SKKN Những bài toán đặc biệt trường hấp dẫn trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí THPT

SKKN Những bài toán đặc biệt trường hấp dẫn trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí THPT

Điều kiện và hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
1. Năm 2014 cac nha khoa hoc đã đo được sóng hấp dẫn được hình thành tự vụ nổ
Big Bag. Điều này khẳng định thuyết Big Bag la đúng đắn và khẳng định nhiều lí thuyết
khác. Viêc đo được sóng hấp dẫn sẽ chấm dứt nhiều giả thuyết sai lầm khác. Các nhà khoa
hoc đang tập trung thông nhất lai về thuyết thặng dư vũ trụ để có cái nhìn chính xác nhất. Và
cac công trình nay đang hi vong đat giải Nobel Vật lí những năm tới đây.
2. Theo qui chế trường chuyên: Tổ chuyên môn phải tự biên soan chương trình, tự
tìm va biên soan tai liêu để giảng day.
3. Chu trương cua lãnh đao nha trường la đao tao hoc sinh co bai bản va co nền tảng
vững chắc.
4. Thế hê sau kế thừa kinh nghiêm va vôn tai liêu cua thế hê trước.
5. Trên cơ sơ chương trình khung đã được hoan thiên, hoc sinh co thể tự hoc, tự
nghiên cứu tai liêu một cach chu động sang tao.
II. Mô tả giải pháp
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
Với hoc trò: có thể hoc sinh chưa nắm được hết, cũng co thể biết rồi nhưng chưa hiểu
sâu hoặc chưa vận dụng được thành thao. Có nhiều hoc sinh sẽ lúng túng và lo lắng khi tiếp
cận với vấn đề này. Hy vong là thông qua bài viết này hoc sinh sẽ có thêm nguồn tài liêu, có
thể giúp ích nhiều cho hoc trò.
– Với thầy: Hoc trò lúng túng cũng bơi vì thầy chưa hiểu cặn kẽ vấn đề. Qua viêc viết
sáng kiến kinh nghiêm va cũng để bài viết có chất lượng buộc các thầy cô phải đoc lai, đoc
kỹ phần này từ đo sẽ có các giải pháp giúp hoc sinh.
Những bài viết về vấn đề này còn giúp các thầy cô luyên thi đai hoc hiểu đúng, hiểu
đu bản chất trường hấp dẫn. Riêng về sóng hấp là vấn đề mới được đề cập, nó lai la lĩnh vực
vật lí chuyên sâu nên khó có thể chuyển thành vật lí phổ thông để truyền đat tới hoc sinh phổ
thông.
Viêc phổ thông hóa các vấn đề hiên đai chuyên sâu là cần thiết để đap ứng cập nhật
các vấn đề mới. Trong cac đề thi hoc sinh gioi quôc gia, quôc tế thường là phổ thông hóa các
vấn đề chuyên sâu, đây cũng la những bài tập khó. Bài viết nay cũng nhằm mục đích cho hoc
sinh làm quen với tình huông mới khi phổ thông hóa một vấn đề mà hoc sinh chưa gặp bao
giờ.
Các bài viết trước hết phục vụ cho thay, trò trong trường THPT chuyên Lê Hồng
Phong và tham gia vào các cuộc hội cac trường THPT chuyên khu vực duyên hải va đồng
bằng Bắc Bộ.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TRƯỜNG HẤP DẪN.
I. CÁC ÐỊNH LUẬT KEPLER
Sau khi đã tìm ra cac định luật chuyển động, một vấn đề lam Newton suy nghĩ nhiều la:
tai sao Mặt Trăng lai quay được quanh Trai Ðất, cac hanh tinh lai quay quanh Mặt Trời?
Kepler (1571 – 1630) đã tìm ra ba định luật chuyển động cua cac hanh tinh, song không giải
thích được nguyên nhân nao đã buộc các hành tinh chuyển động như vậy. Ba định luật kepler
được phat biểu như sau:
Ðịnh luật 1
Mọi hành tinh đều chuyển động trên những quỹ đạo elip mà Mặt Trời là một trong hai
tiêu điểm.
Quỹ đao elip cua một hanh tinh co khôi lượng m chuyển động quanh Mặt Trời co khôi
lượng M nằm tai tiêu điểm F.
Những đai lượng đặc trưng cho quỹ đao elip la ban trục lớn a va tâm sai e.
Tâm sai e c
a
= co gia trị nằm trong khoảng 0 1   e .
Quỹ đao tròn co e = 0. Quỹ đao cua cac hanh tinh gần như tròn vì co e = 1. Ví dụ, quỹ
đao cua Trai Đất co e = 0,0167.
Quỹ đao cua cac sao chổi la những elip rất dẹt. Ví dụ, quỹ đao cua sao chổi Ha-lây có
e = 0,97thì gần như la một đoan thẳng.

Định luật 2 Mỗi hành tinh chuyển động sao cho vectơ bán kính nối Mặt Trời với hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau (Hình 1). Một cach định tính, định luật nay noi rằng hanh tinh chuyển động chậm dần khi ra xa Mặt Trời va chuyển động nhanh dần khi lai gần Mặt Trời. Định luật 3 Bình phương chu kì quay của hai hành tinh tỉ lệ với lập phương bán kính trục lớn R của quĩ đạo của chúng.

Hình 1

2 3
1 1
2 2
T R
T R
   
    =
   
Chu kỳ quay la thời gian hanh tinh quay đúng một vòng quanh Mặt Trời:
4
2
T = 

với  la vận tôc goc cua chuyển động quay

Suy nghĩ về nguyên nhân khiến cac hanh tinh phải chuyển động theo cac định luật Kepler, kết hợp với cac kết quả quan sat, Newton đã từng bước đi đến viêc phat minh ra định luật van vật hấp dẫn. Chúng ta hãy tương tượng hanh tinh như một quả cầu A nao đo đang chuyển động thẳng theo phương XX’. Đột nhiên co một lực hút từ quả cầu B đang ơ vị trí M kéo quả cầu A vao tâm quả cầu B (hình 2). Nếu khoảng cách AB được giữ cô định, quả

Hình 2

cầu A do tac dụng cua quan tính chuyển động theo phương XX’ đồng thời bị kéo theo
phương AB nên quả cầu A sẽ quay trong quanh tâm M với bán kính là r = MA.
Từ ví dụ đo ta thấy nguyên nhân buộc hanh tinh chuyển động trên một đường tròn
quanh Mặt Trời la do no chịu tac dụng một lực hướng về Mặt Trời va lực đo phải do Mặt
Trời gây ra; Lực này truyền cho hanh tinh một gia tôc hướng tâm an Ľ, trong đo v la vận tôc
dai cua hanh tinh trên quĩ đao va R la khoảng cach từ hanh tinh đến Mặt Trời.
Từ ví dụ đo ta thấy nguyên nhân buộc hanh tinh chuyển động trên một đường tròn
quanh Mặt Trời là do no chịu tac dụng một lực hướng về Mặt Trời va lực đo phải do Mặt
Trời gây ra; Lực nay truyền qua hanh tinh một gia tôc hướng tâm
2
n
v
a
R
= , trong đo v la vận
tôc dai cua hanh tinh trên quĩ đao va R la khoảng cach từ hanh tinh đến Mặt Trời.
Giả sử bây giờ ta xét hai hành tinh H1 và H2 co khoảng cach trung bình đến Mặt Trời
là R1 và R2. Để đơn giản hoa viêc tính toan, ta coi như chúng chuyển động tròn quanh Mặt
Trời, với chu kì không đổi lần lượt la T1 và T2. Như vậy vận tôc dai trung bình cua chúng sẽ
là:
1
1 1 1
1
2 R
v .R
 T
=  = ; 2 2 2 2
2
2 R
v .R
 T
Va gia tôc hướng tâm do Mặt Trời truyền cho chúng ta la:
2 2 2
1 1 1 2
1 2 2
1 1 1 1
v 4 .R R
a 4 .
R T .R T

= = = 
2
2 2 2
2 2
2 2
v R
a 4 .
R T
= = 
5
Ta suy ra
2
1 1 2
2
2 2 1
a R T
.
a R T
=
Nhưng theo định luật thứ 3 cua Kepler thì:
2 3
1 1
2 2
T R
T R
   
    =
   

do đo:

2
1 2
2 1
a R
a R
 
=  
 
Nghĩa la gia tôc do mặt trời truyền cho hanh tinh tỉ lê nghịch với bình phương khoảng
cach từ hanh tinh đến Mặt Trời.
Sơ dĩ cac hanh tinh quay quanh Mặt Trời, la vì chúng chịu tac dụng cua một lực xuất
phat từ Mặt Trời; vậy lực buộc Mặt Trăng quay quanh Trai Ðất cũng phải la một lực xuất
phat từ Trai Ðất. Nếu như Trai Ðất co nhiều Mặt Trăng, thì gia tôc hướng tâm do Trai Ðất
truyền cho mỗi Mặt Trăng sẽ tỉ lê nghịch với bình phương khoảng cach từ Mặt Trăng đo đến
tâm Trái Ðất. Va nếu như co Mặt Trăng nho bay la la trên Mặt Ðất, thì gia tôc hướng tâm
cua no sẽ lớn hơn gia tôc hướng tâm cua Mặt Trăng thực khoảng 602 lần (vì khoảng cach từ
Mặt Trăng thực đến tâm Trai Ðất bằng khoảng 60R, với R (6400 Km la ban kính cua Trai
Ðất) tức la xấp xỉ bằng gia tôc rơi tự do trên Trai Ðất.
Suy nghĩ như vậy, Newton quyết định kiểm tra lai vấn đề nay. Theo cac sô liêu quan
sat thiên văn thời bấy giờ, khoảng cach từ Mặt Trăng đến tâm Trai Ðất bằng khoảng d =
60R, tức la xấp xỉ 3,84.108m, chu kỳ quay cua no quanh Trai Ðất khoảng 27 ngay 7 giờ 43
phút, từ đo Newton tính ra gia tôc hướng tâm cua Mặt Trăng la:
2 2 8
n 2 2
4 d 4.(3,14) .3,84.10
a
T (27.3600.24 7.3600 43.60)

= =
+ +
an  2,78 . 10-3 m/s2
So sanh với gia tôc rơi tự do cua cac vật trên Trai Đất (g  9,81 m/s2), ông thấy qua
thật an nho hơn khoảng 3600 lần, tức 602 lần.
Vậy lực tac dụng cua Mặt Trời lên cac hanh tinh, cua Trai Ðất lên Mặt Trăng la cùng
bản chất với lực do Trai Ðất tac dụng lên moi vật trên mặt đất (trong lực), nghĩa la cùng bản
chất la lực hấp dẫn. Do đo, moi lực hấp dẫn, cũng như lực hấp dẫn cua Mặt Trời lên cac hanh
tinh, đều do chung một đặc điểm la tỉ lê nghịch với bình phương khoảng cach.
Suy rộng hơn nữa, Newton đi đến kết luận la lực hâïp dẫn không chỉ tac dụng giữa cac
thiên thể, ma la một lực phổ biến, tac dụng giữa moi vật bất kỳ với nhau.
6
II. ÐỊNH LUẬT VẠN VẬT HẤP DẪN
Giả sử co 2 chất điểm co khôi lương m1 và m2, đặt cach nhau một khoảng r
Theo tính toan đã trình bay ơ mục trên, cac gia tôc này đều tỉ lê nghịch với bình
phương khoảng cach giữa chúng r , nghĩa la:
1
1 2
K
a
r
= và 2
2 2
K
a
r
Do đo: 1
21 1 2
K
F m .
r
= và 2
12 2 2
K
F m .
r
Vì F21 và F12 la cac lực trực đôi nên độ lớn bằng nhau, ta có:
1 2
1 2 2 2
K K
m . m .
r r
=
Đẳng thức nay chỉ được nghiêm đúng, nếu: K1 = Gm2 và K2 = Gm1
Trong đo G la một hê sô tỉ lê chung. Điều nay co nghĩa la lực hấp dẫn giữa hai chất
điểm bất kỳ co biểu thức chung: F G. m .m 1 2 2
r
=
Hay, để chỉ rằng F luôn luôn la một lực hút.
1 2
2
m .m
F G.
r
= – (1)
Nghĩa la hai phần tử vật chất bất kì bao gờ cũng hút nhau với một lực tỉ lê thuận với
với hai khôi lượng, tỉ lê nghịch với bình phương khoảng cach giữa chúng.
Với cac vật có kích thước đang kể so với khoảng cach giữa chúng, phải chia chúng
thanh từng phần nho, tính lực hấp dẫn cua từng cặp bằng công thức (1), rồi lấy tổng cua cac
lực nay. Riêng trường hợp vật hình cầu, co khôi lượng phân bô đôi xứng qua tâm, thì vẫn co
thể ap dụng ngay công thức (1) để tính lực hấp dẫn, vì lúc nay co thể coi như khôi lượng cua
mỗi vật tập trung ơ tâm.
Viết dưới dang vectơ, biểu thức (1) co dang:
1 2
12 12
3
G.m .m
F .r
r
= – (2a) F .r 21 21 G.m .m 1 2 3
r
(2b)
7
III. HẰNG SỐ HẤP DẪN- THÍ NGHIỆM CAVENDISH
Cavendish la người đầu tiên đã đo được trị sô cua G bằng thực nghiêm, vao năm
1797. Thí nghiêm kha tỉ mỉ, song về nguyên tắc co thể trình bay tom tắc như sau

Hình 3 một sợi dây thach anh mảnh (goi la cân xoắn), một đầu được gắn chặt, một đầu co treo một thanh L; ơ hai đầu cua L co gắn 2 quả cầu nho bằng nhau, khôi lượng m. Khi điều khiển cho 2 quả cầu lớn bằng chì M lai gần m, thì cac quả cầu m bị M hút, thanh L bị quay lam xoắn dây treo C. Hê hai quả cầu m sẽ lai đứng cân bằng khi mômen xoắn cua dây treo C cân bằng với moomen cua ngẫu lực hút. Đo được độ xoắn cua dây thach anh, sẽ tính được lực hút giữa cac quả cầu m va M, từ đo tính được G.

Hình 3

Trong biểu thức (1), hê sô tỉ lê G được coi la hằng sô hấp dẫn vũ trụ. No co độ lớn
bằng độ lớn cua lực hấp dẫn co khôi lượng bằng đơn vị, ơ cach nhau một đơn vị độ dai. Thứ
nguyên cua no la: [G] = [L]3 [M]-1 [T]-2
Nếu dùng hê đơn vị SI, thì hằng sô hấp dẫn bằng:
G = 6,67 . 10-11 m3/kg.s2 (3)
Còn trong hê CGS, thì:
G = 6,67 . 10-6 cm2/g.s2 (4)
Trị sô cua G cực kỳ nho, nên ta không nhận biết được sự tồn tai cua lực hấp dẫn giữa
những vật thể quanh ta. Thí dụ lực hấp dẫn giữa hai vật hình cầu, co khôi lượng bằng nhau
va bằng 50kg, đặt cach nhau 1m la:
11
2
50.50
F 6,67.10 .
1
–
=
F  1,67.10-7 (N)
Nếu như co được một lực kế rất nhay, đo được lực hấp dẫn giữa hai vật thông thường
nao đo, thì từ đo co thể tính được trị sô cua G
8
IV. TRƯỜNG HẤP DẪN – CƯỜNG ÐỘ TRƯỜNG HẤP DẪN
1. Trường hấp dẫn
Biểu thức cua lực hấp dẫn không co chứa sô hang thời gian nghĩa la lực hấp dẫn co
thể truyền tức thời trong không gian. Khoa hoc ngày nay không thừa nhận quan điểm
truyền tương tac đi tức thời, hay còn goi la quan điểm tương tac xa.
Moi tương tac đều truyền đi với vận tôc giới han, không vượt qua vận tôc anh sang la
300 000 km/s. Ðo la quan điểm tương tac gần. Ðôi với tương tac hấp dẫn ta co thể hiểu quan
điểm nầy như sau : Khôi lượng m1 tự nó đã tao ra trong không gian xung quanh một trường
lực được goi la trường hấp dẫn, tức la m1 xuất hiên đã lam thay đổi tính chất vật lý cua
không gian xung quanh va nếu đặt một chất điểm m2 khac vao trong trường đo thì m2 lập tức
bị một lực kéo về phía m1. Lực nay co độ lớn xac định bơi biểu thức:
1 2
2 2
m .m
F G. m .g
r
= = (5)
Ở đo 1
2
Gm
g
r
= va g không phụ thuộc vao m2, ma chỉ phụ thuộc vị trí đặt m2. Nhưng
do m2 co thể đặt tùy ý nên g co thể đặc trưng cho độ lớn cua lực tai moi điểm bất kỳ trong
trường. Nếu biểu diễn dưới dang véc tơ ta co:
F m .g = 2 (6)
Véc tơ cường độ trường hấp dẫn
Đai lượng g trong trường hợp nay được goi la véc tơ cường độ trường hấp dẫn:
1
3
G.m .r
g
r
= – (7)
Biểu thức nay cho thấy véc tơ cường độ trường hấp dẫn luôn ngược chiều với véc tơ
r .
2. Trường hấp dẫn tuân theo nguyên lý chồng chất
Trường hấp dẫn cua nhiều khôi lượng riêng lẻ m1, m2, m3, …, mn sinh ra tai một điểm
M nào đo bằng tổng cua tất cả cac trường hấp dẫn do từng khôi lượng riêng lẻ tao ra tai điểm
M đo. Véc tơ cường độ trường hấp dẫn tổng hợp sẽ được tính bằng:
n
1 2 n i
i 1
g g g … g g
=
= + + + = 
9
Trường hấp dẫn thay đổi theo không gian (từ điểm nay sang điểm khac) va thay đổi
theo thời gian, cho nên g biến thiên phức tap. Tuy nhiên nếu xét trong một thời gian ngắn va
trong một không gian hẹp thì co thể xem trường hấp dẫn la đều.
3. Công của lực hấp dẫn
Xét một chất điểm m bất kỳ nằm trong trường hấp dẫn tao ra bơi một khôi lượng M.
Khôi lượng m chịu tac dụng một lực hấp dẫn:
3
G.Mm.r
F
r
= –

Trong đo la véc tơ tia nôi từ tâm cua M đến tâm cua m. Dưới tac dụng cua lực , m dịch chuyển trên một đường cong (C) từ điểm P đến điểm Q (hình 4) công cua lực hấp dẫn trên đoan đường đo la: (9) Như đã chứng minh ơ phần công trong quá trình nên có thể viết lai (9) la:

Hình 4

r F 0
PQ 3
P
r.dr
A GMm
r
= –  r.dr r.dr = 0 0
PQ 3 2
P P
r.dr dr
A GMm GMm
r r
= – = –  
PQ
p Q
1 1
A GMm[ ]
r r
= – – (10)
Công thức nầy chứng to rằng công cua lực hấp dẫn không phụ thuộc dang đường đi
ma phụ thuộc vị trí đầu va vị trí cuôi. Ðiều nầy chứng to trường hấp dẫn la một trường thế.
4. Thế năng của trường hấp dẫn
Dựa vao biểu thức liên hê giữa thế năng va trường hấp dẫn ta có:
PQ P Q
p Q
1 1
A U U GMm[ ]
r r
= – = – –
10
Từ đo co thể rút ra công thức tính thế năng:
P
1 p
U GMm[ ]
r
= –
Q
1 Q
U GMm[ ]
r
= – (11)
Cac điểm trong trường hấp dẫn co cùng một gia trị thế năng tao thanh một mặt goi la
mặt đẳng thế. Một chất điểm nếu dịch chuyển trên một mặt đẳng thế thì không sinh công bơi
vì thế năng điểm đầu va thế năng điểm cuôi la như nhau. Như vậy, lực tac dụng phải co
phương vuông goc với phương dịch chuyển.
5. Trọng trường
Trường hấp dẫn cua Trai Ðất, do khôi lượng cua Trai Ðất tao ra ơ gần bề mặt cua no
được goi la trong trường. Chính trong trường la nguyên nhân lam cho moi vật phải rơi vao bề
mặt cua Trai Ðất, giữ cho trai đất co một lớp khí quyển bao quanh. Lớp khí nầy bảo vê moi
sinh vật trên Trai Ðất va Trai Ðất tranh được tac hai từ các bức xa manh phat ra từ trong vũ
trụ.
Véctơ cường độ trường hấp dẫn cua Trai Ðất còn được goi la gia tôc trong trường va
được xac định bơi công thức
3
G M r
g
r
= – (12)
Tai gần bề mặt cua Trai Đất gia tôc trong trường được tính bằng công thức:
0 3
G M R
g
R
= –

(13)

Với R la ban kính cua Trai Đất (gia trị trung bình khoảng 6400km)
Nếu xét riêng về độ lớn, gia tôc trong trường tai một điểm bất kỳ co thể viết lai la:
2
G M
g
(R h)
=
+
(14)
Với h là độ cao cua điểm đang xét kể từ mặt đất. Công thức nay chứng to gia tôc
trong trường tỷ lê nghịch với độ cao. Cang lên cao gia tôc trong trường cang giảm nên g co
gia trị cực đai tai mặt đất gmax = g0 . Ta co thể tính gần đúng g theo công thức:
2
2
0
g R 2h
1 ( )
g R (R h)
=  –
+
11
0
2h
g g (1 )
R
= –
Nếu như h nho hơn nhiều so với R ta co thể xem như g ≅ g0
Trong trường hợp h lớn hơn rất nhiều so với R, g sẽ tiến đến không, lực hấp dẫn tai đo
co thể xem bằng không.

a) Gia tốc trọng trường phụ thuộc vào vĩ độ: Từ biểu thức (13) cua g0 ta thấy g0 phụ thuộc vao ban kính cua Trai Đất. Nhưng vì Trai Đất thực ra không phải la hình cầu ma co dang Elipxôit, hơi dẹt ơ hai cực nên độ lớn cua g0 giảm khi đi từ hai cực về xích đao, nghĩa la g0 phụ thuộc vao vĩ độ cua Trái Đất (hình 5).

Hình 5

Sự phụ thuộc nay không vượt qua 5,5% nên trong cac tính toan thông thường không
cần độ chính xac cao, ta co thể lấy g ≅ 9,81m/s2.

Vĩ độ	g0 (m/s2)
00 (xích đao)	9,78038
450	9,80620
900 (địa cực)	9,83210

b) Ảnh hưởng sự quay quanh trục của Trái Đất đối với gia tốc trọng trường:
Nếu Trai Đất không tự quay quanh trục cua no, thì một vật tai bất kỳ nằm tai một
điểm nao đo trên mặt đất đều chịu tac dụng cua hai lực cân bằng nhau đo la lực hấp dẫn cua
Trai Đất Fn va phản lực đan hồi cua mặt đất Fd (hình 6)
Khi Trai Đất quay quanh trục, trong hê toa độ gắn với Trai Đất đây la hê quy chiếu
không quán tính đang chuyển động tròn đều. Nếu một vật bất kỳ nằm tai một điểm nao đo
trên mặt đất chịu tac dụng cua ba lực cân bằng la lực hấp dẫn, lực quan tính li tâm va lực đan
hồi (hình 7):
F F F 0 h d LT + + =
12
Hình 6 Hình 7
Lực đan hồi không cân bằng với lực hấp dẫn ma cân bằng với thanh phần P cua no:
F P 0 d + =
h LT
P F F F mg ‘ = – = + = d (15)
Lực đan hồi luôn luôn hướng theo phương phap tuyến với mặt đất, vì vậy chính lực P
mới co phương vuông goc với mặt đất ơ điểm đang xét nhưng lực này lai không đi qua tâm
cho nên, phương vuông goc với mặt đất tai moi điểm không hướng tâm tức la Trai Đất
không co dang hình cầu ma dẹt ơ hai cực.
Chính thanh phần P mới tao nên gia tôc rơi tự do ký hiêu la g ‘
P mg ‘ = (16)
Sự sai lêch giữa gia tôc rơi tự do g ‘ va gia tôc trong trường g (chỉ do lực hấp dẫn cua
Trai Đất tao nên) la rất nho co thể bo qua va xem gia tôc rơi tự do g bằng gia tôc trong
trường g .
c) Trọng lực và trọng lượng
Trong lực đặt vao một vật la lực hấp dẫn cua Trai Đất tac dụng vao vật đo thông
thường người ta còn goi la lực hút cua Trai Đất F m.g h = . Lực nay không phụ thuộc vao viêc
Trái Đất co quay hay không va no luôn co phương hướng vao tâm cua Trai Đất. Điểm đặt
cua trong lực được goi la trong tâm.
Khi kể đến tac dụng quay quanh trục cua Trai Đất, thanh phần
13
P F F F mg’ = – = + = d h LT
Tao ra gia tôc rơi tự do, được goi la trong lượng cua vật.
Như vậy trong lượng cua một vật không phải la lực hấp dẫn ma la một thanh phần cua
lực hấp dẫn cộng cho lực quan tính li tâm (lực nay co phương vuông goc với bề mặt Trai Đất
tai moi điểm).
Trong thực tế (như đã trình bay phần trên) do thanh phần lực li tâm la rất nho va co
thể bo qua so với lực hấp dẫn nên thông thường trong lượng cua vật coi như trùng với trong
lực ( F mg P h = = ) cua no
Lưu ý khi dùng công thức P = mg trong tính toan (gia trị g ta dùng la g’) nên xem như
ta tính trong lượng cua vật. Muôn xac định chính xac lực hấp dẫn ta phải biết vĩ độ tai điểm
đo để tính lực li tâm, sau đo thay vao công thức (15) để tính lực hấp dẫn.
V. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ HỌC CHI PHỐI CHUYỂN ĐỘNG CÁC HÀNH TINH,
VỆ TINH

1. Định luật II Niu-tơn:

(3.9)

F ma =
r
r
2. Định luật vạn vật hấp dẫn: F = hd GMm
– r2 (3.10)
Dấu (–) chỉ rằng vectơ Fr luôn ngược chiều với vectơ rr.
3. Định luật bảo toàn cơ năng
a) Thế năng hấp dẫn
Thế năng hấp dẫn cua hê hai hat như hê “Mặt Trời – hanh tinh” hay hê “Trai đất – vê
tinh” la:
t
GMm
W
r
= – (3.10a)
với môc thế năng ơ vô cùng, vì ơ đo lực hấp dẫn giữa hai hat
bằng 0.
Dựa vao môi liên hê giữa công cua lực thế va độ biến thiên thế
năng A = F r W . = - t
r
r va công thức (3.10a) ta co thể tìm lai được
công thức cua lực hấp dẫn. Thật vậy, ta phân tích vectơ độ dời
rr thanh hai thanh phần: thanh phần rr1 theo phương cua vectơ Fr và
thanh phần rr2vuông goc với phương cua vectơ F (Hình 3.4). Khi ấy công A được viết lai
thành:
A = F r W . = - 1 t
r
r
hay F r W  = - t  F = Wt
r

–

Hình 3.4
14
Khi  → r 0

thì

F = W d d GMm t
dr dr r
.
 
– = – –  
  → F = – GMm r2 .
b) Định luật bảo toàn cơ năng
Chuyển động cua một hat dưới tac dụng cua lực xuyên tâm tuân theo định luật bảo toan
cơ năng.
Trong trường hợp đôi với một vê tinh chuyển động quanh Trai Đất, định luật bảo toan cơ
năng được viết như sau:
GMm
W mv const
r
1 2
2
= – =

(3.11)

c) Người ta đã chứng minh được rằng nếu cơ năng cua vật:
W < 0 thì quỹ đao cua vật la đường tròn hoặc elip.
W = 0 thì quỹ đao cua vật la đường parabol.
W > 0 thì quỹ đao cua vật la đường hypebol.
4. Định luật bảo toàn momen động lượng
Xét chuyển động cua một hat dưới tac dụng cua lực xuyên tâm hướng vao điểm cô định
O.
a) Momen động lượng: Momen động lượng đôi với tâm O cua một hat co động lượng pr
là một đai lượng vectơ, kí hiêu la L
r
, được xac định bằng một tích co hướng cua hai vectơ
như sau:
L = r p = r mv  
r r r r r
(3.12a)
Về độ lớn ta co: L = rmvsin = rmv  ⊥ (3.12b)
trong đo  la goc giữa hai vectơ rr và mvr , còn mv⊥ la thanh phần cua
mv
vuông goc với r (Hình 3.5).
b) Mối liên hệ giữa momen động lượng và momen lực
Lấy đao ham dL
dt
r
ta được: dL dv dr r m mv.
dt dt dt
=  + 
r r r
r r
trong đo dr mv v mv
dt
 =  = 0
r
r r r
, còn r m r F dv
dt
 = 
r
r r r
theo định nghĩa la momen cua lực
rF
đôi với tâm O.
Cuôi cùng ta được: M dL
dt
=
r
uur
(3.13)
c) Định luật bảo toàn momen động lượng
Hình 3.5
15
Vì momen cua lực xuyên tâm F
r
đôi với tâm O luôn luôn bằng 0 nên: dL 0
dt
=
r
r
hay
L = const
r
Như vậy, chuyển động của một hạt dưới tác dụng của lực xuyên tâm tuân theo định luật
bảo toàn momen động lượng.
d) Hệ quả
Theo tính chất cua tích co hướng cua hai vectơ thì vectơ rr luôn

luôn vuông goc với vectơ	không đổi nên quỹ đạo của hạt hoàn
toàn nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với vectơ	(Hình

L
r
Lr 3.6).
Định luật bảo toan momen động lượng la định luật bảo toan thứ
ba cua cơ hoc chất điểm ngoai định luật bảo toan động lượng va định luật bảo toan cơ năng
đã biết.
VI. VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ HỌC VÀO CHUYỂN ĐỘNG CỦA HÀNH
TINH, VỆ TINH
1. Trường hợp quỹ đạo là đường tròn
a) Áp dụng định luật bảo toan momen động lượng ta được: Rmv = const  v = const
Suy ra vê tinh chuyển động tròn đều quanh Trai Đất.
b) Vì lực hấp dẫn đong vai trò la lực hướng tâm, nên ta co:
2
mv GMm
=
R R2  mv = 2 GMm R  t
t
W W
W W
®
1 2
1
( 0)
2

  = –

  = 
(3.14)
(3.15)
Suy ra, cơ năng cua vê tinh luôn luôn âm và bằng nửa thế năng cua no.
c) Thay v = R = R 2
 T
 vao công thức (3.14) ta được:
2
2
4 GMm
m R =
T R2
  
 
 
 

2
3
T 4
const
R GM
2

= = (3.16)
2. Trường hợp quỹ đạo chuyển động là elip
a) Áp dụng định luật bảo toàn momen động lượng cho cận điểm va viễn điểm, ta được:
v r = v r 1 1 2 2 (3.17a) (cận điểm) (viễn điểm)
b) Áp dụng định luật bảo toan cơ năng cho cận điểm va viễn điểm ta được:
Hình 3.6
16
1 2
mv mv GMm GMm
=
2 r r
2 2
1 2
2
– – (3.17b)
c) Thay (3.17a) vào 3.17b ta được:
1 2
v r 1 1
= GM
2 r r r
2 2
2 2
21
1
   
      – –      v GMr 2 r r r 2 2 1 = 2 2 ( 1 + )
( ) ( )
1
2 2 2 2 2
GMm GMm GMm mv GMr
W = m
r 2 r r r r r r
22
1 1
–
– + = – + =
+ +

Cuôi cùng ta được:

(3.18)

W = GMm
2a
– d) Công thức (3.16) vẫn đúng cho quỹ đao elip miễn la ta thay ban kính R bằng ban trục
lớn a.
2 3
T 4
const
a GM
2

= = (3.19)
Công thức (3.19) diễn tả định luật III Kê-ple.
e) Áp dụng định luật bảo toan momen động lượng vao vị trí bất kì cua hanh tinh trên quỹ
đao elip (Hình 3.7) ta được:
L = mvrsin r,v = const (r r )
Mặt khac, diên tích dS mà vectơ rr

quét được trong thời gian dt la:

dS = rdr sin r,dr 1 ( )
2
r r
Suy ra: ds L = const rv sin r,dr ( )
dt m 2 2
= =
r r
(3.20) Công thức (3.20) diễn tả định luật II Kê-
ple.
3. Tốc độ vũ trụ
a) Tôc độ vũ trụ cấp I la tôc độ ném ngang cần truyền cho một vật như vê tinh để nó
chuyển động tròn đều quanh Trai Đất.
Giả sử vê tinh khôi lượng m, bay trên quỹ đao ơ độ cao h so với mặt đất:
F F hd ht = 
( )
2
GmM mv
R + h 2 = R + h 
GM
v
R + h
=
Đôi với cac vê tinh nhân tao được phong ơ gần mặt đất (h R = ), ta có:
GM
v
R
= . Thay
2
GM
g
R
= vao ta được: v gR km/s = = = 9,8.6,4.10 7,9 6
Vậy tôc độ vũ trụ cấp I la vI = 7,9 km/s.
Hình 3.7
17
b) Tôc độ vũ trụ cấp II la tôc độ tôi thiểu cần truyền cho một vật như tram thăm dò vũ trụ
để no thắng được lực hút cua Trai Đất va bay vòng quanh Mặt Trời. Muôn thế thì vật phải
chuyển động theo quỹ đao parabol (quỹ đao hơ) ma tâm Trai Đất la tiêu điểm còn điểm
phóng vật là cận điểm.
GMm
W = mv
R
1 2
0
2
– =  I
2GM
v = v km/s
R
= = 2 11,2
Vậy tôc độ vũ trụ cấp II la v km/s. II = 11,2
Tôc độ vũ trụ cấp III la tôc độ cần thiết phải truyền cho một vật ơ trên mặt đất để no
thoat khoi hê Mặt Trời, vIII = 16,7 km/s.
4. Vệ tinh thông tin
Người ta dùng những vê tinh đứng yên trong HQC quay cua Trai Đất (vê tinh địa tĩnh)
lam vê tinh thông tin. Trong HQC nay, vê tinh chịu hai lực: lực hấp dẫn va lực li tâm. Muôn
cho hai lực nay cân bằng nhau thì vê tinh thông tin phải ơ trên quỹ đao nằm trong mặt phẳng
cua xích đao va ơ độ cao cach tâm Trai Đất 42 000 km.
Thật vậy:
2
T§ VT T§ 2 3
2 2
GM m GM T
mr r
r 4
=   =

Thay sô vao ta được r = 42 000 km.
Vì cac vê tinh địa tĩnh ơ rất cao so với bầu khí
quyển nên chúng không bị sức cản cua không khí
va co thể ơ mãi trên quỹ đao. Va vì chúng đứng
yên đôi với Trai Đất, nên từ một may phat đặt
trên mặt đất co thể phat một chùm song vô tuyến
cực ngắn luôn luôn hướng tới vê tinh. Vê tinh tach chùm song va phat song thứ hai về tram
thu trên mặt đất (Hình 3.8).
18
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT TRƯỜNG HẤP DẪN
Bài 1. Sao chổi Ha-lây có chu kì T = 76 năm va vao năm 1986 no đến gần Mặt Trời

nhất, co

. Biết khôi lượng cua Mặt Trời

. Hoi:

r = 8,9.10 m min 10 M kg = 1,99.1030 a) Khoảng cach xa nhất rmax từ sao chổi đến Mặt Trời ?
b) Tâm sai cua quỹ đao sao chổi ?
Giải

a) Áp dụng định luật III Kê-ple, ta có:

2 2
3
T 4π
a GM
= .
2 ( )
2 2
GMT
a
4π 4π
11 30 2
3   6,67.10 .1,99.10 . 76.365.24.3600 –
= =  
 
 
= 19,2.1036m
 a m = 2,68.1012
r = a ea min – ; r = a + ea max
 r = 2a r = 5,3.10 m max min – 12
b) e = = 0,967. r r max
a
min
– 2
Quỹ đao cua sao chổi Ha-lây la một elip rất dẹt, gần như la
một đoan thẳng rất dai.
Nhận xét: Đây là bài toán có thật trong thực tế, yêu cầu hoc sinh nắm được kiến thức cơ
bản để giải quyết và ứng dụng những hiên tượng tương tự.
Bài 2. I-go và Sa-ly mỗi người điều khiển một con tau vũ trụ nho co khôi lượng
m = 2000 kg trên quỹ đao tròn quanh Trai Đất ơ độ cao h = 400 km. I-go luôn luôn đến trước
Sa-ly tai bất kì điểm nao cua quỹ đao. Cho biết Trai Đất co khôi lượng M = 5,98.10 kg 24 và
bán kính R = 6370 km .
a) Hoi chu kì va tôc độ cua mỗi con tàu.
b) Sa-ly muôn vượt I-go nên tai một điểm P nao đo, no đã thực hiên một vụ đôt chay
nhiên liêu trong một thời gian ngắn. Khí bị đôt chay phụt ra về phía trước qua một ông phụt
khí, lam tôc độ giảm đi khoảng 1,00%. Sau đo Sa-ly bay theo quỹ đao elip. Hoi tôc độ, động
năng va thế năng cua con tau cua Sa-ly ngay sau khi phong khí đôt.
c) Trong quỹ đao elip, năng lượng toan phần, ban trục lớn va chu kì la bao nhiêu ?

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education