Bài toán mũ và logarit trong các đề thi năm 2020

Bài toán mũ và logarit trong các đề thi năm 2020

Xem thêm Nguyên Hàm – Tích Phân trong đề thi 2020

Ví dụ 1. [Chuyên KHTN năm 2020] Cho $ m$ là tham số thực. Phương trình $ 4^x-(m+4)\cdot 2^x+2=0$ có hai nghiệm thực $ x_1,x_2 $ thỏa mãn $ (x_1+2)(x_2+2)=4$. Tính giá trị của $ m$.

Hướng dẫn. Đặt $ t=2^x$, điều kiện $ t>0$ ta được phương trình bậc hai $$ t^2-(m+4)t+2=0 $$ Theo định lí Viét ta có $$ \begin{cases}
t_1+t_2=m+4,\\t_1\cdot t_2=2.
\end{cases}$$ Suy ra $$ 2=2^{x_1}\cdot 2^{x_2} =2^{x_1+x_2}$$ nên có $ x_1+x_2=1$. Kết hợp với giả thiết $ (x_1+2)(x_2+2)=4 $ ta tìm được $$ \begin{cases}
x_1=-1\\x_2=2
\end{cases} $$ Do đó, $ m+4=t_1+t_2=2^{x_1}+2^{x_2}=\frac{9}{2}$. Từ đó tìm được $ m=\frac{1}{2}$. Thử lại thấy nếu $ m=\frac{1}{2}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu (cần phải thử lại vì ở đây chúng ta chưa tìm điều kiện cho phương trình $ t^2-(m+4)t+2=0 $ có hai nghiệm $ t>0$ ).

Ví dụ 2. Xét các số thực $ a,b>1$ và các số thực $x,y>0$ thỏa mãn $$ a^x=b^y=b^2\sqrt{a}. $$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ p=2020x+y$.

Hướng dẫn. Từ đẳng thức $ a^x=b^y=b^2\sqrt{a}$, lần lượt lấy logarit cơ số $ a,b$ hai vế ta được $$ \begin{cases}
x=\log_a\left(b^2\sqrt{a}\right)=2\log_a b+\frac{1}{2}\\
y=\log_b \left(b^2\sqrt{a}\right)=2+\frac{1}{2}\log_b a
\end{cases} $$ Suy ra, biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là $$ p= 2020\cdot \left(2\log_a b+\frac{1}{2}\right)+2+\frac{1}{2}\log_b a$$ Đặt $ t=\log_a b $ thì $ a,b>1$ nên $ t>0$ và biểu thức trên trở thành $$ p=2020\left(2t+\frac{1}{2}\right) +2+\frac{1}{2t}$$
Khảo sát hàm số này trên khoảng $ (0,+\infty)$, hoặc sử dụng bất đẳng thức AM–GM, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ p$ là $ 1012+2\sqrt{2020}$.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên $ x$ để tồn tại số thực $ y$ thỏa mãn $$ \log_2 \frac{x}{x^2+y^2} =x^2+y^2 -4x-2$$

Hướng dẫn. Điều kiện $$\frac{x}{x^2+y^2}>0 \Leftrightarrow x>0 $$ Với điều kiện đó thì đẳng thức đã cho trở thành \begin{align}
\frac{x}{x^2+y^2} &= 2^{x^2+y^2-4x-2}\\
\Leftrightarrow \frac{x}{x^2+y^2} &=\frac{2^{x^2+y^2}}{2^{4x+2}}\\
\Leftrightarrow 4x\cdot 2^{4x}&=\left(x^2+y^2\right)\cdot 2^{x^2+y^2}
\end{align} Hàm số $ f(t)=t\cdot 2^t$ trên $ (0,+\infty)$ là một hàm đồng biến. Do đó $ f(4x)=f\left(x^2+y^2\right)$ xảy ra khi và chỉ khi $$ 4x=x^2+y^2. $$ Suy ra $ 4x-x^2=y^2 \geqslant 0$. Giải bất phương trình này, tìm được $ 0 \leqslant x \leqslant 4$. Mà $ x$ nguyên dương nên chọn được các giá trị là $ 1,2,3,4$.

Ví dụ 4. [Chuyên ĐHSP HN năm 2020] Cho các số thực $ x,y$ thỏa mãn $ x>y>0$ và $$ \ln (x-y)+\frac{1}{2}\ln (xy)=\ln(x+y). $$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M=x+y$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức đã cho thành \begin{align}
\ln (x-y)^2+\ln(xy)&=\ln(x+y)^2\\
\Leftrightarrow (x-y)^2\cdot xy&=(x+y)^2\\
\Leftrightarrow \left((x+y)^2-4xy\right)\cdot xy& = (x+y)^2\\
\Leftrightarrow (x+y)^2(1-xy)&=4(xy)^2
\end{align} Nhận xét nếu $ xy=1 $ thì đẳng thức trên dẫn tới điều vô lý, do đó $ xy\ne 1$. Chia hai vế cho $ (1-xy)$ ta được $$ (x+y)^2=\frac{4(xy)^2}{1-xy} $$Đặt $ t=xy$ ta xét hàm số $ f(t)= \frac{4t^2}{t-1}$ trên khoảng $ (0;+\infty)$. Bảng biến thiên của hàm số này như sau

Suy ra $ (x+y)^2 \geqslant 16 \Leftrightarrow x+y \geqslant 4$ hay giá trị nhỏ nhất của $ M$ là $ 4$.

Cách khác, chúng ta có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Đặt $ t=xy $, điều kiện $ t>0$, ta được phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \begin{align}
(M^2-4t)t&=M^2\\
\Leftrightarrow -4t^2+M^2t-M^2&=0
\end{align} Phương trình này có nghiệm $ t>0$ khi và chỉ khi hoặc là có hai nghiệm dương, hoặc là có hai nghiệm trái dấu. Nhưng khả năng hai nghiệm trái dấu không xảy ra do $P=4M^2>0 $, nên chỉ xảy ra khả năng hai nghiệm dương. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases}
\Delta \geqslant 0\\
S>0\\ P>0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
M^4-16M^2 \geqslant 0\\ \frac{M^2}{4}>0\\ 4M^2>0
\end{cases}$$ Giải hệ này, ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của $ M$ là $ 4.$

Ví dụ 5. [Lương Thế Vinh – HN Lần 2 năm 2020] Cho các số thực $ x,y$ thỏa mãn $ \ln y \geqslant \ln (x^3+2)-\ln 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ H=e^{4y-x^3-x-2}-\frac{x^2+y^2}{2}+x(y+1)-y. $$

Hướng dẫn. Trước tiên, ta có điều kiện xác định của các biểu thức là $$ \begin{cases}
x > \sqrt[3]{-2}\\ y >0
\end{cases} $$ Với điều kiện đó, bất đẳng thức đã cho trở thành $$ 3y \geqslant x^3+2 $$ Biến đổi biểu thức $ H$ ta được \begin{align}
H&=e^{y-x}\cdot e^{3y-x^3-2} -\frac{(y-x)^2}{2}-(y-x)\\
&\geqslant e^{y-x} -\frac{(y-x)^2}{2}-(y-x)
\end{align} Đặt $ t=y-x$ thì ta có \begin{align}
t=y-x \geqslant \frac{x^3+2}{3}-x
\end{align} Xét hàm số $ f(x)=\frac{x^3+2}{3}-x$ trên khoảng $ \sqrt[3]{-2}$ ta có bảng biến thiên sau

Suy ra điều kiện của biến $ t$ là $ t \geqslant 0$. Tiếp tục lập bảng biến thiên của hàm số $ H=e^t-\frac{t^2}{2}-t$ trên nửa khoảng $ [0;+\infty)$ ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ H $ là $ 1.$

Ví dụ 6. [SGD Vĩnh Phúc năm 2020] Cho hai số thực dương $ x,y$ thỏa mãn $ 2+2\log_2 x=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=10x^2-2(x+y)-3$.

Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức $ 2+2\log_2 x=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}y$, chúng ta có \begin{align}
\log_2 \left(4x^2\right)&=\log_2 y\\
\Leftrightarrow 4x^2&=y
\end{align} Thay vào biểu thức $ P$ ta được \begin{align}
P&=10x^2-2(x+4y^2)-3 \\
&=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{2}
\end{align} Suy ra, giá trị nhỏ nhất của $ P$ là $ -\frac{7}{2}.$

Ví dụ 7. [Chuyên Thái Bình Lần 4 năm 2020] Cho hai số thực dương $ x,y$ thỏa mãn $ \log_2 x +x(x+y)=\log_2 (6-y)+6x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T=x^3+3y$.

Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức đã cho ta được \begin{align}
\log_2 x+x^2 &=\log_2 (6-y) +x(6-y)\\
\Leftrightarrow 2 \log_2 x +x^2 &= \log_2 x+ \log_2 (6-y) +x(6-y)\\
\Leftrightarrow \log_2 x^2 + x^2 &= \log_2 \big(x(6-y)\big) +x(6-y)
\end{align} Hàm số $ f(t)=\log_2 t+t$ với $ t>0$ là một hàm số đồng biến nên ta có $$ f(x^2)=f\big(x(6-y)\big) $$ xảy ra khi và chỉ khi $ x^2=x(6-y)$. Mà $ x>0$ nên điều này đồng nghĩa với $ x=6-y$ hay $ y=6-x$. Lúc này, biểu thức $ T$ trở thành $$ T=x^3+3(6-x) $$ Bảng biến thiên của $T$ trên $ (0,+\infty)$ như sau

Suy ra, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T$ là $ 16.$

Ví dụ 8.

Hướng dẫn.

Ví dụ 9.

Hướng dẫn.

Ví dụ 10.

Hướng dẫn.

19/06/2020
Đề thi Học kì II Toán 11
ĐỀ THI HỌC KÌ II TOÁN 11 NĂM 2018–2019

Xem thêm Đề thi GK2 Toán 11 Xuân Trường B Năm 2017

1. Đề thi HK2 Toán 11 – Trắc nghiệm

Câu 1: Tính giới hạn $\lim \frac{2n-1}{n+3}$.

A. $2$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{3}$

Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. $\left(-\frac{2}{3}\right)^n$
B. $\left(\frac{3}{2}\right)^n$
C. $n^2-3n$
D. $\pi ^n$

Câu 3: Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{2}.$

A. $S=2$
B. $S=\frac{3}{2}$
C. $S=1$
D. $S=\frac{2}{3}$

Câu 4: Tính giới hạn $\lim \frac{\sqrt{4{{n}^{2}}+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}.$

A. $\frac{3}{2}$
B. 2
C. 1
D. $+\infty$

Câu 5: Tính giới hạn $\lim \left( \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)} \right).$

A. 0
B. 2
C. 1
D. $\frac{100}{101}$

Câu 6: Tính giới hạn $\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-\sqrt{6-5x}}{x+2}.$

A. $-2$
B. $-\frac{27}{8}$
C. $-3,37499$
D. $-3$

Câu 7: Hàm số nào sau đây liên tục trên tập R?

A. $y=\tan x$
B. $y=\frac{1}{x}$
C. $y=\sqrt{2x+1}$
D. $y=\sqrt{x^2+1}$

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x+1$ tại điểm có hoành độ $x=2.$

A. $y=-x-7$
B. $y=7 x-14$
C. $y=7 x-7$
D. $y=-x+9$

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số $y=-{{x}^{7}}+2{{x}^{5}}+3{{x}^{3}}.$

A. ${y}’=-{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}$
B. ${y}’=-7{{x}^{6}}-10{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}$
C. ${y}’=7{{x}^{6}}-10{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}$
D. ${y}’=-7{{x}^{6}}+10{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}$

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x}{{{x}^{2}}+2}.$

A. $y’=\frac{2x+1}{2x}$
B. $y’=\frac{2x+1}{(x^2+2)^2}$
C. $y’=\frac{-x^{2}+4x+2}{\left( x^{2}+2\right) ^{2}}$
D. $y’=\frac{4x^3+3x^{2}+4x+2}{\left( x^{2}+2\right) ^{2}}$

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin x+\cos x$.

A. $y{\prime}=2 \cos x$
B. $y{\prime}=2 \sin x$
C. $y{\prime}=\sin x-\cos x$
D. $y{\prime}=\cos x-\sin x$

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin ^{2} 3 x$.

A. $y\prime =\sin 6x$
B. $y\prime =2\sin 3x$
C. $y{\prime}=3 \sin 6 x$
D. $y\prime =6\sin 3x$

Câu 13: Cho $f(x)=x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-4 x,$ tìm tất cả giá trị thực của $x$ sao cho $f\prime (x)<0.$

A. $x>\frac{4}{3}$ hoặc $x<-1 .$
B. $-1<x<\frac{4}{3}$
C. $x \geq \frac{4}{3}$ hoặc $x \leq-1 .$
D. $-1 \leq x \leq \frac{4}{3}$

Câu 14: Tính vi phân của hàm số $y=\sqrt{x}.$

A. $\mathrm{d}y =\sqrt{x} \mathrm{d}x$
B. $\mathrm{d}y = \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x$
C. $\mathrm{d}y = \frac{1}{2\sqrt{x}\mathrm{d}x}$
D. $\mathrm{d}y = \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$

Câu 15: Cho hàm số $f(x)=x^{3}+2 x$, giá trị của ${f}”(1)$ bằng

A. 6
B. 8
C. 3
D. 2

Câu 16: Cho hàm số $y=\sin 2x.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ${{y}^{2}}+{{\left( y\prime \right)}^{2}}=1$
B. $4 y-y{\prime \prime}=0$
C. $4 y+y{\prime \prime}=0$
D. $y=y{\prime} \tan 2 x$

Câu 17: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{AC’}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA’}$
B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$
C. $\overrightarrow{AC’}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A’A}$
D. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$

Câu 18: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có tất cả các cạnh cùng bằng 4. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{AB’}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}$
B. $\overrightarrow{AB’}.\overrightarrow{CB}=8$
C. $\overrightarrow{AB’}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB’}.\overrightarrow{B’C’}$
D. $\overrightarrow{AB’}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA’}.\overrightarrow{CA}$

Câu 19: Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Câu 20: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $BB’\perp BD$
B. $A’C’\perp BD$
C. $A’B \perp DC’$
D. $BC’ \perp A’ D$

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a,SA=a\sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $(ABCD)$.

A. $60^\circ$
B. $30^\circ$
C. $45^\circ$
D. $90^\circ$

Câu 22: Cho G là trọng tâm tứ diện ABCD, O là một điểm tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D})$
B. $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$
C. $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$
D. $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

Câu 23: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Góc giữa hai đường thẳng ${B}'{D}’$ và $A{A}’$ bằng ${{60}^{\circ }}$
B. Góc giữa hai đường thẳng ${B}'{D}’$ và AC bằng ${{90}^{\circ }}$
C. Góc giữa hai đường thẳng AD và ${B}’C$ bằng ${{45}^{\circ }}$
D. Góc giữa hai đường thẳng BD và ${A}'{C}’$ bằng ${{90}^{\circ }}$

Câu 24: Gọi $\alpha$ là số đo góc giữa mặt bên và mặt đáy của một tứ diện đều. Khẳng định nào đúng?

A. tan $\alpha=\sqrt{8}$
B. $\tan \alpha=3 \sqrt{2}$
C. tan $\alpha=2 \sqrt{3}$
D. $\tan \alpha=4 \sqrt{2}$

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Biết diện tích tam giác $SAB$ bằng $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$, tính khoảng cách từ $B$đến mặt phẳng $(SAC)$.

A. $\frac{a \sqrt{10}}{3}$
B. $\frac{a \sqrt{10}}{5}$
C. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$
D. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

2. Đề thi học kì II Toán 11 – Tự luận

Câu 1. (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. $y=\sin x-\cos 3x+1$
2. $y={{x}^{4}}+\sqrt{x}$
Câu 2. (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
1. $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(3-x)(2-x)}{x-2}$
2. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x \right)$
Câu 3. (0,5 điểm) Chứng minh rằng phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5x+7=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;0 \right).$

Câu 4. (0,5 điểm) Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ có đồ thị $(C)$. Một điểm $M$ có hoành độ bằng $a\ne 0$ và thuộc đồ thị $(C).$ Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ cắt $(C)$ tại một điểm $N$ khác $M.$ Tìm hoành độ điểm $N$ theo $a.$

Câu 5. (2,0 điểm) Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D,AB=2a,AD=CD=a.$ Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy hình chóp.
1. Chứng minh rằng đường thẳng $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.
3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ theo $a$.
—– HẾT—–
19/06/2020
Đề kiểm tra học kì I môn hóa lớp 10 có đáp án (4 mã đề)
Đề kiểm tra học kì I môn hóa lớp 10 (4 mã đề-có đáp án)

Xem thêm

Đề cương ôn tập học kì 2 môn hóa lớp 10

Đề cương ôn tập học kì 2 môn hóa lớp 11

3 đề kiểm tra học kì 2 môn hóa lớp 11

Đề thi học kì 2 môn hóa lớp 11 năm học 2019 – 2020

Đề kiểm tra học kì 2 môn hóa lớp 12

Đề kiểm tra học kì I môn hóa lớp 10 Mã đề 001

Cho biết nguyên tử khối của các nguyên tố: H=1; C=12; N = 14; O = 16; F=19; Na = 23; Mg = 24; Al = 27; S = 32; Cl = 35,5; K = 39; Ca = 40; Cr = 52, Mn = 55; Fe = 56; Cu = 64; Zn = 65; Br = 80; Sr = 88; Ag=108; Ba = 137.

Câu 1: Trong phòng thí nghiệm, clo thường được điều chế bằng cách oxi hóa hợp chất nào sau đây?

A. KCl. B. KMnO₄. C. NaCl. D. HCl.

Câu 2: Khí HCl có thể được điều chế bằng cách cho tinh thể muối ăn tác dụng với chất nào sau đây?

A. H₂SO₄ loãng. B. HNO₃. C. H₂SO₄ đậm đặc. D. NaOH.

Câu 3: Khí Cl₂ không tác dụng với

A. khí O₂. B. dung dịch NaOH.

C. H₂O. D. dung dịch Ca(OH)₂.

Câu 4: Dãy các chất nào sau đây đều tác dụng với axit clohiđric?

A. Fe₂O₃, KMnO₄, Cu, Fe, AgNO₃.

B. Fe, CuO, H₂SO₄, Ag, Mg(OH)_2.

C. KMnO₄, Cu, Fe, H₂SO₄, Mg(OH)₂.

D. Fe₂O₃, KMnO₄¸Fe, CuO, AgNO₃.

Câu 5: Có phản ứng hoá học xảy ra như sau:

H₂S + 4Cl₂ + 4H₂O → H₂SO₄ + 8HCl

Câu nào diễn tả đúng tính chất các chất phản ứng?

A. H₂S là chất khử, H₂O là chất oxi hoá.

B. Cl₂ là chất oxi hoá. H₂O là chất khử.

C. H₂S là chất oxi hoá, Cl₂ là chất khử.

D. Cl₂ là chất oxi hoá. H₂S là chất khử.

Câu 6: Cho các mệnh đề sau:

(a) Các halogen đều có số oxi hóa dương trong một số hợp chất.

(b) Halogen đứng trước đẩy được halogen đứng sau ra khỏi dung dịch muối.

(c) Các halogen đều tan được trong nước.

(d) Các halogen đều tác dụng được với hiđro.

Số mệnh đề không đúng là

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Câu 7: Để tinh chế brom bị lẫn tạp chất clo, người ta dẫn hỗn hợp qua

A. Dung dịch NaBr. B. Dung dịch NaI.

C. Dung dịch NaCl. D. Dung dịch H₂SO₄.

Câu 8: Cho hình vẽ mô tả thí nghiệm điều chế Clo từ MnO₂ và dung dịch HCl:

Khí Clo sinh ra thường lẫn hơi nước và khí hiđro clorua. Để thu được khí Clo khô thì bình (1) và bình (2) lần lượt đựng

A. Dung dịch H₂SO₄ đặc và dung dịch NaCl.

B. Dung dịch NaCl và dung dịch H₂SO₄ đặc.

C. Dung dịch H₂SO₄ đặc và dung dịch AgNO₃.

D. Dung dịch NaOH và dung dịch H₂SO₄ đặc.

Câu 9: Hiện tượng sẽ quan sát được khi thêm dần dần nước Clo vào dung dịch KI có chứa sẵn một ít hồ tinh bột?

A. Có hơi màu tím bay lên.

B. Dung dịch chuyển màu vàng.

C. Dung dịch chuyển màu xanh đặc trưng.

D. Không có hiện tượng.

Câu 10: Phản ứng nào sau đây xảy ra không tạo muối FeCl₂?

A. Fe + HCl. B. Fe₃O₄ + HCl.

C. Fe + Cl₂. D. Fe + FeCl₃.

Câu 11: Khí HCl có thể được điều chế bằng cách cho tinh thể muối ăn tác dụng với chất nào sau đây?

A. H₂SO₄ loãng. B. HNO₃. C.NaOH. D. H₂SO₄ đậm đặc.

Câu 12: Dãy nào sau đây đều có tính oxi hoá và khử?

A. O₂; S; SO₂. B. S; SO₂; Cl₂. C. O₃; H₂S; SO₂. D. H₂SO₄; S; Cl₂.

Câu 13: Các khí sinh ra trong thí nghiệm phản ứng của saccarozơ (C₁₂H₂₂O₁₁) với dung dịch H₂SO₄ đặc bao gồm:

A. H₂S và CO₂. B. H₂S và SO₂. C. SO₃ và CO₂. D. SO₂ và CO₂.

Câu 14: Trong các phản ứng sau, phản ứng nào sai?

A. Zn + 2HCl  ZnCl₂ + H₂. B. Cu + 2HCl  CuCl₂ + H₂.

C. CuO + 2HCl  CuCl₂ + H₂O. D. AgNO₃ + HCl  AgCl + HNO₃.

Câu 15: Để tinh chế brom bị lẫn tạp chất clo, người ta dẫn hỗn hợp qua

A. Dung dịch NaBr. B. Dung dịch NaI. C. Dung dịch NaCl. D. Dung dịch H₂SO₄.

Câu 16: Hiđro sunfua (H₂S) là chất có

A. Tính axit mạnh. B. Tính oxi hóa mạnh.

C. Vừa có tính axit, vừa có tính bazơ. D. Tính khử mạnh.

Câu 17: Dãy gồm các chất đều tác dụng (trong điều kiện phản ứng thích hợp) với lưu huỳnh là

A. Hg, O₂, HCl. B. Pt, Cl₂, KClO₃.

C. Zn, O₂, F₂. D. Na, Br₂, H₂SO₄ loãng.

Câu 18: Trong các phản ứng sau đây, phản ứng nào axit H₂SO₄ là axit đặc?

A. H₂SO₄ + Na₂CO₃ → Na₂SO₄ + CO₂+ H₂O.

B. H₂SO₄ + Ca → CaSO₄ + H₂

C. 2H₂SO₄ + Cu → CuSO₄ + 2H₂O + SO₂

D. 3H₂SO₄ + 2Al → Al₂(SO₄)₃ + 3H₂

Câu 19: Cho các phản ứng sau:

1. A + HCl → MnCl₂ + B↑ + H2O 2. B + C → nước gia-ven

3. C + HCl → D + H₂O 4. D + H₂O → C + B↑+ E↑

Chất D là chất nào sau đây?

A. NaOH. B. NaCl. C. H₂. D. Cl₂.

Câu 20: Phản ứng nào sau đây không xảy ra?

A. H₂S + Pb(NO₃)₂→ PbS+ 2HNO₃.

B. CuS + 2HCl → H₂S + CuCl₂.

C. Na₂S + Pb(NO₃)₂ PbS+ 2NaNO₃.

D. FeS + HCl → H₂S + FeCl₂.

Câu 21: Hòa tan hoàn toàn 36,4 gam hỗn hợp X gồm kẽm và sắt, có khối lượng bằng nhau trong dung dịch axit sunfuric loãng, dư, sau phản ứng thu được dung dịch Y và V lít khí (đktc). Giá trị của V gần nhất với?

A. 12,55. B. 14,55. C. 13,44. D. 11,22.

Câu 22: Cho 5,4 gam Al và 6,4 gam Cu tác dụng với dung dịch H₂SO₄ đặc nóng, dư, sau phản ứng thu được dung dịch X và V lít (đktc) khí SO₂, sản phẩm khử duy nhất. Giá trị của V là

A. 6,72. B. 3,36. C. 11,2. D. 8,96.

Câu 23: Cho 4,5 g hỗn hợp M gồm Mg, Al và Zn tác dụng hết với O₂ dư thu được 6,5 gam hỗn hợp Y gồm các oxit. Cho Y phản ứng vừa đủ với V lít dung dịch HCl 1M. Giá trị của V là

A. 0,15. B. 0,25. C. 0,40. D. 0,30.

Câu 24: Cho 31,4g hỗn hợp hai muối NaHSO₃và Na₂CO₃vào 400g dung dịch H₂SO₄9,8%, đồng thời đun nóng dung dịch thu được 6,72 lít hỗn hợp khí A (đktc) và dung dịch X. Nồng độ phần trăm các chất tan trong X lần lượt là:

A. 6,86% và 4,73% B.11,28% và 3,36% C. 9,28% và 1,36% D. 15,28%và 4,36%

Câu 25: Hoà tan một oxit kim loại X hoá trị II bằng một lượng vừa đủ dung dịch H₂SO₄ 10% ta thu được dung dịch muối có nồng độ 11,97%. X là kim loài nào sau đây:

A. Ca B. Fe C. Ba D. Mg

Câu 26: Cho 16,4 gam hỗn hợp MgCO₃, Na₂CO₃, CaCO₃ tan hết trong dung dịch HCl dư. Sau phản ứng, thu được hỗn hợp A gồm 3 muối clorua và 3,36 lít khí (đktc). Khối lượng của A là:

A. 17,74. B. 18,05. C. 17,45. D. 15,47.

Câu 27: Cho 12,1 gam hỗn hợp Zn, Fe, Mg tác dụng vừa đủ với m gam dung dịch HCl 10%. Cô cạn dung dịch sau phản ứng thu được 26,3 gam muối khan. Giá trị của m là?

A. 116 gam. B. 126 gam. C. 146 gam. D. 156 gam.

Câu 28: Nhiệt phân hoàn toàn 15,8 gam KMnO₄, toàn bộ khí oxi sinh ra cho tác dụng hết với 11,7 gam kim loại R thu được chất rắn X. Cho X vào dung dịch H₂SO₄ loãng dư thu được 1,792 lít khí H₂(đktc). Kim loại R là

A. Zn B. Fe C. Al D. Mg

Câu 29: Đem 11,2 gam Fe để ngoài không khí, sau một thời gian thu được một hỗn hợp X gồm Fe và các oxit. Hòa tan hoàn toàn hỗn hợp đó trong dung dịch H₂SO₄ đặc, nóng dư, thu được dung dịch Y và 2,24 lít khí SO₂ (đktc). Số mol H₂SO₄ đã tham gia phản ứng là

A. 0,4. B. 0,3. C. 0,5. D. 0,45.

Câu 30: Để cháy hoàn toàn hỗn hợp X gồm 3,84 gam Mg và 4,32 gam Al cần 5,824 lít hỗn hợp khí Y (đktc) gồm O₂ và Cl₂. Tính % thể tích Cl₂ trong hỗn hợp Y?

A. 46,15%. B. 56,36%. C. 43,64%. D. 53,85%.

Các mã đề khác, mời thầy cô và các em tải đề thi tại đây:
- Đề kiểm tra HKII lớp 10 môn hóa – pdf
- Đề kiểm tra học kì II lớp 10 môn hóa – word
Xem thêm

Đề cương ôn tập học kì 2 môn hóa lớp 10

Đề cương ôn tập học kì 2 môn hóa lớp 11

3 đề kiểm tra học kì 2 môn hóa lớp 11

Đề thi học kì 2 môn hóa lớp 11 năm học 2019 – 2020

Đề kiểm tra học kì 2 môn hóa lớp 12
19/06/2020

3 đề kiểm tra học kì II lớp 11 môn hóa học có đáp án

3 đề kiểm tra học kì II lớp 11 môn hóa học

ĐỀ SỐ 1

TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2017 – 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II

MÔN: HOÁ HỌC – LỚP 11

Thời gian làm bài: 30 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 02 trang

MÃ ĐỀ 181

Họ, tên thí sinh: ………………………………………………………………..

Số báo danh: …………………………………………………………………….

Cho biết nguyên tử khối (theo đvC) của các nguyên tố:

H = 1; He = 4; Li = 7; Be = 9; C = 12; N = 14; O = 16; Na = 23; Mg = 24; Al = 27; P = 31; S = 32; Cl = 35,5; K = 39; Ca = 40, Cu = 64, Br = 80, Ag = 108.

Câu 1: Chất nào sau đây trong phân tử chỉ có liên kết đơn?

A. CH₄. B. C₂H₄. C. C₆H₆. D. CH₃COOH.

Câu 2: Phenol phản ứng được với dung dịch nào sau đây?

A. NaCl. B. NaOH. C. NaHCO₃. D. HCl.

Câu 3: Hiện tượng các chất có cấu tạo và tính chất hoá học tương tự nhau, phân tử hơn kém nhau một hay nhiều nhóm metylen (–CH₂–) được gọi là hiện tượng

A. đồng phân. B. đồng vị. C. đồng đẳng. D. đồng khối.

Câu 4: Để phân biệt etan với etilen thuốc thử cần dùng là

A. quỳ tím B. dung dịch NaOH

C. dung dịch AgNO₃ trong NH₃ D. dung dịch Br₂

Câu 5: Khí thiên nhiên được dùng làm nhiên liệu và nguyên liệu cho các nhà máy sản xuất điện, sứ, đạm, ancol metylic,… Thành phần chính của khí thiên nhiên là metan. Công thức phân tử của metan là

A. C₂H₄. B. CH₄. C. C₂H₂. D. C₆H₆.

Câu 6: Ancol no, đơn chức, mạch hở có công thức chung là

A. C_nH_{2n – 1}OH (n≥0). B. C_nH_{2n +1}OH (n≥0).

C. C_nH_{2n + 2}OH (n≥1). D. C_nH_{2n + 1}OH (n≥1).

Câu 7: Dãy gồm các chất đều phản ứng được với C₂H₅OH là

A. Na, Fe, HBr. B. CuO, KOH, HBr.

C. NaOH, Na, HBr. D. Na, HBr, CuO.

Câu 8: Hiđrocacbon nào sau đây có thể tham gia phản ứng trùng hợp tạo thành polime?

A.A. Butan. B. But-1-en. C. Benzen D. Axetilen.

Câu 9:Trong các chất sau, chất nào có nhiệt độ sôi cao nhất?

A. Phenol B. etanol C. đimetyl ete D. metanol

Câu 10:Cho dãy chuyển hóa sau: CaC₂ -> X -> Y -> Z

Tên gọi của X và Z lần lượt là:

A. axetilen và ancol etylic. B. axetilen và etylen glicol.

C. etan và etanal. D. etilen và ancol etylic.

Câu 11: Đốt cháy hoàn toàn 3,6 gam ankan X thu được 5,6 lít khí CO₂ (đktc). Công thức phân tử của X là

A. C₃H₈. B. C₅H₁₀. C. C₅H₁₂. D. C₄H₁₀.

Câu 12: Khi cho propan tác dụng với Cl₂ (AS, 1:1) sản phẩm nào sau đây là sản phẩm chính?

A. CH₃-CHCl-CH₃ B. CH₃-CHCl-CH₂Cl

C. CH₂Cl-CH₂-CH₂Cl D. CH₃-CH₂-CH₂Cl

Câu 13: Tính chất hóa học đặc trưng của ankan là tham gia

A. phản ứng thế B. phản ứng cộng

C. phản ứng trùng hợp D. phản ứng cháy

Câu 14: Có bao nhiêu ankin ứng với công thức phân tử C₅H₈ ?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4

Câu 15: Chất nào dưới đây có thể tham gia cả 4 phản ứng: Phản ứng cháy trong oxi, phản ứng cộng brom, phản ứng cộng hiđro (xúc tác Ni, t^o), phản ứng thế với dd AgNO₃ /NH₃

A. etan. B. etilen. C. axetilen. D. xiclopropan.

Câu 16: Để làm sạch etilen có lẫn axetilen ta cho hỗn hợp đi qua

A. dung dịch brom dư. B. dung dịch KMnO₄ dư.

C. dung dịch AgNO₃ /NH₃dư. D. dung dịch NaOH dư.

Câu 17: Cho các chất sau: (1) metyl axetilen ; (2) axetilen ; (3) propen ; (4) etan ; (5) butilen. Số chất làm mất màu dung dịch brom là?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Câu 18: Cho hỗn hợp gồm etanol và phenol tác dụng với natri (dư) thu được 3,36 lít khí hiđro (đktc). Nếu cho hỗn hợp trên tác dụng với nước brom vừa đủ thu được 19,86 gam kết tủa trắng của 2,4,6-tribromphenol. Phần trăm khối lượng của etanol trong hỗn hợp là

A. 81,16% B. 61,81% C. 88,61% D. 66,18%

Câu 19: Từ etilen và benzen, tổng hợp được stiren theo sơ đồ:

C6H6 -> C6H5-C2H5 -> C6H5 – CH=CH2

Tính khối lượng stiren thu được từ 1,56 tấn bezen nếu hiệu suất của cả quá trình là 70%

A. 1,456. B. 1,960. C. 2,080. D. 1,562.

Câu 20: Hỗn hợp X gồm 0,15 mol vinylaxetilen và 0,6 mol H2. Nung nóng hỗn hợp X (xúc tác Ni) một thời gian, thu được hỗn hợp Y có tỉ khối so với H2 bằng 10. Dẫn hỗn hợp Y qua dung dịch brom dư, sau khi phản ứng xảy ra hoàn toàn, khối lượng brom tham gia phản ứng là

A. 0 gam. B. 16 gam. C. 8 gam. D. 24 gam.

(Thí sinh không được sử dụng bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học)

———————————–HẾT———————————–

ĐỀ SỐ 2

Câu 1: Khối lượng Ag thu được khi cho 0,1 mol CH₃CHO phản ứng hoàn toàn với lượng dư dung dịch AgNO₃ trong NH₃, đun nóng là

A. 21,6 gam B. 16,2 gam C. 43,2 gam D. 10,8 gam

Câu 2: Khi cho 0,1 mol X (có tỷ khối hơi số với H₂ lớn hơn 20) tác dụng với dung dịch AgNO₃ trong NH₃ dư, thu được 43,2g Ag. X thuộc loại anđehit

A. 3 chức. B. 2 chức. C. 4 chức. D. đơn chức.

Câu 3: Chất nào sau đây làm mất màu dung dịch KMnO₄ ở điều kiện thường?

A. Benzen B. Axetilen C. Metan D. Toluen

Câu 4: Cho các chất: but-1-en, but-1-in, buta-1,3-đien, vinylaxetilen, isopren, metylaxetilen. Có bao nhiêu chất trong số các chất trên khi phản ứng hoàn toàn với khí H2 dư (xúc tác Ni, đun nóng) tạo ra butan?

A. 3. B. 4. C. 6. D. 5.

Câu 5: Có bao nhiêu đồng phân cấu tạo có công thức phân tử C₅H₁₂ ?

A. 3 đồng phân. B. 5 đồng phân. C. 6 đồng phân D. 4 đồng phân.

Câu 6: Đốt cháy hoàn toàn hỗn hợp 3 anđehit no, đơn chức, mạch hở thu được 4,48 lít khí CO₂(đktc). Cũng lượng hỗn hợp đó, nếu oxi hoá thành axit (h = 100%), rối lấy axit tạo thành đem đốt cháy hoàn toàn thì thu được m gam nước. Giá trị của m là

A. 1,8. B. 2,7. C. 3,6. D. 5,4.

Câu 7: Trong các chất: stiren, anđehit acrylic, etilen, vinylaxetilen và butan, số chất có khả năng tham gia phản ứng cộng hiđro (xúc tác Ni, đun nóng) là

A.4 B. 2. C. 5. D. 3.

Câu 8: X, Y, Z là các hợp chất mạch hở, bền có cùng công thức phân tử C3H6O. X tác dụng được với Na và không có phản ứng tráng bạc. Y không tác dụng được với Na nhưng có phản ứng tráng bạc. Z không tác dụng được với Na và không có phản ứng tráng bạc. Các chất X, Y, Z lần lượt là:

A. CH2=CH-CH2-OH, CH3-CO-CH3, CH3-CH2-CHO.

B. CH2=CH-CH2-OH, CH3-CH2-CHO, CH3-CO-CH3.

C. CH3-CH2-CHO, CH3-CO-CH3, CH2=CH-CH2-OH.

D. CH3-CO-CH3, CH3-CH2-CHO, CH2=CH-CH2-OH.

Câu 9: Sắp xếp theo chiều giảm dần nhiệt độ sôi của các chất CH₃OH, CH₃COOH, C₂H₅OH

A. CH₃COOH, C₂H₅OH, CH₃OH B. CH₃OH, C₂H₅OH, CH₃COOH

C. CH₃COOH, CH₃OH, C₂H₅OH D. CH₃OH, CH₃COOH, C₂H₅OH

Câu 10: Đốt cháy hoàn toàn 0,2 mol hỗn hợp X gồm một ankan và một anken, thu được 0,35 mol CO₂ và 0,4 mol H₂O. Phần trăm số mol anken trong X là

A. 40% B. 50% C. 25% D. 75%

Câu 11: Tiến hành các thí nghiệm sau

(a) Sục khí etilen vào dung dịch KMnO₄ loãng.

(b) Cho hơi ancol etylic đi qua bột CuO nung nóng.

(d) Cho dung dịch anđehit axetic vào dung dịch AgNO₃ trong NH₃ dư, đun nóng.

Trong các thí nghiệm trên, số thí nghiệm có xảy ra phản ứng oxi hóa – khử là

A. 1. B. 2 C. 3 D. 4

Câu 12: X là hợp chất hữu cơ chứa C , H , O . Biết X có phản ứng tráng bạc và phản ứng với dung dịch NaOH . Đốt cháy hoàn toàn a mol X thu được 3a mol CO₂ và H₂O . X là

A. HCOOH B. HCOOCH₃ C. CHO-COOH D. CHO-CH₂-COOH

Câu 13: Hỗn hợp khí X chứa hiđro và một anken. Tỉ khối hơi của X đối với hiđro là 6. Đun nóng X có bột Ni xúc tác, X biến thành hỗn hợp khí Y có tỉ khối đối với hiđro là 8 và không làm mất màu nước brom. Biết các phản ứng xảy ra hoàn toàn. Công thức của anken là

A. C₄H₈. B. C₄H₆. C. C₂H₄. D. C₃H₆.

Câu 14 Andehit axetic có khả năng phản ứng với tất cả chất trong dãy nào sau đây?

A. H₂ (xt, t⁰C); Na₂CO₃, dd AgNO₃/NH₃ (t⁰C)

B. H₂ (xt, t⁰C); dd AgNO₃/NH₃ (t⁰C)

C. H₂ (xt, t⁰C); dd NaOH; dd AgNO₃/NH_{3 (}t⁰C)

D. H₂ (xt, t⁰C); dd NaBr; dd AgNO₃/NH₃ (t⁰C)

Câu 15: Dãy gồm các chất đều tác dụng với AgNO₃ trong dung dịch NH₃, là:

A. anđehit axetic, butin-1, etilen. B. anđehit axetic, axetilen, butin-2.

C. axit fomic, vinylaxetilen, propin. D. anđehit fomic, axetilen, etilen.

Câu 16: Cho 2,9 gam anđehit X có tỉ khối hơi so với H₂ bằng 29,0 tác dụng với dung dịch AgNO₃/NH₃ dư thu được 21,6 gam Ag. Công thức cấu tạo thu gọn của X là:

A. CH2=CHCHO. B. CH₃CHO. C. (CHO)₂. D. CH₃CH₂CHO.

Câu 17: Hỗn hợp X gồm hai ancol đơn chức, đồng đẳng kế tiếp. Đun nóng 16,6 gam X với H₂SO₄ đặc ở 140ºC, thu được 13,9 gam hỗn hợp ete (không có sản phẩm hữu cơ nào khác). Biết các phản ứng xảy ra hoàn toàn. Công thức của hai ancol trong X là

A. C₂H₅OH và C₃H₇OH B. C₃H₇OH và C₄H₉OH.

C. CH₃OH và C₂H₅OH. D. C₃H₅OH và C₄H₇OH.

Câu 18: Công thức cấu tạo chung ancol no, đơn chức,mạch hở là

A. ROH. B. C_nH_{2n – 1}OH. (n ³1). C. C_nH_{2n + 1}OH (n ³1). D. C_nH_{2n + 2}OH (n ³1) .

Câu 19: X là một ancol no, mạch hở. Đốt cháy hoàn toàn 0,05 mol X cần 5,6 gam oxi, thu được hơi nước và 6,6 gam CO₂. Công thức của X là

A. C₃H₇OH. B. C₃H₆(OH)₂. C. C₃H₅(OH)₃. D. C₂H₄(OH)₂.

Câu 20: Anđehit no, đơn chức, mạch hở có CTPT là :

A. C_nH_2n+1CHO (n1) B. C_xH_2xO₂ (x1) C. C_nH_2nCHO (n0) D. C_xH_2xO (x1)

Câu 21: Số đồng phân ancol của C₄H₁₀O là:

A. 5 B. 4 C. 2 D. 8

Câu 22: Ancol no đơn chức tác dụng được với CuO tạo anđehit là

A. ancol bậc 2. B. ancol bậc 3.

C. ancol bậc 1. D. ancol bậc 1 và ancol bậc 2.

Câu 23: Cho 0,94 g hỗn hợp hai anđehit đơn chức, no, mạch thẳng kế tiếp nhau trong dãy đồng đẳng tác dụng với dung dịch AgNO₃ trong NH₃ thu được 3,24 gam Ag. Hai anđehit là

A. etanal và metanal. B. etanal và propanal.

C. propanal và butanal. D. butanal và pentanal.

Câu 24: Cho 0,1 mol anđehit X tác dụng với lượng dư AgNO₃ trong dung dịch NH₃, đun nóng thu được 43,2 gam Ag. Hiđro hoá X được Y, biết 0,1 mol Y phản ứng vừa đủ với 4,6 gam Na. Công thức cấu tạo thu gọn của X là

A. HCHO. B. CH₃CH(OH)CHO

C. OHC-CHO. D. CH₃CHO.

Câu 25: Công thức chung: C_nH_2n-2 ( n ≥ 2) là công thức của dãy đồng đẳng:

A. Anken B. Cả ankin và ankadien.

C Ankadien D. Ankin

Câu 26: C₄H₈O có bao nhiêu đồng phân anđehit?

A. 3 đồng phân. B. 1 đồng phân. C. 4 đồng phân. D. 2 đồng phân.

Câu 27: X là hỗn hợp 2 ankan. Để đốt cháy hết 10,2 gam X cần 25,76 lít O₂ (đktc). Hấp thụ toàn bộ sản phẩm cháy vào nước vôi trong dư được m gam kết tủa. Giá trị m là:

A. 15 gam B. 55 gam. C. 70 gam. D. 30,8 gam.

Câu 28: Hỗn hợp X gồm 1 ancol và 2 sản phẩm hợp nước của propen. Tỉ khối hơi của X so với hiđro bằng 23. Cho m gam X đi qua ống sứ đựng CuO (dư) nung nóng. Sau khi các phản ứng xảy ra hoàn toàn, thu được hỗn hợp Y gồm 3 chất hữu cơ và hơi nước, khối lượng ống sứ giảm 3,2 gam. Cho Y tác dụng hoàn toàn với lượng dư dung dịch AgNO₃ trong NH₃, tạo ra 48,6 gam Ag. Phần trăm khối lượng của propan-1-ol trong X là

A. 65,2%. B. 83,7%. C. 48,9%. D. 16,3%.

Câu 29: Cho m gam hỗn hợp hơi gồm hai ancol no, đơn chức kế tiếp nhau trong dãy đồng đẳng qua CuO dư, nung nóng. Sau phản ứng hoàn toàn thu được hỗn hợp chất lỏng Y có tỷ khối so với H₂ là 14,1. Cho hỗn hợp Y tác dụng với AgNO₃ dư trong NH₃ đun nóng thì thu được 60,48 gam Ag. Vậy giá trị của m là:

A. 7,52 gam B. 7,28 gam C. 8,08 gam D. 8,64 gam

Câu 30: Cho hỗn hợp hai anken đồng đẳng kế tiếp nhau tác dụng với nước (có H₂SO₄ làm xúc tác) thu được hỗn hợp ancol Z. Đốt cháy hoàn toàn 3,88 gam hỗn hợp Z sau đó hấp thụ toàn bộ sản phẩm cháy vào 2,0 lít dung dịch NaOH 0,4M thu được dung dịch T trong đó nồng độ của NaOH bằng 0,2M. Công thức của các ancol trong hỗn hợp Z là (thể tích dung dịch thay đổi không đáng kể)

A. C₂H₅OH và C₃H₇OH B. C₃H₇OH và C₄H₉OH

C. CH₃OH và C₂H₅OH D. C₄H₉OH và C₅H₁₁OH

ĐỀ SỐ 3

Câu 1: Hợp chất hữu cơ X có vòng benzen và có công thức phân tử là C₈H₁₀O. X phản ứng được với Na nhưng không phản ứng được với NaOH. Số công thức cấu tạo của X là:

A. 9 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 2: Dãy gồm các chất đều phản ứng được với C₂H₅OH là

A. Na, Fe, HBr. B. CuO, KOH, HBr.

C. NaOH, Na, HBr. D. Na, HBr, CuO.

Câu 3: Một chất tác dụng với dung dịch natri phenolat (C₆H₅ONa) tạo thành phenol. Chất đó là

A. NaCl. B. Na₂CO₃. C. C₂H₅OH. D. CO₂.

Câu 4: Cho 6,4 gam ancol metylic phản ứng hoàn toàn với Na (dư) thu được V lít khí H₂(ở đktc). Giá trị của V là

A. 2,24. B. 1,12. C. 4,48. D. 3,36.

Câu 5: Bậc ancol của 2-metylbutan-2-ol là

A. bậc 4. B. bậc 1. C. bậc 2. D. bậc 3.

Câu 6: Đốt cháy 6 gam một ancol thu được 6,72 lít khí CO₂(đktc) và 7,2 gam H₂O. Công thức phân tử của ancol là:

A. C₂H₄O B. C₃H₆OH C. C₂H₆O D. C₃H₈O

Câu 7: Cho hỗn hợp X gồm ancol metylic, etylen glicol và glixerol. Đốt cháy hoàn toàn m gam X thu được 6,72 lít khí CO2 (đktc). Cũng m gam X trên cho tác dụng với Na dư thu được tối đa V lít khí H2 (đktc). Giá trị của V là

A. 3,36. B. 11,20. C. 5,60. D. 6,72.

Câu 8: Cho m gam một ancol no, đơn chức X qua bình đựng CuO (dư), nung nóng. Sau khi phản ứng hoàn toàn, khối lượng rắn giảm 0,16 gam.Hỗn hợp hơi thu được có tỉ khối so với H₂ là 12. Giá trị m

A. 0,92 B. 0,32 C. 0,64 D. 0,46

Câu 9: Đốt cháy hoàn toàn một ancol no, đơn chức, mạch hở A thu được 8,8 gam CO₂. Thể tích O₂ (đktc) cần để đốt cháy A.

A. 2,24 lít B. 3,36 lít C. 4,48 lít D. 6,72 lít

Câu 10: Cho 20,2 hốn hợp 2 ancol đơn chức tác dụng vừa đủ với K thu được 3,36 lít khí (đktc). Khối lượng của muối thu được là:

A. 29,4 B. 31,6 C. 39,2 D. 40,25

Câu 11: Cần bao nhiêu mililit dung dịch brom 0,2M để phản ứng vừa đủ với 1,88 gam phenol ?

A. 400 B. 100. C. 200. D. 300.

Câu 12: Cho ancol X có CTPT C₅H₁₂O, khi bị oxi hoá tạo sản phẩm tham gia phản ứng tráng bạc Số công thức cấu tạo của X là

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

Câu 13: Với công thức C₄H₁₀O₃ chỉ chứa nhóm chức –OH trong phân tử có thể hoà tan được Cu(OH)₂. Số đồng phân là

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

Câu 14: Từ etilen và benzen, tổng hợp được stiren theo sơ đồ:

Tính khối lượng stiren thu được từ 1,56 tấn bezen nếu hiệu suất của cả quá trình là 70%

A. 1,456. B. 1,960. C. 2,080. D. 1,562.

Câu 15: Hãy chọn câu phát biểu sai:

A. Phenol là chất rắn kết tinh dễ bị oxi hoá trong không khí thành màu hồng nhạt

B. Khác với benzen, phenol phản ứng với dung dịch Br₂ ở nhiệt độ thường tạo kết tủa trắng.

C. Phenol có tính axit mạnh hơn ancol nhưng yếu hơn axit cacbonic

D. Phenol có tính axit yếu nên làm quỳ tím hóa hồng

Câu 16: Số đồng phân ancol ứng với công thức phân tử C₄H₁₀O là

A. 3. B. 4. C. 2. D. 5.

Câu 17: Cho 20,2 gam hốn hợp 2 ancol đơn chức tác dụng vừa đủ với Na thu được 3,36 lít khí (đktc). Khối lượng của muối thu được là:

A. 29,4 B. 31,6 C. 39,2 D. 26,8

Câu 18: Đun nóng ancol đơn chức X với H₂SO₄ đặc trong điều kiện nhiệt độ thích hợp sinh ra hợp chất hữu cơ Y, biết d_X/Y = 10/7. Công thưc phân tử của X là:

A. C₃H₈O B. C₂H₆O C. CH₄O D. C₄H₈O

Câu 19: Đốt cháy hoàn toàn m gam hỗn hợp 2 ancol A và B cùng dãy đồng đẳng với ancol etylic thu được 35,2 gam CO₂ và 19,8 gam H₂O. Giá trị m là:

A. 18,6 B. 17,6 C. 16,6 D. 19,6

Câu 20: Số đồng phân phenol có công thức phân tử C₇H₈O là:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 21: Để nhận biết ba lọ mất nhãn: phenol, stiren, ancol benzylic, người ta dùng

A. dung dịch Ca(OH)₂ B. dung dịch NaOH C. nước brom D. Na

Câu 22: Điêu kiện của phản ứng tách nước: CH₃-CH₂-OH -> CH₂ = CH₂ + H₂O là:

A. H₂SO₄ đặc, 100^oC B. H₂SO₄ đặc, 140^oC C. H₂SO₄ đặc, 120^oC D. H₂SO₄ đặc, 170^oC

Câu 23: Chất nào sau đây bị oxi hóa tạo sản phẩm là andehit?

A. CH₃-CHOH- CH₃. B. C₆H₄(OH)CH₃. C. CH₃-CH₂-OH D. (CH₃)₃COH

Câu 24: Tên gọi của ancol: (CH₃)₂CH-CH₂-CH₂OH là:

A. 3-metyl butan-1-ol. B. 2-metyl butan-1-ol

C. 1,1-đimetyl propan-2-ol. D. 3-metyl butan-2-ol.

Câu 25: Ancol no, đơn chức, mạch hở có công thức chung là

A. C_nH_{2n – 1}OH (n≥0). B. C_nH_{2n +1}OH (n≥0).

C. C_nH_{2n + 2}OH (n≥1). D. C_nH_{2n + 1}OH (n≥1).

Câu 26: Cho 12 gam ancol X no, đơn chức, mạch hở phản ứng với Na dư thu được 2,24 lit khí H₂ (đkc). Công thức phân tử của X là:

A. C₄H₉OH B. CH₃OH. C. C₃H₇OH. D. C₂H₅OH.

Câu 27: CH₂=CHCl có tên gọi là:

A. Etyl clorua B. Vinyl clorua C. Cloetan D. Clometan

Câu 28: Có bao nhiêu ancol bậc 2, no, đơn chức, mạch hở là đồng phân cấu tạo của nhau mà phân tử của chúng có phần trăm khối lượng cacbon bằng 68,18%?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 29: Cho 49,68 gam 1 ancol mạch hở Z phản ứng hoàn toàn với 27,3 gam K thu được khí H₂ và 76,29 gam chất rắn. Vậy Z là

Đề 1A. CH₃OH. B. C₂H₅OH. C. C₃H₇OH. D. C₄H₇OH.

Câu 30: Dãy đồng đẳng ankylbenzen có công thức chung là:

A. C_nH_{2n+ 6}( n≥ 6). B. C_nH_2n-6( n≥ 6) C. C_nH_2n+6( n≥3) D. C_nH_2n-6( n≥3).

Link download 3 đề kiểm tra học kì II môn hóa học lớp 11

Đề 1

Đề 2

Đề-3

Mời các thầy cô xem thêm các đề kiểm tra khác tại

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 môn hóa học

Xem thêm

Đề cương ôn tập học kì 2 môn hóa lớp 10

Đề kiểm tra học kì 2 môn hóa lớp 10

Đề cương ôn tập học kì 2 môn hóa lớp 11

Đề thi học kì 2 môn hóa lớp 11 năm học 2019 – 2020

Đề kiểm tra học kì 2 môn hóa lớp 12

Hoặc xem thêm các tài liệu khác của môn hóa

18/06/2020

Nguyên Hàm – Tích Phân trong đề thi 2020
Nguyên Hàm – Tích Phân trong đề thi 2020

Bài viết này tổng hợp các câu hỏi về chủ đề Nguyên hàm, Tích Phân và ứng dụng trong các đề thi minh họa, đề tham khảo TN THPT, đề thi thử THPTQG năm 2020 của các trường trên cả nước.

Mời thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm các bài viết khác:
Câu 1. [Chuyên KHTN Lần 1 năm 2020] Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $ (0;+\infty) $ và thỏa mãn $ f(x)=x\left(\sin x + f'(x) \right) +\cos x$ và $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{2}$. Tính giá trị của $ f(\pi) $.

Hướng dẫn. Từ đẳng thức $ f(x)=x\left(\sin x + f'(x) \right) +\cos x$, sau khi nhân ra và chuyển hết số hạng liên quan đến hàm $ f(x) $ sang một vế ta được $$ f(x)-x\cdot f'(x)=x\cdot \sin x+\cos x\,\,\,\,(*) $$ Quan sát vế trái, ta có thể viết lại thành $$ f(x)-x\cdot f'(x)=x’\cdot f(x)-x\cdot f'(x) $$ Ở đây xuất hiện dấu trừ, trong khi nếu đạo hàm của một tích thì phải là \[x’\cdot f(x)+x\cdot f'(x). \]Do đó, chúng ta nghĩ tới công thức đạo hàm của một thương. Viết lại đẳng thức $ (*) $ và chia hai vế cho $ x^2 $ (lưu ý rằng hàm số đang xét trên khoảng $ (0;+\infty) $ nên $x\ne 0$) ta được \begin{align*}
\frac{f'(x)\cdot x – f(x)}{x^2}& =\frac{ – x\cdot \sin x -\cos x}{x^2}\\
\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}{x}\right)’&=\left(\frac{\cos x}{x}\right)’
\end{align*} Lấy nguyên hàm hai vế ta được $$ \frac{f(x)}{x}= \frac{\cos x}{x} + C$$ Theo đề bài có $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{2} $ nên suy ra $ C=1 $. Do đó $ f(x)=\cos x+x $ và $ f(\pi)=\pi-1 $.

Câu 2. [Chuyên KHTN Lần 1 năm 2020] Cho hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ f^3(x)+2f(x)=1-x $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Tính tích phân $ \displaystyle \int_{-2}^1 f(x)dx $

Hướng dẫn. Vì $ f^3(x)+2f(x)=1-x $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ nên cho $ x=1 $ ta có phương trình $$ f^3(1)+2f(1)=1-0 $$ Giải phương trình này, được $ f(1)=0 $. Tương tự, với $ x=-2 $ ta tìm được $ f(-2)=1 $.

Mặt khác, từ đẳng thức đã cho $ f^3(x)+2f(x)=1-x $, ta lấy vi phân hai vế thì được $$ -dx = \left(3f^2(x)+2\right)df(x) $$ nên tích phân cần tính trở thành \begin{align}
{\int \limits_{ – 2}^1 f (x)dx}&{\, =\, – \int \limits_{ – 2}^1 f (x)\left( {3{f^2}(x) + 2} \right)df(x)}\\
{}&{ =\, – \int \limits_1^0 {\left( {3{u^3} + 2u} \right)} du = \frac{7}{4}}
\end{align}

Câu 3. [Lương Thế Vinh – HN Lần 2 năm 2020] Cho hàm số $ y=f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $$ \sin x\cdot f\left(\cos x\right)+\cos x\cdot f\left(\sin x\right) =\sin 2x-\frac{1}{2}\sin^3 2x$$ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_0^1 f(x)dx $.

Hướng dẫn. Lấy tích phân cận từ $ 0 $ đến $ \frac{\pi}{2} $ hai vế ta được \begin{align*}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\cdot f\left(\cos x\right)+\cos x\cdot f\left(\sin x\right)\right)dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin 2x-\frac{1}{2}\sin^3 2x\right)dx
\end{align*} Dễ dàng tính được tích phân ở vế phải \[\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin 2x-\frac{1}{2}\sin^3 2x\right)dx=\frac{2}{3}\] Đối với tích phân ở vế trái, chúng ta tách thành hai tích phân và sử dụng phương pháp đổi biến số. Chẳng hạn, $ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\cdot f\left(\cos x\right)\right)dx $ chúng ta đặt $ t=\cos x $ thì tích phân này trở thành \begin{align*}
\int_1^{0}\left(-f\left(t\right)\right)dt
\end{align*} và cũng chính bằng $$ \int_1^{0}\left(-f\left(x\right)\right)dx=\int_0^{1}f\left(x\right)dx $$ do tích phân không phụ thuộc vào tên biến.

Hoàn toàn tương tự, chúng ta tính được $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos x\cdot f\left(\sin x\right)\right)dx= \int_0^{1}f\left(x\right)dx$$ Do đó, tích phân cần tính ban đầu là $$ 2I=2/3 $$ hay $ I=\frac{1}{3}. $

Câu 4. [Chuyên ĐHSP HN] Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên tập $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $$ f(x)+(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)=50x^3-60x^2+23x-1 $$ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Tính tích phân $ I=\displaystyle \int_0^1f(x) dx $

Hướng dẫn. Lấy tích phân cận từ $ 0 $ đến $ 1 $ hai vế đẳng thức đã cho ta có \begin{align*}
\int_0^1\left(f(x)+(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)\right)dx=\int_0^1\left(50x^3-60x^2+23x-1 \right)dx
\end{align*} Dễ dàng tính được tích phân ở vế phải $$ \int_0^1\left(50x^3-60x^2+23x-1 \right)dx=3 $$ Đối với tích phân ở vế trái, ta tách thành tổng hai tích phân, $$ \int_0^1\left(f(x)+(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)\right)dx=I+\int_0^1(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)dx $$ Đối với tích phân $$ \int_0^1(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)dx $$ ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $ t=5x^2-4x $ thì $ dt=2(5x-2)dx $, sau khi đổi cận ta được \begin{align*}
\int_0^1(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)dx & = \int_0^1\frac{1}{2}f(t)dt\\
&=\frac{1}{2} \int_0^1f(x) dx
\end{align*} Do đó, ta có phương trình $ I+\frac{1}{2} I=3 $ hay $ I=2 $.

Câu 5. [Amsterdam HK2 năm 2020] Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;4]$. Biết rằng $$ 2x\cdot f'(x)+f(x)=2x\cdot \sqrt{x} $$ và $ f(1)=\frac{3}{2} $, tính giá trị $ f(4) $.

Hướng dẫn. Xét trên đoạn $[1;4]$ thì $ x>0 $ nên chia hai vế đẳng thức đã cho cho $ 2\sqrt{x} $ ta được \begin{align*}
\sqrt{x}\cdot f'(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot f(x)&=x\\
\Leftrightarrow \left(\sqrt{x}\cdot f(x)\right)’&=x
\end{align*} Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $$ \sqrt{x}\cdot f(x)=\frac{1}{2}x^2+C $$ Mà $ f(1)=\frac{3}{2} $ nên suy ra $ C=1 $ hay $ \sqrt{x}\cdot f(x)=\frac{1}{2}x^2+1 $. Thay $ x=4 $ vào tìm được $ f(4)=\frac{9}{2} $.

Câu 6. [SGD Vĩnh Phúc năm 2020] Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cot x\cdot f\left(\sin^2x\right)dx=\int_1^{16}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{x}dx=1 $$ Tính tích phân $ \displaystyle I=\int _{\frac{1}{8}}^1\frac{f(4x)}{x} dx$.

Hướng dẫn. Đối với tích phân $ \displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cot x\cdot f\left(\sin^2x\right)dx= 1$ chúng ta đổi biến $ t=\sin^2x $ thì $$ dt=2\sin x\cos x dx=2\sin^2x \cdot \cot x dx $$ Suy ra $ \cot x dx=\frac{dt}{2t} $, do đó tích phân đã cho trở thành $$ 1=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(t)dt}{2t} $$ Vì tích phân không phụ thuộc vào tên biến nên suy ra $$ \int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(x)dx}{2x}=1\Leftrightarrow \int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(x)dx}{x}=2 $$ Đối với tích phân $ \displaystyle \int_1^{16}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{x}dx=1 $, chúng ta cũng sử dụng phương pháp đổi biến với $ t=\sqrt{x} $ thì tìm được $$ \int_1^{4}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\frac{1}{2}. $$ Tiếp tục sử dụng đổi biến số cho tích phân cần tính \begin{align*}
I&=\int _{\frac{1}{8}}^1\frac{f(4x)}{x} dx\\
&=\int _{\frac{1}{2}}^4\frac{f(t)}{t}dt=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(t)}{t}dt+\int_{1}^4\frac{f(t)}{t}dt\\
&=2+\frac{1}{2}\\
&=\frac{5}{2}
\end{align*}

Câu 7. [Chuyên Thái Bình Lần 4 năm 2020] Cho $ f(x) $ là hàm số liên tục trên tập số thực $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $$ f\left(x^2+3x+1\right)=x+2 $$ Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_1^5 f(x) dx $.

Hướng dẫn. Vì tích phân không phụ thuộc tên biến nên ta có $$ I=\int_1^5 f(x) dx=\int_1^5 f(t) dt $$ Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $ t=x^2+3x+1 $ thì $ dt=(2x+3)dx $ và tích phân cần tính trở thành \begin{align*}
I&=\int_0^1f\left(x^2+3x+1)(2x+3)dx\right)\\
&=\int_0^1 (x+2)(2x+3)dx
\end{align*} Dễ dàng tính được tích phân cuối cùng này bằng $\frac{61}{6}$, tức là $I=\frac{61}{6}$.

Câu 8. [SGD Thái Nguyên năm 2020] Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ f'(x)>0, \;\forall x\in \mathbb{R} $. Biết $ f(0)=1 $ và $ f'(x)=(2-3x)\cdot f(x) $. Tính giá trị của $ f(1) $.

Hướng dẫn. Vì $ f(x)>0, \;\forall x\in \mathbb{R} $ nên chia hai vế đẳng thức đã cho cho $ f(x)$ ta được $$ \frac{f'(x)}{f(x)} =2-3x$$ Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức này, ta được \begin{align*}
\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx & =\int (2-3x) dx\\
\Leftrightarrow \int \ln \left|f(x) \right|= \ln (f(x)) &= -\frac{3}{2}x^2+2x+C
\end{align*} Mặt khác $ f(0)=1$ nên suy ra $$ \ln (f(0)) =\ln 1=-\frac{3}{2}\cdot0^2+2\cdot 0 +C $$ hay $ C=0$. Suy ra $ \ln (f(x)) = -\frac{3}{2}x^2+2x$. Thay $ x=1$ vào ta được $ \ln (f(1))=\frac{1}{2}$ nên $ f(1)=e^{\frac{1}{2}}$.

Câu 9. [Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 năm 2020] Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $ \mathbb{R}$ và $$ \int_1^9\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx=4, \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)\cos xdx=2$$ Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_0^3f(x)dx$.

Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $ t=\sqrt{x}$ thì ta có \begin{align*}
4&=\int_1^9\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx\\
&=2\int_1^3 f(t)dt
\end{align*} Vì tích phân không phụ thuộc tên biến, nên suy ra $\displaystyle \int_1^3 f(x)dx=2 $.

Tương tự, đổi biến $ t=\sin x$ thì tích phân thứ hai đã cho trở thành \begin{align*}
2&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)\cos xdx\\
&=\int_0^1 f(t)dt
\end{align*} hay suy ra $ \displaystyle \int_0^1f(x)dx=2$. Tóm lại, tích phân cần tính là \begin{align}
I&=\int_0^3f(x)dx\\
&=\int_0^1f(x)dx+\int_1^3f(x)dx\\
&=2+2=4
\end{align}

Câu 10. [THPT Bình Phú] Cho hàm số $f(x)$ là đa thức thỏa mãn $$ f(x)+\frac{1}{x}f'(x^2)+f”(x)=x^2+2x-2 $$ Biết $ f(-2)=0, f(0)=f'(-2)=-4$. Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_0^{-2}f(x)dx.$

Hướng dẫn. Nhận xét rằng $ f(x)$ là đa thức bậc hai, nên đặt $ f(x)=ax^2+bx+c$ thì từ dữ kiện $ f(-2)=0, f(0)=f'(-2)=-4$ ta có hệ phương trình $$ \begin{cases}
4a-2b+c=0\\
c=-4\\
-4a+b=-4
\end{cases} $$ Giải hệ này ta được $ a=1,b=0,c=-4$ và do đó $ f(x)=x^2-4$. Từ đó tìm được $$ I=\int_0^{-2}f(x)dx=\frac{16}{3}. $$ Cách khác, chúng ta đồng nhất hệ số của đẳng thức $$ f(x)+\frac{1}{x}f'(x^2)+f”(x)=x^2+2x-2 $$ cũng lập được một hệ phương trình và từ đó tìm được $ f(x)=x^2-4$ như trên.

Câu 11. [Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định] Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $ (0;+\infty)$ và $ f(1)=e$. Biết rằng $ x^3\cdot f'(x)=e^x(x-2)$ với mọi $ x\in (0;+\infty)$. Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_1^{\ln 3}x^2 f(x)dx$.

Hướng dẫn. Xét trên khoảng $ (0;+\infty)$, từ $ x^3\cdot f'(x)=e^x(x-2)$, ta suy ra $$ f'(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3} $$ Lấy nguyên hàm hai vế ta được \begin{align}
\int f'(x) dx&=\int \frac{e^x(x-2)}{x^3}dx \\
f(x)&=\frac{1}{x^{2}}e^{x}+C
\end{align} Cho $ x=1$ ta được $ e=f(1)=e+C$ nên suy ra $ C=0$. Tức là ta có $ f(x)=\frac{1}{x^{2}}e^{x}$. Do đó, tích phân cần tính trở thành \begin{align}
I&=\int_1^{\ln 3}x^2\cdot \frac{e^x}{x^2}dx\\
&=\int_1^{\ln 3}e^xdx\\
&=3-e
\end{align}

Câu 12. [Kim Liên – HN HK2] Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $ \mathbb{R}$ và thỏa mãn $ f(1)=f'(1)=2$. Biết rằng $$ f(1-x)+x^2\cdot f”(x)=4x+2, $$ với mọi $ x\in \mathbb{R}$, tính tích phân $ \displaystyle \int_0^1 xf'(x)dx$.

Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, với $$ \begin{cases}
u=f'(x)\\ dv=xdx
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
du=f”(x)dx\\ v=\frac{1}{2}x^2
\end{cases}$$ Tích phân cần tính trở thành \begin{align}
I&=\frac{1}{2}x^2f'(x)\bigg|_0^1 -\frac{1}{2}\int_0^1 x^2f”(x)dx\\
&=\frac{1}{2}f'(1)-\frac{1}{2}\int_0^1\left(4x+2-f(1-x)\right)dx\\
&=1-\frac{1}{2}\int_0^1\left(4x+2\right)+\frac{1}{2}\int_0^1f(1-x)dx\\
&=-1-\frac{1}{2}\int_1^0f(t)dt\\
&=-1+\frac{1}{2}J
\end{align} Mặt khác, nếu đặt $$ \begin{cases}
u=x\\ dv=f'(x)dx
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
du=dx\\ v=f(x)
\end{cases}$$ thì thích phân cần tính trở thành \begin{align}
I&=xf(x)\bigg|_0^1 -\int_0^1 f(x)dx\\
&=2-J
\end{align} Tóm lại, chúng ta có hệ phương trình $$ \begin{cases}
I=2-J\\ I=-1+\frac{1}{2}J
\end{cases} $$
Giải hệ này tìm được $ I=0.$

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

(tiếp tục cập nhật)
18/06/2020
Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian là một dạng toán quan trọng xuất hiện trong các đề thi THPTQG, thi học kì 2 lớp 11. Ngoài tính góc giữa 2 mặt phẳng thì các em cần thành thạo Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Một số dạng toán hình học không gian quan trọng mà các em có thể ôn tập:
1. Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian bằng góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Chú ý rằng góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ $ 0^\circ $ đến $ 90^\circ. $

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $ 0^\circ. $ Trái lại, hai mặt phẳng phải cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng nào đó, giả sử là $ \Delta $, thì ta có ba cách như dưới đây.

Bài toán. Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ trong không gian.

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

1.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

Tìm hai đường thẳng $ a $ và $ b $ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $ (Q) $. Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $ (Q) $ chính bằng góc giữa hai đường thẳng $ a $ và $ b $.

Vì chúng ta được quyền lựa chọn các đường thẳng $ a $ và $ b $ nên ta thường chọn sao cho hai đường thẳng này cắt nhau, để việc tính góc giữa chúng dễ dàng hơn.

1.2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách sử dụng giao tuyến
- Xác định giao tuyến $ \Delta $ của hai mặt phẳng $ (P)$ và $(Q) $.
- Tìm mặt phẳng $\left( R\right)$ vuông góc với giao tuyến $\Delta $.
- Lần lượt tìm các giao tuyến $ a $ và $ b $ của mặt phẳng $\left( R\right)$ với hai mặt phẳng $ (P)$ và $(Q) $.
- Tính góc giữa hai đường thẳng $ a $ và $ b $, đây chính là góc giữa hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $.
Nhận xét. Thay vì tìm một mặt phẳng $(R)$ vuông góc với giao tuyến $ \Delta $, ta có thể đi tìm một điểm $ I $ nào đó trên $ \Delta $. Sau đó, từ điểm $ I $ này lần lượt dựng hai đường thẳng $ a $ và $ b $ nằm trong từng mặt phẳng rồi tính góc giữa chúng.

1.3. Tính góc giữa 2 mp bằng công thức diện tích hình chiếu

Giả sử góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $ (Q) $ bằng $ \varphi $. Lấy trong mặt phẳng $(P)$ một đa giác $ (H) $ có diện tích $ S $, hình chiếu vuông góc của đa giác $ (H) $ lên mặt phẳng $(Q)$ là đa giác $ (H’) $ có diện tích $ S’ $. Khi đó ta luôn có công thức
\[ S’=S\cos\varphi. \]

2. Ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh $ SA=a\sqrt{3} $ và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABCD), $ góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và mặt phẳng $ (ABCD). $

Hướng dẫn. Để tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABCD)$, chúng ta sử dụng cách thứ 2.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABCD)$ chính là $BC$.
- Bây giờ, ta cần tìm (nếu chưa có sẵn thì chúng ta sẽ tự vẽ thêm) một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến $BC$ này. Bạn nào phát hiện ra đó chính là mặt phẳng $ (SAB) $ thì tốt, nếu chưa thì chú ý hai điều sau:
  - Muốn có một mặt phẳng vuông góc với $ BC $ thì cần tìm mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc với $ BC $.
  - Đường thẳng $ BC $ đang vuông góc với những đường thẳng nào (chính là $ SA $ và $ AB $).
- Bước tiếp theo, sau khi có mặt phẳng $ (SAB) $ rồi, chúng ta sẽ tìm giao tuyến của nó với hai mặt phẳng ban đầu, chính là các đường thẳng $ AB $ và $ SB $
- Cuối cùng, chúng ta đi tính góc giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ SB $, chính là góc $ SBA $, các em hãy tự tính xem góc này bằng bao nhiêu.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBD) $ và $ (ABCD)$, các em hãy thực hiện đúng các bước như trên. Gợi ý, góc giữa hai mặt phẳng này chính bằng góc $SOA$.

Nếu thấy bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo. Xin cảm ơn.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC, $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân với $ BA = BC = a $; cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA = a $. Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $ và $ AC. $

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (ABC) $ và $ (SBC). $
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SEF) $ và $ (SBC). $
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBC). $

Hướng dẫn.

1. Góc giữa hai mặt phẳng $ (ABC) $ và $ (SBC) $ chính bằng góc $SBA$.

2. Giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SEF) $ và $ (SBC) $ là đường thẳng $ d $ đi qua điểm $ S $ và song song với $ BC $. Do đó, chúng ta tìm một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến $ d $ thì cũng chính là đi tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $ BC $. Và, nhận thấy luôn mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với $ BC $. Sau đó đi xác định giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ với hai mặt phẳng ban đầu khá dễ dàng. Góc giữa hai mặt phẳng chính bằng góc $ BSE $ và đáp số $\cos({(SEF),(SBC)})=\frac{3}{\sqrt{10}}$.

3. Để tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBC)$, chúng ta có thể làm theo cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến $SC$ của chúng. Tuy nhiên, cách này không phải bạn nào cũng biết cách tạo ra một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đó, nên ở đây thầy hướng dẫn theo cách sử dụng công thức diện tích hình chiếu.

Trong mặt phẳng $ (SBC) $ chúng ta chọn một đa giác mà dễ dàng tính được diện tích, chọn luôn tam giác $ SBC $. Đây là tam giác vuông tại $ B $ nên diện tích tính bởi $$ S_{SBC}=\frac{1}{2}SB\cdot BC $$ Tiếp theo, tìm hình chiếu của tam giác này lên mặt phẳng $ (SAC) $. Chúng ta có ngay hình chiếu vuông góc của $ C $ và $ S $ thì trùng với chính chúng luôn, nên chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ là đủ.
Phát hiện được trung điểm $ F $ của $ AC $ chính là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ lên mặt phẳng $ (SAC) $ (hãy thử giải thích tại sao, nếu không được thì mời các em để lại bình luận dưới bài viết, thầy sẽ hướng dẫn).
Như vậy, hình chiếu vuông góc của tam giác $ SBC $ lên mặt phẳng $ (SAC) $ chính là tam giác $ SCF $, tam giác này có diện tích $ S_{SCF}= \frac{1}{2}SA\cdot FC$. Theo công thức diện tích hình chiếu thì $$ S_{SCF}=S_{SBC}\cdot \cos\varphi $$ Thay số vào tìm được, $\left( {(SAC),(SBC)} \right)= 60^\circ$.

Nếu vẫn sử dụng cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến $ SC $, thầy gợi ý là lần lượt gọi $ H,K $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ SB,SC $ thì chứng minh được mặt phẳng $ (AHK) $ vuông góc với $ SC $. Góc giữa hai mặt phẳng cần tính chính bằng góc $ AKH $.

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm của đáy là điểm $ O $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy $(ABCD)$. Tính độ dài cạnh $ SA $ theo $ a $ để số đo của góc giữa hai mặt phẳng $ (SCB) $ và $ (SCD) $ bằng $ 60^\circ $.

Hướng dẫn. Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SCB) $ và $ (SCD) $ là đường thẳng $ SC $.
Bây giờ, chúng ta cần tìm một mặt phẳng vuông góc với $ SC $. Trong tam giác $ SBC $ kẻ đường cao $ BH $ xuống cạnh $ SC $ thì chứng minh được $ DH $ cũng là đường cao của tam giác $ SCD $.

Suy ra $ SC $ vuông góc với mặt phẳng $ BHD $ và góc giữa hai mặt phẳng $ (SCB) $ và $ (SCD) $ chính là góc giữa $ BH $ và $ DH $. Tuy nhiên, không thể khẳng định được là góc $ \widehat{BHD} $ vì có thể góc này là góc tù. Tóm lại, chúng ta phải xét hai trường hợp:
- $ \left((SCB),(SCD)\right) =\widehat{BHD} $ tức là $\widehat{BHD}= 60^\circ $
- $ \left((SCB),(SCD)\right)=180^\circ – \widehat{BHD} $ tức là $\widehat{BHD}= 120^\circ $
Lần lượt xét hai trường hợp này, thấy trường hợp $\widehat{BHD}= 120^\circ $ thỏa mãn yêu cầu và tìm được đáp số $ SA = a. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt{3}$. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. $ (SBC) $ và $ (ABC) $
2. $ (SBD) $ và $ (ABD) $
3. $ (SAB) $ và $ (SCD) $

Hướng dẫn. $ 60^\circ, \arctan\sqrt{6},30^\circ.$

Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $, có đáy $ ABCD $ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $ AB = 2a; $ cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt{3}$.

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SAD) $ và $ (SBC). $
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (SCD). $

Hướng dẫn. Sử dụng công thức diện tích hình chiếu (đơn giản) hoặc tính trực tiếp (phức tạp). Đáp số
$\tan({(SAD),(SBC)})=\sqrt{7}$, $\cos({(SBC),(SCD)})=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Ví dụ 6. Cho hình thoi $ ABCD $ cạnh $ a $, tâm $O, OB = \frac{a\sqrt{3}}{3}; SA\perp (ABCD)$ và $SO = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Chứng minh góc $\widehat{ASC}$ vuông. Chứng minh hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAD) $ vuông góc. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC). $

Hướng dẫn. $ ({(SBC),(ABC)})=60^\circ. $

Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ SA\perp (ABCD) $ và $SA = a\sqrt{2}$, đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $ với $ AB = 2a, AD = DC = a $. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: $ (SBC) $ và $ (ABC);(SAB)$ và $ (SBC);(SBC) $ và $ (SCD). $

Hướng dẫn. $45^\circ,60^\circ,\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ví dụ 8. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh bên $ SA = a $ và vuông góc với đáy. Gọi $ M; N $ lần lượt là trung điểm $ SB $ và $ SD $. Tính $ \sin $ của góc giữa hai mặt phẳng $ (AMN) $ và $ (SBD) $.

Ví dụ 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh bên $ SA = a $ và vuông góc với đáy. Gọi $ E$ và $F $ lần lượt là trung điểm $ SB $ và $ SD $. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $ (AEF) $ và $ (ABCD) $.

3. Bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a.$ Cạnh $ SA = a$ và vuông góc với đáy.

1. Chứng minh rằng mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$; $(SBC)$ vuông góc với $(SAB)$; $(SCD)$ vuông góc với $(SAD)$; $(SAC)$ vuông góc $(SBD)$.
2. Gọi $AI, AJ$ lần lượt là đường cao của các tam giác $SAB, SAC$, chứng minh rằng $(SCD)$ vuông góc với $(AIJ)$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC) $ và $(ABCD)$; $(SBD) $ và $(ABCD)$.

Bài 2. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ có $I, J$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $I$ lấy điểm $S$. Chứng minh rằng $BC\perp (SAB), CD\perp (SIJ)$; $(SAB)\perp (SBC), (SAB)\perp (SIJ)$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, chứng minh $(SIM)\perp (SBD)$. Giả sử $SI = a$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

Bài 3. Cho hình chóp đều $S.ABCD$, $O$ là tâm $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$, cho $SA = a, AB = a.$ Chứng minh rằng $(SAC)\perp (SBD)$, $(SOI)\perp (ABCD)$; $(SIO)\perp (SCD)$. Gọi $OJ$ là đường cao của tam giác $SOI$, chứng minh $OJ\perp SB$. Gọi $BK$ là đường cao của tam giác $SBC$, chứng minh rằng $(SCD) \perp (BDK)$. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Mặt bên $(SAB)$ vuông góc với đáy $(ABCD)$. Cho $AB = a, AD = a\sqrt{2}$. Chứng minh rằng $SA\perp (ABCD), (SAD)\perp (SCD)$. Gọi $AH$ là đường cao của…, chứng minh $AH\perp (SBC)$, $(SBC)\perp (AHC)$; $DH\perp SB$. Tính góc giữa $(SAC)$ và $(SAD)$.

Bài 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh bằng $a$ tâm là điểm $O$. Cạnh $ SA = a$ và vuông góc với đáy. Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông. Chứng minh $BD$ vuông góc với $SC$. Tính góc giữa $SC $ và $(ABCD)$, góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$. Tính góc giữa mặt phẳng $(SCD) $ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính diện tích hình chiếu của tam giác $ SCD$ trên $(ABCD)$.
17/06/2020
Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ
Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỉ Phương pháp đặt ẩn phụ giải PT, bất phương trình chứa căn

Để giải phương trình chứa căn (phương trình vô tỉ) thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những cách hiệu quả để đưa một phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn phức tạp về các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn cơ bản.

Các phương pháp giải PT, BPT chứa căn khác là:
1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến) giải phương trình, bất phương trình vô tỉ gồm có 4 dạng:
- Đưa về phương trình một ẩn.
- Đưa về phương trình đẳng cấp (phương trình thuần nhất).
- Đưa về phương trình tích (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn).
- Đưa về hệ phương trình.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới

Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+9}+\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}=7$$ Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}$, điều kiện $t \ge 0$ ta thu được phương trình \[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{\sqrt {{t^2} + 7} + t = 7}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
7 – t \ge 0\\
{t^2} + 7 = {(7 – t)^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l}
t \le 7\\
{t^2} + 7 = 49 – 14t + {t^2}
\end{array} \right.}\\
\Leftrightarrow &{t = 3}
\end{array}\] Với $ t=3, $ ta có phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 2x + 2} = 3\]Bình phương hai vế phương trình này, tìm được nghiệm $ x=\frac{{1 \pm\sqrt {22} }}{3}.$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $$\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$$ Hướng dẫn. Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với \[ {{x}^{2}}+5x+4<5\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28} \] Lúc này đã thấy xuất hiện một biểu thức phức tạp và xuất hiện nhiều lần. Do đó, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+5x+28}$ điều kiện $ t\ge0 $ thì thu được bất phương trình \[ {{t}^{2}}-5t+24<0 \] Giải bất phương trình này được $-3<t<8$. Kết hợp điều kiện được $0<t<8$, do đó có $$\sqrt {{x^2} + 5x + 28} < 8 $$ Giải bất phương trình này tìm được $ – 9 < x < 4. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}+\sqrt{(x+2)(5-x)}=4$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-2\le x\le 5$. Đặt $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}$ điều kiện $ t\ge0. $ Suy ra \[ {{t}^{2}}=7+2\sqrt{x+2}\sqrt{5-x}=7+2\sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)} \] Do đó $ \sqrt{\left( x+2 \right)\left( 5-x \right)}=\dfrac{{{t}^{2}}-7}{2} $ và ta thu được phương trình \[ t + \frac{{{t^2} – 7}}{2} = 4 \] Giải phương trình bậc hai này tìm được $ t=3 $. Suy ra, ta có phương trình \[{\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 – x} = 3}\] Hai vế của phương trình này đều không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình tương đương \[\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{7 + 2\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 9}\\
\Leftrightarrow &{\sqrt {(x + 2)(5 – x)} = 1}
\end{array}\]Tiếp tục bình phương hai vế phương trình cuối cùng này ta tìm được đáp số $x={\frac{{3 \pm3\sqrt 5 }}{2}}$

Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=2$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 1$. Nhận xét: $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$ nên đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ thì phương trình đã cho trở thành $$t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t=1$$ Với $t=1$, chúng ta có phương trình $\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=1$. Bình phương hai vế phương trình này ta tìm được đáp số cuối cùng $x=1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình: $$2{{x}^{2}}-6x-1=\sqrt{4x+5}$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\ge -\frac{4}{5}$. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{4x+5}$ điều kiện $ t\ge 0 $ thì $x=\frac{{{t}^{2}}-5}{4}$. Thay vào ta có phương trình: \begin{align*}
& 2.\frac{{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+25}{16}-\frac{6}{4}({{t}^{2}}-5)-1=t\\
\Leftrightarrow\;& {{t}^{4}}-22{{t}^{2}}-8t+27=0\\
\Leftrightarrow\;& ({{t}^{2}}+2t-7)({{t}^{2}}-2t-11)=0
\end{align*} Ta tìm được bốn nghiệm là: ${{t}_{1,2}}=-1\pm 2\sqrt{2}$, ${{t}_{3,4}}=1\pm 2\sqrt{3}$. Kết hợp điều kiện được ${{t}_{1}}=-1+2\sqrt{2},{{t}_{3}}=1+2\sqrt{3}$. Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là $x=1-\sqrt{2}$ và $x=2+\sqrt{3}$.

Ví dụ 6. Giải phương trình $$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $1\le x\le 6$. Đặt $y=\sqrt{x-1}$ điều kiện $y\ge 0$ thì phương trình trở thành: $${{y}^{2}}+\sqrt{y+5}=5\Leftrightarrow {{y}^{4}}-10{{y}^{2}}-y+20=0$$ Với $y\le \sqrt{5}$ thì phương trình tương đương với $$({{y}^{2}}+y-4)({{y}^{2}}-y-5)=0\Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{21}}{2},y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$ Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=\frac{11-\sqrt{17}}{2}$.

Ví dụ 7. [THTT 3-2005] Giải phương trình $$x=\left( 2004+\sqrt{x} \right){{\left( 1-\sqrt{1-\sqrt{x}} \right)}^{2}}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $0\le x\le 1$. Đặt $y=\sqrt{1-\sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành $$2{{\left( 1-y \right)}^{2}}\left( {{y}^{2}}+y-1002 \right)=0\Leftrightarrow y=1$$ Từ đó tìm được nghiệm $ x=0. $

Ví dụ 8. Giải phương trình sau: $${{x}^{2}}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $-1\le x<0$. Chia cả hai vế cho $ x $ ta được phương trình $$x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}$$ Đặt $t=x-\frac{1}{x}$. Đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5} }{2}.$

Ví dụ 9. Giải phương trình $${{x}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}=2x+1$$ Hướng dẫn. Nhận xét $x=0$ không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho $ x $ ta được: $$\left( x-\frac{1}{x} \right)+\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=2$$ Đặt $t=\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}$ thu được phương trình $${{t}^{3}}+t-2=0$$ Giải phương trình này, tìm được $t=1$. Từ đó tìm được đáp số $ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.

Ví dụ 10. Giải bất phương trình \[ \frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1 \] Hướng dẫn. Biến đổi bất phương trình đã cho thành \begin{align*}
&\frac{1}{1-x^2}-1>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-2 \\
\Leftrightarrow\;& \frac{x^2}{1-x^2}>3\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-2
\end{align*} Đặt $ t= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \[{{t^2} > 3t – 2}\]

Ví dụ 11. Tìm $ m $ để phương trình sau có nghiệm: $$ x(x-1)+4(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}=m $$ Hướng dẫn. Đặt $t=(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}$ thì $t\in \mathbb{R}$. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ${{t}^{2}}+4t-m=0$ có nghiệm. Điều kiện cần và đủ là \[ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow m\ge -4 \] Vậy với $ m\ge -4 $ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $ m $ để bất phương trình $$ m\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1 \right)+x(2-x)\le 0 $$ có nghiệm $x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]$.

Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}$ thì $x\in [0;1+\sqrt{3}] $ nên $ t\in[1;2]. $ Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với $$ m\le \frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}\,\,\,\,(*)$$ Xét hàm số $f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}$ trên $ [1,2] $ có $$f'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t+2}{{{(t+1)}^{2}}}>0$$ nên hàm số $ f(t) $ đồng biến trên đoạn $ [1,2]$

Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm $x\in \left[ 0;\,\,1+\sqrt{3} \right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $(*)$ có nghiệm $t\in [1,2]$ khi và chỉ khi $$m\le\underset{t\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max f(t)}}=f(2)=\frac{2}{3}$$ Vậy các giá trị cần tìm là $m\le\frac{2}{3}.$

3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất

Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc hai hai ẩn $ x,y $ là phương trình có dạng $$ ax^2+bxy+cy^2=0 $$ Cách giải. Chúng ta có hai cách để xử lý phương trình thuần nhất bậc hai này:
- Nếu $y=0$ thì $x=0$. Nếu $y\ne0$ ta chia cả hai vế cho $y^{2}$ và đặt $t=\frac{x}{y}$ được phương trình bậc hai $$at^{2}+bt+c=0$$
- Nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm $M,N$ thì ta phân tích ngay phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
  \,\,\,\,\,\,\,a{x^2} + bxy + c{y^2} = 0\\
  \Leftrightarrow a(x – My)(x – Ny)
  \end{array}\] mà không cần phải đặt $t=\frac{x}{y}$.
Ví dụ 1. [Vào 10 Trần Phú – Hải Phòng] Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x^3+1\ge0 \Leftrightarrow x\ge -1. $ Ta có $ x^3=1=(x+1)(x^2-x+1) $ mà $ (x+1)+(x^2-x+1)=x^2+2 $ tức là giữa căn thức và biểu thức còn lại có sự liên quan nhất định. Ta khai thác như thế nào?

Viết lại phương trình đã cho thành \begin{align*}
& 5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((x+1)+(x^2-x+1))\\
\Leftrightarrow \;&5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2((\sqrt{x+1})^2+(\sqrt{x^2-x+1})^2)
\end{align*} Đặt $ a=\sqrt{x+1} $ và $ b=\sqrt{x^2-x+1} $ thì ta được phương trình $$ 5ab=2a^2+2b^2 $$ Phân tích đa thức thành nhân tử được $$2(a-2b)(a-\frac{1}{2}b)=0$$ Từ đó tìm được $a=2b $ hoặc $a=\frac{1}{2}b. $ Đáp số $ x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8} $$ Hướng dẫn. Đáp số $ x=3\pm\sqrt{13}. $

Ví dụ 3. Giải phương trình: $$2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}$$ Hướng dẫn. Đặt $u=\sqrt{x+1},v=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ thì phương trình trở thành: $$2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)=5uv\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u=2v \\
u=\frac{1}{2}v
\end{array} \right.$$
Tìm được đáp số $x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$ 5\sqrt{x^5+x^3+x^2+1}=2\sqrt{x^6+5x^4+8x^2+4} $$ Hướng dẫn. Khi giải phương trình này, việc đầu tiên là tôi thử bình phương! Được một phương trình bậc 6, thử nhóm các kiểu, loay hoay một lúc mà không được. Tôi quay lại phương trình ban đầu, quan sát biểu thức $ x^6+5x^4+8x^2+4 $ tôi thấy có mũ 6, mũ 4 và mũ 2, toàn là lũy thừa chẵn. Tôi thử tách và thành công \begin{align*}
x^6+5x^4+8x^2+4&=(x^6+x^4)+4(x^4+2x^2+1)\\
&=(x^2+1)(x^4+4x^2+4)
\end{align*} Quan sát biểu thức dưới căn ở vế trái, dễ dàng nhóm thành $ (x^2+1)(x^3+1) $. Do đó, phương trình ban đầu trở thành \[ 5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2) \] đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ u=x+1,v=x^2-x+1. $

Ví dụ 5. Giải bất phương trình $$2{x^3} \le (1 + 2x – 3{x^2})\sqrt {2x + 1}$$ Hướng dẫn. Đặt $y=\sqrt{2x+1}$ điều kiện $ y\ge 0 $ thì $ {{y}^{2}}=2x+1 $ và do đó, bất phương trình đã cho trở thành: $$
2{{x}^{3}}\le \left( {{y}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)y\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}\le 0\,\,\,(*)
$$ Ta xét hai trường hợp:
- $ y=0 $ tìm được nghiệm $ x=-\frac{1}{2}. $
- $ y>0 $, chia cả hai vế bất phương trình $ (*) $ cho $ y^3 $ được \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {}&{2{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^3} + 3{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} – 1 \le 0}\\
  \Leftrightarrow &{\left( {2\frac{x}{y} – 1} \right){{\left( {\frac{x}{y} + 1} \right)}^2} \le 0}\\
  \Leftrightarrow &{\frac{x}{y} \le \frac{1}{2}}\\
  \Leftrightarrow &{y \ge 2x}
  \end{array}\]Do đó, ta được
  $\sqrt {2x + 1} \ge 2x \Leftrightarrow \Bigg[ \begin{array}{l}
  \left\{ \begin{array}{l}
  x \le 0\\
  2x + 1 \ge 0
  \end{array} \right.\\
  \left\{ \begin{array}{l}
  x > 0\\
  2x + 1 \ge 4{x^2}
  \end{array} \right.
  \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  – \frac{1}{2} \le x \le 0\\
  0 < x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}
  \end{array} \right.$
Kết hợp hai trường hợp, được tập nghiệm là $S=\left[ -\frac{1}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$.

4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích

Đôi khi, phương pháp này còn được gọi là Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn. Chúng tôi sẽ có một bài viết chi tiết hơn về phương pháp này. Mời Quý thầy cô và các em học sinh đón xem.

Ví dụ 1. [HSG 9 Thừa Thiên Huế 2003] Giải phương trình $$ x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1} $$ Hướng dẫn. Đặt $ t=\sqrt{x^2+1} $ thì phương trình trở thành $ t^2-(x+3)t+3x=0 $ là phương trình bậc hai đối với ẩn $ t. $

Ta có $ \Delta=(x-3)^2\ge 0 \; \forall x$ do đó \[ \left[\begin{array}{l}
t=x\\ t=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\sqrt{x^2+1}=x\\ \sqrt{x^2+x}=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\pm 2\sqrt{2}. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$ 2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1.$$ Hướng dẫn. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn $ t=\sqrt{x^2+2x-1} $ đưa về phương trình bậc hai theo $ t. $

Đáp số $ x=-1\pm \sqrt{6}. $

Cách khác: Các em có thể phân tích trực tiếp phương trình đã cho thành $ (x-1)^2-2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}-2=0 $

Ví dụ 3. [HSG Vĩnh Long 2012] Giải phương trình: $$4\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1+5x+4{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$$ Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với $t=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ điều kiện $t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ thì phương trình $ (\ref{ap1}) $ trở thành: \begin{align*}
&4t=-{{t}^{4}}+7{{t}^{2}}-5\\
\Leftrightarrow \;&{{t}^{4}}-6{{t}^{2}}+9-\left( {{t}^{2}}-4t+4 \right)=0 \\
\Leftrightarrow \;&{{\left( {{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}-{{\left( t-2 \right)}^{2}}=0\\
\Leftrightarrow \;&\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t-5 \right)=0
\end{align*} Tìm được $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$. Từ đó tìm được hai nghiệm là $ x=\frac{-1-\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$ và $x=\frac{-1+\sqrt{19-2\sqrt{21}}}{2}$.

5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình $$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$$ Hướng dẫn. Điều kiện: $x\le \frac{6}{5}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u=\sqrt[3]{3x-2} \\
v=\sqrt{6-5x}
\end{array} \right. $ thì chúng ta có $ \left\{ \begin{array}{l}
{{u}^{3}}=3x-2 \\
{{v}^{2}}=6-5x
\end{array} \right.$

Do đó, ta có hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
2u+3v=8 \\
5{{u}^{3}}+3{{v}^{2}}=8 \end{array} \right.$$ Giải hệ này ta được $\left\{ \begin{array}{l} u=-2 \\
v=4 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x-2=-2 \\
6-5x=16 \end{array} \right.\Rightarrow x=-2$.

Thử lại, thấy $x=-2$ là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=-2$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $$2\text{x}+1+x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}+3}=0 $$ Hướng dẫn. Đặt $\begin{cases}
u=\sqrt{{{x}^{2}}+2} \\
v=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}
\end{cases}
$ điều kiện $ u,v>0 $ thì $$
\begin{cases}
{{u}^{2}}={{x}^{2}}+2 \\
{{v}^{2}}={{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
{{v}^{2}}-{{u}^{2}}=2x+1 \\
{{x}^{2}}=\frac{{{v}^{2}}-{{u}^{2}}-1}{2} \\
\end{cases}$$ Thay vào phương trình đã cho được $$(v-u)\left( (v-u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
v-u=0\\
(v+u)\left( 1+\frac{v+u}{2} \right)+\frac{1}{2}=0\\
\end{array} \right.$$ Vì $ u,v>0 $ nên suy ra $ u=v. $

Vậy phương trình đã cho tương đương với $$ v=u\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} $$
16/06/2020
Hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng
Cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số liên tục là một trong những mảng kiến thức quan trọng của Giải tích, trong bài này chúng tôi xin giới thiệu tóm tắt lý thuyết về hàm số liên tục và các dạng toán liên quan.

Xem thêm:
1. Tóm tắt lý thuyết hàm số liên tục

1.1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0$ thuộc $ (a;b) $. Hàm số $f(x)$ liên tục tại $ x_0 $ khi và chỉ khi $$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$$

Hàm số không liên tục tại $ x_0 $ còn có thể gọi là hàm số gián đoạn tại $ x_0 $.

Giả sử các hàm số $ y = f(x), y = g(x) $ liên tục tại điểm $ x_0 $. Khi đó:
- Các hàm số $ y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) $ liên tục tại $ x_0 $.
- Hàm số $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $ x_0 $ nếu $ g(x_0) \ne 0 $.
1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số $ y = f(x) $ liên tục trên khoảng $ (a;b) $ khi và chỉ khi nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
- Nếu hàm số liên tục trên khoảng $ (a;b) $ thì trên khoảng đó, đồ thị hàm số là một đường nét liền liên tục (không bị đứt).
Tại điểm $x_0$ đồ thị hàm số bị đứt (rời) nên có thể nói hàm số gián đoạn tại $x_0$

1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số $ y = f(x) $ liên tục trên đoạn $ [a;b] $ khi và chỉ khi nó liên tục trên khoảng $ (a;b) $ và
\[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\,\,\,\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\]

1.4. Các hàm số liên tục thường gặp
- Hàm số đa thức liên tục trên $ \mathbb{R} $.
- Hàm số phân thức, căn thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục
- Nếu hàm số $ y = f(x) $ liên tục trên đoạn $ [a; b] $ và $ f(a). f(b)< 0 $ thì tồn tại ít nhất một số $ c $ thuộc khoảng $ (a; b) $ sao cho $ f(c) = 0 $.
- Nói cách khác, nếu hàm số $ y = f(x) $ liên tục trên đoạn $ [a; b] $ và $ f(a). f(b)< 0 $ thì phương trình $ f(x) = 0 $ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $ (a; b) $.
- Nếu hàm số liên tục $ y = f(x) $ trên đoạn $ [a; b] $. Đặt $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)$, và $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)$. Khi đó với mọi số $ T $ thuộc khoảng $ (m; M) $ luôn tồn tại ít nhất một số $ c $ thuộc khoảng $ (a; b) $ sao cho $ f(c) = T $.
2. Các ví dụ và dạng toán về hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm cụ thể

Để xét tính liên tục của hàm số $ y = f(x) $ tại điểm $ x_0 $ ta thực hiện các bước:
- Kiểm tra xem hàm số có xác định trên một khoảng chứa $ x_0 $ hay không và tính giá trị $ f(x_0) $.
- Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ (trong nhiều trường hợp ta cần tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } {\mkern 1mu} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x)$)
- So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $ f(x_0) $ và kết luận.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại $ x = 1 $.

Hướng dẫn.
- Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ chứa $ x=1 $ và $ f(1) = – 3 $
- Ta đi tính giới hạn hàm số tại $ x=1 $ $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}} = – 3 $$
- Thấy ngay $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = – 3 $, nên suy ra hàm số đã cho liên tục tại $ {x_0} = 1 $.
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} &\text{nếu }\,x \ne 1\\ 2x+5 &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại $ x = 1 $.

Hướng dẫn.
- Rõ ràng hàm số xác định tại $ x=1 $ và $ f(1) = 7 $
- Ta đi tính giới hạn hàm số tại $ x=1 $ $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}} = – 3 $$
- Do $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1) $ nên hàm số đã cho gián đoạn tại $ x_0 = 1 $.
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu }\,\,x \le 1 \end{array} \right.$$ tại điểm $ x = 1 $.

Hướng dẫn. Khác với ví dụ trước, ở đây chúng ta cần đi tính giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$.
- Hàm số xác định tại $ x=1 $ và $ f(1)=1 $
- Giới hạn trái tại $ x=1 $ \[ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)= \lim\limits_{x\to 1^-}1=1\]
- Giới hạn phải tại $ x=1 $ \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}}\\
  {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}}}\\
  {}&{ = – 3}
  \end{array}\]
Ta thấy $ \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\ne \lim\limits_{x\to 1^-}f(x) $ nên suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại $x=1$.

Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + \frac{1}{4}}&{{\rm{khi }}\,\,x < 0}\\
2&{{\rm{khi }}\,\,x = 0}\\
{\dfrac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{x}}&{{\rm{khi }}\,\,x > 0}
\end{array}} \right.\] tại điểm $ x = 0 $.

Hướng dẫn. Chúng ta đi tính và so sánh giá trị, giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số tại điểm $ x = 0$.
- Hàm số xác định tại $ x = 0 $ và $ f(0)=2 $.
- Giới hạn trái tại $ x = 0 $ là \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {2x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{4}\]
- Giới hạn phải tại $ x = 0 $ là \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{x}}\\
  {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{{{\left( {\sqrt {x + 4} } \right)}^2} – 4}}}\\
  {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}}}\\
  {}&{ = \frac{1}{4}}
  \end{array}\]
Chúng ta thấy, $ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x) $ nhưng lại khác $f(0)$ nên suy ra hàm số không liên tục tại điểm $ x = 0 $.

Dạng 2. Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}&{{\text{khi }}x \ne 0}\\
5&{{\text{khi }}x = 0}
\end{array}} \right.\] trên $R$.

Hướng dẫn. Rõ ràng khi $x\ne0$ thì hàm số đã cho là hàm phân thức và hoàn toàn xác định nên nó liên tục trên từng khoảng $ (-\infty;0) $ và $ (0;+\infty) $.

Chú ý không được nói hàm số đã cho liên tục trên $( – \infty ;0) \cup (0; + \infty )$.

Do đó, chúng ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại $x=0$. Chúng ta có:
- Giá trị của hàm số tại $x=0$ là $ f(0)=5 $.
- Giới hạn của hàm số tại $x=0$ là \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}\\
  {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 5} \right) = 5}
  \end{array}\]
Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$ nên hàm số đã cho liên tục tại $x=0$. Tóm lại, hàm số đã cho liên tục trên toàn bộ tập $R$.

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 1}&{{\text{khi }}x < 0}\\
{\sqrt x }&{{\text{khi }}x \ge 0}
\end{array}} \right.\] trên tập xác định.

Hướng dẫn. Chúng ta có ngay tập xác định của hàm số là $R$.

Tập xác định của hàm số là tập mà tại mọi điểm $x$ của tập đó, hàm số có thể tính được giá trị $f(x)$ tương ứng.
- Khi $ x<0 $ thì $ f(x)=2x-1 $ là hàm số liên tục.
- Khi $ x>0 $ thì $ f(x)=\sqrt{x} $ cũng là hàm số liên tục.
Do đó, chúng ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại điểm $ x=0 $ nữa là có thể kết luận. Tại $ x=0 $ thì \[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\\
f(0) = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {2x – 1} \right) = – 1
\end{array}\] Rõ ràng $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)$ nên hàm số gián đoạn tại $ x=0 $.

Tóm lại, hàm số đã cho không liên tục trên tập xác định.

Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm

Ví dụ 1. Tìm $ m $ để hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3mx – 1& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ liên tục tại điểm $ x = 1 $.

Hướng dẫn.
- Rõ ràng hàm số xác định tại $ x=1 $ và $ f(1) = – 3m.1 – 1 $.
- Ta đi tính giới hạn hàm số tại $ x=1 $ $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x – 2}}{{x – 2}} = – 3 $$
- Hàm số $ f(x) $ liên tục tại $ {x_0} = 1 $ khi và chỉ khi $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow – 3m – 1 = – 3 \Leftrightarrow m = – \frac{2}{3} $$
Vậy giá trị m cần tìm của $ m $ là $ -3 $.

Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định.

Ví dụ. Tìm $ m $ để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó:
$$ f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ – 3mx – 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: $ D = \mathbb{R} $.
- Nếu $ x \ne 1 $, thì hàm số đã cho là $ f(x) = \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}} $. Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $ \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$ nên nó liên tục trên mỗi khoảng $ \left( { – \infty ;1} \right) $ và $ \left( {1; + \infty } \right) $
- Nếu $ x = 1 $ thì chúng ta có $ f(1) = – 3m – 1 $ và \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {}&{}\\
  {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}}\\
  {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{x – 1}}}\\
  {}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x – 2) = 3}
  \end{array}\] Hàm số $ f(x) $ liên tục tại $ {x_0} = 1 $ khi và chỉ khi \[\begin{array}{l}
  \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\\
  \Leftrightarrow – 3m – 1 = 3\\
  \Leftrightarrow m = – \frac{4}{3}.
  \end{array}\]
Tóm lại, giá trị cần tìm là $ m = – \frac{4}{3} $.

Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ 1. Chứng minh phương trình $ 3{x^3} + 2x – 2 = 0 $ có nghiệm trong khoảng $ \left( {0;1} \right) $.

Hướng dẫn.
- Xét hàm số $ f(x) = 3{x^3} + 2x – 2 $, đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập $ R $. Do đó, $ f(x) $ cũng liên tục trên đoạn $ \left[ {0;1} \right] $.
- Ta có: $$ f(0)\cdot f(1) = ( – 2)\cdot (3) = – 6 < 0. $$
Suy ra tồn tại ít nhất một số $ c $ trong khoảng $ (0;1) $ sao cho $ f(c) = 0 $, nghĩa là phương trình $ f(x)=0 $ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $ \left( {0;1} \right) $.

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình $ 2{x^3} – 6{x^2} + 5 = 0 $ có ba nghiệm trong khoảng $ \left( { – 1;3} \right) $.

Hướng dẫn.
- Hàm số $ f(x) = 2{x^3} – 6{x^2} + 5 $ liên tục trên $ R $ nên suy ra $ f(x) $ liên tục trên các đoạn $ [-1;0] , [0;2]$ và $ [2;3] $.
- Ta có: $ f( – 1) = – 3 , f(0) = 5, f(2) = – 3 , f(3) = 5 $. Suy ra \[\begin{array}{l}
  f( – 1)\cdot f(0) < 0\\
  f(0)\cdot f(2) < 0\\
  f(2)\cdot f(3) < 0
  \end{array}\] Do đó, phương trình đã cho có nghiệm trong mỗi khoảng $ \left( { – 1;0} \right) $, $ \left( {0;2} \right) $ và $ \left( {2;3} \right) $.
Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong khoảng $ \left( { – 1;3} \right) $.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $ a{x^2} + bx + c = 0 $ luôn có nghiệm trong đoạn $ \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] $ với mọi $ a \ne 0 $ và $ 2a + 6b + 19c = 0 $.

Hướng dẫn. Hàm số $ f(x) = a{x^2} + bx + c $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ nên cũng liên tục trên đoạn $ \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] $.

Ta có $$ f(0) = c, f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0 $ nên $$ f(0) =-18f(\frac{1}{3}) $$ Như vậy, chúng ta thấy
- Nếu $ f(0) = f(\frac{1}{3}) = 0 $ thì phương trình có nghiệm chính là $ 0 $ và $ \frac{1}{3} $ thuộc đoạn $ \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] $.
- Nếu $ f(0) =-18 f(\frac{1}{3}) \ne 0 $ thì $ f(0)\cdot f(\frac{1}{3}) =-\left(f(0)\right)^2 < 0 $. Lúc này, phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $ \left( {0;\frac{1}{3}} \right) $.
Tóm lại, phương trình đã cho luôn có nghiệm trong đoạn $ \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] $ với mọi $ a \ne 0 $ và $ 2a + 6b + 19c = 0 $.

3. Bài tập hàm số liên tục

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{x+3}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
& -1& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=-1$
b) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\,\,\,& \text{ khi }\,x\ne 1\,\,\,\,\,\, \\
& \frac{1}{4}& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
c) $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}}&{{\rm{khi }}{\mkern 1mu} x \ne 2{\mkern 1mu} }\\
1&{{\text{khi }} x = 2}
\end{array}} \right. $
tại $x=2$
d) $f(x)\,=\,\left\{ \begin{align}
& \frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}\,\,& \text{ khi }\,\,x>5 \\
& {{(x-5)}^{2}}+3\,\,\,\,\,& \text{ khi }\,x\le \,\,5 \\
\end{align} \right.$
tại $x=5$
e) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& 1-\cos x& \text{ khi }\,x\le 0 \\
& \sqrt{x+1}& \text{ khi }\,\,x>0 \\
\end{align} \right.$
tại $x=0$
f) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
& -2x& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$

Bài 2. Tìm $m, n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
& 2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
& 3x+m& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& m& \text{ khi }\,\,x=0 \\
& \frac{{{x}^{2}}-x-6}{x(x-3)}& \text{ khi }\,\,x\ne 0,x\ne 3 \\
& n& \text{ khi }\,\,x=3 \\
\end{align} \right.$
tại $x=0$ và $x=3$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
& m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
\end{align} \right.$
tại $x=2$

Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}& \text{ khi }\,\,x\ne -1 \\
& \frac{4}{3}& \text{ khi }\,\,x=-1 \\
\end{align} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-3x+4& \text{ khi }\,\,x<2 \\
& 5& \text{ khi }\,\,x=2 \\
& 2x+1& \text{ khi }\,\,x>2 \\
\end{align} \right.$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}& \text{ khi }\,\,x\ne -2 \\
& -4& \text{ khi }\,\,x=-2 \\
\end{align} \right.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}& \text{ khi }\,\,x\ne \sqrt{2} \\
& 2\sqrt{2}& \text{ khi }\,\,x=\sqrt{2} \\
\end{align} \right.$

Bài 4. Tìm các giá trị của tham số $m$ để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
& m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
\end{align} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&{{x}^{2}}+x& \text{ khi }\,\,x<1 \\
&2& \text{ khi }\,\,x=1 \\
&mx+1& \text{ khi }\,\,x>1 \\
\end{align} \right.$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}&\text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
&3x+m & \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&{{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
&2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$

Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) ${{x}^{3}}-3x+1=0$
b) ${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+1=0$
c) $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$

Bài 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) ${{x}^{5}}-3x+3=0$
b) ${{x}^{5}}+x-1=0$
c) ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có 5 nghiệm trên khoảng $ (-2; 2) $.

Bài 8. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) $m{{(x-1)}^{3}}(x-2)+2x-3=0$
b) ${{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-2mx-2=0$
c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$
d) $(1-{{m}^{2}}){{(x+1)}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3=0$
e) $\cos x+m\cos 2x=0$
f) $m(2\cos x-\sqrt{2})=2\sin 5x+1$

Bài 9. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $2a + 3b + 6c = 0$
b) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $ a + 2b + 5c = 0 $
c) ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$

Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm $ x $ thuộc $\left[ 0;\frac{1}{3} \right]$ với $ a \ne 0 $ và $ 2a + 6b + 19c = 0 $.
14/06/2020
Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp
Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.

Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.

Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $\sqrt{A}\pm\sqrt{B}$ là $\sqrt{A}\mp\sqrt{B}$, tức là biến đổi:
$$ \sqrt{A}\pm \sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}$ là $(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2$ $$ \sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B}=\frac{A\pm B}{(\sqrt[3]{A})^2\pm\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2} $$
- Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
- Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.
Xem thêm:
2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3\sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như sau\begin{align*}
& x^3+8-3\sqrt{x+3}+3=0 \\
\Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x+3}+1}=0\\
\Leftrightarrow &(x+2)\left(x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}\right)=0\\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}
x+2=0\\x^2+2x+4-\frac{3}{\sqrt{x+3}+1}=0 \qquad (*)
\end{array}\right.
\end{align*} Ta có \[\begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 4 \ge 3\\
– \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge – 3\\
\Rightarrow {x^2} + 2x + 4 – \dfrac{3}{{\sqrt {x + 3} + 1}} \ge 0.
\end{array}\] Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức nên phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!

Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt{x+1}~+1=4{{x}^{2}}+\sqrt{3x} $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ x\ge0 $ thì phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
&4{{x}^{2}}-1+\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}=0\\
\Leftrightarrow & (2x+1)(2x-1)+\frac{2x-1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}}=0\\
\Leftrightarrow & (2x-1)\left( 2x+1+\frac{1}{\sqrt{3x}+\sqrt{x+1}} \right)=0\\
\Leftrightarrow & 2x-1=0\\
\Leftrightarrow & x=\frac{1}{2}
\end{align*} So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=\frac{1}{2}. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+x=\sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge \sqrt[3]{2}$. Đoán được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
&\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = \sqrt {{x^3} – 2} – 5 \\
\Leftrightarrow\;& \left( {x – 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \\
\Leftrightarrow\;& x = 3
\end{align*} Ta có \[\begin{array}{*{20}{c}}{1 + \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} \right)}^2} + 3}}}\\
{}&{ < 2 < \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}}}
\end{array}\] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=3. $

Ví dụ 4. Giải phương trình $$ \sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4} $$ Hướng dẫn. Nhận xét $\left( 3{{x}^{2}}-5x+1 \right)-\left( 3{{x}^{2}}-3x-3 \right)=-2(x-2)$ và $\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=3(x-2)$ nên ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: \begin{align*}
&\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}-\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}=\sqrt{{{x}^{2}}-2}-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}\\
\Leftrightarrow\;& \frac{-2(x-2)}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}\\
\Leftrightarrow\;& (x-2)\left[ \frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}} \right]=0
\end{align*} Ta có $ \dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+1}+\sqrt{3({{x}^{2}}-x-1)}}>0 $ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=2. $

Ví dụ 5. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+15}=3x-2 +\sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau \begin{align}
&\sqrt{x^2+15}-4=3x-3+\sqrt{x^2+8}-3 \notag\\
\Leftrightarrow &\frac{x^2+15-16}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2+8-9}{\sqrt{x^2+8}+3}\notag\\
\Leftrightarrow &\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \,\,\,(*)
\end{align} Xét hai trường hợp:
- $ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
- $ x\ne 1 $ thì phương trình $$ (*)\Leftrightarrow\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3$$ Vì $ \sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8} $ nên từ phương trình đã cho, chúng ta suy ra
  \begin{align*} &3x-2=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}\\
  \Leftrightarrow \;& 3x-2>0 \Leftrightarrow x>\frac{2}{3}
  \end{align*} Suy ra $ x+1>0 $ và như vậy $ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}+3>\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}} $ hay phương trình $(*)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

Ví dụ 6. Giải phương trình\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ -\frac{1}{3}\le x\le 6. $ Đoán được nghiệm $ x=5 $ nên ta tách phương trình đã cho thành:
\[ (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-8=0 \] Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:
\begin{align*}
&\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\\
\Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right)=0
\end{align*} Vì $ -\frac{1}{3}\le x\le 6 $ nên $$ \dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0,$$ do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.

Ví dụ 7. Giải phương trình \[ (x+3)\sqrt{x+4}+(x+9)\sqrt{x+11}=x^2+9x+10 \] Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge -4 $. Dễ dàng đoán được nghiệm $ x=5 $, nên ta tách thành: \[ (x+3)\left(\sqrt{x+4}-3\right)+(x+9)\left(\sqrt{x+11}-4\right)=x^2+2x-35 \] Sau đó, nhân liên hợp được: \begin{align*}
&(x+3)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+4}+3}+(x+9)\cdot\frac{x-5}{\sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\\
\Leftrightarrow\;& (x-5)\left(\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7\right)=0
\end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$\frac{x+3}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-x-7=0\,\,(*)
$$ Vì điều kiện là $ x\ge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ \frac{1}{\sqrt{x+4}+3} $ và $ \frac{1}{\sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ \frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau:
\begin{align*}
VT(*)&= \frac{x+4}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{x+4}{2}+\frac{x+9}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{x+9}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
&=(x+4)\left(\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}-\frac{1}{2}\right)+(x+9)\left(\frac{1}{\sqrt{x+11}+4}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\
&<0
\end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

Ví dụ 8. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}=2x-1 $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách PT đã cho thành \[ \left(\sqrt{x^2+8}-3\right)-\left(\sqrt{x^2+3}-2\right)-2(x-1)=0 \] Sử dụng phương pháp nhân liên hợp được \[ (x-1)\left((x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2\right)=0 \] Nhận xét rằng $ \sqrt{x^2+8}+3>\sqrt{x^2+3}+2 $ nên $$ \frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}<0 $$ Mặt khác, từ phương trình đã cho có $ 2x-1=\sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}>0 \Leftrightarrow x>\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+1>\frac{3}{2} . $ Do đó, $$ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)<0 $$ và dẫn tới \[ (x+1)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)-2<0 \] Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

Ví dụ 9. Giải phương trình $$ \sqrt{x^2+5}+\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.

Ví dụ 10. Giải phương trình $$\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$$ Hướng dẫn. Điều kiện xác định của phương trình là $x\ge 1$. Với diều kiện đó, ta có: $(x+2)-(x-1)=3>0$ nên $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}>0$ với $x\ge 1$. Nhân hai vế của phương trình với $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}$ ta được \begin{align*}
&\bigg( (x+2)-(x-1) \bigg)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)\\
\Leftrightarrow\;& \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}\ge 1 \\
{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}} \\
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0\\
{{x}^{2}}+x-1-2\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2\sqrt{x+2}.\sqrt{x-1} \\
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\;& \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
{{x}^{2}}-x-2=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{x}^{2}}+x-3\ge 0 \\
x=-1\vee x=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1\vee x=2.
\end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $

Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ \left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2\text{x}-3} \right)\ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
& 4\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} \right)\ge 4\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1} \right)\\
\Leftrightarrow & 1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\\
\Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge 2x+2+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\\
\Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4\ge 0\\
\Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l}x\le -2 \\ x\ge 2 \\ \end{array} \right.
\end{align*} Kết hợp với điều kiện $x\ge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2,+\infty)$.

Nhận xét. Bất phương trình này hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!

Ví dụ 12. Giải bất phương trình $$2x+5>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ 1\le x\le 2. $ Chúng ta có $$ 2x+5=3x+4-(x-1)=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right) $$ nên bất phương trình đã cho tương đương với tương đương với \begin{align*}
& \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}\right)>\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}\right)\\
\Leftrightarrow & \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2-x} \text{\quad (vì $ \sqrt{x-1}+\sqrt{3x+4}>0 $)}
\end{align*} Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=[1;2] $

Ví dụ 13. Giải phương trình $$\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}+\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$\left( 2{{x}^{2}}+x+9 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)=2\left( x+4 \right)$$ Vì $ x=4 $ không là nghiệm nên ta xét $ x\ne 4 $ và nhân chia liên hiệp để trục căn thức được $$\frac{2x+8}{\sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}=x+4\Rightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+x+9}-\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}=2$$ Thu được hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + x + 9} – \sqrt {2{x^2} – x + 1} = 2\\
\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} – x + 1} = x + 4
\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{8}{7}
\end{array} \right. \] Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = \frac{8}{7}. $

3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.

Bài 1. Giải phương trình $ \sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6 $

Đáp số. $ x=3 $

Bài 2. Giải phương trình $ \sqrt{4x^2 +5x+1}-2\sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $

Đáp số. $ x=\frac{1}{3}. $

Bài 3. Giải phương trình $ \sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2} $

Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4}\right)+\left(\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2}\right)=0, $ rồi nhân liên hợp…
Đáp số. $ x=3 $

Bài 4. Giải phương trình $ \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $

Hướng dẫn. Tách thành $ \left(\sqrt{x-2}-1\right) +\left(\sqrt{4-x}-1\right)-\left(2x^2-5x-3\right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại…
Đáp số. $ x=3 $

Bài 5. Giải phương trình $2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 5-x \right)}=x+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 10-x \right)}$

Đáp số. $ x=1,x=\frac{15+5\sqrt{5} }{2} $

Bài 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

Đáp số. $ x=2 $

Bài 7. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}+\sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$

Bài 8. [Đề thi Olympic 30/4 năm 2007] Giải phương trình $2{{x}^{2}}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$

Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$

Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=\left( x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

Bài 11. Giải phương trình $1+\sqrt{x}=4x^{2}+\sqrt{3x-1}$

Đáp số. $x=\frac{1}{2}$

Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{x}=1-\sqrt[3]{3x^2+x-1}+\sqrt[3]{2x+1} $

Đáp số. $ x=1 $

Bài 13. Giải phương trình $ 2\sqrt {{x^2} + 5} = 2\sqrt {x – 1} + {x^2} $

Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2\sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2\sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow 2\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ \frac{2(x+2)}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+x+2\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {x – 1} + 1}} + \left( {x + 2} \right)\left( {1 – \frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} \right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.

Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5} $

Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{{{x}^{2}}+12}-\sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành \begin{align*}
& \sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+\sqrt{{{x}^{2}}+5}-3\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3\left( x-2 \right)+\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \\
& \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 \right)=0\Leftrightarrow x=2
\end{align*} Chứng minh được $\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3<0,\forall x>\frac{5}{3}$.
Đáp số. $ x=2 $

Bài 15. Giải bất phương trình $\frac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$

Đáp số. $ \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$
14/06/2020