Bất đẳng thức Iranian MO 2014 vòng 2

Đề bài. (Iranian MO 2014, round 2)

Cho các số thực \(x, y, z \geq 0\) thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x y+y z+z x) .\) Chứng minh rằng:
$$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{2 x y z}$$

Lời giải: Chúng ta có $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x y+y z+z x) \Leftrightarrow(x+y-z)^{2}=4 x y$$

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(z=\min \{x, y, z\},\) thì \(x+y-z \geq 0\). Áp dụng BĐT AM-GM:
$$
\frac{x+y+z}{3}=\frac{\frac{x+y-z}{2}+\frac{x+y-z}{2}+2 z}{3} \geq \frac{3 \sqrt[3]{\left(\frac{x+y-z}{4}\right)^{2}} \cdot 2 z}{3}=\sqrt[3]{2 x y z}
$$

Đây chính là điều phải chứng minh.

(Lời giải của thầy Nguyễn Thái Vũ – Nhóm FB Học Toán với thầy Vũ)