Tìm tập xác định của hàm số

Bài chi tiết về hàm số xin mời xem Khái niệm hàm số. Xem thêm các dạng toán lớp 10:

• Xét tính chẵn lẻ của hàm số
• Xét sự biến thiên của hàm số

1. Tập xác định của hàm số là gì?

Đối với một hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$ thì tập xác định (TXĐ) của hàm số là tập tất cả các giá trị của $x$ mà có thể tính được giá trị $y$ tương ứng, tức là tìm tập các giá trị của $x$ để biểu thức $f(x)$ có nghĩa (xác định).

Ví dụ, xét hàm số $y=\frac{1}{x-5}$. Số $5$ không thuộc tập xác định của hàm số vì khi ta thay $x=5$ vào biểu thức $\frac{1}{x-5}$ thì không tính được (biểu thức không xác định). Số $3$ thuộc tập xác định vì khi thay $x=3$ vào ta tính được kết quả là $y=-\frac{1}{2}$. Ngoài ra, đối với hàm số này chúng ta thấy có rất nhiều giá trị khác thuộc tập xác định, như $1,2,4,-1,-5…$. Nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm tất cả các giá trị này.

Để tìm TXĐ của hàm số $y=f(x)$ chúng ta đi tìm tập các giá trị của $x$ mà biểu thức $f(x)$ có nghĩa (xác định). Lưu ý rằng:

• $ \frac{A}{B} $ xác định khi $ B\ne 0,$
• $ \sqrt{A}$ xác định khi $ A\ge 0,$
• $ \frac{A}{\sqrt{B}} $ xác định khi $ B>0. $
• $AB \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ $$\begin{array}{l}A\ne 0\\ B\ne 0\end{array}$$ \right.$

Chú ý, cần viết tập xác định của hàm số dưới dạng khoảng đoạn.

2. Các ví dụ tìm tập xác định của hàm số

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:

1. $f(x)=\sqrt{x-3}$
2. $g(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$
3. $ h(x)= 2\sqrt{x-1}-\frac{3}{|x|-2}$

Hướng dẫn. 

1. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$x-3⩾0\iff x⩾3$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=[3,+\infty) $.
2. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$x^2-4\ne 0\iff x\ne \pm 2$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{\pm 2\} $.
3. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}x-1⩾0\\ |x|-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩾1\\ x\ne \pm 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩾1\\ x\ne 2\end{array}$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=[1,2)\cup(2,+\infty) $.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số $$f(x)=\sqrt{2x-3}+\frac{x+2}{\sqrt{3-x}}$$

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}2x-3⩾0\\ 3-x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩾\frac{3}{2}\\ x<3\end{array}$$ Kết luận. TXĐ $ \mathbb{D}=[\frac{3}{2},3) $.

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số $$f(x)=\sqrt{x^2-2x+3}+\frac{1}{|x|+1}$$

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+3⩾0\\ |x|+1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+2⩾0\\ |x|+1\ne 0\end{array}$$ Các điều kiện này đều luôn luôn đúng với mọi số thực $x$ do đó, tập xác định của hàm số là $ \mathbb{D}=\mathbb{R} $.

Ví dụ 4. Tìm $ m $ để hàm số $ f(x)=\frac{2x}{x-m+1} $ xác định trên $ (0,2). $

Hướng dẫn.  Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$x\ne m-1$$Do đó, muốn hàm số xác định trên $ (0,2) $ thì $ m-1$ không được nằm trong khoảng $ (0,2). $ Tức là $$[\begin{array}{l}m-1⩽0\\ m-1⩾2\end{array}$$ Từ đó tìm được đáp số $ m\leqslant 1 $ hoặc $ m \geqslant 3. $

Ví dụ 5. Tìm $ m $ để hàm số $ f(x)= \sqrt{x-m+1}+\sqrt{2x-m} $ xác định với mọi $ x>0. $

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}x-m+1⩾0\\ 2x-m⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩾m-1\\ x⩾\frac{m}{2}\end{array}$$Do đó, muốn hàm số xác định với mọi $ x>0$ thì $$\{\begin{array}{l}m-1⩽0\\ \frac{m}{2}⩽0\end{array}$$ Từ đó tìm được đáp số $ m \leqslant 0. $

Ví dụ 6. Cho hàm số $$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1& \text{ khi }-2\le x<0\\ -x& \text{ khi }0\le x<1\\ -2x+1& \text{ khi }1\le x<3\end{array}$$ Tìm tập xác định của hàm số và tính $ f(0),f(-1),f(1),f(2). $

Hướng dẫn. Tập xác định của hàm số là $ \mathbb{D}=[-2;3). $

3. Bài tập tìm tập xác định của hàm số Toán 10

Bài 1. Một sớm mai đầy sương thu và gió lạnh, ông Phương đi taxi đến nhà một người bạn chơi, quãng đường đi là 6 km, giá tiền được tính phụ thuộc vào độ dài đường đi như sau:

• Từ 1 km đến 10 km giá 10.000 đ/km.
• Bắt đầu từ km thứ 10 trở đi có giá 8.000 đ/km.

Hỏi ông phải trả bao nhiêu tiền taxi. Đến buổi chiều, ông và người bạn này đi câu cá ở cách đó 23 km nữa. Hỏi hai người phải trả số tiền là bao nhiêu?

Bài 2. Cho hàm số $$y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x-3}{x-1}& \text{ với }x⩽0\\ -x^2+3x& \text{ với }x>0.\end{array}$$ Tìm tập xác định của hàm số và tính giá trị của hàm số đó tại $x=5,x=-2,x=0,x=2$.

Bài 3. Cho hàm số $$y=g(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{-3x+8}& \text{ với }x<2\\ \sqrt{x+7}& \text{ với }x⩾2.\end{array}$$ Tìm tập xác định của hàm số và tính giá trị của hàm số đó tại $x=-3,x=2,x=1,x=9$.

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau:

1. $y=\frac{2x-3}{4x^2+5x-9}$
2. $y=\frac{2x+3}{x-3}+\sqrt{3x-7}$
3. $y=-x^3+3x-2$
4. $y=\frac{3+x}{x^2+2x-5}$
5. $y=\sqrt{4x+2}+\sqrt{-2x+1}$
6. $y=\frac{\sqrt{x+4}}{x^2+8x-20}$
7. $y=\frac{2x+3}{(2x-1)(x+3)}$
8. $y=\frac{x-2}{\sqrt{3x-6}}$
9. $y=\frac{1}{x^2-4}+\sqrt{x+2} $

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số:

1. $y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$
2. $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-1}$
3. $y=\sqrt{x-\sqrt{x+1}-1}$
4. $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-\sqrt{{{x}^{2}}+x}-6}$
5. $ y=\frac{\sqrt{x+1}}{x}+\frac{x}{\sqrt{2-x}} $
6. $ y=\frac{1}{x-1}+\sqrt{-x^2+5x} $

Bài 6. Tìm $ a $ để hàm số $ y=\frac{1}{\sqrt{x+a-2}+\sqrt{a+1-x}} $ xác định trên đoạn $ [-1,1]. $

Bài 7. Tìm $a$ để hàm số

1. $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-6x+a-2}$ xác định trên $\mathbb{R}$.
2. $y=\frac{3x+1}{{{x}^{2}}-2ax+4}$xác định trên $\mathbb{R}$.
3. $y=\sqrt{x-a}+\sqrt{2x-a-1}$ xác định trên $(0;+\infty)$.
4. $y=\sqrt{2x-3a+4}+\frac{x-a}{x+a-1}$ xác định trên $(0;+\infty)$.
5. $y=\frac{x+2a}{x-a+1}$ xác định trên $(-1;0)$.
6. $y=\frac{1}{\sqrt{x-a}}+\sqrt{-x+2a+6}$ xác định trên $(-1;0)$.
7. $y=\sqrt{2x+a+1}+\frac{1}{x-a}$ xác định trên $(1;+\infty)$.

Đáp số.

1. $a > 11$. 2. $–2 < a < 2$. 3. $a \le 1$. 4. $1\le a\le \frac{4}{3}$. 5. $a \le  0$ hoặc $a \ge  1$. 6. $–3 \le  a \le  –1$. 7. $–1 \le  a \le  1$

Bài 8. Tìm $ m $ để hàm số $ y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1} $ xác định với mọi $ x>0. $

Hướng dẫn. Hàm số xác định khi $ $$\{\begin{array}{l}x-m⩾0\\ 2x-m+1⩾0\end{array}$$ \Leftrightarrow $$\{\begin{array}{l}x⩾m\\ x⩾\frac{m-1}{2}\end{array}$$ $

Do đó, hàm số xác định với mọi $ x>0 \Leftrightarrow $$\{\begin{array}{l}m⩽0\\ \frac{m-1}{2}⩽0\end{array}$$ \Leftrightarrow m \leqslant 0 $.

Đáp số. $ m\leqslant 0 $

Bài 9. Tìm $ m $ để

1. Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+2m-1}+\sqrt{4-x}$ là $\left[ 1;4 \right]$.
2. Hàm số $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{x-3m+1}$ xác định trên $\left( 2;+\infty \right)$.
3. Hàm số $y=\sqrt{\frac{x-1}{2x-m}}$ xác định trên $\left( -\infty ;1 \right)$.