Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

• Tổng hợp tài liệu phương pháp tọa độ trong không gian oxyz
• 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất

1. Căn bậc hai của số phức

Cho số phức $z=a+bi$ (với $a,b\in R$). Một số phức $w$ được gọi là một căn bậc hai của số phức $z$ nếu $w^{2}=z$. Số phức $z=0$ có một căn bậc hai là $0$. Mỗi số phức $z\ne 0$ luôn có hai căn bậc hai, cách tìm căn bậc 2 như trong ví dụ sau đây.

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức $z=4+6\sqrt{5}i$.
Giả sử căn bậc hai của số phức là $w=x+yi$ với $x,y\in R$ thì ta có

${{w}^{2}}={{\left( x+yi \right)}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+2xyi$

Đồng nhất phần thực và phần ảo của hai vế, ta được hệ phương trình:
$$ \begin{cases}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4 \\
xy=3\sqrt{5}
\end{cases}$$

Giải hệ phương trình trên ta được $ x=\pm 3,  y=\pm \sqrt{5}$. Vậy, số phức $z=4+6\sqrt{5}i$ có hai căn bậc hai là $3+i\sqrt{5}$ và $-3-i\sqrt{5}$.

Luyện tập: Tìm căn bậc hai của số phức $z=-1-2\sqrt{6}i$. Đáp số: Có hai căn bậc hai là $\sqrt{2}-i\sqrt{5}$ và $-\sqrt{2}+i\sqrt{5}$.

Chú ý: Mỗi số thực dương $a$ luôn có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}$, mỗi số thực âm $a$ đều có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}.i$

2. Phương trình trên tập số phức

2.1. Phương trình bậc nhất $az+b=0$ với $ a,b\in C, a\ne 0 $

Phương pháp giải. Biến đổi tương đương $az+b=0 \Leftrightarrow z=-\frac{b}{a}$ rồi thực hiện phép chia hai số phức để rút gọn nghiệm, đưa nghiệm về dạng $z=x+yi$ với $x,y\in R$.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

• $\left( 3+4i \right)z=(1+2i)(4+i)$
• $2iz+3=5z+4$
• $3(2-i)z+1=2iz(1+i)+3i$

Hướng dẫn.

• Chúng ta có ngay $z=\frac{(1+2i)(4+i)}{3+4i}=\frac{42}{25}+\frac{19}{25}i $.
• Chuyển vế, đặt nhân tử chung, ta được $$ (-5+2i)z=1 $$ Suy ra $z=\frac{1}{-5+2i}=\frac{-5}{29}-\frac{2}{29}i$
• Đặt nhân tử chung, đưa về dạng $az+b=0$ chúng ta được $$ (3(2-i)-2i(1+i))z=-1+3i $$ Rút gọn được $(8-5i)z=-1+3i$, suy ra nghiệm của phương trình là $$z=\frac{-1+3i}{8-5i}=\frac{-23}{89}+\frac{19}{89}i$$

Ví dụ 2: Giải phương trình $$\frac{2+i}{1-i}z=\frac{-1+3i}{2+i}.$$

Hướng dẫn.

Có thể rút gọn trực tiếp $\frac{2+i}{1-i}$ và $\frac{-1+3i}{2+i}.$ Tuy nhiên, cách làm đó chắc chắn xuất hiện phân số, nên chúng ta sẽ nhân chéo để tránh xuất hiện phép chia hai số phức. Phương trình đã cho trở thành $$(2+i)(2+i)z=(-1+3i)(1-i)$$ hay chính là $(3+4i)z=2+4i$. Suy ra, nghiệm của phương trình là $$z=\frac{2+4i}{3+4i}=\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i.$$

2.2. Phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.

Phương pháp giải. Tính $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, lúc này ta xét 2 trường hợp sau:

• Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.
• Nếu $\Delta \ne 0$ thì giả sử $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta $. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

$${{z}_{1}}=\frac{-b-\delta }{2a};{{z}_{2}}=\frac{-b+\delta }{2a}$$

Chú ý rằng hệ thức Viét vẫn đúng với phương trình bậc hai ẩn phức, do đó có thể nhẩm nghiệm hoặc tính giá trị biểu thức đối xứng với hai nghiệm z1, z2 như đối với phương trình ẩn thực như bình thường.

Ví dụ 1: Giải các phương trình bậc hai sau

• ${{z}^{2}}+2z+5=0$
• ${{z}^{2}}+(1-3i)z-2(1+i)=0$
• ${{z}^{2}}-2(1+i)z-2i-3=0$
• $i{{z}^{2}}-4z-i+4=0$

Ví dụ 2: Cho phương trình

$${{z}^{2}}+\left( \sqrt{3}-1-i \right)z-\sqrt{3}\left( 1+i \right)=0$$

Giả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{2}}+\frac{1}{z_{2}^{2}}$

Luyện tập: Cho phương trình ${{z}^{2}}+\left( 3-2i \right)z+5\left( 1-i \right)=0$. Giả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{{}}}+\frac{1}{z_{2}^{{}}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4+i \\
z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=5-2i \\
\end{cases}$$

Luyện tập: Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=8-8i \\
z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=63-16i \end{cases}$$

Ví dụ 4: Giả sử phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ với $b,c\in R$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi các điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ trên mặt phảng toạ độ $Oxy$. Tìm điều kiện của $b$ và $c$ để tam giác $OM_1M_2$ vuông cân tại đỉnh $O$.

Nhận xét. Nếu phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thì chúng phải có dạng $${{z}_{1}}=m+ni;{{z}_{2}}=m-ni$$

Do đó luôn có tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ cân đỉnh $O$. Để tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ vuông cân thì một trong hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ phải có một argument là $45^\circ$ hoặc $135^\circ$ do đó $m=\pm n$.

Một số phương trình có dạng đặc biệt, ngoài cách làm trên có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Ví dụ: Giải phương trình

$${{\left( \frac{z+i}{z-i} \right)}^{4}}=-1$$

2.3. Phương trình bậc ba $a{{z}^{3}}+b{{z}^{2}}+cz+d=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.

Ví dụ 1: Giải phương trình $\left( iz+\frac{1}{2i} \right)\left( \left( 2-i \right)\overline{z}+i+3 \right)=0$

Nhận xét: Trên cơ sở ví dụ 1, khi giải phương trình bậc ba ẩn phức em chỉ cần nhẩm nghiệm rồi biến đổi phương trình về dạng tích.

Ví dụ 2: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2(1+i){{z}^{2}}+3iz+1-i=0$$
Hướng dẫn: nhận thấy $a+b+c+d=0$ nên $z=1$ là một nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2i{{z}^{2}}+z-2i=0$$
Hướng dẫn: Dùng định lí Bezout nhẩm được 1 nghiệm là $z=1$.

Nếu các hệ số của phương trình đều là số thực thì bấm Casio để tìm một nghiệm.

Ví dụ 4: Giải các phương trình

• $2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+z-1=0$
• ${{z}^{3}}+i{{z}^{2}}-iz+1=0$

2.4. Phương trình trùng phương $a{{z}^{4}}+b{{z}^{2}}+c=0$ với hệ số phức, $a\ne 0 $.

Phương pháp: Chỉ cần đặt $t={{z}^{2}}$ tương tự như với phương trình thực nhưng không có điều kiện $t\ge 0$

Chú ý: Một số phương trình chưa có sẵn dạng trùng phương như trên thì phải thực hiện các phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng trùng phương

Ví dụ: Giải các phương trình

• ${{\left( \frac{z+i}{z-i} \right)}^{4}}=-1$
• ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+\frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$
• ${{z}^{4}}+5{{z}^{3}}-4{{z}^{2}}+5z+1=0$

2.5. Một số dạng phương trình có chứa $z;\overline{z};\left| z \right|$.

Phương pháp: Chỉ cần giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in R$ rồi sử dụng điều kiện bằng nhau của hai số phức để lập và giải hệ hai phương trình hai ẩn $x,y\in R$

Ví dụ: Giải các phương trình

• ${{z}^{2}}+\left| z \right|=0$
• $z+2\overline{z}=2-4i$
• $\left| z \right|-2z=-1-8i$
• ${{z}^{2}}+\overline{z}=0$

Chú ý: Cách làm trên cũng được áp dụng với hệ phương trình ẩn phức

Ví dụ: Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \left| z-2i \right|=\left| z \right| \\
\left| z-i \right|=\left| z-1 \right| \\
\end{cases}$$