SKKN Ứng dụng tính liên tục và định lý giá trị trung bình

SKKN Ứng dụng tính liên tục và định lý giá trị trung bình

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Gi£i t‰ch là mºt ph¥n môn quan trọng cıa To¡n học. Bài to¡n có nºi dung Gi£i
t‰ch luôn luôn có mặt trong đ• thi học sinh giỏi To¡n QuŁc gia và QuŁc t‚, bởi
v“y đ¥y là nºi dung r§t quan trọng trong chương tr…nh To¡n THPT chuy¶n và
trong c¡c đæt t“p hu§n c¡c đºi tuy”n học sinh giỏi. C¡c nºi dung Gi£i t‰ch mà học
sinh đưæc trang bị ở b“c THPT là n•n t£ng cơ b£n cho vi»c học to¡n ở b“c đ⁄i học.
Trong qu¡ tr…nh nghi¶n cøu và gi£ng d⁄y c¡c chuy¶n đ• v• Gi£i t‰ch cho học sinh
chuy¶n To¡n và bồi dưỡng c¡c đºi tuy”n học sinh giỏi, chúng tôi nh“n th§y sự cƒn
thi‚t ph£i r–n luy»n tư duy và ngôn ngœ gi£i t‰ch mºt c¡ch ch‰nh x¡c; v“n dụng
mºt c¡ch linh ho⁄t ki‚n thøc v• gi£i t‰ch và cao hơn là s¡ng t⁄o mºt sŁ ý tưởng
ki”u “gi£i t‰ch” vào gi£i quy‚t bài to¡n. Đ¥y ch‰nh là nguồn gŁc ý tưởng cıa b¡o
c¡o mà c¡c t¡c gi£ đ¢ tri”n khai d⁄y trong nhi•u n«m và vào th¡ng 11 n«m 2020,
trong Hºi th£o khoa học c¡c trường THPT chuy¶n di„n ra t⁄i Hà Nam, chúng tôi
đ¢ b¡o c¡o mºt phƒn cıa nhœng ý tưởng tr¶n với đ• tài v• t‰nh li¶n tục và kh£ vi
trong hºi nghị. B¶n c⁄nh vi»c h» thŁng mºt sŁ ki‚n thøc cơ b£n v• gi£i t‰ch, b¡o
c¡o này đưa s‡ ra mºt sŁ gi£i ph¡p ti‚p c“n s¡ng t⁄o theo ki”u “gi£i t‰ch” thông
qua mºt sŁ v§n đ• cơ b£n cıa gi£i t‰ch ở phŒ thông, đó là t‰nh li¶n tục, kh£ vi, c¡c
định lý gi¡ trị trung gian và định lý gi¡ trị trung b…nh.
2
II. M˘ TẢ GIẢI PHÁP
Trong phƒn này, b¡o c¡o s‡ tr…nh bày nhœng nºi dung sau:
Mô t£ gi£i ph¡p trước khi t⁄o ra s¡ng ki‚n:
– N¶u thực tr⁄ng trong vi»c d⁄y và học Gi£i t‰ch ở THPT hi»n nay.
– Mºt sŁ nºi dung gi£i t‰ch trong chương tr…nh To¡n THPT.
– Tóm t›t mºt sŁ nºi dung ki‚n thøc v• gi£i t‰ch.
Mô t£ gi£i ph¡p sau khi có s¡ng ki‚n:
Phƒn này trong b¡o c¡o tr…nh bày c¡c ý tưởng cụ th” sß dụng gi£i t‰ch với c¡c nºi
dung v• t‰nh li¶n tục cıa hàm sŁ, c¡c định lý gi¡ trị trung b…nh nh‹m định hướng
tư duy, ti‚p c“n lời gi£i; làm rª c¡c định hướng thông qua ph¥n t‰ch và hướng d¤n
gi£i c¡c bài to¡n trong mºt sŁ đ• thi Olympic c¡c c§p.
C¡c gi£i ph¡p tr…nh bày trong b¡o c¡o bao gồm:
• Ứng dụng t‰nh li¶n tục cıa hàm sŁ:
– Mºt sŁ bài to¡n lý thuy‚t.
– Sß dụng c¡c định lý gi¡ trị trung gian và t‰nh ch§t bị chặn tr¶n đo⁄n.
– K‚t hæp t‰nh li¶n tục và đơn ¡nh, toàn ¡nh.
– Sß dụng phương ph¡p chuy”n qua giới h⁄n.
• Ứng dụng t‰nh đơn đi»u và định lý gi¡ trị trung b…nh:
– Ứng dụng trong mºt sŁ bài to¡n PT-BPT-HPT.
– Ứng dụng trong mºt sŁ bài to¡n d¢y sŁ.
– Ứng dụng định lý Lagrange x†t sự hºi tụ cıa d¢y nghi»m sinh bởi PT.
– Ứng dụng đ⁄o hàm trong sŁ học.
Đi”m mới và s¡ng t⁄o cıa s¡ng ki‚n là:
– H» thŁng lý thuy‚t đƒy đı v• t‰nh li¶n tục, kh£ vi, c¡c định lý gi¡ trị trung
b…nh k–m theo nhœng chøng minh chi ti‚t phù hæp với giới h⁄n ki‚n thøc gi£i
t‰ch ở b“c THPT.
– Cung c§p gi£i ph¡p d⁄y học gi£i t‰ch qua vi»c x¥y dựng mô h…nh v‰ dụ và ph£n
v‰ dụ đ” HS n›m b£n ch§t v§n đ•.
– Cung c§p phương ph¡p ti‚p c“n theo hướng gi£i t‰ch minh họa qua c¡c nºi
dung v• Đ⁄i sŁ (PT-BPT-HPT), Gi£i t‰ch (d¢y sŁ và giới h⁄n), SŁ học.
3
1. Mô t£ gi£i ph¡p trước khi t⁄o ra
s¡ng ki‚n:
1.1Thực tr⁄ng d⁄y và học Gi£i t‰ch ở b“c THPT hi»n nay
Mºt sŁ thực tr⁄ng đang di„n ra là:
– Vi»c d⁄y và học ph¥n môn Gi£i t‰ch ở b“c THPT có phƒn bị xem nhẹ, đ¢ và đang
ch⁄y theo xu hướng thi “tr›c nghi»m” n¶n không đi đúng b£n ch§t cıa Gi£i t‰ch.
– Học sinh bị m§t ki‚n thøc và kĩ thu“t n•n t£ng khi chuy”n l¶n b“c học đ⁄i học,
khó theo kịp chương tr…nh Gi£i t‰ch ở đ⁄i học.
– Tài li»u chuy¶n kh£o v• Gi£i t‰ch cho b“c THPT cÆn kh¡ ‰t.
Nhœng thực t‚ tr¶n có mặt ở c£ c¡c trường THPT chuy¶n và không chuy¶n, là y‚u
tŁ c£n trở lớn đŁi với qu¡ tr…nh tự học cıa học sinh, nh§t là đŁi với nhœng học
sinh tham gia c¡c đºi tuy”n học sinh giỏi môn To¡n.
1.2Nºi dung gi£i t‰ch trong chương tr…nh To¡n THPT
Mục ti¶u cıa phƒn này là di„n gi£i quan đi”m cıa chúng tôi v• bº môn gi£i t‰ch
và phương ph¡p gi£i t‰ch ở b“c THPT, đ¥y là n•n t£ng cho toàn bº nhœng tr…nh
bày ph‰a sau cıa b¡o c¡o.
Trong “Tł đi”n Ti‚ng Vi»t” (Hoàng Ph¶ chı bi¶n, NXB Đà Nfing, n«m 1997),
trang 373 vi‚t “Gi£i t‰ch To¡n học là ngành to¡n học nghi¶n cøu c¡c hàm sŁ, giới
h⁄n, ph†p t‰nh vi ph¥n, t‰ch ph¥n, v.v”. — chương tr…nh To¡n THPT, ph¥n môn
Gi£i t‰ch b›t đƒu h…nh thành và ph¡t tri”n với c¡c chı đ• cụ th” như sau:
4
1 – Ánh x⁄, hàm sŁ.
2 – D¢y sŁ và giới h⁄n d¢y sŁ.
3 – Giới h⁄n hàm sŁ.
4 – T‰nh li¶n tục cıa hàm sŁ.
5 – T‰nh kh£ vi cıa hàm sŁ.
6 – Nguy¶n hàm, t‰ch ph¥n.
Theo đó, gi£i t‰ch to¡n học (mathematical analysis) có vai trÆ r§t quan trọng trong
chương tr…nh To¡n THPT chuy¶n s¥u, trong đó mºt “ph†p to¡n cơ b£n” r§t đặc
trưng cıa nó là “ph†p l§y giới h⁄n”, do đó c¡c y‚u tŁ mà nó nghi¶n cøu cũng mang
t‰nh “đºng” nhi•u hơn. Đi•u này d¤n đ‚n vi»c nhi•u bài to¡n n‚u gi£i quy‚t theo
c¡c c¡ch “tĩnh” (ki”u đ⁄i sŁ) khó thành công th… phương ph¡p gi£i t‰ch có th” có
hi»u qu£ hơn.
Trong b¡o c¡o này chúng tôi t“p trung chı y‚u vào n«m chı đ• đƒu với ba định
hướng ch‰nh, đó là dùng giới h⁄n, dùng t‰nh li¶n tục và dùng đ⁄o hàm.
1.3 Tóm t›t mºt sŁ nºi dung Gi£i t‰ch (li¶n quan tới b¡o c¡o)
T‰nh li¶n tục; t‰nh ch§t đồng bi‚n, nghịch bi‚n; t‰nh lồi, lªm cıa hàm sŁ là
nhœng v§n đ• cơ b£n trong chương tr…nh to¡n sơ c§p. C¡c định lý: Gi¡ trị trung
b…nh; Định lý Lagrange đóng vai trÆ quan trọng trong vi»c chøng minh c¡c định
lý, t‰nh ch§t cơ b£n trong chương tr…nh.
Chương này giới thi»u mºt sŁ định lý quan trọng li¶n quan đ‚n t‰nh li¶n tục,
đơn đi»u cıa hàm sŁ đó là: Định lý Bolzano-Cauchy; định lý Fermat, định lý Rolle
và mºt sŁ mở rºng cıa định lý Rolle (Định lý Lagrange, định lý Cauchy, định lý
Rolle tr¶n mºt kho£ng không bị chặn). Mºt sŁ h» qu£ quan trọng cũng đưæc tr…nh
bày đ” thu“n læi cho vi»c v“n dụng gi£i c¡c bài to¡n trong c¡c phƒn ti‚p theo.
1.3.1 Ánh x⁄ và hàm sŁ
a) Định nghĩa ¡nh x⁄: Mºt ¡nh x⁄ f tł t“p hæp X đ‚n t“p hæp Y là mºt quy t›c
đặt tương øng mØi phƒn tß x thuºc X với mºt và ch¿ mºt phƒn tß thuºc t“p Y .
Phƒn tß này đưæc gọi là £nh cıa x qua ¡nh x⁄ f và đưæc k‰ hi»u là f(x).
+) Ánh x⁄ f là đơn ¡nh n‚u với mọi a; b ph¥n bi»t thuºc X th… f(a) 6= f(b).
5
+) Ánh x⁄ f là toàn ¡nh n‚u với mØi y 2 Y đ•u tồn t⁄i x 2 X mà f(x) = y.
+) Ánh x⁄ f là song ¡nh n‚u nó vła là đơn ¡nh, vła là toàn ¡nh.
b) Định nghĩa hàm sŁ: Cho t“p hæp kh¡c rØng D ⊂ R. Hàm sŁ f x¡c định tr¶n D
là mºt quy t›c đặt tương øng mØi sŁ x 2 D với mºt và ch¿ mºt sŁ k‰ hi»u f(x).
Như v“y hàm sŁ f ch‰nh là mºt ¡nh x⁄ tł t“p con D cıa R vào R.
B¶n c⁄nh vi»c nghi¶n cøu t‰nh đơn ¡nh, toàn ¡nh, song ¡nh cıa hàm sŁ f th… người
ta cũng quan t¥m đ‚n c¡c t‰nh ch§t kh¡c cıa hàm sŁ f . Trong sŁ đó đặc bi»t hay
dùng t‰nh đơn đi»u, t‰nh tuƒn hoàn, t‰nh li¶n tục, t‰nh kh£ vi, t‰nh kh£ t‰ch cıa
hàm sŁ.
X†t K là mºt kho£ng, mºt đo⁄n hoặc mºt nßa kho£ng con cıa D:
+) Hàm sŁ f đồng bi‚n (t«ng ngặt) tr¶n K n‚u với mọi x1; x2 2 K th… x1 < x2 )
f(x1) < f(x2).
+) Hàm sŁ f nghịch bi‚n (gi£m ngặt) tr¶n K n‚u với mọi x1; x2 2 K th… x1 < x2 )
f(x1) > f(x2).
+) Hàm sŁ f không đŒi tr¶n K n‚u với mọi x1; x2 2 K th… f(x1) = f(x2).
1.3.2 D¢y sŁ và giới h⁄n cıa d¢y sŁ
a) D¢y sŁ là mºt hàm sŁ u tł M vào R, trong đó M = f1; 2; 3; · · · ng (cho d¢y sŁ
hœu h⁄n), hoặc M = N (cho d¢y sŁ vô h⁄n b›t đƒu tł ch¿ sŁ 0), hoặc M = N∗ (cho
d¢y sŁ vô h⁄n b›t đƒu tł ch¿ sŁ 1).
Với d¢y sŁ u: M ! R thường k‰ hi»u là (un) với un = u(n) là sŁ h⁄ng trong d¢y.
b) X†t d¢y sŁ vô h⁄n b›t đƒu tł ch¿ sŁ 1 là (un)(c¡c trường hæp kh¡c x†t tương
tự):
+) D¢y (un) gọi là t«ng (t«ng ngặt) n‚u un+1 > un; 8n 2 N∗ . Trong trường hæp
un+1 ≥ un; 8n 2 N∗ ta nói d¢y (un) t«ng không nghi¶m ngặt.
+) D¢y (un) gọi là gi£m (gi£m ngặt) n‚u un+1 < un; 8n 2 N∗ . Trong trường hæp
un+1 ≤ un; 8n 2 N∗ ta nói d¢y (un) gi£m không nghi¶m ngặt.
+) D¢y (un) gọi là tuƒn hoàn n‚u tồn t⁄i T 2 N∗ mà un+T = un; 8n 2 N∗.
+) D¢y (un) gọi là bị chặn tr¶n n‚u tồn t⁄i sŁ A mà un ≤ A; 8n 2 N∗ .
+) D¢y (un) gọi là bị chặn dưới n‚u tồn t⁄i sŁ a mà un ≥ a; 8n 2 N∗ .
6
+) D¢y (un) gọi là bị chặn n‚u nó bị chặn tr¶n và bị chặn dưới.
c) Định nghĩa giới h⁄n cıa d¢y sŁ:
• lim un = L , (Với mØi ” > 0, tồn t⁄i N = N (“) 2 N∗ mà jun – Lj < “; 8n ≥ N).
• lim un = +1 ,(Với mØi A > 0, tồn t⁄i N = N (A) 2 N∗ mà un > A; 8n ≥ N).
• lim un = -1 ,(Với mØi A < 0, tồn t⁄i N = N (A) 2 N∗ mà un < A; 8n ≥ N).
d) Mºt sŁ định lý quan trọng v• giới h⁄n cıa d¢y sŁ:
*) T‰nh ch§t: Gi£ sß lim un = L và lim vn = M và c là mºt h‹ng sŁ. Khi đó:
• lim (un ± vn) = L ± M,
• lim (unvn) = LM,
• lim (cun) = cL,
• lim un
vn
=
L M
(n‚u M 6= 0),
• lim p3 un = p3 L,
• lim pun = pL n‚u L ≥ 0.
*)C§p sŁ nh¥n lùi vô h⁄n:
• N‚u jqj < 1 th… lim qn = 0.
• D¢y sŁ (un) là c§p sŁ nh¥n với công bºi q thỏa m¢n jqj < 1 th…
u1 + u2 + ::: + un + ::: =
u1
1 – q
:
*) Ti¶u chu’n Cauchy: Mºt d¢y sŁ hºi tụ khi và ch¿ khi nó là d¢y Cauchy (hay
d¢y cơ b£n).
*) Ti¶u chu’n Weierstrass: Mºt d¢y sŁ đơn đi»u và bị chặn th… hºi tụ.
*) Định lý kẹp: X†t c¡c d¢y sŁ (un) ; (vn) ; (wn).
– N‚u un ≤ vn ≤ wn với n đı lớn và lim un = lim wn = L th… lim vn = L.
– N‚u un ≤ vn với n đı lớn và lim un = +1 th… lim vn = +1.
– N‚u vn ≤ wn với n đı lớn và lim wn = -1 th… lim vn = -1.
1.3.3 Giới h⁄n hàm sŁ
a) Định nghĩa:
*) Gi£ sß (a; b) là kho£ng chøa x0 và hàm sŁ f (x) x¡c định tr¶n (a; b) n fx0g. Ta nói
lim
x!x0
f (x) = L n‚u với mọi c¡ch chọn d¢y sŁ (xn) trong (a; b) n fx0g mà lim
n!+1
xn = x0
7
đ•u có lim
n!+1
f (xn) = L.
Nói c¡ch kh¡c: lim
x!x0
f (x) = L khi và ch¿ khi
8″ > 0; 9δ > 0 : 8x 6= x0; jx – x0j < δ ) jf (x) – Lj < “:
*) Gi£ sß (a; b) là kho£ng chøa x0 và hàm sŁ f (x) x¡c định tr¶n (a; b) n fx0g. Ta nói
lim
x!x0
f (x) = +1 n‚u với mọi c¡ch chọn d¢y sŁ (xn) trong (a; b) n fx0g mà lim
n!+1
xn =
x0 đ•u có lim
n!+1
f (xn) = +1.
Nói c¡ch kh¡c: lim
x!x0
f (x) = +1 khi và ch¿ khi
8M > 0; 9δ > 0 : 8x 6= x0; jx – x0j < δ ) f (x) > M:
Ta cũng có lim
x!x0
f (x) = -1 , lim
x!x0
(-f (x)) = +1.
*) C¡c định nghĩa kh¡c lim
x!+1
f (x) = L, lim
x!-1
f (x) = L, lim
x!+1
f (x) = ±1 . . . đưæc
ph¡t bi”u tương tự.
b) T‰nh ch§t v• giới h⁄n cıa hàm sŁ:
Giới h⁄n cıa tŒng, hi»u, t‰ch, thương cıa hai hàm sŁ t⁄i mºt đi”m b‹ng tŒng, hi»u,
t‰ch, thương cıa c¡c giới h⁄n cıa chúng t⁄i đi”m đó (n‚u c¡c giới h⁄n thành phƒn
này tồn t⁄i và trong trường hæp thương th… giới h⁄n cıa m¤u ph£i kh¡c không).
1.3.4 Hàm sŁ li¶n tục
a) C¡c Định nghĩa:
Định nghĩa 1: X†t hàm sŁ f (x) x¡c định tr¶n kho£ng (a; b) chøa x0. Ta nói f li¶n
tục t⁄i x0 n‚u với mØi sŁ thực dương ” (đı nhỏ) chọn trước, tồn t⁄i sŁ thực dương
δ = δ (“) mà jf (x) – f (x0)j < ” đúng với mọi x 2 (a; b) thỏa m¢n jx – x0j < δ. Mºt
trong c¡c ph¡t bi”u sau cũng di„n đ⁄t “f li¶n tục t⁄i x0”
• lim
x!x+
0
f (x) = lim
x!x-
0
f (x) = f (x0) hay là lim
x!x
0
f (x) = f (x0).
• Với mọi c¡ch chọn d¢y sŁ (xn) ⊂ (a; b) mà xn 6= x0; 8n ≥ 1 và lim
n!+1
xn = x0, ta
đ•u có lim
n!+1
f (xn) = f (x0).
Chú ý
• N‚u ch¿ x£y ra lim
x!x+
0
f (x) = f (x0) th… ta nói f li¶n tục ph£i t⁄i x0.
• N‚u ch¿ x£y ra lim
x!x-
0
f (x) = f (x0) th… ta nói f li¶n tục tr¡i t⁄i x0.
Định nghĩa 2: Hàm sŁ li¶n tục tr¶n kho£ng, nßa kho£ng, đo⁄n
• Hàm sŁ f (x) li¶n tục tr¶n kho£ng (a; b) n‚u f (x) li¶n tục t⁄i mọi đi”m x0 2
(a; b).
8
• Hàm sŁ f (x) li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] n‚u x£y ra đồng thời: f (x) li¶n tục tr¶n
kho£ng (a; b), f (x) li¶n tục ph£i t⁄i a và li¶n tục tr¡i t⁄i b.
• Hàm sŁ f (x) li¶n tục tr¶n nßa kho£ng(a; b] n‚u x£y ra đồng thời: f (x) li¶n tục
tr¶n kho£ng (a; b), f (x) li¶n tục tr¡i t⁄i b.
• Hàm sŁ f (x) li¶n tục tr¶n nßa kho£ng [a; b) n‚u x£y ra đồng thời: f (x) li¶n
tục tr¶n kho£ng (a; b), f (x) li¶n tục ph£i t⁄i a.
b) T‰nh ch§t cıa hàm sŁ li¶n tục
T‰nh ch§t 1: Gi£ sß f; g là c¡c hàm sŁ li¶n tục tr¶n K (ở đó K là mºt kho£ng,
nßa kho£ng hoặc mºt đo⁄n con cıa R). Khi đó:
i) a:f (x) + b:g (x) là hàm sŁ li¶n tục tr¶n K với mọi h‹ng sŁ a; b 2 R.
ii) f (x) :g (x) là hàm sŁ li¶n tục tr¶n K.
iii) f (x)
g (x) là hàm sŁ li¶n tục tr¶n K n‚u g (x) 6= 0; 8x 2 K.
T‰nh ch§t 2: N‚u f : K ! R li¶n tục tr¶n K, g : H ! R li¶n tục tr¶n H và
f (K) ⊂ H. Khi đó hàm hæp g ◦ f : K ! R li¶n tục tr¶n K.
T‰nh ch§t 3: Định lý Weierstrass:
N‚u hàm sŁ f : [a; b] ! R li¶n tục th…:
i) f (x) bị chặn tr¶n đo⁄n [a; b].
ii) f (x) có gi¡ trị lớn nh§t và có gi¡ trị nhỏ nh§t tr¶n đo⁄n [a; b].
Chøng minh.
i) Gi£ sß f (x) không bị chặn tr¶n đo⁄n [a; b], khi đó với mØi sŁ nguy¶n dương n,
tồn t⁄i xn 2 [a; b] mà jf (xn)j > n.
Đ” ý d¢y sŁ (xn) bị chặn bởi a; b n¶n nó có d¢y con (xkn) hºi tụ.
Gi£ sß lim xkn = x0 2 [a; b]. Do f li¶n tục tr¶n [a; b] n¶n f li¶n tục t⁄i x0, suy ra
lim f (xkn) = f (x0).
Mặt kh¡c jf (xkn)j > kn; 8n ≥ 1 n¶n jf (x0)j > kn; 8n ≥ 1.
Đi•u này rª ràng không x£y ra v… kn ! +1 cÆn jf (x0)j là mºt gi¡ trị hœu h⁄n.
ii) f bị chặn tr¶n đo⁄n [a; b] n¶n tồn t⁄i M = sup
x2[a;b]
f (x).
– Với mØi sŁ nguy¶n dương n, tồn t⁄i xn 2 [a; b] mà M – 1
n
< f (xn) ≤ M (*).
– D¢y sŁ (xn) bị chặn n¶n có d¢y con (xkn) hºi tụ v• x0 2 [a; b], khi đó
lim f (xkn) = f (x0).
9
– Tł (*) suy ra M – 1
kn < f (xkn) ≤ M; 8n ≥ 1. Dùng định lý kẹp ta suy ra
f (x0) = lim f (xkn) = M.
Đi•u này chøng tỏ (f 9x(0x)2≤[aM; ; b] : 8xf 2(x[0a) = ; b] M , nghĩa là M = max x2[a;b] f (x).
Chøng minh tương tự ta cũng có f (x) có gi¡ trị nhỏ nh§t tr¶n [a; b].
T‰nh ch§t 4: Định lý Bolzano-Cauchy (định lý gi¡ trị trung gian)
X†t f (x) là mºt hàm sŁ li¶n tục tr¶n [a; b] và α là mºt sŁ thực n‹m giœa hai sŁ
f (a) ; f (b). Khi đó tồn t⁄i c 2 [a; b] mà f (c) = α. Nói c¡ch kh¡c là f nh“n mọi gi¡
trị trung gian giœa f (a) và f (b)
Chøng minh. Không m§t t‰nh tŒng qu¡t ta coi f (a) ≤ α ≤ f (b)
N‚u hai trong ba sŁ f (a) ; f (b) ; α b‹ng nhau th… k‚t qu£ là d„ th§y.
X†t f (a) < α < f (b):
Đặt E = fx 2 [a; b] jf (x) ≤ αg, khi đó E 6= ? v… a 2 E.
E bị chặn tr¶n bởi b n¶n nó có c“n tr¶n đúng c = sup E, ta chøng minh f (c) = α.
Th“t v“y:
+) N‚u f (c) < α th… c 6= b, do đó c < b. Do f li¶n tục t⁄i c n¶n lim
x!c+
f (x) = f (c) < α,
suy ra tồn t⁄i δ > 0 mà (cf +(xδ) < α; ≤ b 8x 2 [c; c + δ].
Đặc bi»t có f (c + δ) < α n¶n c+δ 2 E, đi•u này m¥u thu¤n với định nghĩa c = sup E.
+) N‚u f (c) > α th… c 6= a, do đó c > a. Do f li¶n tục t⁄i c n¶n lim
x!c-
f (x) = f (c) > α,
suy ra tồn t⁄i δ > 0 mà (cf -(xδ) > α; ≥ a 8x 2 [c – δ; c] (**).
V… c = sup E n¶n có x1 mà c – δ < x1 < c mà x1 2 E, khi đó có f (x1) ≤ α. Đi•u này
m¥u thu¤n với (**).
Như v“y ph£i có f (c) = α, do đó định lý đưæc chøng minh.
H» qu£
• N‚u hàm sŁ f (x) li¶n tục tr¶n [a; b] và f (a) :f (b) < 0 th… phương tr…nh f (x) = 0
có ‰t nh§t mºt nghi»m tr¶n kho£ng (a; b).
• N‚u hàm sŁ f (x) li¶n tục tr¶n [a; b] th… f ([a; b]) là mºt đo⁄n con cıa R.
1.3.5 Hàm sŁ đơn đi»u
Định nghĩa 1: Gi£ sß hàm sŁ f(x) x¡c định tr¶n t“p I(a; b) ⊂ R và thỏa m¢n
đi•u ki»n:
• Với mọi x1; x2 2 I(a; b) và x1 < x2, ta đ•u có f(x1) ≤ f(x2) th… ta nói r‹ng f(x)
10
là mºt hàm đơn đi»u t«ng tr¶n I(a; b).
Đặc bi»t, khi øng với mọi cặp x1; x2 2 I(a; b) và x1 < x2, ta đ•u có f(x1) < f(x2)
th… ta nói r‹ng f(x) là mºt hàm đơn đi»u t«ng thực sự tr¶n I(a; b).
• Ngưæc l⁄i, n‚u với mọi x1; x2 2 I(a; b) và x1 < x2, ta đ•u có f(x1) ≥ f(x2) th…
ta nói r‹ng f(x) là mºt hàm đơn đi»u gi£m tr¶n I(a; b).
Đặc bi»t, khi øng với mọi cặp x1; x2 2 I(a; b) và x1 < x2, ta đ•u có f(x1) > f(x2)
th… ta nói r‹ng f(x) là mºt hàm đơn đi»u gi£m thực sự tr¶n I(a; b).
Nhœng hàm đơn đi»u t«ng thực sự tr¶n I(a; b) đưæc gọi là hàm đồng bi‚n tr¶n
I(a; b) và hàm đơn đi»u gi£m thực sự tr¶n I(a; b) đưæc gọi là hàm nghịch bi‚n tr¶n
I(a; b).
Định nghĩa 2: Gi£ sß f(x); g(x) là c¡c hàm li¶n tục tr¶n [a; b] và kh£ vi tr¶n (a; b).
Khi đó:
i) f(x) và g(x) đưæc gọi là có cùng t‰nh đơn đi»u n‚u f 0(x):g0(x) > 0.
ii) f(x) và g(x) đưæc gọi là kh¡c t‰nh đơn đi»u n‚u f 0(x):g0(x) < 0.
Trong chương tr…nh gi£i t‰ch, chúng ta đ¢ bi‚t đ‚n c¡c ti¶u chu’n đ” nh“n bi‚t
đưæc khi nào th… mºt hàm sŁ kh£ vi cho trước tr¶n kho£ng (a; b) là mºt hàm đơn
đi»u tr¶n kho£ng đó.
Sau đ¥y chúng ta s‡ dùng định lý Lagrange đ” chøng minh định lý v• đi•u ki»n
đı cıa t‰nh đơn đi»u cıa hàm sŁ. Đ¥y là mºt định lý r§t quan trọng trong chương
tr…nh gi£i t‰ch.
Định lý 1: Cho hàm sŁ y = f(x) có đ⁄o hàm tr¶n kho£ng (a; b).
a) N‚u f 0(x) > 0 với mọi x 2 (a; b) th… hàm sŁ y = f(x) đồng bi‚n tr¶n kho£ng đó.
b) N‚u f 0(x) < 0 với mọi x 2 (a; b) th… hàm sŁ y = f(x) nghịch bi‚n tr¶n kho£ng đó.
Chøng minh. L§y hai đi”m x1; x2(x1 < x2) tr¶n kho£ng (a; b). V… f(x) có đ⁄o
hàm tr¶n kho£ng (a; b) n¶n f(x) li¶n tục tr¶n [x1; x2] và có đ⁄o hàm trong kho£ng
(x1; x2). Áp dụng định lý Lagrange cho hàm sŁ y = f(x) tr¶n [x1; x2], khi đó tồn t⁄i
c 2 (x1; x2) sao cho
f(x2) – f(x1) = f 0(c)(x2 – x1):
a) N‚u f 0(x) > 0 tr¶n kho£ng (a; b) th… f 0(c) > 0, mặt kh¡c x2 – x1 > 0 n¶n
f(x2) – f(x1) > 0 hay f(x2) > f(x1), suy ra hàm f(x) đồng bi‚n tr¶n kho£ng (a; b).
b) N‚u f 0(x) < 0 tr¶n kho£ng (a; b) th… f 0(c) < 0, mặt kh¡c x2 – x1 > 0 n¶n
f(x2) – f(x1) < 0 hay f(x2) < f(x1), suy ra hàm f(x) nghịch bi‚n tr¶n kho£ng (a; b).
Định lý 2: Gi£ sß hàm sŁ y = f(x) có đ⁄o hàm tr¶n kho£ng (a;b). N‚u f 0(x) ≥ 0
(hoặc f 0(x) ≤ 0) và đflng thøc ch¿ x£y ra t⁄i mºt sŁ hœu h⁄n đi”m tr¶n kho£ng
11
(a; b) th… f(x) đồng bi‚n (hoặc nghịch bi‚n) tr¶n kho£ng đó.
Chøng minh. Th“t v“y, đ” đơn gi£n c¡ch l“p lu“n, gi£ sß r‹ng f0(x) ≥ 0 tr¶n
(a; b) và f0(x) = 0 t⁄i x1 2 (a; b) th… khi đó f(x) đồng bi‚n trong tłng kho£ng (a; x1)
và (x1; b) và li¶n tục trong (a; x1] và [x1; b) n¶n nó cũng đồng bi‚n trong (a; x1] và
[x1; b). Tł đó suy ra nó đồng bi‚n tr¶n c£ kho£ng (a; b).
Cơ sở cıa định lý Rolle dựa vào định lý cơ b£n nh§t cıa Weierstrass đŁi với hàm
li¶n tục khflng định r‹ng khi f li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] th… nó ph£i đ⁄t gi¡ trị lớn
nh§t và gi¡ trị nhỏ nh§t tr¶n đo⁄n đó và định lý Fermat v• đi”m cực trị cıa hàm
kh£ vi khflng định r‹ng n‚u hàm kh£ vi g(x) trong kho£ng (a; b) đ⁄t cực trị (cực
đ⁄i hoặc cực ti”u) t⁄i mºt đi”m trong kho£ng đó th… đ⁄o hàm t⁄i đi”m đó b‹ng 0.
1.3.6 Định lý Rolle và mºt sŁ mở rºng
Định lý 1 (Định lý Fermat) Cho hàm sŁ f(x) x¡c định li¶n tục trong kho£ng đóng
[a; b], khi đó n‚u f(x) đ⁄t cực trị t⁄i c 2 (a; b) và n‚u f(x) kh£ vi t⁄i c th… f0(c) = 0.
Định lý 2 (Định lý Rolle). Gi£ sß f là hàm li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] và có đ⁄o hàm
t⁄i mọi x 2 (a; b). N‚u f(a) = f(b) th… tồn t⁄i ‰t nh§t mºt đi”m c 2 (a; b) sao cho
f0(c) = 0.
Chøng minh. V… f li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] n¶n theo định lý Weierstrass hàm f
ph£i đ⁄t gi¡ trị cực đ⁄i và gi¡ trị cực ti”u tr¶n đo⁄n [a; b], tøc là tồn t⁄i c¡c đi”m
x1; x2 2 (a; b) sao cho
f(x1) = min
[a;b]
f(x) = m; f(x2) = max
[a;b]
f(x) = M:
Có hai kh£ n«ng:
i) m = M. Khi §y f(x) = const tr¶n đo⁄n [a; b], do đó f0(x) = 0 với mọi x 2 (a; b)
và c là đi”m b§t k… tr¶n kho£ng đó.
ii) m < M. Khi đó v… đi•u ki»n f(a) = f(b) n¶n ‰t nh§t mºt trong hai đi”m x1; x2
s‡ không trùng với c¡c đƒu mút cıa đo⁄n [a; b]. Gi£ sß x1 2 (a; b) , theo định lý
Fermat th… đ⁄o hàm b‹ng 0 t⁄i đi”m này.
Định lý đ¢ đưæc chøng minh xong.
Nh“n x†t 1: Định lý Rolle nói chung s‡ không cÆn đúng n‚u trong kho£ng (a; b)
có đi”m c mà t⁄i đó f0(c) không tồn t⁄i.
Chflng h⁄n, x†t hàm sŁ f(x) = 2 – p3 x2; x 2 [-1; 1]. D„ th§y f(x) thỏa m¢n c¡c
đi•u ki»n: f(x) li¶n tục tr¶n (-1; 1) và f(-1) = f(1). Ta x†t đ⁄o hàm f0(x) = – 2
3p3 x,
rª ràng t⁄i x0 = 0 2 (-1; 1) đ⁄o hàm không tồn t⁄i, n¶n hàm sŁ không thỏa m¢n
12
đı c¡c đi•u ki»n cıa định lý Rolle.
Nh“n x†t 2: Đi•u ki»n li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] đŁi với hàm f(x) cũng không th”
thay bởi đi•u ki»n f(x) li¶n tục trong kho£ng (a; b). Chflng h⁄n, x†t hàm
f(x) =
8<:
1 n‚u x = 0
x; n‚u 0 < x ≤ 1:
— đ¥y x = 0 là đi”m gi¡n đo⁄n. Khi đó, rª ràng không tồn t⁄i x0 2 (0; 1) đ”
f0(x0) = 0.
Nh“n x†t 3: Ý nghĩa h…nh học: N‚u c¡c đi•u ki»n cıa định lý Rolle đưæc thỏa
m¢n th… tr¶n đồ thị cıa hàm sŁ y = f(x); 8x 2 (a; b) tồn t⁄i đi”m M(c; f(c)); c 2 (a; b)
mà ti‚p tuy‚n t⁄i đó song song với trục hoành Ox.
H» qu£ 1: N‚u hàm sŁ f(x) có đ⁄o hàm tr¶n kho£ng (a; b) và phương tr…nh f(x) = 0
có n nghi»m ph¥n bi»t thuºc kho£ng (a; b) th… phương tr…nh f0(x) = 0 có ‰t nh§t
n – 1 nghi»m ph¥n bi»t thuºc kho£ng (a; b). (Phương tr…nh f(k)(x) = 0 có ‰t nh§t
n – k nghi»m ph¥n bi»t thuºc kho£ng (a; b), với k = 1; 2; : : : ; n).
Chøng minh. Gi£ sß phương tr…nh f(x) = 0 có n nghi»m ph¥n bi»t thuºc kho£ng
(a; b) đ¢ đưæc s›p thø tự x1 < x2 < ::: < xn. Khi đó ¡p dụng định lý Rolle cho
n – 1 đo⁄n [x1; x2]; [x2; x3]; :::; [xn-1; xn] th… phương tr…nh f0(x) = 0 có ‰t nh§t n – 1
nghi»m thuºc n – 1 kho£ng (x1; x2); (x2; x3); :::; (xn-1; xn). Gọi n – 1 nghi»m đó là
ξ1; ξ2; :::; ξn-1 th… ta có
f0(ξ1) = f0(ξ2) = ::: = f0(ξn-1) = 0:
Ti‚p tục ¡p dụng định lý Rolle cho n – 2 kho£ng (ξ1; ξ2); :::; (ξn-2; ξn-1) th… phương
tr…nh f00(x) = 0 có ‰t nh§t n – 2 nghi»m tr¶n kho£ng (a; b).
Ti‚p tục lý lu“n tr¶n, sau k bước phương tr…nh f(k)(x) = 0 có ‰t nh§t n – k
nghi»m ph¥n bi»t tr¶n kho£ng (a; b).
H» qu£ 2: Gi£ sß hàm sŁ f(x) li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] và có đ⁄o hàm tr¶n kho£ng
(a; b). Khi đó, n‚u phương tr…nh f0(x) = 0 có không qu¡ n – 1 nghi»m ph¥n bi»t
tr¶n kho£ng (a; b) th… phương tr…nh f(x) = 0 có không qu¡ n nghi»m ph¥n bi»t tr¶n
kho£ng đó.
Chøng minh. Gi£ sß phương tr…nh f(x) = 0 có nhi•u hơn n nghi»m ph¥n bi»t
tr¶n kho£ng (a; b), chflng h⁄n là n + 1 nghi»m, th‚ th… theo h» qu£ 1.1 phương tr…nh
f0(x) = 0 có ‰t nh§t n nghi»m thuºc kho£ng (a; b). Đi•u này tr¡i với gi£ thi‚t. V“y
phương tr…nh f(x) = 0 có không qu¡ n nghi»m tr¶n kho£ng (a; b).
H» qu£ 3: N‚u f0(x) > 0 (hoặc f0(x) < 0) với mọi x 2 (a; b), phương tr…nh f(x) = 0
có nghi»m x0 th… x0 là nghi»m duy nh§t.
13
Chøng minh. Gi£ sß ngưæc l⁄i cÆn x1 kh¡c x0 cũng là nghi»m cıa phương tr…nh
f(x) = 0. Khi đó, theo định lý Rolle, tồn t⁄i c 2 (x0; x1) (không m§t tŒng qu¡t gi£
sß x0 < x1) sao cho f0(c) = 0. Đi•u này m¥u thu¤n với gi£ thi‚t f0(x) > 0 với mọi
x 2 (a; b). V“y suy ra x0 là duy nh§t.
H» qu£ 4: N‚u f00(x) > 0 (hoặc f00(x) < 0) với mọi x 2 (a; b), th… phương tr…nh
f(x) = 0 có không qu¡ hai nghi»m.
Chøng minh. H» qu£ 1:4 đưæc suy trực ti‚p tł h» qu£ 1:2 và h» qu£ 1:3.
Ti‚p theo, ta x†t mºt mở rºng cıa định lý Rolle.
H» qu£ 5: Cho hàm sŁ f(x) thỏa m¢n đồng thời c¡c t‰nh ch§t sau đ¥y:
i) f(x) x¡c định và có đ⁄o hàm c§p n(n ≥ 1) li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b].
ii) f(x) có đ⁄o hàm c§p n + 1 trong kho£ng (a; b).
iii) f(a) = f0(a) = ::: = f(n)(a) = 0; f(b) = 0.
Khi đó tồn t⁄i d¢y đi”m b1; b2; :::; bn+1 ph¥n bi»t thuºc kho£ng (a; b) sao cho
f(k)(bk) = 0; k = 1; 2; : : : ; n + 1:
Chøng minh. Tł gi£ thi‚t f(a) = f(b) = 0, ¡p dụng định lý Rolle tồn t⁄i b1 2 (a; b)
sao cho f0(b1) = 0; k‚t hæp với đi•u ki»n f0(a) = 0, suy ra tồn t⁄i b2 2 (a; b1) ⊂ (a; b)
sao cho f00(b2) = 0. L⁄i k‚t hæp với ĐK f00(a) = 0 và sß dụng định lý Rolle ta có
f000(b3) = 0 với b3 2 (a; b2) ⊂ (a; b).
Ti‚p tục như v“y, đ‚n bước thø n, tồn t⁄i bn 2 (a; bn-1) ⊂ (a; b) sao cho f(n)(bn) =
0, k‚t hæp với đi•u ki»n f(n)(an) = 0 , suy ra tồn t⁄i bn+1 2 (a; bn) ⊂ (a; b) sao cho
f(n+1)(bn+1) = 0.
Như v“y tồn t⁄i d¢y đi”m ph¥n bi»t b1; b2; :::; bn+1 trong kho£ng (a; b) sao cho
f(k)(bk) = 0; k = 1; 2; : : : ; n + 1:
Ch‰nh nhờ nhœng h» qu£ này mà định lý Rolle trở thành mºt công cụ r§t m⁄nh
đ” gi£i to¡n, đặc bi»t là đŁi với d⁄ng to¡n v• gi£i phương tr…nh và ki”m chøng sŁ
nghi»m cıa phương tr…nh trong mºt kho£ng nào đó. C¡c øng dụng này s‡ đưæc
tr…nh bày chi ti‚t trong c¡c chương sau.
Định lý Rolle với nguy¶n hàm
Đ” chøng minh sự tồn t⁄i nghi»m cıa phương tr…nh, ta có th” sß dụng c¡c định lý
sau là d⁄ng ph¡t bi”u kh¡c cıa định lý Rolle.
Định lý 3: Cho hàm sŁ y = f(x) li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] và F(x) là mºt nguy¶n
hàm cıa f(x) trong đo⁄n đó. N‚u tồn t⁄i c¡c sŁ thực x1; x2 2 [a; b] với x1 < x2 sao
cho F(x1) = F(x2) th… phương tr…nh f(x) = 0 có nghi»m trong đo⁄n [x1; x2] (hay có
14
nghi»m trong đo⁄n [a; b]).
Chøng minh. Gi£ sß phương tr…nh f(x) = 0 vô nghi»m tr¶n đo⁄n [x1; x2]. V… f(x)
li¶n tục n¶n suy ra hoặc f(x) > 0, 8x 2 [x1; x2] hoặc f(x) < 0, 8x 2 [x1; x2].
N‚u f(x) > 0, 8x 2 [x1; x2] th… hàm sŁ F (x) đồng bi‚n tr¶n [x1; x2] tł đó suy ra
F (x1) < F (x2):
N‚u f(x) < 0, 8x 2 [x1; x2] th… hàm sŁ F (x) nghịch bi‚n tr¶n [x1; x2] tł đó suy ra
F (x1) > F (x2):
Như v“y, trong c£ hai trường hæp ta đ•u có F (x1) 6= F (x2), đi•u này tr¡i gi£
thi‚t là F (x1) = F (x2):
V“y phương tr…nh f(x) = 0 có nghi»m trong đo⁄n [x1; x2].
Ta ph¡t bi”u k‚t qu£ tr¶n dưới d⁄ng định lý tương đương sau đ¥y.
Định lý 4: Gi£ sß hàm sŁ y = f(x) li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b]. N‚u tồn t⁄i c¡c sŁ thực
x1; x2 2 [a; b] mà
x2
Zx1
f(x)dx = 0 th… phương tr…nh f(x) = 0 có nghi»m trong đo⁄n
[x1; x2].
Chøng minh. Gi£ sß f(x) = 0 không có nghi»m x 2 (x1; x2). Gọi F (x) là mºt
nguy¶n hàm cıa f(x). V… f(x) li¶n tục tr¶n [x1; x2] n¶n f(x) > 0; 8x 2 (x1; x2) hoặc
f(x) < 0; 8x 2 (x1; x2):
• N‚u f(x) > 0; 8x 2 (x1; x2) , F 0(x) = f(x) > 0; 8x 2 (x1; x2) th… F (x) t«ng tr¶n
[x1; x2] ) F (x1) < F (x2).
V“y
x2
Z

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
x1x1
• N‚u f(x) < 0; 8x 2 (x1; x2) , F 0(x) = f(x) < 0; 8x 2 (x1; x2) th… F (x) gi£m tr¶n
[x1; x2] ) F (x1) > F (x2).
x2
x2

f(x)dx > 0, m¥u thu¤n với gi£ thi‚t
x2
Zf(x)dx = 0
V“y
Rx1
f(x)dx < 0, m¥u thu¤n với gi£ thi‚t
Zx1
f(x)dx = 0.
Như v“y trong c£ hai trường hæp đ¢ x†t đ•u m¥u thu¤n với gi£ thi‚t
x2
Zx1
f(x)dx = 0.
Chøng tỏ phương tr…nh f(x) = 0 có nghi»m x 2 [x1; x2].
Định lý 5: Cho hai sŁ thực a; b tr¡i d§u (a < 0 < b). Gi£ sß f(x) là hàm sŁ li¶n
tục, không đŒi d§u tr¶n [a; b] (có th” f(x) = 0 t⁄i mºt sŁ hœu h⁄n đi”m).Khi đó
tr¶n [a; b] phương tr…nh F (x) =
xZ0
f(t)dt = 0 có nghi»m duy nh§t x = 0.
Chøng minh. Ta s‡ chøng minh đ⁄i di»n khi f(x) li¶n tục và không ¥m tr¶n đo⁄n
15
[a; b]: Do F (x) =
xZ0
f(t)dt n¶n F (x) là mºt nguy¶n hàm cıa f(x) tr¶n [a; b].
• N‚u x = 0 th… F (0) =
0Z0
f(t)dt = 0 ) x = 0 là nghi»m cıa phương tr…nh
F (x) = 0:
• N‚u x 6= 0 và x 2 [a; b] th… tł f(x) ≥ 0; 8x 2 [a; b], suy ra F (x) t«ng tr¶n
[a; b] ) F (x) 6= F (0) = 0, tøc là F (x) = 0 không có nghi»m x 6= 0 tr¶n [a; b].
V“y tr¶n đo⁄n [a; b], phương tr…nh F (x) = 0 có nghi»m duy nh§t x = 0.
Định lý 6: Cho ba sŁ thực a; b; c thỏa m¢n a ≤ c ≤ b; a < b. Gi£ sß f(x) là hàm
sŁ li¶n tục và không đŒi d§u tr¶n [a; b] (có th” f(x) = 0 t⁄i mºt sŁ hœu h⁄n đi”m).
Khi đó tr¶n đo⁄n [a; b] ta có F (x) =
xZ0
f(t)dt = 0 có nghi»m duy nh§t x = c 2 [a; b]:
Định lý Rolle tr¶n kho£ng vô h⁄n
Trong mục này, ta x†t mở rºng cıa định lý Rolle ra kho£ng vô h⁄n. Cơ sở cıa
c¡c mở rºng này là dựa vào định lý Bolzano – Cauchy khflng định r‹ng mi•n gi¡ trị
cıa hàm li¶n tục tr¶n đo⁄n [a;b] l§p đƒy c¡c gi¡ trị trong đo⁄n [min
[a;b]
f(x); max
[a;b]
f(x)].
Định lý 7: Gi£ sß hàm sŁ f(x) li¶n tục tr¶n [a; +1), có đ⁄o hàm trong (a; +1) và
lim
x!+1
f(x) = f(a). Khi đó, tồn t⁄i c 2 (a; +1) sao cho f0(c) = 0.
Chøng minh. N‚u f(x) = f(a) với mọi x > a th… l§y c là mºt sŁ b§t kỳ lớn hơn
a. Gi£ sß tồn t⁄i b > a sao cho f(b) 6= f(a), chflng h⁄n f(b) > f(a). Gọi µ là mºt
sŁ thực b§t kỳ thuºc (f(a); f(b)), theo định lý Bolzano – Cauchy, tồn t⁄i α 2 (a; b)
sao cho f(α) = µ. V… lim
x!+1
f(x) = f(a) < µ n¶n tồn t⁄i d > b sao cho f(d) < µ.
Do f(x) li¶n tục tr¶n [a; +1) n¶n theo định lý Bolzano – Cauchy tồn t⁄i β 2 (b; d)
sao cho f(β) = µ = f(α), do đó theo định lý Rolle, tồn t⁄i c 2 (α; β) sao cho f0(c) = 0.
1.3.6 Định lý Lagrange và định lý Cauchy
Ti‚p theo ta x†t mºt sŁ định lý li¶n quan m“t thi‚t với định lý Rolle.
Định lý 1:(Định lý Lagrange). Gi£ sß f là hàm li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] và có đ⁄o
hàm t⁄i mọi đi”m trong kho£ng (a; b). Khi đó tồn t⁄i ‰t nh§t mºt đi”m c 2 (a; b)
sao cho
f(b) – f(a) = f0(c)(b – a);
hay
f0(c) = f(b) – f(a)
b – a : (1.1)
16
Chøng minh. Ta x†t hàm phụ

F(x) = f(x) – λx;
trong đó sŁ λ đưæc chọn sao cho F(a) = F(b), tøc là sao cho
(1.2)

f(a) – λa = f(b) – λb:
Đ” có đi•u đó ch¿ c§n l§y
λ = f(b) – f(a)
b – a : (1.3)
Rª ràng hàm F(x) li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b], có đ⁄o hàm trong kho£ng (a; b) và
F(a) = F(b), do đó theo định lý Rolle tồn t⁄i c 2 (a; b) sao cho F0(c) = 0. Tł (1.2)
ta có F0(x) = f0(x) – λ, do đó
F0(c) = 0 , f0(c) – λ = 0 , f0(c) = λ:
Thay gi¡ trị λ tł (1.3) vào ta có f0(c) = f(b) – f(a)
b – a , hay
f(b) – f(a) = f0(c)(b – a):
Công thøc (1.1) đưæc gọi là công thøc sŁ gia hœu h⁄n Lagrange.
Nh“n x†t 1: Ta đ¢ thu đưæc định lý Lagrange như là mºt h» qu£ cıa định lý
Rolle. Th‚ nhưng ch‰nh định lý Rolle (v• d⁄ng bi”u thøc) l⁄i là mºt trường hæp
ri¶ng cıa định lý Lagrange (øng với gi£ thi‚t f(a) = f(b)).
Nh“n x†t 2: Ý nghĩa h…nh học: N‚u hàm f(x) thỏa m¢n đƒy đı c¡c đi•u ki»n cıa
định lý Lagrange th… tr¶n đồ thị cıa hàm sŁ y = f(x) ph£i tồn t⁄i ‰t nh§t mºt đi”m
M(c; f(c)) sao cho ti‚p tuy‚n với đồ thị t⁄i đi”m đó song song với d¥y cung AB, ở
đó A(a; f(a)) và B(b; f(b)).
Định lý 2:(Định l‰ Cauchy) Gi£ sß c¡c hàm f; g li¶n tục tr¶n đo⁄n [a; b] và có đ⁄o
hàm t⁄i mọi đi”m trong kho£ng (a; b), ngoài ra g0(x) 6= 0 với mọi x 2 (a; b). Khi đó
tồn t⁄i ‰t nh§t mºt đi”m c 2 (a; b) sao cho

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
f(b) – f(a)
g(b) – g(a) =
f0(c)
g0(c):
(1.4)

Chøng minh. Trước khi chøng minh định lý ta nh“n x†t r‹ng công thøc (1.4)
luôn có nghĩa, tøc là g(b) 6= g(a). Th“t v“y, n‚u g(b) = g(a) th… hàm sŁ g(x) thỏa
m¢n đi•u ki»n cıa định lý Rolle và do đó tồn t⁄i c 2 (a; b) sao cho g0(c) = 0, nhưng
đi•u này tr¡i với gi£ thi‚t g0(x) 6= 0; 8x 2 (a; b). B¥y giờ ta x†t hàm phụ
F(x) = f(x) – λg(x); (1.5)
17
trong đó sŁ λ đưæc chọn sao cho F(a) = F(b), tøc là
f(a) – λg(a) = f(b) – λg(b):
Đ” có đi•u đó ta ch¿ cƒn l§y
λ = f(b) – f(a)
g(b) – g(a) : (1.6)
Hàm F(x) thỏa m¢n đi•u ki»n cıa định lý Rolle, do đó tồn t⁄i c 2 (a; b) sao cho
F0(c) = 0. Mặt kh¡c tł (1.5) ta có F0(x) = f0(x) – λg0(x) n¶n

F0(c) = 0 , f0(c) – λg0(c) = 0 , λ =
g0(c) :
Tł (1.6) và (1.7) ta thu đưæc
(1.7)

f0(c)
f(b) – f(a)
g(b) – g(a) =
f0(c)
g0(c) :
Công thøc (1.4) đưæc gọi là công thøc sŁ gia hœu h⁄n Cauchy.
Nh“n x†t 3: Định lý Lagrange là trường hæp ri¶ng cıa định lý Cauchy với gi£
thi‚t g(x) = x.
H» qu£ 1: N‚u f0(x) > 0 (hoặc f0(x) < 0) với mọi x 2 (a; b) th… phương tr…nh
f(x1) = f(x2) , x1 = x2, với mọi x1; x2 2 (a; b):
Chøng minh. V… f(x) thỏa m¢n c¡c đi•u ki»n cıa định lý Lagrange n¶n theo định
lý Lagrange, tồn t⁄i c 2 (x1; x2) ⊂ (a; b) sao cho
f0(c)(x2 – x1) = f(x2) – f(x1):
Khi đó, ta có
f(x1) = f(x2)
, f(x2) – f(x1) = 0
, f0(c)(x2 – x1) = 0
, x2 = x1 do f0(c) > 0:
V¥y ta có đi•u ph£i chøng minh.
H» qu£ 2: N‚u f0(x) – 1 > 0 (hoặc f0(x) – 1 < 0) với mọi x1; x2 2 (a; b) th… phương
tr…nh
f(x1) – x1 = f(x2) – x2 , x1 = x2:
Chøng minh. H» qu£ 1.7 xem như h» qu£ trực ti‚p cıa h» qu£ 1.6 b‹ng c¡ch
thay hàm f(x) bởi hàm g(x) = f(x) – x:
H» qu£ 3: N‚u f0(x) + 1 6= 0 và f(x) ⊂ (a; b) với mọi x 2 (a; b) th… phương tr…nh
f(f(x)) = x , f(x) = x:
18
TŒng qu¡t
f(:::f(x))
| {z }
n lƒn f
= x , f(x) = x; n ≥ 1; n 2 N:
Chøng minh. Ta có phương tr…nh
f(f(x)) = x , [f(f(x)) – f(x)] + [f(x) – x] = 0:
V… f(x) ⊂ (a; b) (gi£ thi‚t x < f(x)) n¶n theo định lý Lagrange tồn t⁄i c 2 (x; f(x))
sao cho
f0(c)[f(x) – x] = f(f(x)) – f(x):
Phương tr…nh (1) và (2) tương đương với
f0(c)[f(x) – x] = -[f(x) – x]
, [f(x) – x][f0(c) + 1] = 0:
V… f0(c)+1 kh¡c 0 n¶n phương tr…nh tr¶n tương đương với f(x)-x = 0 hay f(x) = x:
B‹ng quy n⁄p, ta chøng minh đưæc trường hæp tŒng qu¡t.
H» qu£ 4: N‚u f0(x) > 0 với mọi x 2 (a; b) th… f(x) ≥ f(y) , x ≥ y với mọi
x; y 2 (a; b): N‚u f0(x) < 0 với mọi x 2 (a; b) th… f(x) ≥ f(y) , x ≤ y với mọi
x; y 2 (a; b):
Chøng minh. Gi£ sß ngưæc l⁄i x < y, suy ra tồn t⁄i c 2 (x; y) sao cho
f0(c) = f(y) – f(x)
y – x
;
do f(y) – f(x) ≤ 0 và y – x > 0. Suy ra f0(c) < 0 (vô lý). V“y x ≥ y.
Tương tự, ta có đi•u ph£i chøng minh.
1.3.7 H» ho¡n vị vÆng quanh
Định nghĩa: Gi£ sß f(x); g(x) là c¡c hàm li¶n tục tr¶n [a; b] và kh£ vi tr¶n (a; b).
Khi đó h» phương tr…nh
8>><>>:
f(x1) = g(x2)
· f
(xn) = g(x1):
đưæc gọi là h» ho¡n vị vÆng quanh n bi‚n.
Định lý: Gi£ sß f(x); g(x) là c¡c hàm li¶n tục tr¶n [a; b] và kh£ vi tr¶n (a; b). X†t
h» phương tr…nh
8>><>>:
f(x1) = g(x2) (1)
:::
f(xn) = g(x1) (n):
19
a) N‚u f và g cùng t‰nh đơn đi»u và n‚u h» có nghi»m th… c¡c nghi»m
x1 = x2 = · · · = xn:
b) N‚u f và g kh¡c t‰nh đơn đi»u và n‚u n l· th… x1 = x2 = · · · = xn, cÆn n‚u n
chfin th… ta có x1 = x3 = · · · = xn-1 và x2 = x4 = · · · = xn:
Chøng minh
a) Gi£ sß h» có nghi»m a < x1 < x2 < · · · < xn < b (n 2 N∗). Do g0(x) kh¡c 0 n¶n
khi đó theo Cauchy, tồn t⁄i c 2 (x1; x2) sao cho

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
A ==
f(x2) – f(x
f0(c)1)
g0(c)g(x2) – g(x1) ; (i)
1)

=
f(x2) – f(xf(x1) – f(xn); (ii):
Tł (i) suy ra A > 0, tł (ii) suy ra A < 0 (vô lý). V“y h» không có nghi»m ph¥n
bi»t, hay h» có nghi»m trùng nhau.
Gi£ sß (không m§t t‰nh tŒng qu¡t) x1 = x2. Khi đó theo Định lý Cauchy, ta có
f0(c)[g(x2) – g(x1)] = g0(c)[f(x2) – f(x1)] với c 2 (a; b):
Suy ra
0 = g0(c)[g(x3) – g(x2)] ) x2 = x3; · · · · ; xn-1 = xn:
V“y x1 = x2 = · · · = xn.
b) N‚u n l· th… tương tự như (a) ta có
A = f0(c)
g0(c) =
f(x2) – f(x1)
g(x2) – g(x1) ; (i)
=
g(x3) – g(x2)
g(x2) – g(x1); (iii):
Tł (i) suy ra A < 0, tł (iii) suy ra A > 0 đi•u này vô l‰. L“p lu“n như tr¶n ta cũng

x1 = x2 = · · · = xn:
X†t n chfin: Gi£ sß x1 = x2, tương tự như tr¶n ta cũng suy ra x2 = x3 = · · · = xn
(vô l‰ v… f; g kh¡c t‰nh đơn đi»u và n không l·). Như v“y trong trường hæp n chfin
th… n‚u h» có nghi»m th… c¡c nghi»m không li•n nhau.
Không m§t t‰nh tŒng qu¡t gi£ sß x1 = x3. Khi đó theo Định lý Cauchy, tồn t⁄i
c 2 (a; b) sao cho
f0(c)[g(x3) – g(x1)] = g0(c)[f(x3) – f(x1)]

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Leave a Comment