SKKN Vận dụng sáng tạo kiến thức giải thích vào bài toán số học, tổ hợp trong bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia môn toán
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Số học và Tổ hợp là hai nội dung Toán học tổng hợpmà các thao tác
giải quyết những bài toán thuộc hai nội dung này bao gồm nhiều phân môn
của Toán học nói chung (Đại số, Số học, Giải tích, Hình học). Bài toán số học
và bài toán tổ hợp thường xuyên có mặt trong hầu hết các kì thi chọn học sinh
giỏi Toán với tư cách là câu “phân loại” học sinh, bởi vậy đây là nội dung rất
quan trọng trong chương trình Toán THPT chuyên và trong các đợt tập huấn
các đội tuyển học sinh giỏi. Các “kỹ thuật”, thao tác tư duy cho loại toán này
có thể bắt gặp (và cũng được ứng dụng lại) trong việc giải quyết nhiều bài
toán của thực tiễn. Một điều thực tế đang diễn ra là tài liệu (tiếng Việt) về
toán tổ hợp và số học chuyên biệt (cho từng chủ đề) còn ít, không đầy đủ và
học sinh khó tiếp cận. Đậy là yếu tố cản trở lớn đối với quá trình tự học của
học sinh, nhất là đối với những học sinh tham gia các đội tuyển học sinh giỏi
môn Toán.
Bài toán số học và bài toán tổ hợp khá đa dạng về nội dung và hình
thức và cũng không có một thuật toán rõ ràng nào cho chúng. Trong quá trình
nghiên cứu và giảng dạy các chuyên đề về số học, tổ hợp cho học sinh chuyên
Toán và bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi, tôi nhận thấy có nhiều bài
toán có thể vận dụng một cách linh hoạtkiến thức về giải tích và cao hơn là
sáng tạo một số ý tưởng kiểu “giải tích”vào giải quyết bài toán có hiệu quả
hơn so với cách xử lý chỉ dùng kiến thức đơn thuần của phân môn số học hay
tổ hợp. Như vậy bên cạnh việc phân loại và định hướng giải các kỹ thuật giải
3
thì việc liên kết sử dụng kiến thức thuộc mảng kháclà một cách giúp người
dạy và người học có thể dễ dàng hơn trong việc tiếp cận và tìm lời giải bài
toán. Đây chính là nguồn gốc ý tưởng của báo cáo mà tác giả đã triển khai
dạy trong nhiều năm. Bên cạnh việc hệ thống một số kiến thức cơ bản về giải
tích, tác giả đưa sẽ ra một số giải pháp tiếp cận sáng tạo theo kiểu “giải tích”
cho bài toán số học và tổ hợp thông qua các ý tưởng hoặc bổ đề đúc kết được.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
Trong phần này, báo cáo sẽ trình bày những nội dung sau:
Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
– Nêu thực trạng trong việc làm toán số học và tổ hợp.
– Một số nội dung giải tích trong chương trình Toán THPT.
– Tóm tắt một số nội dung kiến thứcvề giải tích.
Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
Phần này trong báo cáo trình bày các ý tưởng cụ thể sử dụng giải tích
vào bài toán số học, vào bài toán tổ hợp nhằm định hướng tư duy, tiếp cận lời
giải; làm rõ các định hướng thông qua phân tích và hướng dẫn giải các bài
toán trong một số đề thi Olympic các cấp.
Các giải pháp trình bày trong báo cáo bao gồm:
Vận dụng sáng tạo kiến thức giải tích vào bài toán số học và tổ hợp với
ba giải pháp cụ thể cho từng phân môn:
– Sử dụng giới hạn.
– Sử dụng tính liên tục.
– Sử dụng đạo hàm.
Điểm mới và sáng tạo của sáng kiến là:
– Sử dụng giải tích trong bài toán chưa có yếu tố giải tích.
4
– Thể hiện tính “liên kết, liên môn” trong các phân môn của Toán
học.
– Cung cấp giải pháp đặc biệt trong việc giải các bài toán số học hay
tổ hợp bên ngoài phạm vi của phân môn số học, tổ hợp.
– Sáng tạo một số bổ đề mới(trang 13, trang 48) thể hiện góc nhìn
của giải tích vào trong số học, tổ hợp. Đây là điểm nổi bật nhất của
báo cáo và những bổ đề này theo ý kiến chủ quan của tác giả, chúng
rất hữu hiệu trong nhiều bài toán Olympic.
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
1.1. Thưc trạngtrong giải toán số học, tô hơp
Bài toán số học hay tổ hợpthường đòi hỏi năng lực tư duy tổng hợp để
giải quyết, các kiến thức cần sử dụng của mỗi phân môn thường ở phạm vi
rộng. Điều này tạo ra những “trở ngại” nhất định đối với đa số người giải toán
trong quá trình tìm kiếm lời giải. Nguồn tài liệu hiện nay về số học và về tổ
hợp chủ yếu là tài liệu trực tuyến, tuy phong phú về số lượng nhưng phần
lớnbằng tiếng nước ngoài, trình bày theo những hệ thống lí thuyết chung,
trình bày các phân môn của Toán hoàn toàn độc lập, riêng rẽ. Trong quá
trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tác giả cho rằng bên cạnh việc cung cấp
được “cái tổng quan” về các kỹ thuật thì việc hình thành cách phương pháp
hay kỹ thuật liên kết các phân môn của toán vào giải quyết vấn đề sẽ giúp học
sinh không những tiếp cận được cách giải hay cho bài toán mà còn thấy được
tính thống nhất của Toán. Trong báo cáo này, tác giả hy vọng sẽ giảm bớt
được một số hạn chếcủa thực tại đã nêu.
1.2.Nội dung giải tích trong chương trình Toán THPT
5
Mục tiêu của phần này là thống nhất cách hiểu về bộ môn giải tích và
phương pháp giải tích cho toàn bộ những trình bày phía sau của báo cáo.
Trong “Từ điển Tiếng Việt” (Hoàng Phê chủ biên, NXB Đà Nẵng, năm
1997), trang 373 viết “Giải tích Toán học là ngành toán học nghiên cứu các
hàm số, giới hạn, phép tính vi phân, tích phân, v.v”. Ở chương trình Toán
THPT, phân môn Giải tích bắt đầu hình thành và phát triển với các chủ đề cụ
thể như sau:
1- Ánh xạ, hàm số.
2- Dãy số và giới hạn dãy số.
3- Giới hạn hàm số.
4- Tính liên tục của hàm số.
5- Tính khả vi của hàm số.
6- Nguyên hàm, tích phân.
Theo đó, giải tích toán học (mathematical analysis) có vai trò rất quan
trọng trong chương trình Toán THPT chuyên sâu, trong đó một “phép toán cơ
bản” rất đặc trưng của nó là “phép lấy giới hạn”, do đó các yếu tố mà nó
nghiên cứu cũng mang tính “động” nhiều hơn. Điều này dẫn đến việc nhiều
bài toán nếu giải quyết theo các cách “tĩnh” (kiểu đại số) khó thành công thì
phương pháp giải tích có thể có hiệu quả hơn.
Trong báo cáo này thể hiện việc vận dụng sáng tạomột số mạch kiến
thức giải tích, gọi tắt là phương pháp giải tíchvào hai phân môn Số học và Tổ
hợp với ba giải pháp chính, đó là dùng giới hạn, dùng tính liên tục và dùng
đạo hàm.
1.3. Tom tăt một số nội dung kiến thưc vê giải tích (liên quan tới báo cáo)
1.3.1 – Ánh xạ và hàm số
6
a) Định nghĩa ánh xạ: Một ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy
tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x thuộc X với một và chỉ một phần tử thuộc
tập Y . Phần tử này được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là
f x ( ).
+ Ánh xạ f là đơn ánh nếu với mọi a b , phân biệt thuộc X thì
f a f b ( ) ( ).
+ Ánh xạ f là toàn ánh nếu với mỗi y Y đều tồn tại x X mà
f x y ( ) = .
+ Ánh xạ f là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.
b) Định nghĩa hàm số: Cho tập hợp khác rỗng D . Hàm số f xác định
trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D với một và chỉ một số kí
hiệu f x ( ).
Như vậy hàm số f chính là một ánh xạ từ tập con D của vào .
Bên cạnh việc nghiên cứu tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của hàm số f thì
người ta cũng quan tâm đến các tính chất khác của hàm số f . Trong số đó
đặc biệt hay dùng tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính liên tục, tính khả vi, tính
khả tích của hàm số.
Xét K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng con của D :
+ Hàm số f đồng biến (tăng ngặt) trên K nếu với mọi x x K 1 2 , thì
x x f x f x 1 2 1 2 ( ) ( ).
+ Hàm số f nghịch biến (giảm ngặt) trên K nếu với mọi x x K 1 2 , thì
x x f x f x 1 2 1 2 ( ) ( ).
+ Hàm số f không đổi trên K nếu với mọi x x K 1 2 , thì f x f x ( 1 2 )= ( ).
1.3.2 – Dãy sốvà giới hạn dãy số
a) Dãy số là một hàm số u từ M vào , trong đó
M n =1;2;3;…; (cho dãy số hữu hạn), hoặc M = (cho dãy số vô
hạn bắt đầu từ chỉ số 0), hoặc M = * (cho dãy số vô hạn bắt đầu từ chỉ số 1).
7
Với dãy số u M : → thường kí hiệu là (un) với u u n n = ( ) là số hạng trong
dãy.
b) Xét dãy số vô hạn bắt đầu từ chỉ số 1 là (un) (các trường hợp khác xét
tương tự):
+ Dãy (un)gọi là tăng (tăng ngặt) nếu u u n n n +1 , *. Trong trường
hợp u u n n n +1 , * ta nói dãy (un) tăng không nghiêm ngặt.
+ Dãy (un) gọi là giảm (giảm ngặt) nếu u u n n n +1 , *. Trong
trường hợp u u n n n +1 , * ta nói dãy (un) giảm không nghiêm ngặt.
+ Dãy (un) gọi là tuần hoàn nếu tồn tại T * mà u u n n T n + = , * .
+ Dãy (un) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số A mà u A n n , *.
+ Dãy (un) gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số a mà u a n n , *.
+ Dãy (un) gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
c) Định nghĩa giới hạn của dãy số:
* lim
n
u L = (Với mỗi 0, tồn tại N N = ( ) * mà u L n N n – , ).
* lim
n
u = + (Với mỗi A 0, tồn tại N N A = ( ) * mà u A n N n , ).
* lim
n
u = - (Với mỗi A 0, tồn tại N N A = ( ) * mà u A n N n , ).
d) Một số định lý quan trọng về giới hạn của dãy số:
* Tính chất: Giả sử lim
n
u L = và lim
n
v M = và c là một hằng số. Khi đó:
lim(u v L M n n = ) , lim(u v LM n n) = ,
lim(cu cL n) = , lim n
n
u L
v M
= (nếu M 0),
lim
n
u L = , lim 3 u L n = 3 ,
lim
n
u L = nếu L 0.
* Cấp số nhân lùi vô hạn:
– Nếu q 1 thì lim 0 qn = .
8
– Dãy số (un)là cấp số nhân với công bội q thỏa mãn q 1 thì
1
1 2 … …
n 1
u
u u u
q
+ + + + =
–
.
* Tiêu chuẩn Cauchy: Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy
(hay dãy cơ bản).
* Tiêu chuẩn Weierstrass: Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
* Định lý kẹp: Xét các dãy số (u v w n n n ), , ( ) ( ).
– Nếu
n n n
u v w với n đủ lớn và lim lim
n n
u w L = = thì lim
n
v L = .
– Nếu
n n
u v với n đủ lớn và lim
n
u = + thì lim
n
v = + .
– Nếu
n n
v w với n đủ lớn và im
n
w = - thì lim
n
v = - .
1.3.3 – Giới hạn hàm số
a) Định nghĩa:
* Giả sử (a b ; )là khoảng chứa x0 và hàm số f x ( ) xác định trên (a b x ; \ ) 0.
Ta nói ( )
0
lim
x x
f x L
→
= nếu với mọi cách chọn dãy số (xn) trong (a b x ; \ ) 0
mà
lim n 0
n
x x
→+
= đều có lim ( n)
n
f x L
→+
= .
Nói cách khác: ( )
0
lim
x x
f x L
→
= khi và chỉ khi
– – 0, 0: , x x x x f x L 0 0 ( ) .
* Giả sử (a b ; ) là khoảng chứa x0 và hàm số f x ( ) xác định trên (a b x ; \ ) 0.
Ta nói ( )
0
lim
x x
f x
→
= + nếu với mọi cách chọn dãy số (xn) trong (a b x ; \ ) 0
mà
lim n 0
n
x x
→+
= đều có lim ( n)
n
f x
→+
= + .
Nói cách khác: ( )
0
lim
x x
f x
→
= + khi và chỉ khi
– M x x x x f x M 0, 0: , 0 0 ( ) .
Ta cũng có ( ) ( ( ))
0 0
lim lim
x x x x
f x f x
→ →
= - – = + .
9
* Các định nghĩa khác lim ( )
x
f x L
→+
= , lim ( )
x
f x L
→-
= , lim ( )
x
f x
→+
= … được
phát biểu tương tự.
b) Tính chất về giới hạn của hàm số:
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng
tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn của chúng tại điểm đó (nếu các giới
hạn thành phần này tồn tại và trong trường hợp thương thì giới hạn của mẫu
phải khác không).
1.3.4 – Hàm số liên tục
a) Định nghĩa:
* Hàm số f x ( ) xác định trên khoảng (a b ; ) được gọi là liên tục tại điểm
x a b 0 ( ; ) nếu ( ) ( )
0
lim 0
x x
f x f x
→
= .
Trong trường hợp ngược lại ta nói f x ( ) gián đoạn tại x0 .
* Hàm số f x ( ) liên tục trên (a b ; ) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc (a b ; ).
Hàm f x ( ) liên tục trên a b ; ) nếu nó liên tục trên (a b ; ) và lim ( ) ( )
x a
f x f a
+
→
= .
* Các trường hợp còn lại: Hàm f x ( ) liên tục trên (a b a b ; , ; được định
nghĩa tương tự.
b) Tính chất:
– Các hàm số sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.
– Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là hàm
số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu thức tại điểm
đó khác 0).
– Nếu hàm g x ( ) liên tục tại x0 và f x ( ) liên tục tại g x ( 0) thì hàm hợp
f g x ( ( )) liên tục tại x0 .
– Hàm số f x ( ) liên tục trên đoạn a b ; thì có giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất trên đoạn này.
10
Định lý Bolzano-Cauchy (định lý giá trị trung gian)
– Nếu hàm số f x ( ) liên tục trên đoạn a b ; và f a f b ( ). 0 ( ) thì tồn
tại c a b ( ; )mà f c ( ) = 0.
– Nếu f x ( ) liên tục trên đoạn a b ; thì nó nhận mọi giá trị nằm giữa
f a f b ( ), ( ). Nói cách khác: Nếu f x ( ) liên tục trên đoạn a b ; và có giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn a b ; tương ứng là M M 1 2 , thì phương
trình f x m ( ) = có nghiệm x a b ; khi và chỉ khi M m M 2 1 .
1.3.5 – Tính chất của hàm số khả vi
a) Định nghĩa đạo hàm tại điểm:
Giả sử hàm số f x ( ) xác định trên khoảng (a b ; ) và x a b 0 ( ; ). Giới
| hạn hữu hạn (nếu có) | được gọi là đạo hàm của tại |
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
→ x x
– –
f x ( ) điểm
x0 và kí hiệu f x / ( 0) hoặc là / ( )
0
f x
x x =
. Khi f x ( ) có đạo hàm tại
điểm
x0 người ta cũng nói nó khả vi tại điểm x0 .
Nhận xét: Nếu f x ( ) khả vi tại x0 thì nó liên tục tại x0 , tuy nhiên chiều
ngược lại chưa chắc đã đúng.
b) Một số định lý giá trị trung bình:
Bổ đề Fermat:Nếu hàm số f x ( ) có đạo hàm trên (a b ; ) và x a b 0 ( ; ) là một
điểm cực trị của f x ( ) thì f x / ( 0) = 0.
Định lý Lagrange:Nếu hàm số f x ( ) liên tục trên đoạn a b ; và có đạo hàm
| trên khoảng thì tồn tại mà |
(a b ; ) c a b ( ; )f c / ( ) f b f a ( ) ( )
b a
–
=
–
.
Định lý Rolle: Nếu hàm số f x ( ) liên tục trên đoạn a b ; và có đạo hàm trên
khoảng (a b ; ) và f b f a ( ) = ( ) thì tồn tại c a b ( ; ) mà f c / ( ) = 0 .
11
c) Quy tắc L’Hopital:Xét U là một lân cận của x0 và f x g x ( ), ( )là hai hàm
số liên tục trên U và có đạo hàm trên U x \ 0 sao cho f x g x ( 0 0 )= = ( ) 0,
( )
0 ( )
/ /
lim
x x
f x
L
→ g x
=
| . Khi đó | . |
( )
x x lim0 ( )
f x
L
→ g x
= d) Tính đơn điệu và đạo hàm và vấn đề số nghiệm của phương trình:
* Nếu f x x a b / ( ) 0, ; ( ) và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thì
f x ( ) đồng biến (tăng ngặt) trên (a b ; ).
Nếu f x x a b / ( ) 0, ; ( ) và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thì
f x ( ) nghịch biến (giảm ngặt) trên (a b ; ).
* Nếu f x ( ) đơn điệu trên (a b ; )thì:
– Phương trình f x m ( )= có tối đa một nghiệm trên khoảng (a b ; ).
– Xảy ra f u f v ( ) = ( ) (với u v a b , ; ( )) khi và chỉ khi u v = .
* Giả sử hàm số f x ( ) có đạo hàm trên (a b ; ). Nếu f x / ( ) có đúng k
nghiệm trên (a b ; )thì f x ( ) có tối đa k +1 nghiệm trên khoảng (a b ; ).
12
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
2.1. Vận dụng sáng tạo kiến thưc giải tích vào bài toán số học
2.1.1 – Vận dụng giới hạn trong bài toán số học
Trước hết ta phát biểu và chứng minh bốn bổ đề quan trọng, trong đó
Bô đê 1 và 2 nói về việc chuyển đổi qua lại giữa giới hạn và bất đẳng thức,
Bô đê 3 và 4 là những tính chất đặc biệt của dãy số nguyên khi kết hợp với
giới hạn.
Bô đê 1. Xét dãy số thực (un)
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT
Hoặc xem thêm các tài liệu khác của môn hóa