dàn âm thanh hội trường, âm thanh lớp học, âm thanh phòng họp, loa trợ giảng

SKKN Ứng dụng của phương pháp tọa độ Oxyz trong giải toán hình học không gian

SKKN Ứng dụng của phương pháp tọa độ Oxyz trong giải toán hình học không gian

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

THỰC TRẠNG:
Trong môn Toán ở trường phổ thông các bài toán về hình học không gian thuần túy rất phong
phú và đa dạng cũng là mảng bài tập mà học sinh thấy khó khăn và bối rối khi giải quyết nó.
Để giải các bài toán về hình học không gian thuần túy có thể xuất phát từ nhiều kiến thức
khác nhau và giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó có phương pháp tọa độ hóa.
Phương pháp tọa độ hóa là có thể đặt một hệ trục tọa độ thích hợp vào một số hình chóp, hình lăng
trụ để chuyển bài toán hình học không gian thuần túy (mà việc này có thể gặp nhiều khó khăn
trong dựng hình, tính toán với các em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ. Phương pháp
này tuy không phải là chiếc chìa khoá vạn năng và có thể việc tính toán sẽ dài dòng phức tạp
nhưng nó thực sự hữu ích cho nhiều học sinh mà việc nắm vững những phương pháp trong cách
giải hình học không gian còn yếu hoặc những bài toán hình không gian về thể tích các khối đa
diện, về khoảng cách về góc khó,về các bài toán cực trị trong hình học không gian, về quỹ tích
điểm…
Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông nhất
là chất lượng thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia chúng tôi chọn đề tài “Ứng dụng của phương
pháp tọa độ Oxyz trong giải toán hình học không gian” giúp các em có thêm kỹ năng giải các
bài toán về góc, khoảng cách, thể tích các khối đa diện, các bài toán cực trị trong hình học không
gian từ đó vững vàng hơn trong các kỳ thi.
C. CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM
I. Các kiến thức liên quan.

  1. Véc tơ trong không gian
    a) Định nghĩa:
    u x y z u xi y j zk =  = + + ( ; ; )
    b) Tính chất: Cho
    1 2 3 1 2 3 a a a a b b b b k = =  ( ; ; ), ( ; ; ),

    1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b  =    ( ; ; )

    1 2 3 ka ka ka ka = ( ; ; )

    1 1
    2 2
    3 3
    a b
    a b a b
    a b
     =

    =  = 

     =

    0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1) = = = = i j k

    a
    cùng phương
    b b( 0) 

    a kb k =  ( )
    1 1
    1 2 3
    2 2 1 2 3
    1 2 3
    3 3
    , ( , , 0)
    a kb
    a a a
    a kb b b b
    b b b
    a kb
     =
      =  = =  

     =

    1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b . . . . = + +

    1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b ⊥  + + = 0
    4

    2 2 2 2
    1 2 3 a a a a = + +

    222
    1 2 2 a a a a = + +

    1 1 2 2 3 3
    2 2 2 2 2 2
    1 2 3 1 2 3
    .
    cos( , )
    . .
    a b a b a b a b a b
    a b a a a b b b
  • +
    = =
  • + + +
    (với
    a b, 0 
    )
  1. Tọa độ của điểm
    a) Định nghĩa:
    M x y z OM xi y j z k ( ; ; ) . . .  = + +
    (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
    Chú ý: •
    M Oxy z M Oyz x M Oxz y   =   =   = ( ) 0; 0; 0 ( ) ( )

    M Ox y z M Oy x z M Oz x y   = =   = =   = = 0; 0; 0 .
    b) Tính chất: Cho
    ( ; ; ), ( ; ; ) A x y z B x y z A A A B B B

    ( ; ; ) AB x x y y z z = − − −
    B A B A B A

    2 2 2 ( ) ( ) ( ) AB x x y y z z = − + − + − B A B A B A
  • Toạ độ trung điểm
    M
    của đoạn thẳng
    AB
    :
    ; ;
    2 2 2
    A B A B A B x x y y z z M
      + + +    
  • Toạ độ trọng tâm
    G
    của tam giác
    ABC
    :
    ; ;
    3 3 3
    A B C A B C A B C x x x y y y z z z G
      + + + + + +    
  • Toạ độ trọng tâm
    G
    của tứ diện
    ABCD
    :
    ; ;
    4 4 4
    A B C D A B C D A B C C x x x x y y y y z z z z G
      + + + + + + + + +    
  1. Tích có hướng của hai vectơ
    a) Định nghĩa: Trong không gian
    Oxyz
    cho hai vectơ
    1 2 3 a a a a = ( ; ; ) ,
    1 2 3 b b b b = ( ; ; )
    . Tích có
    hướng của hai vectơ
    a

    b,
    kí hiệu là
      a b,
     
    , được xác định bởi
    ( )
    2 3 3 1 1 2
    2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
    2 3 3 1 1 2
    , ; ; ; ;
    a a a a a a
    a b a b a b a b a b a b a b
    b b b b b b
          = = − − −    
    Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
    b) Tính chất:

    [ , ] ; [ , ] a b a a b b ⊥ ⊥

        a b b a , ,
    = −    

      i j k j k i k i j , ; , ; , = = =          

    [ , ] . .sin , a b a b a b = ( )

    a b,
    cùng phương
     = [ , ] 0 a b
    (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
    c) Ứng dụng của tích có hướng:
    5
    •Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
    a b,

    c
    đồng phẳng 
    [ , ]. 0 a b c =
    •Diện tích hình bình hành
    ABCD
    :
    , ABCD S AB AD =    
    •Diện tích tam giác
    ABC
    :
    1
    ,
    2
    ABC S AB AC 
    =    
    •Thể tích khối hộp
    ABCDA B C D    
    :

. ‘ ‘ ‘ ‘ [ , ]. V AB AD AA ABCD A B C D


•Thể tích tứ diện
ABCD
:
1
[ , ].
6

V AB AC AD ABCD

  1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
  • Trong không gian
    Oxyz
    , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:
    Ax By Cz D + + + = 0
    với
    2 2 2 A B C + +  0
  • Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
    M x y z 0 0 0 0 ( ; ; )
    và nhận vectơ
    n A B C = ( ; ; )
    khác
    0
    là VTPT là:
    A x x B y y C z z ( − + − + − = 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 .
  • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
    ( ): 1 x y z
    a b c
     + + = .
    Ở đây
    ( ) 
    cắt các trục tọa độ tại các điểm
    (a;0;0) , (0; ;0 b ), (0;0;c)
    với
    abc  0.
  1. Các công thức tính khoảng cách
    a) Khoảng cách giữa hai điểm
    Khoảng cách giữa hai điểm
    A x y z B x y z ( A A A B B B ; ; , ; ; ) ( )
    là:
    ( ) ( ) ( )
    2 2 2
    B A B A B A AB x x y y z z = − + − + −
    b) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
    Cho đường thẳng

    đi qua M , có một véc tơ chỉ phương
    u
    và một điểm A.
    Khoảng cách từ A đến đường thẳng

    được tính bằng công thức:
    ( ; )
    ,
    A
    u AM
    d
    u

       
    = .
    c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
    Khoảng cách từ điểm
    M x y z ( 0 0 0 ; ; )
    đến mặt phẳng
    (P Ax By Cz D ): 0 + + + =
    là:
    ( 0 ( ))
    0 0 0
    , M P 2 2 2
    Ax By Cz D
    d
    A B C

+ + +

  • +
    .
    d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
    Cho hai đường thẳng chéo nhau
    1 2  ,
    biết :
    +)
    1 
    đi qua điểm M và có một véc tơ chỉ phương là
    1
    u .
    +)
    2 
    đi qua điểm N và có một véc tơ chỉ phương là
    2
    u .
    Khoảng cách giữa hai đường thẳng
    1  và
    2  được tính bằng công thức:
    6
    ( )
    1 2
    1 2
    1 2
    , .
    ,
    ,
    u u MN
    d
    u u
          =    
    .
    e) Khoảng cách giữa đường thẳng

    và mặt phẳng
    ( )
    (với
     / /( )
    )
    ( ( )) ( ( ))
    ( ) , ,
    ,
    M
    d d M
     


    =   .
  1. Công thức tính góc
    a) Góc giữa hai đường thẳng.
    Cho hai đường thẳng:
    1 
    có một véc tơ chỉ phương
    u x y z 1 1 1 1
    = ( ; ; ).
    2 
    có một véc tơ chỉ phương
    u x y z 2 2 2 2
    = ( ; ; ).
    Gọi

    là góc giữa đường thẳng
    1 

    2 
    . Khi đó:
    ( )
    1 2 1 2 1 2 1 2
    2 2 2 2 2 2
    1 2 1 1 1 2 2 2
    . . . .
    Cos , 0 90
    .
    .
    u u x x y y z z
    u u x y z x y z
     
  • +
    = =   
  • + + +
    .
    b) Góc giữa hai mặt phẳng
    Gọi

    là góc giữa hai mặt phẳng
    (P Ax By Cz D ): 0 + + + =

    (Q A x B y C z D ): ‘ ‘ ‘ ‘ 0 + + + = ( ) ( )
    2 2 2 2 2 2
    . . ‘ . ‘ . ‘
    cos cos , , 0 90
    . . ‘ ‘ ‘
    P Q
    P Q
    P Q
    n n A A B B C C
    n n
    n n A B C A B C
     
  • +
    = = =   
  • + + +
    .
    c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
    Cho: Đường thẳng

    có một véc tơ chỉ phương
    u x y z = ( ; ; ).
    Mặt phẳng
    ( )
    có một véc tơ pháp tuyến
    n A B C = ( ; ; ).
    Gọi

    là góc giữa hai đường thẳng


    ( )
    . Khi đó:
    ( )
    2 2 2 2 2 2
    .
    sin , 0 90
    .
    .
    u n Ax By Cz
    u n A B C x y z
     
  • +
    = =   
  • + + +
    .
    II. Phương pháp.
  1. Phương pháp
    Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp ( chú ý đến vị trí của gốc O)
    Bước 2: Xác định các tọa độ điểm có liên quan ( có thể xác định tọa độ tất cả các điểm
    hoặc một số điểm cần thiết)
    Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:
  • Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm ( khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt
    phẳng tọa độ).
    7
  • Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương,
    thẳng hàng, điểm chia đoạn để tìm tọa độ.
  • Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
  • Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng và mặt phẳng.
    Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
  1. Một số dạng gắn hệ trục tọa độ
  2. Gắn tọa độ với hình chóp
    1.1 Hình chóp có cạnh bên
    ( ) SA
    vuông góc với mặt đáy
    Đáy là tam giác đều
  • Gọi
    O
    là trung điểm
    BC .
    Chọn hệ trục như hình vẽ,
    AB a = =1 .
  • Tọa độ các điểm là:
    ( )
    3
    0;0;0 , 0; ;0 ,
    2
    O A
           
    1
    ;0;0 ,
    2
    B
        −
     
    1
    ;0;0
    2
    C
         
    ,
    3
    0; ;
    2 SA
    S OH
       
     
    .
    Đáy là tam giác cân tại
    A
  • Gọi
    O
    là trung điểm
    BC .
    Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    O A OA (0;0;0 , 0; ;0 , ) ( )
    B OB C OC (− ;0;0 , ;0;0 ) ( ) ,
    0; ;
    SA
    S OA OH      
    .
    Đáy là tam giác cân tại B
  • Gọi
    O
    là trung điểm
    AC
    . Chọn
    hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    O A OA (0;0;0 , ;0;0 , ) (− )
    B OB C OC (0; ;0 , ;0;0 ) ( ) ,
    ;0;
    SA
    S OA OH  
    −   
    .
    Đáy là tam giác vuông tại
    B
  • Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    B O A AB  (0;0;0 , 0; ;0 , ) ( )
    Đáy là tam giác vuông tại A
  • Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    A O B OB  (0;0;0 , 0; ;0 , ) ( )
    Đáy là tam giác thường
  • Dựng đường cao
    BO
    của
    ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
    8
    C BC ( ;0;0 ,) 0; ;
    SA
    S AB BH      
    .
    C AC ( ;0;0 ,) S SA (0;0; ). + Tọa độ các điểm là:
    O A OA (0;0;0 , ;0;0 , ) (− )
    B OB (0; ;0 ,)
    ( ;0;0 , ;0; )
    SA
    C OC S OA OH  
    −   
    .
    Đáy là hình vuông, hình
    chữ nhật
  • Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    A O B AB  (0;0;0 , 0; ;0 , ) ( )
    C AD AB D AD ( ; ;0 , ;0;0 , ) ( )
    S SA (0;0; )
    Đáy là hình thoi
  • Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    O A OA (0;0;0 , ;0;0 , ) ( )
    B OB (0; ;0 ,) C OC (− ;0;0 ,)
    D OD (0; ;0 , − ) ;0;
    SA
    S OA OH      
    Đáy là hình thang vuông
  • Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    A O B AB  (0;0;0 , 0; ;0 , ) ( )
    C AH AB D AD ( ; ;0 , ;0;0 , ) ( )
    S SA (0;0; ).
    1.2 Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy
    Đáy là tam giác, mặt bên
    là tam giác thường
  • Vẽ đường cao
    CO
    của
    ABC. Chọn hệ trục như
    hình vẽ,
    a =1.
    Đáy là tam giác cân tại C
    (hoặc đều), mặt bên là tam
    giác cân tại S (hoặc đều)
  • Gọi
    O
    là trung điểm
    BC .
    Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
    Đáy là hình vuông, hình chữ
    nhật
  • Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    A O (0;0;0 ,)
    9
  • Tọa độ các điểm là:
    O A OA (0;0;0 , ;0;0 , ) ( )
    B OB C OC (0; ;0 , ;0;0 , − ) ( )
    0; ;
    SA
    S OH OK      
    .
  • Tọa độ các điểm là:
    O A OA (0;0;0 , 0; ;0 , ) ( )
    B OB C OC (0; ;0 , ;0;0 , − ) ( )
    ;0;
    SH
    S AH AK      
    .
    B AB C AB AD ( ;0;0 , ; ;0 , ) ( )
    (0; ;0 , ;0; . )
    SH
    D AD S AH AK      
    1.3 Hình chóp đều
    Hình chóp tam giác đều
  • Gọi
    O
    là trung điểm của một cạnh đáy. Dựng
    hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    ( )
    3
    0;0;0 , 0; ;0 ,
    2
    AB O A
           
    ;0;0 , ;0;0
    2 2
    BC BC B C         −
       
    ,
    3
    0; ;
    6 SH
    AB S OK
       
     
    Hình chóp tứ giác đều
  • Chọn hệ trục như hình vẽ,
    a =1.
  • Tọa độ các điểm là:
    ( )
    2
    0;0;0 , ;0;0 ,
    2
    OA

AB O A

   
     
2 2 0; ;0 , ;0;0
2 2
OB OA
AB AB B C
= =−
        −
           
,
( )
2
0; ;0 , 0;0;
2
OB

AB D S SO

    −
     
.

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ
  1. Gắn tọa độ với hình lăng trụ
    2.1 Lăng trụ đứng
    10
    Hình lập phương, hình hộp chữ nhật
    Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ với
    a =1.
    tọa
    độ điểm
    A B AB  0 0;0;0 , 0; ;0 ( ) ( ),
    C AD AB D AD ( ; ;0 , ;0;0 ) ( ),
    ( ) ( )
    ‘ ‘ ‘ ‘ A B AB 0;0;AA , 0; ;AA ,
    ( ) ( )
    ‘ ‘ ‘ ‘ C AD AB D AD ; ;AA , ;0;AA
    Lăng trụ đứng đáy là hình thoi
    Gọi
    O
    là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục
    như hình với
    O A OA (0;0;0 , ;0;0 ) (− ), B OB C OC (0; ;0 , ;0;0 ) ( ) ,
    D OD (0; ;0 − ), ( ) ( )
    ‘ ‘ ‘ ‘ A OA B OB − ;0;AA , 0; ;AA ,
    ( ) ( )
    ‘ ‘ ‘ C OC CC D OD ;0; , 0; ;DD −
    Lăng trụ tam giác đều
    Gọi
    O
    là trung điểm một cạnh đáy, chọn hệ
    trục như hình vẽ với
    a =1.
    Ta có
    (0;0;0 , ;0;0 )
    2
    AB O A     
    ,
    ( ) ( )
    ‘ ‘ ;0;0 ; 0; ;0 ; ;0;AA
    2
    AB B C OC A OA     −
     
    ,
    ( )
    ‘ ‘ ‘ ‘ ;0; ; 0; ;
    2
    AB B BB C OC CC     −
     
    Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường
    Vẽ đường cao
    CO
    trong tam giác
    ABC

    chọn hệ trục như hình vẽ với
    a =1
    , tọa độ điểm
    là:
    O A OA (0;0;0); ( ;0;0), B OB C OC ( ;0;0); (0; ;0) −
    ,
    ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ A OA B OB BB C OC CC ( ;0;AA ); ( ;0; ); (0; ; ) −
    Lăng trụ nghiêng có đáy là tam giác đều,
    hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đối diện
    là trung điểm một cạnh tam giác đáy.
    Lăng trụ nghiêng có đáy là hình vuông hoặc
    hình chữ nhật, hình chiếu của đỉnh là một
    điểm thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh đó
    11
  • Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác
    định được các điểm
    ‘ ‘ ‘ O A B C A ; ; ; ; .
  • Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ
    thức vectơ bằng nhau:
    ‘ ‘ ‘ AA BB CC = = .
  • Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định
    được các điểm
    ‘ ‘ ‘ ‘ O A B C D A ; ; ; ; ; .
  • Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ
    thức vectơ bằng nhau:
    ‘ ‘ ‘ ‘ AA BB CC DD = = = .
    III.Các dạng bài thường gặp:
  • Độ dài đoạn thẳng.
  • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
  • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng.
  • Góc giữa hai đường thẳng.
  • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
  • Góc giữa hai mặt phẳng.
  • Thể tích khối đa diện.
  • Diện tích thiết diện.
  • Bài toán cực trị, quỹ tích.
    IV. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
    IV.1. HÌNH LĂNG TRỤ
    Dạng 1. Hình lập phương
    Ví dụ 1. Cho hình lập phương
    ABCD A B C D . ‘ ‘ ‘ ‘
    có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
    của AD và BB’. Tính thể tích của khối tứ diện
    A CMN ‘ .
    A.
    3
    4
    a
    . B.
    3
    8
    a
    . C.
    3
    16
    a
    . D.
    3
    32
    a
    .
    Hướng dẫn
    12
    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:
    A B a C a a D a A a B a a C a a a D a a (0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , ‘ 0;0; , ‘ ;0; , ‘ ; ; , ‘ 0; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
    Thể tích của khối tứ diện
    A CMN ‘
    là:
    1
    ‘ , ‘ . ‘
    6
    V A N A M A C =    
    .
    Ta có:
    ;0; , 0; ;0
    2 2
    a a N a M
               
    . ‘ ;0; , ‘ 0; ; , ‘ ; ; ( )
    2 2
    a a A N a A M a A C a a a    
     = − = − = −        
    .
    2 2
    2
    ‘ , ‘ ; ;
    4 2
    a a A N A M a
     
     =        

    3 3
    3 3 3
    ‘ , ‘ . ‘
    4 2 4
    a a
     = + − =   A N A M A C a a  
    .
    Vậy
    ( )
    3
    1 3 3
    .
    6 4 8
    a
    V a dvtt = = .
    Ví dụ 2. Cho hình lập phương có thể tích là . Tan góc tạo bởi đường thẳng
    và mặt phẳng bằng
    A. . B. . C. . D. .
    Hướng dẫn
    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
    Khi đó ta được:
    Ta có
    ABCD A B C D .
       
    3
    27cm AC ( ) BB D D   2
    1
    2
    2
    4
    2 2 D D B C A (0;0;0); (0;0;3) (3;3;0); (3;0;0); (0;3;3)   DB DD A C = = = − (3;3;0); (0;0;3); ( 3;3;3)     = − = − DB DD (9; 9;0) 9(1; 1;0) K
    I
    H
    A
    A
    B C
    C
    B
    D
    D D
    z
    x
    A
    A
    B C
    B C
    D
    y
    13
    Suy ra có VTPT là và có VTCP là
    Khi đó . Đặt
    Do
    Ví dụ 3. Cho hình lập phương
    ABCD A B C D . ‘ ‘ ‘ ‘
    có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
    của BC và A’B’. Mặt phẳng (MND’) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong
    đó khối chứa điểm C gọi là (H).Thể tích của khối (H) bằng
    A.
    3
    55
    72
    a
    . B.
    3
    55
    144
    a
    . C.
    3
    181
    486
    a
    . D.
    3
    55
    48
    a
    .
    Hướng dẫn
    Thể tích khối lập phương bằng
    3
    a
    Mặt phẳng (MND’) cắt DC tại E thỏa mãn
    1
    4
    EC DC =
    ; cắt BB’ tại P sao cho
    1

    3
    BP BB =
    Khi đó
    V V V V ( ) ‘. ‘ ‘. ‘. ‘ H C D NPME C CME C B PN = + +
    3 3
    ‘. ‘ . ‘
    1 2 1
    . . ; . .
    6 2 3 18 6 4 2 48 B C NP C C ME
    a a a a a a V a V a = = = =
    Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, lấy đơn vị trên trục 1 đơn vị bằng a
    Ta có
    ( )
    1 1 1 1 (0;0;0); ‘(0;0;1); ;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0; ; ;1;0 ; ‘ 1;0;1
    4 2 3 4
    C C E M R Q D                 − −         ( ) BB D D  
    n = − (1; 1;0) AC
    u = −( 1;1;1) ( )
    . 6
    sin ,( )
    . 3
    n u
    A C BB D D
    n u
       = =  = ( A C BB D D    ,( ))
    2
    2
    1 1 1 cot cot tan 2
    sin 2
      
  • =  =  =
    14
    Phương trình mặt phẳng (MND’) :
    ( )
    4 29 1 4 2 3 1 ( ‘; ‘) 1 1 1 29
    4 2 3
    x y z
  • + =  + − =  = x y z d C MND

    ‘ ‘
    29 1 29 11 29
    4 12 4 48 MDND E EQND PMQ S S S = − = − =
    ( ( ))
    3
    ‘. ‘ ‘
    3
    ( )
    1 11 ‘; ‘ .
    3 36
    55
    144
    C D NPME MPND E
    H
    V d C MND S a
    V a

= =

Ví dụ 4. Cho hình lập phương
ABCD A B C D . ‘ ‘ ‘ ‘
có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M ;N ;P ;Q lần lượt
là trung điểm của AB;BC ; C’D’ ; DD’. Gọi thể tích khối tứ diện MNPQ là phân số tối
giản
a
b
. Tổng
a b +
bằng
A.
9 . B.
25 . C.
13 . D.
11.
Hướng dẫn
Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ là điểm B(0 ;0 ;0)
Khi đó
1 1 1 1 0; ;1 ; ;0;1 ; 1; ;0 ; 1;1;
2 2 2 2
M N P Q                         ( )
1 1 1 1 ; ;0 ; 1;0; 1 ; 1; ;
2 2 2 2
MN MP MQ    
= − = − = −        
Suy ra
1 1 ; . 1; 12 13
6 12
V MN MP MQ a b a b MNPQ = =  = =  + =    
Dạng 2. Hình hộp chữ nhật
15
Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật có . Góc tạo bởi mặt
phẳng và mặt đáy bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có
Ta có
Lại có
Suy ra có VTPT là và có VTPT là
Khi đó Vậy
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật
ABCD A B C D . ‘ ‘ ‘ ‘

AB AD a AA b = = = , ‘
. Gọi M là trung điểm
của cạnh CC’. Thể tích của khối tứ diện
BDA M’
bằng
A.
2
2
a b V = . B.
2
4
a b V = . C.
2
8
a b V = . D.
2
16
a b V = .
Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ có gốc
O A 
. Khi đó
(0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , ‘ 0;0; , ‘ ; ; , ; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
b
A B a C a a D a A b C a a b M a a      
.
ABCD A B C D .
    AB a AD a A A a = = = ; 2 ; 4 
( ) C BD
21
arccos
22
21
arccos
42
21
arccos
21
21
arccos
12
C D a B a C a (0;0;0); ( ;0;0); (0;2 ;0); (0;0;4 ) 
( ) ( ) ( ) : z 0 ABCD Oxy ABCD   = C B a a C D a a  
= − = − (0;2 ; 4 ); ( ;0; 4 ) 2 2 2 2   = − − − = − C B C D a a a a   ( 8 ; 4 ; 2 ) 2 (4;2;1) ( ) ABCD n = (0;0;1) ( ) C BD
n

= (4;2;1) ( )
. 1
cos ( ),( )
. 21
n n
C BD ABCD
n n


= =

( )
21 ( ),( ) arccos
21

C BD ABCD 

y
x
A
A
B
C
C
B
D
D
z
D
A
A
B C
C
B
D
H
16
Thể tích khối tứ diện
BDA M’
là:

1
, . ‘
6
BDA M V BD BM BA =    
.
Trong đó:
( )
2
; ;0 , 0; ; , ; ;
2 2 2
b ab ab BD a a BM a BD BM a
   
= − =  = −            
.
( )
2
3
‘ ;0; , . ‘
2
a b BA a b BD BM BA = −  = −    
.
Vậy
2
4
a b V = .
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật có , góc tạo bởi và mặt
đáy là . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách g

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ