho các em về nhà
nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao và chuyên đề, sách nâng
cao và phát triển của nhà xuất bản Giáo dục để chia ra từng dạng bài, tìm ra
phương pháp giải cho từng dạng và làm bài tập ở các dạng đó. Việc làm này vừa
giúp các em khắc sâu được kiến thức và phương pháp giải của từng dạng toán
trong từng chủ đề vừa tiết kiệm được thời gian giảng dạy giáo viên lại vừa phát
huy được khả năng tự học, tự nghiên cứu của các em học sinh.
– Thứ ba là phải nắm vững phương châm: dạy chắc cơ bản rồi mới nâng
cao. Thông qua những bài luyện cụ thể để dạy phương pháp tư duy: dạy kiểu
dạng bài có quy luật trước, loại bài có tính đơn lẻ, đặc biệt sau. Để giải được các
15
bài toán tổng hợp và bài toán khó, học sinh cần phải hiểu kiến thức một cách cơ
bản, hệ thống, vững chắc, sâu sắc và có khả năng vận dụng linh hoạt.
+) Mỗi loại kiến thức (khái niệm, định nghĩa, tính chất, định lý…) đều có
nội hàm riêng và cách vận dụng (hay quy tắc, phương pháp) đặc trưng của nó.
Khi dạy cần phải thông qua một số bài thí dụ cụ thể để khắc sâu cho học sinh
đầy đủ, cặn kẽ nội hàm và phương pháp vận dụng của kiến thức đó. Được như
vậy, khi gặp hàng chục, hàng trăm bài khác, mặc dù có những chi tiết cụ thể
khác nhau nhưng học sinh vẫn làm được vì chúng giống nhau ở điểm cốt lõi.
+) Có những loại bài liên quan đến đến rất nhiều loại kiến thức kỹ năng
khác nhau, học sinh muốn làm được cần phải biết chia bài đó thành nhiều bài
toán nhỏ, trong mỗi bài nhỏ phải biết dùng kiến thức, kỹ năng nào. Muốn làm đ-
ược như vậy, học sinh phải nắm thật vững nội hàm và phương pháp vận dụng
của từng loại kiến thức, biết được chúng liên quan với nhau như thế nào (hay
từng kiến thức nằm trong một hệ thống như thế nào), từ đó mới biết khi nào cần
sử dụng kiến thức nào. Nói cách khác, phải dạy một cách cơ bản, vững chắc và
hệ thống. Nếu dạy được học sinh đến trình độ đó thì từ yêu cầu và điều kiện của
bài ra học sinh sẽ biết chia việc giải một bài toán khó ra nhiều công đoạn, mỗi
công đoạn dùng kiến thức, phương pháp phù hợp. Dù cho bài toán biến hoá
nhiều kiểu nhưng cũng không ra ngoài những kiến thức và phương pháp trong
chương trình đã học.
Lý do phải dạy theo nhưng phương châm nêu trên là vì:
+) Dạy chắc cơ bản trước rồi mới nâng cao: Các bài cơ bản là những bài
dễ, chỉ liên quan đến một hoặc vài loại kiến thức kỹ năng, cần phải luyện tập
nắm vững từng loại trước đã sau đó mới nâng cao dần những bài tổng hợp nhiều
loại kiến thức, học sinh đã nắm vững từng loại sẽ dễ dàng nhận ra và giải quyết
được. Đối với học sinh giỏi bước này có thể làm nhanh, hoặc cho tự làm nhưng
phải kiểm tra biết chắc chắn là chắc cơ bản rồi mới nâng cao, nếu bỏ qua bước
này trình độ của học sinh sẽ không ổn định và không vững chắc được.
+) Mỗi loại cần thông qua một hoặc hai bài điển hình, quan trọng là phải
rút ra phương pháp rồi cho thêm một số bài cho học sinh tự vận dụng cho thành
16
thạo phương pháp, cần kiểm tra thẩm định xem học sinh đã nắm chắc chắn chưa,
nếu chưa chắc chắn cần phải củng cố đến khi được mới thôi.
+) Hầu hết các bài đều có thể quy về một loại bài nào đó có quy tắc giải
chung, mỗi loại bài toán có một loại nguyên tắc, cứ xác định đúng loại bài, sử
dụng đúng nguyên tắc là giải quyết được. Nhưng cá biệt có một ít bài không
theo những nguyên tắc chung, thuộc những tình huống cá biệt, có thể sử dụng
những cách riêng, thường không rõ quy luật, nhưng giải quyết nhanh. Cần phải
coi trọng loại bài có nguyên tắc là chính. Loại sau chỉ nên giới thiệu sau khi đã
học kỹ loại trên, vì loại đó học bài nào chỉ biết bài đó mà không áp dụng cho
nhiều bài khác được.
Nên tránh:
+) Một số giáo viên mới dạy bồi dưỡng Toán lớp 7, dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi Toán 7 thường hay nôn nóng, bỏ qua bước làm chắc cơ bản, cho ngay
bài khó, học sinh mới đầu đã gặp ngay một “mớ bòng bong”, không nhận ra và
ghi nhớ được từng đơn vị kiến thức kỹ năng, kết quả là không định hình được
phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, càng học càng hoang mang.
+) Một số lại coi những bài đơn lẻ không có quy luật chung là quan trọng,
cho học sinh làm nhiều hơn và trước những bài có nguyên tắc chung (coi những
bài đó mới là “thông minh”), kết quả là học sinh bị rối loạn, không học được
phương pháp tư duy theo kiểu đúng đắn khoa học và thông thường là: mỗi loại
sự việc có một nguyên tắc giải quyết, chỉ cần nắm vững một số nguyên tắc là
giải quyết được hầu hết các sự việc.
– Thứ tư là phải đặc biệt chú ý đến kĩ năng trình bày bài làm của học sinh.
Thực tế đã cho thấy có những em rất thông minh nhưng chỉ chú trọng đến việc
giải ra kết quả còn việc trình bày thì không chặt chẽ, làm quá tắt hoặc viết không
rõ ràng con số, chữ. Đây chính là yếu tố làm mất điểm bài thi của các em mặc dù
đã tìm ra kết quả. Do đó khi bồi dưỡng các em trên lớp, với những bài tập mẫu
hay khi chữa bài tập, bài kiểm tra tôi đều giải rất chi tiết, cẩn thận vừa để giúp
các em hiểu sâu sắc bài toán vừa để các em học tập kĩ năng trình bày còn khi
chấm bài của các em tôi phạt lỗi kĩ năng rất nặng.
17
Chú ý đến kĩ năng trình bày song cũng không làm mất đi tính sáng tạo ở
các em, với những bài toán khó tôi chỉ gợi ý, hướng dẫn các em phân tích bài
toán để tìm ra cách giải chứ không giải hoàn chỉnh. Có như vậy khi gặp một
dạng toán mới chưa được học các em vẫn có thể tự suy nghĩ và định hướng được
cách làm.
2.2-4.Thời gian dạy bồi dưỡng:
Để chương trình bồi dưỡng Toán lớp 7, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
7 có hiệu quả thì nhà trường cần có kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi liên tục
và đều đặn, không dồn ép ở tháng cuối trước khi thi vừa quá tải đối với học sinh
vừa ảnh hưởng đến quá trình tiếp thu kiến thức ở môn học khác của học sinh.
Trong tình hình cụ thể của mỗi nhà trường thì thời gian bồi dưỡng Toán
lớp 7, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 là không nhiều nên chúng ta phải nỗ lực
rất nhiều, phải tận dụng mọi thời gian để ôn luyện cho học sinh.
– Thứ nhất là trong các giờ học chính khóa ta thường phải chú ý đến đối
tượng học sinh giỏi: có những câu hỏi khó khơi gợi óc tư duy sáng tạo dành cho
các em, cuối giờ học cần giao thêm các bài tập khó cho các em.
– Thứ hai là trong các buổi bồi dưỡng theo lịch nhà trường thì phần chữa
bài tập về nhà của buổi học trước ta chỉ nên chữa những bài mà đa số các em
không làm được để tiết kiệm thời gian dạy chủ đề mới. Để làm được việc này ta
cần yêu cầu cá em hoàn thành phần bài tập về nhà trong một thời gian nhất định
rồi nộp lại cho giáo viên trước buổi học tiếp theo ít nhất một ngày để ta kiểm tra
việc làm bài tập về nhà, chữa sai, chấm điểm và nhận xét ưu, khuyết điểm của
từng em. Điều này không những tiết kiệm thời gian cho buổi học chính mà còn
giúp ta uốn nắn được kĩ năng làm bài cho từng em và đánh giá năng lực của các
em chính xác hơn.
– Thứ ba là đến giai đoạn trước khi thi học kỳ , thi học sinh giỏi khoảng
một tháng, tôi có tham mưu, đề xuất với ban giám hiệu, kết hợp với giáo viên bộ
môn và giáo viên chủ nhiệm tạo điều kiện cho các em tập trung cho môn thi (sau
khi thi sẽ học bù nếu cần ). Các em sẽ được nhà trường tạo điều kiện và giáo
viên dạy Toán chúng tôi sẽ giao thêm các bài tập, các đề thi của các năm trước,
18
các đề thi sưu tầm trên mạng cho các em giải để tập dượt trước khi thi và tôi
thường tranh thủ những tiết trống để đến hướng dẫn thêm cho các em làm bài
hoặc là chữa bài cho các em.
2.2-5. Vai trò của người thầy
Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã từng nói: “Muốn có trò giỏi thì trước
hết phải có thầy giỏi”, nói thế không có nghĩa là cứ có thầy giỏi thì sẽ có trò
giỏi mà nó còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác, tuy nhiên qua đó muốn khẳng
định rằng vai trò của người thầy trong công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán là hết sức quan trọng. Là một giáo viên dạy Toán, theo tôi chúng ta
phải là một người thầy vừa hồng vừa chuyên, hay nói theo cách khác là phải đủ
tâm vừa đủ tầm. Phải luôn có ý thức tự rèn luyện, tích lũy tri thức và kinh
nghiệm, trau dồi chuyên môn, đọc nhiều, hiểu sâu vấn đề mà mình dạy học sinh
theo phương châm biết mười dạy một. Phải thường xuyên tìm tòi các tư liệu, có
kiến thức nâng cao trên các phương tiện, đặc biệt là trên mạng Internet. Lựa
chọn trang Web nào hữu ích nhất, tiện dụng nhất, các tác giả giỏi, các đề thi hay,
các chuyên đề hấp dẫn, khả quan nhất để sưu tầm làm tài liệu giảng dạy …
Tôi nghĩ rằng người thầy có vai trò quyết định nhất đối với kết quả học
tập của các em học sinh, các em học sinh có vai trò quyết định trực tiếp đối
với kết quả của mình. Kết quả công tác bồi dưỡng học sinh giỏi có đạt cao
hay không, điều đó còn phụ thuộc rất lớn ở các em học sinh. Việc bồi dưỡng
học sinh giỏi Toán giống như chúng ta ươm một mầm non, nếu chúng ta biết
rào, biết thường xuyên chăm sóc, vun xới thì mầm non sẽ xanh tốt, phát triển.
Chủ đề: “Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau” tôi thực hiện như sau:
19
CHỦ ĐỀ: TỈ LỆ THỨC – DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức
– Giúp HS nắm vững định nghĩa và tính chất của tỉ lệ thức. Khắc sâu tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2. Kĩ năng
– Học sinh biết vận dụng các kiến thức về tỉ lệ thức để giải các dạng toán:
lập tỉ lệ thức, tìm 1 thành phần chưa biết của tỉ lệ thức, chứng minh tỉ lệ thức,
giải toán liên quan đến tỉ lệ thức.
– Học sinh vận dụng linh hoạt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số
hạng chưa biết của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau, để biến đổi đẳng thức.
3. Thái độ.
Học sinh biết phân tích đề bài để tìm lời giải nhanh nhất, hợp lí nhất. Có
thái độ làm bài tích cực.
4. Định hướng phát triển năng lực:
Phát triển năng lực tính toán, năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học, năng
lực tư duy lôgic, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực hợp tác, năng lực sáng tạo,
năng lực tự học.
II. Kiến thức cơ bản:
1. Tỉ lệ thức
a/ Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của 2 tỷ số.
Dạng tổng quát
c d
a b
= hoặc a : b = c : d .
b/ Tính chất :
1/ Nếu
c d
a b
= thì a.d = b.c (Tích 2 ngoại tỷ bằng tích 2 trung tỷ ).
2/ Nếu a.d = b.c và các số a,b,c,d đều khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
c d
a b
=
,
a b
c d
=
,
d c
b a
=
,
d b
c a
=
(Từ một tỷ lệ thức ta có thể suy ra ba tỷ lệ thức khác bằng cách: hoán đổi
các trung tỷ , hoán đổi các ngoại tỷ hoặc hoán đổi cả trung tỷ và ngoại tỷ)
20
2.Tính chất dãy tỷ số bằng nhau:
Từ
b d
a c
b d
a c
c d
a b
c d
a b
– –
=
+ +
= = = =
Từ a c e
b d f
= = => = …………
– –
– –
=
+ +
+ +
= = =
b d f
a c e
b d f
a c e
e f
c d
a b
Từ a c e a c e k k
b d f b d f
 
= = =  =
 
( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+) Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c x y z
a b c
 = =
Ta còn viết x : y : z = a : b : c
+) Nâng cao: Ta còn có tính chất gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ l ệ.
Từ
a b c d
a c b d
b d a b c d
a c
  
 =
= = 
  
  =
III. Các dạng bài tập:
*) Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau.
1.Phương pháp giải
– Từ tỉ lệ thức: a c
b d
=
 = a d b c . .
. . . .
; ; ;
b c a d a d b c
a b c d
d c b a
 = = = =
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã
biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ
đã biết.
– Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
2.Ví dụ
VD1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a) 2
15 3,5
x –
= b) 3,8 : (2x) = 1 2 : 2
4 3
Giải:
a) 2
15 3,5
x –
= => x .3,5 = 15 .(-2)
21
=> x. 3,5 = -30
=> x = 30
3,5
–
=> x = 60
7
– ( thỏa mãn bài ra)
Vậy x = 60
7
–
b) 3,8 : (2x) = 1 2 : 2
4 3
19 1 8
: (2 ) :
5 4 3
 = x
1 19 8
(2 ). .
4 5 3
1 152
(2 ).
4 15
152 1
2 :
15 4
608
2
15
x x
x x
 =
 =
 =
 =
608
: 2
15
 = x
304
15
 = x ( thỏa mãn bài ra)
Vậy 304
15
x =
VD 2: Tìm x, y biết:
a)
5 25
x y
=

và x + y = 60

b) 5x = 3y và x – y = -5

Giải:
a) Ta có:
5 25
x y
=

và x + y = 60

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 60 2
5 25 5 25 30
x y x y +
= = = =
+
+) Vì 2 2.5 10
x 5
=  = = x

+) Vì

2 2.25 50
25
y
=  = = y
Vậy x =10, y = 50 ( thỏa mãn bài ra)
22
b) Ta có: 5x = 3y =>
3 5
=
x y
mà x – y = -5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 5 2,5
3 5 3 5 2
– –
= = = =
– –
x y x y
+) Vì 2,5
3
=
x
=> x = 2,5.3 = 7,5
+) Vì 2,5
5
=
y
=> y = 2,5.5 = 12,5
Vậy x = 7,5 và y = 12,5 ( thỏa mãn bài ra)
3. Bài tập vận dụng
3.1/ Bài tập cơ bản
Bài 1. Tìm x trong các tỉ lệ thức sau :
a) 16
25
=
x
x
b) 37 x 3
x 13 7
–
=
+
c) 2 4
1 7
– +
=
– +
x x
x x
Giải:
a) 16
25
=
x
x
 = x x . 16.25
2 400
20
 =
 = 
x x
Vậy x – 20; 20thỏa mãn bài ra
Ta thấy trong tỉ lệ thức 16
25
x
x
= có 2 trung tỉ chưa biết giống nhau khi
làm ta đưa về lũy thừa bậc hai. Như vậy sau khi làm bài này học sinh có thể
đưa ra bài tập tương tự ( ví dụ cho đẳng thức có hai ngoại tỉ chưa biết giống
nhau) hoặc giáo viên có thể nâng cao mức độ bài tập( ví dụ cho các tỉ lệ thức
2 60
15 2
+
=
+
x
x
;
1 20
4 1
–
=
– –
x
x
và yêu cầu học sinh tìm x).
b) 37 x 3
x 13 7
–
=
+

*) Cách 1:

*) Cách 2: Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số

37 x 3
x 13 7
–
=
+
37 x 3
x 13 7
–
=
+
37 13
3 7
– +
 =
x x

23
3.( 13) 7.(37 x)
3 39 259 7
10 220
22
 + = –
 + = –
 =
 =
x
x x
x
x

Vậy x = 22 thỏa mãn bài ra

bằng nhau ta có: Vậy x = 22 thỏa mãn bài ra

37 13 37 13 50
5
3 7 3 7 10
22
– + – + +
= = = =
+
 =
x x x x
x
c) 2 4
1 7
x x
x x
– +
=
– +
 – + = – + ( 2).( 7) ( 1).( 4) x x x x
 + – – = – + – x 7 2 14 4 4 2 2 x x x x x
5 14 3 4
2 10
5
x x
x
x
 – = –
 =
 =
Vậy x = 5 thỏa mãn bài ra
Ta thấy trong tỉ lệ thức 2 4
1 7
x x
x x
– +
=
– +
thì x nằm ở cả 4 vị trí( 2 trung tỉ và
2 ngoại tỉ) mà hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu. Ta
cũng có thể tìm x trong tỉ lệ thức trên bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau.
Bài 2: Tìm hai số x và y biết :

a) và x + y = – 2
b) và x.y = 2100	c) và

2 5
x y
= 3 7
x y
= 3 4
x y
= x2 + y2 =100
Giải:
a) Ta có:
2 5
x y
= và x + y = – 2
*) Cách 1: Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
2 7
2 5 2 5 7 10
7
 –
+ –   =
= = =  
+  = –
 
x
x y x y
y

Vậy thỏa mãn bài ra.

4 10 ;
7 7
– –
x y = = *) Cách 2: Đặt (k 0) x = 2k ; y = 5k
2 5
= =  
x y
k
24
Mà x + y = – 2 => 2k + 5k = -2 => k = 2
– 7
4 10
;
7 7
– –
 = = x y

Vậy thỏa mãn bài ra.

4 10 ;
7 7
– –
x y = = b) Ta có:
3 7
=
x y
và x.y = 2100

Đặt

(k 0) x=3k; y=7k
3 7
= =  
x y
k
Mà x.y = 2100 => 3k.7k = 2100 => k2 = 100 => k = 10
+) Nếu k = 10 3.10 30
7.10 70
 = =
 
 = =
x y
+) Nếu k = -10 3.( 10) 30
7.( 10) 70
 = – = –
 
 = – = –
x y

Vậy	thỏa mãn bài ra.
*) Chú ý: Đây là bài toán tìm hai số biết “tích” và “tỉ”.

30 30
;
70 70
  = = –
 
  = = –
x x
y y
c) Ta có:
3 4
=
x y
và x y 100 2 2 + =

Đặt

(k 0) x=3k; y=4k
3 4
= =  
x y
k
Mà x y k k 2 2 2 2 + =  + = 100 (3 ) (4 ) 100
9 16 100 25 100 4 2 2 2 2
2
 + =  =  =
 = 
k k k k
k
+) Nếu k = 2 x = 3 . 2 = 6
y= 4 . 2 = 8

 

+) Nếu k = -2 x = 3 . (-2) = -6
y = 4 . (-2) = -8

 

Vậy
6 6
;
8 8
  = = –
 
  = = –
x x
y y
thỏa mãn bài ra.
25
Bài 3: Tìm x, y và z biết:
x y z
a) và x y z 12
3 4 5
= = – + =
b) x : 4 y : 5 z : 6 và x y z 28 = = – – =
c) x : y : z 3: 5: 7 và x y z 25 = – + = –
Giải:
a) Ta có: x y z và x y z 12
3 4 5
= = – + =

*) Cách 1: Đặt (với k khác 0)

3 , 4 , 5
3 4 5
x y z
= = =  = = = k x k y k z k Mà x – y + z = 12 => 3k – 4k + 5k = 12 => k = 3
=> x = 3.3 = 9; y = 3.4 = 12; z = 5.3 = 15
Vậy x = 9; y = 12; z = 15 thỏa mãn bài ra.
*) Cách 2: Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x y z 12
3
3 4 5 3 4 5 4
– +
= = = = =
– +
x
3 x 3.3 9
3 y
3 y 4.3 12
4 z
3 z 5.3 15
5
 =  = =
=  = =
=  = =
Vậy x = 9; y = 12; z = 15 thỏa mãn bài ra.
b) Ta có: x : 4 y :5 z : 6 và x y z 28 = = – – =
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> x = -16; y = -20; z = -24 ( thỏa mãn bài ra).
c) x : y : z 3:5: 7 và x y z 25
x y z
và x y z 25
3 5 7
= – + = –
 = = – + = –
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> x = -15; y = -25; z = -35( thỏa mãn bài ra).
26
Bài 4: Tìm các số a, b, c biết rằng
a) a b c
2 3 4
= = và a + 2b – 3c = – 20
b) a: b: c = 2: 5: 7 và 3a + 2b – c = 27
c) ;
2 3 5 4
= =
a b b c
và a – b + c = – 49
d) 5a = 8b = 20c và a – b –c = 3
e)
12 9 5
= =
a b c
và abc = 20
Hướng dẫn: c) Viết
2 3
=
a b
thành
10 15
=
a b
và
5 4
=
b c
thành
15 12
=
b c
Giải:
a) Ta có:
2 3 4
a b c
= = và a + 2b – 3c = – 20

*) Cách 1: Đặt

(k 0) a=2k;b=3k;c=4k
2 3 4
= = =  
a b c
k
Mà a + 2b – 3c = – 20 => 2k + 6k – 12k = – 20 => k = 5
=>a = 10; b = 15; c = 20.
Vậy a = 10; b = 15; c = 20 thỏa mãn bài ra.
*) Cách 2: Từ 2 3
2 3 4 2 6 12
= =  = =
a b c a b c
mà a + 2b – 3c = – 20
Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 2 3 20
5
2 6 12 2 6 12 4
+ – –
= = = = =
+ – –
a b c a b c
=> a = 10; b = 15; c = 20.
Vậy a = 10; b = 15; c = 20 thỏa mãn bài ra.
b) Ta có a: b: c = 2: 5: 7 và 3a + 2b – c = 27
=>
2 5 7
= =
a b c
và 3a + 2b – c = 27
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> a = 6, b = 15, c = 21 (thỏa mãn bài ra).
c) Ta có: ;
2 3 5 4
= =
a b b c
và a – b + c = – 49
27
Vì ;
2 3 5 4 10 15 12
= =  = =
a b b c a b c
mà a – b + c = – 49
Học sinh làm tương tự câu a)
=> a = -70, b = -105, c = -84 (thỏa mãn bài ra).
d) Ta có: 5a = 8b = 20c và a – b –c = 3

Vì 5a = 8b = 20c , mà a – b –c = 3

1 1 1
5 8 20
 = =
a b c
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> a = 24, b = 15, c = 6 (thỏa mãn bài ra).
e) Ta có:
12 9 5
= =
a b c
và a.b.c = 20

Đặt

(k 0) a = 12k ; b = 9k ; c = 5k
12 9 5
= = =  
a b c
k
Mà a.b.c = 20 => 12k.9k.5k = 20 => k3 = 1
27
=> k = 1
3
1 1 1 5
12. 4; 9. 3; 5.
3 3 3 3
 = = = = = = a b c
Vậy a = 4; b = 3 ; c = 5
3
thỏa mãn bài ra.
Trong câu này ta cũng có thể làm như sau: Từ
12 9 5
= =
a b c
3
. .
. .
12 12 9 5 12.9.5
 
 = =  
 
a a b c a b c
mà a.b.c = 20
3
20 1
12 540 27
 
 = =  
 
a 1
12 3
 =
a
5
4; 3;
3
 = = = a b c .
3.2/ Bài tập nâng cao
Bài 5: Tìm các số a, b, c biết rằng
2 3 4
a b c
= = và a2 – b2 + 2c2 = 108
Hướng dẫn: Từ
2 3 4
a b c
= = suy ra
2 2 2
4 9 16
a b c
= =
28
Giải:

*) Cách 1: Đặt

(k 0) b = 2k ; b = 3k ; c = 4k
2 3 4
= = =  
a b c
k
Thay vào a2 – b2 + 2c2 = 108
Từ đó tìm được
4; 6; 8
4; 6; 8
 = = =

 = – = – = –
a b c
a b c
*) Cách 2: Từ
2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 4 9 16 4 9 32
= =  = =  = =
a b c a b c a b c
(với a, b, c cùng dấu)
Mà a2 – b2 + 2c2 = 108
Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 108
4
4 9 32 4 9 32 27
– +
= = = = =
– +
a b c a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 108
4
4 9 32 4 9 32 27
– +
= = = = =
– +
a b c a b c
, mà a, b, c cùng dấu
4; 6; 8
4; 6; 8
 = = =
 
 = – = – = –
a b c
a b c
Vậy
4; 6; 8
4; 6; 8
 = = =

 = – = – = –
a b c
a b c
thỏa mãn bài ra.
Bài 6: Tìm cặp số (x, y) biết : 1+3y 1+5y 1+7y = =
12 5x 4x
Giải:
Ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1+3y 2+10y 1+7y = =  = =
12 5x 4x 12 10x 4x
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+
= = = =
–
+
 =  =  =
1+3y 2+10y 1+7y (2+10y)-(1+7y) 1 3y
12 10x 4x 10x 4x 6x
1+3y 1 3y
6x 12 x 2
12 6x
Thay x = 2 vào bài ra ta có: 1+3y 1+5y =  = 10. 1+3y 12. 1+5y ( ) ( )
12 5.2
29
 + = +

–

10 30y 12 60y
30y=-2
1
y=
15
Vậy x = 2; y=-1
15
thỏa mãn bài ra.
Bài 7: Tìm x, y, z biết rằng: 4 6 8
2 3 4
x y z – – –
= = và x + y +z =27
Giải:
*) Cách 1: Đặt 4 6 8 (k 0)
2 3 4
x y z
– – – = = =  k
2 4
3 6
4 8
x k
y k
z k
 = +

 = + 

 = +
(*) mà x + y +z =27
=> 2k + 4 + 3k + 6 + 4k + 8 = 27
=> k = 1, thay vào (*)
=> x = 6; y= 9; z = 12 thỏa mãn bài ra.
Vậy x = 6; y= 9; z = 12
*) Cách 2: Ta có: 4 6 8
2 3 4
x y z – – –
= = và x + y +z =27
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4 6 8 4 6 8 18 27 18
1
2 3 4 2 3 4 9 9
4 2.1 2 6
6 3.1 3 9
8 4.1 4 12
x y z x y z x y z
x x
y y
z z
– – – – + – + – + + – –
= = = = = =
+ +
  – = = =
 
 – = =  =  
 
  – = = =
Vậy x = 6; y= 9; z = 12 thỏa mãn bài ra.
Bài 8: Cho a b c
b c a
= = và a + b + c ≠ 0; a = 2015. Tính b, c ?
Giải:
Ta có: a b c
b c a
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a b c 1
b c a b c a
+ +
= = = =
+ +
( vì a + b + c ≠ 0 )
30
1
1
1
a
a b
b b
b c
c c
c a
a

 =  =
 
 =  = 

 =  =

=> a = b = c , mà a = 2015 => b = c = 2015
Vậy b = c = 2015 thỏa mãn bài ra.
Bài 9: Tìm các số x, y, z biết: y z x z x y 1 2 3 1
x y z x y z
+ + + + + –
= = =
+ +
( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:
Ta có:
y z x z x y 1 2 3 1
x y z x y z
+ + + + + –
= = =
+ +
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
( )
( )
1 2 3 1 1 2 3
2.
2 x+y+z 0
y z x z x y y z x z x y
x y z x y z x y z
x y z
do
x y z
+ + + + + – + + + + + + + –
= = = =
+ + + +
+ +
= = 
+ +
Do đó
1
2 0,5 x y z
x y z
=  + + =
+ +
0,5
0,5
0,5
x y z
x z y
y z x
 + = –

 + = – 

 + = –
Thay vào bài ra, ta có:
0,5 1 0,5 2 0,5 3
x y z 2
x y z
– + – + – –
= = =
1,5 2,5 2,5
2
1,5 2
1 5 5
2,5 2 ; ;
2 6 6
2,5 2
x y z
x y z
x x
y y x y z
z z
– – – –
 = = =
 – =
 –
 – =  = = = 

- – =
Vậy
1 5 5
; ;
2 6 6
x y z
–
= = = thỏa mãn bài ra.
31
Bài 10: T×m x, y, z biÕt: x y z
x y
z
x z
y
z y
x
= + +
+ –
=
+ +
=
+ +1 1 2
(x, y, z  0 )
Giải:
Ta có: x y z
x y
z
x z
y
z y
x
= + +
+ –
=
+ +
=
+ +1 1 2
(x, y, z  0 )
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1
1 1 2 1 1 2 2
0,5
0,5 0,5
0,5
x y z x y z
x y z
z y x z x y z y x z x y
x y z
x y z x z y
y z x
+ +
= = = + + = =
+ + + + + – + + + + + + + –
 + = –

 + + =  + = – 

 + = –
Thay vào bài ra ta có:
1
0,5 1 0,5 1 0,5 2 2
1
1,5 1,5 1,5 2
x y z
x y z
x y z
x y z
= = =
– + – + – –
 = = =
– – – –
1 1 1
; ;
2 2 2
x y z
–
 = = =
Vậy 1 1 1 ; ;
2 2 2
x y z
–
= = = thỏa mãn bài ra.
Bài 11: T×m x, y, z biÕt: 3 3 3
90 126 54
x y z
= = vµ x y z 2 2 2 + – = 585
Giải:
Ta có: 3 3 3
90 126 54 5 7 3
x y z x y z
= =  = =

Đặt , mà

5 ; 7 ; 3 (k 0)
5 7 3
x y z
= = =  = = =  k x k y k z k x y z 2 2 2 + – = 585
( )2 2 2 ( ) ( )
2 2 2
2 2
5 7 3 585
25 49 9 585
65 585 9
3
k k k
k k k
k k
k
 + – =
 + – =
 =  =
 = 
+) Nếu k = 3 => x = 15; y = 21; z = 9
+) Nếu k = -3 => x = -15; y = -21; z = -9
Vậy 15; 21; 9
15; 21; 9
x y z
x y z
 = = =

 = – = – = –
thỏa mãn bài ra.
32
Bài 12: Tìm x , y biết : 2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ – + –
= =
Giải:
Ta có: 2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ – + –
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 1 4 5 2 4 4 4 5 (2 4 4 2 1 ) ( )
5 9 7 7 5 7 5
x y x y y x y x
x x x
+ – + – – + – – +
= = = =
– –
4 5 4 5
7 5 9 2
9 7 5
y y
x x
x
– –
 =  – =  =
–
Thay x = 2 vào đề bài ta được: 2.2 1 4 5 7 4 5 9
5 9 2
y
y y
+ –
=  – =  =
Vậy 2; 7
2
x y = = thỏa mãn bài ra.
4. Bài học rút ra:
– Khi chưa áp dụng sáng kiến: Học sinh thường mắc một số sai lầm khi
tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau cụ thể như sau:
+) Học sinh mắc sai lầm khi áp dụng .
.
x y x y
a b a b
= = hay . .
. .
x y z x y z
a b c a b c
= = =
dẫn đến lời giải sai.
Ví dụ 1: Bài 62 – SGK.T31: Tìm 2 số x, y biết rằng
2 5
x y
= và x.y = 10
Có em đã mắc sai lầm như sau:
Vì
2 5
x y
= và x.y = 10 => . 10 1
2 5 2.5 10
x y x y
= = = =
( Sai lầm vì nhầm tưởng đây là áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
=> x=2, y=5 (thỏa mãn bài ra).
Kết quả: Dẫn đến bài giải sai.
Ví dụ 2: Tìm các số a, b, c biết rằng a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600
Có em đã mắc sai lầm như sau:
Vì a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600 => a b c a.b.c 600 25
2 3 4 2.3.4 24
= = = = =
33
( Sai lầm vì nhầm tưởng đây là áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
=> a=50, b= 75, c= 100 (thỏa mãn bài ra).
Kết quả: Dẫn đến bài giải sai.
– Sau khi áp dụng sáng kiến: Học sinh khắc phục được các tồn tại mà khi
chưa áp dụng sáng kiến thường mắc phải:

Ví dụ 1: Bài 62 – SGK.T31: Tìm 2 số x, y biết rằng và x.y = 10.

2 5
x y
= Học sinh làm đúng như sau:
Giải:
Ta có:
2 5
x y
= và x.y = 10

Đặt mà x.y = 10

(k 0) x=2k;y=5k
2 5
x y
= =   k => 2k.5k = 10 => k2 = 1=> k = 1
Với k = 1 => x = 2, y = 5
Với k = -1 => x = -2, y = -5
Vậy 2; 5
2; 5
x y
x y
 = =

 = – = –
thỏa mãn bài ra.
Ví dụ 2: Tìm các số a, b, c biết rằng a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600
Học sinh làm đúng như sau:
Giải:
Ta có: a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600
Đặt a b c k (k 0) a=2k;b=3k;c=4k
2 3 4
= = =   mà a.b.c = 600
=> 2k.3k.4k = 600 => k2 = 25=> k = 5
Với k = 5 => a = 10, b = 15, c = 20
Với k = -5 => a = -10, b = -15, c = -20
Vậy 10; 15; 20
10; 15; 20
a b c
a b c
 = = =

 = – = – = –
thỏa mãn bài ra.
Do đó học sinh hoàn thành bài nhanh và đúng.
34
*) Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
1. Phương pháp giải
Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Để chứng minh tỉ lệ thức a c
b d

ta có thể làm như sau:

– Cách 1: Chứng minh hai tích chéo bằng nhau: a.d = b.c
– Cách 2: Chứng minh hai tỉ số a
b
và c
d
có cùng một giá trị. Nếu trong đề bài đã
cho trước một tỉ lệ thức ta đặt là k ( k khác 0) từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ
lệ thức phải chứng minh theo k.
– Cách 3: Dùng các tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,

tính chất của đẳng thức, … để từ tỉ lệ thức đã cho tạo ra được tỉ lệ thức cần

a c
b d
= chứng minh a c
b d
= .
*) Một số công thức cần chú ý:
– Với n  0, ta có: .
.
a n a
b n b
= ( nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số
khác không thì giá trị phân số không đổi)
– Với n  N*, ta có:
n n
a c a c
b d b d
   
=  =    
   
2. Ví dụ
VD1: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng: a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:
Cách 1: Ta có (a b c d ac ad bc bd + – = – + – )( ) (1)
(a b c d ac ad bc bd – + = + – – )( ) (2)
Mà a c
b d
=  = ad bc(3)
Từ (1 , 2 , 3 ) ( ) ( ) + – = – + (a b c d a b c d )( ) ( )( )

=> .

a b c d
a b c d
+ +
=
– –

35
Vậy a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(điều phải chứng minh)

Cách 2: Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
 = = = a b kb b k a b kb k b k k + + + – – – – b k ( +1 1 1) 1(1)
( )
c d kd d k c d kd d d k k + + + – – – – = = = d k ( +1 1 1) 1(2)
Từ (1) và (2) => a b c d
a b c d
+ +
=
– –
( vì cùng bằng 1
1
k k
+ –
)
Vậy a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(điều phải chứng minh)
Cách 3: Ta có: a c a b
b d c d
=  =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a b a b
c d c d c d
+ –
= = =
+ –
a b c d
a b c d
+ +
 =
– –
Vậy a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(điều phải chứng minh)
VD 2: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng:
2 2
2 2
ab a b
cd c d
–
=
–
.
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải
Cách 1: Ta có: ab.(c2 – d2) = abc2 – abd2 = ac. bc – bd. ad (1)
cd.(a2 – b2) = cda2 – cdb2 = ac. ad – bd. bc (2)
Vì a c ad bc
b d
=  = (3)
Từ (1), (2), (3) => ab.(c2 – d2) = cd.(a2 – b2)
=>
2 2
2 2
ab a b
cd c d
–
=
–
Vậy
2 2
2 2
ab a b
cd c d
–
=
–
(điều phải chứng minh)
Cách 2: Vì a c a b
b d c d
=  =
2 2
2 2 .
a b a b ab
c d c d cd
 = = = (1)
36
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
c d c d
–
= =
–
(2)
Từ (1) và (2) =>
2 2
2 2
ab a b
cd c d
–
=
–
Vậy
2 2
2 2
ab a b
cd c d
–
=
–
(điều phải chứng minh)
3. Bài tập vận dụng
3.1/ Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau
a) a b c d
a c
+ +
= b) a b c d
a c
– –
(với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:

a) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
a b kb b k b k 1 1(1)
a kb bk k
+ + + +
 = = =
( )
c d kd d k d k 1 1(2)
c kd dk k
+ + + +
= = =
Từ (1) và (2) => a b c d
a c
+ +
=

( vì cùng bằng

k 1
+ k
)
Vậy a b c d
a c
+ +
= (điều phải chứng minh)

b) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
a b kb b k b k 1 1(1)
a kb bk k
– – – –
 = = =
( )
c d kd d k d k 1 1(2)
c kd dk k
– – – –
= = =
Từ (1) và (2) => a b c d
a c
– –
=

( vì cùng bằng

k 1
– k
)
Vậy a b c d
a c
– –
= (điều phải chứng minh)
37
Bài 2: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng:
a) 3 2 5 3
3 2 5 3
a c a c
b d b d
+ –
=
+ –
b)
2 2
2 2
2 2
a c ac
b d bd
–
=
–
c) ( )
( )
2 2
ab a b
cd c d
+
=
+
( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:

a) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
3 2 3 2 3 2 (1)
3 2 3 2 3 2
a c kb kd k b d
k
b d b d b d
+ + +
 = = =
+ + +
( )
5 3 5 3 5 3 (2)
5 3 5 3 5 3
a c kb kd k b d
k
b d b d b d
– – –
= = =
– – –
Từ (1) và (2) => 3 2 5 3
3 2 5 3
a c a c
b d b d
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng k )
Vậy 3 2 5 3
3 2 5 3
a c a c
b d b d
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)

b) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
2 2 2 2
2
2 2 2
( )
a kb k b k 1
b b b
 = = =
( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 . .(2 )
2
2 2 2
c ac k d kb kd k d bd
k
d bd d bd d bd
– – –
= = =
– – –

Từ (1) và (2) =>

( vì cùng bằng k2 )

2 2
2 2
2 2
a c ac
b d bd
–
=
–
Vậy
2 2
2 2
2 2
a c ac
b d bd
–
=
–
(điều phải chứng minh)

c) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) .( 1)
1
( ) ( ) .( 1)
a b kb b b k b
c d kd d d k d
+ + +
 = = =
+ + +
( )
2 2
2 2
. 2
.
ab kb b kb b
cd kd d kd d
= = =
Từ (1) và (2) => ( )
( )
2 2
ab a b
cd c d
+
=
+
( vì cùng bằng
2 2
b d
)
38
Vậy ( )
( )
2 2
ab a b
cd c d
+
=
+
(điều phải chứng minh)
Bài 3: Cho a2 = bc ( với b a b a c    0, , ). Chứng minh rằng: a b c a
a b c a
+ +
=
– –
.
Điều ngược lại có đúng không?
Giải:
*) Cho a2 = bc. Chứng minh: a b c a
a b c a
+ +
=
– –
Ta có a2 = bc => a c
b a
=

Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c ka ,
b a
= =  = = .( 1) 1
(1)
.( 1) 1
a.( 1) 1
(2)
a.( 1) 1
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c a ak a k k
c a ak a k k
+ + + +
= = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –
Từ (1) và (2) => a b c a
a b c a
+ +
=
– –
( vì cùng bằng 1
1
k k
+ –
)
Do đó a2 = bc thì a b c a
a b c a
+ +
=
– –
*) Cho a b c a
a b c a
+ +
=
– –
. Chứng minh: a2 = bc
Ta có a b c a
a b c a
+ +
=
– –
=> (a b c a a b c a + – = – + ). . ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2. 2.
ac a ab bc ac bc a ab
a bc bc a
bc a
a bc
 – – + = – + –
= – + = – +
 =
 =
Do đó a b c a
a b c a
+ +
=
– –
thì a2 = bc
Vậy a2 = bc a b c a
a b c a
+ +
 =
– –
Bài 4: Cho
c d
b c
a b
= = . Chứng minh rằng:
3
a b c a
b c d d
  + +
  =
  + +
39
Giải:

Đặt ( với k ≠ 0 )

a b c k a bk b ck c dk ; ;
b c d
= = =  = = = 3 3 3
a b c bk ck dk k b c d .( ) 3
k
b c d b c d b c d
      + + + + + +
 = = =      
      + + + + + + (1)
2 3
a bk bk bk 3
k
d b c b
k k
= = = = (2)
Từ (1) và (2) =>
3
a b c a
b c d d
  + +
  =
  + + ( vì cùng bằngk3 )
Vậy
3
a b c a
b c d d
  + +
  =
  + + (điều phải chứng minh)
Bài 5: Chứng minh rằng, nếu
c d
a b
= thì:
a)
c d
c d
a b
a b
5 3
5 3
5 3
5 3
+ –
=
+ –

b)

2 2
2
2 2
2
11 8
7 3
11 8
7 3
c d
c cd
a b
a ab
+ –
=
+ –
Giải:

a) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
(1)
5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
(2)
5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c d dk d d k k
c d dk d d k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –
Từ (1) và (2) =>
c d
c d
a b
a b
5 3
5 3
5 3
5 3
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng 5 3
5 3
k k
+ –
)
Vậy
c d
c d
a b
a b
5 3
5 3
5 3
5 3
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)

b) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
7 3 7.( ) 3. . .(7. 3) 7. 3
(1)
11 8 11.( ) 8 .(11. 8) 11. 8
7 3 7.( ) 3. . .(7. 3) 7. 3
(2)
11 8 11.( ) 8 .(11. 8) 11. 8
a ab bk bk b b k k k
a b bk b b k k k
c cd dk dk d d k k k
c d dk d d k k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –

Từ (1) và (2) =>

( vì cùng bằng

2 2
2
2 2
2
11 8
7 3
11 8
7 3
c d
c cd
a b
a ab
+ –
=
+ –
7 3
11 8
k k
+ –
)
40

Vậy

2 2
2
2 2
2
11 8
7 3
11 8
7 3
c d
c cd
a b
a ab
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)
Bµi 6: Cho
c d
a b
= (b, d  0) .Chøng minh r»ng:
a)
c d
c
a b
a
+
=
+
b)
c d
c d
a b
a b
+ –
=
+ –
2 2
2 2
c)
c d
c d
a b
a b
2
2
2
2
+ –
=
+ –
Giải:

a) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = (1)
.( 1) 1
(2)
.( 1) 1
a bk bk k
a b bk b b k k
c dk dk k
c d dk d d k k
 = = =
+ + + +
= = =
+ + + +
Từ (1) và (2) =>
c d
c
a b
a
+
=
+
( vì cùng bằng
1
k
k +
)
Vậy
c d
c
a b
a
+
=
+
(điều phải chứng minh)

b) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 2 2. .(2. 1) 2. 1
(1)
2 2. .(2. 1) 2. 1
2 2. .(2. 1) 2. 1
2 2. .(2. 1) 2. 1
(2)
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c d dk d d k k
c d dk d d k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –
Từ (1) và (2) =>
c d
c d
a b
a b
+ –
=
+ –
2 2
2 2
( vì cùng bằng 2 1
2 1
k k
+ –
)
Vậy
c d
c d
a b
a b
+ –
=
+ –
2 2
2 2
(điều phải chứng minh)

c) Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 2 2. .(2. 1) 2. 1
(1)
2 2. .(2. 1) 2. 1
2 2. .(2. 1) 2. 1
(2)
2 2. .(2. 1) 2. 1
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c d dk d d k k
c d dk d d k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
== = =
– – – –
Từ (1) và (2) =>
c d
c d
a b
a b
2
2
2
2
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng 2 1
2 1
k k
+ –
)
Vậy
c d
c d
a b
a b
2
2
2
2
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)
41
Bài 7:

Cho . Chứng minh rằng:

a c (c,b 0)
c b
=  2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
Giải:

Đặt ( với k ≠ 0 )

a c k a kc c kb ,
c b
= =  = = 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( ) .(k 1) ( )
(1)
( ) .(k 1)
. (2)
a c kc c c c kb
k
b c b kb b b b
a kc k kb
k
b b b
+ + +
 = = = = =
+ + +
= = =
Từ (1) và (2) =>
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
( vì cùng bằng k2 )
Vậy
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
(điều phải chứng minh)
Trong bài toán này ta cũng có thể làm như sau:
+) Cách 2: Xét tích chéo
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
.( ) . . . .ab ab.(a b)
.( ) . . . .ab ab.(a b)
a b c a b a c a b a
b a c a b b c a b b
 + = + = + = +

  + = + = + = +

Do đó

(điều phải chứng minh)

2 2
2 2 2 2
a b c b a c .( ) .( ) a c a 2 2
b c b
+
+ = +  =
+
+) Cách 3: Ta có :
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
.
0
.
a c a ab a a a b
a b
b c b ab b a b b
+ + +
= = = + 
+ + +
Do đó
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
(điều phải chứng minh)
3.2/ Bài tập nâng cao
Bài 8: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = a.c.
Chứng minh rằng:
a c
=
2 2
( 2015 )
( 2015 )
a b
b c
+ +
Giải:
Ta có: b2 = a.c (với a,b,c  0 ) => a b
b c
=

Đặt ( với k ≠ 0 )

a b k a b k b c k . , .
b c
= =  = = 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
( 2015 ) ( . 2015. ) .( 2015) ( . )
( 2015 ) (c. 2015.c) .( 2015)
a b b k b b k b c k
k
b c k c k c c
+ + +
 = = = = =
+ + +
(1)
42
a b k c k k . ( . ). 2
k
c c c
= = = (2)
Từ (1) và (2) =>
a c
=
2 2
( 2015 )
( 2015 )
a b
b c
+ +
( vì cùng bằng k2 )
Vậy
a c
=
2 2
( 2015 )
( 2015 )
a b
b c
+ +
( với a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = a.c)
Bài 9: BiÕt
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d  0 , c d  
Chứng minh rằng : a c
b d
=

hoặc

a d
b c
Giải:
Ta có: ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2. 2.
(1)
2. 2.
a b ab ab a b ab a b a b
c d cd cd c d cd c d c d
+ + + + +  
= = = = =  
+ + + + +  
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2. 2.
(2)
2. 2.
a b ab ab a b ab a b a b
c d cd cd c d cd c d c d
+ + – – –  
= = = = =  
+ + – – –  
Từ (1) và (2) =>
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
a b a b
c d c d
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng
2 2
2 2
a b
c d
+ +
)
a b a b
c d c d
a b b a
c d c d
 + –
 =
+ –
 
 + –
  + – =
+) Nếu ( ) ( )
( ) ( )
2.
(3)
2.
a b a b a a a b a b
c d c d c d c d c c
+ – + + –
= = = =
+ – + + –
( ) ( )
( ) ( )
2.
(4)
2.
a b a b b b a b a b
c d c d c d c d d d
+ – + – –
= = = =
+ – + – –
Từ (3) và (4) => a b a c
c d b d
=  =
+) Nếu ( ) ( )
( ) ( )
2.
(5)
2.
a b b a b b a b b a
c d c d c d c d c c
+ – + + –
= = = =
+ – + + –
( ) ( )
( ) ( )
2.
(6)
2.
a b b a a a a b b a
c d c d c d c d d d
+ – + – –
= = = =
+ – + – –
Từ (5) và (6) => b a a d
c d b c
=  =
43
Vậy
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d  0 , c d   thì a c
b d
= hoặc a d
b c
Bài 10: Cho tØ lÖ thøc
c d
a b
= .
Chøng minh r»ng: 2 2
2 2
c d
a b
cd
ab
– –
= vµ 2 2
2 2 2
c d
a b
c d
a b
+ +
 =
 

+ +
Giải:
a) Vì ( )
2 2
a c a b a b 0 c 2 2
b d c d c d
=   =  =
=>
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
c d c d
–
= =
–
mà a b
c d
= =>
2 2 2
. . 2 2 2
a b a a a a b
c d c c c c d
–
= = =
–
Vậy 2 2
2 2
c d
a b
cd
ab
– –
= ( điều phải chứng minh)

a) Vì =>

a c a b 0 (c )
b d c d
=   = 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
c d c d
+
= =
+
(1)
Mà
2 2 2
a b a b a b a b
c d c d c d c d
+ +      
= =  = =      
+ +       (2)
Từ (1) và (2) => 2 2
2 2 2
c d
a b
c d
a b
+ +
 =
 

+ +
Vậy 2 2
2 2 2
c d
a b
c d
a b
+ +
 =
 

+ +
( điều phải chứng minh)
Bài 11 : Cho dãy tỉ số bằng nhau
d
a b c d
c
a b c d
b
a b c d
a
2a b c d 2 2 + + + 2
=
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
(với a b c d a b b c c d d a , , , 0; , , , 0  + + + +  )

Tính

.

b c
d a
a b
c d
d a
b c
c d
a b
M
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
= Giải:
Ta có:
d
a b c d
c
a b c d
b
a b c d
a
2a b c d 2 2 + + + 2
=
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=>
2 2 2 2
a b c d a b c d a b c d a b c d 1 1 1 1
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
– = – = – = –
=>
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
44

+) Nếu

=> a + b = b + c = c + d = d + a

Do đó:

a b c d a b c d + + +   = = =  = = = 0 1 1 1 1
a b c d
M a b b c c d d a 1 1 1 1 4
c d d a a b b c
+ + + +
= + + + = + + + =
+ + + +

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education